2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期中数学试卷

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三（上）选拔考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={0}，B={﹣1，0，1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C 的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．82．（5分）已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，则z1=+|z|在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）长郡中学将参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3， (1200)从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为（）A．68 B．92 C．82 D．1704．（5分）在菱形ABCD中，A（﹣1，2），C（2，1），则•=（）A．5 B．﹣5 C．﹣D．﹣5．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与圆D：x2+y2﹣2ax+a2=0交于A，B两点，若四边形OADB（O为原点）是菱形，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与它其中蕴含的奇偶归一思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i 分别为（）A．a是偶数？；6 B．a是偶数？；8 C．a是奇数？；5 D．a是奇数？；77．（5分）已知数列{a n}是等差数列，若T n=na1+（n﹣1）a2+…+2a n﹣1+a n（n≥2），且T2=7，T3=16，则a n=（）A．n+1 B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．4n﹣38．（5分）已知函数f（x）=cos（3x+φ）（0＜φ＜π），将f（x）的图象向右平移个单位所得图象关于点（，0）对称，将f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位所得图象关于y轴对称，则θ的值不可能是（）A．B． C． D．9．（5分）若函数f（x）=的图象上存在关于直线y=x对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[0，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）10．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1，若以C1，C2四个顶点为顶点的四边形的面积为S1，以C1，C2四个焦点为顶点的四边形的面积为S2，则取到最大值时，双曲线C1的一条渐近线方程为（）A．y=x B．y=x C．y=x D．y=2x11．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AD=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为（）A．B．2 C．2 D．212．（5分）已知函数f（x）=x2+πcosx+a在（0，π）上有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），给出下列结论：①f'（x1）＜0；②f'（x2）＞0；③x1+x2＜π．其中错误结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）=ln（e2x+1）+kx是偶函数，则k=．14．（5分）如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5分）不等式组表示的平面区域为D，若（x，y）∈D，则（x﹣1）2+y2的最小值为．16．（5分）已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosA．（Ⅰ）若△ABC的面积S=，求证：a≥；（Ⅱ）如图，在（Ⅰ）的条件下，若M，N分别为AC，AB的中点，且=，求b，c．18．（8分）据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有﹣个成绩，不再颁发“合格证．这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试425分及以上可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上可以报考口语．如图是某大学数学专业的40人2017年7月英语四级成绩中随机抽取的8人成绩的样本茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶）（Ⅰ）通过这8人英语四级成绩估计某大学数学专业英语四级成绩的平均数和中位数；（Ⅱ）在样本数据中，从可以报考大学六级考试的学生中任取两人，求这两人都可以报考口语的概率．19．（8分）如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB ⊥BC，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．（Ⅰ）若=λ，且DN⊥AC，求λ的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B﹣DMN的体积．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）及点D（0，﹣），动直线l：y=kx+1与抛物线C交于A、B两点，若直线AD与BD的倾斜角分别为α，β，且α+β=π．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若H为抛物线C上不与原点O重合的一点，点N是线段OH上与点O，H 不重合的任意一点，过点N作x轴的垂线依次交抛物线C和x轴于点P，M，求证：|MN|•|ON|=|MP|•|OH|．21．（12分）设函数f（x）=（1﹣a）lnx+x2﹣x．（Ⅰ）若对任意的实数a，曲线f（x）在x=t处的切线斜率恒为零，求t的值；（Ⅱ）若0＜a＜2﹣，x≥1，求证：f（x）＞．22．（14分）如图，PA、PBC分别是圆O的切线和割线，其中A为切点，M为切线PA的中点，弦AD、BC相交于点E，弦AB延长线上的点F，满足∠FBD=∠FED．求证：P、F、D三点共线的充分必要条件是M、B、D三点共线．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）若曲线C关于直线l对称，求a的值；（Ⅱ）若A，B为曲线C上两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三（上）选拔考试数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={0}，B={﹣1，0，1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C 的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：集合A={0}，B={﹣1，0，1}，∵A⊆C，∴C一定有元素：0．又∵C⊆B，∴C可能含有元素：﹣1，或者1，或者﹣1，1．那么：符合条件的集合C的个数为{0}，{0，﹣1}，{0，1}，{0，﹣1，1}．共4个．故选：C．2．（5分）已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，则z1=+|z|在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R，x，y＜0）．z1=+|z|=x+﹣yi，∵x+＞0，﹣y＞0，∴在复平面上对应的点（x+，﹣y）在第一象限．故选：A．3．（5分）长郡中学将参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3， (1200)从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为（）A．68 B．92 C．82 D．170【解答】解：样本间隔为1200÷50=24，第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号20+24×3=92，故选：B．4．（5分）在菱形ABCD中，A（﹣1，2），C（2，1），则•=（）A．5 B．﹣5 C．﹣D．﹣【解答】解：如图所示，菱形ABCD中，A（﹣1，2），C（2，1），则=（3，﹣1），设AC的中点为O，则=，⊥；∴•=（+）•=﹣•﹣•=0﹣=﹣5．故选：B．5．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与圆D：x2+y2﹣2ax+a2=0交于A，B两点，若四边形OADB（O为原点）是菱形，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由x2+y2﹣2ax+a2=0，得，如图，∵四边形OADB（O为原点）是菱形，∴，代入，得，∴B（），把B的坐标代入椭圆+=1，得，得3a2=4b2=4（a2﹣c2），∴a2=4c2，得，∴e=．故选：B．6．（5分）1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与它其中蕴含的奇偶归一思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i 分别为（）A．a是偶数？；6 B．a是偶数？；8 C．a是奇数？；5 D．a是奇数？；7【解答】解：由题意，判断框①处应填写的条件为判断a是否为奇数．模拟程序的运行，可得：当a=10时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=5，i=2；当a=5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a=16，i=3；当a=16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=8，i=4；当a=8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=4，i=5；当a=4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=2，i=6；当a=2时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=1，i=7；满足退出循环的条件，故输出结果为：7，故选：D．7．（5分）已知数列{a n}是等差数列，若T n=na1+（n﹣1）a2+…+2a n﹣1+a n（n≥2），且T2=7，T3=16，则a n=（）A．n+1 B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．4n﹣3【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由T n=na1+（n﹣1）a2+…+2a n﹣1+a n（n ≥2），且T2=7，T3=16，得，即，解得．∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=cos（3x+φ）（0＜φ＜π），将f（x）的图象向右平移个单位所得图象关于点（，0）对称，将f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位所得图象关于y轴对称，则θ的值不可能是（）A．B． C． D．【解答】解：函数f（x）=cos（3x+φ）（0＜φ＜π），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度，得函数y=f（x﹣）=cos（3x+φ﹣）=sin（3x+φ），由函数y=g（x）的图象点（，0）对称，所以+φ=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ﹣，k∈Z，k=1时，φ=，可得：f（x）=cos（3x+），将f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位所得图象解析式为：y=f（x+θ）=cos （3x+3θ+），由其关于y轴对称，可得：3θ+=kπ，k∈Z，解得：θ=﹣，k∈Z，解得：当k=1时，θ=，当k=2时，θ=，当k=3时，θ=，故选：B．9．（5分）若函数f（x）=的图象上存在关于直线y=x对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[0，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【解答】解：由y=lnx的反函数为y=e x，函数y=x+a与y=lnx的图象上存在关于直线y=x对称的点，则函数y=x+a与函数y=e x的图象有交点，即x+a=e x有解，即a=e x﹣x，令h（x）=e x﹣x，x≤0．则h′（x）=e x﹣1当x≥0时，h′（x）＞0，∴h（x）是递增函数，当x=0时，可得h（x）求得的最小值为1．∴实数a取值范围是[1，+∞）．故选：D．10．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1，若以C1，C2四个顶点为顶点的四边形的面积为S1，以C1，C2四个焦点为顶点的四边形的面积为S2，则取到最大值时，双曲线C1的一条渐近线方程为（）A．y=x B．y=x C．y=x D．y=2x【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个顶点为A1（a，0），A2（﹣a，0），焦点坐标为F1（c，0），F2（﹣c，0），双曲线C2：﹣=1的两个顶点为B1（0，2b），B2（0，﹣2b），焦点坐标为F3（，0），F4（﹣，0），则以C1，C2四个顶点为顶点的四边形的面积为S1=2×=4ab，以C1，C2四个焦点为顶点的四边形的面积为S2=2××2c=2c，则==，平方得（）2=（）2===，令t=，则（）2===≤=，当且仅当t2=，即t2=2，t=即=时，取等号，此时=，a=，则双曲线C1的渐近线方程为y=±=x，故双曲线C1的一条渐近线方程为y=x，故选：B11．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AD=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为（）A．B．2 C．2 D．2【解答】解：取PA的中点M，PD的中点N，由中位线定理可得MN AD BC，∴四边形BCNM是平行四边形，∴BM∥CN，∴BM∥平面PCD，又EF∥平面PCD，∴BM∥EF，即F为AM的中点，∵PD与平面CEF交于点H，∴H与N重合，即H为PD的中点，∵PA=AD=4，AB=BC=2，∴PD=4，AC=2，PC=2，由直角梯形知识可知CD=2，∴PC2+CD2=PD2，即PC⊥CD，∴CH=PD=2．故选C．12．（5分）已知函数f（x）=x2+πcosx+a在（0，π）上有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），给出下列结论：①f'（x1）＜0；②f'（x2）＞0；③x1+x2＜π．其中错误结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：f′（x）=2x﹣πsinx，令f′′（x）=0，即，画出函数y=sinx，y=的图象如下：可得x∈（0，）时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0∴f（x）在（0，）递减，在（，π）递增∵函数f（x）=x2+πcosx+a在（0，π）上有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），∴∴f'（x1）＜0，f'（x2）＞0；故①②正确．对于③，构造函数h（x）=f（x）﹣f（π﹣x），xh（x）=2πx+2πcosx﹣π2，h′（x）=2π（1﹣sinx）≥0∴h（x）在（0，）上递增，h（x）即x时，f（x）＜f（π﹣x），∴f（x1）＜f（π﹣x1），又∵f（x）在（）递增，∴f（x1）=f（x2）＜f（π﹣x1）又x2，π﹣x1，∴x2＜π﹣x1∴x1+x2＜π，故③正确故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）=ln（e2x+1）+kx是偶函数，则k=﹣1．【解答】解：f（﹣x）=ln（e﹣2x+1）﹣kx=ln﹣kx=ln（e2x+1）﹣lne2x﹣kx=ln（e2x+1）﹣2x﹣kx=ln（e2x+1）+（﹣k﹣2）x=ln（e2x+1）+kx，故﹣k﹣2=k，解得：k=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为13+5+．【解答】解：该几何体是一个以矩形为底面的四棱锥，还原图：可知：ADP是等要直角三角形，面积为：=3；ABP和PDC是两个一样直角三角形，面积为：AP•AB=×2=5．底面是矩形：面积为：5×2=10．PCB是等腰三角形：面积为：∴该几何体的表面积13+5+．故答案为：13+5+．15．（5分）不等式组表示的平面区域为D，若（x，y）∈D，则（x﹣1）2+y2的最小值为．【解答】解：由不等式组作出可行域如图，由图可知，则（x﹣1）2+y2的最小值就是可行域内的点到Q（1，0）的距离的最小值为=，∴（（x﹣1）2+y2）min==，故答案为：．16．（5分）已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中a1=1，a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，首项为1，公比为3．∴=3n+1．由a n=2n﹣1，得，∴2k n﹣1=3n+1．∴k n=（3n+1+1）∵对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），即≤恒成立，令f（n）=＞0，则≤1．∴当n=1或n=2时，f（n）最大，当n≥2时，f（n）为减函数，则要使对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．故答案为：1或2．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosA．（Ⅰ）若△ABC的面积S=，求证：a≥；（Ⅱ）如图，在（Ⅰ）的条件下，若M，N分别为AC，AB的中点，且=，求b，c．【解答】解：（Ⅰ）∵acosB+bcosA=2ccosA．由正弦定理：可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sin（A+B）=2sinCcosA，∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC≠0，∴，又A∈（0，π），∴，由可得bc=2．在△ABC中，由余弦定理，可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=2，（当且仅当b=c时取等号）∴．（Ⅱ）（Ⅰ）的条件下，可得bc=2．∵M，N分别为AC，AB的中点，在△ABM中，由余弦定理可得，在△ACN中，由余弦定理可得，由，可得：，整理得（c+8b）（c﹣2b）=0，∴c=2b，由bc=2解得：b=1，c=2．18．（8分）据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有﹣个成绩，不再颁发“合格证．这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试425分及以上可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上可以报考口语．如图是某大学数学专业的40人2017年7月英语四级成绩中随机抽取的8人成绩的样本茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶）（Ⅰ）通过这8人英语四级成绩估计某大学数学专业英语四级成绩的平均数和中位数；（Ⅱ）在样本数据中，从可以报考大学六级考试的学生中任取两人，求这两人都可以报考口语的概率．【解答】解：（Ⅰ）这8人英语四级成绩的平均数为：（386+410+450+485+520+564+575+610）÷8=500，这8人英语四级成绩的中位数为（485+520）÷2=502.5，则某大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为500，中位数为502.5…（4分）（Ⅱ）设可以报考大学六级考试但不能报考口语的3人成绩为A1，A2，A3，可以报考口语的三人成绩为B1，B2，B3，全部情况列举出来为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共计15种…（6分）这两人都可以报考口语的情况为：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共计3种，则这两人都可以报考口语的概率为．…（8分）19．（8分）如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB ⊥BC，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．（Ⅰ）若=λ，且DN⊥AC，求λ的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B﹣DMN的体积．【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点O，连接ON，OD，∵四边形BCDE为菱形，∠BCD=60°，∴DO⊥BC，∵△ABC所在的平面与菱形BCDE所在平面垂直，∴DO⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴DO⊥AC，又DN⊥AC，且DN∩DO=D，∴AC⊥平面DON，∵ON⊂平面DON，∴ON⊥AC，由O为BC的中点，AB=BC，可得，∴，即λ=3；（Ⅱ）由平面ABC⊥平面BCDE，AB⊥BC，可得AB⊥平面BCDE，由，可得点N到平面BCDE的距离为，由菱形BCDE中，∠BCD=60°，点M为BE的中点，可得DM⊥BE，且，∴△BDM的面积，∴三棱锥N﹣BDM的体积．=V B﹣DMN，又V N﹣BDM∴三棱锥B﹣DMN的体积为．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）及点D（0，﹣），动直线l：y=kx+1与抛物线C交于A、B两点，若直线AD与BD的倾斜角分别为α，β，且α+β=π．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若H为抛物线C上不与原点O重合的一点，点N是线段OH上与点O，H 不重合的任意一点，过点N作x轴的垂线依次交抛物线C和x轴于点P，M，求证：|MN|•|ON|=|MP|•|OH|．【解答】解：（Ⅰ）把直线y=kx+1，代入x2=2py得x2﹣2pkx﹣2p=0，设，则x1+x2=2pk，x1x2=﹣2p，…（2分）由α+β=π可知，直线AD的斜率与BD的斜率之和为零，所以，去分母整理得，即2pk（p2﹣2p）=0，由该式对任意实数k恒成立，可得p=2，抛物线C的方程为x2=4y…（6分）（Ⅱ）证明：设过点N的垂线为x=t（t≠0），联立，得，即点．…（8分）令，则，所以直线ON方程为，联立，得，即点，…（10分）所以，所以，即|MN|•|ON|=|MP|•|OH|．…（12分）21．（12分）设函数f（x）=（1﹣a）lnx+x2﹣x．（Ⅰ）若对任意的实数a，曲线f（x）在x=t处的切线斜率恒为零，求t的值；（Ⅱ）若0＜a＜2﹣，x≥1，求证：f（x）＞．【解答】解：（Ⅰ），由题设知f′（t）=0，即1﹣a+at2﹣t=0，即a（t2﹣1）+1﹣t=0，因为该等式对任意的实数a恒成立．所以，所以t=1；（Ⅱ）证明：，因为，①若，则，当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递减，在上单调递增．所以；由，可得，所以；②若，则，故当x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以，此时，所以；③若，则，所以当x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增．所以；，因为，所以（a﹣2）2﹣2＞0，故，综上可得．22．（14分）如图，PA、PBC分别是圆O的切线和割线，其中A为切点，M为切线PA的中点，弦AD、BC相交于点E，弦AB延长线上的点F，满足∠FBD=∠FED．求证：P、F、D三点共线的充分必要条件是M、B、D三点共线．【解答】证明：由PA为圆O的切线知，∠PAD+∠ABD=180°．又∠FBD+∠ABD=180°，∴∠PAD=∠FBD=∠FED．∴EF∥AP．（1）若M、B、D三点共线．设直线AB，DP交于点F1．则由塞瓦定理知．∵AM=MP，∴，EF1∥AP．又点F、F1均在直线AB上，因此F、F1重合．∴P、F、D三点共线．（2）若P、F、D三点共线．设直线DB、AP相交于点M1．则由塞瓦定理知，．∵EF∥AP，，∴，AM1=M1P，M1为PA的中点M、M1重合．∴M、B、D三点共线．由（1）、（2）可得，P、F、D三点共线的充分必要条件是M、B、D三点共线．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）若曲线C关于直线l对称，求a的值；（Ⅱ）若A，B为曲线C上两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l普通方程为x+2y﹣2a﹣1=0．曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，因为圆C关于直线l对称，所以圆心（1，0）在直线x+2y﹣2a﹣1=0上，所以a=0．（Ⅱ）由点A，B在圆ρ=2cosθ上，且，不妨设，•则，当，即时取等号，所以OA+OB的最大值为．。

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 设集合}3{1A =，，集合1245{}B =，，，，则集合A B =（ ） A. 3，1，2，4， B. C. 2，3，4， D. 3，4， 2.已知tan α=，2παπ<<，则sinα的值为（ ） A.12B. C.12-D. 3. 已知4a =，3b =，且a 与b 不共线，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则k 的值为（ ）A.43±B.34±C.D. 4. 如果奇函数()f x 在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则()f x 在区间[-8，-2]上是（ ）A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为5. 函数237x f x x =+-（）的零点所在的区间是（ ） A.B. C. D.6.ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222a c b ab -+=，则C =（ ） A.30︒ B.60︒ C.120︒ D. 60︒或120︒7. 在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos A bB a=，则ABC △的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8. 已知集合26112x x A x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＜,(){}41B x log x a =+<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.9. 设α是第二象限角，P （x ，4）为其终边上的一点，且cos 15x α=，则tan α=（ ）A.43B.34C.34-D. 43-10. 化简()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭的结果是（ ）A. 1B.sin αC.tan α-D. tan α11. 先把函数()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()y g x =的图象．当π3π[,]44x ∈时，函数()g x 的值域为（ ）A.⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎢⎣⎦D. []1,0-12. 设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知]3[2x ∈，时，()f x x =，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（ ）A. B.C. D.13. 若函数 ，ω＞0，x ∈R ，又f （x 1）=2，f （x 2）=0，且12x x -的最小值为32π，则ω的值为（ ）A.13B.23C.43D. 214. 如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP x ∠=（0≤x ≤2π），向量OP 在()=1,0a 方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图象是（ ） 15. 16.A.B.C.D.17. 已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，()()121021222x x f x x f x --≤-⎧⎪=⎨⎪⎩，＜，＞则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 18. 0lg 2lg5π++=______． 19. 已知tan 3α=，则2sin cos cos 3sin αααα-+=______．20. 已知向量a ，b 满足2b =，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是______．21. 若函数()223f x x kx =--在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是______．22. 在ABC △中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S =△，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）23. 已知集合()(){}|320x x A x +-=≤，{}14|B x x =≤≤． 24. （1）求AB ；25. （2）求()R A B ð．26. 设ABC △的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b Aa B=．27. （1）求角B 的大小；28. （2）若b =sin 2sin C A =，求a ，c 的值．29. 已知函数()23cos cos 2f x x x x -+． 30. （1）求()f x 的单调递增区间；31. （2）若角α，β的终边不共线，且()()f f αβ=，求()tan αβ+的值． 32.33. 已知向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，25a b =-． 34. （1）求()cos αβ-的值；35. （2）若π02α<<，π02β-<<，且5sin 12β=-，求sinα． 36.37. 已知二次函数()2f x x x =+，若不等式()()2f x f x x -+≤的解集为C ．38. （1）求集合C ；39. （2）若函数()()11x xg x f a a =--（a ＞0且a ≠1）在集合C 上存在零点，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合}3{1A =，，集合1245{}B =，，，， ∴集合1245{}3A B =，，，，． 故选C ．集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A B ，由此利用集合}3{1A =，，集合1245{}B =，，，，能求出集合A B ． 本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B【解析】解：∵tan α=，∴22sin cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 1cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或sin 1cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∵π2απ<<，∴sin α=． 故选：B ．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵4a =，3b =，且a 与b 不共线， 向量a kb +与a kb -互相垂直，∴()()22221690a kb a kb a k b k +-=-=-=，解得43k =±． 故选：A ．由向量a kb +与a kb -互相垂直，得()()22221690a kb a kb a k b k +-=-=-=，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 4.【答案】D【解析】解：根据题意，()f x 在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即()86f =-，且()6f k ≥，又由()f x 为奇函数，则()f x 在区间[-8，-2]上是减函数，且()86f =-，则有()6f k ≤-， 故选：D ．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题． 5.【答案】C【解析】解：函数()237x f x x =+-，因为2x y =是增函数，37y x =-是增函数， 所以函数()237x f x x =+-是增函数．()111002f -=-<． ()0170f =-<． ()12370f =+-<. ()24670f =+->．．函数()237xf x x =+-的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C ．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可． 本题考查零点判定定理的应用，是基础题． 6.【答案】C【解析】解：在ABC △中，由222a c b ab -+=，可得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， ∵0180C ︒<<︒，∴120C =︒． 故选：C ．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题． 7.【答案】D【解析】解：在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos A bB a=， 可得cos sin cos sin A AB B=， 可得sin 2sin 2A B =．可得22A B =或22A B π+=， 即：A B =或2A B π+=；故选：D ．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可． 本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力． 8.【答案】B【解析】解：由2611122x x --<⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得260x x -->，解得3x >，或2x <-，故()()23A =-∞-+∞，，． 由()44log 1log 4x a +<=，可得04x a <+<，解得4a x a -<<-，∴B=（-a ，4-a ）． 若AB =∅，则有243a a -≥-⎧⎨-≤⎩，解得12a ≤≤，故选：B ．解指数不等式求得A ，解对数不等式求得B ，再根据A B =∅，求得实数a 的取值范围． 本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题． 9.【答案】D【解析】解：由题意可得0x <，r OP ==cos x r α==再由1cos 5α=，可得3x =-，∴44tan 3xα==-， 故选：D ．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x 的值，再由tan α的定义求得结果． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 10.【答案】C【解析】解：()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭=()()()()()sin cos sin sin cos sin sin sin αααααααα-----tan α=-． 故选：C ．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 11.【答案】B【解析】解：把函数()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()ππ5sin 2sin 2366g g x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象．π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5π2π2,663x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以：51sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故选：B ．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用． 12.【答案】C【解析】解：∵()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，[]2,3x ∈时，()f x x =，∴[]21x ∈--，时， []20,1x +∈，[]42,3x +∈，此时()()44f x f x x =+=+，[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，[]22,3x -∈，此时()()()22f x f x f x x =-=-=-， 综上可得：[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+ 故选：C ．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合[]2,3x ∈时，()f x x =，可得答案． 本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档． 13.【答案】A【解析】解：()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∵函数()f x 的最大值为2，∵()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为32π， ∴函数()f x 的周期3462T ππ=⨯=， 由周期公式可得26T ππω==，解得13ω=， 故选：A ．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω． 本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题． 14.【答案】C【解析】解：设BC 边与Y 轴交点为M ，已知可得0.5GM =，故 1.5AM =，正三角形的连接BG，可得2tan 12BGM ∠==3BGM π∠=，所以23BGA π∠=-，由图可得当23x π=时，射影为y 取到最小值，其大小为（BCA ，B 两个选项； 又当点P 从点B 向点M 运动时，x 变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D ，C 是适合的； 故选：C ．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x 的值及y 的值，再研究点P 从点B 向点C 运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法． 15.【答案】B【解析】解：设()t f x =，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦，等价2610t t --=，解得12t =或13t =-，当0x =时，()00f =，此时不满足方程． 若24x <≤，则22x -≤0<，即()()()31122122x f x f x -=-=-， 若46x <≤，则224x <-≤，即()()()51122124x f x f x -=-=-，作出当0x >时，()121,0212,22x x f x x -⎧-<≤⎪⎨->⎪⎩的图象如图：当12t =时，()12f x =对应3个交点． ∵函数()f x 是奇函数， ∴当0x <时，由()13f x =-，可得当0x >时，()13f x =，此时函数图象对应4个交点， 综上共有7个交点，即方程有7个根． 故选：B ．先设()t f x =，求出方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的解，利用函数的奇偶性作出函数在0x >时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 16.【答案】2【解析】解：0lg 2lg5π++lg101=+2=．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 17.【答案】【解析】解：∵tan 3α=，∴2sin cos 2tan 12311cos 3sin 13tan 1332αααααα--⨯-===+++⨯．故答案为：12．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，b 在a 上的投影等于cos b a <，1212b >=⨯= 故答案为：1根据投影的定义，应用公式cos a a <，a bb b ⋅>=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用． 19.【答案】(][),816,-∞-+∞【解析】解：若函数()223f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性， 则24k ≤-，或44k ≥ 解得(][),816,k ∈-∞-+∞故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数()223f x x kx =--在区间[]2,4-]上具有单调性，则24k ≤-，或44k ≥，解得答案； 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】712 【解析】解：ABC △中设AB c =，BC a =，AC b = ∵sin cos sin B A C =⋅∴()sin sin cos A C C A += 即sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=∴sin cos 0A C =∵sin 0A ≠∴cos 0C =，90C =︒ ∵9AB AC ⋅=，6ABC S =△∴cos 9bc A =，1sin 62bc A =∴4tan 3A =，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc = ∴5c =，3b =，4a =以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得()0,0C ，()3,0A ，()0,4B . P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤ 设1CA e CA=，2CB e CB =则121e e ==，()11,0e =，()20,1e = 由CP x =，()()(),00,,CA CB yx y x y CACB+=+=，∴3x λ=，44y λ=-， 则4312x y +=．（也可以直接利用P 为线段AB 上的一点，三点共线，可得：134xy+=，）()111111347437+121212y x x u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故所求的最小值为712+．故答案为：712+． 设AB c =，BC a =，AC b =，由s sin cos sin B A C =⋅结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求90C =︒，再由9AB AC ⋅=，6ABC S =△，可求得5c =，3b =，4a =，考虑建立直角坐标系，由P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤，设出单位向量1CA e CA=，2CB e CB=，()11,0e =，()20,1e =推出3x λ=，44y λ=-则4312x y +=，而利用11x y+，利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x ，y 与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由3x λ=，44y λ=-发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合()(){}|320x x A x +-=≤，{}14|B x x =≤≤，．∴{}|12AB x x =≤≤．（2）{}|32U A x x x =<->或ð， ∴(){}|32U A B x x x =<->或ð．【解析】（1）求出集合A ，B ，由此能求出A∩B ．（2）求出{}|32U A x x x =<->或ð，由此能求出()R A B ð． 本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵sin cos b Aa B．又∵由正弦定理sin sin a b A B =，可得：s in in s b aB A=，∴可得：sin tan cos BB B= ∵B ∈（0，π），∴3B π=．（2）由sin 2sin C A =及正弦定理sin sin a bA B=，得c =2a ，①．又b =3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2212a c ac =+-，②由①②得2a =，4c =． 【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tan B 的值，结合范围B ∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B 的值．（2）由已知及正弦定理可得2c a =，利用余弦定理可求229a c ac =+-，联立即可解得a ，c 的值， 本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数()23cos cos 2f x x x x -+．1cos 23222x x ++=-， 216sin x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，令222262k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈，解得：63k x k ππππ-+≤≤+()k Z ∈，故函数的单调递增区间为：63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， ()k Z ∈．（2）由于()πsin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()sin 216f παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，()216sin f πββ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，角α，β的终边不共线，所以223παβπ+-=，整理得23παβ+=，所以()tan αβ+= 【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用． 24.【答案】解：（1）2cos 1a α==，同理1b =．∵25a b -=， 22252a b a b +-⋅=，化为()422cos cos sin sin 5αβαβ-+=，∴()3cos 5αβ-=．（2）∵π02α<<，π02β-<<，且5sin 13β=-，∴0αβπ<-<，12cos 13β．∴()4sin 5αβ=-． ∴()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin αββαββ=-+-412353351351365⎛⎫⨯+⨯-= ⎪=⎝⎭ 【解析】（1）2cos 1a α=，同理1b =．利用数量积运算性质25a b -=，可得22252a b a b +-⋅=，展开即可得出；（2）由π02α<<，π02β-<<，且5sin 13β=-，可得0αβπ<-<，cos β()sin βα-()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题． 25.【答案】解：（1）()()22f x f x x +-=当0x ≥时，22201x x x ≤⇒≤≤， 当0x <时，22210x x x ≤-⇒-≤＜， ∴集合[]1,1C =-．（2）()()()211101110x x x x f a a a a a +--=⇒---=，令x a u =则方程为()()21110h u u a u =---=，()011h =-，x u a =，[]1,1x ∈-，对称轴12x a =- 当2a >时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴112a a a -<< 函数在区间1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内先单调递减，再单调递增此时()11002a h h h a -⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()110h a a =-≥即可 解得：11a ≥当12a <≤时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴112a a a -<< 函数在区间1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增则()()221111110111110h a aa a h a a a a ⎧⎛⎫=-+-≤⎪ ⎪⇒≥⎝⎭⎨⎪=---≥⎩，又12a <≤ 此时无解当01a <<时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴1102a a a -<<< 函数在区间1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增则()212111110103110h a aa a h a a ⎧⎛⎫=-+-≥⎪ ⎪⇒≤⎝⎭⎨⎪=-≤⎩＜， ∴当103a ≤＜或11a ≥时，方程在C 上有解，且有唯一解． 【解析】（1）直接把函数()2f x x x =+代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数()2f x x x =+代入方程()111x x f a a +--（0a >且1a ≠），方程()111x x f a a +--（0a >且1a ≠）在C 上有解，转化为x a 在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）A. 3，1，2，4，B.C. 2，3，4，D. 3，4，2.已知tan，＜＜，则sinα的值为（）A. B. C. D.3.已知||=4，||=3，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为（）A. B. C. D.4.如果奇函数f（x）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间[-8，-2]上是（）A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为5.函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是（）A. B. C. D.6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则C=（）A. B. C. D. 或7.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8.已知集合＜，＜，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.9.设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A. B. C. D.10.化简的结果是（）A. 1B.C.D.11.先把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象．当x∈[，]时，函数g（x）的值域为（）A. B. C. D. 0012.设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（）A. B. C. D.13.若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，则ω的值为（）A. B. C. D. 214.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A.B.C.D.15.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，＜，＞则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的实数根个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16.lg2+lg5+π0=______．17.已知tanα=3，则=______．18.已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是______．19.若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是______．20.在△ABC中，已知，，△ ，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．（1）求A∩B；（2）求（∁R A）∪B．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，sin C=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=sin xcox-cos2x+．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}， ∴集合A ∪B={1，2，3，4，5}． 故选C ．集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A ∪B ，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A ∪B ．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B【解析】解：∵tan ，∴，解得或．∵，∴sinα=．故选：B ．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k 2=0，解得k=±． 故选：A ．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k 2=0，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=-3，∴tanα==-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1 故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S △ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵．又∵由正弦定理，可得：sin B=，∴可得：=tan B=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由sin C=2sin A及正弦定理，得c=2a，①．又b=2，B=，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=sin xcox-cos2x+．=，=，令（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：，（k∈Z）．（2）由于f（x）=，所以f（α）=，f（β）=，角α，β的终边不共线，所以，整理得，所以tan（α+β）=-．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）=1，同理=1．∵|-|=，∴=，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，∴cos（α-β）=．（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，∴0＜α-β＜π，=．∴sin（α-β）==．∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ==．【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出；（2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，sin（α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．25.【答案】解：（1）f（x）+f（-x）=2x2当x≥0时，2x2≤2x⇒0≤x≤1，当x＜0时，2x2≤-2x⇒-1≤x＜0，∴集合C=[-1，1]．（2）f（a x）-a x+1-11=0⇒（a x）2-（a-1）a x-11=0，令a x=u则方程为h（u）=u2-（a-1）u-11=0 h（0）=-11，u=a x，∈，对称轴x=当a＞2时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内先单调递减，再单调递增此时则即可解得：当时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒a≥11，又此时无解当 0＜a＜1时，u∈[a，]，h（u）=0 在[a，]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒0＜a≤，∴当 0＜a≤或a≥11时，方程在C上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数f（x）=x2+x代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f（x）=x2+x代入方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1），方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1）在C上有解，转化为a x在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

长郡中学2017-2018学年度高一第一学期期中考试数学一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集Z U =，{1012}A =-，，，，2{|}B x x x ==，则U A C B 为（ ） A ．{12}-， B ．{10}-， C ．{01}， D ．{12}，2.已知函数()f x 的图像在R 上是连续不间断的，且()()0f a f b >，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在区间()a b ，上一定有零点 B ．()f x 在区间()a b ，上不一定有零点 C ．()f x 在()a b ，上零点的个数为奇数 D ．()f x 在()a b ，上没有零点3.20()π000x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，，，，则{[(3)]}f f f -等于（ ）A ．0B ．πC ．2πD ．94.已知集合A B ==R ，x A ∈，y B ∈，f ：x y ax b →=+，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f 作用下的象为（ ）A ．18B ．30 C.272D ．28 5.下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）A．()f x =()g x = B ．()f x x =，()g x =C.()1f x =，0()g x x = D ．24()2x f x x -=+，()2g x x =-6.函数4()log f x x =与()4x f x =的图像（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称 C.关于原点对称 D ．关于直线y x =对称7.方程lg 20x x +-=一定有解的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)， C.(23)， D ．(34)， 8.方程3log 41x =，则44x x -+为（ ）A ．0B ．103 C.3 D ．1639.在同一坐标系中，函数y ax a =+与x y a =的图像大致是（ ）A ．B ． C.D ．10.已知函数()lg(1)f x x =-的值域为(1]-∞，，则函数()f x 的定义域为（ ） A ．[9)-+∞， B ．[0)+∞， C.(91)-， D ．[91)-，11.若2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且A B A =，则m 的取值范围为（ ） A ．1132⎧⎫⎨⎬⎩⎭， B ．11032⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，， C. 11032⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，， D ．1132⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，12.某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知lg20.3010=，lg30.4771=）A ．6B ．7 C.8 D ．913.若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在(0)+∞，为减函数，若(2)0f =，则不等式(1)(1)0x f x -->的解集为（ ）A ．(31)--，B ．(31)(2)--+∞，， C.(30)(13)-，，D ．(11)(13)-，，14.若函数2()|2|f x x a x =+-在(0)+∞，上单调递增，则a 的范围为（ ） A ．[42]-， B ．[40]-， C.[42)-， D ．[22]-， 15.对于函数1()1x f x x -=+，设2()[()]f x f f x =，32()[()]f x f f x =，…，1()[()]n n f x f f x +=（n +∈N ，且2n ≥），令集合{}20172|()log ||M x f x x ==-，则集合M 为（ ） A ．空集 B ．一元素集 C.二元素集 D ．四元素集二、填空题：本大题共5小题，每题3分，满分15分，把答案填写在题中的横线上16.已知幂函数的图像经过点(28)，，则它的解析式是 ．17.求值220.53327492()()(0.008)8925---+⨯= ．18.已知函数2()48f x x kx =--在[520]，上具有单调性，则k 的取值范围是 ．19.若函数211()2()1x x y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[11]x ∈-，上的最大值为23，则a 的值为 ．20.若函数()f x 为定义域D 上的单调函数，且存在区间[]a b D ⊆，（其中a b <），使得当[]x a b ∈，，()f x 的取值范围恰为[]a b ，，则称函数()f x 是D 上的美妙函数，若函数2()g x x m =+是(0)-∞，上的美妙函数，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）画出函数()f x 的图像；（2）根据图像写出()f x 的单调区间，并写出函数的值域.22. 已知函数()f x =A ，函数22()lg[(21)]g x x a x a a =-+++的定义域是集合B .（1）求集合A 、B ；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围. 23. 对于函数2()21x f x a =-+（a ∈R ）. （1）判断函数()f x 的单调性（不需要证明）；（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数，并说明理由.24. 电信局为了配合客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系，如下图所示（实线部分）.（注：图中MN CD ∥.）试问：（1）若通话时间为2小时，按方案A 、B 各付话费多少元？ （2）方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ （3）通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠.25. 对定义在[01]，上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数， ①对任意的[01]x ∈，，总有()0f x ≥；②当10x ≥，20x ≥，121x x +≤时，总有1212()()()f x x f x f x ++≥成立. 已知函数2()g x x =与()2x h x b =-是定义在[01]，上的函数. （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，求实数b 的所有取值组成的集合.长郡中学2017-2018学年度高一第一学期期中考试数学参考答案一、选择题： 1-5:ABCBB 6-10:DBBBD 11.C12.C 【解析】设至少需要过滤n 次，则20.02()0.0013n ⨯≤，即21()320n ≤，所以21lg lg 320n ≤，即1lg1lg 2207.42lg3lg 2lg 3n +=≈-≥，又n N ∈，所以8n ≥，所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求. 13.D14.B 【解析】因为当2x ≥时，22()|2|2f x x a x x ax a =+-=+-，对称轴为2ax =-，因为在(2)+∞，上单调递增，所以22ax =-≤①.又当20x >>时，22()|2|2f x x a x x ax a =+-=-+在(02)，上单调递增，所以有对称轴02ax =≤②，由①②知40a -≤≤，故选B. 15.B二、填空题：16.3()f x x = 17.1918.(40][160)-∞+∞，，19.4或14【解析】设1xt a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0t >，则221y t t =+-，其图像为开口向上且对称轴为1t =-的抛物线，所以二次函数221y t t =+-在[1)-+∞，上是增函数.①若1a >，则1xt a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[11]-，上单调递减，∴1t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以t a =时y 取最大值，2max 2123y a a =+-=，∴4a =或6a =-（舍去）；②若01a <<，则1xt a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[11]-，上递增，1t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1t a =时，y 取得最大值，max 212123y a a =+-=. ∴212240a a +-=，11640a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴14a =或16a =-（舍去）. 综上可得4a =或14a =. 20.314⎛⎫-- ⎪⎝⎭，三、解答题21.【解析】（1）先作出当0x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像，利用偶函数的图像关于y 轴对称，再作出()f x 在(0)x ∈-∞，时的图像.（2）函数()f x 的单调递增区间为(0)-∞，，单调递减区间为[0)+∞，，值域为(01]，. 22.【解析】（1）{|12}A x x x =->或≤， {|1}B x x a x a =<>+或.（2）由A B A =得A B ⊆，因此112a a >-⎧⎨+⎩≤，所以1a -<≤1，所以实数a 的取值范围是(11]-，. 23.【解析】（1）单调递增.（2）存在1a =，定义法证明（略）.24.【解析】由图知(6098)M ，，(500230)N ，，(500168)C ，，MN CD ∥. 设两种方案应付话费与通话时间的函数关系分别为()A f x 、()B f x ，则98060()38060.10A x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩，，，≤≤1680500()318500.10B x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩，，，≤≤ （1）通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元. （2）∵333(1)()(500)(1)18180.3101010B B f n f n n n n +->=++--==（元） ∴方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元. （3）由图知，当060x ≤≤时，()()A B f x f x <， 当500x >时，()()A B f x f x >，∴当60500x <≤时，由()()A B f x f x >，得8803x >， 即当通话时间在8803⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，内时，方案B 较A 优惠.25.【解析】（1）当[01]x ∈，时，总有2()0g x x =≥，满足① 当10x ≥，20x ≥，121x x +≤时，22222121212121212()()2()()g x x x x x x x x x x g x g x +=+=+++=+≥，满足②，所以函数()g x 为G 函数.（2）()2x h x b =-（[01]x ∈，）为增函数，()(0)10h x h b =-≥≥， ∴1b ≤.由1212()()()h x x h x h x ++≥，得1212222x x x x b b b +--+-≥. 即111(21)(21)x x b ---≥，因为10x ≥，20x ≥，121x x +≤. 所以110(21)(21)1x x --<≤； ∴1101(21)(21)1x x <---≤.当120x x ==时，11max (1(21)(21))1x x ---=；∴1b ≥. 综合上述：{1}b ∈.。

绝密★启用前【全国百强校】湖南省长郡中学2017-2018学年高一入学分班考试数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：57分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、如图，在中，，则与之间的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图，在菱形中，，，点分别为线段上的任意一点，则的最小值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．3、若（）是方程（）的两个根，则实数的大不关系为（ ） A ．B ．C ．D ．4、如果四个互不相同的正整数，满足，那么（ ）A ．24B ．21C ．20D ．225、在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）A ．201010B ．203010C ．301020D ．2010306、经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知，且，则的值为（）A． B． C．2 D．8、已知方程组的解为非正数，为非负数，则的取值范围是（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、方程的两根分别为，且，则的取值范围是__________．10、如图，在直角坐标系中，矩形的定点在轴上，定点在轴上，连接，将沿直线翻折，得，与相交于点，若双曲线（）经过点E ，则__________．11、若是的边上的一点，，，，的面积是，则的面积是__________．12、若点是等腰的外心，且，底边，则的面积是__________．13、如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为2，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________ ．14、若的值恒为常数，则该满足的条件是__________．15、已知，则的值等于__________．16、下面是一个某种规律排列的数阵：…………根据数阵的规律，第行倒数第二个数是__________．（用含的代数式表示）三、解答题（题型注释）17、如图，已知抛物线，直线（），当时，抛物线与直线只有一个公共点.（1）求的值.（2）若直线与抛物线交于不同的两点，直线与下线交于点，且，求的值；（3）在（2）的条件下，设直线与轴交于点，问：是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.18、如图，四边形是边长为4的正方形，点为边上任意一点（与点不重合），连接，过点作交于点，且，过点作，交于点，连接，设.（1）求点的坐标（用含的代数式表示）（2）试判断线段的长度是否随点的位置的变化而改变？并说明理由.（3）当为何值时，四边形的面积最小. （4）在轴正半轴上存在点，使得是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点的坐标（用含的式子表示）19、甲、乙两辆公共汽车分别自两地同时出发，相向而行，甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进，两车到达对方的出发点等侯30分钟立即依原路返回，当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求两地的距离.参考答案1、D2、B3、C4、C5、A6、C7、A8、D9、10、11、12、或13、14、15、016、17、（1）(2)（3）不存在18、（1）（2）的长度不变（3）（4），，19、190【解析】1、不妨考虑为直角三角形，且，则，应选答案D。

长沙市第一中学2017-2018学年度高一第一学期期中考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，则下图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为，而，则，故选 D.点睛：我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标，这是很关键的一步，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集，在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2. 集合之间的关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，，，故，故选C.3. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程的一个根位于下列哪个区间内（）A. B. C. D.【答案】C【解析】4. 在同一坐标系中，函数与（其中且）的图象的可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：的图象与的图象关于y轴对称。

若a>1,则，随x增大而下降，b,d符合，但的图象上升，的图象下降均不符合；所以，的图象下降，的图象上升，故选C。

考点：本题主要考查指数函数、对数函数的图象和性质。

点评：典型题，涉及指数函数、对数函数的图象和性质问题，要注意考察底数的取值范围。

5. 已知，则（）A. B. C. D.【解析】试题分析：考点：比较大小6. 已知函数是上的偶函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】上的偶函数，，，故选B.7. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的定义域为，即无解，当时，不合题意；当时，，即或，则实数的取值范围是，故选 B.8. 函数的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的零点个数即为函数的图象和函数的图象的交点的个数，如图所示：数形结合可得，函数的图象和图象交点的个数为2，故选 C.9. 一种放射性元素，每年的衰减率是，那么千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（）A. B. C. D.【解析】千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为，，两边取对数，，即，∴，故选 C.10. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的都有，则称和在上是“依函数”，区间为“依区间”，设与在区间上是“依函数”，则它的“依区间”可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为与在上是“依函数”，则即即，化简得，因为的即与轴没有交点，由开口向上得到恒成立；所以由解得，所以它的“依区间”是，故选C.11. 已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数的零点为，f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0，∴0＜a＜1．∵函数的零点为b，g（1）=-1＜0，g（2）=ln2＞0，∴1＜b＜2．综上可得，0＜a＜1＜b＜2．再由函数在（0，+∞）上是增函数，可得，故选D．点睛：本题主要考查函数的零点的存在性定理，函数的单调性的应用，一般地，如果函数y=f （x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）？f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根．12. 已知函数且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【解析】函数，当时，单调递减且，当时，，开口向下，对称轴为，故其在上单调递减且，综上可得在定义域上为减函数，由，且得：，令，故为减函数，若，则，解得：，综上可得：，故选 B.点睛：本题主要考查了分段函数单调性的应用，解题的关键在于构造函数，难度中档；要使分段函数为减函数，既要保证左段递减、右段递减，同时还需保证左边的最小值不小于右边的最大值，构造出，利用两个减函数之和仍为减函数，根据单调性解抽象函数的不等式.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 幂函数的图象过点，那么的值为__________．【答案】【解析】设幂函数的解析式为，∵幂函数的图象过点，∴，∴，∴，故答案为.14. 已知集合中元素在映射下对应中元素，则中元素在中对应的元素为__________．【答案】【解析】设中元素在中对应的元素为，则，解得：，，即B 中元素在中对应的元素为，故答案为.15. 函数的单调减区间为__________．【答案】【解析】由可得，即得或，由在上为减函数，在上为增函数，由复合函数的单调性可得函数的单调减区间为，故答案为.16. 已知函数满足对任意实数，都有，设，若，则__________．【答案】【解析】∵函数满足对任意实数，都有，令，则，解得：，令，，则，即，∵，∴，故，∴，即，故答案为.点睛：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，指数的运算性质，难度中档；由已知中函数满足对任意实数，都有，可得，进而，，结合，可得答案三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用分数指数幂的运算性质，同底数幂相乘底数不变，指数相加，同底数相除，底数不变，指数相减可得结果；（2）利用对数的运算法则及换底公式可得结果. 试题解析：（1）；（2）.18. 已知集合，集合.（1）若；求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：（1）时求出集合，根据补集的定义写出；（2）得，中不等式解集分三种情况讨论：、和时，求出对应集合，根据求出的取值范围.试题解析：（1）若，则，故或（2），不等式解集分三种情况讨论：①，则不成立；②，则，由得得；③，则，由得得.综上所述：的取值范围为.点睛：本题主要考查了集合的运算以及含有参数的集合间的关系，属于基础题；对于含有参数的一元一次不等式的解法，主要利用分类讨论的思想，对一次项系数进行讨论，分为三种情形，利用数轴将区间端点值进行比较，得出不等式组.............19. 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若直线与该图象有三个公共点，从左至右分别为，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为（2）【解析】试题分析：（1）由一次函数及对数函数的单调性可得函数的单调性；（2）由已知可得，由对数性质可得，，，故根据一次函数的性质可得其范围.试题解析：（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由题知直线与该图象由三个公共点，则，由得故.20. 某商场经营一批进价为元/台的小商品，经调查得知如下数据.若销售价上下调整，销售量和利润大体如下：销售价（元/台）日销售量（台）日销售额（元）日销售利润（元）（1）在下面给出的直角坐标系中，根据表中的数据描出实数对的对应点，并写出与的一个函数关系式；（2）请把表中的空格里的数据填上；（3）根据表中的数据求与的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？【答案】（1）；（2）见解析；（3）销售单价为元时，可获得最大日销售利润. 【解析】试题分析：（1）找到对应的4个点，即，设与的一次函数解析式为：，由图表数据可得出、；（2）根据表格先计算出进价，再根据（日销售额=销售价×日销售量，日销售利润=（销售价-进价）×日销售量）得表格中的数据；（3）由（1）知销售单价为元时，日销售量，日销售利润，，根据二次函数的性质得结果.试题解析：（1）如下图.设与的一次函数解析式为：，依据数据可得：解之得：，，∴一次函数解析式为：.（2）由表可得，解得，故可得下表：日销售额（元）日销售利润（元）（3）由（1）知销售单价为元时，日销售量（台），由表格知进价为元，则日销售利润故当时，取最大值，即销售单价为元时，可获得最大日销售利润.21. 已知为奇函数，为偶函数，且.（1）求函数及的解析式；（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据，的奇偶性便有，联立便可解出，；（2）求出，设，根据的范围，求出的范围，根据对数函数的单调性便可得出的范围，从而便可得出的取值范围.试题解析：（1）为奇函数，为偶函数，，.又①，故，即②，.（2）因为，所以，设，则，因为的定义域为，所以的定义域为，即，所以，则，因为关于的方程有解，则，故的取值范围为.22. 已知.（1）当时，若恰好存在两个实数使得，求实数的取值范围；（2）若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，记，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）有两个解，由图象可知有两个不等的根且无根，所以总判别式，解不等式可解。

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 设集合A ={1，3}，集合B ={1，2，4，5}，则集合A ∪B =（ ）A. {1,3，1，2，4，5}B. {1}C. {1,2，3，4，5}D. {2,3，4，5} 2. 已知tan α=−√3，π2＜α＜π，则sinα的值为（ ）A. 12B. √32C. −12D. −√323. 已知|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=3，且a ⃗ 与b ⃗ 不共线，若向量a ⃗ +k b ⃗ 与a ⃗ −k b ⃗ 互相垂直，则k 的值为（ ）A. ±43B. ±34C. ±2√33D. ±√324. 如果奇函数f （x ）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f （x ）在区间[-8，-2]上是（ ）A. 增函数且最小值为−6B. 增函数且最大值为−6C. 减函数且最小值为−6D. 减函数且最大值为−6 5. 函数f （x ）=2x +3x -7的零点所在的区间是（ ）A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)6. △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2-c 2+b 2=ab ，则C =（ ）A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 60∘或120∘ 7. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cosAcosB =ba ，则△ABC 的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8. 已知集合A ={x|(12)x2−x−6＜1}，B ={x|log 4(x +a)＜1}，若A ∩B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1<a <2B. 1≤a ≤2C. ⌀D. 1<a ≤29. 设α是第二象限角，P （x ，4）为其终边上的一点，且cosα=15x ，则tanα=（ ）A. 43B. 34C. −34D. −4310. 化简sin(2π−α)cos(π+α)cos(π2+α)cos(11π2−α)cos(π−α)sin(3π−α)sin(−π−α)sin(9π2+α)的结果是（ ）A. 1B. sinαC. −tanαD. tanα11. 先把函数f （x ）=sin （x -π6）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y =g （x ）的图象．当x ∈[π4，3π4]时，函数g （x ）的值域为（ ）A. [−√32,1]B. [−12,1]C. [−√32,√32]D. [−1,0012. 设f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知x ∈[2，3]时，f （x ）=x ，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（ ） A. x +4 B. 2−x C. 3−|x +1| D. 2−|x +1|13. 若函数f(x)=sinωx −√3cosωx ，ω＞0，x ∈R ，又f （x 1）=2，f （x 2）=0，且|x 1-x 2|的最小值为3π2，则ω的值为（ ）A. 13B. 23C. 43D. 214. 如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP =x （0≤x ≤2π），向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在a ⃗ =（1，0）方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数y =f （x ）的图象是（ ）A.B.C.D.15. 已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）={2|x−1|−1，0＜x ≤212f(x −2)，x ＞2则关于x 的方程6[f （x ）]2-f （x ）-1=0的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 16. lg2+lg5+π0=______．17. 已知tanα=3，则2sinα−cosαcosα+3sinα=______．18. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则b⃗ 在a ⃗ 上的投影是______． 19. 若函数f （x ）=2x 2-kx -3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是______．20. 在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，sinB =cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB 上的一点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+y ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |，则1x +1y 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．（1）求A∩B；（2）求（∁R A）∪B．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAacosB=√3．（1）求角B的大小；（2）若b=2√3，sin C=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=√3sin xcox-cos2x+32．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量a⃗=（cosα，sinα），b⃗ =（cosβ，sinβ），|a⃗-b⃗ |=2√55．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜π2，-π2＜β＜0，且sinβ=-513，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，∴集合A∪B={1，2，3，4，5}．故选C．集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A∪B．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.【答案】B【解析】解：∵tan，∴，解得或．∵，∴sinα=．故选：B．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k2=0，解得k=±．故选：A．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k2=0，由此能求出k．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=-3，∴tanα==-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y 取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】12【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】712+√33【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵bsinAacosB=√3．又∵由正弦定理asinA =bsinB，可得：sin B=bsinAa，∴可得：sinBcosB=tan B=√3，∵B∈（0，π），∴B=π3．（2）由sin C=2sin A及正弦定理asinA =bsinB，得c=2a，①．又b=2√3，B=π3，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=√3sin xcox-cos2x+32．=√3 2sin2x−1+cos2x2+32，=sin(2x−π6)+1，令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2（k∈Z），解得：−π6+kπ≤x≤kπ+π3（k∈Z），故函数的单调递增区间为：[−π6+kπ，kπ+π3]（k∈Z）．（2）由于f（x）=sin(2x−π6)+1，所以f（α）=sin(2α−π6)+1，f（β）=sin(2β−π6)+1，角α，β的终边不共线，所以2α+2β−π3=π，整理得α+β=2π3，所以tan（α+β）=-√3．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）|a ⃗ |=√cos 2α+sin 2α=1，同理|b ⃗ |=1．∵|a ⃗ -b ⃗ |=2√55，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =2√55，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=45，∴cos （α-β）=35．（2）∵0＜α＜π2，-π2＜β＜0，且sinβ=-513， ∴0＜α-β＜π，cosβ=√1−sin 2β=1213． ∴sin （α-β）=√1−cos 2(α−β)=45． ∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin （α-β）cosβ+cos （α-β）sinβ =45×1213+35×(−513)=3365． 【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出； （2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，sin （α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题． 25.【答案】解：（1）f （x ）+f （-x ）=2x 2当x ≥0时，2x 2≤2x ⇒0≤x ≤1， 当x ＜0时，2x 2≤-2x ⇒-1≤x ＜0， ∴集合C =[-1，1]．（2）f （a x ）-a x +1-11=0⇒（a x ）2-（a -1）a x -11=0，令 a x =u则方程为 h （u ）=u 2-（a -1）u -11=0 h （0）=-11，u =a x ，x ∈[−1,1]，对称轴x =a−12当a ＞2时，u ∈[1a ，a ]，h （u ）=0 在[1a ，a ]上有解，对称轴1a <a−12<a函数在区间[1a ,a]内先单调递减，再单调递增 此时ℎ(a−12)<ℎ(1a )<ℎ(0)<0则ℎ(a)=a −11≥0即可 解得：a ≥11当1<a ≤2时，u ∈[1a ，a ]，h （u ）=0 在[1a ，a ]上有解，对称轴a−12<1a<a函数在区间[1a ,a]内单调递增则{ℎ(1a )=1a 2−1+1a −11≤0ℎ(a)=a 2−(a −1)a −11≥0⇒a ≥11，又1<a ≤2此时无解当 0＜a ＜1时，u ∈[a ，1a ]，h （u ）=0 在[a ，1a ]上有解，对称轴a−12<0<a <1a函数在区间[a,1a ]内单调递增则{ℎ(1a )=1a 2−1+1a −11≥0ℎ(a)=a −11≤0⇒0＜a ≤13，∴当 0＜a ≤13或 a ≥11时，方程在C 上有解，且有唯一解． 【解析】（1）直接把函数f （x ）=x 2+x 代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f （x ）=x 2+x 代入方程f （a x ）-a x+1=11（a ＞0且a≠1），方程f （a x ）-a x+1=11（a ＞0且a≠1）在C 上有解，转化为a x 在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）A. 3，1，2，4，B.C. 2，3，4，D. 3，4，2.已知tan，＜＜，则sinα的值为（）A. B. C. D.3.已知||=4，||=3，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为（）A. B. C. D.4.如果奇函数f（x）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间[-8，-2]上是（）A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为5.函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是（）A. B. C. D.6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则C=（）A. B. C. D. 或7.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8.已知集合＜，＜，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.9.设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A. B. C. D.10.化简的结果是（）A. 1B.C.D.11.先把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象．当x∈[，]时，函数g（x）的值域为（）A. B. C. D. 0012.设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（）A. B. C. D.13.若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，则ω的值为（）A. B. C. D. 214.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A.B.C.D.15.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，＜，＞则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的实数根个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16.lg2+lg5+π0=______．17.已知tanα=3，则=______．18.已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是______．19.若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是______．20.在△ABC中，已知，，△ ，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．（1）求A∩B；（2）求（∁R A）∪B．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，sin C=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=sin xcox-cos2x+．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}， ∴集合A ∪B={1，2，3，4，5}． 故选C ．集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A ∪B ，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A ∪B ．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B【解析】解：∵tan ，∴，解得或．∵，∴sinα=．故选：B ．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k 2=0，解得k=±． 故选：A ．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k 2=0，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=-3，∴tanα==-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1 故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S △ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵．又∵由正弦定理，可得：sin B=，∴可得：=tan B=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由sin C=2sin A及正弦定理，得c=2a，①．又b=2，B=，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=sin xcox-cos2x+．=，=，令（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：，（k∈Z）．（2）由于f（x）=，所以f（α）=，f（β）=，角α，β的终边不共线，所以，整理得，所以tan（α+β）=-．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）=1，同理=1．∵|-|=，∴=，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，∴cos（α-β）=．（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，∴0＜α-β＜π，=．∴sin（α-β）==．∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ==．【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出；（2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，sin（α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．25.【答案】解：（1）f（x）+f（-x）=2x2当x≥0时，2x2≤2x⇒0≤x≤1，当x＜0时，2x2≤-2x⇒-1≤x＜0，∴集合C=[-1，1]．（2）f（a x）-a x+1-11=0⇒（a x）2-（a-1）a x-11=0，令a x=u则方程为h（u）=u2-（a-1）u-11=0 h（0）=-11，u=a x，∈，对称轴x=当a＞2时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内先单调递减，再单调递增此时则即可解得：当时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒a≥11，又此时无解当 0＜a＜1时，u∈[a，]，h（u）=0 在[a，]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒0＜a≤，∴当 0＜a≤或a≥11时，方程在C上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数f（x）=x2+x代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f（x）=x2+x代入方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1），方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1）在C上有解，转化为a x在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。