湖南省长沙市长郡中学2015届高三高考仿真试题数学(理)试题(扫描版)

湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）得分：____________ 【试卷综析】本试卷是高三月考理科试卷，是一次摸底考试，也是一次模拟考试，命题模式与高考一致，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生基本数学素养的考查。

知识考查注重基础、注重常规，也有综合性较强的问题，试题必做部分重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、概率、解析几何等，涉及到的基本数学思想有数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等，试题难度适中，兼达到高考关于区分度的要求，适合高三学生模拟考试使用。

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，没小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“0x <”是“()ln 10x +<”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【知识点】充分、必要条件的判断 A2【答案解析】B 解析：0x <时，11x +<，则()()ln 1010x x +<-<<时或()ln 1x +不存在()1x ≤-时，所以“0x <”是“()ln 10x +<”的不充分条件；()ln 10x +<时，011x <+<，即10x -<<，则0x <成立，所以“0x <”是“()ln 10x +<”的必要条件。

【思路点拨】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论。

2.已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点，则c = A.-2或2 B.-9或3 C.-1或1 D.-3或1 【知识点】导数与极值 B12【答案解析】A 解析：求导函数可得()()2'33311y x x x =-=+-令'0y >，可得11x x <->或；令'0y <，可得11x -<<； ∴函数在()(),1,1,-∞-+∞上单调增，在()1,1-上单调递减 ∴函数在1x =-处取得极大值，在1x =处取得极小值 ∵函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点 ∴极大值等于0或极小值等于0∴130130c c -+=-++=或 ∴22c c ==-或 故选A ．【思路点拨】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c 的值3.已知函数()sin f x x ω=在，则实数ω的一个值可以是【知识点】函数()()sin f x A x ωϕ=+的性质 C4【答案解析】C 解析：函数()sin f x x ω=在故选：C，从而可求ω的一个值。

湖南省长沙市师大附中2015届高三高考模拟试卷（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知复数z 满足11zi z+=-（i 为虚数单位），则z 的值为 A ．iB ．－iC ．1D ．－1【知识点】复数运算 【答案解析】A()111111z i i z i z z i z i +-=⇒+=-⇒==-+故选A 【思路点拨】转化，分母实数化2．设随机变量X ～N (2，32)，若P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 等于A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】正态分布 【答案解析】C 显然c=2 【思路点拨】正确理解图像 3．二项式6(x 的展开式中常数项为 A ．－15B ．15C ．－20D ．20【知识点】二项式定理 【答案解析】B()6336216631,3=022rr rr r r r T x xr r CC ---+⎛==--⇒= ⎝令故常数项为()622361=15T C -=-，选B【思路点拨】记住通项公式是关键4．设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则q⌝是p ⌝的A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件【知识点】并集，交集，补集，命题，充要条件【答案解析】B 显然:;:.p x AB q x A B p q ∈∈∴⇒则由逆否命题与原命题等价，所以q p ⌝⇒⌝故选B 充分非必要条件【思路点拨】逆否命题与原命题等价最好回答5．已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若k R ∃∈，使得M N =∅成立，则实数b 的取值范围是A ．[]3,3-B ．(,3)(3,)-∞-+∞ C ．[]2,2-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【知识点】椭圆，直线系，直线与椭圆关系 【答案解析】B显然(),0b 在椭圆外，即3b <-或3b >符合题意，故选B 【思路点拨】直线显然过点(),0b ，只有该点在椭圆外时才合题意6．函数sin()(0)y x ωϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ,B 是图象与x轴的交点，若cos APB ∠=ω的值为 A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【知识点】由图像得到解析式 【答案解析】CP PC x cos 2APB APB ⊥∠=∠=-过点作轴，则由tan ()3tan tan 44tan 2431tan tan 144T T APC CPB APB APC CPB T T TAPC CPB +∠+∠∠=∠+∠===-⇒=-∠∠-⨯tan 所以22T ππω== 故选C 【思路点拨】本题是个创新题，通过图像蕴含方程式，求出周期，再求ω的值7．设变量x ，y 满足约束条件222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则z ＝x －3y 的最大值为A ．4-B ．4C ．3D ．3-【知识点】线性规划 【答案解析】B画出可行域，针对目标函数，研究最大值，知道2,2x y =-=-时，有最大值。

2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟2015年湖南省高考数学(理科)模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．．．．．。

．．．．、草稿纸上答题无效考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．（2012•日照二模）已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（） A． [﹣1，+∞）B．[﹣1，] C．[，+∞）D．（﹣1，）2．（2015•永州二模）已知i为虚数单位，若数列{a n}满足：a1=i，且（1﹣i）a n+1=（1+i）a n，则复数a5=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．13．（2012•北京）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A． a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a24．（2015•怀化一模）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①和③B．②和③C．③和④D．①和④5．（2014秋•资阳区校级月考）定义×=||||sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=5，||=13，•=﹣25，则×等于（）A．﹣60 B．60 C．﹣60或60 D．66．（2015•永州二模）（1﹣x）2（1+y）3的展开式中xy2的系数是（）A．﹣6 B．﹣3 C．3D．67．（2015•湘西州校级模拟）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．6D．58．（2015•株洲一模）已知关于x的方程|x﹣k|=k在区间[k﹣1，k+1]上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A． 0＜k≤1B．0＜k≤C．1≤k D．k≥19．（2015•永州二模）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上顶点 A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C，若=2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．10．（2015•衡阳校级模拟）某同学在研究函数f（x）=+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）=+，则f（x）表示|PA|+|PB|（如左图），则①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为；④函数f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减；⑤方程有两个解．上述关于函数f（x）的描述正确的个数为（）A． 1 B．2C．3D．4二．填空题（共6小题）11．（2015•衡阳校级模拟）某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为．12．（2015•株洲一模）（x2+）6展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a 及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S= ．13．（2015•湖北模拟）执行如图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数a0的最大值为．2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟14．（2015•怀化一模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=﹣1．则曲线C1与曲线C2的交点个数为个．15．（2014•衡阳县校级模拟）已知AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD=4DB，设∠COD=θ，则cos2θ= ．16．（2015•郴州二模）若实数x，y，z满足x2+y2+z2=4，则x+2y﹣2z的取值范围为．三．解答题（共6小题）17．（2015•株洲一模）设a∈R，满足，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且，求f（x）在（0，B]上的值域．18．（2015•衡阳校级模拟）2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，（1（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．19．（2015•湖北模拟）如图，正四棱锥S﹣ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P 为线段FG上任意一点．（l）求证：EP⊥AC；（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P﹣BD﹣C的大小．2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟20．（2015•湖北模拟）设{a n}为公比不为1的等比数列，a4=16，其前n项和为S n，且5S1、2S2、S3成等差数列．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和．是否存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式T n＞（）k恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．21．（2012•湘潭四模）设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．22．（2015•衡阳校级模拟）已知函数g（x）=alnx，f（x）=x3+x2+bx．（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟2015年湖南省高考数学(理科)模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2012•日照二模）已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（），，，}]=2．（2015•永州二模）已知i为虚数单位，若数列{a n}满足：a1=i，且（1﹣i）a n+1=（1+i）a n，则复数，可得=i==i，当且仅当，所以，当且仅当，∴4．（2015•怀化一模）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β．5．（2014秋•资阳区校级月考）定义×=||||sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=5，||=13，•=﹣25，则×等于（）2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟×=||||sinθ的值．．，×=|||=5×13×=602327．（2015•湘西州校级模拟）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）C，要求+，而（+）≥，当且仅当a=b=，取最小值8．（2015•株洲一模）已知关于x的方程|x﹣k|=k在区间[k﹣1，k+1]上有两个不相等的实根，则＜k≤k|=可化为kkk2k+9．（2015•永州二模）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上顶点 A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C，若=2，则双曲线的离心率是（）C2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟解：双曲线﹣x，）x，）=2，可得，），）=，===．10．（2015•衡阳校级模拟）某同学在研究函数f（x）=+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）=+，则f（x）表示|PA|+|PB|（如左图），则①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为；④函数f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减；⑤方程有两个解．上述关于函数f（x）的描述正确的个数为（））的最小值为，轴交点的横坐标为，显然有，x=在区间，由二．填空题（共6小题）11．（2015•衡阳校级模拟）某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为9 ．（2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟12．（2015•株洲一模）（x2+）6展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S= ．，中间项为第四项，系数为﹣=﹣（=﹣故答案为：13．（2015•湖北模拟）执行如图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数a0的最大值为 3 ．+12＜14．（2015•怀化一模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=﹣1．则曲线C1与曲线C2的交点个数为 1 个．（的参数方程为解得．2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟15．（2014•衡阳县校级模拟）已知AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD=4DB，设∠COD=θ，则cos2θ= ﹣．﹣1=2×，=故答案为：16．（2015•郴州二模）若实数x，y，z满足x2+y2+z2=4，则x+2y﹣2z的取值范围为[﹣6，6] ．++（+）≥，利三．解答题（共6小题）17．（2015•株洲一模）设a∈R，满足，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且，求f（x）在（0，B]上的值域．（Ⅱ）利用余弦定理化简，通过正弦定理求出．得，解得．的单调递增区间（，所以时，18．（2015•衡阳校级模拟）2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．）样品中优等品的频率为，由分层抽样方法能求出乙厂生产的优等品的数量．=35）样品中优等品的频率为，．…（===19．（2015•湖北模拟）如图，正四棱锥S﹣ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P 为线段FG上任意一点．（l）求证：EP⊥AC；（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P﹣BD﹣C的大小．，，），，故点，=，令=（2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟的距离为20．（2015•湖北模拟）设{a n}为公比不为1的等比数列，a4=16，其前n项和为S n，且5S1、2S2、S3成等差数列．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和．是否存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式T n＞（）k恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．不等式都成立，则=，即，即不等式都成立，，，，解得不等式都成立，且正整数21．（2012•湘潭四模）设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟．，．，则．==的面积的最大值为．22．（2015•衡阳校级模拟）已知函数g（x）=alnx，f（x）=x3+x2+bx．（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．第21页=为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，得到恒成立，即a≤，求导得，上为增函数，∴，第22页2015年全国高考山东卷（文科）数学模拟=lnt+第23页。

绝密★启用前2015年长沙市高考模拟试卷理 科 数 学满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数z 满足i i21=+z，则 z = A ．i 2+-B ．i 2--C ．i 2+D ．i 2-2．设,a b 是两个非零向量，则“0<⋅”是“,a b 夹角为钝角”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知 9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为 A ．10万元 B ．15万元 C ．20万元D ．25万元4．执行如右图所示的程序框图,若输出s 的值为22，那么输入 的n 值等于 A ．6B ．7C ．8D ．95．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(),()0,1,1,,10,1(),A B C D ππ--， 正弦曲线()f x sinx =和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 A ．π21+B ．π221+C ．π1D ．π216. 设函数f （x ）=sin （2ϕ+x ）+3cos （2ϕ+x ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<2||πϕ，且其图象关于直线x =0对称，则 A ．y =f （x ）的最小正周期为π，且在（0，2π）上为增函数B ．y =f （x ）的最小正周期为2π，且在（0，4π）上为增函数C ．y =f （x ）的最小正周期为π，且在（0，2π）上为减函数D ．y =f （x ）的最小正周期为2π，且在（0，4π）上为减函数7. 已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆P 在椭圆上且满足221c PF PF =⋅，则此椭圆离心率的取值范围是ABCD 8. 已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，≤≤，设方程()()2x b x b f R -+∈=的四个实根从小到 大依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为 A ．122x x +=B ．1219x x <<C ．()()340661x x <--<D ．34925x x <<二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6}D．{x|3≤x＜6}2．（6分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得B．sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．D．64．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．y=f（x+1）一定是偶函数5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）A．B．C．D．6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣10077．（6分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为 f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．f p=f B．f p=f C．f=f p D．f=f p9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．18．已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6}D．{x|3≤x＜6}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集．解答：解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B={4，5，6}．故选B．点评：本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法．化简A、B两个集合，是解题的关键．2．（6分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得B．sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．∀x∈R，e x＞0，即可判断出正误；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，即可判断出正误；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，即可判断出正误；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，即可判断出正误．解答：解：A．∀x∈R，e x＞0，因此是假命题；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，因此是假命题；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，因此共有3个，是假命题；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，因此a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，是真命题．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、指数函数的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；图表型．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个正三棱柱，其高已知，底面正三角形的高已知，由此可先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．解答：解：如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面连长为a，则，∴a=6．故体积．故答案为C．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的可能．4．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．y=f（x+1）一定是偶函数考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件可得x=1是函数f（x）的一条对称轴，故函数y=f（x+1）为偶函数，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x）在x=1处取最大值，∴x=1是函数f（x）的一条对称轴，将函数f（x）向左平移1个单位，得到函数f（x+1）的图象，此时函数关于y轴对称，则函数y=f（x+1）为偶函数，故A、B、C都不正确，故选：D．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数最值和对称轴之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：对于m值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f（m）•f（n）=0的个数，以及所有的个数，即可得到f（m）•f（n）=0的概率．解答：解：已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0m=3，9时，满足f（m）•f（n）=0的个数为m=3时8个m=9时8个，n=3时8个，n=9时8个，重复2个，共有30个．从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）的值有72个，所以函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为：=，故选A．点评：本题考查概率的应用，排列组合的应用，注意满足题意，不重复不要漏，考查计算能力．6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣1007考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件n＜2015，S=1，k=2；满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3；满足条件n＜2015S=2，k=4；满足条件n＜2015S=﹣2，k=5；满足条件n＜2015S=3，k=6；满足条件n＜2015S=﹣3，k=7；满足条件n＜2015S=4，k=8；…观察规律可知，有满足条件n＜2015S=1006，k=2012；满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013；满足条件n＜2015S=1007，k=2014；满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007．故选：D．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键，属于基础题．7．（6分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：求出以OP为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．解答：解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4﹣m）x=0，∴x=0或x=m﹣4，∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，∴m﹣4＞0，∴m＞4，故选：B．点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为 f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．f p=f B．f p=f C．f=f p D．f=f p考点：分段函数的应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，求出f2（x）=，再对选项一一加以判断，即可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，∴f2（x）=，∴A．f p=f2（﹣1）=2，f=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；B．f p=f2（﹣2）=2，f=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立；C．f=f（﹣1）=2，f p=f2（﹣1）=2，故C成立；D．f=f（2）=﹣1，f p=f2（2）=﹣1，故D成立．故选：B．点评：本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．．故选B．点评：本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．10．（6分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C 的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．解答：解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．点评：本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．【选做题】11．（6分）如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE=6，则EC=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连结OE，由切线的性质定理得到OE⊥AC，从而可得OE∥BC．根据切割线定理得AE2=AD•AB，解出AB=，可得AO=，最后利用比例线段加以计算得到AC长，从而可得EC的长．解答：解：连结OE，∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC，又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割线定理，得AE2=AD•AB，即36=，解得AB=，因此，半圆的直径BD=，AO=BD=．可得，所以AC==9，EC=AC﹣AE=3．故答案为：3点评：本题给出半圆满足的条件，求线段EC之长．着重考查了切线的性质定理、切割线定理与相似三角形等知识，属于中档题．【【选做题】12．（3分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0上一点，点Q为曲线为参数）上一点，则|PQ|的最小值为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为直角坐标方程x﹣y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得：|PQ|=．再利用二次函数的单调性即可得出最小值．解答：解：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为x﹣y﹣4=0．由点到直线的距离公式可得：|PQ|===≥=．当且仅当t=2时取等号．∴|PQ|的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，属于基础题．【选做题】13．（3分）已知函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，若对任意的x∈R，f（x）≥f（3）=f（4）都成立，则k的取值范围为．考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的几何意义得出f（x）≥f（3）=f（4）都成立，意义为k，2k的距离之和，即：即2≤k≤3成立，求解即可．解答：解：∵函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，∴函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|的最小值为|k|，∵f（x）≥f（3）=f（4）都成立，∴根据绝对值的几何意义得出：即2≤k≤3．故答案为：点评：本题考查了绝对值不等式的解法，几何意义，关键是理解给出的条件，属于中档题．五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．（5分）设a=（sinx+cosx）dx，则二项式的展开式的常数项是﹣160．考点：二项式系数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：求定积分可得a的值，在二项式的展开式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．解答：解：∵a=（sinx+cosx）dx==2，则二项式=，它的展开式的通项公式为T r+1=（﹣1）r•，令3﹣r=0，求得 r=3，故展开式的常数项是﹣=﹣160，故答案为：﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，求定积分，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．15．（5分）如果实数a，b满足条件：，则的最大值是．考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，求出的范围，利用函数的最值求解表达式的最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，如图，表示可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，设z的几何意义表示可行域内点P与原点O（0，0）连线的斜率，∵当连线OP过点B（，）时，取最大值，最大值为3，连线OP过点A（1，1）时，取最小值，最小值为1，∈．∴===2﹣，∵∈．∴的最大值为：．故答案为：．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，是中档题．16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1，•=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵•=1，•=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．点评：本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．三．解答题17．（12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，先求出其对立事件“取出的3个球恰有两个编号相同”的概率．由古典概型公式，计算可得答案．（II）X的取值为1，2，3，4，分别求出P（X=1），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X 的分布列和X的数学期望．解答：解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，设“取出的3个球恰有两个编号相同”为事件B，则P（B）===，∴P（A）=1﹣P（B）=．答：取出的3个球编号都不相同的概率为．（Ⅱ）X的取值为1，2，3，4．P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X 1 2 3 4PX的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=．点评：本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．18．已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在上的单调递减区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，再利用正弦定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①代入②求出ab 的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∴f（x）的最大值为，∴=2，又m＞0，∴m=，∴f（x）=2sin（x+），令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），则f（x）在上的单调递减区间为；（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，由余弦定理得：a2+b2﹣ab=9，即（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①式代入②，得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得：ab=3或ab=﹣（舍去），则S△ABC=absinC=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间角；空间向量及应用．分析：（I）根据PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，结合菱形ABCD中AC⊥B D，利用线面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，从而得到平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，由线面平行的性质定理得到PD∥OE，从而在△PBD中得到E为PB的中点．由PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD，可证出平面EAC⊥平面ABCD，进而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，证出AE⊥BF，由二面角平面角的定义得∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°．分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三角函数定义，算出OE=，由此即可得到PD：AD的值．解答：解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°设AD=BD=a，则OB=a，OA=a，在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE即a•OE=a•，解之得OE=∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2即PD：AD的值为．点评：题给出一个特殊四棱锥，要我们证明面面垂直，并在已知二面角大小的情况下求线段的比值，着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设b n=a2n﹣，则=﹣，==，由此能证明数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，得+，从而a2n﹣1+a2n=﹣2•（）n﹣6n+9，由此能求出S2n．从而能求出满足S n＞0的所有正整数n．解答：（Ⅰ）证明：设b n=a2n﹣，则=（）﹣=﹣，====，∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，∴+，由a2n=﹣3（2n﹣1），得a2n﹣1=3a2n﹣3（2n﹣1）=﹣•（）n﹣1﹣6n+，∴a2n﹣1+a2n=﹣﹣6n+9=﹣2•（）n﹣6n+9，S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）=﹣2﹣6（1+2+3+…+n）+9n==（）n﹣3（n﹣1）2+2．由题意得n∈N*时，{S2n}单调递减，又当n=1时，S2=＞0，当n=2时，S4=﹣＜0，∴当n≥2时，S2n＜0，S2n﹣1=S2n﹣a2n=﹣，故当且仅当n=1时，S2n+1＞0，综上所述，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用．21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题．分析：（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y0，则P点坐标可得．解答：解：（I）∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心是（1，0），∴椭圆的右焦点F（1，0），∵椭圆的离心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴．直线PM的方程：，化简得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0．又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，∴，∴（y0﹣m）2+x02=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+x02m2，化简得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0，同理有（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，∴，记，则，时，f'（x）＜0；时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递减，在内也是单调递减，∴，当时，|MN|取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在上为增函数，故f′（x）的值域为，即．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在上恒成立，故f（x）在上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．。

湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，2．在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±23．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A．2097 B．2112 C．2012 D．2090 4．“2a＞2b”是“lga＞lgb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．6．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）7．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长（）A．B．C．D．8．（如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是（）A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④9．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4C．6D．810．（若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为_________．12．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为_________．13．已知x，y满足约束条件，则x2+4y2的最小值是_________．14．已知数列{a n}的首项a1=2，其前n项和为S n．若S n+1=2S n+1，则a n=_________．15．过x轴正半轴上一点P的直线与抛物线y2=4x交于两点A、B，O是原点，A、B的横坐标分别为3和，则下列：①点P是抛物线y2=4x的焦点；②•=﹣2；③过A、B、O三点的圆的半径为；④若三角形OAB的面积为S，则＜S＜；⑤若=λ，则λ=3．在这五个命题中，正确的是_________．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．18．（12分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．19．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知圆N：（x+2）2+y2=8和抛物线C：y2=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当直线Z酌斜率为1时，求线段AB的长；（Ⅱ）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l，使得⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（13分）设函数f（x）=1﹣e﹣x，函数g（x）=（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（1）当a=0时，求函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值；（2）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．。

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设复数e iθ=cosθ+isinθ，则复数e的虚部为（）A．B．C．i D．i2．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8C．4D．26．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个7．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n ＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．∪D．上的零点．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：组别候车时间（单位：min）人数一∴复数e的虚部为．故选：B．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的求值，是基础题．2．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．解答：解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．分析：A、用线面垂直的性质定理判断；B、用线面垂直的性质定理判断；C、用面面垂直的判定定理证明D、通过空间几何体模型观察．解答：解：A、由一条直线垂直平行平面中的一个，则垂直于另一个正确；B、由平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面得正确；C、过n作平面γ，γ∩α=m，∵n∥α∴n∥m，又因为n⊥β，∴m⊥β，又因为m⊂α，∴α⊥β正确；D、m∥β，m⊥n，则n⊥β，或n⊂β，n∥β不正确．故选D点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化．4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z考点：余弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用诱导公式、二倍角公式化简函数的表达式，然后求出函数的单调增区间，即可得到选项．解答：解：函数=cos2x，因为y=cosx的单调减区间为：k∈Z，函数的单调增区间是k∈Z．故选A点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的单调性，注意正确应用基本函数的单调性是解题的关键，考查计算能力．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8C．4D．2考点：程序框图．专题：计算题．分析：已知b=8，判断循环条件，i＜8，计算循环中s，i，k，当x≥8时满足判断框的条件，退出循环，输出结果s即可．解答：解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．6．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：本题由三视图可知原几何体是一个四棱锥，由线面垂直的判定，可证AB⊥AP，故△PAB为直角三角形，同理，△PCD也为直角三角形，故可得答案．解答：解：由三视图可知原几何体是一个四棱锥，并且顶点P在下底面的射影点为正方形边AD的中点O，所以PO⊥底面ABCD，可得PO⊥AB，又AB⊥AD，AB∩PO=O，由线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，可证AB⊥AP，故△PAB为直角三角形，∵CD∥AB，∴CD⊥平面PAD，CD⊥PD，即△PCD也为直角三角形．故左右侧面均为直角三角形，而前后侧面PBC与PAD均为非直角的等腰三角形．所以侧面中直角三角形个数为2个，故选C点评：本题为三视图的还原问题，只要作出原几何体，理清其中的线面关系即得的答案，属于基础题．7．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等考点：平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式可得==1，故A正确；由数量积为0可得向量垂直，故B正确；由夹角公式可得向量夹角的余弦值，但角的范围不一定，故C错误；而D由投影相等可与模长相等等价，结合A可知正确，故可得答案．解答：解：由模长公式可得==1，==1，即=，故A正确；∵（）•（）=||2﹣||2=0，∴（）⊥（），故B正确；由夹角公式可得．当α﹣β∈时，＜＞=α﹣β；当α﹣β∉时，＜＞≠α﹣β，故C不正确；由投影相等可得，故D正确．故选C点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的模长和投影及夹角，属中档题．8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n ＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．10．（5分）已知函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lg（x2﹣ax+10），若函数y=f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪D．所以：a的取值范围为：故选：D点评：本题考查的知识要点：函数的恒成立问题，基本不等式的应用，及相关的运算问题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分25分）11．（4分）已知曲线C：（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsinθ+3=0（以直角坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系），则C被l截得弦长为2．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把曲线C的参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为普通方程，两方程联立，求得弦长|AB|的端点坐标，即得|AB|的大小．解答：解：把曲线C的参数方程化为普通方程，得（x﹣2）2+（y+2）2=4…①；把直线l的极坐标方程化为普通方程，得y+3=0…②；由①、②解得x1=2+，x2=2﹣，∴弦长|AB|=|x1﹣x2|=|（2+）﹣（2﹣）|=2．故答案为：2．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再来解答，是基础题．12．（4分）如图，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则BC的长为3．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：连OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，在Rt△ADO中，设OD=R，AD=2，AE=1，利用勾股定理可计算出r=，再利用勾股定理，即可求出BC的长．解答：解：连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，∵CD为⊙O切线，∴∠ODA=90°，∵BE为⊙O直径，∴∠BDE=90°，∴∠ADE=∠BDO，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠DAE=∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AD=2，AE=1，∴，∴r=，∵∠B=90°，∴CB为⊙O切线，∴CB2+AB2=AC2，∴CB2+42=（2+CB）2，∴CB=3．故答案为：3．点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点，考查了勾股定理以及三角形相似的判定与性质．13．（4分）若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：先根据A+B+C=π和基本不等式求出的最小值，进而可得到的最小值．解答：解：A+B+C=π，且，因此，当且仅当，即A=2（B+C）时等号成立．故答案为：．点评：本题主要考查基本不等式的用法，应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”．14．（4分）|x2﹣1|dx=2．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先根据定积分的几何意义，将原式化成（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx，再利用定积分的运算法则，找出被积函数的原函数，进行计算即可．解答：解：原式=（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx=（x﹣x3）+（x3﹣x）==2．故答案为：2．点评：本题主要考查定积分的基本运算，解题关键是找出被积函数的原函数，利用区间去绝对值符号也是注意点，属于基础题．15．（4分）已知双曲线=1（b＞0，a＞0）的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．解答：解：双曲线=1（b＞a＞0）的两条渐近线方程分别为y=±x，不妨设，同向，则渐近线的倾斜角为（0，），∴渐近线斜率k′＜1，∴=e2﹣1＜1，∴1＜e2＜2，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则|OA|+|OB|=2|AB|，∵|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），∵|OA|+|OB|=2|AB|，∴|OA|=|AB|，∴=，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=而由对称性可知：OA的斜率为k=tan∠AOB，∴=，∴2k2+3k﹣2=0，∴k=（k=﹣2舍去）；∴=，∴=，即c2=a2，∴e==．故答案为：．点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，由=联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．16．（5分）若，z=x+2y，则z的取值范围是．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的阴影部分．将直线l：z=x+2y 进行平移并加以观察，可得当直线ly经过原点时，z达到最小值0；当直线l与余弦曲线相切于点A时，z达到最大值，用导数求切线的方法算出A的坐标并代入目标函数，即可得到z的最大值．由此即可得到实数z的取值范围．解答：解：作出可行域如图所示，可得直线l：z=x+2y与y轴交于点．观察图形，可得直线l：z=x+2y经过原点时，z达到最小值0直线l：z=x+2y与曲线相切于点A时，z达到最大值．∵由得，∴代入函数表达式，可得，由此可得z max==．综上所述，可得z的取值范围为．故答案为：点评：本题给出约束条件，求目标函数z=x+2y的取值范围．着重考查了简单线性规划和运用导数求函数图象的切线的知识，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在x∈上的零点．考点：正弦函数的单调性；函数的零点；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数的解析式，再根据正弦函数的增区间，求出f（x）的单调递增区间．（2）由f（x）=0求得sin（x﹣）=，可得x﹣=2kπ+，或x﹣=2kπ+，由此求得x的值，从而得到函数f（x）在x∈上的零点．解答：解：（1）函数f（x）=•=sin cos﹣=sinx﹣=sin（x﹣）﹣，令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，可得函数的增区间为，k∈z．（2）由f（x）=sin（x﹣）﹣=0，求得sin（x﹣）=，∴x﹣=2kπ+，或x﹣=2kπ+，即x=2kπ+或x=2kπ+π，∴函数f（x）在x∈上的零点为和π．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、正弦函数的增区间、函数的零点，属于中档题．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：组别候车时间（单位：min）人数一②当k为偶数时，同理可得集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．综上，当k为奇数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为；当k为偶数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．点评：本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了等差关系与等比关系的确定，训练了二项式定理的应用，是中档题．21．（13分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A 在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，再由点D（0，﹣2）在l上，能求出点A的纵坐标．（Ⅱ）由得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，所以椭圆方程为，b2=p+4，由，由此能求出椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，又点D（0，﹣2）在l上，∴，即点A的纵坐标y0=2．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，…（7分）所以椭圆方程为，且过，∴b2=p+4…（9分）由，∴，…（11分）=将，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，椭圆方程为．…（15分）点评：本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22．（13分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；（2）构造g（x）==，求导函数，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），确定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），进而可得g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，求出最小值，即可得出结论．解答：解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，令g（x）==，则g′（x）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以min=g（x0）=x0，因为k＜对任意x＞1恒成立，所以k＜x0∈（3，4），所以k的最大值为3．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．。

数学〔理〕试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部。

时量120分钟。

总分为150分。

一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．复数ii-22所对应的点位于复平面内 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．离散型随机变量X 的分布列为如此X 的数学期望E 〔X 〕=A ．23B ．2C ．25D ．3 3．f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f 〔x 〕=x 2－3x ，如此函数g 〔x 〕=f 〔x 〕－x+3的零点的集合为 A ．{1，3} B ．{-3，-1，1，3}C ．{27-，1，3} D ．{－27-，1，3}4．在〔1+x 〕6〔1+y 〕4的展开式中，记x m y n项的系数为f 〔m ，n 〕，如此f 〔3,0〕+f 〔2,1〕+f 〔1，2〕+f 〔0，3〕= A ．45B ．60C ．120D ．2105．命题p ：x ∈A B ，如此非p 是A ．x 不属于AB B ．x 不属于A 或x 不属于BC ．x 不属于A 且x 不属于BD ．x ∈A B6．假设执行如下列图的程序框图，输出S 的值为3，如此判断框中应填人的条件是A ．<k 6 ？B ．<k 7 ？C ．<k 8 ？D ．<k 9 ？7．三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如下列图，如此其侧视图的面积为A ．43B ．23 C ．43D ．18．函数f 〔x 〕=e x，g 〔x 〕=ln212+x 的图象分别与直线y =m 交于A ，B 两点，如此|AB|的最小值为A ．2B ．2+1n 2C ．e 2+21D ．2e －ln 23 9．设函数f 〔x 〕=3sin 〔2ϕ+x 〕+cos 〔2ϕ+x 〕⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<2||πϕ，且其图象关于直线x=0对称，如此A ．y=f 〔x 〕的最小正周期为π，且在〔0，2π〕上为增函数 B ．y=f 〔x 〕的最小正周期为2π，且在〔0，4π〕上为增函数C ．y=f 〔x 〕的最小正周期为π，且在〔0，2π〕上为减函数D ．y=f 〔x 〕的最小正周期为2π，且在〔0，4π〕上为减函数10．对于三次函数f 〔x 〕=ax 3+bx 2+cx+d 〔a ≠0〕，给出定义：设f '〔x 〕是函数y=f 〔x 〕的导数，f ''〔x 〕是f '〔x 〕的导数，假设方程f ''〔x 〕=0有实数解x 0，如此称点〔x 0，f 〔x 0〕〕为函数y=f 〔x 〕的“拐点〞．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点〞；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点〞就是对称中心，设函数g 〔x 〕=31x 321-x 2+3x 125-，如此g ⎪⎭⎫ ⎝⎛20151+g ⎪⎭⎫ ⎝⎛20152+…+g =⎪⎭⎫⎝⎛20152014A ．2 013B ．2 014C ．2 015D ．2 016二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每一小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．〔一〕选做题〔请考生在第11,12 ,13三题中任选两题作答，如果全做，如此按前两题记分〕 11．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB ，垂足为D ，且AD=5DB ，设∠COD=θ，如此tan θ的值为． 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 31cos 33y x ，〔θ为参数〕，Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为06cos =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ，如此圆C 截直线l 所得的弦长为 。