高数函数极限与连续共48页

表示方法
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。

极限，记为
x x0
lim f ( x ) A或者f ( x ) A( x x0 )
注： 定义中0<|x - x0 |表示x ≠x0 , 所以x→ x0时f (x) 的 极限是否存在与f (x)在点x0是否有定义并无关 系.
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(2)(ε － δ定义)几何解释：
如果左右极限有一个不存在或虽然两者都 存在但不相等，则 lim f ( x ) A不存在.
x x0
2013-7-16 第11页
x 1, 第 讨论f ( x ) x, 一 解:
例1
x 0, x0
当x 0时的极限.
章 函 数 、 极 限 与 连 续
因为在x 0两侧函数的表达式不同, 所以应当分别考察两个单侧极限.
x x0
lim f ( x ) A
左极限， 也可记为f ( x0 ) A
lim f ( x ) B
右极限， 也可记为f ( x ) B
0
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) A, lim f ( x ) A
x x0
x x0
点x0的去心邻域,
体现x接近x0程度.
2013-7-16 第7页
第 一 章 函 数 、 极 限 与 连 续
(1)严格定义(ε-δ定义略)：设函数f (x)在x=x0 的某
去心邻近内有定义，任意给定的ε>0(无论它多么
小),总存在正数δ>0 ,使得当0<|x - x0 |< δ时，恒
有| f (x)－A|<ε ，则称常数A为函数当x→ x0时的
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;

定积分及其应用
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是 函数在区间上积分和的极限。
定积分的性质
包括线性性质、区间可加 性、常数倍性质、比较性 质等。
定积分的几何意义
定积分在几何上表示曲线 与x轴所夹的面积。
定积分的计算方法
微积分基本定理
微积分基本定理是计算定积分的 基础，它将定积分转化为不定积
高数上册函数极限与 连续课件
• 函数的概念与性质 • 极限的概念与性质 • 连续函数 • 导数的概念与性质 • 原函数与不定积分 • 定积分及其应用
目录
函数的概念与性质
函数的性质（奇偶性、周期性、单调性等）
奇偶性
如果对于函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于 函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
原函数与不定积分
原函数的概念与性 质
总结词
理解原函数的概念和性质是学习高数的重要基础。
详细描述
原函数是指一个函数的导数等于另一个函数，即如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。 原函数具有一些重要的性质，例如，如果F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C（C为常数）也是f(x)的原函数。
唯一性
若函数在某点的极限存在， 则该极限值是唯一的。
有界性
若函数在某点的极限存在， 则该点的函数值是有界的。
局部保号性
若函数在某点的极限大于 0，则该点的函数值也大 于0；反之亦然。
无穷小量与无穷大量
无穷小量
在自变量趋近某一值时，函数值趋近于0的量。

示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零 点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区 间上从正变负或从负变正，则可以利 用函数的连续性找到函数的零点。这 是因为函数在这一点上从增加变为减 少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点 连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他 数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和 完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与 极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的 重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。

数列的极限(86) 53
例 2 证明 证
p lim 0 ，其中 ( 0), n n
p 为常数。
任给 0, 因为
1
p | p| 0 = < , n n
即
1
|p| n .

所以,
取N [(
| p|

) ],
则当n N时, 就有
p 0 < , 即 n
数列的极限(86) 31
3、数列概念：
按自然数 1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列，其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
如：
2,4,8,,2 n ,;
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
第1章 函数、极限与连续
1.1 函数
1.1.5 初等函数
2018/11/20
北京师范大学
1
1.1.5
初等函数
y
y x
(1,1)
1. 基本初等函数
(1) 幂函数
y x ( 为常数 )
1 y x
y x2
1
y
x
o
1
x
函数(63)
2
(2) 指数函数
1 x y( ) a
y ax
(a 0, a 1)
y ex
y ax
(a 1)

(0,1)
函数(63)
3
(3) 对数函数
y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x

x
lim 2 x 0 lim 2 x
由引例得： lim
x
1 （公式 0 1 ） x x 同样有： lim C C（公式2）
lim 2 x 不存在
【备注】 x 时，函数f ( x)的极限： lim f ( x) A
x x
x 时，函数f ( x)的极限： lim f ( x) A
x 0
还是从右侧趋近于2，函数y都无限接近于4。 今后，将常数4称为函数y当x 2时的极限。
lim x x（公式 3） 0
x x0 x x0
lim C C（公式4）
【定义】
设函数y f ( x)在x0点的某邻域（可以是空心） 有定义，如果当x无限接近于x0时，函数y f ( x) 无限接近于某个确定的常数A。 则称A为函数f ( x)当x x0时的极限。 记为： lim f ( x) A
x x0 x
【例】判断下列函数在给定的 变化过程中是否为无穷大量？ 1 （ 1 ）y ( x 0) x (2) y 2 x ( x )
同样，可以定义“”和“-”
【说明】
（ 1 ）无穷大量是绝对值可以无限变大的变量，而不是“很大很大”的数。 （2）一个变量是否为无穷大量，必须与某一变化过程相关。 （3）无穷大量是极限不存在的一种特例。
x0 x0 x0
【备注2】极限与单侧极限的关系--【定理】 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 x x0 x x0
即：极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。
【备注3】求分段函数在分界点处的极限，须先计算左、右极限，然后再 判断极限的情况。

a 1 时，y log a x 单调递增， y
y logax (a 1)
0 a 1时y， log a x 单调递减。 o
x
y logax (0 x 1)
1-1 函数
4. 三角函数
正弦函数：y sin x
定义域：(,)．
值 域：[1,1] ．
单调性：
在
2
2k , 2
2k
单调增加；2
1-1 函数
函数的表示法
1）以数学式子表示函数的方法叫公式法如： y x2, y cos x 公式法的优点是便于理论推导和计算．
2）以表格形式表示函数的方法叫表格法，它是 将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函 数表、对数表等，表格法的优点是所求的函数值容 易查得．
3）以图形表示函数的方法叫图形法或图象法， 这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观 形象，可看到函数的变化趋势．
4
2
3
（2） y sin x cosx 的周期T 2
（3） y cos 2x tan x 的周期T 3 ．
3 3 6
1-1 函数
4．有界性
定义 1.6 设函数 y f (x) 的定义域为 D，如果存在 一个正常数 M，使得对于任意的 x D ，都有| f (x) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上有界．如果不存在这样的正常 数 M，即对任意的正常数 M，都存在某个点 x0 D ，使 得| f (x0 ) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上无界．
2k ,
3
2
2k
单调减少．
奇偶性：奇函数．
周期性：周期函数．
有界性：有界函数．
余弦函数：y cosx
1-1 函数

极限的单调有界定理
单调有界定理是极限运算中的另一个重要定理，它指出如果一个数列是 单调递增（或递减）且有上界（或下界），那么这个数列必定收敛。
单调有界定理的应用也需要证明数列的单调性和有界性，并证明其收敛 性。在应用单调有界定理时，需要注意数列的单调性和有界性的判断。
单调有界定理在研究函数的极限和连续性等方面也有着重要的应用，可 以用来求解一些较为复杂的极限问题。
总结词
收敛数列的性质。
详细描述
数列的极限定义基于一个实数$lim_{n to infty} a_n = L$ ，表示当$n$趋向无穷大时，数列$a_n$趋向于一个常数 $L$。
详细描述
收敛数列具有唯一性、有界性和稳定性等性质，这些性质 在解决实际问题中具有重要应用。
函数的极限
总结词
函数的极限描述了函数在某一点或无穷远点的变化趋势。
泛函分析
泛函分析是数学分析的延伸和发展，涉及到函数空间、算子、泛函等概念。在泛函分析中，连续与极限 的概念被用于研究函数空间的结构、算子的性质以及解决一些与函数空间相关的数学问题。
在实际生活中的应用
金融
在金融领域中，连续与极限的概念被用于描述金融数据的波动和变化，以及预测 金融市场的走势和风险。例如，在期权定价、风险评估和投资组合优化等方面， 连续与极限的概念有着广泛的应用。
03
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。
在进行极限的四则运算时，需要注意运算的优先级和运算顺序，同时要确保各项的 极限都存在。
极限的四则运算法则可以用来求解一些简单的极限问题，也可以为后续的夹逼定理 和单调有界定理等提供基础。
极限的夹逼定理

当n
时收敛于a,
记作
lim
n
xn
a.
如果数列没有极限,就称该数列是发散的.
例如上面的数列有
=1
观察前面所举数列的例子, 不难看出：
lim 1 0, n 2n
lim (1)n1 1 0,
n
n
n 1 lim 1. n n
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例如,
收 敛
第11页/共44页
发 散 趋势不定
例：求下列数列的极限
lim f (x) lim f (x)
xx0 0
xx0 0
第31页/共44页
例：函数
不存在。
第32页/共44页
例3 求函数
x 1, f (x) 0,
x 1,
x 0, x 0, x 0.
当 x 0时的左极限和右极限,并证明
解当 x 0 f (x) xFra bibliotek1lim f (x)不存在.
3
(1)
(2)
(5 + )
n2
解(1)原式 =
=1
(2)原式 = 5.
第12页/共44页
下面用精确的、定量化的数学语言来给出数列 极限的定义.
先说明在数学上如何刻划“无限接近”与“无限增大” ：
我们用 x a 来表示x与a的 接近程度,用
n N 来表示n无限增大 .
第13页/共44页
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
心邻域
o
U (x0 , )
内有界。
3.局部保号性
f (x) 在
x 的某个去 0
定理3 若 lim f (x) A 0 (或A 0), 则
o
x x0

第三讲
函数的极限与连续性
考点 函数极 函数极 限、函 数的连
考纲要求 了解函数极限的概念，了
考查角度
限；左右 解左右极限的概念；掌握
极限；函 函数极限的四则运算法
数的连续 则，会求函数的极限；了 性；连续 解函数连续的意义；了解 函数的性 闭区间上连续函数有最大 质 最小值的性质
求函数的极
限；求函数 连续的条件
(2)如果函数 f(x)， g(x)在 x0 处连续， 那么函数 f(x)± g(x)， fx f(x)· g(x)，及 (g(x)≠0)在点 x0 处都连续． gx 函数 f(x)在点 x0 处连续反映在函数的图象上是在点 x0 处图象是连着的，不间断的． (3)若函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么函数 f(x) 在闭区间[a，b]上有最大值和最小值，在开区间(a，b)内 则没有这个性质．
fx－4x3 解：∵f(x)是多项式，且lim x→∞ x2 ＝1， ∴可设 f(x)－4x3＝x2＋ax＋b(a，b 为待定系数)， 即 f(x)＝4x3＋x2＋ax＋b. fx b 2 又lim (4x ＋x＋a＋ x)＝5， x →0 x→0 x ＝5，即lim
13 3 － x 3x3－1 3－0 【自主解答】 (1) lim ＝ ＝ 3＝lim x→∞ x＋1 x→∞ 1 3 1＋03 1＋ x 3； x2－1 x＋1x－1 x＋1 3 (2) lim ＝lim ＝lim ＝4； 2 x→2 x ＋x－2 x→2 x－1x＋2 x→2 x＋2 x 2 x cos 2－sin 2 x x (3)原式＝ limπ ＝ limπ (cos ＋ sin ) x x 2 2 x→ cos －sin x→ 2 2 2 2
1 2 m m－1 1 ＝lim (C ＋ C x ＋ … ＋ C x ) ＝ C m m m m＝m＝b. x→0