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完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题高一数学必修第一章集合1.集合的概念集合是指一定范围内、确定的、可区别的事物，将其作为一个整体来看待，就叫做集合，简称集。
其中的各事物叫作集合的元素或简称元。
集合的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性。
确定性指元素是明确的，如世界上最高的山。
互异性指元素是不同的，如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。
无序性指元素的排列顺序不影响集合的本质，如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。
集合可以用大括号{…}表示，如{我校的篮球队员}、{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。
集合也可以用拉丁字母表示，如A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。
集合的表示方法有列举法和描述法。
常用的数集及其记法有：非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。
2.集合间的关系集合间有包含关系和相等关系。
包含关系又称为“子集”，表示一个集合的所有元素都属于另一个集合。
如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A和B是同一集合，则称A是B的子集，记作A⊆B。
反之，如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含于集合A，则记作A⊈B或B⊈A。
相等关系表示两个集合的元素完全相同，记作A=B。
真子集是指如果A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。
如果XXX且B⊆C，则A⊆C。
如果XXX且B⊆A，则A=B。
空集是不含任何元素的集合，记为Φ。
规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
3.集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。
交集是由所有属于A 且属于B的元素所组成的集合，记作A∩B。
并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B。
补集是由S中所有不属于A的元素所组成的集合，记作A的补集。
如果S是一个集合，A是S的一个子集，则A的补集为由S中所有不属于A的元素组成的集合。
集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个结合的元素。
集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。
例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。
（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。
空集记作∅。
（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。
2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。
（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。
（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。
3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。
4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。
记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
我们规定∅是任何集合的子集。
对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。
第一章集合复习教案1.1.1集合的概念1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集{Φ，}0{，0等符号的含义注：应区分Φ，}5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，1．1．2集合的表表示方法表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；2．描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
§1．1集合的概念性质一．集合的有关概念⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P附近的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ；⑵若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ∉A 。
例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。
1.集合的概念 1
1、设A＝{1，4，2x}，若B＝{1，}，若B A，则x＝（）
A．0 B．－2 C．0或－2 D．0或±2
【答案】C
【解析】
试题分析：因为,则,或,当时,,但时,,这与集合的互异性相矛盾, 当时,,或,但时, ,这与集合的
互异性相矛盾,综上所述,或.
考点：集合的性质，集合与集合的关系，考查学生对基本概念的理解，及学生的基本运算能力．
2、已知集合则( ).
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，所以，选C.
考点：集合的运算、一元二次不等式的解法.
3、已知集合，集合，且，则满足的实数a可以取的一个值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
试题分析：a=3时，B＝{－2，－1，0,1，2}，符合A B．
考点：真子集的定义.
4、若集合，，则=（）
A．B．C．D．
【答案】D
试题分析：, ，.
考点：1.一元二次不等式的解法;2.函数的定义域;3.集合的交集运算.
5、已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有 ( )
A．2个B．4个C．6个D．8个
【答案】B
【解析】
试题分析：，所以P的子集共有个.
考点：1.集合的运算；2.集合的子集.
6、已知集合，集合，表示空集，那么( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵，，∴.故选C．
考点：集合的概念和运算.
7、已知集合，集合，表示空集，如果，那么的值是( )
A．B．
C．D．或
【答案】D
【解析】
试题分析：∵，，，∴.所以或.故选D. 考点：集合的概念和运算.
8、已知，，则集合的子集共有
（）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
试题分析：∵，
，则集合的子集有，，共2个，选B. 考点：绝对值不等式，三次方程的解法，子集的概念.
9、给出下列关系①②③④，其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为①成立
②成立，③错误④成立，故有3个正确的选C.
10、已知集合
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，所以，选A
11、设A是整数集的一个空子集，对于如果且那么称k是A的
一个“孤立元”.给定由于S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个。
【答案】6
【解析】
试题分析：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．
因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．
考点：新定义问题，阅读与理解、信息迁移及学生的学习潜力。
点评：中档题，关键是理解“没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素“．
12、集合,集合,集合的真子集有个．【答案】7
【解析】
试题分析：根据交集的定义有，它的真子集有，，，，
，，，共7个.一般地，一个集合有个元素，它的子集有个，它
的非空真子集有个.
考点：交集、非空真子集.
13、实数集{}中的取值范围是_________________.
【答案】{a︱a≠0且a≠3}
【解析】略
14、从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为 ___ .
【答案】
【解析】试验发生包含的事件k∈A={-1，1，2}，b∈B={-2，1，2}得到（k，b）的取值所有可能的结果有（-1，-2）；（-1，1）；（-1，2）；（1，-2）；（1，1）；（1，2）；
（2，-2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当 k＜0 ，b＞0时，直线不经过第三象
限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第四象限的概率P=
15、已知集合，，非空集合是这样一个集合：若中各元素都加2，就变成的一个子集，若中各元素都减2，就变成的一个子集.则满足上述条件的所有的集合为________________.
【答案】，，
【解析】假设C中只含一个元素，设为x，则x+2,解得x=4或x=7.
则有两个元素，则为4,7
16、已知集合，若，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】本试题主要是考查了集合的交集的运算。
以及二次不等式的解集的运用。
解A得
需要对参数m分类讨论得到集合B，然后借助于数轴法求解得到结论。
解：解A得……2分
若，解B得：……4分
因为，所以，……6分
所以，得：……8分
若，解B得：
所以，得：……11分
所以：……12分
17、已知集合,
（Ⅰ）若，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在m使得A∪B=A？若有请求出m的范围，若无则说明理由。
【答案】，{m|m≤0}}
【解析】解：（Ⅰ）依题意得A="{x|2<x<4} " ……………………2分
………………………4分
则………………………6分
（Ⅱ）若存在m使得A∪B=A成立，即有
若B, 满足，
由………………………8分
若B，则该方程组无解………………………11分
综上得实数m的取值范围为{m|m≤0}}……………12分
18、（本题满分14分）集合A是由适合以下性质的函数f(x)构成的：对于定义域内任意
两个不相等的实数，都有.
（1）试判断f(x)= x2及g(x)=log2x是否在集合A中，并说明理由；
（2）设f(x)ÎA且定义域为(0，+¥)，值域为(0，1)，，试求出一个满足以上条件的函数f (x)的解析式.
【答案】（1），；（2）。
【解析】
试题分析：（1），. …………………… 2分
对于的证明. 任意且，
即. ∴………………… 4分
对于，举反例：当，时，
，
，
不满足. ∴. ………………………6分
⑵函数，当时，值域为且.…… 8分
任取且，则
即.∴. …………………14分
考点：二次函数的性质；对数函数的性质；函数的定义域、值域；
点评：本题中构造类型或为常见，也是做此题的关键，此题难度相对较高。
19、已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得
成立。
（1）函数是否属于集合？说明理由；
（2）设函数，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）f（x）＝；（Ⅱ）a[3－，3＋]；
【解析】
试题分析：（Ⅰ）当时，由有：
，即 3分
f（x）＝的定义域为，
令，整理得x＋x＋1＝0，△＝－3<0，
因此，不存在x使得f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立，所以f（x）＝；…… 6分
（Ⅱ）f（x）＝lg的定义域为Ｒ，f（1）＝lg，a>0， ..7分
若f（x）＝ lg M，则存在xＲ使得lg＝lg＋lg，
整理得存在xＲ使得（a－2）x＋2ax＋（2a－2）＝0. 8分
（1）若a－2＝0即a＝2时，方程化为8x＋4＝0，解得x＝－，满足条件; 10分
（2）若a－20即a时，令△≥0， 12分
解得a， 13分
综上，a[3－，3＋]； 14分
考点：本题主要考查对数函数的性质，集合的概念。
点评：综合题，本题以新定义函数为载体，综合考查对数函数的性质，方程解的讨论，对考生数学式子变形能力要求较高。
本题较难。
20、设平面内有，且表示这个平面内的动点，指出属于集合
的点是什么．
【答案】三角形的外心
【解析】因为集合的点组成线段的垂直平分线，集合的点
组成线段的垂直平分线，所以集合的点到三角形的三个顶点的距离相等，即是三角形的外心．
21、集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，
C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝．
（1）若A∩B＝A∪B，求a的值；
（2）若A∩B，A∩C＝，求a的值．
【答案】（1）a＝5.（2）a=－2
【解析】
试题分析：由已知，得B＝｛2，3｝，C＝｛2，－4｝.
(1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B
于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由韦达定理知：
解之得a＝5.
(2)由A∩B ∩，又A∩C＝，得3∈A，2A，－4A，由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a=－2
当a=5时，A＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝＝｛2，3｝，与2A矛盾；
当a=－2时，A＝｛x｜x2＋2x－15＝0｝＝｛3，－5｝，符合题意
考点：集合的混合运算
点评：主要是考查了集合之间的关系以及基本运算的综合运用，属于基础题。
