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线性规划另类题型面面观湖南 周友良湖南 曾令军线性规划是高考经常考查的热点内容，题型灵活多变，在解题目时必须把握问题的实质，进行分析转化处理，就以下几种类型问题精析： 一.线性约束条件不定型问题:例1.当x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥020k y x x y x (k 为常数)时,能使z=x+3y 的最大值为12的k 的值为（ ）A ．-12 B.-9 C.12 D.9解析:易知,当z=x+3y 经过直线y=x 与直线2x+y+k=0的交点)3,3(kk --时, z 取得最大值12,所以由12)3(3)3(=-⨯+-k k求得k=-9,故选B.二.最优解不唯一,有无穷多最优解型问题:例2.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分包括边界在内),目标函数z=2x-ay 取得最大值的最优解有无穷多个,则a 为 ( ) A. –2 B.2 C.-6 D.6解析: 如图,ABC ∆中,,311-=BC k , 而目标函数:令z=2x-ay=0,得所在直线的斜率为:ak 2=.因为目标函数取得的最大值的最优解有无穷多个,所以必有目标函数所在的直线与三角形的边所在的直线重合: (1) 因为ak 2=不可能等于0,所以目标所在直线不可能与边AB 所在直线重合. x(2) 当目标函数所在直线与边AC 重合时,即312==a k 时,得a=6,则目标函数的最优解z=41612-=⨯-⨯.(3) 当目标函数所在直线与边BC 重合时,即12-==ak 时,得a=-2, 则目标函数的最优解z=121)2(52=⨯--⨯.综上所述,当a=-2时, 目标函数z=2x-ay 取得最大值为12的最优解有无穷多个,故选A.三.分式型目标函数,转化为利用斜率求最值:例3．实系数方程x 2+ax+2b=0,的一根在（0,1）内，另一 个根在(1,2)内，求12--a b 的值域.解: 由题意得知: ⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f ⇒⎪⎨⎧<++>0120b a b 由此画出关于a,b式子12--a b 可以理解为定点P （1，2）与区域内动点Q （a,b ）连线 的斜率 k=12--a b . 当Q （a,b ）动到C （-1，0）时，则斜率k 取最大值，即k max =.1)1(102=---当Q （a,b ）动到A （-3,1）时，则斜率k 取最小值，即k min =.41)3(112=--- 综上所述 ，所求式子的值域：12--a b ).1,41(∈四.二次型目标函数,转化为利用距离求最值:例4.已知:x,y R ∈,且x+2y ≥1,求二次函数式u=x 2+y 2+4x-2y 的最小值。
二：常见目标函数1．线性规划⑴ 在线性约束条件下，z Ax By =+是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数．由于z Ax By =+又是关于x 、y 的一次解析式，所以又叫做线性目标函数． ⑵ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ⑶ 在可行域中，可行解11()x y ，和22()x y ，分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行域． 2．主要方法用“图解法”解决简单的线性规划问题的基本步骤：⑴ 首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）． ⑵ 设0z =，画出直线0l ．⑶ 观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解． ⑷ 最后求得目标函数的最大值及最小值．考点1：一次函数型例2.（1）目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义为（ ） A ．该直线的横截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线纵截距的12的相反数 D ．该直线纵截距的2倍的相反数 【解答】D（2）若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩……„，则3z x y =+的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩……„，作出可行域如图， 联立10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得(3,4)A -，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为5．故选：D ．（3）设变量x 、y 满足约束条件为2600x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩„……，则目标函数3z x y =-的最大值为( ) A ．0 B ．3- C ．18 D ．21【解答】解：作出变量x 、y 满足约束条件为2600x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩„……的可行域，如图所示的阴影部分，如图： 由3z x y =-可得3y x z =-可得z -为该直线在y 轴上的截距，截距越小，z 越大， 作直线:30L x y -=，可知把直线平移到(6,0)A 时，Z 最大， 故18max z =． 故选：C ．（4）给出平面区域如图所示，若目标函数(0)z x ay a =+…仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．103a <<B ．13a …C ．13a >D ．102a <<【解答】解：根据画出的约束条件表示的可行域为ABC ∆内部（包括边界）， 易知当0a =时，z x =的最大值不是2，不符合题意； 当0a >时，由目标函数z x ay =+得1z y x a a =-+，由题意得130AC k a -=<-<，解得13a >；当0a <时，目标函数为1zy x a a=-+在A 点处取不到最大值；综上所述，a 的取值范围是13a >． 故选：C ．（5）已知实数x ，y 满足13y x y ax ++剟?，若2y x -的最大值是3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，3]B ．[1，3]C ．(-∞，2]D ．[2，)+∞【解答】解：不等式13y x y ax ++剟?， 等价于13y x y y x y ax ⎧⎪+⎨⎪++⎩……„，化简得10(1)3y x y a x ⎧⎪⎨⎪-+⎩……„， 设2z y x =-，则2y x z =+；且z 的最大值是3，由图形知，12a -„， 解得3a „，所以实数a 的取值范围是(-∞，3]． 故选：A ．（6）若关于x ，y 的不等式组223000x y x m y m -+>⎧⎪-<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点0(P x ，0)y 满足00230x y --=，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,3)- B ．(3,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则要使平面区域内存在点0(P x ，0)y ，满足0023x y -=，则只需点A 在直线23x y -=的下方即可， 由200x m y m ⎧-=⎨-=⎩，解得2(A m ，)m ，则点A 的坐标满足23x y -<， 即：223m m -<，2230m m ∴--<，解得：13m -<<，即m 的取值范围是(1,3)-， 故选：A ．考点2：斜率型例3.（1）已知x ，y 满足约束条件10220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„…，则11x y +-的取值范围是( )A ．11[,]23-B ．[2-，3]C ．11(,][,)23-∞-+∞U D ．(-∞，2][3-U ，)+∞【解答】解：11x y +-表示可行域内的点(,)x y 与点(1,1)-连线的斜率的倒数，(2,2)A ；(1,0)B ；211213AD k -==-+， 011112DB k -==-+， 作出可行域，可知点(,)x y 与点(1,1)-连线的斜率的范围 是11[,]23-，所以11x y +-的取值范围是(-∞，2][3-U ，)+∞．故选：D ．（2）已知实数x ，y 满足3,26,8x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩……„则13y x --的取值范围为( )A ．1[4，5]8B ．1[8-，1]4C ．[0，4]5D ．2[5-，4]5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图， 则13y x --的几何意义是区域内的点到定点(3,1)D 的斜率， 观察可知13BD AD y k k x --剟，由(8,5)A ，(8,1)B -， 可得214535y x ---剟，故选：D ．（3）已知变量x ，y 满足约束条件12,1,x y x +⎧⎨-⎩剟„则x y y +的取值范围是( )A ．12[,]23B ．(0，2]3C ．(1-，1]3-D ．3[,2]2【解答】解：将题中可行域表示如右图，易知yk x=在(1,3)A -处取得最小值3-， 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率1-，故31k -<-„，则113x y -<-„，故203x y y +<„．故选：B ．（4）已知x ，y 满足203010y x x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩„…„，则264x y x +--的取值范围是( )A ．17[1,]7- B ．17[1,]7C ．19[0,]7D ．[2-，0]【解答】解：由于2611244x y y z x x +--==+⨯--， 由x ，y 满足203010y x x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩„…„，所确定的可行域如图所示，考虑到14y x --，可看成是可行域内的点与(4,1)构成的直线的斜率， 结合图形可得，当(Q x ，)(3y A =，2)时，z 有最小值2112134-+⨯=--， 当(Q x ，)(3y B =-，4)-时，z 有最大值411712347--+⨯=--， 所以11711247y x --+⨯-剟．故选：A ．（5）已知实数x ，y 满足430401x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩„„…，若x y z y x =+，则z 的最大值为( )A ．447B ．4613C ．103D ．43【解答】解：实数x ，y 满足430401x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩„„…的可行域如图：13(5B ，7)5，(1,3)A ，y x 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，可知713BO k =，3AO k =，7[,3]13y x ∈，x y z y x =+，当1y x =时z 取得最小值；最大值在端点处取得：3y x =时．103z =；713y x =时，713101373z =+<． 故选：C ．考点3：距离型例4.（1）已知x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩„„…，则22x y +的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩„„…作出可行域如图，22x y +的几何意义为原点O 到可行域内点的距离的平方， 由图可知，A 到原点O 的距离最小，由3531x y x y -=-⎧⎨-=⎩解得(1,2)A ，则22x y +的最小值为：5． 故选：D ．（2）设点(,)P x y 在不等式组02030x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„表示的平面区域上，则22(1)z x y =-+的最小值为( )A ．1B ．55C ．2D ．255【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，22(1)z x y =-+则z 的几何意义是区域内的点到点(1,0)D 的距离，由图象知D 到直线20x y -=的距离最小，此时22|20|2255521d -===+， 故选：D ．（3）若实数x ，y 满足1200y x x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩„„…，则|24|5x y z --=的最大值是( )A ．455B ．5C ．755D ．855【解答】解：实数x ，y 满足1200y x x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩„„…对应的平面区域如图：三角形ABO 的三边及其内部部分：(1,0)A -，(1,2)B ，(0,0)O |24|5x y z --=的几何意义是可行域内的点与直线240x y --=的距离，由图数形结合可知，点(1,0)A -到直线的距离最大， |24|5x y z --∴=的最大值是5，故选：B ．课后作业：1.不等式组24020x y x y -+⎧⎨-+<⎩…表示的平面区域是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：240x y -+…表示在直线240x y -+=的下方及直线上， 20x y -+<，表示在直线20x y -+=的上方，则对应的区域为B ，故选：B ．2.不等式组210y x y kx y -+⎧⎪-⎨⎪⎩„„…所表示的平面区域的面积等于14，则k = ． 【解答】解：Q 不等式组210y x y kx y -+⎧⎪-⎨⎪⎩„„…所表示的平面区域三角形，如图：平面为三角形所以过点(2,0)，1y kx =-Q ，与x 轴的交点为1(k，0)， 1y kx =-与2y x =-+的交点为3(1k +，21)1k k -+， 三角形的面积为：11211(2)214k k k --⨯=+， 解得：1k =．故答案为：1．3.若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩……„，则3z x y =+的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩……„，作出可行域如图， 联立10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得(3,4)A -，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+， 由图可知，当直线3y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为5．故选：D ．4.已知x ，y 满足约束条件10220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„…，则11x y +-的取值范围是( )A ．11[,]23- B ．[2-，3]C ．11(,][,)23-∞-+∞U D ．(-∞，2][3-U ，)+∞【解答】解：11x y +-表示可行域内的点(,)x y 与点(1,1)-连线的斜率的倒数，(2,2)A ；(1,0)B ；211213AD k -==-+，011112DB k -==-+，作出可行域，可知点(,)x y 与点(1,1)-连线的斜率的范围 是11[,]23-， 所以11x y +-的取值范围是(-∞，2][3-U ，)+∞．故选：D ．5.已知x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩„„…，则22x y +的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩„„…作出可行域如图，22x y +的几何意义为原点O 到可行域内点的距离的平方，由图可知，A 到原点O 的距离最小，由3531x y x y -=-⎧⎨-=⎩解得(1,2)A ，则22x y +的最小值为：5．故选：D ．。
专题-线性规划题型归纳线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关。
它不仅体现了高中数学常用的数学思想，如数形结合思想、转化与化归思想；而且还能体现了学生的综合分析问题的能力、逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，此知识点越来越受到出题者的青睐。
下面，就常见的线性规划问题进行探讨.类型一、解线性约束区域的约束条件问题例1、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组224x y -=3x =是（ ）.A. B. C. D. 0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩解：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图1所示）224x y -=y x =±3x =时有.0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩说明：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。
验证法或排除法是最效的方法.类型二、解线性约束区域的面积问题例2、不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（ ）.A.32 B. 23 C. 34D.43解：如图2阴影部分所示，平面区域的面积为：.144(4)1233⨯-⨯=说明：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键.类型三、解线性约束区域整点个数问题例3、满足的点中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）.224x y +≤(,)x y A.9个 B.10个 C.13个 D.14个解：作出可行域如图，是圆上及其内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D.说明：找线性区域内整点坐标或个数时，直接作出线性区域的网格图是比较直观的方法.类型四、解线性目标函数最值问题例4、设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是（ ）.,x y 222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩3z x y =-A. B. C. D.]6,23[-1[,1]2--[1,6]-3[6,]2-解：做出不等式所表示的区域如图4，由得，平移直线，由图象可知当y x z -=3z x y -=3x y 3=直线经过点时，直线的截距最小，此时最大为，当直线经过点)0,2(E z x y -=3z 63=-=y x z C 时，直线截距最大，此时最小，由，解得，此时，z ⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==321y x 233233-=-=-=y x z 所以的取值范围是，选A ．y x z -=3]6,23[-说明：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题.数形结合是数学思想的重要手段之一.变式：若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）.,x y 3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩34z x y =+A.12 B.26 C.28 D.33解：如图5可行域为图中阴影部分，当目标函数直线经过点时有最大值，联立方程组C z ⎩⎨⎧=+=+122122y x yx得，代入目标函数得，故选C ．(4,4)C 28=z 说明：本题为简单线性目标函数最值问题，注意目标函数中的几何意义为截距，与例4中Z Z 的几何意义是截距的相反数，两者是不同的.类型五、解可行域内的整点最优解问题例5、已知满足不等式组，求使取最大值的整数．,x y 230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩x y +,x y 解：如图6，不等式组的解集为三直线：，：，：1l 230x y --=2l 2360x y +-=3l 所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，35150x y --=1l 2l 1l 3l 2l 3l ,,A B C 则坐标分别为，，，作一组平行线：平行于：,,A B C 153(,)84A (0,3)B -7512(,)1919C -l x y t +=0l ，当往右上方移动时，随之增大，∴当过点时最大为，但不是整数解，0x y +=l 0l t l C x y +6319又由知可取，当时，代入原不等式组得， ∴；当时，75019x <<x 1,2,31x =2y =-1x y +=-2x =得或， ∴或；当时，， ∴，故的最大整数解为0y =1-2x y +=13x =1y =-2x y +=x y +或．20x y =⎧⎨=⎩31x y =⎧⎨=-⎩说明：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。
课题线性规划的常见题型及其解法线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有：1．求线性目标函数的最值．2．求非线性目标函数的最值．3．求线性规划中的参数．4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23] B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－x ＋，通过求a b zb直线的截距的最值，间接求出z 的最值．zb【解析】画出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－x ＋，平移直线y ＝－x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程23z 323组Error!得Error!所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组Error!得Error!所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．【答案】A【母题二】变量x ，y 满足Error!(1)设z ＝，求z 的最小值；y2x －1(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，＝·表示点(x ，y )和连线的斜y 2x －112y －0(x －12)(12，0)率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件Error!作出(x ，y )的可行域如图所示．由Error!解得A ．(1，225)由Error!解得C (1,1)．由Error!解得B (5,2)．∵z ＝＝×y 2x －1y －0x －1212∴z 的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知z min ＝×＝．(12，0)2－05－121229(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝，d max ＝|OB |＝．229∴2≤z ≤29．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是：可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝＝8(－3－5)2＋(2－2)2∴16≤z ≤64．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－x ＋，通过求直线的截距a b z b zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝，z ＝，此类目标函数常转化为点(x ,y )与(x －a )2＋(y －b )2x 2＋y 2＋D x ＋E y ＋F 定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y－b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝，z ＝，z ＝，z ＝，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直y x ay －b cx －d y cx －d ay －bx 线的斜率．【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件Error!则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10 B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．【答案】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3 B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值18．【答案】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组Error!所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－D ．－1312【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－．13【解析】C 5．已知实数x ，y 满足Error!则z ＝的取值范围．2x ＋y －1x －1【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝＝2＋的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取2x ＋y －1x －1y ＋1x －1值范围，由图形知，A 点坐标为(，1)，则点(1，－1)与(，1)所在直线的斜率为2＋2，点(0,0)与222(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)．2【答案】(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)26．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组Error!则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[，2]D ．[2，4]2【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【答案】B 7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组Error!所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝＝，故最小距离为．|2×1－0|22＋1255255【答案】2558．设不等式组Error!所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．B ．4285C ．D ．2125【解析】不等式组Error!，所表示的平面区域如图所示，解方程组Error!，得Error!．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝＝2，则|AB |的最小值为|3－4－9|54．【答案】B 角度三：求线性规划中的参数9．若不等式组Error!所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋分为面积相等的两部分，则k 的值是( )43A ．B ．7337C ．D ．4334【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋过定点．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋能平分平面区域．因为43(0，43)43A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ．当y ＝kx ＋过点时，＝＋，所以k ＝．(12，52)43(12，52)52k 24373【解析】A 10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足Error!且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．D ．－1212【解析】D 作出线性约束条件Error!的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ，C (0,2)所围成的三角形区域，当(－2k，0)直线z ＝y －x 经过点B 时，有最小值，即－＝－4⇒k ＝－．(－2k ，0)(－2k )12【答案】D11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件Error!若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．或－1B ．2或1212C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A ，解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2．【答案】D12．在约束条件Error!下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]【解析】 由Error!得Error!，则交点为B (4－s,2s －4)，y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为C ′(0,4)，x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0，s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．(1) (2)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤z max ＜8；当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′及其内部，此时，z max ＝8．综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是[7，8]．【答案】D13．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件Error!若z ＝的最小值为，则a 的值为x ＋2y ＋3x ＋132________．【解析】∵＝1＋，而表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0，x ＋2y ＋3x ＋12(y ＋1)x ＋1y ＋1x ＋1∴可作出可行域，由题意知的最小值是，即min ＝＝＝⇒a ＝1．y ＋1x ＋114(y ＋1x ＋1)0－(－1)3a －(－1)13a ＋114【答案】1角度四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】 设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件Error!生产利润为z＝300x＋400y．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z＝300x＋400y在点A处取得最大值，由方程组Error!解得Error!则z max＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300．(2)约束条件为Error!整理得Error!目标函数为w＝2x＋3y＋300．作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由Error!得Error!最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24．【答案】B2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3 B ．0C ．D ．332【解析】作出不等式组Error!表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3．【答案】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件Error!则z ＝·OA → OP→的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域，z ＝·＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2．OA → OP →【答案】D4．已知实数x ，y 满足：Error!则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ． B ．[0，5][53，5]C ． D ．[53，5)[－53，5)【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×－2×－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是．1323[－53，5)【答案】D5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( )A ．2 B ．1C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即(b －2)＜0，∴＜b ＜2，∴b 应取的整数为(b －78)781．【答案】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－，2)B ．(0，2)3C ．(－1，2)D ．(0，1＋)33【解析】如图，根据题意得C (1＋，2)．3作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界3值，即－(1＋)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－，2)．33【答案】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组Error!所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．D ．112【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于Error!的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1．【答案】D8．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．D ．1214【解析】不等式Error!所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a －b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件Error!作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝×2×1＝1．12【答案】B9．设x ，y 满足约束条件Error!若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤2＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0，4]．(a ＋b 2)【答案】B10．设动点P (x ，y )在区域Ω：Error!上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×2＝4π．(42)【答案】D11．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件Error!若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3．【答案】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件Error!且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程Error!解得Error!代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1) 图(2)由Error!得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由Error!得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．【答案】B13．若a ≥0，b ≥0，且当Error!时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．B ．12π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立，则当x ＝0时，by ≤1恒成立，可得y ≤(b ≠0)恒成立，所以1b 0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ，b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．【答案】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组Error!表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．B ．(－∞，43)(－∞，13)C ．D ．(－∞，－23)(－∞，－53)【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝x －1的下方即可，即m1212＜－m －1，解得m ＜－．1223【答案】C15．设不等式组Error!表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，所以1＜a ≤3．【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：Error!若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6．∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中，若不等式组Error!表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k ＞1时，也可形成三角形，综上可知k ＜－1或k ＞1．【答案】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足Error!则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4 B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最大值，最大值为8．【答案】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件Error!时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝－，当直线过点C 时，z 取到最大x 3z3值，又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4．【答案】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组Error!则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ． B ．9447C ．D ．3412【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝，tan β＝k AO12＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝＝＝．tan β－tan α1＋tan βtan α2－121＋2×1234【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 Error!表示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝×2×(2＋2)＝4．12【答案】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ，y 满足Error!则x ＋y 的取值范围是________．【解析】作出可行域，如图，作直线x ＋y ＝0，向右上平移，过点B 时，x ＋y 取得最小值，过点A时取得最大值．由B (1,0)，A (2,1)得(x ＋y )min ＝1，(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3．【答案】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4．【答案】424．已知实数x ，y 满足Error!则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又＝，|2＋2－1|2322所以w min ＝．92【答案】9225．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组Error!所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值，∴|OM |min ＝＝．|－2|12＋122【答案】226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，由题意知Error!利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨 1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，则黄瓜的种植面积应为________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y ．线性约束条件为Error!即Error!画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0．9y ＝0，向上平移至过点A 时，z 取得最大值，由Error!解得A (30,20)．【答案】3028．(2015·日照调研)若A 为不等式组Error!表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示，所求面积为S ＝×2×2－××＝2－＝．121222221474【答案】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ，y 满足Error!时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足Error!即可，解得1≤a ≤．所以a 的取值范围是1≤a ≤．3232【答案】[1，32]30．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－，3所以k ＝．3【答案】331．设m ＞1，在约束条件Error!下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围．【解析】变换目标函数为y ＝－x ＋，由于m >1，所以－1<－<0，不等式组表示的平面区域如图1m z m 1m 中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－x ＋在y 轴上的截距最大时，目标函数1m zm 取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A，所以目标函数的最大(11＋m ，m 1＋m )值z max ＝＋<2，所以m 2－2m －1<0，解得1－<m <1＋，故m 的取值范围是(1,1＋)．11＋m m 21＋m222【答案】(1,1＋)232．已知实数x ，y 满足Error!若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y ＝x －z ，当z 最小时，直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线为y ＝x ＋1时，联立方程Error!可得此时点A 的坐标为(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线为y ＝x ＋2时，联立方程Error!可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．【答案】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：Error!令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条 ，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线．【答案】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时，z min ＝3． ∴z ∈[－3,3]．【答案】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件Error!且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－的动直线y ＝－x ＋，1m 1m zm若m ＜0，则－＞0，由数形结合知，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多1m个；若m ＞0，则－＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 1m上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－＝－1，则m ＝1．1m综上可知，m ＝1．【答案】1。
