又见二进制

二进制的概念二进制是一种数字系统，基于仅使用两个数字0和1来表示数值。

这种系统在计算机科学和电子技术中至关重要，因为它是计算机内部信息处理和存储的基础。

1. 二进制的原理二进制使用0和1这两个数字来表示数值，这种数字系统是由计算机科学家发现的，并且被广泛应用于计算机系统中。

在二进制系统中，每个数字的位置都代表了一个权重，这样就可以通过权重的组合来表示不同的数值。

以十进制数为例，我们使用0~9这十个数字来表达数值。

在二进制系统中，我们仅使用0和1这两个数字，因此只有两个可能的数位。

2. 二进制表示法二进制使用位（bit）作为最小的单位来表示数值。

每一位上的数值都是0或1，整个二进制数值由这些位的组合来表示。

例如，1101可以表示为1个8（$2^3$）、1个4（$2^2$）、0个2（$2^1$）和1个1（$2^0$）的和。

3. 二进制与十进制的转换二进制和十进制之间的转换是常见的计算机科学操作。

将一个十进制数转换为二进制，可以通过不断地用2整除该数，并记录余数得到。

举个例子，将十进制数13转换为二进制数。

首先将13除以2，得到商6，余数为1。

将6再次除以2，得到商3，余数为0。

再将3除以2，得到商1，余数为1。

最后将1除以2，得到商0，余数为1。

然后我们将这些余数倒序排列，即可得到二进制数1101。

要将二进制数转换为十进制数，只需将每一位的数值与对应的权重相乘，并将它们相加即可得到结果。

4. 二进制在计算机中的应用二进制在计算机科学和电子技术中起着至关重要的作用。

计算机中的所有数据都使用二进制进行表示和存储。

因为计算机内部所有的操作都是电子信号的开关，而二进制能够非常准确地表示开关的状态。

计算机内部的中央处理器（CPU）由电子开关组成，这些开关只能处于两种状态：打开（1）或关闭（0）。

通过将这些开关按照特定的规则组合，我们可以进行各种复杂的运算和计算。

5. 二进制的优势二进制的优势之一是表示简单，容易理解。

二进制二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。

二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。

它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现。

当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。

计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0。

20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用，因为数字计算机只能识别和处理由‘0’.‘1’符号串组成的代码。

其运算模式正是二进制。

19世纪爱尔兰逻辑学家乔治布尔对逻辑命题的思考过程转化为对符号"0''.''1''的某种代数演算，二进制是逢2进位的进位制。

0、1是基本算符。

因为它只使用0、1两个数字符号，非常简单方便，易于用电子方式实现。

运算加法有四种情况： 0+0=00+1=11+0=11+1=100 进位为1减法0－0=0，1－0=1，1－1=0，0－1=1。

除法0÷1=0，1÷1=1。

乘法有四种情况：0×0=01×0=00×1=01×1=1优点（1）容易表示：二进制数只有“0”和“1”两个基本符号，易于用两种对立的物理状态表示。

例如，可用"1"表示电灯开关的“闭合”状态，用“0”表示“断开”状态；晶体管的导通表示“1”，截止表示“0”；电容器的充电和放电、电脉冲的有和无、脉冲极性的正与负、电位的高与低等一切有两种对立稳定状态的器件都可以表示二进制的“0”和“1”。

而十进制数有10个基本符号（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9），要用10种状态才能表示，要用电子器件实现起来是很困难的。

（2）运算简单：二进制数的算术运算特别简单，加法和乘法仅各有3条运算规则（ 0+0=0，0+1=1，1+1=10和0×0=0，0×1=0，1×1=1 ），运算时不易出错。

七年级上册数学二进制
七年级上册数学二进制的奇妙世界
亲爱的小伙伴们，今天咱们来聊聊七年级上册数学里超级有趣的二进制！
一、二进制是什么
二进制呀，就像是一个神秘的密码世界。

在我们平常使用的十进制里，是用 0 到 9 这十个数字来表示数的，而二进制呢，只有 0 和1 两个数字。

比如说，十进制的 5 在二进制里就表示为 101 。

是不是感觉很神奇？
二、二进制的运算
二进制的运算规则和十进制不太一样哦。

加法里，0 + 0 = 0 ，
0 + 1 = 1 ， 1 + 1 = 10 （这里要进位啦）。

乘法也很特别，0 × 0 = 0 ，0 × 1 = 0 ，1 × 1 = 1 。

咱们来举个例子算算，比如101 + 11 ，先从右边对齐，个位 1 + 1 = 10 ，向十位进 1 ，十位0 + 1 + 1 = 10 ，向百位进 1 ，百位 1 + 0 = 1 ，所以结果就是1000 。

三、二进制的应用
二进制在计算机的世界里可是大功臣呢！计算机内部就是用二进制来处理和存储信息的。

因为只有 0 和 1 两个状态，简单又稳定，能让计算机快速又准确地工作。

像咱们用的手机、电脑，背后都有二进制在默默帮忙哟。

怎么样，小伙伴们，二进制是不是超级有趣？咱们一起在数学的海洋里继续探索吧！。

二进制数学系统
二进制数学系统是一种使用二进制数字（0和1）表示数值的数学体系。

它是计算机科学和信息技术的基石，因为计算机中的所有信息都以二进制形式表示。

在二进制数学系统中，每一位只有两个可能的值（0或1），这使得它非常适合于电子计算机中的逻辑运算。

二进制数学系统在计算机科学中有许多应用，例如：
1.数据存储：在计算机中，所有的数据都以二进制形式存储。

例如，一个字
节由8位组成，可以表示从0到255的任何整数。

2.算术运算：二进制数学系统可以进行基本的算术运算，如加法、减法、乘
法和除法。

这些运算通过逻辑门电路实现，使得计算速度快且准确。

3.逻辑运算：二进制数学系统非常适合进行逻辑运算，如AND、OR、NOT
等。

这些运算在计算机的逻辑处理中非常重要。

4.加密：二进制数学系统在加密算法中也有应用，例如AES和RSA等加密算
法都依赖于二进制数学系统的原理。

5.网络通信：在网络通信中，数据通常以二进制形式传输。

二进制数学系统
用于编码和解码这些数据，以确保数据的完整性和准确性。

总之，二进制数学系统是计算机科学和信息技术的基础，它在计算机内部处理数据、执行运算等方面发挥着重要作用。

二进制数据和二进制编码知识二进制编码是计算机内使用最多的码制，它只使用两个基本符号"0"和"1"，并且通过由这两个符号组成的符号串来表示各种信息。

二进制的数值数据亦是如此，计算其所代表的数值的运算规则是：D=∑K(i)*2^i （2.4）K(i)的取值为0或1 例如(1101.0101) 2 = (13.3125) 10 。

等号左右两边括号内的数字为两个不同进制的数字，括号右下脚的2和10分别指明左右两边的数字为二进制和十进制的数。

按公式（2.4），计算二进制的1101.0101的实际值为:1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0+0*2^(-1)+1*2^(-2)+0* 2^(-3)+1*2^(-4)=8+4+1+0.25+0.0625 = 13.3125从式中可以进一步看到，由于二进制只用0和1两个符号,在计算二进制位串所代表的实际值时, 只需把符号为1的那些位的位权相加即可, 则上式变为:2^3 + 2^2 + 2^0 + 2^(-2) + 2^(-4 )= 13.3125熟悉地记清二进制数每位上的位权是有益的。

当位序号为0-12时, 其各位上的位权分别为1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048和4096。

数制与进位计数法基础在采用进位记数的数字系统中, 如果只用r个基本符号(例如0,1,2,…r-1) 、通过排列起来的符号串表示数值，则称其为基r数制，r称为该数制的基。

假定用m+k个自左向右排列的符号Ｄi（－k≤i≤m-1）表示数值N，即N = Dm-1 Dm-2 …D1 D0 D-1 D-2 …D-k （2.1）式中的Di（-k≤i≤m-1）为该数制采用的基本符号，可取值0、1、2、…、r-1，小数点位置隐含在D0与D-1位之间, 则Dm-1 …D0 为N的整数部分，D-1 …D-k 为N的小数部分。

如果每个Di 的单位值都赋以固定的值Wi ，则称Wi 为该位的权, 此时的数制称为有权的基r数制。

二进制的起源说到计算机，大家必然会想到010101……的二进制，可是为什么电子计算机会应用二进制，而二进制起源又是哪里呢？显然这个问题存在争议，有人主张它起源于中国。

他们认为，二进制的运用，在我国古代就已显现得淋漓尽致。

中国古代的二进制运用与现代电子计算机中二进制的运用是一致的。

首先我们从《易经》上可以看到二进制的起源。

我国上古的伏羲时代就有了《易经》，《易经》是研究日月之间变化的一门科学，通过卦爻来说明天地之间、日月系统以内人生与事物变化的大法则。

究其研究方法，就是借助于二进制手段来实现的。

爻（Yáo）是二进制的位，卦是通过爻组合而成的二进制数。

爻是《易经》中组成卦的符号，“—”为阳爻,“－－”为阴爻。

每三爻合成一卦，可得八卦；两卦(六爻)相重，则得六十四卦，称为别卦。

我们对比二进制的组成：二进制的位用0，1表示，3位二进制可组合成8种状态，即可表示为0，1，…，7这8个数，而2个3位二进制组合，即变为6位二进制数，即：26＝64，即64种状态。

将八卦按照0，1，…，7这8个数字排列为：0——坤（地）、1——艮（山）、2——坎（水）、3——巽（风）、4——震（雷）、5——离（火）、6——兑（泽）、7——乾（天）。

如果对八卦进一步分析可发现，八卦里面有二进制的算术与逻辑运算，如：乾坤、离坎、艮兑、震巽它们之间的二进制的逻辑运算是一种反码关系，从哲学上来说它们之间是对立的关系。

再由八卦可组合为六十四卦，例如六十四卦中的“谦卦”是坤卦艮卦组成，坤在上艮在下，此卦是地中有山，是“谦卦”的现象，君子们效法它的精神，以减损多余的而增益缺少的。

六十四卦如果再进一步演变，有：64×64＝4096种状态，如此，可得出天地之间的各种状态。

也即通过卦便可以进行天地万物的研究了。

《易经》系辞上说：“是故，易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业。

”、“天一地二，天三地四，天五地六，天七地八。

二进制的例子及解释
以下是 6 条关于二进制的例子及解释：
1. 嘿，你知道电脑的开关其实也能用二进制来解释吗？就好比灯的开和关，开就是 1，关就是 0，这多神奇啊！我们每天按电脑的开关键，不就像
是在和二进制这个神秘的家伙打交道嘛！
2. 想想红绿灯呀，红灯停绿灯行，这也可以看成二进制呢！红灯亮时就是1，绿灯亮时就是 0，哇，原来交通规则里都藏着二进制呢，你敢说不神奇？
3. 咱家里的电视遥控器，每按一个键是不是都有反应呀？这就像二进制在幕后默默工作呢！按下一个键就是发出了一个 1 或 0 的信号，太有意思啦，
这不就像一个隐藏的魔法师在操控着电视吗？
4. 哎呀呀，还记得小时候玩的猜硬币正反游戏吗？正面是 1，反面是 0，这可不就是一个简单的二进制例子嘛！那时候玩得不亦乐乎，哪能想到这里面还有这么大的学问呢！
5. 你看那数字钟，显示的数字不也是用二进制的原理来呈现的嘛！一个数字的变化就是一次二进制的跳动，这不是让人惊叹不已吗？这简直就是时间和二进制的完美结合呀！
6. 现在很多电子密码锁，不也是靠二进制来工作的嘛！每输入一个数字组合，就像是给二进制这个密码大师发送了一串独特的信号，然后它来决定开不开锁，这不酷吗？
总之，二进制就在我们身边无处不在呀，它可真是个神奇的存在！。

二进制,八进制,十进制，十六进制之间的相互转换和相关概念二进制:计算机只认识0或1,也就是高电平和低电平.所以所有的数据格式最终会转化为2进制形式,计算机硬件才能识别。

二进制逢二进一,八进制逢八进一,十进制逢十进一，十六进制逢十六进一。

下边是各进制之间的转换公式.二进制转十进制0110 0100(2) 换算成十进制第0位0 * 2^0 = 0第1位0 * 2^1 = 0第2位1 * 2^2 = 4第3位0 * 2^3 = 0第4位0 * 2^4 = 0第5位1 * 2^5 = 32第6位1 * 2^6 = 64第7位0 * 2^7 = 0 ＋---------------------------100二进制转八进制可采用8421法1010011(2)首先每三位分割即: 001,010,011不足三位采用0补位.然后采用8421法: 001=1010=2011=3所以转换成8进制是123二进制转十六进制1101011010100(2)首先每四位分割即: 0001,1010,1101,0100不足四位采用0补位.然后采用8421法: 0001:11010:A1101:D0100:4所以转换成十六进制是1AD4十六进制当数字超过9后将采用A代替10,B代替11,C代替12,D代替13,E代替14,F代替15;下边是十进制的各种转换:十进制转二进制6(10)10进制数转换成二进制数，这是一个连续除2的过程：把要转换的数，除以2，得到商和余数，将商继续除以2，直到商为0。

最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。

商余数6/2 3 03/2 1 11/2 0 1最后把余数从下向上排列写出110即是转换后的二进制.十进制转换八进制10进制数转换成八进制数，这是一个连续除8的过程：把要转换的数，除以8，得到商和余数，将商继续除以8，直到商为0。

最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。

120(10)商余数120/8 15 015/8 1 71/8 0 1最后把余数从下向上排列写出170即是转换后的八进制.十进制转换十六进制10进制数转换成十六进制数，这是一个连续除16的过程：把要转换的数，除以16，得到商和余数，将商继续除以16，直到商为0。

⼆进制—搜狗百科拈加法⼆进制是加减乘除外的⼀种特殊算法。

拈加法运算与进⾏加法类似，但不需要做进位。

此算法在博弈论（Game Theory）中被⼴泛利⽤计算机中的⼗进制⼩数转换⼆进制计算机中的⼗进制⼩数⽤⼆进制通常是⽤乘⼆取整法来获得的。

⽐如0.65换算成⼆进制就是：0.65 × 2 = 1.3 取1，留下0.3继续乘⼆取整0.3 × 2 = 0.6 取0，留下0.6继续乘⼆取整⼆进制0.6 × 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘⼆取整0.2 × 2 = 0.4 取0，留下0.4继续乘⼆取整0.4 × 2 = 0.8 取0，留下0.8继续乘⼆取整0.8 × 2 = 1.6 取1，留下0.6继续乘⼆取整0.6 × 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘⼆取整.......⼀直循环，直到达到精度限制才停⽌（所以，计算机保存的⼩数⼀般会有误差，所以在编程中，要想⽐较两个⼩数是否相等，只能⽐较某个精度范围内是否相等。

）。

这时，⼗进制的0.65，⽤⼆进制就可以表⽰为：01010011。

还值得⼀提的是，在计算机中，除了⼗进制是有符号的外，其他如⼆进制、⼋进制、16进制都是⽆符号的。

在现实⽣活和记数器中，如果表⽰数的“器件”只有两种状态，如电灯的“亮”与“灭”，开关的“开”与“关”。

⼀种状态表⽰数码0，另⼀种状态表⽰数码1，1加1应该等于2，因为没有数码2，只能向上⼀个数位进⼀，就是采⽤“满⼆进⼀”的原则，这和⼗进制是采⽤“满⼗进⼀”原则完全相同。

1+1=10，10+1=11，11+1=100，100+1=101，101+1=110，110+1=111，111+1=1000，……，可见⼆进制的10表⽰⼆，100表⽰四，1000表⽰⼋，10000表⽰⼗六，……。

⼆进制同样是“位值制”。

同⼀个数码1，在不同数位上表⽰的数值是不同的。

如11111，从右往左数，第⼀位的1就是⼀，第⼆位的1表⽰⼆，第三位的1表⽰四，第四位的1表⽰⼋，第五位的1表⽰⼗六。

二进制百科内容来自于:18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹从他的传教士朋友鲍威特寄给他的拉丁文译本《易经》中，读到了八卦的组成结构，惊奇地发现其基本素数（0）（1），即《易经》的阴爻--和__阳爻，其进位制就是二进制，并认为这是世界上数学进制中最先进的。

20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用，其运算模式正是二进制。

它不但证明了莱布尼兹的原理是正确的，同时也证明了《易经》数理学是很了不起的。

二进制数二进制一、二进制数的表示法二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。

二进制数是用0和1两个数码来表示的数。

它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。

二进制数也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。

例如二进制数110.11，其权的大小顺序为2^2、2^1、2^0、2^-1、2^-2。

对于有n位整数，m位小数的二进制数用加权系数展开式表示，可写为：（a(n-1)a(n-2)…a(-m)）2＝a(n-1)×2^(n-1)+a(n-2)×2^(n-2)+……+a(1)×2^1+a(0)×2^0+a(-1)×2^(-1)+a(-2)×2^(-2)+……+a(-m)×2^(-m)二进制数一般可写为：（a(n-1)a(n-2)…a(1)a(0).a(-1)a(-2)…a(-m)）2。

注意：1.式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。

2.a(n-1)中的(n-1)为下标，输入法无法打出所以用括号括住，避免混淆。

二进制3.2^2表示2的平方，以此类推。

【例1102】将二进制数111.01写成加权系数的形式。

解：（111.01）2＝(1×2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)+(0×2^-1)+(1×2^-2)二、二进制数的加法和乘法运算二进制数的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。