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国家集训队2009论文集浅谈数位类统计问题

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NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)

NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)

摘抄自C博客组合数学计数与统计2001 - 符文杰：《Pólya原理及其应用》2003 - 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》2007 - 周冬：《生成树的计数及其应用》2008 - 陈瑜希《Pólya计数法的应用》数位问题2009 - 高逸涵《数位计数问题解法研究》2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》动态统计2004 - 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》2007 - 余江伟：《如何解决动态统计问题》博弈2002 - 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 - 王晓珂：《解析一类组合游戏》2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》母函数2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》拟阵2007 - 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》线性规划2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》置换群2005 - 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》问答交互2003 - 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》猜数问题2003 - 张宁：《猜数问题的研究:<聪明的学生>一题的推广》2006 - 龙凡：《一类猜数问题的研究》数据结构数据结构2005 - 何林：《数据关系的简化》2006 - 朱晨光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》2007 - 何森：《浅谈数据的合理组织》2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》结构联合2001 - 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》2005 - 黄刚：《数据结构的联合》块状链表2005 - 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》2008 - 苏煜《对块状链表的一点研究》动态树2006 - 陈首元：《维护森林连通性——动态树》2007 - 袁昕颢：《动态树及其应用》左偏树2005 - 黄源河：《左偏树的特点及其应用》跳表2005 - 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》2009 - 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》SBT2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree》线段树2004 - 林涛：《线段树的应用》单调队列2006 - 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》哈希表2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》Splay2004 - 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》图论图论2005 - 任恺：《图论的基本思想及方法》模型建立2004 - 黄源河：《浅谈图论模型的建立与应用》2004 - 肖天：《“分层图思想”及其在信息学竞赛中的应用》网络流2001 - 江鹏：《从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法》2002 - 金恺：《浅谈网络流算法的应用》2007 - 胡伯涛：《最小割模型在信息学竞赛中的应用》2007 - 王欣上：《浅谈基于分层思想的网络流算法》2008 - 周冬《两极相通——浅析最大—最小定理在信息学竞赛中的应用》最短路2006 - 余远铭：《最短路算法及其应用》2008 - 吕子鉷《浅谈最短径路问题中的分层思想》2009 - 姜碧野《SPFA算法的优化及应用》欧拉路2007 - 仇荣琦：《欧拉回路性质与应用探究》差分约束系统2006 - 冯威：《数与图的完美结合——浅析差分约束系统》平面图2003 - 刘才良：《平面图在信息学中的应用》2007 - 古楠：《平面嵌入》2-SAT2003 - 伍昱：《由对称性解2-SAT问题》最小生成树2004 - 吴景岳：《最小生成树算法及其应用》2004 - 汪汀：《最小生成树问题的拓展》二分图2005 - 王俊：《浅析二分图匹配在信息学竞赛中的应用》Voronoi图2006 - 王栋：《浅析平面Voronoi图的构造及应用》偶图2002 - 孙方成：《偶图的算法及应用》树树2002 - 周文超：《树结构在程序设计中的运用》2005 - 栗师：《树的乐园——一些与树有关的题目》路径问题2009 - 漆子超《分治算法在树的路径问题中的应用》最近公共祖先2007 - 郭华阳：《RMQ与LCA问题》划分问题2004 - 贝小辉：《浅析树的划分问题》数论欧几里得算法2009 - 金斌《欧几里得算法的应用》同余方程2003 - 姜尚仆：《模线性方程的应用——用数论方法解决整数问题》搜索搜索2001 - 骆骥：《由“汽车问题”浅谈深度搜索的一个方面——搜索对象与策略的重要性》2002 - 王知昆：《搜索顺序的选择》2005 - 汪汀：《参数搜索的应用》启发式2009 - 周而进《浅谈估价函数在信息学竞赛中的应用》优化2003 - 金恺：《探寻深度优先搜索中的优化技巧——从正方形剖分问题谈起》2003 - 刘一鸣：《一类搜索的优化思想——数据有序化》2006 - 黄晓愉：《深度优先搜索问题的优化技巧》背包问题2009 - 徐持衡《浅谈几类背包题》匹配2004 - 楼天城：《匹配算法在搜索问题中的巧用》概率概率2009 - 梅诗珂《信息学竞赛中概率问题求解初探》数学期望2009 - 汤可因《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》字符串字符串2003 - 周源：《浅析“最小表示法”思想在字符串循环同构问题中的应用》多串匹配2004 - 朱泽园：《多串匹配算法及其启示》2006 - 王赟：《Trie图的构建、活用与改进》2009 - 董华星《浅析字母树在信息学竞赛中的应用》后缀数组2004 - 许智磊：《后缀数组》2009 - 罗穗骞《后缀数组——处理字符串的有力工具》字符串匹配2003 - 饶向荣：《病毒的DNA———剖析一道字符匹配问题解析过程》2003 - 林希德：《求最大重复子串》动态规划动态规划2001 - 俞玮：《基本动态规划问题的扩展》2006 - 黄劲松：《贪婪的动态规划》2009 - 徐源盛《对一类动态规划问题的研究》状态压缩2008 - 陈丹琦《基于连通性状态压缩的动态规划问题》状态设计2008 - 刘弈《浅谈信息学中状态的合理设计与应用》树形DP2007 - 陈瑜希：《多角度思考创造性思维——运用树型动态规划解题的思路和方法探析》优化2001 - 毛子青：《动态规划算法的优化技巧》2003 - 项荣璟：《充分利用问题性质——例析动态规划的“个性化”优化》2004 - 朱晨光：《优化，再优化！——从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化》2007 - 杨哲：《凸完全单调性的加强与应用》计算几何立体几何2003 - 陆可昱：《长方体体积并》2008 - 高亦陶《从立体几何问题看降低编程复杂度》计算几何思想2004 - 金恺：《极限法——解决几何最优化问题的捷径》2008 - 程芃祺《计算几何中的二分思想》2008 - 顾研《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》圆2007 - 高逸涵：《与圆有关的离散化》半平面交2002 - 李澎煦：《半平面交的算法及其应用》2006 - 朱泽园：《半平面交的新算法及其实用价值》矩阵矩阵2008 - 俞华程《矩阵乘法在信息学中的应用》高斯消元2002 - 何江舟：《用高斯消元法解线性方程组》数学方法数学思想2002 - 何林：《猜想及其应用》2003 - 邵烜程：《数学思想助你一臂之力》数学归纳法2009 - 张昆玮《数学归纳法与解题之道》多项式2002 - 张家琳：《多项式乘法》数形结合2004 - 周源：《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》黄金分割2005 - 杨思雨：《美，无处不在——浅谈“黄金分割”和信息学的联系》其他算法遗传算法2002 - 张宁：《遗传算法的特点及其应用》2005 - 钱自强：《关于遗传算法应用的分析与研究》信息论2003 - 侯启明：《信息论在信息学竞赛中的简单应用》染色与构造2002 - 杨旻旻：《构造法——解题的最短路径》2003 - 方奇：《染色法和构造法在棋盘上的应用》一类问题区间2008 - 周小博《浅谈信息学竞赛中的区间问题》序2005 - 龙凡：《序的应用》系2006 - 汪晔：《信息学中的参考系与坐标系》物理问题2008 - 方戈《浅析信息学竞赛中一类与物理有关的问题》编码与译码2008 - 周梦宇《码之道—浅谈信息学竞赛中的编码与译码问题》对策问题2002 - 骆骥：《浅析解“对策问题”的两种思路》优化算法优化2002 - 孙林春：《让我们做得更好——从解法谈程序优化》2004 - 胡伟栋：《减少冗余与算法优化》2005 - 杨弋：《从<小H的小屋>的解法谈算法的优化》2006 - 贾由：《由图论算法浅析算法优化》程序优化2006 - 周以苏：《论反汇编在时间常数优化中的应用》2009 - 骆可强《论程序底层优化的一些方法与技巧》语言C++2004 - 韩文弢：《论C++语言在信息学竞赛中的应用》策略策略2004 - 李锐喆：《细节——不可忽视的要素》2005 - 朱泽园：《回到起点——一种突破性思维》2006 - 陈启峰：《“约制、放宽”方法在解题中的应用》2006 - 李天翼：《从特殊情况考虑》2007 - 陈雪：《问题中的变与不变》2008 - 肖汉骏《例谈信息学竞赛分析中的“深”与“广”》倍增2005 - 朱晨光：《浅析倍增思想在信息学竞赛中的应用》二分2002 - 李睿：《二分法与统计问题》2002 - 许智磊：《二分，再二分！——从Mobiles(IOI2001)一题看多重二分》2005 - 杨俊：《二分策略在信息学竞赛中的应用》调整2006 - 唐文斌：《“调整”思想在信息学中的应用》随机化2007 - 刘家骅：《浅谈随机化在信息学竞赛中的应用》非完美算法2005 - 胡伟栋：《浅析非完美算法在信息学竞赛中的应用》2008 - 任一恒《非完美算法初探》提交答案题2003 - 雷环中：《结果提交类问题》守恒思想2004 - 何林：《信息学中守恒法的应用》极限法2003 - 王知昆：《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》贪心2008 - 高逸涵《部分贪心思想在信息学竞赛中的应用》压缩法2005 - 周源：《压去冗余缩得精华——浅谈信息学竞赛中的“压缩法”》逆向思维2005 - 唐文斌：《正难则反——浅谈逆向思维在解题中的应用》穷举2004 - 鬲融：《浅谈特殊穷举思想的应用》目标转换2002 - 戴德承：《退一步海阔天空——“目标转化思想”的若干应用》2004 - 栗师：《转化目标在解题中的应用》类比2006 - 周戈林：《浅谈类比思想》分割与合并2006 - 俞鑫：《棋盘中的棋盘——浅谈棋盘的分割思想》2007 - 杨沐：《浅析信息学中的“分”与“合”》平衡思想2008 - 郑暾《平衡规划——浅析一类平衡思想的应用》。

分治算法在树的路径问题中的应用

分治算法在树的路径问题中的应用

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IOI目录】
【序言】........................................................................................................................ 3 【正文】........................................................................................................................ 4 一.树的分治算法.................................................................................................... 4 基于点的分治：.............................................................................................. 4 基于边的分治：.............................................................................................. 4 效率分析：...................................................................................................... 5 【例 1】树中点对统计................................................................................... 8 算法分析................................................................................................... 8 【例 2】Free Tour 2 ...................................................................................... 10 算法分析................................................................................................. 10 【本节小结】................................................................................................ 13 二．树的路径剖分算法：................................................................................... 14 【例 3】Query On a Tree.............................................................................. 14 算法分析................................................................................................. 14 引入路径剖分......................................................................................... 14 轻重边路径剖分..................................................................................... 15 【例 4】黑白树 ........................................................................................... 17 算法分析................................................................................................. 17 【小结】........................................................................................................ 18 路径剖分与树的分治的联系：.................................................................... 19 【例 5】Query On a Tree Ⅳ ........................................................................ 20 算法分析................................................................................................. 20 【本节小结】................................................................................................ 23 三．树的分治的进一步探讨：........................................................................... 24 如何改进基于边的分治的时间复杂度........................................................ 24 使用基于边的分治解决【例 2】................................................................. 26 使用基于边的分治解决【例 5】................................................................. 27 四．全文总结....................................................................................................... 28 【参考文献】.............................................................................................................. 29 【感谢】...................................................................................................................... 29 【附录】...................................................................................................................... 29

国家集训队2009论文集信息学竞赛中概率问题

国家集训队2009论文集信息学竞赛中概率问题

2.1 例一：LastMarble1
题目描述： 有 red 个红球，blue 个蓝球在一个袋子中。两个玩家轮流从袋子中取球，每个人每次 可以取 1，2 或 3 个球，但在他把球拿出袋子之前，他并不知道所取球的颜色。每次球被取 出袋子后，它们的颜色被公布给所有人。取走最后一个红球的人输。现在已知有人在游戏开 始前取走了 removed 个球，并且谁也不知道球的颜色。在两个玩家都采取最优策略时，先手 的胜率是多少？ 约束条件： 1≤red,blue≤100 , 0≤removed≤red-1。 分析： 当 removed=0 的时候，这个问题是很普通的动态规划问题。我们只需设 F(r,b)代表现 在剩 r 个红球，b 个蓝球，面对当前局面的玩家所能得到的最大胜率。那么：

D
f ( x1 , x2 ,..., x N )dx1dx2 ...dxN ，其中等式右端表
示 N 重积分，就称 f(x1,x2,…,xN)是 N 为随机向量(X1,X2,…,XN)的联合概率密度函数。如 果有 X1,X2,…,XN 互相独立，并且分别有概率密度函数 f1(x1),f2(x2),…,fN(xN)，那么
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IOI2009 冬令营论文 梅诗珂 3.2 例四：Random Shooting ........................................... 4 总结................................................................. 感谢 ....................................................................... 参考文献.................................................................... 附录 ....................................................................... 附录 1 区域体积的表示 .................................................. 附录 2 例三方法一中区域体积公式的证明 ................................. 附录 3 论文原题 ........................................................ 12 16 16 16 16 16 17 17

国家集训队2009论文集信息学竞赛中概率问题

国家集训队2009论文集信息学竞赛中概率问题
年的NOI中都出现了与概率有关 在05,06,08年的 , , 年的 中都出现了与概率有关 的试题
2 22
全文总览
样本空间 连续型随机变量 随机变量 离散型随机变量
SPOJ RNG SGU Random Shooting SRM 349 LastMarble UVA Randomness
3 22
要用到的定义
1 fi ( [x-Ri, j-Ri+1]x ) = ∫x R i R f i 1 ( t )dt [j-Ri+1,j] [j,x] i
x
P
P
f i1 (t )
f i (x)
19 22
j-Ri j-Ri+1
j j+1
t
j
j+1
x
本题总结
在解决本题的过程中,我们遇到了这样的困难: 在解决本题的过程中,我们遇到了这样的困难: N个随机变量代表着 维空间,较为抽象 个随机变量代表着N维空间 个随机变量代表着 维空间, 两个解法都从N较小的情况开始分析 较小的情况开始分析, 两个解法都从 较小的情况开始分析,发现规律
23 22
用归纳法, 用归纳法,当N=1时,V((0,+∞),x) = x显然 时 显然 符合结论. 符合结论. 设当N=2,3,…,k-1时都有结论成立,那么 时都有结论成立, 设当 时都有结论成立 N=k时,V([0,+∞), [0,+∞),…, [0,+∞),x)就是 时 就是 一个k维锥体的 维体积, 维锥体的k维体积 一个 维锥体的 维体积,椎体的底面面积 是 ( kx 1)! 同时我们知道体积就是截面面积的积分值, 同时我们知道体积就是截面面积的积分值, 而对与锥体的顶点距离为h的截面而言 的截面而言, 而对与锥体的顶点距离为 的截面而言,其 截面面积 (kx 1)! ( h ) 为,所以 所以 x x h 1 x x ( ) dh= ( 0) = V([0,+∞), [0,+∞),…, [0,+∞),x) = ∫ (k 1)! x (k 1)! k k! ■

国家集训队2002论文集-李睿

国家集训队2002论文集-李睿

二分法与统计问题淮阴中学李睿[关键字]线段树二叉树二分法[摘要]我们经常遇到统计的问题。

这些问题的特点是，问题表现得比较简单，一般是对一定范围内的数据进行处理，用基本的方法就可以实现，但是实际处理的规模却比较大，粗劣的算法只能导致低效。

为了解决这种困难，在统计中需要借助一些特殊的工具，如比较有效的数据结构来帮助解决。

本文主要介绍的是分治的思想结合一定的数据结构，使得统计的过程存在一定的模式，以到达提高效率的目的。

首先简要介绍线段树的基础，它是一种很适合计算几何的数据结构，同时也可以扩充到其他方面。

然后将介绍IOI2001中涉及的一种特殊的统计方法。

接着将会介绍一种与线段树有所不同的构造模式，它的形式是二叉排序树，将会发现这种方法是十分灵活的，进一步，我们将略去对它的构造，在有序表中进行虚实现。

目录一线段树1.1 线段树的构造思想1.2 线段树处理数据的基本方法1.3 应用的优势1.4 转化为对点的操作二一种解决动态统计的静态方法2.1 问题的提出2.2 数据结构的构造和设想2.3 此种数据结构的维护2.4 应用的分析三在二叉排序树上实现统计3.1 构造可用于统计的静态二叉排序树3.2 进行统计的方法分析3.3 一个较复杂的例子四虚二叉树4.1 虚二叉树实现的形态4.2 一个具体的例子4.3 最长单调序列的动态规划优化问题[正文]一 线段树在一类问题中，我们需要经常处理可以映射在一个坐标轴上的一些固定线段，例如说映射在OX 轴上的线段。

由于线段是可以互相覆盖的，有时需要动态地取线段的并，例如取得并区间的总长度，或者并区间的个数等等。

一个线段是对应于一个区间的，因此线段树也可以叫做区间树。

1.1线段树的构造思想线段树处理的是一定的固定线段，或者说这些线段是可以对应于有限个固定端点的。

处理问题的时候，首先抽象出区间的端点，例如说N 个端点ti(1≤i ≤N)。

那么对于任何一个要处理的线段（区间）[a,b]来说，总可以找到相应的i,j ，使得ti=a,tj=b,1≤i ≤j ≤N 。

算法合集之《数学归纳法与解题之道》

算法合集之《数学归纳法与解题之道》

结构归纳法
结构归纳法是应用在数理逻辑、计算机科学、图论和一些其他数学领域中的一种特殊 化的数学归纳法，一般用来解决非线性问题。通俗地说，如果要证明的一组基于结构的命 题之间有一个“拓扑序”（通常定义为问题的规模），那么我们往往可以从空集出发进行 归纳证明或构造。例如，树形结构上我们每次去掉根将问题规约到几个较小的子问题，图 论算法中每次处理一条边就能不断减小问题的规模……如果对于一个规模足够小的问题我 们能够解决，我们就完美的解决了原问题。 不同于一般的数学归纳法，结构归纳法的正确性依赖于“最小数原理”的推广：假设 存在反例，那一定会有最小的反例，但是运用上述论证减小其规模可得一个反例，它的规 模比最小的反例更小，这样就产生了矛盾。因此假设不成立，结构归纳法是正确的。
基本的定理、概念与方法
第一数学归纳法
P 1 True 任意给定关于自然数的命题 P n ，若 ，那么，命题对所有 * P n P n 1 n N
自然数均成立。 形象地说， 如果把整个自然数集想象成一串多米诺骨牌， P 1 True 这个要求就推倒 了其中的第一块，因此有时被形象地称之为“奠基”；我们通常称为归纳的是其中证明
IOI2009 中国国家集训队论文 数学归纳法与解题之道 张昆玮
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关于数学归纳法
简短的回顾
数学归纳法原理的发现可以追溯到公元 1494 年意大利数学家 Francesco Maurolico 的著作 Arithmeticorum libri duo。作为皮亚诺公理系统的应用，它自诞生之日就受到广 泛关注。同时，作为应对与正整数相关的问题的一种通用而简洁的处理方法，数学归纳法 在许多算术、逻辑问题的解决中都占有核心地位。即使是一些难于解决的问题，应用数学 归纳法大多可以化简问题描述，理清其本质，为接下来的解答铺平道路。 由于其固有的递归性，构造性和美学价值，数学归纳法是中学课本与学科竞赛中的热 门话题。特别地，信息学竞赛中的算术、逻辑、拓扑、数论以及组合数学相关的问题层出 不穷，我们有理由相信，数学归纳法，以及由数学归纳法衍生的结构归纳法等构造性证明 方法在信息学的算法设计中，同样会有其用武之地。

国家集训队2009论文集后缀数组——处理字符


后缀数组 罗穗骞
例 10：长度不小于 k 的公共子串的个数(pku3415) ……………23 2．4 多个字符串的相关问题 …………………………………………………23
例 11：不小于 k 个字符串中的最长子串(pku3294) ……………………24 例 12：每个字符串至少出现两次且不重叠的最长子串(spoj220)……24 例 13：出现或反转后出现在每个字符串中的最长子串(pku3294)……24 三、结束语 …………………………………………………………………………25 参考文献 ……………………………………………………………………………25 致谢 …………………………………………………………………………………25
目录
后缀数组 罗穗骞
摘要 …………………………………………………………………………………4 关键字 ………………………………………………………………………………4 正文 …………………………………………………………………………………4 一、后缀数组的实现 …………………………………………………………………4
符 串 r 的 从 第 i 个 字 符 开 始 的 后 缀 表 示 为 Suffix(i) ， 也 就 是 Suffix(i)=r[i..len(r)]。
大小比较：关于字符串的大小比较，是指通常所说的“字典顺序”比较，也 就是对于两个字符串 u、v，令 i 从 1 开始顺次比较 u[i]和 v[i]，如果 u[i]=v[i]则令 i 加 1，否则若 u[i]<v[i]则认为 u<v，u[i]>v[i]则认为 u>v （也就是 v<u），比较结束。如果 i>len(u)或者 i>len(v)仍比较不出结果，那 么 若 len(u)<len(v) 则 认 为 u<v ， 若 len(u)=len(v) 则 认 为 u=v ， 若 len(u)>len(v)则 u>v。

BZOJ20482009国家集训队书堆数学算法

BZOJ20482009国家集训队书堆数学算法题⽬⼤意：经典的物理上的桌边堆书问题，初中物理⽼师以前还讲过，只是仅仅记住了结论。

没关系，简单证明⼀下就好⾸先我们设由上⾄下第i本书⽐它以下那本书多伸出去的长度为a[i]，前缀和为s[i]，那么我们要求的就是s[n]为了简化问题我们设⼀本书的长度为1如果n=1a[1]=1/2，毫⽆疑义然后考虑两本书两本书的时候，重⼼明显在距以下那本书左端点的3/4处，故a[2]=1-3/4=1/4好的我知道了。

第⼀本是1/2，第⼆本是1/4。

那么第三本就是1/8！这样想的同学都仅仅过了例⼦。

我们考虑三本书的情况这个是怎么算的呢？⾸先先算三本书的重⼼距第三本书左端点的距离第⼀本书的重⼼为1/4 + 1/2 + 1/2第⼆本书的重⼼为1/4 + 1/2第三本书的重⼼为 1/2于是我们能够得到三本书的重⼼位置为(1/4*2+1/2+1/2*3)/3=1/2*2/3+1/2于是a[3]=1-(1/2*2/3+1/2)=1/2-1/2*2/3=1/2*(1-2/3)=1/2*1/3=1/6然后四本书的情况就不⽤多说了吧讨论四本书的重⼼距第四本书左端点的距离第⼀本书的重⼼位置为：1/6 + 1/4 + 1/2 + 1/2第⼆本书的重⼼位置为：1/6 + 1/4 + 1/2第三本书的重⼼位置为：1/6 + 1/2第四本书的重⼼位置为： 1/2于是四本书重⼼位置为(1/6*3+1/4*2+1/2+1/2*4)/4=1/2*3/4+1/2a[4]=1-(1/2*3/4+1/2)=1/2-1/2*3/4=1/2*(1-3/4)=1/2*1/4=1/8以此类推，我们有a[i]=1/2i那么这个东西怎么求和呢？n<=10^18，O(n)肯定是不现实的我们考虑调和级数极限公式lim(n->+∞)1/1+1/2+1/3+...+1/n = ln(n+1)+r当中r为欧拉常数近似值约为0.57721566490153286060651209但这是极限公式对于n⽐較⼩的情况误差会⽐較⼤所以当n⽐較⼩的时候O(n)暴⼒出解 n⽐較⼤的时候套⽤公式分界线理论上O(n)能过去即可 1000W左右就能够可是这题精度实在太低所以1W就能过去 0MS出解然后就⽔过去了。

国家集训队2007论文集5.杨沐《浅析信息学中

浅析信息学中的“分”与“合”福建省福州第三中学杨沐目录【摘要】..................................................................... 错误!未定义书签。

【关键字】................................................................. 错误!未定义书签。

【正文】..................................................................... 错误!未定义书签。

一、引言............................................................... 错误!未定义书签。

二、例题分析 ...................................................... 错误!未定义书签。

[例一]牛奶模版 ............................................ 错误!未定义书签。

[例二]树的重建 ............................................ 错误!未定义书签。

[例三]最优序列 ............................................ 错误!未定义书签。

三、总结............................................................... 错误!未定义书签。

【感谢】..................................................................... 错误!未定义书签。

【参考文献】............................................................. 错误!未定义书签。

2009年国家集训队几道试题的另解

2009年国家集训队几道试题的另解
单墫
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】2010(000)008
【摘要】@@ 每年华东师范大学出版社都要出一本<走向IMO*数学奥林匹克试题集锦>,其中收集了当年国家集训队的测试题与选拔考试题.虽然这些题较难,但解法值得讨论.
【总页数】5页(P10-14)
【作者】单墫
【作者单位】南京师范大学数学系,210097
【正文语种】中文
【中图分类】G424.79
【相关文献】
1.一道2009年Serbia国家集训队试题的推广 [J], 朱纯刚
2.一道国家集训队测试题的另解及思考 [J], 朱天明
3.另解三道中国国家集训队选拔考试题 [J], 卢梓潼
4.2009年中国国家集训队几道试题另解 [J], 邹明
5.另解一道中国国家集训队选拔考试题 [J], 万喜人
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浅谈数位类问题
刘聪
浅谈数位类统计问题
山东省青岛第二中学 刘聪
【摘要】
在信息学竞赛中，有一类与数位有关的区间统计问题。这类问题往往具有比 较浓厚的数学味道，无法暴力求解，需要在数位上进行递推等操作。本文通过 几个例子，简要介绍了解决此类问题的基本思想和方法。
【关键字】
数位 区间 统计 递推 树 二进制
二进制表示
1
-4
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100
2
-5
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011
3
-3
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101
4
-2
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110
4
4
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100
5
3
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011
6
5
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101
当 m=-5，n=-2 时，排序后的序列如下：
编号 十进制数
输入：三个整数 L,R 和 k。 输出：输出一个整数，表示问题的答案。 数据规模：1 ≤ L ≤ R ≤ 1018，1 ≤ k ≤ 1000。 分析： 本题与例 3 有些类似，也是对区间内的整数进行连续的分组。与例 3 不同的是，本题中 k 的值较小，也就表示分组数量非常巨大，不可能求出每一个分组。 让我们同之前一样，从特殊情况开始考虑。假设给定的区间是[1..10h-1]（也就是一棵完 整的高度为 h 的完全十叉树），考虑如何由子问题组合出原问题。这里我们遇到的问题是， 两棵子树间的“合并”较难处理：前一棵子树的最后一个区间未必是满的。亦即，一棵子树 的头几个元素会并入前一棵子树最后的分组当中。为了解决这个问题，我们引入一维，记录 每棵子树之前有多少空间。因此就得到了下面的递推算法： 设 f[h,sum,rem]表示对于高度为 h 的完全十叉树，在这个区间内的每个数需要累加的数 字和为 sum，在这个区间之前有 rem 的空间，所能得出的分组数量。f 的返回值需要记录两 个数：f[h,sum,rem].a 记录分组数量，f[h,sum,rem].b 记录其最后一个小组剩余的空间，以便 于与下一个子树合并。f 可由其十个子树推出： for i:=0 to 9 do f[h,sum,rem]:=merge(f[h,sum,rem],f[h-1,sum+i,f[h,sum,rem].b]); 其中，merge 函数表示合并两个记录，它的伪代码是： function merge(x,y);
剩下的问题就是，如何统计一棵高度为 i 的完全二叉树内二进制表示中恰好含有 j 个 1 的数的个数。这很容易用递推求出：设 f[i,j]表示所求，则分别统计左右子树内符合条件数的 个数，有 f[i,j]=f[i-1,j]+f[i-1,j-1]。
这样，我们就得出了询问的算法：首先预处理 f，然后对于输入 n，我们在假想的完全 二叉树中，从根走到 n 所在的叶子，每次向右转时统计左子树内数的个数。下面是 C++代码： void init()//预处理f {
【例题 1】Amount of degrees (ural 1057)
题目大意： 求给定区间[X,Y]中满足下列条件的整数个数：这个数恰好等于 K 个互不相等的 B 的整
数次幂之和。例如，设 X=15，Y=20，K=2，B=2，则有且仅有下列三个数满足题意： 17 = 24+20， 18 = 24+21， 20 = 24+22。
输入：两个整数 K 和 M。 输出：一个整数表示 S 的最小值。答案不保证可用 64 位整数储存。 数据规模：1 ≤ K ≤ 100, 1 ≤ M ≤ 100, M ≤ 2K。 分析： 直接做不容易做，我们可以通过二分答案来处理。 显然，假如我们知道了 S 的值，可以贪心求出序列最少被分为几组。当 S 变大时，分组 数量是非增的，根据这个单调性，我们二分 S，然后贪心求出[0,2K-1]的区间最少被划分的组 数进行判断 剩下的问题就是如何求出组数。实际上这非常简单，由于 M 较小，因此我们每次从当 前起点 a 开始找到最大的 b 满足 count(b)-count(a-1)≤S（其中 count(i)表示 0..i 的所有整数的 二进制中 1 的数量），再以 b+1 为起点继续寻找，直到某次找到的 b 超过 2K-1，或者已有区 间数量超过 M。 利用逐位确定的方法，我们很容易求出 count(i)：类似例一，在高度为 K 的完全二叉树 中，从根走到叶子 i，右转的时候累加左子树的权值。也就是找到 i 的所有二进制为 1 的数 位，计算其权值。其中要注意累加之前已有的 1 的数量。 寻找 b 的方法也不难：设 find(i)表示最小的 k 满足 0..k 的数的二进制表示中 1 的数量不 超过 i 的最大 k，则 b=find(count(a-1)+s)。find(i)也使用逐位确定的方法求解，在树中从根向 叶子行走，若已有权值加上当前节点左子树的权值不超过 i 则向右走，否则向左走。 count(i)和 find(i)的复杂度都是 O(K)，因此算法总复杂度为 O(MKlog(S))加上高精度的复 杂度。
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浅谈数位类问题
刘聪
本题区间满足区间减法，因此可以进一步简化问题：令 count[i..j]表示[i..j]区间内合法数 的个数，则 count[i..j]=count[0..j]-count[0..i-1]。换句话说，给定 n，我们只需求出从 0 到 n 有多少个符合条件的数。
【例题 3】Sequence (spoj 2319)
题目大意： 给定所有 K 位二进制数：0,1,…,2K-1。你需要将它们分成恰好 M 组，每组都是原序列
中连续的一些数。设 Si(1 ≤ i ≤ M)表示第 i 组中所有数的二进制表示中 1 的个数，S 等于所有 Si 中的最大值。你的任务是令 S 最小。
假设 n=13，其二进制表示为 1101，K=3。我们的目标是求出 0 到 13 中二进制表示含 3 个 1 的数的个数。为了方便思考，让我们画出一棵高度为 4 的完全二叉树：
0
0
1
0
1
0
1
0101来自010
1
01 01 01 01
01 01 01 01
为了方便起见，树的根用 0 表示。这样，这棵高度为 4 的完全二叉树就可以表示所有 4 位二进制数（0..24-1），每一个叶子节点代表一个数。其中，红色路径表示 n。所有小于 n 的 数组成了三棵子树，分别用蓝色、绿色、紫色表示。因此，统计小于 13 的数，就只需统计 这三棵完整的完全二叉树：统计蓝子树内含 3 个 1 的数的个数、统计绿子树内含 2 个 1 的数 的个数（因为从根到此处的路径上已经有 1 个 1），以及统计紫子树内含 1 个 1 的数的个数。 注意到，只要是高度相同的子树统计结果一定相同。而需要统计的子树都是“右转”时遇到 的。当然，我们不能忘记统计 n 本身。实际上，在算法最初时将 n 自加 1，可以避免讨论 n 本身，但是需要注意防止上溢。
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输入：包含多组测试数据。第一行是一个不超过 1000 的正整数，表示测试数据数量。 每组数据包含 m,n,k 三个整数。
输出：对于每组数据，输出排序后的序列中第 k 个数。 数据规模：m × n ≥ 0， -231 ≤ m ≤ n ≤ 231-1 ，1 ≤ k ≤ min{n − m + 1, 2 147 473 547}。 分析： 我们首先考虑 m、n 同正的情况。 由于排序的第一关键字是 1 的数量，第二关键字是数的大小，因此我们很容易确定答案 中 1 的个数：依次统计区间[m,n]内二进制表示中含 1 的数量为 0,1,2,…的数，直到累加的答 案超过 k，则当前值就是答案含 1 的个数，假设是 s。利用例一的算法可以解决这个问题。 同时，我们也求出了答案是第几个[m,n]中含 s 个 1 的数。因此，只需二分答案，求出[m,ans] 中含 s 个 1 的数的个数进行判断即可。 由于每次询问的复杂度为 O(log(n))，故二分的复杂度为 O(log2(n))，这同时也是预处理 的复杂度，因此此算法较为理想。 m<0 的情况，也不难处理，我们只要忽略所有数的最高位，求出答案后再将最高位赋回 1 即可。或者也可以直接将负数视为 32 位无符号数，采用同正数一样的处理方法。两种方 法都需要特别处理 n=0 的情况。
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【例题 4】Tickets (sgu 390)
题目大意： 有一位售票员给乘客售票。对于每位乘客，他会卖出多张连续的票，直到已卖出的票的
编号的数位之和不小于给定的正数 k。然后他会按照相同的规则给下一位乘客售票。初始时， 售票员持有的票的编号是从 L 到 R 的连续整数。请你求出，售票员可以售票给多少位乘客。
f[0][0]=1; for (int i=1;i<=31;++i) {
f[i][0]=f[i-1][0]; for (int j=1;j<=i;++j) f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]; } } int calc(int x,int k)//统计[0..x]内二进制表示含k个1的数的个数 { int tot=0,ans=0;//tot记录当前路径上已有的1的数量，ans表示答案 for (int i=31;i>0;--i) { if (x&(1<<i)) {