人教A版高中数学《平面向量的数量积》导学案

复习课:平面向量的数量积一、教学分析向量是近代数学基本和重要的数学概念之一，有着极其丰富的实际背景，它具有代数和几何的双重身份，是沟通代数、几何的桥梁。

它能与中学数学中许多教学内容许多主干知识相结合，形成知识交汇点。

而且初中课本里已经对平面向量做了简单的介绍，再次将平面向量坐标表示引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。

本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量相关知识的回顾，也有对于数量积求法的总结，也涉及到向量数量积的应用；课堂中也很好的融入了数形结合的数学思想和化归思想。

二、教学目标1.掌握平面向量数量积的概念，回顾梳理与平面向量数量积相关的知识点。

2.通过体验、归纳，总结求解平面数量积的方法，同时提高对题目的反思重解能力。

3.通过平面向量数量积的应用，提高分析问题解决问题的能力。

三、教学重点平面向量数量积概念的掌握。

四、教学难点应用数量积解决问题。

五、学生学情分析1．知识方面：学生已完成了平面向量这一章知识内容的学习，并已能运用平面向量的知识解决一些简单的向量几何问题，但是还不能融会贯通地综合理解运用知识，尤其知识的迁移能力还不够。

同时整章的知识脉络还没完全成型。

因此，本节复习课对现阶段的学生来说尤为重要。

2．能力方面：因为刚刚完成向量部分的学习，对于向量的相关知识内化的还不够完善。

部分学生解题时数形结合能力弱，但是由于学生的基础较好，所以大部分学生的求知欲和学习主动性较高。

3．心理方面：学生已具备了一定的归纳知识的意识和能力，而且现阶段学生表现欲也很强，本节课的教学设计正好符合高一学生的这个心理特征。

六、教学过程1、知识回顾1．完成以下问题（1）已知等边△ABC 的边长为3，则=⋅ .(29)（2）已知向量(1,2),(,1),a b x ==且a b ⊥,则x = -2（3）判断下列说法正确的是①22a a = （ √ ）②若0a b ⋅=则00a b ==或 （ X ）③若0,,b a b c b a c ≠⋅=⋅=则 （ X ）④若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，对任意向量,,a b c 都成立 （ X ）2.通过以上问题的解决，引出课题，并对以下知识进行回顾梳理。

平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案（1）学习目标：1、利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景，理解向量的数量积概念及几何 意义；能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2、掌握由定义得到的数量积的5条重要性质，并能运用性质进行相关的判断和运算；3、了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，培养学生的应用意识.学习过程 一、课前准备 复习：1、向量加法和减法运算的两个法则是 和 .2、向量数乘运算的定义是 . 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量 能否“相乘”呢？ 二、新课导学探究1：如下图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W = ，其中θ是 . 思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：F （力）是 量；S （位移）是 量；θ是 ；W （功）是 量； 结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？ 新知1：向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a 和b ，我们把数量cos a b θ叫做a 和b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即cos a b a b θ⋅=.其中θ是a 和b 的夹角（０≤θ≤π）说明：①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替。

② 两个非零向量夹角的概念：非零向量a 与b ，作OA ＝a，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角（两向量必须是同起点的）特别地：当θ＝０时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b反向；当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；③“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即00a ⋅=。

探究2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量；数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a 与b 的模有关，还和它们的夹角有关。

《6.3.5 平面向量数量积的坐标表示》教案【教材分析】平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章的重点之一.【教学目标与核心素养】课程目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.数学学科素养1.数学抽象：数量积的坐标运算；2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；4.数据分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：平面向量数量积的坐标表示；难点：向量数量积的坐标表示的应用.【教学过程】一、情景导入前面，我们学习了: 用坐标表示平面向量的加法和减法, 平面向量的数量积是如何定义, 向量的运算律有哪些.那么可以用坐标表示平面向量的数量积吗？如果可以，怎么表示?要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本34-35页，思考并完成以下问题1、平面向量数量积的坐标表示是什么？2、如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两向量的数量积与两向量垂直的公式（1）已知两个非零向量a =(x 1,x 2), b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ·b 呢？a ·b =x 1x 2+y 1y 2即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 （2）a ⊥b <=> a ·b =0<=>x 1x 2+y 1y 2=0 2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式 （1）若a =(x,y)，则|a |=x 2＋y 2（2）若A(x 1,x 2),B(x 2,y 2)，则两点A 、B 间的距离为 （3）设a , b 都是非零向量，a =(x 1,y 1), b (x 2,y 2), a 与b 的夹角θ， 则四、典例分析、举一反三题型一 平面向量数量积的坐标运算例1 (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ―→＝(1，－2)，AD ―→＝(2,1)，则AD ―→·AC ―→＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】(1) C ．(2) A ．【解析】(1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD ―→·AC ―→＝(2,1)·(3，－,)()(212212y y x x AB -+-=222221212121cos y x y x y y x x +⋅++=θ1)＝5.解题技巧（数量积坐标运算的两条途径）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．跟踪训练一1、在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点坐标分别为O (0,0)，B (1,1)，则AB ―→·AC ―→＝________.2．在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－3,2)，则AD ―→·AC ―→＝________.【答案】1、1 2、3.【解析】1、如图所示，在正方形OABC 中，A (0,1)，C (1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB ―→＝(1,0)，AC ―→＝(1，－1)，从而AB ―→·AC ―→＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.2、设AC ，BD 相交于点O ，则AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝(－1,2)．又AC ―→＝(1,2)，∴AD ―→·AC ―→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.题型二 向量的模的问题例2 (1)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17D.26(2)已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |. 【答案】（1）A （2）a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)，|a ＋b |＝65. 【解析】 (1)∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0， 解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. (2)设a ＝(x ，y )，则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52. ① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝－4.∴a ＝(6,4)或a ＝(－6，－4)． ∴a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)， ∴|a ＋b |＝65.解题技巧： (求向量模的两种基本策略)(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. 跟踪训练二1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 【答案】1、2＋ 3. 2、8 2.【解析】1、2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 2、∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 题型三 向量的夹角和垂直问题例3 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120° D．150°(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，求c 的坐标．【答案】(1)C. (2) c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17. 【解析】 (1)∵a ·b ＝－2－8＝－10， ∴得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152， ∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)设c 的坐标为(x ，y )，则a ＋c ＝(1＋x,2＋y )． ∵(a ＋c )∥b ，∴(1＋x )×3－2×(2＋y )＝0，即3x －2y ＝1. ① 又a ＋b ＝(3,5)，且(a ＋b )⊥c ，∴3x ＋5y ＝0. ②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，3x ＋5y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝521，y ＝－17.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17.解题技巧（解决向量夹角问题的方法和注意事项）(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.跟踪训练三1、已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．【答案】(1)b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)3π4. 【解析】(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2·72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4， 即m ，n 的夹角为3π4.题型四 平面向量的数量积问题例4 已知点A ，B ，C 满足|AB ―→|＝3，|BC ―→|＝4，|CA ―→|＝5，求AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→的值．【答案】-25.【解析】[法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45， ∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→ ＝BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35 ＝－25. [法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)． ∴AB ―→＝(－3,0)，BC ―→＝(0,4)， CA ―→＝(3，－4)．∴AB ―→·BC ―→＝－3×0＋0×4＝0， BC ―→·CA ―→＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ―→·AB ―→＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝0－16－9＝－25. 解题技巧（求平面向量数量积常用的三个方法） (1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．跟踪训练四1、如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．【答案】45.【解析】法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，OE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故cos ∠DOE ＝OD ―→·OE―→|OD ―→|·|OE ―→|＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝OA ―→＋12OC ―→， OE ―→＝OC ―→＋CE ―→＝OC ―→＋12OA ―→， ∴|OD ―→|＝52，|OE ―→|＝52， OD ―→·OE ―→＝12OA ―→2＋12OC ―→2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ―→·OE ―→| OD ―→ ||OE ―→|＝45.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本36页练习，36页习题6.3的剩余题.【教学反思】结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。

课堂导学课堂导学1.平面向量数量积的概念【例1】 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求：（1）a ·b ；（2）（a +b ）2；（3）a 2-b 2；（4）（2a -b ）·（a +3b ）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=（a +b ）·a +（a +b ）·b =a ·a +b ·a +a ·b +b ·b = a 2+2a ·b +b 2.解：（1）a ·b =|a ||b |cos120°=5×4×(-21)=-10. （2）（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=25-2×10+16=21.(3)a 2-b 2=|a |2-|b |2=25-16=9.（4）（2a -b ）·（a +3b ）=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2,（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c .【例2】已知a 与b 的夹角为30°，且|a |=3,|b |=1,求向量p=a +b 与q=a -b 的夹角的余弦. 思路分析：利用cosθ=||||q p q p •确定p ,q 的夹角，必先求pq 及|p ||q |，而求|p|及|q|利用模长公式|p |2=p 2,|q |2=q 2.解：∵|p |=|a +b |=7130cos 323222=+︒+=+•+b b a a , |q |=|a -b |=,1130cos 323222=+︒-=+•-b b a a ∴cosθ=77272||||==•q p q p . 温馨提示 （1）在求向量的模及两向量夹角时，主要利用公式|a |2=a 2及cosθ=||||b a b a •. （2）向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算，计算时，不仅要防止计算错误的发生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证结果准确无误.2.平面向量数量积的应用【例3】 已知|a |=4，|b |=3，a 与b 的夹角为120°，且c =a +2b ，d =2a +k b ，问当k 取何实数时，（1）c ⊥d;(2)c ∥d思路分析：依据两个向量垂直的条件是这两个向量的夹角为90°，而两个向量的平行的条件是夹角为0°或180°；再由夹角公式求得所需条件.解：设c 与d 的夹角为θ，则由已知,得c ·d=（a +2b ）·（2a +k b ）=2a 2+（4+k ）a ·b +2k b 2=2×42+(4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k.|c |=|a +2b |=2244b b a a +•+ =2834120cos 344422=⨯+︒⨯⨯+. |d |=|2a +k b |=22244b k b ka a +•+ =2223120cos 34444⨯+︒⨯⨯•+⨯k k =.642492+-k k∴cosθ=.)64249(746||||2+-+=•k k k d c d c (1)要使c ⊥d ，只要cosθ=0,即6k+4=0,∴k=-32. (2)要使c ∥d ,只需cosθ=±1, 即)64249(72+-k =±(6k+4),解得k=4.综上，当k=-32时，c ⊥d ;当k=4时，c ∥d . 温馨提示两向量平行，夹角为0°或180°,故有a ·b =|a ||b |或a ·b =-|a ||b |.而两向量垂直，夹角为90°,所以a ·b =0,反之也成立.3.正确理解两向量夹角的定义【例4】 Rt △ABC 中，已知|AB|=3，|BC|=3，|CA|=23，求·+·+·的值.思路分析：只需求出向量AB 与BC ，BC 与CA ，CA 与AB 的夹角，利用数量积定义求解.解：∵∠A=∠C=45°, ∴与夹角为135°,与夹角为135°,与夹角为90°.∴·+·+· =BC ·CA +CA · =3×32·cos135°+32×3·cos135°=-18.温馨提示正确理解两向量夹角的定义，是指同一点出发的两个向量所构成的较小非负角。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1.知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义。

2.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。

3. 利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【考纲要求】1.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。

2.利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【学习目标续写】1.由向量的数量积体会向量和数量之间的联系。

2.总结用向量的数量积解决有关长度、角度和垂直问题的方法。

3.让我们充满激情的进入充满神秘色彩的数学世界。

【使用说明与学法指导】1.精读教材103-105页,用红笔勾画重点，理解和掌握定义，作答预习案、探究案。

2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，整理在导学案上，准备讨论质疑。

【预习案】(5分钟处理疑难）1.在等边三角形ABC中,求：(1)AB AC与的夹角；(2)AB BC与的夹角。

2.一些特殊角的余弦值：3.在两向量的夹角定义中，两向量夹角的范围是。

4.b在a上的投影是。

5.数量积a b⋅的几何意义是。

6.零向量与任一向量的数量积等于。

7.a b⋅是一个实数，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？8.总结数量积的性质和运算律，判断下列各题是否正确（1）00a⋅=（）（2）00a⋅=（）（3）a b a b⋅=（）（4）若0a≠，则对于任一非零向量b有0a b⋅≠（）（5）若a与b是两个单位向量，则22a b=（）（6）对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅（）【我的质疑】【探究案】（25分钟讨论、展示、点评、质疑）一、向量数量积的概念（口展，命题真假说明原因）例1.已知,,a b c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是（）①a b a b a⋅=⇔∥b；②,a b a b a b⇔⋅=-反向；③a⊥b a b a b⇔+=-；④a b a c b c=⇔⋅=⋅。

A.1B.2C.3D.4二、平面向量数量积的运算（板展）（做第（2）问可用第（1）问结论，不必重做一次a b⋅）例2.05,4,60,1(2)(2)a b a b a b a a bθ===⋅⋅-已知与的夹角求（）例3.向量a b 与夹角为3π，2,1ab ==，求2a b -的值。

《6.2.4向量的数量积》导学案使用日期：一、自主学习1、理解平面向量的数量积的概念及物理意义会计算平面向量的数量积；2、通过几何直观，了解平面向量投影概念及投影向量的意义。

1.了解向量数量积的物理背景，培养数学抽象的核心素养；2.掌握向量数量积的定义及投影向量，提升数学抽象的核心素养；3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，培养逻辑推理的核心素养；4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，提升数学运算的核心素养。

重点：平面向量的数量积的运算掌握平面向量数量积的性质及其运算律难点：投影向量的概念探究数量积的性质及其应用1.本节所处教材的第页.2.复习——向量的加法、减法：向量的数乘运算：3.预习——数量积：数量积的性质：创设情境，生成问题：物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢？在马拉爬犁的实例中，力和位移都是向量，大家能否从功的计算公式中抽象出两个非零向量数量积的定义呢？1.向量的夹角【探究】如图,一个物体在力F的作用下产生了位移S,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么？【做一做1】若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( ) 定义已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角范围特殊情况a与b同向a与b反向a与b垂直，记作a bA．60° B．120°C．30° D．150°2.向量的数量积【探究】力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?特别提醒：数量积的结果为数量,不再是向量。

【做一做2】已知向量a，b满足|a|=2,|b3,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于( )A.1B.3C.3D.333.投影向量【探究1】如图，已知向量AB=a和向量b，过两个端点A，B，分别作向量b所在直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，得到向量11BA，我们称上述变换为向量a向向量b投影，11BA叫做向量a在向量b上的投影向量。

平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。

掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。

2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。

3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。

4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。

三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。

2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。

b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。

c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。

3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。

b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。

c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。

4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。

b. a · b = |a| * |b| * cosθ。

5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。

b. |a| = √(a · a)。

四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。

§5.3平面向量的数量积2014高考会这样考1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．复习备考要这样做1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a；(4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律学#科#网Z#X#X#K](1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. [难点正本 疑点清源] 1． 向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2． a ·b >0是两个向量a ·b 夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a ，b 〉＝0，则a·b >0，而a ，b 夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC 中，AB →、BC →的夹角与角B 的关系． 3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．1． 已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________. 答案 －3 2解析 a·b ＝|a||b |cos 135°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－22＝－3 2. 2． 已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________． 学_科_网Z_X_X_K]答案 32解析 由a ⊥b 知a·b ＝0.又3a ＋2b 与λa －b 垂直， ∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2－2b 2＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝32.3． 已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．答案655解析 设a 和b 的夹角为θ，|a |cos θ＝|a |a·b|a||b |＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝1365＝655.4． (2011·辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12答案 D解析 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.5． (2012·陕西)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12C ．0D ．－1答案 C解析 a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1,2cos θ)． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝1－1＝0.题型一 平面向量的数量积的运算例1(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16(2)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于 ( ) A ．6B ．5C ．4D ．3思维启迪：(1)由于∠C ＝90°，因此选向量CA →，CB →为基底． (2)先算出8a －b ，再由向量的数量积列出方程，从而求出x . 答案 (1)D (2)C解析 (1)AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →) ＝－CB →·CA →＋CA 2→＝16. (2)∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30. ∴x ＝4.探究提高 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．(2012·北京)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 1 1解析 方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角 坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1， ∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 题型二 向量的夹角与向量的模例2已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 思维启迪：运用数量积的定义和|a |＝a·a . 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 学科 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积． |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.探究提高 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a·a 要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．(1)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 C解析 ∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于( )A ．1 B. 2C ．2D ．4答案 C解析 |a ＋2b |2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝4－4×1＋4＝4， ∴|a ＋2b |＝2.题型三 向量数量积的综合应用例3已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sinβ)(0<α<β<π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)思维启迪：(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．(2)由模相等，列等式、化简．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)， |k a ＋b |＝k 2＋2k cos (β－α)＋1， |a －k b |＝1－2k cos (β－α)＋k 2.∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)． 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.探究提高 (1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算中，a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a ⊥b .已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32. (1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．(1)证明 ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ， ∴c·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＝0， 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a·b ＝0， ∴c·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0，∴k ＝f (t )＝t 3－3t4(t ≠0)．三审图形抓特点典例：(5分)如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.图形有一副三角板构成 ↓(注意一副三角板的特点) 令|AB |＝1，|AC |＝1↓(一副三角板的两斜边等长) |DE |＝|BC |＝ 2↓(非等腰三角板的特点) |BD |＝|DE |sin 60°＝2×32＝62↓(注意∠ABD ＝45°＋90°＝135°) AD →在AB →上的投影即为x ↓x ＝|AB |＋|BD |cos 45°＝1＋62×22＝1＋32↓AD →在AC →上的投影即为y ↓y ＝|BD |·sin 45°＝62×22＝32. 解析 方法一 结合图形特点，设向量AB →，AC →为单位向量，由AD →＝xAB →＋yAC →知，x ，y 分别为AD →在AB →，AC →上的投影．又|BC |＝|DE |＝2，∴|BD →|＝|DE →|·sin 60°＝62.∴AD →在AB →上的投影 x ＝1＋62cos 45°＝1＋62×22＝1＋32， AD →在AC →上的投影y ＝62sin 45°＝32.方法二 ∵AD →＝xAB →＋yAC →，又AD →＝AB →＋BD →， ∴AB →＋BD →＝xAB →＋yAC →，∴BD →＝(x －1)AB →＋yAC →. 又AC →⊥AB →，∴BD →·AB →＝(x －1)AB →2. 设|AB →|＝1，则由题意|DE →|＝|BC →|＝ 2.又∠BED ＝60°，∴|BD →|＝62.显然BD →与AB →的夹角为45°.∴由BD →·AB →＝(x －1)AB →2， 得62×1×cos 45°＝(x －1)×12.∴x ＝32＋1. 同理，在BD →＝(x －1)AB →＋yAC →两边取数量积可得y ＝32. Zxxk答案 1＋32 32温馨提醒 突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂．方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． 失误与防范1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .3．a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( )A ．－1B ．－12C.12D ．1答案 D解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a＋b |等于( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10答案 B解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)， 由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)． ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， ZXXK] 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23C.23D.32答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. Zxxk 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案 3 2解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. 6． (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.答案 －16解析 如图所示，AB →＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC → ＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →)＝AM →2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16.7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．答案 (－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎫－6，32 解析 由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得：6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0， ∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0， ∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12， ∴c ＝12b ＝(－1,3)．9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)．故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)． ZXXK] B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC 等于( )A. 3B.7C ．2 2D.23 ZXXK]答案 A解析 ∵AB →·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC →|cos B ＝－1. 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ， 即9＝4＋|BC |2－2×(－1)． ∴|BC |＝ 3.2． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是 ( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2答案 A解析 a·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉， ∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4.3． (2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10答案 D解析 ∵P A →＝CA →－CP →， ∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2.∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|P A →|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2 ＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2. 又AB →2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|P A →|2＋|PB →|2＝10|CP →|2，故所求值为10. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·安徽)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.答案2解析 a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ， Zxxk ∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.5． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________． 答案2解析 方法一 坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)， ∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ZXXK] ∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2. 方法二 用AB →，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →) ＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF →＝2，∴2x ＝2， ∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →. ∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC →⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝⎛⎭⎫22－1×2＋12×4＝ 2. 6． (2012·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．答案 [1,4] 解析 如图所示， 设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，则BM →＝λBC →， CN →＝λCD →，DN →＝CN →－CD → ＝(λ－1)CD →，∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →) ＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →] ＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD → ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4； 当λ＝1时，AM →·AN →取得最小值1. ∴AM →·AN →∈[1,4]． 三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故向量a ＋b 与a －b 垂直．(2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，即⎝⎛⎭⎫－12·cos α＋32·sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°，k ∈Z ， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.。

2.5.1 平面向量的数量积一、课前自主导学【学习目标】1．理解平面向量数量积的概念；2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π； 3．掌握两向量共线及垂直的充要条件； 4．掌握向量数量积的性质。

【重点、难点】向量数量积及其重要性质； 【温故而知新】 预习填空：1．向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=（0180θ≤≤ ）叫做向量a 与b 的夹角。

当0θ= 时，a 与b 同向； 当180θ=时，a 与b 反向； 当90θ=时，a 与b 的夹角是90 ，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其 夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数 量；实数与向量的积是一个向量； ③规定，零向量与任一向量的数量积是0． 3．数量积的几何意义： （1）投影的概念：如图，OA a = ，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ= ．||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值；当90θ= 时，它是0；当0θ= 时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -（2）a b ⋅ 的几何意义：数量积a b ⋅ 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。

（3）数量积的性质：图（2）111设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则①cos ||||a b a b θ⋅=；②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅= ；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=- ；特别地：2||a a a ⋅=或||a = ||||||a b a b ⋅≤ ； ④a b ⊥ 0a b ⇔⋅=；⑤若e 是与b 方向相同的单位向量，则||cos e a a e a θ⋅=⋅=平面向量数量积的运算律1．交换律：a b b a⋅=⋅2．数乘结合律：b a ⋅）（λ =）（b a⋅λ = ）（b a λ⋅3．分配律：c b c a c b a⋅+⋅=⋅+)（说明：（1）一般地，）（（c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅) （2）ba c cbc a =⇒≠⋅=⋅0，（3）有如下常用性质：22a a =，))d c b a +⋅+（（＝c a ⋅＋d a ⋅＋c b ⋅＋d b ⋅2222)(b b a a b a +⋅+=+【我的困惑】二、课堂互动探究【例1】2.()1(,120,32220-==求与 解：（1）59422-=-=-=- （27====【例2】已知正ABC ∆的边长为2，设BC a = ，CA b = ，AB c = ，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅ ．解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅122()362=⨯⨯-⨯=-．AB C【例3】（1）已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a+k b 与a -k b 互相垂直?（2）已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b|,求向量b 与a -b 的夹角.解:（1）a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )²(a-k b )=0,即2a -2k 2b =0.∵2a =9,2b =16,∴169-2k =0.∴k =±43.也就是说,当k =±43时,a+k b 与a -k b 互相垂直.（2）∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ²b +|b |2.∴a ²b =-21|b |2 b ²(a -b )=b ²a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2(a -b )2=a 2-2a ²b +b 2=|b |2-2³(21-)|b |2+|b |2=3|b |2∴|a -b |=3|b |.∵cos〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --∙,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］, ∴〈b ,a -b 〉=65π. 【例4】（1）设向量c =m a +n b (m,n ∈R),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ²c=-4,且b 与c的夹角为120°,求m,n 的值.（2）已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.解:（1）∵a ⊥c ,∴a ²c =0. 又c =m a +n b ,∴c ²c =(m a +n b )²c ,即|c |2=m a ²c +n b ²c .∴|c |2=n b ²c . 由已知|c |2=16,b ²c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b . ∵b ²c =|b ||c |cos120°=-4, ∴|b |²4²(21-)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ²c =m a 2-4a ²b ,∴8m -4a ²b =0,即a ²b =2m. 再由c =m a -4b ,得b ²c =m a ²b -4b 2.∴m a ²b -16=-4,即m a ²b =12. 联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4 （2）λ<68511--或λ>68511+- 【我的收获】三、三、课后知能检测1. 判断下列说法的正误，并说明理由.(1) 在ABC ∆中，若0AB BC ⋅<，则ABC ∆是锐角三角形. （ 错 ）(2) 在ABC ∆中，若0AB BC ⋅>，则ABC ∆是钝角三角形. （ 对 ） (3) ABC ∆为直角三角形，则必有0AB BC ⋅=. （ 错 ）2. 在平面直角坐标系中，向量||4AB = ，AB 与x 轴正方向的夹角为120，则AB在x 轴、y 轴上的射影分别为 （ C ）A. B. 2,-- C. - D. 2,-3. 已知向量a b 、满足0a b ⋅= ，||1,||2a b == ，则|2|a b -=（ B ）A. 0B. 4D. 84. 设两个向量a 与b 的夹角为θ，a b ⨯为向量a 、b 的“外积”，其长度为||||||sin a b a b θ⨯= ，已知||1a = ，||5b = ，4a b ⋅=- ，则||a b ⨯=（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量a 、b 满足：||1a = ，||2b = ，||2a b -= ，则||a b +=（ D ）A. 16. 已知(1,1)a =，且a 与2a b + 的方向相同，则a b ⋅ 取值范围是 (1,)-+∞ .7. 已知||2||0a b =≠ ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根，则a 与b 夹 角的取值范围是 ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 8. 已知||2a = ，||1b = ，a 与b 的夹角为60，则2m a b =+ 与4n a b =- 的夹角θ的余弦值为 - .9. 设两个向量1e ，2e 满足1||2e = ，2||1e = ，1e 与2e 夹角为60，若向量1227te e + 与12e te + 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是1(7,()222---- 10. 设向量a 、b 、c 满足0a b c ++= ，()a b c -⊥ ，a b ⊥ ，若||1a =，求222||||||a b c ++ 的值【答案】411．已知1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，1232a e e =- ， 1223b e e =-(1)求a b ⋅ ; (2)求a b + 与a b -的夹角【答案】 (1) 112a b ⋅= (2) 2π。

§5.3 平面向量的数量积学习目标1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θ a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a ∥b 的充要条件 a ＝λb (λ∈R ) x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案 －59解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0， a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3， cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫34AB →－AD → ＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2 ＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋(t －3)2＝1， 解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos ∠DBM ＝|BM →|2＝1. 思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( ) A ．－3135 B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝(1，3)·(3，4)32＋42＝1525＝35.教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案 1解析由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b|，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2(1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin〈a，c〉等于()A.73 B.23 C.79 D.29答案 B解析方法一设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(7，2)，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.方法二a·c＝a·(7a＋2b)＝7a2＋2a·b＝7，|c|＝(7a＋2b)2＝7a2＋2b2＋214a·b＝7＋2＝3，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝71×3＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知， |OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋(－sin β)2＝1， 所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝⎛⎭⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝⎛⎭⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |22(1＋cos θ).当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求： (1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2 ＝12＋2×1×6＋22cos 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ，则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋(1＋3)2＋2×1×(1＋3)cos θ， 解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋(1＋3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×(1＋3)＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[](a ＋b )2－(a －b )2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， M 为AB 的中点， 由极化恒等式有 (a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2 ＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2，所以|a －b |＝|a －b |2 ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，55 B.⎝⎛⎭⎫－255，－55或⎝⎛⎭⎫255，55 C.⎝⎛⎭⎫255，55 D.⎝⎛⎭⎫－255，55 答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b 62＋(－3)2＝±⎝⎛⎭⎫255，－55. 5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2， 故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为 a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误； 对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos 60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12. 令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－12＝0， sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中， BE ＝22＋⎝⎛⎭⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠BDA －|DC →||BD →|cos ∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线． 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC＝12， 所以cos ∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，则物体的重力大小为________ N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20 N ， ∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ， DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos 0°＋(1－2x )2＝1，∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝⎛⎭⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。

高中数学 2.4.1平面向量数量积的含义学案新人教A 版必修4【学习目标】1、 理解平面向量数量积的含义，2、 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；3、 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。

【重点难点】1、 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；2、 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。

【学习内容】问题情境导学一、向量数量积的定义【想一想】(1)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？(2)如果我们把上述公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又如何表述？【填一填】(1)已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量_____叫做a与b 数量积(或内积),记作b a ⋅即b a ⋅=________，(2)规定零向量与任一向量的数量积为______________．【思考】向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？二、向量数量积的几何意义【想一想】 结合图形，你能作出θcos b 吗？【填一填】数量积的几何意义：数量积b a ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影___________的乘积．【思考】b 在a 方向上的投影θcos b 是个什么量？三、向量数量积的性质【想一想】的夹角︒=0θ，︒90，︒180时，b a ⋅的结果怎样？当b a =时，b a ⋅的结果又怎样？【填一填】设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________________；(2)当a 与b 同向时，b a ⋅=________，当a 与b 反向时，b a ⋅=________；(3)a a ⋅=________或a a a ⋅=2a =；(4)ba b a ⋅=θcos ； (5) ||b a ⋅b a =．【思考】若b a ⋅0>，a 与b 的夹角是锐角吗？若b a ⋅0<，a 与b 的夹角是钝角吗？返过来呢？四、向量数量积的运算律 【想一想】若c b a ，，，λ是实数，则下列运算律成立：(1)a b b a ⋅=⋅；(2))()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅；(3)c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(；(4))()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅． 若以上字母除λ外都是向量，以上运算律还成立吗？【填一填】(1)b a ⋅=________；(2)=⋅b a )(λ________________))((R b a ∈⋅=λλ ；(3)=⋅+c b a )(__________________．【思考】若c a b a ⋅=⋅，b 与c 一定相等吗？为什么？课堂互动探究【类型一】数量积的基本运算例１、已知4=a ，5=b ，当①a //b ；②b a ⊥；③a 与b 的夹角为︒135时，分别求a 与b 的数量积．【类型二】与向量的模有关的问题例2、已知向量a 、b 满足2=a ，3=b ，4=+b a 求 b a -．【类型三】两向量的垂直与夹角问题例3、已知3=a ，2=b ，向量a 、b 的夹角为︒60，=c b a 53+，b a m d 3-=，求当m 为何值时，d c 与垂直？【课后作业与练习】基础达标(1)若2=a ，21=b ，a 与b 的夹角为︒60，则b a ⋅为 (A)21 (B)41(C)1 (D)2(2)已知3=b ，a 在b 方向上的投影是32，则b a⋅为(A)31 (B)34 (C)3 (D)2 (3)已知10=a ，12=b ，且b a ⋅60-=，则a 与b 的夹角(A)︒60 (B)︒120 (C)︒135 (D)︒150(4)设a 与b 的模分别为4或3，夹角为︒60，则b a +等于(A)37 (B)13 (C)37 (D)13(5)已知a 、b 是非零向量，且满足a b a ⊥-)2(，b a b ⊥-)2(，则a 与b的夹角是 (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π (6)若两个单位向量1e ，2e 夹角为32π，且向量2112e e b -=，21243e e b +=，则=⋅21b b ___________________．(7)已知向量a 、b 满足b a ⋅，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角是___________________．(8) 已知非零向量a 与b 的夹角为︒120，若b a c +=，且a c ⊥，则b a的值为___________________． 能力提升(9)已知1=a ，b a ⋅21= ，21)()(=+⋅-b a b a ． ①求a 与b 的夹角θ；②求b a +．(10)在边长为1的正三角形ABC 中，设BD BC 2=， CE CA 3=，求BE AD ⋅．(11)已知b a ⊥，且2=a ，1=b ，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得b t a )3(-+与b t a k +-垂直，试求k 的最小值．(12) 已知非零向量a 与b 的夹角为︒120，2=a ，4=b ，设)(R x b a x y ∈+= ，试求y 的最小值，并求出相应的x 值．。

名师精编 优秀教案高中数学人教版必修4： 2.4《平面向量的数量积》导学案【学习目标】1、知道平面向量数量积的含义及其物理意义；2﹑知道平面向量数量积积与投影的关系；3、会运用平面向量的数量积及其运算律.【重点难点】▲重点：向量数量积的定义及运算律▲难点：数量积的应用【知识链接】1、 向量的线性运算；2、向量),(11y x a =，),(22y x b =共线01221=-⇔y x y x .【学习过程】阅读课本第103页到第105页的内容，尝试回答以下问题：知识点1:平面向量数量积的物理背景及其含义问题1﹑物体在力F 作用下产生位移S ，那么力F 所做的功_________=W .力和位移是矢量，功是标量，类比我们引入两个向量的数量积的概念： 已知两个非零向量a 与b ，我们把___________叫做a 与b 的数量积,记作a b ∙，即________ _________,其中θ是与的夹角.问题2、请叙述投影的定义.问题3、由投影的定义，你能叙述∙的几何意义吗？问题4﹑设与是非零向量则：（1）______⇔⊥；（2）当a 与b 同向时，b a ∙=_____________；当a 与b 反向时，b a ∙=_______________.特别地∙=_____________;名师精编 优秀教案（3； （4）=θcos.问题6、尝试用数量积的运算律证明下列等式：（1）()2222a ba ab b +=+∙+；（2）()()22a b a b a b +∙-=-；例15=2=，与的夹角为 120，求()()23a b a b +∙-的值.知识点2: 平面向量数量积的坐标表示，模，夹角阅读课本第106页到107页的内容，尝试回答以下问题：问题1、已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 与b 的坐标表示b a ∙呢？（提示：j y i x a 11+=，j y i x b 22+=）问题2﹑由问题1，若),(y x a ==____=_________.问题3、如果),(11y x =，),(22y x =，θ是与的夹角，则_____cos =θ.例2、在ABC ∆中，已知)2,1(-A ，)1,3(-B ，)2,5(C ，求BAC ∠∙cos ,.名师精编 优秀教案【基础达标】A1、已知8,6,p q ==p 和q 的夹角是60︒，求p q ∙.A26=，为单位向量，当与之间夹角θ分别为 135,90,45时，分别求出在方向上的投影.B3、已知）（3,2a =，）（4,2b -=，）（2,1c --=，求b a ∙，）（）（b a b a -∙+，)(c b a +∙，2)(+.B44=3=，61)2)(32(=+-，求∙的夹角θ.C5、在ABC ∆中，设b CA a BC c AB ===,,，且a c c b b a ∙=∙=∙，试判断ABC ∆的形状.名师精编 优秀教案D6、已知∙-==，求与+的夹角【小结】【当堂检测】A1、已知∆ABC 中，5,8,60BC AC C ︒===,求BC CA ∙.B2、求证：A(1，0)，B(5，-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是名师精编优秀教案。

平面向量的数量积与平面向量的应用举例考纲要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，5.会用向量方法解决简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.考情分析1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直关系是难点．2.以向量为载体考查三角函数及解析几何问题是高考考查的重点．3.多以选择题、填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变.教学过程基础梳理一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作 OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝ .3．向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.二、平面向量数量积1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a||b|²cosθ叫做a与b的数量积，记作a²b，即a²b＝ .规定0²a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a²b＝ .2．a²b的几何意义： a²b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a²e＝e²a＝．2．a⊥b⇒ .3．a²a＝，|a|＝ .4．cos〈a，b〉＝ .5．|a²b| |a||b|.四、数量积的运算律1．交换律a²b＝.2．分配律(a＋b)²c＝.3．对λ∈R，λ(a²b)＝＝．五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则1．a²b＝.2．a⊥b⇔.3．|a|＝ .4．cos〈a，b〉＝双基自测1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是 ( ) A．|a|＝a²a B．|a²b|＝|a|²|b|C．λ(a²b)＝λa²b D．|a²b|≤|a|²|b|2．(2011²辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a²(2a－b)＝0，则k ＝ ( )A．－12 B．－6C．6 D．123．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为( )A．2 B.3 2C．－2 D．－3 24．OA＝(－1,2)，OB＝(3，m)，OA⊥AB，则实数m＝________.5．(2011²安徽高考)已知向量a，b满足(a＋2b)²(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．典例分析考点一、平面向量数量积的运算[例1] (2010²广东高考)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x)满足条件(8a －b)²c ＝30，则x ＝ ( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3[例2] (2011²江西高考)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1²b 2＝________.变式1．(2012²金华联考)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则 AE.BD＝________.向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算，如(a ²b)c ≠a(b ²c).考点二、平面向量的垂直与夹角[例3] (2011²湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于 ( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π4变式2.若本例条件不变，求λ为何值时，λa ＋b 和a －b 的夹角为90°？[例4] (2011²新课标全国卷)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.变式3(2012²佛山质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角为 ( )A.π6B.π4C.π3D.π21．求两非零向量的夹角时要注意 (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角． 2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a²b 及|a |，|b |或得出它们的关系.考点三、平面向量的模[例5] (2011²天津高考)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰上的动点，则|PA ＋3PB|的最小值为________．变式3．(2012²江西重点盟校联考)已知向量a ＝(2,1)，a²b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝ ( )A. 5B.10 C ．5D ．25变式4．(2012²青田质检)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12.(1)当a ⊥b 时，求|a ＋b |的值；(2)求函数f (x )＝a ²(b －a )的最小正周期．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法(1)|a|2＝a2＝a²a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a²b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.两个探究(1)若a²b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a²b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a²b＝a²c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a²b)c≠a(b²c)，这是由于(a²b)c表示一个与c共线的向量，a(b²c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a²b)c与a(b²c)不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB→与BC→的夹角应为120°，而不是60°.本节检测1．(2011²广东高考)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c²(a＋2b)＝( ) A．4 B．3C．2 D．02．已知m ＝(－5,3)，n ＝(－1,2)，当(λm ＋n )⊥(2n ＋m )时，实数λ的值为( )A.58B ．－316C ．－38D.383．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大、小值分别是( )A ．42，0B ．4,2 2C ．16,0D ．4,04．(2012²永州模拟)已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB|＝6，|BC |＝8，|CA |＝10，则AB ²BC ＋BC ²CA ＋CA ²AB的值等于( )A ．100B ．96C ．－100D ．－965．(2012²杭州第二次质检)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．(2011²江苏高考)已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a²b ＝0，则实数k 的值为________．7．(2012²烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB ＋AC )²AD的值为________．自我反思。

平面向量的数量积与平面向量的应用举例考纲要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，5.会用向量方法解决简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.考情分析1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直关系是难点．2.以向量为载体考查三角函数及解析几何问题是高考考查的重点．3.多以选择题、填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变.教学过程基础梳理一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b 反向时，夹角θ＝ .3．向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.二、平面向量数量积1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b ＝ .规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝ .2．a·b的几何意义： a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝．2．a⊥b⇒ .3．a·a＝，|a|＝ .4．cos〈a，b〉＝ .5．|a·b| |a||b|.四、数量积的运算律1．交换律a·b＝. 2．分配律(a＋b)·c＝.3．对λ∈R，λ(a·b)＝＝．五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则1．a·b＝.2．a⊥b⇔.3．|a|＝ .4．cos〈a，b〉＝双基自测1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·a B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|2．(2011·辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )A．－12 B．－6C．6 D．123．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为()A．2 B.32C．－2 D．－324．O A＝(－1,2)，OB＝(3，m)，O A⊥A B，则实数m＝________.5．(2011·安徽高考)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．典例分析考点一、平面向量数量积的运算[例1](2010·广东高考)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝() A．6B．5C．4 D．3[例2](2011·江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·金华联考)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则 AE .B D＝________.[冲关锦囊]向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算，如(a ·b)c ≠a(b ·c).考点二、平面向量的垂直与夹角[例3] (2011·湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于 ( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π4若本例条件不变，求λ为何值时，λa ＋b 和a －b 的夹角为90°？[例4] (2011·新课标全国卷)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)2．(2012·佛山质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角为 ( )A.π6B.π4C.π3D.π2[冲关锦囊]1．求两非零向量的夹角时要注意 (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系. 考点三、平面向量的模[例5] (2011·天津高考)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰上的动点，则|PA ＋3P B |的最小值为________．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！) 3．(2012·江西重点盟校联考)已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( )A. 5B.10 C ．5D ．254．(2012·青田质检)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12. (1)当a ⊥b 时，求|a ＋b |的值；(2)求函数f (x )＝a ·(b －a )的最小正周期． [冲关锦囊]利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法(1)|a |2＝a 2＝a·a ； (2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.一、选择题1．(2011·广东高考)若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．02．已知m ＝(－5,3)，n ＝(－1,2)，当(λm ＋n )⊥(2n ＋m )时，实数λ的值为( ) A.58B ．－316C ．－38D.383．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大、小值分别是( )A ．42，0B ．4,2 2C ．16,0D ．4,04．(2012·永州模拟)已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |＝6，|BC |＝8，|CA |＝10，则AB ·BC＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值等于( )A ．100B ．96C ．－100D ．－965．(2012·杭州第二次质检)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°二、填空题6．(2011·江苏高考)已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．7．(2012·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB ＋AC )·AD的值为________．三、解答题8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影．9．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．10．已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点(1) AC ·BC ＝－13，求sin 2θ的值．(2)若|OA ＋OC |＝7，且θ∈(－π，0)，求OB 与OC的夹角．解：(1) AC＝(cos θ，sin θ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)BC＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)． AC ·BC ＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos 2θ－2cos θ＋sin 2θ－2sin θ ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－13.∴sin θ＋cos θ＝23，∴1＋2sin θcos θ＝49，∴sin 2θ＝49－1＝－59.(2)∵OA ＝(2,0)，OC＝(cos θ，sin θ)， ∴OA ＋OC＝(2＋cos θ，sin θ)， ∴|OA ＋OC|＝(2＋cos θ)2＋sin 2θ＝7.即4＋4cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝7. ∴4cos θ＝2，即cos θ＝12.∵－π<θ<0，∴θ＝－π3.又∵OB ＝(0,2)，OC ＝⎝⎛⎫12，－32，∴cos 〈OB ，OC 〉＝|OB ·OC||OB |·|OC |＝0－32＝－32.∴〈OB ，OC 〉＝5π6.。

OA=a，OB=b，。

，，过AB的起点CD所在a bAB CD==|a b≤__________【知识点五】向量数量积的运算律；。

5,4,a b==当a与b的夹角θa b⋅为（B.-10C.20D.-2012,9,a b==542a b⋅=-，则a与b的夹角θ为（B.34π- C.4πD.4π-2a=，4b=，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b上的投影的数量等于（B.-1C.32D.32-若向量a为单位向量，向量4b=，a b⋅=8，则向量a在向量b上的投影的数量等于（B.-1C. 2D. -2ABC中，AB a=，BC b=，当0a b⋅>时，则ABC的形状为（）．直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.二、合作探究深度学习学习目标一：向量数量积概念的形成如上图，物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功||||cos W F S F S θ=⋅=.其中，力是向量，位移是向量，功是数量，θ 是F S 与的夹角.1.2类比物理背景，形成概念①两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．注意：①当θ＝0时，向量a 与b ；②当θ＝π2时，向量a 与b ，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b ．注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角．作AD →＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角．②向量的数量积已知两个 向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的 (或 )，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为 .注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．③归纳总结：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把||||cos a b θ称为a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos a b θ规定：0⋅a =0，对比向量的线性运算发现，线性运算的结果是向量，而数量积的运算结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b 模的大小有关，还和它们的夹角有关．学习目标二：向量的投影若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影向量为|a|cos θ e. 当θ＝0时，投影向量为 ；当θ＝π2时，投影向量为 ； 当θ＝π时，投影向量为 .小结：对于任意的[0π]θ∈，，都有||cos a b a e θ=向量在向量上的投影向量.学习目标三：向量数量积的性质小组合作探究：从上面的探究我们看到，两个非零向量a 与b 相互平行或垂直时，向量a 在向量b 上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积小结：由向量数量积的定义，可以得到如下重要性质：a b ，是非零向量，它们的夹角是e 是与b 方向相同的单位向量，则1）||cos a e e a a θ==.2）（2）0a b a b ⊥⇔=. 3）当a 与b 同向时，||||a b a b =；当a 与b 反向时，||||a b a b =-.）特别地，2||a a a =或||a a a =.注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的|cos |1θ≤还可以得到||||||a b a b ≤.32π，求b a ⋅。

平面向量数量积的定义【课标要求】理解平面向量数量积的定义，以及运用数量积进行计算，掌握一些基本变形.【学习目标】平面向量数量积的定义.【重难点】平面向量数量积的定义.【知识回顾】1、对于两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做两向量之间的夹角当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .<a ，b >＝<b ，a >，规定零向量与任一向量平行．2．向量在轴上的正射影(1)已知向量a 和轴l 如图所示，作OA →＝a ，过点O 、A 分别作轴l的垂线，垂足分别为O 1、A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)．(2)a 在轴l 上的正射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量，记作a l ，a l ＝θcos a . (3)射影的坐标是数量，当α为锐角时，a l 为正值；当α为钝角时，a l 为负值；当α＝0时，a l ＝a ；当α＝π时，a l ＝a-. 3．向量的数量积(内积)(1)θcos b a 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝θcos b a .(2)两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．(3)向量数量积的几何意义：向量a 与向量b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的正射影的数量|b |cos<a ，b >的乘积，或看作是向量b 的长度b 与a 在b 方向上正射影的数量b a a ，cos 的乘积．4．向量数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a ＝e a a ，cos (2)a ⊥b ⇔0=⋅b a ；(3)2a =a ·a ＝|a |2(4)cos<a ，b >＝b a ba ⋅（a ≠0，b ≠0)；（5）b a ≤⋅5、平面向量数量积的运算律a.a b b a ⋅=⋅（交换律）b.()()()b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律） c.()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+（分配律）【随堂练习一】1、若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( )A ．a ＝bB ．a ≠bC ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的正射影的数量与b 在c 方向上的正射影的数量必相等2、已知a 、b 为两个单位向量，则下列说法正确的是( )A ．a ＝bB ．如果a ∥b ，那么a ＝bC ．a ·b ＝1D ．a 2＝b 23、在△ABC 中，AB →·CB →<0，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4、若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．45、|m |＝2，m·n ＝8，<m ，n >＝60°，则|n |＝( )A ．5B ．6C ．7D ．86、向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( )A ．－53B ．5C ．－5D ．537、对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c8、已知向量a 、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π29、有下列四个式子：①0·a ＝0；②0·a ＝0；③0－MN →＝NM →；④|a ·b |＝|a ||b |，其中正确的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10、已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于( )A ．－7B ．7C ．28D ．－2811、已知a ·b ＝16，若a 与b 方向上的射影数量为4，则|b |＝________.12、若等腰△ABC 的底边BC 长为4，则BA →·BC →＝________.13、已知|a |＝4，|b |＝5，则a 在b 上的射影的数量与b 在a 上的射影的数量的比值λ＝________.14、对于任意向量a 、b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ＝|a |·|b |·sin θ(其中θ为a 与b 的夹角)．利用这个新知识解决：若|a |＝1，|b |＝5，且a ·b ＝4，则a ⊗b ＝________.15、已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6的边长为2，求下列向量的数量积．(1)P 1P 2→·P 1P 3→； (2)P 1P 2→·P 1P 4→； (3)P 1P 2→·P 1P 5→； (4)P 1P 2→·P 1P 6→.16、如图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求：(1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB →·DA →.17、已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．【随堂练习二】1、若|a|＝3，|b|＝3，且a 与b 的夹角为π6，则|a ＋b|＝( ) A ．3 B ．3 C ．21 D ．212、若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且a ·(a －b )＝12，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π63、设a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a|＝1，|b|＝2，则|c |2等于( )A ．1B ．2C ．4D ．54、已知两个非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b5、下列各式中正确命题的个数为( )①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )，(λ∈R )； ②|a ·b |＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．A ．1B ．2C ．3D ．46、若非零向量a 、b 满足|a|＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 7、若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对8、若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2B ．2C ．1D ．229、对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b|≤|a||b |B ．|a －b|≤||a|－|b||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 10、已知|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k 等于( )A ．－6B ．6C ．3D ．－311、设a 、b 、c 是单位向量，且a －b ＝c ，则向量a 与b 的夹角等于________．12、已知两个单位向量e 1、e 2的夹角为120°，且向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a·b ＝________.13、已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.14、关于平面向量a 、b 、c ，有下列三个命题：①若a·b ＝a·c ，则b ＝c .②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3.③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)15、已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值．16、已知a 、b 满足|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，求a ＋b 与a －b 的夹角θ的余弦值．17、已知|a|＝3，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝a ＋2b ，d ＝m a －6b (m ∈R )．若c ∥d ，求|c ＋d|.18、已知|a |＝1，|b |＝ 2.(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a ＋b |(3)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．19、已知向量|a |＝1，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为π3，求|a ＋2b |； (2)若(2a －b )·(3a ＋b )＝3，求a 与b 的夹角．。