高一数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案 新人教A版

２．４．２平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标核心素养１．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．（重点）２．会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．（难点）３．分清向量平行与垂直的坐标表示．（易混点）１．通过平面向量数量积的坐标表示，培养学生的数学运算素养.２．借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升学生逻辑推理和数学运算素养.１．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），a与b的夹角为θ.数量积a·b＝x１x２＋y１y２向量垂直a⊥b⇔x１x２＋y１y２＝２．向量模的公式设a＝（x１，y１），则|a|＝错误!.３．两点间的距离公式若A（x１，y１），B（x２，y２），则|错误!|＝错误!.４．向量的夹角公式设两非零向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），a与b夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!.思考：已知向量a＝（x，y），你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？[提示] 设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±错误!a＝±错误!＝±错误!，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．易知b＝（—y，x）和a＝（x，y）垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±错误!，其中正、负号表示不同的方向．１．若向量a＝（x,２），b＝（—１,３），a·b＝３，则x等于（）Ａ．３Ｂ．—３Ｃ．错误!Ｄ．—错误!A[a·b＝—x＋6＝３，x＝３，故选Ａ．]２．已知a＝（２，—１），b＝（２,３），则a·b＝________，|a＋b|＝________.１２错误![a·b＝２×２＋（—１）×３＝１，a＋b＝（４,２），|a＋b|＝错误!＝２错误!.]３．已知向量a＝（１,３），b＝（—２，m），若a⊥b，则m＝______.错误![因为a⊥b，所以a·b＝１×（—２）＋３m＝0，解得m＝错误!.]４．已知a＝（３,４），b＝（５,１２），则a与b夹角的余弦值为________．错误![因为a·b＝３×５＋４×１２＝6３，|a|＝错误!＝５，|b|＝错误!＝１３，所以a与b夹角的余弦值为错误!＝错误!＝错误!.]平面向量数量积的坐标运算【例１】F在边CD 上，若错误!·错误!＝错误!，则错误!·错误!的值是________．（２）已知a与b同向，b＝（１,２），a·b＝１0．１求a的坐标；２若c＝（２，—１），求a（b·c）及（a·b）c.思路点拨：（１）（２）１先由a＝λb设点a坐标，再由a·b＝１0求λ.２依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．（１）错误![以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B（错误!，0），D（0,２），C（错误!，２），E（错误!，１）．可设F（x,２），因为错误!·错误!＝（错误!，0）·（x,２）＝错误!x＝错误!，所以x＝１，所以错误!·错误!＝（错误!，１）·（１—错误!，２）＝错误!.]（２）[解] １设a＝λb＝（λ，２λ）（λ＞0），则有a·b＝λ＋４λ＝１0，∴λ＝２，∴a＝（２,４）．２∵b·c＝１×２—２×１＝0，a·b＝１0，∴a（b·c）＝0a＝0，（a·b）c＝１0（２，—１）＝（２0，—１0）．数量积运算的途径及注意点１进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.２对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.错误!１．向量a＝（１，—１），b＝（—１,２），则（２a＋b）·a＝（）Ａ．—１Ｂ．0Ｃ．１Ｄ．２C[∵a＝（１，—１），b＝（—１,２），∴（２a＋b）·a＝（１,0）·（１，—１）＝１．]２．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，错误!＝（１，—２），错误!＝（２,１），则错误!·错误!＝（）Ａ．５Ｂ．４Ｃ．３Ｄ．２A[由错误!＝错误!＋错误!＝（１，—２）＋（２,１）＝（３，—１），得错误!·错误!＝（２,１）·（３，—１）＝５．]向量模的坐标表示【例２】a—b|等于（）A．４Ｂ．５Ｃ．３错误!Ｄ．４错误!（２）若向量a的始点为A（—２,４），终点为B（２,１），求：１向量a的模；２与a平行的单位向量的坐标；３与a垂直的单位向量的坐标．思路点拨：综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解．（１）D[由a∥b得y＋４＝0，∴y＝—４，b＝（—２，—４），∴２a—b＝（４,8），∴|２a—b|＝４错误!.故选Ｄ．]（２）[解] １∵a＝错误!＝（２,１）—（—２,４）＝（４，—３），∴|a|＝错误!＝５．２与a平行的单位向量是±错误!＝±错误!（４，—３），即坐标为错误!或错误!.３设与a垂直的单位向量为e＝（m，n），则a·e＝４m—３n＝0，∴错误!＝错误!.又∵|e|＝１，∴m２＋n２＝１．解得错误!或错误!∴e＝错误!或e＝错误!.求向量的模的两种基本策略１字母表示下的运算：利用|a|２＝a２，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.２坐标表示下的运算：若a＝x，y，则a·a＝a２＝|a|２＝x２＋y２，于是有|a|＝错误!３．已知平面向量a＝（３,５），b＝（—２,１）．（１）求a—２b及其模的大小；（２）若c＝a—（a·b）b，求|c|.[解] （１）a—２b＝（３,５）—２（—２,１）＝（7,３），|a—２b|＝错误!＝错误!.（２）a·b＝（３,５）·（—２,１）＝３×（—２）＋５×１＝—１，∴c＝a—（a·b）b＝（３,５）＋（—２,１）＝（１,6），∴|c|＝错误!＝错误!.向量的夹角与垂直问题[探究问题]１．设a，b都是非零向量，a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？提示：cos θ＝错误!＝错误!.２．已知向量a＝（１,２），向量b＝（x，—２），且a⊥（a—b），则实数x等于？提示：由已知得a—b＝（１—x,４）．∵a⊥（a—b），∴a·（a—b）＝0．∵a＝（１,２），∴１—x＋8＝0，∴x＝9．【例３】（１）已知向量a＝（２,１），b＝（１，k），且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是（）Ａ．（—２，＋∞）Ｂ．错误!∪错误!Ｃ．（—∞，—２）Ｄ．（—２,２）（２）已知在△ABC中，A（２，—１），B（３,２），C（—３，—１），AD为BC边上的高，求|错误! |与点D的坐标．思路点拨：（１）可利用a，b的夹角为锐角⇔错误!求解．（２）设出点D的坐标，利用错误!与错误!共线，错误!⊥错误!列方程组求解点D的坐标．（１）B[当a与b共线时，２k—１＝0，k＝错误!，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝２＋k>0得k>—２，且k≠错误!，即实数k的取值范围是错误!∪错误!，选Ｂ．]（２）[解] 设点D的坐标为（x，y），则错误!＝（x—２，y＋１），错误!＝（—6，—３），错误!＝（x—３，y—２）．∵点D在直线BC上，即错误!与错误!共线，∴存在实数λ，使错误!＝λ错误!，即（x—３，y—２）＝λ（—6，—３），∴错误!∴x—３＝２（y—２），即x—２y＋１＝0．１又∵AD⊥BC，∴错误!·错误!＝0，即（x—２，y＋１）·（—6，—３）＝0，∴—6（x—２）—３（y＋１）＝0，２即２x＋y—３＝0．由１２可得错误!即D点坐标为（１,１），错误!＝（—１,２），∴|错误!|＝错误!＝错误!，综上，|错误!|＝错误!，D（１,１）．１．将本例（１）中的条件“a＝（２,１）”改为“a＝（—２,１）”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．[解] 当a与b共线时，—２k—１＝0，k＝—错误!，此时a与b方向相反，夹角为１80°，所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．由a·b＝—２＋k＜0得k＜２．由a与b不反向得k≠—错误!，所以k的取值范围是错误!∪错误!.２．将本例（１）中的条件“锐角”改为“错误!”，求k的值．[解] cos错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝错误!，整理得３k２—8k—３＝0，解得k＝—错误!或３．１．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤（１）求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．（２）求模．利用|a|＝错误!计算两向量的模．（３）求夹角余弦值．由公式cos θ＝错误!求夹角余弦值．（４）求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．２．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x１x２＋y１y２＝0来解决．１．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．２．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．３．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝（x１，y），b＝（x２，y２），则a∥b⇔x１y２—x２y１＝0，a⊥b⇔x１x２＋y１y２＝0．１４．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．１．若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），下列命题错误的是（）Ａ．a⊥b⇔x１x２＋y１y２＝0Ｂ．a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角Ｃ．若a·b≠0，则a与b不垂直Ｄ．|错误!|表示A，B两点之间的距离B[当a与b共线且反向时，a·b＜0，故B不正确．]２．已知a＝（３，—１），b＝（１，—２），则a与b的夹角为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[a·b＝３×１＋（—１）×（—２）＝５，|a|＝错误!＝错误!，|b|＝错误!＝错误!，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!.又0≤θ≤π，∴θ＝错误!.]３．设a＝（２,４），b＝（１,１），若b⊥（a＋m b），则实数m＝________.—３[a＋m b＝（２＋m,４＋m），∵b⊥（a＋m b），∴（２＋m）×１＋（４＋m）×１＝0，得m＝—３．]４．已知平面向量a＝（１，x），b＝（２x＋３，—x），x∈R.（１）若a⊥b，求x的值；（２）若a∥b，求|a—b|.[解] （１）若a⊥b，则a·b＝（１，x）·（２x＋３，—x）＝１×（２x＋３）＋x（—x）＝0，即x２—２x—３＝0，解得x＝—１或x＝３．（２）若a∥b，则１×（—x）—x（２x＋３）＝0，即x（２x＋４）＝0，解得x＝0或x＝—２．当x＝0时，a＝（１,0），b＝（３,0），a—b＝（—２,0），|a—b|＝２．当x＝—２时，a＝（１，—２），b＝（—１,２），a—b＝（２，—４），|a—b|＝错误!＝２错误!.综上，|a—b|＝２或２错误!.。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a|cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a||b|；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a|2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅ ； 5︒|a ⋅b| ≤ |a||b|3．练习：（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60°B.30°C.135°D.４５°（2）已知|a|=2，|b|=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m=a-4b 的模为（ ） A.2 B.23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥⇔02121=+y y x x两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o)分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a·b＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题 2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x= .四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x += 2、平面内两点间的距离公式221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定： 设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥⇔02121=+y y x x 五、课后作业：《习案》作业二十四。

第二章 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

2掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【学习重点】平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用。

【基础知识】探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅ （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。

问题2：如何求向量(),a x y =()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（1）设a=(x,y),则2a =________________或a ________________。

（2）若()11,A x y ，()22,B x y =___________________（平面内两点间的距离公式）。

问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥b a _________________利用数量积求两向量夹角的步骤：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．(2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模．(3)由公式cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cos θ的值．(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ．注释：(1)利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何的问题转化为向量问题，进而通过向量的运算来研究几何元素间的关系．(2)已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、两向量的长度和它们的夹角．此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．【例题讲解】例1：已知a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝例2：若a＝(－3,4)，b＝(2，－1)，且(a－x b)⊥(a－b)，求x的值．例3：设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于例4：已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且k a－b与a＋b的夹角为120°，则k＝________．【达标检测】1．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－32．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)3．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )A ． 3B ．135C ．655D ．654．若a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为________．【问题与收获】答案：例1：由已知2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，从而a ·(2a －b )＝(2,1)·(5，2－k )＝10＋2－k＝0，∴k ＝12．例2： 解：∵a －x b ＝(－3－2x,4＋x )，a －b ＝(－5,5)，(a －x b )⊥(a －b )，∴(－3－2x )×(－5)＋(4＋x )×5＝0，∴3x ＋7＝0，∴x ＝－73． 例3：(1)∵a ⊥b ，∴x －2＝0，∴x ＝2．∴a ＝(2,1)，∴a ＋b ＝(3，－1)．∴|a ＋b |＝10．例4：∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2，|a ＋b |＝12＋(－1)2＝2．又(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，而k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |， 即－12＝－22·k 2＋(k ＋2)2， 化简整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3．1．B 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即3x ＋1×(－3)＝0．解得x ＝1．故选B ．2．A 解析：设b ＝λ(1，－2)(λ＜0)，由|b |＝35可解出λ＝－3．故选A ．3．C 解析：a ·b |b |＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝655，故选C ． 4．44 解析：2a 2－3a ·b ＝2×(16＋9)－3×(－4＋6)＝50－6＝44．5．120° 解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，而(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52．又∵a ·c ＝x ＋2y ，设a 与c 的夹角为θ，cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525＝－12，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．。

【教学设计】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004一、教学任务分析前面已经学习了学习了平面向量数量积概念、运算以及平面向量的坐标表示,本节课是对平面向量数量积从坐标表示方面的进一步研究, 是对前面所学知识的延续.教科书以推导平面向量数量积的坐标表示入手，进而研究平面向量的模、两非零向量垂直的坐标表示和夹角的坐标表示.二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的坐标表示，模的坐标表示,垂直的坐标表示和夹角的坐标表示.难点：平面向量数量积的坐标表示的推导过程，平面向量数量积的坐标表示的应用.二、教学基本流程本节课是平面向量数量积的第二节课，与第一节课紧密联系，且主要以公式为主，因此我设计了以下顺序来安排本节课的教学：（一）复习回顾：主要复习上节课所学，并且本节课用到的知识；（二）引入新课：复习回顾向量加法、减法、数乘的坐标运算，从而引出数量积的坐标表示；（三）探究新知：探究平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示；（四）运用新知：运用所学知识解决相关问题；（五）课堂小结：回顾这节课主要学习了哪些知识，用到了哪些思想方法；（六）布置作业：课下巩固完善.三、学生课前准备因为本节课与上一节课紧密联系在一起，所以要求学生课前一定要复习好上一节课的内容：平面向量数量积的定义、运算律及性质.另外，本节课又是对坐标运算的继续加深，而且在推导平面向量数量积的坐标表示时用到了平面向量的坐标表示和运算，因此要求学生复习好平面向量的坐标表示和运算的内容.四、教学过程设计(一)复习回顾（课件上展示问题）1．平面向量数量积（内积）的定义；2.平面向量的数量积满足的运算律；3.设向量a 与b 都是非零向量，则________⊥⇔a b ；=a a 或=a . 学生活动：以上问题由学生回答，老师适当给以点评.(二)引入新课已知两个非零向量()()1122,,,x y x y =a =b ,则=+a b ；=-a b ；λ=a .提问学生回答，并给出问题：向量a 与b 的数量积⋅a b 能否也用坐标表示？这就是我们这节课要研究的问题：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【设计意图】通过回顾平面向量数量积的定义和对有关性质运算题目的掌握，为探究数量积的坐标表示做好准备．另外，通过对向量的加、减、数乘的坐标运算的回顾，很自然的联想到数量积的坐标表示，从而创设情境激发学生的学习兴趣．(三)探究新知探究1：平面向量数量积的坐标表示教师：已知两个非零向量()()1122,,,x y x y =a =b .试根据向量加法、减法的坐标运算的推导过程，写出向量a 与b 的数量积⋅a b 的坐标表示的推导过程.学生：学生回顾向量加法、减法的坐标运算的推导过程，自己独立推导平面向量数量积的坐标表示.学生推导完成后，用实物投影展示学生推导过程，并让学生讲解.解:因为()()1122x y x y ⋅++a b =i j i j 2212122112x x x y x y y y =+⋅+⋅+i i j i j j又1⋅=i i ，1⋅=j j ，0⋅=⋅=i j j i ，所以⋅a b 2121y y x x +=．教师：你能用文字表述上面的结论吗？学生：学生尝试表述，并同位间交流，最后得出结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即⋅a b 2121y y x x +=．【设计意图】问题引领，培养学生的探索研究能力,让学生体会成功的乐趣.探究2：向量的模的坐标表达式教师：若(),x y a =，如何计算2a 和a 呢？学生:222||x y =+a ， ||=a 教师：如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，那么向量a 的坐标如何表示？a 等于什么？学生: 2121(,)x x y y =--a ， =a .【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上，探索发现向量的模小试牛刀：已知()3,4=-a ，(5,2)=b ，求,,⋅a b a b .学生:学生计算,并提问学生回答: 5,7.==⋅=-a b a b【设计意图】熟练应用向量数量积的坐标公式．探究3：向量垂直的坐标表示教师:设a 与b 都是非零向量,()()1122,,,x y x y =a =b ,如何用向量a,b 的坐标来表示⊥a b ？提问一名同学到黑板上书写,其他同学在导学案上书写：1212=00x x y y ⊥⇔⋅⇔+=a b a b .【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上两向量垂直.此时,展示例1.让学生把答案写在导学案上.给学生4分钟的时间完成，并用投影展示学生的答案，在展示时可以多选取学生完成几种不同的方法.多媒体上展示变式1，让学生完成并口述答案.多媒体上展示变式2，提问一名同学到黑板上板书过程.【设计意图】此时展现例题，注重讲练结合，而且能够及时加深学生对两向量垂直的记忆和理解.两个变式题目的设计也注重梯度性，有利于各层次学生的学习.探究4：向量夹角的坐标表示教师:设a 与b 都是非零向量， ()()1122,,,x y x y =a =b ，θ是a 与b 的夹角，你能用a ，b 的坐标来表示cos θ？提问一名同学到黑板上书写,其他同学在导学案上书写：cos θ=接下来讲解例2.先给学生2分钟的思考时间,然后提问一名同学回答,教师板书，给学生起到示范作用.并引导学生总结求两向量夹角余弦值的方法.（四）应用新知例1.已知点(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断ABC ∆的形状，并给出证明.引导学生用不同的方法做这道题目,并展示学生的答案.变式：（1）已知ABC ∆为直角三角形，090A ∠=,(1,3),(2,)AB AC k ==，求k 的值.（2）若上式中090C ∠=，那么k 的值是多少? 答案：（1）23k =-；（2）k =1或2. 例2．已知向量()5,7=-a ，()6,4=--b ,求a b 及a 、b 的夹角θ的余弦值. 解：5(6)(7)(4)3028 2.⋅⨯-+-⨯-=-+=-a b ===，a ==b∴cos 0.03.96274θ===-≈-a b a b 教师:结合本题,总结一下求两向量夹角余弦值的步骤?学生：求两向量夹角的余弦值，先求|⋅、|、,a b a b 再代入公式计算.(五)课堂小结提问一名同学回答,通过本节课的学习,在知识方面和思想方法你有哪些收获?知识方面:1.平面向量数量积的坐标表示；2.向量模的坐标表示；3.向量垂直的坐标表示；4.向量夹角的坐标表示.思想方法：数形结合，类比.【设计意图】培养学生归纳整合知识能力，培养学生思维的灵活性与严谨性．(六)布置作业1.阅读课本P106-P107；2.必做:课本P108 A 组第9、10、11题；选做：课本P108 B 组第2题.【设计意图】学生养成先复习后做作业的学习习惯,另外分层布置作业,满足不同学生的需要．(七)板书设计x x+12【学情分析】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004在学习本节之前学生已经学习了平面向量数量积概念、运算以及平面向量的坐标表示，且大部分同学有了一定的推理计算能力和处理向量问题的方法，完全有能力推导出平面向量数量积的坐标表示，对于少数不能推导出平面向量数量积坐标表示的可以让他们看课本上的推导过程.有了数量积的坐标表示，在结合上一节中平面向量数量积的性质，那么平面向量的模、两非零向量的垂直关系以及两非零向量的夹角也就很容易用坐标来表示了，学生接受起来也会比较容易.为了更好的学习本节课，在课前需要学生提前预习并且复习好上一节的内容和平面向量的坐标表示，尤其是向量加法、减法运算的推导过程，以便能够顺利的推导出平面向量的数量积的坐标表示.【效果分析】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004本节课是从坐标表示对平面向量数量积的进一步学习，本节课公式比较多，通过本节课的教学，基本上达到了预期的效果，可以通过以下几个方面来说明：1.课堂教学效率比较高，学生思维活跃，整堂课气氛比较热烈。

2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案【学习目标】学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【重点难点】平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用【学法指导】预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

了解向量的模、夹角等公式。

【知识链接】1.平面向量数量积（内积）的坐标表示2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1)向量模的坐标表示：能表示单位向量的模吗？(2)平面上两点间的距离公式：向量a的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)AB=(3)两向量的夹角公式cos =3. 向量垂直的判定（坐标表示）4.向量平行的判定（坐标表示）三、提出疑惑【学习过程】（一）创设问题情景，引出新课a与b的数量积的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？（二）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难，点拨学生：i2=1,j2=1,i·j=0探究二：探索发现向量的模的坐标表达式若a=(x,y)，如何计算向量的模|a|呢？若A(x 1,x 2), B(x 2,y 2)，如何计算向量AB 的模两点A 、B 间的距离呢？例1、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.变式：已知a+b=2i-8j,a b=8i+16j,a b -- 则探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b 都是非零向量，a=(x 1,y 1),b(x 2,y 2),如何判定a ⊥b 或计算a 与b 的夹角<a,b>呢？1、向量夹角的坐标表示2、a ⊥b<=> <=>x 1x 2+y 1y 2=03、a ∥b <=>X 1y 2-x 2y 1=056365例2 在△ABC 中，=(2， 3)，=(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.变式：已知，(1,2),(3,2)a b ==- ，当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？ （2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？【学习反思】【基础达标】1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.123、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a 与b 的 数量积4、设a=(2,1),b=(1,3),求a ·b 及a 与b 的夹角5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a 与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?【拓展提升】1.已知(4,3),(5,6)a b =-= 则23a 4a b=-⋅ （ ）A.23B.57C.63D.832.已知()()a 3,4,b=5,12- 则a b 与夹角的余弦为（ ）A. B.C. D.3.()a=2,3,b=(2,4),- 则()()a+b a-b =⋅ __________。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。

2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。

3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。

因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。

我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。

2.4.2 平面向量數量積的座標表示、模、夾角一、教學分析平面向量的數量積,教材將其分為兩部分.在第一部分向量的數量積中,首先研究平面向量所成的角,其次,介紹了向量數量積的定義,最後研究了向量數量積的基本運算法則和基本結論;在第二部分平面向量數量積的座標表示中,在平面向量數量積的座標表示的基礎上,利用數量積的座標表示研討了平面向量所成角的計算方式,得到了兩向量垂直的判定方法,本節是平面向量數量積的第二部分.前面我們學習了平面向量的數量積,以及平面向量的座標表示.那麼在有了平面向量的座標表示以及座標運算的經驗和引進平面向量的數量積後,就順其自然地要考慮到平面向量的數量積是否也能用座標表示的問題.另一方面,由於平面向量數量積涉及了向量的模、夾角,因此在實現向量數量積的座標表示後,向量的模、夾角也都可以與向量的座標聯繫起來.利用平面向量的座標表示和座標運算,結合平面向量與平面向量數量積的關係來推導出平面向量數量積以及向量的模、夾角的座標表示.教師應在座標基底向量的數量積的基礎上,推導向量數量積的座標表示.通過例題分析、課堂訓練,讓學生總結歸納出對於向量的座標、數量積、向量所成角及模等幾個因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本題型的求解方法.平面向量數量積的座標表示是在學生學習了平面向量的座標表示和平面向量數量積的基礎上進一步學習的,這都為數量積的座標表示奠定了知識和方法基礎.二、教學目標1、知識與技能：掌握數量積的座標運算式，會進行平面向量數量積的運算；能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關係。

2、過程與方法：通過用座標表示平面向量數量積的有關運算，揭示幾何圖形與代數運算之間的內在聯繫，明確數學是研究數與形有機結合的學科。

3、情感態度與價值觀：能用所學知識解決有關綜合問題。

三、重點難點教學重點:平面向量數量積的座標表示.教學難點:向量數量積的座標表示的應用.四、教學設想（一）導入新課思路1.平面向量的表示方法有幾何法和座標法,向量的表示形式不同,對其運算的表示方式也會改變.向量的座標表示,為我們解決有關向量的加、減、數乘運算帶來了極大的方便.上一節,我們學習了平面向量的數量積,那麼向量的座標表示,對平面向量的數量積的表示方式又會帶來哪些變化呢？由此直接進入主題.思路2.在平面直角坐標系中,平面向量可以用有序實數對來表示,兩個平面向量共線的條件也可以用座標運算的形式刻畫出來,那麼學習了平面向量的數量積之後,它能否用座標來表示？若能,如何通過座標來實現呢？平面向量的數量積還會是一個有序實數對嗎？同時,平面向量的模、夾角又該如何用座標來表示呢？通過回顧兩個向量的數量積的定義和向量的座標表示,在此基礎上引導學生推導、探索平面向量數量積的座標表示.（二）推進新課、新知探究、提出問題①平面向量的數量積能否用座標表示?②已知兩個非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),怎樣用a 與b 的座標表示a ·b 呢?③怎樣用向量的座標表示兩個平面向量垂直的條件？④你能否根據所學知識推導出向量的長度、距離和夾角公式？活動:教師引導學生利用前面所學知識對問題進行推導和探究.前面學習了向量的座標可以用平面直角坐標系中的有序實數對來表示,而且我們也知道了向量的加、減以及實數與向量積的線性運算都可以用座標來表示.兩個向量共線時它們對應的座標也具備某種關係,那麼我們就自然而然地想到既然向量具有數量積的運算關係,這種運算關係能否用向量的座標來表示呢？教師提示學生在向量座標表示的基礎上結合向量的座標運算進行推導數量積的座標表示.教師可以組織學生到黑板上板書推導過程,教師給予必要的提示和 補充.推導過程如下:∵a =x 1ｉ+y 1j ,b =x 2ｉ+y 2j ,∴a ·b =(x 1ｉ+y 1j )·(x 2ｉ+y 2j )=x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ·j +x 2y 1ｉ·j +y 1y 2j 2.又∵ｉ·ｉ=1,j ·j =1,ｉ·j =j ·ｉ=0,∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2.教師給出結論性的總結,由此可歸納如下:1°平面向量數量積的座標表示兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),則a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的座標表示若a =(x,y),則|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向線段的起點和終點的座標分別為(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那麼a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°兩向量垂直的座標表示設a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),則a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°兩向量夾角的座標表示設a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 與b 的夾角,根據向量數量積的定義及座標表示,可得 cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•討論結果:略.（三）應用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷△ABC 的形狀,並給出證明.活動:教師引導學生利用向量數量積的座標運算來解決平面圖形的形狀問題.判斷平面圖形的形狀,特別是三角形的形狀時主要看邊長是否相等,角是否為直角.可先作出草圖,進行直觀判定,再去證明.在證明中若平面圖形中有兩個邊所在的向量共線或者模相等,則此平面圖形與平行四邊形有關;若三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數量積為零,則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形.教師可以讓學生多總結幾種判斷平面圖形形狀的方法.解:在平面直角坐標系中標出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三點,我們發現△ABC 是直角三角形.下麵給出證明. ∵AB =(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB ·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴AB ⊥AC .∴△ABC 是直角三角形.點評:本題考查的是向量數量積的應用,利用向量垂直的條件和模長公式來判斷三角形的形狀.當給出要判定的三角形的頂點座標時,首先要作出草圖,得到直觀判定,然後對你的結論給出充分的證明.變式訓練在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k),且△ABC 的一個內角為直角,求k 的值.解:由於題設中未指明哪一個角為直角,故需分別討論.若∠A=90°,則AB ⊥AC ,所以AB ·AC =0.於是2×1+3k=0.故k=32-. 同理可求,若∠B=90°時,k 的值為311; 若∠C=90°時,k 的值為2133±. 故所求k 的值為32-或311或2133±.例2 (1)已知三點A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 與b 的夾角.活動:教師讓學生利用向量的座標運算求出兩向量a =(x 1,y 1)與b =(x 2,y 2)的數量積a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的積,其比值就是這兩個向量夾角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•.當求出兩向量夾角的余弦值後再求兩向量的夾角大小時,需注意兩向量夾角的範圍是0≤θ≤π.學生在解這方面的題目時需要把向量的座標表示清楚,以免出現不必要的錯誤.解:(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴AB ·AC =3×(-1)+3×6=15. 又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC=.74745372315||||=•=•AC AB AC AB (2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.設a 與b 的夾角為θ,則cos θ=.2225315||||-=⨯-=•b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π. 點評:本題考查的是利用向量的座標表示來求兩向量的夾角.利用基本公式進行運算與求解主要是對基礎知識的鞏固與提高.變式訓練設a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 間的夾角θ.(精確到1°)解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由計算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用計算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),試分別解答下麵兩個問題:(1)若a ⊥b ,求a ; (2)若a ∥b ,求a.活動:對平面中的兩向量a =(x 1,y 1)與b =(x 2,y 2),要讓學生在應用中深刻領悟其本質屬性,向量垂直的座標表示x 1x 2+y 1y 2=0與向量共線的座標表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,應仔細比較並熟記,當難以區分時,要從意義上鑒別,兩向量垂直是a ·b =0,而共線是方向相同或相反.教師可多加強反例練習,多給出這兩種類型的同式變形訓練.解:(1)設a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139-(2)設a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x ∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 點評:本題主要考查學生對公式的掌握情況,學生能熟練運用兩向量的座標運算來判斷垂直或者共線,也能熟練地進行公式的逆用,利用已知關係來求向量的座標.變式訓練求證:一次函數y=2x-3的圖象(直線l 1)與一次函數y=21-x 的圖象(直線l 2)互相垂直. 解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取兩點A(1,-1),B(2,1).同理,在直線l 2上取兩點C(-2,1),D(-4,2),於是:AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),CD =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的數量積的座標表示,可得AB ·CD =1×(-2)+1×2=0, ∴AB ⊥CD ,即l 1⊥l 2.（四）課堂小結1.在知識層面上,先引導學生歸納平面向量數量積的座標表示,向量的模,兩向量的夾角,向量垂直的條件.其次引導學生總結數量積的座標運算規律,夾角和距離公式、兩向量垂直的座標表示.2.在思想方法上,教師與學生一起回顧探索過程中用到的思維方法和數學思想方法,定義法,待定係數法等.（五）作業。

《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》说课稿尊敬的各位评委大家好：我说课的题目是《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》，下面我从教材分析、学情分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的教学进行说明。

一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第二课时---平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

本节课是是在学生已经掌握了平面向量数量积的含义及运算律的基础上进行教学的，因此难度不大。

根据新课标的要求和学生的实际我确定本节课的重难点如下：2．教学重点、难点（1）教学重点1.掌握平面向量数量积的坐标表示方法；2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距离公式；3.能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. （２）教学难点用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.二、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

三、教学目标分析根据本节课的特点,结合新课程标准对本节课的教学要求和学生的认知规律,我从以下三个方面确定了以下教学目标:(1)知识与技能目标:⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；(2) 过程与方法目标：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角第一课时【学习目标、细解考纲】掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。

掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。

【知识梳理、双基再现】 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅ （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。

如：设a ☎✆♌☎✆求a b 。

平面内两点间的距离公式 （１）设a=(x,y),则2a =♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉或a ♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。

（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉（平面内两点间的距离公式） 向量垂直的判定设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则a b ±⇔♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉如：已知✌（ ， ） ☎✆ ☎✆求证ABC 是直角三角形。

两向量夹角的余弦（ ≤θ≤π）cos θ＝♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉＝♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉ ♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉如：已知✌☎✆☎✆☎✆且,a BC b CA == 则a 与b 的夹角为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。

5636543(,)554355--（），433C.555-4（，）或（-，）5433)(,)5554（，或--5【小试身手、轻松过关】已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅（ ）✌    已知()()a 3,4,b=5,12-则a b 与夹角的余弦为（ ）✌ 65   ()a=2,3,b=(2,4),-则()()a+b a-b =⋅♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。