有理数中的新定义运算

有理数中的“新定义运算”“新定义运算”是近几年各省市中考题中普遍出现的新题型，它以精巧、别致、活泼的命题方式，能很好的考察学生观察、分析、概括与综合能力，倍受命题人的青睐。

现在我们分析几以例抛砖引玉，以探究这种题型的具体特点。

例1 如果用四则运算的加法和除法定义一种新运算，对任意有理数a 、b ，a ⊕b 2b a +=，试计算1(⊕)9⊕9(⊕)5的值。

分析：对照定义的新运算，指的是两个有理数之间存在的一种新的运算关系，用代入法解答即可。

解：∵a ⊕b 2b a +=，即指“⊕”的定义为计算出前后两个数的平均数，所以1(⊕)95291=+=，9(⊕)57259=+=，∴原式5=⊕62757=+=。

例2 观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号），如1!1=,2!12⨯=,3!123⨯⨯=,4!1234⨯⨯⨯=,……,请计算：=!98!100 。

解析：通过已经给出的几例可以观察到，“！”是指连续的自然数的乘积，从1乘到此数为止，则99001991001239798123979899100!98!100=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 。

例3 设B A AB B A ++=*，例如1132323*2=++⨯=，那么由此我们可以解答出=9*)9*)9*1(( 。

析解：解本题的关键是理解B A AB B A ++=*的意义，由于B A AB B A ++=*，即“*”定义的新运算求两数的积再与两数的和，则1991919*1=++⨯=，1999199199*199*)9*1(=++⨯==，则原式1999919991999*199=++⨯==。

例4 用“↑”定义新运算：对于任意的有理数a 、b ，都有12+=↑b b a ，例如：1714472=+=↑，那么=↑35 ，当m 代表任意一个数时，试求=↑↑)2(m m 。

析解：新运算12+=↑b b a 定义的是求两数中后者的平方再与1的和，理解了它之后便不难解答了。

专题01 有理数无理数的概念及运算典例精选1．（新罗区校级自主招生）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：①（a，b）＝（c，d），当且仅当a＝c，b＝d；②运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）＝（ac+bd，bc﹣ad）；③运算“θ”为：（a，b）θ（c，d）＝（a﹣c，b﹣d）．设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），则（1，2）θ（p，q）（ ）A．（﹣2，﹣2）B．（3，4）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【点拨】先根据（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），列方程组求p、q的值，再由规定运算“θ”求（1，2）θ（p，q）的结果．【解析】解：由规定②，得（1，2）⊗（p，q）＝（p+2q，2p﹣q），∵（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），∴（p+2q，2p﹣q）＝（11，2），由规定①，得p+2q=112p―q=2，解得p=3q=4，由规定③，可知（1，2）θ（p，q）＝（1，2）θ（3，4）＝（1﹣3，2﹣4）＝（﹣2，﹣2）．故选：A．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算．关键是理解规定运算，依照规定运算的要求，依次计算．2．（瓯海区校级自主招生）设a=a是（ ）A．无理数B．正整数C．分数D．负整数【点拨】根据根号里面的形式，可将里面的式子配成立方公式，然后开立方后合并即可得出答案．【解析】解：―62―1＝3×22×3×2×2―1，令x＝2，y=3x2y﹣3xy2﹣1，又∵x3﹣y3＝8﹣7＝1，∴原式＝3x2y﹣3xy2﹣（x3﹣y3）＝y3﹣x3+3x2y﹣3xy2＝（y﹣x）32）3．∴a=―2―=―2．故选：D．【点睛】此题考查了有理数无理数的运算及立方公式的知识，技巧性较强，解答本题的关键是熟练立方公式的形式，将根号里面的式子配成立方公式，然后运算．3．（新编）若自然数n使得做竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，使称n为“连绵数”，例如12是“连绵数”，因12+13+14不产生进位现象；但13不是“连绵数”．则小于1000的“连绵数”共（ ）个．A．27B．47C．48D．60【点拨】首先根据题意求出个位数和十位数满足的条件，然后根据能构成“连绵数”的条件求出小于1000的“连绵数”的个数．【解析】解：根据题意个位数需要满足要求：∵n+（n+1）+（n+2）＜10，即n＜2.3，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：3n ＜10，∴n ＜103，∴十位可以取0，1，2，3四个数，∵百位数需要满足：3n ＜10，∴n ＜103，∴百位可以取0，1，2，3四个数，故小于1000的连绵数共有3×4×4＝48个．故选：C ．【点睛】本题主要考查整数的十进制表示法的知识点，解答本题需要从个位数和十位数需要满足的要求着手．4．（镇海区校级自主招生）有四个命题：①如果两个整数的和与积都相等，那么这两个整数都等于2；②每一个角都等于179°的多边形是不存在的；③只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于12；④若α，β是不相等的无理数，则αβ+α﹣β是无理数．其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【点拨】根据整数的运算，多边形的内角、三角形的面积及有理数与无理数的知识，分别判断各选项即可得出答案．【解析】解：①如果两个整数的和与积相等，那么这两个整数都等于0或2，故命题错误；②每一个角都等于179°的多边形是360边形，是存在的，故命题错误；③当三边长分别为1、1时，满足面积等于12，且只有一条边大于1，故命题正确；④只要令α＝1β＝﹣1+αβ+α﹣β为有理数，故命题错误．综上可得③正确，共1个．故选：A．【点睛】本题综合考查了有理数及无理数的运算，三角形的面积及多边形的内角与外角的知识，关键是熟练整数的四则运算，三角形的面积计算，多边形的内角和定理的理解和运用，有一点的难度．5．（南充自主招生）若a、b为非零实数，下列说法正确的是（ ）A．a2―ab+14b2是非负数B．|a+b|≥|a﹣b|C．若a＞b，则1a ＜1 bD．（a+1）x＞b的解集为x＞b a1【点拨】利用完全平方的非负性可得出A是正确的，对于B、C、D可用不等式的性质进行求解判定．【解析】解：A、a2―ab+14b2=（a―12b）2，为非负数，故本选项正确；B、若a、b同号，则|a+b|≥|a﹣b|，若a、b异号，则|a+b|≤|a﹣b|，故本选项错误；C、若a＞0，b＜0，此时1a ＞1b，故本选项错误；D、若a+1＜0，此时（a+1）x＞b的解集为：x＜ba1，故本选项错误；故选：A．【点睛】此题考查了有理数无理数的概念与运算，涉及了不等式的性质完全平方的性质，解答本题注意“赋值法”的运用，难度一般．6．（瓯海区校级自主招生）如果78＜qp＜89，p，q是正整数，则p的最小值是（ ）A．15B．17C．72D．144【点拨】根据不等式先写出q的取值范围，根据q为正整数，结合选项判断p的最小值．【解析】解：由题意得，78p＜q＜89p，如果p＝15，则此时13.325＜q＜13.33，q没有正整数值；如果p＝17，则此时14.875＜q＜15.111，q可取15；如果p＝72，则此时63＜q＜64，q没有正整数值；如果p＝144，则此时126＜q＜128，q可取127；综上可得p的最小值为17．故选：B．【点睛】此题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是将原不等式进行转换，因为是选择题，我们可以将选项代入判断．7．（鹿城区校级自主招生）设p是给定的奇质数，正整数k k＝ ．（结果用含p的代数式表示）【点拨】由条件可以知道k2﹣pk n，k2﹣pk﹣n2＝0，k而p2+4n2是平方数，设为m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2，p是奇质数，p≥3，则m―2n=1m+2n=p2，可以得到m=p212n=p214代入就可以求出k值．n，k2﹣pk﹣n2＝0，k从而p2+4n2是平方数，设为m2，p2+4n2＝m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2∵p是质数，p≥3，∴m―2n=1m+2n=p2，解得：m=p21 2n=p21 4∴k=p±m2=2p±(p21)4，∴k1k2=(p1)24（负值舍去）故答案为：(p1)24【点睛】本题考查了有理数和无理数的意义的运用，质数的性质，正整数的意义及对相关概念的理解．8．（梁子湖区校级自主招生）已知函数y=f(x)=1，则f（1）+f（2）+…+f（511）＝　7　．【点拨】把原函数关系中的无理式变形得到y=12，然后把分子分母都乘以―1，得到f（x）=―x＝1，2，…，511分别代入后求和可得到f（1）+f（2）+…+f（511）=+―+⋯+=―512与1的立方根，即可得到答案．【解析】解：∵y=f(x)=1=1231=∴f（1）=―f （2）=…f （511）=∴f （1）+f （2）+…+f （511）=+―+⋯+=8﹣1＝7．故答案为7．【点睛】本题考查了立方差公式：（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝a 3﹣b 3．也考查了无理式的变形能力．9．（鹿城区校级自主招生）在平面直角坐标系中，点P 的坐标是+m +n)，m 、n 都是有理数，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，已知△OPH 的面积为1，其中O 为坐标原点，则有序数对（m ，n ）为　（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）　（写出所有满足条件的有序数对（m ，n ））．【点拨】由△OPH ，根据三角形的面积公式可以得到：12×+m ）+n ）＝然后根据m ，n 是有理数就可以求出m ，n 的值，最后求出有序数对（m ，n ）．【解析】解：∵S △OPH 1，∴12×m ）+n∴2m +n ）+mnm +n ﹣1）+mn +2＝0m +n +1）+mn +2＝0，∵m ，n 都是有理数，∴m +n ―1=0mn +2=0或m +n +1=0mn +2=0，解得：m =―1n =2，m =2n =―1，m =―2n =1，m =1n =―2；∴有序数对（m ，n ）为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．故答案为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．【点睛】此题考查了有理数的概念，点的坐标以及三角形的面积问题．此题难度较大，解此题的关键是利用了m，n是有理数来得到关于m，n的方程．10．（瓯海区校级自主招生）如果一个数能表示成x2+2xy+2y2（x，y是整数），我们称这个数为“好数”．（1）判断29是否为“好数”？（2）写出1，2，3，…，20中的“好数”．（3）如果m，n都是“好数”，求证：mn是“好数”．【点拨】（1）根据x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2可以得到好数特征，根据“好数”定义判断29是否为“好数”．（2）根据好数的定义判断1，2，3，…，20中的“好数”．（3）设m＝x2+2xy+2y2，n＝p2+2pq+2q2，化简mn＝[（x+y）（p+q）+qy]2+[q（x+y）﹣y（p+q）]2，令u+v ＝（x+y）（p+q）+qy，v＝q（x+y）﹣y（p+q），于是可以判断出mn为“好数”．【解析】解：（1）x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2，特征：“好数”是“好数”就是两个整数的平方和，而29＝52+22，故29是“好数”，（2）1，2，3，…，20中的“好数”的有1、2、4、5、8、9，10，13，16，17，18，20，（3）m＝x2+2xy+2y2，n＝p2+2pq+2q2．则mn＝（x2+2xy+2y2）（p2+2pq+2q2）＝[（x+y）2+y2][（p+q）2+q2]＝[（x+y）（p+q）+qy]2+[q（x+y）﹣y（p+q）]2，令u+v＝（x+y）（p+q）+qy，v＝q（x+y）﹣y（p+q）．那么mn＝（u+v）2+v2＝u2+2uv+2v2，因为x，y，p，q均为整数，所以（x+y）（p+q）+qy，q（x+y）﹣y（p+q）也为整数，所以u+v，v为整数，所以u，v为整数．因此mn为“好数”．【点睛】本题主要考查有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是掌握“好数”的定义和完全平方式的知识，难度不大．精准预测1．定义新运算*为a*b＝a+b―a×b4，那么20*20*2005*5*5＝（ ）A．0B．25C．15625D．2005【点拨】根据新定义求出20*20＝﹣60，然后再求出﹣60*2005*5*5的值即可．【解析】解：∵a*b＝a+b―a×b 4，∴20*20＝40﹣100＝﹣60，∴﹣60*2005＝1945+30075＝32020，∴32020*5＝﹣8000，∴﹣8000*5＝﹣7995+10000＝2005．故选：D．【点睛】本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是理解新运算，此题难度一般．2．已知|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4且|x﹣2y+z|＝9，则x2y2011z3的值是（ ）A．432B．576C．﹣432D．﹣576【点拨】由|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4，可得﹣3≤x≤3，﹣1≤y≤1，﹣4≤z≤4，又由|x﹣2y+z|＝9，即可得①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4，继而求得x2y2011z3的值．【解析】解：∵|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4，∴﹣3≤x≤3，﹣1≤y≤1，﹣4≤z≤4，∵|x﹣2y+z|＝9，∴①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4，∴x2y2011z3的值都是负的，∴x2y2011z3＝﹣9×1×64＝﹣576．故选：D．【点睛】此题属于有理数无理数的概念与运算的知识．此题难度适中，注意根据题意得到①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4是解此题的关键．3．如果a++b b是有理数，那么（ ）A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数【点拨】先把等式变形为a+b1﹣ab），再根据等式一边出现无理数则a，b中必有一个数为无理数即可进行解答．【解析】解：∵a++b=∴a+b=1﹣ab）等式一边出现无理数，若a，b均为有理数，则等式恒不成立，又∵b为有理数，∴a必为无理数．故选：C．【点睛】本题考查的是有理数及无理数的概念及运算，能把原式化为a+b=1﹣ab）的形式是解答此题的关键．4．设A为n位正整数，n≥2，B为k位正整数，k≥1，则可有n﹣1种办法把B整个地插入A的相邻两位数字之间，得到n+k位正整数C．例如A＝1991，B＝35，则有三种插法：C为135991或193591或199351．如果对每一个能被B整除的A，把B任意插入A得到的C能被B整除，就称B为协调数．则1、2、3、4、5、6、7、9、10、11、12、15、66、90这14个数中，共有（ ）个是协调数．A．6B．8C．10D．11【点拨】根据协调数所满足的条件，给每一个数赋一个A值，然后插入后得出C的值，进而可判断出这个数B是否为协调数，综合起来即可得出协调数的个数．【解析】解：（1）令A＝22，此时B＝1，C＝212，C能被B整除，故正确．（2）令A＝12，B＝2，C＝122，C能被B整除，故正确；（3）令A＝12，B＝3，C＝132，C不能被B整除，故错误；（4）令A＝12，B＝4，C＝124，C能被B整除，故正确；（5）令A＝25，B＝5，C＝255，C能被B整除，故正确；（6）令A＝18，B＝6，C＝168，C不能被B整除，故错误；（7）令A＝14，B＝7，C＝174，C不能被B整除，故错误；（8）令A＝18，B＝9，C＝198，C能被B整除，故正确；（9）令A＝20，B＝10，C＝2100，C能被B整除，故正确；（10）令A＝22，B＝11，C＝2112，C能被B整除，故正确；（11）令A＝24，B＝12，C＝2124，C能被B整除，故正确；（12）令A＝30，B＝15，C＝3150，C能被B整除，故正确；（13）令A＝132，B＝66，C＝13662，C能被B整除，故正确；（14）令A＝180，B＝90，C＝18900，C能被B整除，故正确．综上可得共有11个协调数．故选：D．【点睛】本题涉及了协调数这个新概念，比较新颖，难度一般，关键是理解协调数所满足的条件，另外在进行每一个数的判断时要细心，数比较多，很容易出错．5．设a＝1996，b＝9619，c＝1996，d＝6199，则此四个数的大小关系为（ ）A．a＞b＞c＞d B．d＞a＞b＞c C．c＜d＜a＜b D．b＞c＞d＞a【点拨】由a＝1996＝36148，可判断出a和b的大小关系，将d变成2162161993，可判断出c和d的大小，进而结合选项利用排除法即可得出答案．【解析】解：a＝1996＝36148，b＝9619，∴a＞b，又∵c＝1996，d=216199 3，∴d＞c，结合选项可得只有B符合．故选：B．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念及计算，关键是将幂指数转化为底数使底数改变，从而达到比较大小的目的，有一定的技巧，难度较大．6．在分数1567，2567，3567，…，567567中把所有的最简分数相加，和为（ ）A．284B．283C．163D．162【点拨】567＝3×3×3×3×7，从而可得只要分子中是3或7的倍数就不是最简分数，求和时去掉这些数，然后利用分组法求解即可得出答案．【解析】解：∵567＝3×3×3×3×7，∴只要分子中是3或7的倍数就不是最简分数，故简分数分子的和为：（1+2+3+...+567）﹣（3+6+9+...+567）﹣（7+14+21+...+567）+（21+42+ (567)＝（1+567）×5672―3（1+2+...+189）﹣7（1+2+...+81）+21（1+2+ (27)＝284×567﹣3（1+189）×189/2﹣7（1+81）×81/2+21（1+27）×27/2＝284×567﹣95×567﹣41×567+14×567＝162×567．所以，所有的最简分数相加，和为162．故选：D．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是根据567的约数找出所有的最简分数，难点在于将剩余的分数利用分组法求和．7．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，ba，b，的形式，则a1992+b1993＝　2　．【点拨】根据三个有理数互不相等，又可以用两种方法表示，也就是这两组数分别对应相等，利用互斥原理，即可推理出a、b的值．【解析】解：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，ba，b的形式，也就是说这两个三数组分别对应相等，于是可以断定，a+b与a中有一个为0，ba与b中有一个为1，但若a＝0，会使ba没意义，所以a≠0，只能是a+b＝0，即a＝﹣b，又a≠0，则ba=―1，由于0，ba，b为两两不相等的有理数，在ba=―1的情况下，只能是b＝1．于是a＝﹣1．所以，a1992+b1993＝（﹣1）1992+（1）1993＝1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了有理数与无理数的概念与运算，利用互斥原理，逐步进行推理得出正确结果是解题的关键．8．设S=999999)(12110)(13110)⋯(17110)，则S的整数部分为　1　．【点拨】将原式化为乘法，再约分计算即可解答．【解析】解：S=499599999(12110)(13110)⋯(17110)=103×104×105×106×107×10899×99×99×99×99×99×110×110×110×110×110×110 103×104×105×106×107×108=10696=（109）6＝1.8816…．故答案为1．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则及约分的方法是解答本题的关键．9．计算：(244444 (111111．【点拨】观察(244444(111111，发现规律：均包含有x4+14的形式，因而对其进行因式分解得（x2﹣x+12）（x2+x+12）．将此规律运用到原式中，通过对分子、分母约分化简，最后求出原式的值．【解析】解：x4+14=[（x2）2+x2+14]﹣x2＝（x2+12）2﹣x2＝（x2+12+x）（x2+12―x），原式=52×132×252×412×592×852×1132×1452×1812×2212 12×52×132×252×412×592×852×1132×1452×1812=221212=221．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算，发现规律：均包含有x4+14的形式，因而对其进行因式分解得（x2﹣x+12）（x2+x+12）是解题关键．10．计算：1+2+22+23+ (21999)【点拨】根据后项比前项都等于2，每项都乘以2，可得新代数式的和，根据两式相减，可得所求和的相反数，根据等式的性质，可得答案．。

七年级定义新运算例题及答案在初中数学中，我们通常会学习从一些特定的数学概念以及运算法则来定义新的运算方式。

在七年级数学学习中，我们也要学习一些新的运算方式。

下面就让我们一起来看看七年级定义新运算例题及答案。

一、集合的新运算在七年级数学中，我们学习了集合的概念和有关的运算法则，并学会了两个关于集合的基本运算：并集和交集。

此外，我们还要学习新的运算：补集和差集。

1. 补集对于一个集合A，它在另一个集合B中的补集就是B中不包含A元素的所有元素所组成的集合。

用符号表示的话，可以表示成B-A。

例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4,5}，则B-A={4,5}。

2. 差集对于两个集合A和B，它们的差集就是属于A但不属于B的元素所组成的集合。

用符号表示的话，可以表示成A-B或A\B。

例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4,5}，则A-B={1}或A\B={1}。

二、有理数的新运算在七年级数学中，我们学习了有理数的概念和有关的运算法则，并学会了加法、减法、乘法和除法运算。

此外，我们还要学习新的运算：相反数和绝对值。

1. 相反数对于一个有理数a，它的相反数是一个数-b，它们的和等于0。

用符号表示的话，可以表示成b=-a。

例如，2的相反数是-2，-1的相反数是1。

2. 绝对值对于一个有理数a，它的绝对值表示a到0的距离。

用符号表示的话，可以表示成|a|。

例如，|-3|=3，|2|=2。

三、平方根的新运算在七年级数学中，我们还要学习平方根的概念和有关的运算法则。

我们已知的运算有两种：平方和开方运算。

在这里，我们要再学一种运算：非负实数的平方根。

1. 非负实数的平方根对于一个非负实数a，它的平方根是一个数x，它的平方等于a。

用符号表示的话，可以表示成x=√a。

例如，√4=2，√9=3。

以上就是七年级定义新运算例题及答案的内容。

虽然这些运算看起来很简单，但是在实际运用中还是需要我们去理解和掌握。

只有深入了解这些新的运算方式，才能更好地理解数学中更复杂的知识点。

七年级数学-上册有理数定义新运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题。

1．定义一种新运算()2ab a b =+⨯，计算()35-的值为（ ） A ．7 B ．4- C ．1 D ．42．定义a b ∨表示a 、b 两数中较大的一个，a b ∧表示a 、b 两数中较小的一个，则(5052)(4951)-∨-∨-∧的结果是（ ）A ．50-B ．52-C ．49-D ．513．对于整数a ，b ，c ，d 定义运算a a d cb bcd =-，则2354的值等于（ ） A ．7 B ．7- C ．2 D ．2-4．对于有理数a 、b 定义一种新运算“⊙”，规定a ⊙b =|a +b |+|a -b |，则（2-）⊙3的值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．25．现定义运算“⊙”对于任意两个整数，a ⊙b =a +b -1，则1⊙(3⊙5)的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．若a ，b 都是有理数，定义一种新运算“☆”，规定()()a b a b -+-☆＝，则()24-☆ 的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣67．七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：2a b ab a ⊕=+．则1(3)42⎛⎫-⊕-⊕= ⎪⎝⎭（ ）． A ．13- B ．6 C ．24 D ．308．现定义运算：对于任意有理数a 、b ，都有23a b a b ⊗=-，如：2131338⊗=-⨯=-，则()523-⊗-⊗的值为（ ）A ．20B ．25C ．38D ．40 9．定义运算11b a b a ⊗=+，比如11523236⊗=+=，下面给出了关于这种运算的几个结论：⊙()1236⊗-=；⊙此运算中的字母均不能取零；⊙a b b a ⊗=⊗；⊙()a b c a c b c ⊗+=⊗+⊗，其中正确是（ ）A ．⊙⊙⊙B ．⊙⊙⊙C ．⊙⊙⊙D ．⊙⊙⊙二、填空题10．定义一种新运算：*a b a b b+=，请你根据这一运算规则计算：2*(3)-=___________； 11．定义一种新运算⊙，即(2)3m n m n ∆=+⨯-，根据规定求6(3)∆-=_____．12．对有理数,a b ，定义运算★如下，+a b b a a b=★，则48-=★________． 13．定义一种新运算“K 运算”，对有理数a ，b ，规定：()2(1)12(1)a b ab a aKb ab ba b ab ⎧-+>⎪⎪=-=⎨⎪-<⎪⎩，其中“K 运算”的运算顺序为：同级运算，依次从左至右进行（可类比有理数的四则运算顺序），则()()231129353K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的运算结果是_________． 14．新定义一种运算：22a b a b =-，例如：2(1)3(1)23165-=--⨯=-=-，则(2)(1)--=_______．三、解答题15．现定义一种新运算：a b ab a b ⊗=+-，如13=13+131⊗⨯-=．(1)求()256⎡⎤⎣-⎦⊗⊗；(2)新定义的运算满足交换律吗？试以()43-⊗和()34⊗-举例说明．16．对于任意有理数a 、b ，定义一种新运算“⊕”，规则如下：()a b ab a b ⊕=+-，例如()3232327⊕=⨯+-=，求()543-⊕⊕⎡⎤⎣⎦．17．用“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定22a b b ab =+★，如：214421424=+⨯⨯=★．求(4)3-★的值．18．定义新运算：对于任意有理数a ，b ．都有()a b a a b b ⊕=--．等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：()353(35)5=325=11⊕=⨯--⨯---(1)求()32⊕-的值；(2)求2(1)4⊕-⊕的值．19．在数轴上有A 、B 两点，点B 表示的数为b ．对点A 给出如下定义：当0b ≥时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；当0b <时，将点A 向左移动b 个单位长度，得到点P ．称点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”．如图，点A 表示的数为1-．(1)在图中画出当6b =时，点A 关于点B 的“伴侣点”P ；(2)当点P 表示的数为6-，若点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”，则点B 表示的数 ；(3)点A 从数轴上表示1-的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B 从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒．⊙点B 表示的数为 （用含t 的式子表示）；⊙是否存在t ，使得此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．20．在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“⊗”：2a b c a b c a b c --+++⊗⊗=，例如()()-123-123-12352--+++⊗⊗==． (1)计算：()()4-28⊗⊗+；(2)计算：()113-73⎛⎫⊗⊗+ ⎪⎝⎭； (3)已知 67-，57-，，17-，0，19，29，，89这十五个数中．从中任取三个数作为 a ，b ，c 的值，进行“a b c ⊗⊗”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ．参考答案：1．D【分析】根据新定义运算的运算法则列式进行计算即可．【详解】解：⊙()2a b a b =+⨯，⊙()()3535222 4.-=-+⨯=⨯=故选D ．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，理解新定义的含义是解本题的关键．2．C【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】解：根据题中的新定义得：(5052)(4951)-∨-∨-∧(50)(49)=-∨-49=-．故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的比较大小，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．B【分析】根据a bd c =ac ﹣bd ，可以计算出所求式子的值．【详解】解：⊙a bd c =ac ﹣bd ， ⊙2354＝2×4﹣3×5＝8﹣15＝﹣7，故选：B ．【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．A【分析】利用题中的新定义的运算法则、有理数的加减运算法则、化简绝对值的知识即可解答．【详解】解：由题意得：（-2）⊙3=|（-2）+3|+|（-2）-3|=1+5=6．故选A ．【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，理解新定义运算则和有理数混合运算法则是解本题的关键．5．A【分析】根据新定义运算代入，即可求解．【详解】解：根据题意得：3⊙5=3+5-1=7，⊙1⊙(3⊙5)= 1⊙7=1+7-1=7．故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，理解新定义运算是解题的关键．6．B【分析】把相应的值代入新运算中，然后根据有理数的加减运算法则进行求解即可．【详解】解：()24-☆＝()()24+---＝24-＝﹣2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算法则、新定义运算法则等知识点，正确理解新定义的运算是解答本题的关键．7．C 【分析】根据新定义先计算142-⊕，再计算()(3)10-⊕-即可求解． 【详解】解：⊙2a b ab a ⊕=+． ⊙11442(4)281022-⊕=-⨯+⨯-=--=- ⊙1(3)42⎛⎫-⊕-⊕ ⎪⎝⎭ ()(3)10=-⊕-3(10)2(3)=-⨯-+⨯-306=-=24．故选：C ．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．8．D【分析】根据题意写出算式，利用有理数的混合运算法则计算；【详解】解：()523-⊗-⊗，()2=5233⎡⎤-⊗--⨯⎣⎦， ()=55-⊗-，()()2=535--⨯-， =40，故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及新定义，正确理解新定义，能根据新定义的意思列出算式是解题的关键．9．B【分析】根据题目中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．【详解】⊙()23⊗-=1123-=16，⊙正确； ⊙⊙11b a b a ⊗=+，⊙0a ≠且0b ≠，⊙⊙正确； ⊙⊙11b a b a ⊗=+，11b a b a⊗=+， ⊙a b b a ⊗=⊗，⊙⊙正确；⊙⊙()a b c ⊗+=11a b c++ ，a c b c ⊗+⊗= 1111121a c b c a c b +++=++， ⊙a b c a c b c ⊗+≠⊗+⊗（），⊙⊙错误．综上，正确的结论为⊙⊙⊙，故选B ．【点睛】本题考查了新定义运算，熟练利用新定义运算的运算法则计算各项是解决问题的关键．10．13【分析】代入新定义运算，即可求解．【详解】解：根据题意得：()2312*333--==-． 故答案为：13 【点睛】本题考查了新定义下的有理数混合运算，理解新运算的定义是解题关键．11．27【分析】根据新定义列出算式6(3)(62)3(3)∆-=+⨯--，再进一步计算即可．【详解】解：6(3)∆-(62)3(3)=+⨯--833=⨯+243=+27=，故答案为：27．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则．12．8- 【分析】根据新定义运算的法则先列式4848,48-⨯-=-+★再计算即可． 【详解】解：⊙+a b b a a b =★， ⊙4832488,484-⨯--===--+★ 故答案为：8.-【点睛】本题考查的是新定义运算，掌握“有理数的加减乘除混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 13．2059##7229【分析】根据()231211,213533⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()231254129935393K K K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再由2541001001932727⎛⎫⨯-=-=> ⎪⎝⎭，可得2546299939K K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，然后根据629626219-⨯=-=>，即可求解．【详解】解：⊙()231211,213533⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ⊙21235525313353539K -⎛⎫-=-=⨯= ⎪⎝⎭，()112422223333K ⎛⎫⎛⎫--=--⨯-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⊙()()231254129935393K K K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⊙2541001001932727⎛⎫⨯-=-=> ⎪⎝⎭， ⊙25425450126229393999K ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ⊙2546299939K K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ⊙629626219-⨯=-=>， ⊙626212420592999999K ⎛⎫-=-⨯-+=+= ⎪⎝⎭， 即()()2312051293539K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故答案为：2059【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键．14．6【分析】根据新定义的运算求解即可．【详解】解：根据新定义，可得2(2)(1)(2)2(1)426--=--⨯-=+=．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数运算，理解新定义下运算是解题关键．15．(1)125-(2)不满足交换律，举例见解析【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得答案；（2）不满足，分别计算()43-⊗和()34⊗-说明即可．【详解】（1）解：根据题中的新定义得：()256⎡⎤⎣-⎦⊗⊗()25256=-⨯--⊗()176=-⊗176176=-⨯--125=-；（2）新定义的运算不满足交换律，例如：()43434319-⊗=-⨯--=-；()()()34343412345⊗-=⨯-+--=-++=-，⊙195-≠-，⊙()()4334-⊗≠⊗-，则不满足交换律．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．119-【分析】根据公式直接计算即可．【详解】解：()543-⊕⊕⎡⎤⎣⎦()()54543=-⨯+--⊕⎡⎤⎣⎦293=-⊕()293293=-⨯+--119=-【点睛】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，正确理解公式及所求式子中对应的a 与b 的值是解题的关键．17．−15【分析】根据新定义列式计算即可．【详解】解：2(4)332(4)3-=+⨯-⨯★924=-15=-【点睛】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，根据新定义列出算式是解答本题的关键．18．(1)17；(2)17．【分析】（1）利用题中的新定义化简，计算即可求出值；（2）利用题中的新定义化简，计算即可求出值．【详解】（1）解：由题意可知：()323(32)217⊕-=⨯++=．（2）解：()2(1)=221+1=7-⨯+⊕，()74=7744=17⨯--⊕．【点睛】本题考查新定义问题，掌握有理数的混合运算法则，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键．19．(1)画图见解析(2)5-(3)⊙82t -；⊙存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合【分析】（1）当6b =时，0b ≥，将点A 向右移动2个单位长度，由此求出点P 表示的数，并作图即可；（2）根据点A 和点P 表示的数可知，点P 是由点A 向左平移5个单位得到的，据此求解即可；（3）⊙根据点B 的运动方向和运动速度即可求解；⊙运动的时间为t 秒时，点A 表示的数为1t -+，点B 表示的数为82t -，分为点B 在原点右侧和原点左侧两种情况讨论即可．【详解】（1）解：当6b =时，0b ≥，将点A 向右移动2个单位长度，此时点P 表示的数为：121-+=，作图如下：（2）解：⊙点P 表示的数为6-，点A 表示的数为1-，第11页，共12页⊙点P 是点A 向左移动5个单位长度得到的， ⊙5b =且0b <，⊙=5b -，⊙点B 表示的数为5-，故答案为：5-；（3）解：⊙点B 从数轴上表示8的位置出发，以每秒2个单位的速度向左运动t 秒，则点B 表示的数为82t -， 故答案为：82t -；⊙解：存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合，理由如下：运动的时间为t 秒时，点A 表示的数为1t -+，点B 表示的数为82t -，分两种情况：当04t <≤时，820t -≥，此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 表示的数为：121t t -++=+，由于0t >，故10t +>，不可能与原点重合；当4t >时，820t -<，此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 表示的数为：()1821281287t t t t t t t -+--=-+--=-+-+=-，⊙当7t =时，点P 与原点重合，综上，存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合．【点睛】本题考查了绝对值的化简，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题以及有理数的加减法，注意分类讨论．20．(1)6(2)3 (3)67-【分析】（1）直接代入公式计算即可；（2）直接代入公式计算即可；（3）分析a b c --为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可．【详解】（1）原式=()()4284282---++-+=6；（2）原式=()()11113737332---++-+第12页，共12页 =()19113-7332+++=3；（3）当a b c --为非负数时，a b c ⊗⊗=2a b c a b c a --+++=， ⊙当6-7a =时，abc ⊗⊗的最小值为6-7； 当a b c --为负数时，a b c ⊗⊗=-2a b c a b c b c +++++=+， ⊙当b c +的值最小时，a b c ⊗⊗的值最小；⊙a b c --为负数，⊙＜a b c +，由于a 最小取6-7， ⊙67b c +-＞， 综上可得，a b c ⊗⊗的最小值为6-7． 【点睛】本题考查了正负数的运算、绝对值运算、代数式的求值等，解题关键是正确代入数值计算，求最小值时应进行分类讨论。

有理数中的“新定义运算”例1 如果用四则运算的加法和除法定义一种新运算，对任意有理数、，⊕，试计算⊕⊕⊕的值。

解：∵⊕，即指“⊕”的定义为计算出前后两个数的平均数，所以⊕，⊕，∴原式⊕。

例2 观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号），如1!,2!,3!,4!,……,请计算： 。

解析：通过已经给出的几例可以观察到，“！”是指连续的自然数的乘积，从1乘到此数为止，则。

8．x，y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y＝6×x＋5×y，x△y＝3×x×y，那么（-2*3）△（-4）＝_______9. 设，例如，那么由此我们可以解答出 。

10.定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b）①求5※7②求（-12）※（3※）练习二1. 用“”定义新运算：对于任意的有理数、，都有，例如：，那么 ，当代表任意一个数时，试求 。

2、 在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“”如下：当时，，当时，，则当时，的值为 。

（“”和“-”仍为运算中的乘4、对于有理数a、b定义运算※，a※b=,例如4＞2，4※2=4²-4×2=8，则（-3）※（-2）= .5、对于正数x，规定f(x)= ，例如：f(4)= ，f( )= = ，则f(2012)+f(2011)+…+f(2)+f(1)+f( 1 2 )+…+f( 1/ 2011 )+f( 1/2012)=______．6、已知、满足，；其中表示不大于的最大整数，表示的小数部分，即，那么。

7．对于数x，y规定运算“○”为x○y=（x+4）×（y-3）．求8○9的值．8.已知：1※6=1×2×3×4×5×6，6※5=6×7×8×9×10，按此规定，计算（2※5）＋（6※4）9.如果有一种运算符号“△”：猫△猫=猫，狗△狗=狗，猫△狗=狗，狗△猫=狗；另有一种运算符号“□”：猫□猫=猫，狗□狗=狗，猫□狗=猫，狗□猫=猫。

期末新定义题型复习（解析版）类型一有理数中的新定义1．（2022秋•尤溪县）七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a．则(−3)⊕(−4⊕12)=（）A．﹣13B．6C．24D．30思路引领：根据新定义先计算−4⊕12，再计算（﹣3）⊕（﹣10）即可求解．解：由题意得：(−3)⊕(−4⊕12)＝（﹣3）⊕[﹣4×12+2×（﹣4）]＝（﹣3）⊕（﹣2﹣8）＝（﹣3）⊕（﹣10）＝﹣3×（﹣10）+2×（﹣3）＝30﹣6＝24．故选：C．总结提升：本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．2．（2022秋•新吴区期中）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝a b﹣ab，则﹣1※2022的值（）A．2023B．2022C．﹣2023D．﹣2021思路引领：根据新运算得出﹣1※2022＝﹣（12022﹣1×2022），再根据有理数的运算法则进行计算即可．解：﹣1※2022＝（﹣1）2022﹣（﹣1）×2022＝1+2022＝2023，故选：A．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键．3．（2022秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k （其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26，则：若n＝49，则第2022次“F运算”的结果是（）A．31B．49C．62D．98思路引领：根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可．解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算，即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，即152÷23＝19（奇数），再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），再进行F②运算，即98÷21＝49，再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，2022÷6＝337，则第2022次“F运算”的结果是49．故选：B．总结提升：本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．4．（2022秋•越秀区校级月考）已知a、b皆为有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，a ※b＝2a；当a＜b时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣[（﹣2）※3]等于（）A．﹣2B．5C．﹣6D．10思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值．解：根据题中的新定义得：3※2＝2×3＝6，（﹣2）※3＝2×3﹣（﹣2）＝6+2＝8，则原式＝6﹣8＝﹣2．故选：A．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．（2022秋•靖江市校级月考）对于有理数a 、b 定义一种新运算“⊙”，规定a ⊙b ＝|a +b |+|a ﹣b |，则（﹣2）⊙3的值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．2思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值．解：根据题中的新定义得： 原式＝|﹣2+3|+|﹣2﹣3| ＝1+5 ＝6． 故选：A ．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6．（2022秋•鄞州区校级期中）正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”．例如153，13+53+33＝153，因此“153”为“水仙花数”，则下列各数中：①370，②371，③407，④502，“水仙花数”的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4思路引领：根据正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”，分别判断得出答案即可． 解：①∵33+73+03＝370，∴370为“水仙花数”，故此选项正确； ②∵33+73+13＝371，∴371为“水仙花数”，故此选项正确； ③∵43+03+73＝407，∴407为“水仙花数”，故此选项正确； ④∵53+03+23≠502，∴546不是“水仙花数”，故此选项错误． 故选：C ．总结提升：此题主要考查了有理数的混合运算，有理数的乘方以及新定义，根据“水仙花数”的定义得出是解题关键．7．（2022秋•江阴市期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a ，b 满足a *b ={2a −b ，a ≥b a −2b ，a ＜b ．如5*3＝2×5﹣3＝7，12*1=12−2×1=−32，若x *3＝5，则有理数x 的值为（ ） A ．4 B ．11 C ．4或11 D ．1或11思路引领：分x ≥3与x ＜3两种情况求解． 解：当x ≥3，则x *3＝2x ﹣3＝5，x ＝4； 当x ＜3，则x *3＝x ﹣2×3＝5，x ＝11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去．即：若x*3＝5，则有理数x的值为4，故选：A．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题目所给的定义中包含的运算及运算顺序．类型二整式加减中的新定义8．（2022秋•黄浦区期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例[32]=12，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为．思路引领：根据定义的新运算可得a﹣1＝b+1+1，从而可得a﹣b＝3，然后利用整体的思想进行计算即可解答．解：当a＞0，b＜0时，[a]＝[b]+1，∴a﹣1＝b+1+1，∴a﹣b＝3，∴（b﹣a）3﹣3a+3b＝﹣（a﹣b）3﹣3（a﹣b）＝﹣33﹣3×3＝﹣27﹣9＝﹣36，故答案为：﹣36．总结提升：本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．9．（2022秋•浦东新区期中）定义a﹣b＝0，则称a、b互容，若2x2﹣2与x+4互容，则6x2﹣3x﹣9＝．思路引领：先根据新定义求出2x2﹣x＝6，再把6x2﹣3x﹣9化为3（2x2﹣x）﹣9的形式，整体代入计算即可．解：∵2x2﹣2与x+4互容，∴2x2﹣2﹣（x+4）＝0，∴2x2﹣x＝6，∴6x2﹣3x﹣9＝3（2x2﹣x）﹣9＝3×6﹣9＝9，故答案为：9．总结提升：本题考查了代数式的求值，掌握乘法分配律的逆运算，把（2x2﹣x）看做一个整体进行计算是解题关键．10．（2022秋•涪城区期中）定义如下运算程序，则输入a＝4，b＝﹣2时，输出的结果为．思路引领：由程序框图将a＝4，b＝﹣2代入a+b计算可得答案．解：∵a＝4，b＝﹣2，a＞b，∴输出结果为代入a+b＝4+（﹣2）＝2．故答案为：2．总结提升：此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2022•三水区校级三模）定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为平衡数，若2x2﹣2与x+4互为平衡数，则代数式6x2﹣3x﹣9＝．思路引领：根据题意，2x2﹣2与x+4互为平衡数，得2x2﹣2﹣x﹣4＝0，得到2x2﹣x＝6，即可求出答案．解：∵2x2﹣2与x+4互为平衡数，∴2x2﹣2﹣x﹣4＝0，∴2x2﹣x＝6，∴6x2﹣3x＝18，∴6x2﹣3x﹣9＝18﹣9＝9．故答案为：9．总结提升：本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．12．（2022秋•古田县期中）（1）先化简，后求值：−13x−2(x−13y2)+(−23x+13y2)：（其中x＝﹣2，y=2 3）．（2）定义一种新运算：观察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．①请你想想：a*b＝；②若a≠b，那么a*b b*a（填“＝”或“≠”）；③先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝1，b＝﹣7．思路引领：（1）先利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，再将x，y值代入运算即可；（2）①利用题干中各式中的规律解答即可；②利用①中的规律解答即可；③利用①中的规律得到关于a，b的关系式，化简后将a，b的值代入运算即可．解：（1）原式=−13x﹣2x+23y2−23x+13y2＝（−13−2−23）x+（23+13）y2＝﹣3x+y2，当x＝﹣2，y=23时，原式＝﹣3×（﹣2）+(2 3 )2＝6+4 9=589；（2）①a*b＝3a+b，故答案为：3a+b；②∵a*b＝3a+b，b*a＝3b+a，又∵a≠b，∴3a+b≠3b+a，∴a*b≠b*a，故答案为：≠；③（a﹣b）*（a+2b）＝3（a﹣b）+（a+2b）＝3a﹣3b+a+2b＝4a﹣b．当a＝1，b＝﹣7时，原式＝4×1﹣（﹣7）＝4+7＝11．总结提升：本题主要考查了整式的加减，化简求值，本题是阅读型题目，寻找题干中各式的规律并熟练应用是解题的关键．类型四一元一次方程中的新定义13．（2021秋•河口区期末）如果规定“*”的意义为：a*b=a+2b2（其中a，b为有理数），那么方程3*x =52的解是x ＝ ．思路引领：分析题意，运用定义的新运算法则，可得3*x =3+2x2；不难得出3+2x 2=52，解方程即可解答本题． 解：由题意得： 3*x =3+2x2， ∵3*x =52， ∴3+2x 2=52，解得x ＝1． 故答案为：1．总结提升：本题考查的是一道定义新运算的题目，需结合题中定义的新运算法则进行求解．14．（2021秋•如皋市期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x +9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解为x ＝﹣3，则方程3x +9＝0为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x 的一元一次方程3x +a ﹣b ＝0是妙解方程，则b ﹣a ＝ ． 思路引领：利用题中的新定义解答即可．解：解关于x 的一元一次方程3x +a ﹣b ＝0，得x =b−a3， ∵关于x 的一元一次方程3x +a ＝0是妙解方程， 3﹣（a ﹣b ）＝2×b−a3， 9+3（b ﹣a ）＝2（b ﹣a ）， ∴b ﹣a ＝﹣9． 故答案为：﹣9．总结提升：此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 15．（2022秋•隆安县期中）我们将|a b c d |这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是|a bc d|=ad ﹣bc ，例如|1234|=1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．（1）请你依此法则计算二阶行列式|3−243|．（2）请化简二阶行列式|2x −3x +224|，并求当x ＝4时二阶行列式的值．思路引领：（1）根据|a bc d|=ad ﹣bc ，可以求得所求式子的值；（2）根据|a bc d|=ad ﹣bc ，可以将题目中的式子化简，然后将x ＝4代入化简后的式子即可．解：（1）由题意可得， |3−243| ＝3×3﹣（﹣2）×4 ＝9+8 ＝17； （2）|2x −3x +224|＝4（2x ﹣3）﹣2（x +2） ＝8x ﹣12﹣2x ﹣4 ＝6x ﹣16，当x ＝4时，原式＝6×4﹣16＝24﹣16＝8．总结提升：本题考查整式的加减、有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会用新定义解答问题．16．（2022秋•西城区校级期中）定义如下：存在数a ，b ，使得等式a2+b 4=a+b 2+4成立，则称数a ，b 为一对“互助数”，记为（a ，b ）．比如：（0，0）是一对“互助数”． （1）若（1，b ）是一对“互助数”，则b 的值为 ；（2）若（﹣2，x ）是一对“互助数”，求代数式（﹣x 2+3x ﹣1）−15（−52x 2+5x ﹣15）的值；（3）若（m ，n ）是一对“互助数”，满足等式m −14n ﹣（6m +2n ﹣2）＝0，求m 和n 的值．思路引领：（1）根据“互助数”的定义即可求得b 的值；（2）根据“互助数”的定义求出x 的值，再对所求代数式进行去括号，合并同类项，最后把x 的值代入化简后的代数式中即可求解；（3）根据“互助数”的定义求得n ＝﹣4m ①，再将所求等式化简得−5m −94n +2=0②，将①代入②中即可求解．解：（1）∵（1，b ）是一对“互助数”， ∴12+b 4=1+b 2+4，解得：b ＝﹣4， 故答案为：﹣4；（2）∵（﹣2，x ）是一对“互助数”， ∴﹣1+x4=−2+x2+4，解得：x ＝8，（﹣x 2+3x ﹣1）−15（−52x 2+5x ﹣15） =−x 2+3x −1+12x 2−x +3 =−12x 2+2x +2， 当x ＝8时，原式=−12×64+16+2＝﹣14； （3）∵（m ，n ）是一对“互助数”， ∴m 2+n 4=m+n 2+4，化简得：n ＝﹣4m ①，由m −14n ﹣（6m +2n ﹣2）＝0化简得， −5m −94n +2=0②， 把①代入②中得，−5m −94×(−4m)+2=0， 解得：m =−12， 则n =−4×(−12)=2， ∴m =−12，n ＝2．总结提升：此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（2022秋•邗江区期中）定义：若a +b ＝6，则称a 与b 是关于6的实验数．（1）4与 是关于6的实验数； 与5﹣2x 是关于6的实验数．（用含x 的代数式表示）．（2）若a ＝x 2﹣4x +2，b ＝x 2﹣2（x 2﹣2x ﹣2），判断a 与b 是否是关于6的实验数，并说明理由．（3）若c ＝6x 2﹣8x +4，d ＝﹣2（3x 2﹣4x +k ），且c 与d 是关于6的实验数，求k 的值． 思路引领：（1）由4+2＝6，6﹣（5﹣2x ）可得答案；（2）列出算式a +b ＝a +b ＝x 2﹣4x +2+x 2﹣2（x 2﹣2x ﹣2 ）去括号、合并同类项得出其结果，判断结果是否等于3即可；（3）由c 与d 是关于6的实验数知c +d ＝6，据此可得6x 2﹣8x +4﹣2（3x 2﹣4x +k ）＝6，进一步求解可得答案．解：（1）∵4+2＝6，6﹣（5﹣2x ）＝1+2x ，∴4与2是关于6的实验数，1+2x 与5﹣2x 是关于6的实验数，故答案为：1+2x ；（2）a 与b 是关于6 的实验数，理由：∵a +b ＝x 2﹣4x +2+x 2﹣2（x 2﹣2x ﹣2 ） ＝x 2﹣4x +2+x 2﹣2x 2+4x +4 ＝6，∴a 与b 是关于6的实验数；（3）∵c 与d 是关于6的实验数，c ＝6x 2﹣8x +4，d ＝﹣2（3x 2﹣4x +k ）， ∴c +d ＝6x 2﹣8x +4﹣2（3x 2﹣4x +k ）＝6， 解得k ＝﹣1． ∴k 的值为﹣1．总结提升：本题主要考查整式的加减，解题的关键是理解并掌握实验数的定义及整式加减运算顺序和法则．18．（2022秋•丰泽区校级期中）定义：对于一个有理数x ，我们把[x ]称作x 的“⻘一值”．若x ≥0，则有理数x 的“⻘一值”[x ]＝x ﹣2；若x ＜0，则有理数x 的“⻘一值”[x ]＝x +2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1；[﹣1]＝﹣1+2＝1． （1）求有理数﹣2和32的“⻘一值”；（2）已知有理数a ＞0，b ＜0，且它们的“⻘一值”相等，则[a ]＝[b ]，试求代数式（b ﹣a ）2﹣2a +2b 的值；（3）对于一个有理数x ，满⻘⻘程：[2x ]+[x +1]＝4，请直接写出满⻘⻘程的解x 的值． 思路引领：（1）根据定义：若x ≥0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x +1；若x ＜0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x ﹣1，进行计算即可解答；（2）根据定义：若x ≥0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x +1；若x ＜0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x ﹣1，可得a ﹣b ＝﹣2，然后代入式子中，进行计算即可解答；（3）分三种情况：当x ≥0时，当﹣1≤x ＜0时，当x ＜﹣1时，然后分别进行计算即可解答．解：（1）[﹣2]＝﹣2﹣1＝﹣3； [32]=32+1=52，∴[﹣2]＝﹣3；[32]=52；（2）∵a ＞0，b ＜0， ∴[a ]＝a +1， [b ]＝b ﹣1， ∵[a ]＝[b ]，∴a+1＝b﹣1，∴a﹣b＝﹣2，∴（b﹣a）2﹣2a+2b＝（a﹣b）2﹣2（a﹣b）＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝4+4＝8；（3）分三种情况：当x≥0时，[2x]＝2x+1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x+1+x+2＝4，解得：x=1 3；当﹣1≤x＜0时，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x﹣1+x+2＝4，解得：x＝1（舍去）；当x＜﹣1时，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1﹣1＝x，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x﹣1+x＝4，解得：x=53（舍去）；综上所述：x=1 3．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算﹣化简求值，解一元一次方程，理解定义中的[x]称作x的“青一值”是解题的关键．19．（2021秋•桃江县期末）阅读材料：在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点P．对于两个不同的点M和N，若点M、N到点P的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点．如图7中，点M表示数﹣1，点N表示数3，它们与表示数1的点P的距离都是2个单位长度，则点M与点N 互为基准变换点．解决问题：（1）若点A表示数a，点B表示数b，且点A与点B互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题：①画图说明，当a＝0、4、﹣3时，b的值分别是多少？②利用（1）中的结论，探索a与b的关系，并用含a的式子表示b；③当a ＝2021时，求b 的值．（2）对点A 进行如下操作：先把点A 表示的数乘以52，再把所得的数表示的点沿数轴向左移动3个单位长度得到点B ，若点A 与点B 互为基准变换点，求点A 表示的数．思路引领：（1）①根据互为基准变换点的定义画图，即可得到答案； ②观察①可得a 与b 的关系； ③结合②，把a ＝2021代入即可；（2）表示出B 表示的数，再由点A 与点B 互为基准变换点列方程可得答案． 解：（1）①由图可得：a ＝0时，b ＝2，a ＝4时，b ＝﹣2，a ＝﹣3时，b ＝5； ②a 与b 的关系为a +b ＝2， ∴b ＝2﹣a ；③a ＝2021时，b ＝2﹣2021＝﹣2019； （2）设点A 表示的数为x ，根据题意得：52a ﹣3＝2﹣x ，解得：x =107， ∴点A 表示的数是107．总结提升：本题考查数轴及列代数式，解题的关键是读懂题意，理解互为基准变换点的定义．20．（2022秋•西城区校级期中）阅读下列材料：定义：已知点A ，B ，C 为数轴上任意三点，若CB =12CA ，则称点C 是[A ，B ]的相关点． 例如：如图1，点C 是[A ，B ]的相关点，点D 不是[A ，B ]的相关点，但点D 是[B ，A ]的相关点．根据这个定义解决下面问题：（1）如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 表示的数是﹣2，点N 表示的数是4，若点G 是[M ，N ]的相关点，则点G 表示的数是 ；（2）数轴上点E 所表示的数为﹣10，点F 所表示的数为20．一动点P 从点F 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，另一个动点Q 从点E 出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t 秒．问当t 为何值时，P 为[F ，Q ]的相关点？思路引领：（1）根据新定义列方程可得答案；（2）表示出P 表示的数是20﹣2t ，Q 表示的数是﹣10+t ，再根据新定义列方程可得答案． 解：（1）设点G 表示的数是x ，根据题意得：GN =12GM ，即|x ﹣4|=12[x ﹣（﹣2）]， 解得x ＝10或x ＝2， 故答案为：10或2；（2）P 表示的数是20﹣2t ，Q 表示的数是﹣10+t ， ∵P 为[F ，Q ]的相关点，∴PQ =12PF ，即|（20﹣2t ）﹣（﹣10+t ）|=12×2t ， 解得t ＝10或t ＝30，∴当t 为10或30时，P 为[F ，的相关点．总结提升：本题考查一元一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，能根据新定义列出方程解决问题．21．（2022秋•江都区期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x ﹣1＝3和x +1＝0为“美好方程”．（1）方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是“美好方程”吗？请说明理由； （2）若关于x 的方程x2+m =0与方程3x ﹣2＝x +4是“美好方程”，求m 的值；（3）若关于x 方程2x ﹣n +3＝0与x +5n ﹣1＝0是“美好方程”，求n 的值．思路引领：（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n 的方程解答即可． 解：（1）方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是“美好方程”，理由如下： 由4x ﹣（x +5）＝1，解得x ＝2； 由﹣2y ﹣y ＝3，解得y ＝﹣1．∵﹣1+2＝1，∴方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是“美好方程”． （2）由3x ﹣2＝x +4，解得x ＝3； 由x2+m =0解得x ＝﹣2m ．∵方程3x ﹣2＝x +4与方程x2+m =0是“美好方程”，∴﹣2m +3＝1， 解得m ＝1．（3）由2x ﹣n +3＝0，解得x =n−32； 由x +5n ﹣1＝0，解得x ＝1﹣5n ；∵关于x 方程2x ﹣n +3＝0与x +5n ﹣1＝0是“美好方程”， ∴n−32+1﹣5n ＝1，解得n =−13．总结提升：本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 22．（2022秋•大丰区期中）在数轴上有A 、B 两点，点B 表示的数为b ．对点A 给出如下定义：当b ≥0时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；当b ＜0时，将点A 向左移动|b |个单位长度，得到点P ．称点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”．如图，点A 表示的数为﹣1．（1）在图中画出当b ＝6关于点B 的“伴侣点”P ；（2）当点P 表示的数为﹣6，若点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”，则点B 表示的数 ； （3）点A 从数轴上表示﹣1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B 从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒．①点B 表示的数为 （用含t 的式子表示）；②是否存在t ，使得此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）求出P 表示的数，再画图即可； （2）根据已知可得B 运动后表示的数； （3）①根据左减右加即可解答；②分两种情况：当8﹣2t ≥0，P 表示的数是﹣1+t +2＝t +1＝0，当8﹣2t ＜0时，P 表示的数是：﹣1+t ﹣（2t ﹣8）＝7﹣t ＝0，即可得到答案． 解：（1）∵b ＝6＞0，∴将点A向右移动2个单位得到点p：﹣1+2＝1，∴点P表示的数为1，数轴表示如图：；（2）∵点P表示的数为﹣6，点P为点A关于点B的“伴侣点”P在点A的左边5个单位，∴|b|＝5，又∵b＜0，∴b＝﹣5，即点B表示的数为﹣5，故答案为：﹣5；（3）①点B表示的数为：8﹣2t，故答案为：8﹣2t；②存在，理由如下：根据题意得：点A表示的数为﹣1+t，当8﹣2t≥0时，解得t≤4，即将点A向右平移2个单位长度，得到点P，表示的数为：t+1，此时t+1＝0，解得：t＝﹣1，与t＞0不符，舍去；当8﹣2t＜0时，解得t＞4，即将A向左平移|b|个单位长度得点p为：﹣1+t﹣（2t﹣8）＝7﹣t，与原点重合，∴7﹣t＝0，解得：t＝7，即当t＝7时，点P与原点重合．总结提升：本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．23．（2022春•开福区校级月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，则m＝；（2）若关于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，则n ＝；（3）若关于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是关于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．思路引领：（1）根据“立信方程”的定义解答即可；（2）先求出x2+3x﹣4＝0的解，再把其中的解代入求解即可求n的解；（3）利用“立信方程”以及a和k为正整数求解．（1）∵2x+1＝1，解得x＝0；把x＝0代入1﹣2（x﹣m）＝3，得：1﹣2（0﹣m）＝3，∴1+2m＝3，解得：m＝1；（2）解方程x2+3x﹣4＝0，（x﹣1）（x+4）＝0，解得：x1＝1或x2＝﹣4，把x1＝1代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：6×1+2×12﹣3﹣n＝0，解得：n＝5；把x2＝﹣4代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：6×（﹣4）+2×（﹣4）2﹣3﹣n＝0，解得：n＝5；故满足条件的n的值为5．（3）因a为正整数，则a≠0，又∵ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4，∴x=2a2−3a−5+4 a，∵两方程均为立信方程，∴x的值为整数，∴4a为整数，∴此时a可取1，4，2，﹣1，﹣4，﹣2，∴x＝﹣2，16，﹣1，﹣4，38，7，同理9x﹣3＝kx+14，∴（9﹣k）x＝17，显然，此时k≠9，则x=179−k，∴9﹣k可取8，﹣810，26，∴此时x＝17，1，﹣17，﹣1，∴两方程相同的解为x＝﹣1，此时对应的a＝2，k＝26，故符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．总结提升：本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．类型四几何图形初步中的新定义24．（2020秋•上城区期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作d C※AB＝n．甲同学猜想：点C在线段AB上，若AC＝2BC；则d C※AB=2 3．乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则d C※AB=1 3．关于甲，乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．两人都正确D．两人都不正确思路引领：根据题意，由点C在线段AB上，若AC＝2BC，可得AC=23AB，故可判断甲；点C是线段AB的三等分点，则AC=13AB或AC=23AB，故可判断乙．解：∵点C在线段AB上，若AC＝2BC，∴AC=23AB，即n=23，∴d C※AB=23．故甲的猜想正确；∵点C是线段AB的三等分点，∴AC=13AB或AC=23AB，∴d C※AB=13或23．故乙的猜想不正确．故选：A．总结提升：25．定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题所有角都是指大于0°且小于180°的角）．如果有一个角的垂角等于这个角的补角的45，那么这个角的度数为（）A．150°B．130°C．30°或130°D．30°或150°思路引领：根据题意需分类讨论，根据题意中数量关系列出方程，从而解决此题．解：设这个角度数为x．当这个角大于它的垂角，则这个角的垂角为x﹣90°．∴x﹣90°=45(180°−x)．∴x＝130°．当这个角小于它的垂角，则这个角的垂角为90°+x．∴90°+x=45(180°−x)．∴x＝30°．综上：这个角的度数为130°或30°．故选：C．总结提升：本题主要考查解一元一次方程、绝对值，熟练掌握解一元一次方程是解决本题的关键．26．（2021春•长宁区校级期末）同一直线上有A、B、C三点，若点C、A之间的距离与点C、B之间的距离之比是1：2，则称点C为点A和点B的牛点．如果点P是点M和点N的牛点，且PM＝1，则MN＝．思路引领：根据两点间的距离分两种情况求解即可．解：（1）如图，∵PM：PN＝1：2，∴PM＝MN，∵PM＝1，∴MN＝1；（2）如图，∵PM：PN＝1：2且PM＝1，∴PN＝1×2＝2，∴MN＝PM+PN＝2+1＝3．故MN的长为3或1．故答案为：1或3．总结提升：此题考查了两点间的距离，根据题意分两种情况求解是解题的关键．27．（2021秋•兰山区期末）我们定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”．如：∠1＝110°，∠2＝50°，|∠1﹣∠2|＝60°，则∠1和∠2互为“正角”．如图，已知∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF＝60°，则图中互为“正角”的共有对．思路引领：根据“正角”的定义解答即可．解：∵∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∴∠AOC ＝∠BOC =12∠AOB =60°，∴∠AOB ﹣∠AOC ＝60°，∠AOB ﹣∠BOC ＝60°， 又∵∠EOF ＝60°， ∴∠AOB ﹣∠EOF ＝60°， ∵∠EOF ＝∠AOC ＝60°，∴∠AOF ﹣∠AOE ＝60°，∠AOF ﹣∠COF ＝60°， ∠BOE ﹣∠EOC ＝60°，∠BOE ﹣∠BOF ＝60°，∴图中互为“正角”的共有∠AOB 与∠AOC ，∠AOB 与∠BOC ，∠AOB 与∠EOF ，∠AOF 与∠AOE ，∠AOF 与∠COF ，∠BOE 与∠EOC ，∠BOE 与∠BOF 共7对． 故答案为：7总结提升：本题考查了角平分线的定义，理清题意是解答本题的关键．28．（2019秋•莆田期末）定义：若α﹣β＝90°，且90°＜α＜180°，则我们称β是α的差余角．例如：若α＝110°，则α的差余角β＝20°．（1）如图1，点O 在直线AB 上，射线OE 是∠BOC 的角平分线，若∠COE 是∠AOC 的差余角，求∠BOE 的度数；（2）如图2，点O 在直线AB 上，若∠BOC 是∠AOE 的差余角，那么∠BOC 与∠BOE 有什么数量关系；（3）如图3，点O 在直线AB 上，若∠COE 是∠AOC 的差余角，且OE 与OC 在直线AB 的同侧，∠AOC−∠BOC∠COE请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．思路引领：（1）根据角平分线的定义得到∠COE ＝∠BOE =12∠BOC ，根据题意得到∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOC −12∠BOC ＝90°，于是得到结论；α （2）根据角的和差即可得到结论；（3）如图3，由∠COE 是∠AOC 的差余角，得到∠AOC ＝90°+∠COE ，∠BOC ＝90°﹣∠COE ，如图4，由∠COE 是∠AOC 的差余角，得到∠AOC ＝90°+∠COE ，于是得到结论．解：（1）∵OE 是∠BOC 的角平分线， ∴∠COE ＝∠BOE =12∠BOC ， ∵∠COE 是∠AOC 的差余角，∴∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOC −12∠BOC ＝90°， ∵∠AOC +∠BOC ＝180°， ∴∠BOC ＝60°， ∴∠BOE ＝30°；（2）∵∠BOC 是∠AOE 的差余角，∴∠AOE ﹣∠BOC ＝∠AOC +∠COE ﹣∠COE ﹣∠BOE ＝∠AOC ﹣∠BOE ＝90°， ∵∠AOC +∠BOC ＝180°， ∴∠BOC +∠BOE ＝90°；（3）答：是，理由：如图3，∵∠COE 是∠AOC 的差余角， ∴∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOE ＝90°，∴∠AOC ＝90°+∠COE ，∠BOC ＝90°﹣∠COE ， ∴∠AOC−∠BOC∠COE=90°+∠COE−90°+∠COE∠COE=2（定值）；如图4，∵∠COE 是∠AOC 的差余角， ∴∠AOC ﹣∠COE ＝90°， ∴∠AOC ＝90°+∠COE ，∵∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣（90°+∠COE ）＝90°﹣∠COE ， ∴∠AOC−∠BOC∠COE=90°+∠COE−90°+∠COE∠COE=2（定值），综上所述，∠AOC−∠BOC∠COE为定值．总结提升：本题考查了余角和补角，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键． 29．（2021秋•松滋市期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝．（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O 以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．思路引领：（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB ﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论；（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式60−α=60+α2，即可求出α的值；（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角，∴∠COD=12∠AOB＝35°，∵∠AOC＝15°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；故答案为：20°．（2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α，∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOC＝63°+α，∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD，即63″﹣α=63°+α2，解得α＝21°，当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；（3）能，理由如下，由旋转可知，∠AOC ＝∠BOD ＝3°t ；根据题意可分以下四种情况： ①当射线OC 在∠AOB 内，如图4，此时，∠BOC ＝30°﹣3°t ，∠AOC ＝30°+3°t ， 则∠COB 是∠AOD 的内半角，∴∠COB =12∠AOD ，即30°﹣3°t =12（30°+3°t ）， 解得t =103（秒）； ②当射线OC 在∠AOB 外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC ＝3°t ﹣30°，∠AOC ＝30°+3°t ， 则∠COB 是∠AOD 的内半角，∴∠COB =12∠AOD ，即3°t ﹣30°=12（30°+3°t ）， 解得t ＝30（秒）；如图6，此时，∠BOC ＝360°﹣3°t +30°，∠AOC ＝360°﹣3°t ﹣30°， 则∠AOD 是∠BOC 的内半角，∴∠AOD =12∠BOC ，即360°﹣3°t ﹣30°=12（360°﹣3°t +30°）， 解得t ＝90（秒）；综上，在旋转一周的过程中，射线OA 、OB 、OC 、OD 构成内半角时，旋转的时间分别为：103秒；30秒；90秒．总结提升：本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．30．（2021秋•武侯区期末）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．【迁移运用】（1）如图1，射线PS（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；（2）如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD 的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．思路引领：（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；（2）①由题意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；②由题意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣∠AOD＝70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM＝2∠COD或∠COD＝2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．解：（1）∵PS平分∠RPT，∴∠RPS＝∠TPS，∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR＝2∠TPS．∴射线PT 是射线PS ，PR 的“双倍和谐线”． 故答案为：不是；是；（2）①由题意得：∠AOC ＝90°﹣4°t ，∠AOB ＝40°． ∵射线OA 是射线OB ，OC 的“双倍和谐线”， ∴∠AOC ＝2∠AOB 或∠AOB ＝2∠AOC ． 当∠AOC ＝2∠AOB 时，如图，则：90﹣4t ＝2×40． 解得：t =52．当∠AOB ＝2∠AOC 时，如图，则：40＝2（90﹣4t ）． 解得：t =352． 综上，当射线OA 是射线OB ，的“双倍和谐线”时，t 的值为52或352．②由题意得：∠CON ＝4°t ，∠AON ＝90°+2°t ，∠AOD ＝20°，∠DON ＝∠AON ﹣∠AOD ＝70°+2°t ．∵当射线OC 与射线OA 重合时，运动停止， ∴此时∠AON ＝∠CON ． ∴90+2t ＝4t ． ∴t ＝45．∴当t ＝45秒时，运动停止，此时∠AON ＝180°．∵射线OC 位于射线OD 左侧且射线OC 是射线OM ，OD 的“双倍和谐线”， ∴∠COM ＝2∠COD 或∠COD ＝2∠COM ． 当∠COM ＝2∠COD 时，如图，即：180°﹣∠CON＝2（∠CON﹣∠DON），则：180﹣4t＝2（4t﹣70﹣2t）．解得：t＝40．∴∠CON＝4°×40＝160°．当∠COD＝2∠COM时，如图，即：∠CON﹣∠DON＝2（180°﹣∠CON）．则：4t﹣（70+2t）＝2（180﹣4t）．解得：t＝43．∴∠CON＝4°×43＝172°．综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．总结提升：本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键．配套作业1．（2022秋•西城区校级期中）用“☆“定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x☆y＝a2x+ay﹣2（a为常数）．例如：4☆3＝a2×4+a•3﹣2＝4a2+3a﹣2．若1☆2＝3，则2☆4的值为（）A．6B．10C．8D．12思路引领：根据x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，可以得到a2+2a的值，然后将所求式子变形，再将a2+2a的值代入计算即可．解：∵x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，∴a2×1+a×2﹣2＝3，∴a2+2a﹣2＝3，∴a2+2a＝5，∴2☆4。