重庆市高中数学人教版选修2-2(理科)第二章推理与证明2.3数学归纳法同步练习

习题课 数学归纳法明目标、知重点1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．题型一 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论．例 1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k2<1－1k，则当n＝k＋1时，1 22＋132＋142＋…＋1k2＋1(k＋1)2<1－1k＋1(k＋1)2＝1－(k＋1)2－kk(k＋1)2＝1－k2＋k＋1k(k＋1)2<1－k(k＋1)k(k＋1)2＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．题型二利用数学归纳法证明整除问题例2 求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练2 证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．证明(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型三利用数学归纳法证明几何问题思考用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝n(n－1)2.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．呈重点、现规律]1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4答案 D解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6答案 C解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.3．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式f(2n)>n2时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是( )A．2k－1项B．2k＋1项C．2k项D．以上都不对答案 C解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋12＋…＋12k，而f(2k＋1)＝1＋12＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．4．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1答案 C解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k3即可．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想S n的表达式为________________．答案S n＝2n n＋1解析S1＝1，S2＝43，S3＝32＝64，S4＝85，猜想S n＝2nn＋1.7．已知正数数列{a n}(n∈N*)中，前n项和为S n，且2S n＝a n＋1an，用数学归纳法证明：a n＝n－n－1.证明(1)当n＝1时，a1＝S1＝12(a1＋1a1)，∴a21＝1(a n>0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝k－k－1. 当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(a k＋1ak)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(k－k－1＋1k－k－1)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有a n＝n－n－1.二、能力提升8．对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案 D解析从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．答案122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n>56(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k>56.则当n＝k＋1时，1 (k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13(k＋1)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(3×13k＋3－1k＋1)＝56，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立． 下面用数学归纳法证明： 证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．1 2·34·56·…·2n－12n≤322n＋1恒成立．所以，对任意n∈N*，不等式。

重庆市高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.2.2反证法同步练习姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A . a，b都能被3整除B . a，b都不能被3整除C . a，b不都能被3整除D . a不能被3整除2. （2分） (2019高二下·周口期末) 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60° ，反证假设正确的是（）A . 假设三内角都大于60°B . 假设三内角都不大于60°C . 假设三内角至多有一个大于60°D . 假设三内角至多有两个大于60°3. （2分）(2018·佛山模拟) 甲乙丙丁四个人背后各有 1个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号．他们每人都说对了一半，则丙是（）A . 1号B . 2号C . 3号D . 4号4. （2分）设实数a，b，c满足a+b+c=6，则a，b，c中（）A . 至多有一个不大于2B . 至少有一个不小于2C . 至多有两个不小于2D . 至少有两个不小于25. （2分）用反证法证明命题“若，则”时，下列假设的结论正确的是（）A . sinθ≥0或cosθ≥0B . sinθ﹤0且cosθ﹤0C . sinθ﹤0或cosθ﹤0D . sinθ﹥0且cosθ﹥06. （2分）①已知p3+q3=2 ，求证：．用反证法证明时，可假设；②若，求证：方程x2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于1，即假设；以下结论正确的是（）A . ①与②的假设都错误B . ①的假设正确；②的假设错误C . ①与②的假设都正确D . ①的假设错误；②的假设正确7. （2分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N* ，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A . a、b都能被5整除B . a、b都不能被5整除C . a、b不都能被5整除D . a不能被5整除8. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的假设为（）A . 都是奇数B . 都是偶数C . 中至少有两个偶数D . 中至少有两个偶数或都是奇数二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）用反证法证明“若a+b+c＜3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为________10. （1分）完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=________=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.11. （1分）若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________三、解答题 (共3题；共15分)12. （5分）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根，求证：a3+ab+c≠0．13. （5分）若a2+b2=c2 ，求证：a，b，c不可能都是奇数．14. （5分）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为有理数的点称为有理点．试根据这一定义，证明下列命题：若直线y=kx+b（k≠0）经过点M（， 1），则此直线不能经过两个有理点．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共15分)12-1、13-1、14-1、。

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2.3 数学归纳法[课时作业][A组基础巩固]1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n（n－3)条时,第一步检验第一个值n等于( ）A．1 B．2C．3 D．0解析：边数最少的凸n边形是三角形．答案：C2．用数学归纳法证明（n＋1）(n＋2）…（n＋n)＝2n·1·3…（2n－1）（n∈N＊)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为（)A．2k＋1 B．2（2k＋1)C。

错误!D。

错误!解析：当n＝k时,左边＝(k＋1)（k＋2）·…·(k＋k），当n＝k＋1时，左边＝（k＋2)（k＋3)·…·（k＋k)（k＋1＋k）(2k＋2）＝(k＋1)·（k＋2）·…·（k＋k）(2k＋1)×2,故需增乘的代数式为2（2k＋1）．答案：B3．凸n边形有f（n）条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为（）A．f（n）＋n＋1 B．f（n）＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n）＋n－2解析：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n）＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1。

第二章推理与 明2.3 数学 法A基 稳固一、1．等式 12＋ 22＋ 32＋ ⋯ ＋ n 2＝12(5n 2－ 7n ＋ 4)()A ． n 任何正整数都建立B ． 当 n ＝1， 2， 3 建立C ．当 n ＝4 建立， n ＝ 5 不建立D ． 当 n ＝ 4 不建立分析： ，n ＝ 1， 2， 3 建立， n ＝ 4， 5，⋯不建立 .答案： B2．用数学 法 明n 2“2＞ n ＋1 于n ≥n 0 的自然数 n 都建立 ” ，第一步 明中的开端n 0 取 ( )A ．2B ．3C ．5D ．6分析：当 n 取 1、 2、 3、 4 2n ＞ n 2＋ 1 不建立，当n ＝ 5 ， 25＝ 32＞ 52＋ 1＝ 26，第一个能使 2n ＞ n 2＋ 1 的 n5.答案： C13．用数学 法 明某命 ， 左式2＋ cos α＋ cos 3α＋ ⋯ ＋cos (2n － 1)α(α≠k π，k ∈ Z ，n ∈ N * )，在 n ＝ 1 ，左 所得的代数式()A.12B.1＋ cos α2C.12＋ cos α＋ cos 3α1D.2＋ cos α＋ cos 3α＋ cos 5α分析：令n ＝ 1，左式＝ 1＋ cos α.2答案： B4．已知 f(n)＝ 1＋1＋1＋ ⋯＋1(n ∈ N*)， 明不等式f(2n)＞ n， f(2k ＋1 )比 f (2k )多的 数2 3n2是 ()A ． 2k －1B ． 2k ＋1C ． 2 kD ．以上都不分析： 察f(n)的表达式可知，右端分母是 的正整数，f(2k)＝ 1＋ 1＋ ⋯ ＋ 1k ，而 f(2k2 2＋ 11 1111k ＋1kk)＝ 1＋2＋ ⋯ ＋ 2k ＋2k＋ 1＋ 2 k ＋ 2＋ ⋯ ＋ 2 k ＋ 2k ，所以 f(2)比 f(2 )多了 2 ．答案： C5．用数学 法 明(n ＋ 1)(n ＋ 2) ⋯⋯(n ＋ n)＝ 2n · 1×3⋯⋯ (2n ＋ 1)(n ∈N * )，从 “k 到 k ＋ 1”左端需增乘的代数式()A ． 2k ＋ 1B ． 2(2k ＋ 1)2k ＋ 12k ＋ 3C.k ＋ 1D.k ＋ 1分析：当 n ＝ k 左端 (k ＋ 1)(k ＋ 2) ⋯(k ＋ k)，当 n ＝ k ＋ 1 ，左端 (k ＋ 2)(k ＋ 3) ⋯(k ＋ 1＋ k － 1)( k ＋ 1＋ k)(k ＋ 1＋ k ＋ 1)，即 (k ＋ 2)( k ＋（ 2k ＋ 1）（ 2k ＋ 2）3) ⋯⋯(k ＋ k)(2k ＋ 1)(2k ＋ 2)． 察比 它 的 化知增乘了＝ 2(2k ＋ 1)．k ＋ 1答案： B二、填空6． 于不等式n 2＋ 4n ＜ n ＋ 2(n ∈ N * ) ，某学生的 明 程以下：(1)当 n ＝ 1 ，12＋ 4＜ 1＋ 2，不等式建立．(2) 假n ＝ k(k ∈ N * ) ， 不 等 式 成 立 ， 即k 2＋ 4k ＜ k ＋ 2 ，n ＝ k ＋ 1，（ k ＋ 1） 2＋ 4（ k ＋ 1）＝k 2＋ 6k ＋ 5＜ （ k 2＋ 6k ＋ 5）＋ 4＝ （ k ＋ 3） 2＝ (k ＋ 1)＋ 2.所以当 n ＝ k ＋ 1 ，不等式建立．上述 法第 ________步 ．分析：第二步 ， 明 程中没实用到 假 ．答案： (2)7．已知数列 {a n }的前 n 和S n ，且 a 1＝ 1， S n ＝ n 2 a n (n ∈ N * )挨次 算出 S 1、 S 2、S 3、S 4 后，可猜想 S n 的表达式 ________．分析： S ＝1，S ＝4，S ＝ 3＝ 6， S ＝8，12332445猜想 S n ＝ 2n.n ＋1答案：2nn ＋ 18． 随意 n ∈ N * ， 34n ＋ 2＋ a 2n ＋1 都能被14 整除， 最小的自然数 a ＝________．分析：当 n ＝ 1 ， 36＋ a 3 能被 14 整除的数a ＝3 或 5；当 a ＝3 且 n ＝ 2 ， 310＋ 35 不能被 14 整除，故a ＝ 5.答案： 5三、解答9．用数学 法 明：1 ＋1 ＋ 1 ＋ ⋯ ＋1 ＝2×4 4×6 6× 82n （ 2n ＋2）n4（ n ＋ 1） .明：(1)当 n ＝ 1 ，左 ＝1＝1，右 ＝1等式建立．2× 4 88(2)假 n ＝ k ，等式建立，即1 ＋ 1 ＋ 1＋ ⋯＋ 1 ＝ k 建立．2× 4 4×6 6×8 2k （ 2k ＋ 2） 4（ k ＋ 1）当 n ＝ k ＋ 1 ，1＋ 1 ＋1 ＋ ⋯ ＋1＋1＝k＋4× 6 6× 8（ 2k ＋ 2）（ 2k ＋ 4）2× 42k （ 2k ＋ 2）4（ k ＋ 1）1＝k （ k ＋ 2）＋ 1＝（ 2k ＋ 2）（2k ＋ 4）4（ k ＋ 1）（ k ＋ 2）（ k ＋1） 2＝k ＋1 ＝k ＋ 14（ k ＋ 1）（ k ＋ 2） 4（ k ＋ 2） 4[（ k ＋ 1）＋ 1].所以 n ＝ k ＋ 1 ，等式建立．由 (1) 、 (2)可得 全部 n ∈ N * ，等式建立．10．在数列 {a n }中， a 1＝ 1， a n ＋1＝2a n(n ∈ N * )．2＋ a n(1) 求： a 2、 a 3、 a 4 的 ，由此猜想数列 {a n }的通 公式 a n ；(2)用数学 法加以 明．2a n*(1)解：由 a 1＝1，an＋1＝2＋ a n (n ∈ N )，可得 a 2＝ 2， a 3＝ 2， a 4＝ 2.3 4 52由此能够猜想数列 {a n }的通 公式 a n ＝.2(2) 明：①当n ＝ 1 ， a 1＝＝ 1，猜想建立．②假 当n ＝ k(k ≥1， k ∈ N * )， ，猜想建立，即 a ＝ 2 ，kk ＋1当 n ＝ k ＋ 1 ， a k ＋ 1＝2a k＝2.2＋a k k ＋ 2明当 n ＝ k ＋1 ，猜想也建立．由①、②可知，猜想 全部的n ∈ N * 都建立．B 能力提高1．用数学 法 明1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ⋯ ＋ 1＜ 1(n ∈ N * ， n ≥ 2)，由 “k 到 k ＋ 1” ，不n ＋ 1 n ＋ 2 2nn 等式左端的 化是 ()A ．增添1一2（ k ＋ 1）B ．增添 1和 1 两2k ＋ 1 2（ k ＋ 1）C ．增添1 和 1 两 ，同 减少 1一2k ＋ 1 2（ k ＋ 1）kD ．以上都不分析： n ＝ k ，左 ＝1 1 1 1k ＋ ＋ ＋ k ＋ ＋⋯＋2k ，k 1 21 1 11 1 1），比 可知，增添n ＝ k ＋ 1 ，左 ＝＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ⋯ ＋2k ＋ ＋ ＋（ ＋k 1 k 2 k 32k 1 2 k 1 1 和 （ 1 ） 两 ，同 减少 12k ＋ ＋ k 一 ．1 2 k 1答案： C2．用数学 法 明：2＝ n 4＋ n 21＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋ n2， n ＝ k ＋ 1 的左端 在 n ＝k的左端加上 ______________________ ．分析： n ＝ k ，左 ＝1＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋ k 2， n ＝ k ＋ 1，左 ＝1＋ 2＋ 3＋ ⋯＋ k 2＋ (k 2＋1)＋ (k 2＋ 2)＋ ⋯ ＋ (k ＋ 1)2 比 可知，左端 加上(k 2＋ 1)＋ (k 2 ＋2)＋ ⋯ ＋ (k ＋ 1)2.答案： (k 2 ＋ 1)＋ (k 2＋ 2)＋ ⋯＋ (k ＋ 1)23．已知某数列的第一1，而且 全部的自然数n ≥2，数列的前 n 之 n 2.(1)写出 个数列的前5 ；(2)写出 个数列的通 公式并加以 明．解： (1) 已知 a 1＝ 1，由 意得 a 1· a 2＝ 22，所以 a 2＝ 22.因 a 1· a 2· a 3＝ 3232，所以 a 3＝ 2.2224 5同理，可得 a 4＝ 32， a 5＝ 42. 9 16 25所以 个数列的前5 分1，4， ，，.(2) 察 个数列的前5 ，猜 数列的通 公式 ：1， n ＝ 1，a n ＝n 2（ n － 1） 2， n ≥ 2.下边用数学 法 明当2nn ≥2 ， a n＝（n － 1） 2.①当 n ＝ 2 ， a ＝22 2＝ 22， 建立．2（2－ 1）②假 当n ＝ k(k ≥2， k ∈ N * ) ， 建立，k 2即 a k＝（k － 1） 2.因 a 1· a 2⋯ a k － 1＝ (k － 1)2，a 1· a 2⋯ a k － 1· a k · a k ＋ 1＝ (k ＋ 1)2，（ k ＋ 1） 2（ k ＋ 1） 2（ k － 1） 2（ k ＋ 1） 2所以 ak ＋1＝（ a－）a＝（ k － 1）2·k2＝ （＋）－2 .1a 2a k 1k[k 11]就是 当n ＝k ＋ 1 ， 也建立．依据①②可知，当n ≥2 ， 个数列的通 公式是2a n ＝ n（ n － 1）2.1， n ＝ 1，所以 个数列的通 公式a n ＝n 2（ n －1） 2， n ≥ 2.。

2.3 数学归纳法课时过关·能力提升 基础巩固1用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3,n ∈N *),第一步应验证( ) A.当n=1时,不等式成立B.当n=2时,不等式成立C.当n=3时,不等式成立D.当n=4时,不等式成立解析由题知n 的最小值为3,所以第一步验证当n=3时,不等式成立,选C .答案C2已知f (n )=1n +1n+1+1n+2+…+1n 2,则( ) A.f (n )共有n 项,当n=2时,f (2)=12+13B.f (n )共有(n+1)项,当n=2时,f (2)=12+13+14C.f (n )共有(n 2-n )项,当n=2时,f (2)=12+13D.f (n )共有(n 2-n+1)项,当n=2时,f (2)=12+13+14 解析由题意知f (n )的最后一项的分母为n 2,故f (2)=12+13+122,排除选项A,选项C. 又f (n )=1n+0+1n+1+…+1n+(n 2-n ), 所以f (n )的项数为n 2-n+1.故选D.答案D3已知n 为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13−14+…+1n -1−1n =2(1n+2+1n+4+ (12))时,若已假设当n=k (k ≥2,且为偶数)时,命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.当n=k+1时,等式成立B.当n=k+2时,等式成立C.当n=2k+2时,等式成立D.当n=2(k+2)时,等式成立解析因为假设n=k (k ≥2,且为偶数),故下一个偶数为k+2,故选B.答案B4用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n -1>12764(n ∈N *)成立,其初始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10 解析左边=1+12+14+…+12n -1=1-12n 1-12=2-12n -1,代入验证可知n 的最小值是8. 答案B 5用数学归纳法证明1-12+13−14+…+12n -1−12n =1n+1+1n+2+…+12n ,则当n=k+1时,等式左边应在n=k 的基础上加上( )A.12k+2 B.-12k+2 C.12k+1−12k+2 D.12k+1+12k+2 解析当n=k 时,左边=1-12+13−14+…+12k -1−12k ,当n=k+1时,左边=1-12+13−14+…+12k -1−12k +12k+1−12k+2. 答案C 6用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,x n +y n 能被x+y 整除”,当第二步假设n=2k-1(k ∈N *)命题为真时,进而需证n= 时,命题为真.解析因为n 为正奇数,所以奇数2k-1之后的奇数是2k+1.答案2k+17在用数学归纳法证明“34n+2+52n+1(n ∈N *)能被14整除”的过程中,当n=k+1时,式子34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为 .答案(34k+2+52k+1)34+52k+1(52-34)8用数学归纳法证明122+132+142+…+1n 2<1-1n (n ≥2,n ∈N *). 分析验证当n=2时不等式成立→假设当n=k 时不等式成立→证明当n=k+1时不等式成立→结论证明(1)当n=2时,左边=122=14,右边=1-12=12. 因为14<12,所以不等式成立.(2)假设当n=k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式成立,即122+132+142+ (1)2<1-1k , 则当n=k+1时,122+132+142+ (1)2+1(k+1)2<1-1k +1(k+1)2=1-(k+1)2-k k (k+1)2=1-k 2+k+1k (k+1)2<1-k (k+1)k (k+1)2 =1-1k+1. 所以当n=k+1时,不等式也成立.综上所述,对任意n ≥2的正整数,不等式都成立.9用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n (3n+1)=n (n+1)2(其中n ∈N *).证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k (k ∈N *)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k (3k+1)=k (k+1)2,则当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k (3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k (k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k 2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2, 即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n ∈N *都成立.能力提升1某同学解答“用数学归纳法证明√n (n +1)<n+1(n ∈N *)”的过程如下:证明:①当n=1时,显然命题是正确的;②假设当n=k (k ≥1,k ∈N *)时,有√k (k +1)<k+1,则当n=k+1时,√(k +1)2+(k +1)=√k 2+3k +2<√k 2+4k +4=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由①②可知对于n ∈N *,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误的原因在于( )A.从n=k 到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设B.假设的写法不正确C.从n=k 到n=k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析由分析证明过程中的②可知,从n=k 到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设,故该证法不能叫数学归纳法,选A . 答案A2用数学归纳法证明“凸n (n ≥3,n ∈N *)边形的内角和公式”时,由n=k 到n=k+1增加的是( )A.π2B.πC.3π2D.2π解析如图,由n=k 到n=k+1时,凸n 边形的内角和增加的是∠1+∠2+∠3=π,故选B.答案B3用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n )=2n ·1·3·…·(2n-1),从n=k 到n=k+1,左边需要增乘的代数式为( )A.2k+1B.2(2k+1)C.2k+1k+1D.2k+3k+1解析当n=k 时,等式左边为(k+1)(k+2)·…·(k+k ),而当n=k+1时,等式左边为(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)·(k+3)·…·(k+k+2),前边少了一项(k+1),后边多了两项(k+k+1)(k+k+2),故增乘的代数式为(k+k+1)(k+k+2)k+1=2(2k+1). 答案B★4某个与正整数有关的命题:若当n=k (k ∈N *)时,命题成立,则可以推出当n=k+1时,该命题也成立.现已知当n=5时,命题不成立,则可以推得( )A.当n=4时,命题不成立B.当n=6时,命题不成立C.当n=4时,命题成立D.当n=6时,命题成立解析“若n=k 时,命题成立,则n=k+1时,该命题也成立”的等价命题是“若n=k+1时,命题不成立,则n=k 时,命题也不成立.”故选A.答案A★5用数学归纳法证明“n 3+5n 能被6整除”的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为 .解析采取凑配法,凑出归纳假设k 3+5k 来,(k+1)3+5(k+1)=k 3+3k 2+3k+1+5k+5=(k 3+5k )+3k (k+1)+6.答案(k 3+5k )+3k (k+1)+66设实数c>0,整数p>1,n ∈N *.(1)用数学归纳法证明:当x>-1,且x ≠0时,(1+x )p >1+px ;(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ,a n+1=p -1p a n +c p a n 1-p ,证明:a n >a n+1>c 1p . 证明(1)①当p=2时,(1+x )2=1+2x+x 2>1+2x ,原不等式成立.②假设当p=k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式(1+x )k >1+kx 成立.则当p=k+1时,(1+x )k+1=(1+x )(1+x )k >(1+x )(1+kx )=1+(k+1)x+kx 2>1+(k+1)x.所以当p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>-1,x ≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x )p >1+px 均成立.(2)先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n=1时,由题设a 1>c 1p 知a n >c 1p 成立.②假设当n=k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >c 1p 成立.由a n+1=p -1p a n +c p a n 1-p 及a 1>c 1p >0,易知a n >0,n ∈N *.则当n=k+1时,a k+1a k =p -1p +c p a k -p =1+1p (c a k p -1). 由a k >c 1p >0,得-1<-1p <1p (c a k p -1)<0. 由(1)中的结论得(a k+1a k )p =[1+1p (c a k p -1)]p >1+p ·1p (c a k p -1)=c a k p .因此a k+1p >c ,即a k+1>c 1p . 所以当n=k+1时,不等式a n >c 1p 也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >c 1p 均成立.因此a n+1>c 1p 也成立. 再由a n+1a n =1+1p (c a n p -1)可得a n+1a n <1, 即a n+1<a n .综上所述,a n >a n+1>c 1p ,n ∈N *.7已知集合X={1,2,3},Y n ={1,2,3,…,n }(n ∈N *),设S n ={(a ,b )|a 整除b 或b 整除a ,a ∈X ,b ∈Y n }.令f (n )表示集合S n 所含元素的个数.(1)写出f (6)的值;(2)当n ≥6时,写出f (n )的表达式,并用数学归纳法证明.解(1)f (6)=13.(2)当n ≥6时,f (n )={ n +2+(n 2+n 3),n =6t ,n +2+(n -12+n -13),n =6t +1,n +2+(n 2+n -23),n =6t +2,n +2+(n -12+n 3),n =6t +3,n +2+(n 2+n -13),n =6t +4,n +2+(n -12+n -23),n =6t +5(t ∈N *). 下面用数学归纳法证明: ①当n=6时,f (6)=6+2+62+63=13,结论成立;②假设当n=k (k ≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k 的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t ,则k=6(t-1)+5,此时有f (k+1)=f (k )+3=k+2+k -12+k -23+ 3=(k+1)+2+k+12+k+13,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t ,此时有f (k+1)=f (k )+1=k+2+k 2+k 3+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-13,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k -12+k -13+2 =(k+1)+2+k+12+(k+1)-23,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k 2+k -23+2=(k+1)+2+(k+1)-12+k+13,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k -12+k 3+2=(k+1)+2+k+12+(k+1)-13,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有 f (k+1)=f (k )+1=k+2+k 2+k -13+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-23,结论成立.综上所述,结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.。

高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明2.3数学归纳法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在用数学归纳法证明时，在验证当时，等式左边为（ ）A ．1B ．C ．D ． 2．用数学归纳法证明，当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．3．用数学归纳法证明()()()12321121n n n +++++=++时，从n k =到1n k =+，左边需增添的代数式是（ ） A ．22k + B ．23k +C ．21k +D ．()()2223k k +++4．1++21n -由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项5．用数学归纳法证明()412135N n n n +++∈能被8整除时，当1n k =+时，()()41121135k k +++++可变形为（ ）A ．()4141215632535k k k +++⋅++ B ．412135k k +++ C ．4412213355k k ++⨯+⨯ D ．()41212535k k +++6．用数学归纳法证明()11111223341n n ++++=⋅⋅⋅+由n k =到1n k =+，不等式左端应增加的式子为（ ）A ．()11k k +B ．()()()11112k k k k ++++ C ．()12k k + D ．()()112k k ++ 7．用数学归纳法证明“对一切*n N ∈，都有222n n >-”这一命题，证明过程中应验证 A ．1n =时命题成立B ．1n =，2n=时命题成立 C ．3n =时命题成立D ．1n =，2n =，3n =时命题成立 8()*1n n ≤+∈N ，某学生的证明过程如下：（1）当1n =11≤+，不等式成立． （2）假设n k =()*n ∈N1k <+，则1n k =+时，()11k =<==++， ∴当1n k =+时，不等式成立，上述证法（ ）A ．过程全都正确B ．1n =验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n k =到1n k =+的推理不正确 二、填空题9．用数学归纳法证明“221n n >+对于0n n ≥的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取_____________．10．用数学归纳法证明22n n n a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭（,a b 是非负实数，*n ∈N ）时，假设n k =命题成立之后，证明1n k =+命题也成立的关键是________．11．用数学归纳法证明()(1)(2)()21221n n n n n n ++⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯-，从n k =到1n k =+，左边需要增乘的代数式为___________.三、解答题12．已知数列{}n a 满足21n n S a n +=+.（1）写出1a ，2a ，3a ，并推测n a 的表达式.（2）用数学归纳法证明所得的结论.13 14．已知{()}n f x 满足1()0)f x x =>，11()[()]n n f x f f x +=．（1）求23(),()f x f x ，并猜想()n f x 的表达式；（2）用数学归纳法证明对()n f x 的猜想.参考答案1．C【解析】根据数学归纳法的步骤可知，当时，等式的左边应为，故选C. 考点：数学归纳法.2．D【详解】当n k =时，等式左端，当1n k =+时，等式左端，增加的项为()21k ++，故选D ．考点：数学归纳法．3．D【解析】当n k =时，原式左侧为()12321k +++++，当1n k =+时，原式左侧为123[2(1)1]k ++++++，所当从n k =到1n k =+，左边需增添的代数式是()()2223k k +++，故选D ．考点：数学归纳法．4．D【解析】当n k =时，不等式的左侧为1111++++21k -，当1n k =+时，不等式的左侧11111++2122121k k k k +++++-+-，所以n k =变成1n k =+时，左边增1121k +++-考点：数学归纳法.5．A【解析】当1n k =+时，()()41121144121413533255563k k k k k ++++++++=⨯+⨯=⋅ ()41212535k k ++++，两个表达式都能被8整除，故选A ．考点：数学归纳法．6．D【解析】当n k =时，左边=()11111223341k k ++++⋅⋅⋅+， 当1n k =+时，左边=()()()11111122334112k k k k +++++⋅⋅⋅+++， ∴由n k =递推到1n k =+时等式左边增加了()()112k k ++. 考点：数学归纳法.7．D【解析】假设n k =时不等式成立，即222k k >-，当1n k =+时，1222k k +=⋅> ()222k -，()()2222212230k k k k -≥+-⇒--≥ ()()1303k k k ⇔+-≥⇒≥，因此需要验证1n =，2，3时命题成立．故选D ．【答案】D【解析】1n =的验证及归纳假设都正确，但从n k =到1n k =+的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故选D. 考点：数学归纳法.9．5【解析】由于n=1时，221n n =+；n=2时，221n n <+；n=3时，221n n <+；n=4时，221n n <+；n=5时，221n n >+.所以当5n ≥时，221n n >+成立. 考点：数学归纳法.10．两边同乘以2a b + 【解析】要想办法出现11k k a b +++，两边同乘以2a b +，右边也出现了要证的1.2k a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭考点：数学归纳法.11．2(21)k +【解析】由题意得，当n k =时，等式的左边为(1)(2)()k k k k ++++，当1n k =+时，等式的左边为(11)(12)(11)(2)(3)(2)k k k k k k k k ++++⋅⋅+++=++⋅⋅++，则从n k =到1n k =+，左边需要增乘的代数式为(2)2)()k k k k ⋅⋅++⋅⋅+考点：数学归纳法.12．（1）132a =，274a =，3158a =，122n n a =- （2）详见解析 【解析】（1）将n=1，2，3分别代入可得132a =，274a =，3158a =，猜想122n n a =-. （2）①由（1）得n=1时，命题成立；②假设n=k 时，命题成立，即122k ka =-， 那么当1n k =+时，()1211211k k k a a a a a k ++++⋯+++=++， 且1221k k a a a k a ++⋯+=+-，所以()121221123k k k a a k k ++-+=++=+，所以112222k k a +=+-，11122k k a ++=-，即当1n k =+时，命题也成立. 根据①②得，对一切n ∈N *，122n n a =-都成立. 考点：数学归纳法.13．详见解析【解析】（ⅰ）当1=n 时，左边=1112=，右边=3411214=+⨯⨯，左边<右边，即不等式成立； （ⅱ）假设*()n k k =∈N 时，不等式成立，即222211114123421k k k ++++⋅⋅⋅+<+， 则当1+=k n 时，22222211111411234(1)21(1)k k k k k ++++⋅⋅⋅++<++++， 问题可通过证明1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k 来实现. 要证32441)1(2)1(4)1(11242++=+++<+++k k k k k k k ， 只需证1243244)1(12+-++<+k k k k k ，只需证)12)(32(4)1(12++<+k k k 只需证2)1(4)32)(12(+<++k k k ，只需证22483484k k k k ++<++，只需证43<，∵43<显然成立，∴1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k ， 即当1+=k n 是不等式也成立. 由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于一切的n *∈N ，不等式恒成立. 考点：数学归纳法的证明.14．（1）2()f x =3()f x =，()n f x = （2）证明见解析 【解析】（1）221111221)(1)()]([)(x x x f x f x f f x f +=+==， 222221331)(1)()]([)(x xx f x f x f f x f +=+==，n ∈*N ）. （2n ∈*N ）. ①当1=n 时，211)(x xx f +=，显然成立；②假设当(n k k =∈*N ）时，猜想成立，即21)(kx xx f k +=，则当1+=k n时，11()[()]k k f x f f x +===即对1+=k n 时，猜想也成立. 结合①②可知，猜想21)(nx xx f n +=对一切n ∈*N 都成立. 考点：合情推理与演绎推理，数学归纳法．。

2.3 数学概括法0102 n 0 ( 例1．数学概括法的内容以下： 一个□ 与正整数有关的命题， 假如 (1) □当 n 取第一个值 03 *，且 k ≥n 0) 时结论正确，能够证明如 n 0＝ 1 或 n 0＝ 2 等 ) 时结论正确， (2) □ 假定当 n ＝ k ( k ∈N 当 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确，那么能够判定□ 04 * 且 n ≥ n 的所有正整数都建立．这个命题对 n ∈ N2．数学概括法的步骤中， 第一步的作用是□05递推的基础， 第二步的作用是□06递推的依照．3．数学概括法本质上是□07演绎推理法的一种，它是一种□08严格的证明方法，它只好□09证明结论，不可以发现结论，并且只好证明□10与正整数有关的命题．4．常把概括法和数学概括法联合起来，形成□11概括—猜想—证明的思想方法，既能够□ 12发现结论，又能□13给出严格的证明，构成一套完好的数学研究的思想方法．5．用数学概括法证明命题时，两步□ 14缺一不行，并且在第二步的推理证明中一定用□15归纳假定，不然不是数学概括法．对数学概括法本质的理解数学概括法可能与同学们从前所接触的证明方法差异很大，为了达到“知其然，知其所以然”的成效，可对照以下问题理解数学概括法的本质．(1)有 n 个骨牌排成以下图的一排，现推倒第一张骨牌，会有什么现象？(2)要使骨牌所有倒下，骨牌的摆放有什么要求？( 骨牌的间距不大于骨牌的高度 )(3) 这样做的原由是什么？这样摆放能够达到什么样的成效？( 前一张骨牌倒下，适合的间距致使后一张骨牌也倒下)(4)假如推倒的不是第一张骨牌，而是其余地点上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5) 能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？( 经过察看和思虑，能够获得的结论是：①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则后来面的一张骨牌必然倒下)第一张骨牌利用②利用②利用②第二张骨牌第三张骨牌被推倒――→ 被推倒――→ 被推倒――→运用类比的方法，我们不难将推倒骨牌的原理进行迁徙、升华，从而获得数学概括法证明的步骤：(1)当 n＝1时，结论建立；(2)假定当 n＝ k 时结论建立，证明 n＝ k＋1时结论也必然建立．当＝1时利用 2当＝2时利用2当＝3时利用 2n――→n――→n――→结论建立结论建立结论建立1．判一判 ( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 与正整数n 有关的数学命题的证明只好用数学概括法．()(2) 数学概括法的第一步n 0 的初始值必定为 1.()(3) 数学概括法的两个步骤缺一不行． ()答案 (1) × (2) × (3) √2．做一做1 1 1 1(1) 已知 f ( n ) ＝ n ＋ n ＋ 1＋n ＋ 2＋ ＋ n 2，则 f ( n ) 共有 ________项， f (2) ＝ ________. (2) 定义一种运算“ * ”，关于正整数n ，知足以下运算性质：① 1].(3) 设 S k ＝ 1 ＋ 1 ＋1 ＋ ＋ 1，则 S k ＋1＝ ________( 用含 S k 的代数式表示 ) ． k ＋ 1 k ＋ 2 k ＋ 3 2k 答案 (1)21 1 1 n － 1n－ ＋ 1＋ ＋(2)2 ×3n 2341 1(3)S k ＋2k ＋ 1－2k ＋ 2研究 1 用数学概括法证明等式问题例 1已知 n ∈ N * ，用数学概括法证明：1 1 1 1 1 1 1 11－ 2＋ 3－ 4＋ ＋ 2n － 1－ 2n ＝ n ＋ 1＋n ＋ 2＋ ＋ 2n .[证明]①当＝1 时，左侧＝ 1－ 1＝ 1，右侧＝ 1，命题建立．n 2 2 2*， k ≥1) 时命题建立，即 ②假定当 n ＝ k ( k ∈ N1 1 1 1 1 1 1 11－ 2＋ 3－4＋ ＋ 2k － 1－ 2k ＝ k ＋ 1＋k ＋ 2＋ ＋ 2k . 那么当 n ＝ k ＋ 1 时，1 1 1 11111111左侧＝ 1 － 2＋ 3－ 4＋ ＋2k － 1－2k ＋2k ＋ 1－2k ＋ 2＝k ＋ 1＋k ＋ 2＋ ＋2k ＋2k ＋ 1－1 ＝ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 －2 1 ＝ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 ＋21 ＋ 12 ＋ 2k ＋ 2k＋ 3 2k2 ＋ 1k＋ 1k＋ 2k＋ 2k＋3 2k＋ 1 2k＋2k k k＝右侧．故当 n＝k＋1时，命题也建立．综上可知，命题对全部非零自然数都建立．拓展提高用数学概括法证明与正整数有关的等式问题时，重点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值能否有关，由n＝k 到n＝k＋1时，等式两边会增添多少项．1 1 1 1 n＋1【追踪训练1】用数学概括法证明： 1－ 4 1－9 · 1－161－n2＝2n ( n≥2，n ∈N*) ．证明①当 n＝2时，1 3，右侧＝2＋1 3左侧＝ 1－＝4 ＝，4 2×2 4∴左侧＝右侧．∴当n＝2时，等式建立．②假定当 n＝ k( k≥2， k∈N*)时，等式建立，1 1 1＝k＋1即1－ 1－9 1－ 22k，4 k那么，当n＝ k＋1时，1 1 1 11－4 1－91－k2 1－k＋1 2k＋1 1 k＋1 k k＋2 k＋2＝2k 1－k＋1 2 ＝2k·k＋1 2 ＝2 k＋1k＋1＋1＝2 k＋ 1 ，即当 n＝k＋1时，等式也建立．依据①②可知，等式对随意n≥2， n∈N*都建立．研究 2 用数学概括法证明不等式问题例 2 证明不等式1＋1＋1＋＋1<2 n( n∈N* ) ．2 3 n[证明] ①当 n＝1时，左侧＝1，右侧＝ 2. 左侧 <右侧，不等式建立．②假定当 n＝ k( k∈N*)时，不等式建立，即 1＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1<2 k .2 3k则当 n ＝k ＋ 1 时，1＋1111＋＋ ＋＋2 3 k k ＋1<2 k ＋ 12 k k ＋ 1＋1＝ k ＋ 1k ＋1<k2＋ k ＋ 1 2＋1 2 k ＋1k ＋ 1.k ＋ 1＝＝ 2k ＋ 1∴当 n ＝k ＋ 1 时，不等式建立．由①②可知，原不等式对随意∈ N * 都建立．n拓展提高用数学概括法证明不等式常常比证明恒等式难度更大些，方法更灵巧些，用数学概括法证明的第二步，即已知f ( k )>g ( k ) ，求证 f ( k ＋ 1)> g ( k ＋ 1) 时应注意灵巧运用证明不等式的一般方法 ( 比较法、剖析法、综合法) ．详细证明过程中要注意以下两点：(1) 先凑假定，作等价变换；(2) 对准当 n ＝ k ＋1 时的递推目标，有目的地放缩、剖析直到凑出结论． 【追踪训练 2】用数学概括法证明 1＋n≤1＋ 1＋ 1＋ ＋ 1n ≤ 1＋ ( ∈N *) ．22 32 n n211 1证明 ①当 n ＝ 1 时， 1＋ 2≤1＋ 21≤ 2＋131 3∴ 2≤1＋ 2≤ 2，命题建立．②假定当 n ＝ k* k1 1 11 ( k ∈ N ) 时命题建立，即1＋≤1＋ ＋ ＋ ＋k≤ ＋ k ，22 322则当 n ＝k ＋ 1 时，1 1111 ＋ ＋k 11＋ ＋ ＋ ＋k＋ k＋ kk2 32 2 ＋1 2＋ 2 2 ＋ 2≥1＋ k111 2＋ 2k＋ 1＋2k＋ 2＋ ＋2k ＋2kk 1 11>1＋ 2＋2k ＋ 2k ＋ 2k ＋ 2k ＋ ＋ 2k ＋ 2kkk1k ＋1＝ 1＋ 2＋ 2 · 2k ＋1＝ 1＋ 2.1＋ 1 1 1 1 1 1又 2＋3＋ ＋2k ＋ 2k ＋ 1＋2k ＋ 2＋ ＋ 2k ＋ 2k1 1 1 1≤ 2＋ k ＋ 2k ＋ 1＋ 2k ＋ 2＋ ＋ 2k ＋2k1 1 11< ＋ k ＋ k ＋ k ＋ ＋ k22 2 21k11＝ 2＋ k ＋ 2 · 2k ＝ 2＋ ( k ＋ 1) ， 即 n ＝ k ＋ 1 时，命题建立．由①和②可知，命题对所有 n ∈ N * 都建立．研究 3 用数学概括法证明整除性问题例 3 用数学概括法证明2n ＋ 1n ＋ 2能被 13 整除，此中 *4＋ 3 n ∈ N .[证明]证法一：①当 n ＝1 时， 42×1＋1 ＋31＋2＝ 91 能被 13 整除，故结论建立．②假定当 n ＝ k ( k ≥1，且 k ∈ N * ) 时， 42k ＋1＋ 3k ＋2 能被 13 整除，则当 n ＝ k ＋1 时，4 2( k ＋ 1) ＋ 1k ＋ 32k ＋ 1 23 k ＋ 22k ＋ 1 2k ＋ 1 2k ＋ 1 2k ＋ 1 ＋ k ＋2，＋ 3 ＝ 4·4＋·3－ 4·3＋ 4 ·3＝ 4 ·13＋ 3(43 ) 由于4 2k ＋ 1·13 能被 13 整除， 4 2k ＋ 1＋3 k ＋2能被 13 整除，kkk能被 13 整除．因此 42＋1·13＋ 3(4 2＋1＋3 ＋2) 因此当 n ＝ k ＋ 1 时命题也建立，由①②知，当 n ∈N * 时， 42n ＋1＋ 3n ＋2 能被 13 整除．证法二：①当 n ＝1 时， 42×1＋1＋ 31＋2＝ 91 能被 13 整除，故结论建立．②假定当 n ＝ k ( k ≥1，且 k ∈ N * ) 时，即 42k ＋1＋ 3k ＋2 能被 13 整除，则当 n ＝k ＋ 1 时，[4 2(k ＋ 1) ＋1＋ 3k ＋3] － (4 2k ＋ 1＋ 3k ＋2)＝ (4 2k ＋ 12k ＋ 2－ (4 2k ＋ 1k ＋ 2·4＋ 3 ·3) ＋ 3 )＝ 42k ＋1·13＋ 2(4 2k ＋ 1＋ 3k ＋2) ．2k ＋ 1能被 13 整除， 2k ＋ 1k ＋ 2整除，因此 [42( k ＋ 1) ＋ 1k ＋ 32k ＋1k ＋由于 4·13 4 ＋ 3 能被 13 ＋3 ] －(4＋322( k ＋ 1) ＋ 1k ＋ 3能被 13 整除．) 能被 13 整除，因此 4 ＋ 3因此当 n ＝ k ＋ 1 时命题也建立．由①②知，当 n ∈N * 时， 42n ＋1＋ 3n ＋2 能被 13 整除．拓展提高在推证 n ＝ k ＋1 时，为了凑出概括假定，采纳了“增减项”技巧，因此证明整除性问题的重点是“凑项”，采纳增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出＝ k 时的情况，从而利n用概括假定使问题得证．【追踪训练 3】 用数学概括法证明：62n －1＋ 1 能被 7 整除，此中 n ∈ N * .证明①当 n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．②假定当 n＝ k( k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当 n＝ k＋1时，62( k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(6 2k－1＋ 1) －35.∵62k－1＋ 1 能被 7 整除， 35 也能被 7 整除，∴当 n＝k＋1时，62( k＋1)－1＋1能被7整除．由①②知命题建立．1.数列中的概括—猜想—证明，是对学生察看、剖析、概括论证能力的综合考察，是近几年理科高考的热门之一．解此类问题，需要从特别下手，经过察看、剖析、概括、猜想，研究一般规律 .2.数学概括法是一种只合用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格并且规范，两个步骤缺一不行．第一步是递推的基础，第二步是递推的依照，第二步中，概括假定起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中必定要运用它，不然就不是数学概括法．第二步的重点是“一凑假定，二凑结论”.3. 在用数学概括法证明问题的过程中，还要注意从k→k＋1时命题中的项与项数的变化，防备对项数估量错误.1．用数学概括法证明3n≥n3( n≥3，n∈N* ) ，第一步考证()A．n＝1 B ．n＝2 C ．n＝3 D ．n＝ 4答案 C分析由题知， n 的最小值为3，因此第一步考证n＝3能否建立．2．关于不等式n2＋ n<n＋1( n∈N*)，某同学应用数学概括法的证明过程以下：(1)当 n＝1时，12＋1<1＋1，不等式建立．(2)假定当 n＝ k( k∈N*)时，不等式建立，即 k2＋ k<k＋1，则当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝( k＋1)＋1，∴当 n＝k＋1时，不等式建立．则上述证法 ()A．过程所有正确B．n＝1 验得不正确C．概括假定不正确D．从n＝k到n＝k＋ 1 的推理不正确答案 D分析从 n＝ k 到 n＝ k＋1的推理过程中未用到(2) 中假定，因此不正确，应选 D.3．用数学概括法证明2 2 2 2＋ ( n－ 1)2 2 2n 2n2＋1( n∈1 ＋2 ＋＋( n－ 1) ＋n ＋＋ 2 ＋ 1 ＝ 3N* ) 时，由n＝k的假定到证明n＝ k＋1时，等式左侧应增添的式子是________．答案( k＋ 1) 2＋k2分析当 n＝ k 时，左侧＝12＋22＋＋( k－1)2＋ k2＋( k－1)2＋＋22＋12.当 n＝ k＋1时，左侧＝12＋ 22＋＋k2＋ ( k＋ 1) 2＋ k2＋( k－1)2＋＋22＋12，因此左侧增添的式子为( k＋1) 2＋k2 .4．用数学概括法证明：( n＋ 1)( n＋2) (n＋n) ＝ 2n×1×3× × (2 n－1)( n∈N*)时，从“ n＝k 到 n＝k＋1”时，左侧应增乘的代数式为 ________．答案2(2 k＋ 1)分析当 n＝ k( k∈N*)时，左侧＝( k＋1)( k＋2) (k＋ k)，当 n＝ k＋1 时，左侧＝ ( k＋1＋ 1)( k＋1＋2) (k＋1＋k－1)( k＋1＋ k)( k＋1＋ k＋1)，2 ＋ 1 2 k ＋ 2则左侧应增乘的式子是k ＝2(2 k＋ 1) ，k＋1故答案为 2(2 k＋1) ．3 3 3 1 2 2 *5．用数学概括法证明： 1 ＋2＋＋ n ＝4n ( n＋1) ( n∈N )．证明①当 n＝1时，左侧＝13＝ 1，1 2 2右侧＝4×1×(1 ＋ 1) ＝ 1，等式建立．②假定当 n＝ k( k∈N*)时，等式建立，即 13＋ 23＋＋k3＝1k2 ( k＋ 1) 2， 4那么当 n＝ k＋1时，13＋23＋＋ k3＋( k＋1)3 1＝4k2( k＋1)2＋( k＋1)321 2＝ ( k＋1)4k＋k＋1高中数学选修2-2第二章推理科与证明2.3数学归纳法讲义-版本：人教A 版高中数学选修2- 11 / 111 2 2＝ 4( k ＋1) ( k ＋ 2) 1＝ 4( k ＋1) 2[( k ＋ 1) ＋1] 2.即当 n ＝k ＋ 1 时，等式也建立．依据①②可知，等式对随意 n ∈ N * 都建立 .。