第一章 1.1 集合的概念

集合及基本运算教案第一章：集合的概念1.1 集合的定义引入集合的概念，讲解集合的定义和性质。

举例说明集合的表示方法，如列举法和描述法。

1.2 集合的元素讲解集合中元素的特征，强调元素的唯一性和不可度量性。

通过实例解释集合中元素的关系，如属于和不属于。

1.3 集合的类型介绍常用集合的类型，如自然数集、整数集、实数集等。

讲解集合的分类方法，如无限集和有限集。

第二章：集合的运算2.1 集合的并集讲解集合的并集概念，即两个集合中所有元素的集合。

举例说明并集的表示方法和运算规则。

2.2 集合的交集讲解集合的交集概念，即两个集合中共有元素的集合。

举例说明交集的表示方法和运算规则。

2.3 集合的差集讲解集合的差集概念，即属于第一个集合但不属于第二个集合的元素的集合。

举例说明差集的表示方法和运算规则。

2.4 集合的补集讲解集合的补集概念，即在全集之外不属于给定集合的元素的集合。

举例说明补集的表示方法和运算规则。

第三章：集合的性质和运算规律3.1 集合的子集讲解集合的子集概念，即一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。

举例说明子集的表示方法和运算规则。

3.2 集合的幂集讲解集合的幂集概念，即一个集合的所有可能的子集的集合。

举例说明幂集的表示方法和运算规则。

3.3 集合的德摩根定律讲解德摩根定律，包括德摩根第一定律和德摩根第二定律。

通过实例解释德摩根定律的应用和运算规律。

第四章：集合的排列和组合4.1 排列的概念讲解排列的概念，即从一组不同元素中取出几个元素按照一定的顺序排成一列。

举例说明排列的表示方法和运算规则。

4.2 组合的概念讲解组合的概念，即从一组不同元素中取出几个元素组成一个集合，不考虑元素的顺序。

举例说明组合的表示方法和运算规则。

4.3 排列和组合的公式讲解排列和组合的公式，如排列数公式和组合数公式。

通过实例解释排列和组合公式的应用和运算规律。

第五章：集合的应用5.1 集合在数学中的应用讲解集合在数学中的应用，如在代数、几何和概率论中的使用。

(2)列举法和描述法
列举法
描述法
把集合的元一素一列举
用集合所含元素的
_____________出来，并用
共同特征
概念
_______________表示集合的
花括号“{ }”括起来表示集
方法
合的方法
一般
形式 {a1，a2，a3，…，an}
{x∈I|p(x)}
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合．( √ ) (2)高一·二班“数学成绩好的同学”能组成集合．( × ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( × ) (4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合．(√ )
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A
3.常用的数集及其记法
常用的 自然数 数集 集 记法 N
正整数集 N*或N＋
有理数
整数集
实数集
集
Z
QR
4.集合的表示法 (1)自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法要注意叙述 清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的， 不能叙述成“正方形”．
4．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝___4_____，b＝ __－__1____．
集合的概念 判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)新华中学高一年级全体学生； (2)我国的大河流； (3)不大于 3 的所有自然数；
(4)平面直角坐标系中，和原点距离等于 1 的点．
(链接教材P3思考) [解] (1)能，(1)中的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标 准；(3)能，不大于 3 的所有自然数有 0、1、2、3，其对象是 确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判 断是不是“和原点的距离等于 1”，故能组成一个集合．

组成这个集合的对象叫做这个集合的元素． 集合常用大写英文字母表示，如：A，B，C…， 元素常用小写英文字母表示，如：a，b，c… .
问题1 判断下列对象能否组成集合 （1）某班所有的“帅哥” （2）某班身高高于175厘米的男生
答案 （1）“帅哥”无明确的标准，所以不能确定构成集合 （2）高于175厘米的男生标准确定，所以能构成一个集合. 集合中的元素必须是确定的
名称 符号
自然数集 N
正整数集 N*或N
＋
整数集 Z
有理数集 实数集
Q
R
典例精析 例2 方程x2=4的所有实数解组成的集合为A，则-2_____A， 5_____A（用符号“∈ ”或“∉”填空）．
例3 用符号“ ”或“ ”填空：
0
N； 0.6
Z； π
R；
1
3
Q； 0
.
随堂练习
1.下列各语句中的对象能否组成集合？如果能组成集合,写出它的 元素.如果不能组成集合, 请说明理由．
问题2 写出构成单词“banana”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？
答案 3个． 集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．
问题3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说： 北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他 们的回答都正确吗？由此说明什么？
答案 说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性，只 要构成两个集合的元素一样。
总结归纳 元素的性质：
确定性
集合中的元 素必须是确 定的
无序性
集合中的元 素都是互不 相同的
互异性
集合中的元 素与顺序 无
关
典1.例1.1精集析合的概念
例1 判断下列对象能否组成集合？

• 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合 的办法，叫文氏图。
多用于解题些指定的对象集在一起就形成一个集合。 • 集合的表示以及元素与集合间关系表示方 法。 • 集合表示方法： 列举法、描述法、文氏图法。 D:\高一PPT\集合的表示方法.doc D:\高一PPT\集合概念与表示方法练习题.doc
如何表示一个集合呢？
1.1.2集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
• 列举法 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常 常把集合的所有元素都列举出来，写在话 括号“{ }”内表示这个集合。例如，由两 个元素0，1构成的集合可表示为 {0,1}. 又如，24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成 的集合可以表示为 {1,2,3,4,6,8,12,24}.
• 大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意 一个元素，元素x从实数集合中取值，在竖 线集合右边写出只有集合内的元素x才具有 的性质
• 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一 个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的 元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的 一个特征性质。于是，集合A可以用它的特征性 质p(x)描述为
例题：
• 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所以很大的实数； （2）市四中高一（二）班的高个子同学； （3）1，1，2，3，4，5.
上面我们用自然的语言来描述集合的几个例 子，下面我们来看下集合的表示方法。
• 集合通常用英语大写字母A,B,C,...来表示，它们的元 素通常用英语小写字母a，b，c，...来表示。 • 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作 读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作
例题：
• 由方程 x 2 − 1 = 0 的所有解组成的集合，可 以表示为｛-1，1｝

第一章
集合与常用逻辑用语
π_____R.
习题1.1
1.用符号“∈”或“∉”填空:
(1)设A为所有亚洲国家组成的集合,则
中国_____A,美国_____A,印度_____A,英国_____A;
(2)若A＝{x|x2＝x},则-1_____A;
(3)若B＝ { x|x2+x-6＝0},则3_____B;
第一章
集合与常用逻辑用语
数学中一些常用的数集及其用法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记做N.
全体正整数组成的集合称为正整数集,记做N＊或N+.
全体整数组成的集合称为整数集,记做Z.
全体有理数组成的集合称为有理数集,记做Q.
全体实数组成的集合称为实数集,记做R.
例题:用∈和∉填空.
例如,集合D＝{x ∈ R |x＜10}也可表示为D＝{x|x＜10};
集合 E＝{x ∈Z |x＝2k+1,k ∈Z}也可表示为E＝{x|x＝2k+1, k ∈Z}.
第一章
集合与常用逻辑用语
课堂练习
1.判断下列元素的全体是否组成集合,并说明理由:
(1)A,B是平面α内的定点,在平面α内与A,B等距离的点;
因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
3.无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，
我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．
第一章 集合与常用逻辑用语
元素、集合的符号表示及元素与集合的关系
我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合
中的元素.
有理数集,我们将它表示为Q＝{x ∈

A
1到20内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，是确定的.
√
B
如何才算著名？标准不明确.
×
C
我国古代四大发明为造纸术、指南针、火药、印刷术，是确定的.
√
D
集合中元素明确，能构成集合.
√
例1-2 ［教材改编P5习题1.1 T1］用符号“∈ ”和“∉ ”填空：
∉
∉
（1）设集合是正整数的集合，则0___，
设另一元素为,由集合中元素的互异性可得 ≠ 1且 ≠ 2，假设 ≠ 3，此时 = {1，
2，}， + 1 ∉ ， − 1 ∉ ，是B的一个“孤立元”，不合题意，故 = 3．
据此分析满足条件的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，
6，7}，{6，7，8}，共有6个．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
必备知识解读
知识点1 集合与元素的含义
例1-1 ［教材改编P2引例］［多选题］下列各对象可以组成集合的是( ACD
A.1到20内的所有质数
B.中国著名的数学家
C.我国古代四大发明
D.某学校2023～2024学年度第一学期全体高一学生
)
【解析】
选项
分析
结果
∈ ,对任意 ∈ ,都有 ⊕ = ⊕ = ,则称关于运算⊕ 为“融洽集”.现给出下
列集合和运算：
① = {|是非负整数}，⊕ 为整数的加法；
② = {|是偶数}，⊕ 为整数的乘法；
③ = {|是二次三项式}，⊕ 为多项式的加法.
①
其中关于运算⊕ 为“融洽集”的是____.（写出所有满足条件的序号）
【解析】① = {|是非负整数}，⊕ 为整数的加法，满足对任意, ∈ ,都有

集合中的元素是没有顺序的
4.集合元素的性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
6.集合的表示方法:列举法、描述法和图示法. ⑴ 列举法：就是把集合中的元素一一列举出来，写在
大括号内表示集合的方法.
例如上述⑴、⑷组成的集合可分别表示为
{1，2，3，4，5}与{ x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}. 注意：1.用列举法表示集合时，不管元素的排列顺序如
何，只要所列的元素完全相同，它们表达的 就是同一个集合. 2.集合中的元素是没有重复现象的，即任何两个 相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个 集合的一个元素.
2.集合的表示:
集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示 如{1，2，3，4，5}与{练市中学的高一学生}； 又如A、B、C、P、Q…… 元素通常用小写的拉丁字母表示， 如a、b、c、p、q……
3.集合与元素的关系:
元素对于集合的从属关系
（1）属于(belong to)：如果a是集合A的元素，就说a 属于A，记作a∈A （2）不属于(not belong to )：如果a不是集合A的元 素，就说a不属于A，记作aA 说明:“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
4.集合元素的性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.

1 a
【解析】1.选A.A中a=0时,显然不成立. 2.选A.a= + < + =4<5, 所以a∈A. a+1< + 2 +1=35, 4 4 所以a+1∈A,
44
a2=( )2+2 × +( )2=5+2 >5,
所以a22∉A, 2 3 3
6
=
<5,
所1 以 ∈1A.
3 2
第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
1.元素与集合 (1)元素:把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母 a,b,c,…表示. (2)集合:一些元素组成的总体,简称集,常用大写拉丁 字母A,B,C,…表示.
(3)集合相等:指构成两个集合的元素是一样的. (4)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性.
【延伸·练】
数集A满足条件:若a∈A,则 ∈A(a≠1).若 ∈A,
求集合中的其他元素. 1 a
1
1 a
3
【解析】因为
1
∈A,所以
1
1 3
=2∈A,所以
1
2
=
3
1 1
1 2
-3∈A,所以1 3=-
1
∈A,所以
3 1
1 2
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1∈A.故当 1 ∈A
13 2
1 1 3
3
2
时,集合中的其他元素为2,-3,- 1 .
31 22
含有4个元素.其中正确的是 ( ) A.①②④ B.②③ C.③④ D.②④ 【解析】选B.①中的元素不能确定,④中的集合含有3 个元素,②③中的元素是确定的,所以②③能构成集合.

第一章 集合1.1 集合与集合的表示方法1.集合的概念（1）定义集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出描述性说明：某些指定的且不同的对象集在一起就成为一个集合。

组成集合的对象叫元素。

集合常用大写字母A B C 、、、…来表示。

元素常用小写字母a b c 、、、…来表示。

集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成一个集合。

对于集合我们一定要从整体的角度来看待它。

例如由“我们的同学”组成的一个集合A ，则它是一个整体，也就是一个班集体，也可以用我们班的序号来替代它。

构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的。

其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模棱两可的；“不同”是指构成集合的各个对象互不相同。

（2）元素与集合的关系元素与集合的关系有属于与不属于两种：元素a 属于集合A ，记作a A ∈；元素a 不属于集合A ，记作a A a A ∉∈或。

a A ∈与a A ∉取决于a 是不是集合A 中的元素。

根据集合中元素的确定性，可知对任何a 与A ，在a A ∈与a A ∉这两种情况中必有一种且只有一种成立。

符号“∈”“∉”仅表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系。

（3）集合中元素的特性①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

例如A ={0，1，3，4}，可知0,6A A ∈∉。

②互异性：“集合中的元素，必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任必修一何两个元素都是不同的”。

如方程2(4)0x -=的解集记为{4}，而不能记为{4，4}。

③无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合{a ，b ，c}与{c ，b ，a}是同一个集合。

（4）集合的分类集合根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。

如“方程3x+1=0的解组成的集合”，由“2，4，6，8组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。

如：（1）小于5的答自案然：数{1组，成－的1}集合可表示为____． （2）方程x2－1＝0的解集可表示为_{_x_∈__R_|_x_2-．1=0}
(4). Venn图
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示一个集合AA 图1-1
元素，称为空集，记为；
（4） 两个集合的元素若一样，则称它们相等。
4．几个常用数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N＋* : 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数集
5．集合的几种表示法
(1).自然语言法
(2).列举法：适用对象：有限、有规律
取值范围．a≠-2 (互异性应用）
知识点2 元素与集合的关系
1. 用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2)
Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) 2 3 Q (6) 2 3 R
书本P5:1
温馨提示：分类讨论+检验
3.已知x2∈{1, 0，x}，求实数x的值．
(3)无序性：集合中的元素是无
先后顺序的．
3．集合与元素的关系：
（1） 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作a A．
（2） 集合中的元素可以是数，点，式， 图，人，物……；
（3） 集合中的元素个数如果有限，称为有 限集；如果个数无限，称为无限集；如果没有
(5)小于10的所有自然数组成的集合； (6)1~20以内的所有素数组成的集合；
2、用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)直角坐标平面内坐标轴上的点集．

1.2.2 真子集 集合B 是集合A 的子集，且A 中至少有一个元素不属于B ，则B 叫做A 的真子集，记作 B Ü A （或 A ß B ）. 读作：B真包含于A（或A真包含B） 同时，也是可以写成B A(A B) 空集是任何非空集合的真子集.
子集与真子集的区别
子集的定义：如果集合B的每一个元素 都是集合A的元素，则称集合B是集合A的 子集。 真子集的定义：如果集合C是集合A的 子集，并且集合A中至少有一个元素不属 于集合C，则称集合C是集合A的真子集。
（1）所有小于5的自然数.
x 2 2 0 的所有解. （2）方程
（3）不等式 x 1 0 的所有解. （4）某校高个子的同学.
• 例1（1）中，集合的元素是小于5的五个自 然数，像这样由数组成的集合叫做数集. • 例1（2）中，集合的元素是 2 和 2，它 们都是方程的解，像这样由方程的所有解 组成的集合叫做这个方程的解集. • 例1（3）中，集合的元素是大于1的实数， 它们都是不等式的解，像这样由不等式的 所有解组成的集合叫做这个不等式的解集.
注意
元素与集合的关系表述：
例2 用∈和 填入下列空白处
1 （1） 3
Z; N; R. （2）-20 （3) 3 15
解 （1）

（2）
（3）
∈
习题4
集合A只含有元素a，则下列各式正 确的是（ ） A．0∈A B．aA C．a∈A D．a=A
解析：元素和集合之间的关系是“∈”和 “ ” 的关系，a是这个集合中的元素，所 以a∈A． 答案：C
n * {x | x , n N 且n 6} n2
例5 用适当的方法表示下列集合. （1）中央电视台的所有主持人.

必修一第一章集合与函数概念第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（一）集合的概念一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。

（1）关于集合的元素的特征①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

③无序性 .（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a ∈M ，或者a ∉M ，两者必居其一.（二）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

③描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内。

{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x，y)|y=2x +1}，{直角三角形}，…；强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.{(x，y)|y= x +3x+2}与 {y|y= x +3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集 Z 。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

解题方法 (根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤)
求解
根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值
检验 作答
根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验 写出所有符合题意的字母的取值
自主预习，回答问题
阅读课本3-5页，思考并完成以下问题
1.集合有哪两种表示方法?它们如何定义? 2.它们各自有什么特点? 3.它们使用什么符号表示?
(3)不能出现未被说明的字母.
[小试身手]
1.判断(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}. ( × )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.
(×)
(3)集合A={xlx—1=0} 与集合B={1} 表示同一个集合.( √ )
答案： C
_个元素.
答案：2
所有解组成的集合中共有
题型分析 举一反三
题型一集合的含义
[例1] 考查下列每组对象，能构成一个集合的是(B ) ①某校高一年级成绩优秀的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④202X年第23届冬季奥运会金牌获得者.
A.③④
B.②③④
C.②③
D.②④
解 题 方 法(判断一组对象能否组成集合的标准)
· 解题方法(描述法表示集合的2个步骤)
写代表元素
明确元素 的特征
分清楚集合中的元素是点还是数或是其 他的元素
将集合中元素所具有的公共特征，写在竖 线的后面
[跟踪训练二]
3. 用符号“∈”或“中”填空：
(1)A={xlx²—x=0}, 则1
A,—1
A;
(2)(1,2)

第⼀章1.1集合的概念第⼀章集合与常⽤逻辑⽤语[数学⽂化]——了解数学⽂化的发展与应⽤康托尔与集合论翻开⾼中数学课本，⾸先映⼊眼帘的数学概念是集合.研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论.它不仅是数学的⼀个基本分⽀，在数学中占据着⼀个极其独特的地位，⽽且其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学⽐作⼀座⽆⽐辉煌的⼤厦，那么集合论正是构成这座⼤厦的基⽯.其创始⼈康托尔也以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之⼀.康托尔(Georg Cantor，1845～1918)，德国数学家，⽣于俄罗斯圣彼得堡，⾃幼对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托尔获得博⼠学位，以后⼀直在哈雷⼤学任教，从事数学教学与研究.[读图探新]——发现现象背后的知识⼀位渔民⾮常喜欢数学，但他怎么也想不明⽩集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先⽣，请你告诉我，集合是什么？”⽽集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民.有⼀天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔⽹，轻轻⼀拉，许多鱼在⽹中跳动.数学家激动的喊：“找到了，找到了，这就是⼀个集合”.问题1：数学家说的集合是指什么？集合中的对象是什么？这些对象有完全⼀样的吗？⽹中的“⼤鱼”能构成集合吗？问题2：渔民⽹中的鱼组成的集合和湖中的鱼组成的集合有怎样的关系？问题3：如果有两个渔民都在打渔，他们各⾃渔⽹中的鱼的种类组成两个集合，那么求这两个集合中的相同鱼的种类组成的新集合是集合的什么运算？将两个渔⽹中的鱼组成的集合中的鱼的种类合在⼀起的过程⼜是集合的哪种运算？链接：数学家所说的集合是指渔⽹中的鱼，很显然渔⽹中的对象都是确定的、⽆序的和互异的；渔⽹中的鱼组成的集合是湖中的鱼组成集合的⼀部分，是湖中鱼构成集合的⼀个⼦集；两个渔⽹中相同鱼的种类组成的集合是两个集合的交集，两个渔⽹中的鱼的种类合在⼀起就构成了两个集合的并集.1.1集合的概念课标要求素养要求1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在⾃然语⾔和图形语⾔的基础上，⽤符号语⾔刻画集合.在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由⾃然语⾔和图形语⾔到符号语⾔的表达过程，发展学⽣的数学抽象素养和数学运算素养.教材知识探究中国共产党第⼗九次全国代表⼤会(简称党的⼗九⼤)于2017年10⽉18⽇⾄10⽉24⽇在北京召开.问题党的⼗九⼤会议的代表能否构成⼀个集合？提⽰党的⼗九⼤会议的代表能构成⼀个集合.1.元素与集合的概念集合中元素的三个特性是解决集合问题的关键(1)⼀般地，我们把研究对象统称为元素，把⼀些元素组成的总体叫做集合(简称为集).(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、⽆序性.(3)只要构成两个集合的元素是⼀样的，我们就称这两个集合是相等的.2.元素与集合的关系在a∈A与a A这两种情况中有且只有⼀种成⽴知识点关系概念记法读法元素与集合属于如果a是集合A中的元素，a∈A “a属于A”的关系就说a属于A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于Aa A “a不属于A”名称⾃然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R (1)列举法列举法对有限集情有独钟，但⾃然数集、整数集也可⽤列举法来表⽰，但不能⽤来表⽰实数集把集合的所有元素⼀⼀列举出来，并⽤花括号“{}”括起来表⽰集合的⽅法叫做列举法，⼀般可将集合表⽰为{a，b，c，…}.(2)描述法⼀般地，设A是⼀个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表⽰为{x∈A|P(x)}，这种表⽰集合的⽅法称为描述法，有时也⽤冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.教材拓展补遗[微判断]1.漂亮的花可以组成集合.(×)提⽰“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.2.由⽅程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.(×)提⽰由于集合中的元素具有互异性，故由两⽅程的根组成的集合中有2个元素.3.元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的.(×)提⽰集合中的元素具有⽆序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同⼀集合.[微训练]1.⽤符号“∈”或“”填空.(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；(2)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，9.1________C.解析(1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴－1A.(2)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴8∈C，9.1C.答案(1)(2)∈2.试分别⽤描述法和列举法表⽰下列集合：(1)由⽅程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)⼤于2且⼩于7的整数.解(1)⽤描述法表⽰为{x∈R|x(x2－2x－3)＝0}，⽤列举法表⽰为{0，－1，3}.(2)⽤描述法表⽰为{x∈Z|2[微思考]1.设集合A表⽰“1～10以内的所有素数”，3，4这两个元素与集合A有什么关系？如何⽤数学语⾔表⽰？提⽰3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4A.2.某班所有的“帅哥”能否构成⼀个集合？某班⾝⾼⾼于175厘⽶的男⽣能否构成⼀个集合？集合元素确定性的含义是什么？提⽰某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”⽆明确的标准.⾼于175厘⽶的男⽣能构成⼀个集合，因为标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定⼀个集合，那么任何⼀个元素在不在这个集合中就确定了.题型⼀集合概念的理解【例1】考察下列每组对象能否构成⼀个集合：集合中的元素具有确定性(1)不超过20的⾮负数；(2)⽅程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2019年在校的所有矮个⼦同学；(4)3的近似值的全体.解(1)对任意⼀个实数能判断出是不是“不超过20的⾮负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“矮个⼦”⽆明确的标准，对于某个⼈算不算矮个⼦⽆法客观地判断，因此不能构成⼀个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断⼀个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.规律⽅法判断⼀组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定⽆疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定⽆疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.【训练1】(1)下列给出的对象中能构成集合的是()A.著名物理家B.很⼤的数C.聪明的⼈D.⼩于3的实数(2)下列各组对象可以构成集合的是()A.数学必修第⼀册课本中所有的难题B.⼩于8的所有素数C.直⾓坐标平⾯内第⼀象限的⼀些点D.所有⼩的正数解析(1)只有选项D有明确的标准，能构成⼀个集合.(2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“⼀些点”⽆明确的标准，对于某个点是否在“⼀些点”中⽆法确定，因此“直⾓坐标平⾯内第⼀象限的⼀些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合. 答案(1)D(2)B题型⼆集合中元素的性质及应⽤元素与集合的关系⽤“∈”或“”表⽰【例2】(1)给出下列关系：①12∈R；②|－3|N；③|－3|∈Q；④0N.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析①正确；②③④不正确.答案 A(2)已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－3 2.当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝－32.规律⽅法利⽤集合中元素的互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进⾏检验.(2)注意点：利⽤集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应⽤. 【训练2】(1)设集合M是由不⼩于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是()A.a∈MB.a MC.a＝MD.a≠M解析判断⼀个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是.∵11<23，∴a M .答案 B(2)已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3是集合A 中的元素，试求实数a 的值.解因为－3是集合A 中的元素，所以－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合要求；若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合要求. 综上所述，满⾜题意的实数a 的值为0或－1.题型三集合的表⽰⽅法【例3】⽤适当的⽅法表⽰下列集合： (1)⽅程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在⾃然数集内，⼩于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x －2>6的解的集合；(4)⼤于0.5且不⼤于6的⾃然数的全体构成的集合； (5)⽅程组x ＋y ＝3，x －y ＝5的解集.解 (1){0，－1}；(2){x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； (3){x |x >8}；(4){1，2，3，4，5，6}；(5)解集⽤描述法表⽰为（x ，y ）|x ＋y ＝3，x －y ＝5，解集⽤列举法表⽰为{(4，－1)}.规律⽅法 (1)⼀个集合可以⽤不同的⽅法表⽰，需根据题意选择适当的⽅法，同时注意列举法和描述法的适⽤范围.(2)⽅程(或⽅程组)的解的个数较少，因此⽅程(或⽅程组)的解集⼀般⽤列举法表⽰；不等式(或不等式组)的解集⼀般⽤描述法表⽰.注意，当题⽬中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，⼀定要将最终结果写成集合的形式. 【训练3】 (1)下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A.{x |x ＝1} B.{y |(y －1)2＝0} C.{x ＝1}D.{1}(2)有下⾯六种表⽰⽅法①{x ＝－1，y ＝2}；②(x ，y )|??x ＝－1，y ＝2；③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥{x ，y |x ＝－1或y ＝2}.其中，能正确表⽰⽅程组2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(填序号).解析 (1)由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，⽽集合{x ＝1}表⽰由⽅程x ＝1组成的集合，故选C. (2)件中“或”也要改为“且”⼀、素养落地1.通过集合概念及元素与集合关系的学习，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养.2.研究对象能否构成集合，就是要看是否有⼀个确定的标准，能确定⼀个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.这是判断能否构成集合的依据.3.表⽰集合的要求：(1)根据要表⽰的集合元素的特点，选择适当⽅法表⽰集合，⼀般要符合最简原则.(2)⼀般情况下，元素个数⽆限的集合不宜⽤列举法表⽰，描述法既可以表⽰元素个数⽆限的集合，也可以表⽰元素个数有限的集合.⼆、素养训练1.现有下列各组对象：①著名的数学家；②某校2019年在校的所有⾼个⼦同学；③不超过30的所有⾮负整数；④⽅程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平⾯直⾓坐标系中第⼀象限内的点.其中能构成集合的是()A.①③B.②③C.③④D.③④⑤解析①著名的数学家⽆明确的标准，对某个数学家是否著名⽆法客观地判断，因此①不能构成⼀个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给⼀个整数，可以明确地判断它是不是“不超过30的⾮负整数”，因此③能构成⼀个集合；类似地，④也能构成⼀个集合；对于⑤，“在第⼀象限内”不仅可以⽤坐标系进⾏图⽰，也可以通过点的横纵坐标是否都⼤于0来判断，标准是明确的，因此能构成⼀个集合. 答案 D2.已知1，x ，x 2三个实数构成⼀个集合，x 满⾜的条件是( ) A.x ≠0 B.x ≠1C.x ≠±1D.x ≠0且x ≠±1解析根据集合中元素的互异性，得1≠x ，x ≠x 2，x 2≠1，解得x ≠0且x ≠±1. 答案 D3.下列所给关系正确的个数是( ) ①2Q ；②|－1|∈N ；③π∈R ；④－3∈Z .A.1B.2C.3D.4解析∵2是⽆理数，∴2Q ，因此①正确.⼜|－1|＝1∈N ，π是实数，－3是整数，故②③④也正确. 答案 D4.已知集合A 中的元素x 满⾜x ≥2，若aA ，则实数a 的取值范围是________.解析由题意a 不满⾜不等式x ≥2，即a <2. 答案 a <25.若集合A 是由所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成，判断－6＋22是不是集合A 中的元素？解因为－2∈Z 且2∈Z ，所以－6＋22＝3×(－2)＋2×2是形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数，即－6＋22是集合A 中的元素.基础达标⼀、选择题1.以下各组对象不能组成集合的是( ) A.中国古代四⼤发明 B.地球上的⼩河流 C.⽅程x 2－1＝0的实数解 D.周长为10 cm 的三⾓形解析选项B 中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能组成集合. 答案 B2.⽅程组x －y ＝3，2x ＋y ＝6的解集是( )A.{x ＝3，y ＝0}B.{3}C.{(3，0)}D.{(x ，y )|(3，0)}解析⽅程组解的形式是有序实数对，故可排除A ，B ，⽽D 不是集合表⽰的描述法的正确形式，排除D. 答案 C3.下列集合中恰有2个元素的集合是( ) A.{x 2－x ＝0} B.{y |y 2－y ＝0} C.{x |y ＝x 2－x }D.{y |y ＝x 2－x }解析选项A 中的集合只有⼀个元素为：x 2－x ＝0；集合{y |y 2－y ＝0}的代表元素是y ，则集合{y |y 2－y ＝0}是⽅程y 2－y ＝0根的集合，即{y |y 2－y ＝0}＝{0，1}；选项C ，D 中的集合中都有⽆数多个元素，故选B. 答案 B4.若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A.矩形B.平⾏四边形C.菱形D.梯形解析由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，⽽梯形的四条边可以互不相等，故选D.答案 D5.⽤描述法表⽰图中所⽰阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是()A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}解析由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，∴集合{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表⽰阴影部分点的集合.答案 B⼆、填空题6.已知①5∈R；②13∈Q；③0N*；④πQ；⑤－4Z.正确的个数为________.解析①②③④是正确的；⑤是错误的.答案 47.若集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，a2，且P和Q相等，则a的值为________.解析由于P和Q相等，故a2＝2，∴a＝±2.答案±28.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.解析由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故⽅程x2－4x＋4＝0的解为x ＝2，即{x |x 2－4x －a }＝{2}，则其所有元素之和为2. 答案 2 三、解答题9.判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)2，32，64，－13，13这些数组成的集合有5个元素；(2)⽅程(x －3)(x ＋1)2＝0的解组成的集合有3个元素. 解 (1)不正确.∵32＝64，－13＝13，∴这个集合有3个元素.(2)不正确.⽅程(x －3)(x ＋1)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素.10.⽤适当的⽅法表⽰下列集合：(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的⾃然数的集合； (2)⽅程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集.解 (1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的⾃然数有：12，21，13，31，23，32，⽤列举法可表⽰为{12，21，13，31，23，32}. (2)由2x ＋1＋|y －2|＝0，得2x ＋1＝0，y －2＝0，所以x ＝－12，y ＝2，所以⽅程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集⽤描述法可表⽰为(x ，y )x ＝－12y ＝2；⽤列举法可表⽰为－12，2.能⼒提升11.由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同⼀个集合，求a 2 019＋b 2 019的值.解由a ，ba ，1组成⼀个集合，可知a ≠0，a ≠1，由题意可得a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或a 2＝a ，a ＋b ＝1，ba ＝0，解得a ＝－1，b ＝0或a ＝1，b ＝0(不满⾜集合元素的互异性，舍去).所以a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋0＝－1. 12.下⾯三个集合： A ＝{x |y ＝x 2＋1}； B ＝{y |y ＝x 2＋1}； C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各⾃的含义是什么？解 (1)在A ，B ，C 三个集合中，虽然特征性质的表达式⼀致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合. (2)集合A 的代表元素是x ，满⾜y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R .集合B 的代表元素是y ，满⾜y ＝x 2＋1的y ≥1，故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}.集合C 的代表元素是(x ，y )，满⾜条件y ＝x 2＋1，即表⽰满⾜y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；也可认为满⾜条件y ＝x 2＋1的坐标平⾯上的点.因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|(x ，y )是抛物线y ＝x 2＋1上的点}.。

栏目 导引
第一章 集 合
解析：①能，①中的对象是确定的；②不能，“大”无明确标 准；③能，不大于 3 的所有自然数有 0、1、2、3，其对象是 确定的；④能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判 断是不是“和原点的距离等于 1”，故能组成一个集合；⑤ 不能，“高科技”的标准不能确定；⑥不能，没有一个确定的 标准来判断某个人是否是“好心人”． 答案：①③④
3．集合元素的三个特性
元素
意义
元素与集合的关系是确定的，即给定元素 a 和集合 确定性
A，a∈A 与 a∉A 必居其一
集合中的元素互不相同，即 a∈A 且 b∈A 时，必 互异性
有 a≠b
无序性 集合中的元素可以任意排列顺序
栏目 导引
第一章 集 合
4．集合的分类
空集：不含任何元素，记作_∅__
集合非空集合：
记法 __N_ ___N__＋_或__N__* __ _Z__ _Q__ _R__
栏目 导引
第一章 集 合
1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A．著名的中国数学家 B．所有的负数 C．清华大学招收的 2016 届本科生 D．满足 3x－2＞x＋3 的全体实数 答案：A
栏目 导引
第一章 集 合
A．0
B．1
C．2
D．3
栏目 导引
第一章 集 合
【解析】 (1)12是实数， 2是无理数，|－3|＝3 是非负整数， |－ 3|＝ 3是无理数．因此，①②③正确，④错误． (2)因为 a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N，若 a＝0，则 4 －a＝4，此时 A 满足要求；若 a＝1，则 4－a＝3，此时 A 满 足要求；若 a＝2，则 4－a＝2，此时 A 含 1 个元素不满足要 求．故有且只有 2 个元素的集合 A 有 2 个，故选 C． 【答案】 (1)C (2)C

列举法{0，1，2，3，4，5}
元素是可以一一列举的
描述法 {x |
x 5, x R}
元素无法一一列举但特征明显
高教社
巩固知识 典型例题
例2 用列举法表示下列集合： ⑴ 大于-4且小于12的全体偶数;
2 x 5 x 6 0的解集． ⑵ 方程
用列举法表示集合时，不必考虑
分析
这两个集合都是有限集． 元素的排列顺序, 但是列举的元素
1 x x „ 2
x x 2k 1, k Z
x, y x 0, y 0 （3）由第一象限所有的点组成的集合．
.
分析 用描述法表示集合关键是找出元素的特征性质． （1）解不等式就可以得到不等式解集元素的特征性质； （2）特征性质是“元素都能写成 2k 1(k Z) 的形式” ． （3）特征性质是“为第一象限的点” ，即横坐标与纵坐标都为正数．
练 习
选用适当的方法表示出下列各集合： (1)由大于 10 的所有自然数组成的集合；(2)方程 x 2 9 0 的解集； (3)不等式 4 x 6 5 的解集；
.
(4)平面直角坐标系中第二象限所有的点组成的集合； (5)方程 x 4 3 的解集；
2
3x 3 0, (6)不等式组 的解集． x 6„ 0
动脑思考
元素的性质
探索新知
确定性
无序性
互异性
一个给定的 集合中的元 素必须是确 定的
.
不能确定的对象，不能组成集合 一个给定的 一个给定的
例1 判断下列对象是否可以组成集合： 集合中的元 集合中的元 (1)素都是互不 小于10的自然数； 素排列无顺 (2)某班个子高的同学； 序 相同的 (3) 方程x2-1=0的解； (4)不等式x-2>0的解.