2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教、学案)

2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教学案一、教学分析平面向量的数量积，教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法，本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.二、教学目标1、知识与技能：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、过程与方法：通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。

3、情感态度与价值观：能用所学知识解决有关综合问题。

三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.四、教学设想(一)导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.(二)推进新课、新知探究、提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示？②已知两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b呢？③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示，而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系，那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系，这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:∵a=x1ｉ+y1j，b=x2ｉ+y2j，∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1，j·j=1，ｉ·j=j·ｉ=0，∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结，由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.2°向量模的坐标表示若a =(x ，y )，则|a |2=x 2+y 2，或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么 a =(x 2-x 1，y 2-y 1)，|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量，a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙讨论结果:略.(三)应用示例例1 已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角.可先作出草图，进行直观判定，再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)三点，我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵=(2-1，3-2)=(1，1)，AC =(-2-1，5-2) =(-3，3)， ∴AB ·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴⊥.∴△ABC 是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你的结论给出充分的证明.在△ABC 中，=(2，3)，=(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值. 解:由于题设中未指明哪一个角为直角，故需分别讨论.若∠A =90°，则⊥，所以·=0.于是2×1+3k =0.故k =32-. 同理可求，若∠B =90°时，k 的值为311； 若∠C =90°时，k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±. 例2 (1)已知三点A (2，-2)，B (5，1)，C (1，4)，求∠BAC 的余弦值；(2)a =(3，0)，b =(-5，5)，求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1，y 1)与b =(x 2，y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +，|b |=2222y x +的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误.解:(1)=(5，1)-(2，-2)=(3，3)， =(1，4)-(2，-2)=(-1，6)， ∴·AC =3×(-1)+ 3×6=15. 又∵|AB |=2233+=32，||=226)1(+-=37，∴cos ∠BAC =.74745372315||||=∙=∙AC AB (2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15，|a |=3，|b |=52.设a 与b 的夹角为θ，则cosθ=.2225315||||-=⨯-=∙b a b a 又∵0≤θ≤π，∴θ=43π. 点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.设a =(5，-7)，b =(-6，-4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+，|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03. 利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3，b =(2，3)，试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ，求a ；(2)若a ∥b ，求a .活动:对平面中的两向量a =(x 1，y 1)与b =(x 2，y 2)，要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆， 应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，两向量垂直是a ·b =0，而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练. 解:(1)设a =(x ，y )，由|a |=3且a ⊥b ，得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x ，y )，由|a |=3且a ∥b ，得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x ∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数y =2x -3的图象(直线l 1)与一次函数y =21 x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y =2x -3中，令x =1得y =-1；令x =2得y =1，即在l 1上取两点A (1，-1)，B (2，1). 同理，在直线l 2上取两点C (-2，1)，D (-4，2)，于是:=(2，1)-(1，-1)=(2-1，1+1)=(1， 2)，CD =(-4，2)-(-2，1)=(-4+2，2-1)=(-2，1). 由向量的数量积的坐标表示，可得AB ·CD =1×(-2)+1×2=0， ∴AB ⊥，即l 1⊥l 2.(四)课堂小结1.在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等.(五)作业。

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：1.向量a 与b 的数量积a b ⋅= .2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b的夹角，则①a b a b ⊥⇔⋅=；②a = ；③cos θ= . （二）自主探究：（预习教材P106—P108） 探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅ 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅（坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。

问题2：如何求向量(),a x y =和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a = ________________或a ________________。

（２）若()11,A x y ，()22,B x y ，=___________________（平面内两点间的距离公式）。

问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥b a _________________二、合作探究1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明. （2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。

2、已知()()1,3,3,1==，求a 与b的夹角θ.变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3,k=4π则______________.三、交流展示1、若()4,3a =- ，()5,6b = ，则234a a b -⋅=2、已知()3,2a =-- ，()4,b k =- ，若()()5355a b b a -⋅-=-，试求k 的值.3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时， （1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +- 与平行吗？它们是同向还是反向？四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知()3,4a =- ，()5,2b =，则a b ⋅ 等于（ ） A.23 B.7 C.23- D.7-2. 若()3,4a =- ，()5,12b =，则a 与b 夹角的余弦为（ ）A.6365 B.3365 C.3365- D.6365- 3. ()2,3a = ，()2,4b =-，则()()a b a b +⋅- = ，4.已知向量()1,2OA =- ，()3,OB m =，若OA AB ⊥ ，则m = 。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积坐标运算及应用2.过程与方法：（1）通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性；（2）从具体应用体会向量数量积的作用3.情感、态度与价值观：学会对待不同问题用不同的方法分析的态度二、教学重点、难点重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式难点：条件和公式的应用三、教学方法用学过的知识带动学生探求新知识四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入平面向量基本定理及向量的坐标表示向量数量积的定义及性质、运算率学生思考回答上节课内容温故知新定义形成向量具有几何性和代数性，上节课根据向量的几何性定义出了数量积的运算，并掌握了运算率及性质。

那么这一定义如何由它的代数性反映出来？那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来？结论：已知两个非零向量),(11yxa=ρ，),(22yxb=ρ教师引导学生，从向量的坐标出发，根据数量积的定义推导出数量积的坐标运算。

从而很容易推导出三个公式和一个条件让学生自己联系旧知识推导新内容，体会自己创作的乐趣则ba ϖρ⋅2121yy x x +=从中总结出三个公式（向量的长度、距离、夹角公式）及一个条件（向量垂直的充要条件）向量的长度、距离和夹角公式（1）设),(y x a =ϖ，则222||y x a +=ρ或22||y x a +=ρ(长度公式)（2）如果表示向量a ϖ的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=ρ(距离公式)(3) co s=||||b a b a ⋅⋅ρρρ222221212121y x y x y y x x +++=（πθ≤≤0）(夹角公式) 向量垂直的充要条件设),(11y x a =ρ，),(22y x b =ρ， 则b a ϖρ⊥ ⇔02121=+y y x x定义深化对于从前的射影的概念，我们进行重新的认识 向量在轴上的正射影： 作图学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题注意：射影是可正可负可为零的教学中，学生不太容易理解的，也不经常用到的概念，变作例题形式有利于加深印象定义：|br|cos叫做向量br在ar所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时正射影为|br|；当 = 180时正射影为|br|挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）练习：P108 例1应用举例例1.已知ar=（3，-1），br=（1，-2），求a br rg，|ar|，|br|，<ar,br>例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.练习.已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证AB AC⊥u u u r u u u r例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求BAC∠的正弦值练习.已知ar=(3,4)，求：（1）ar的单位向量；（2）与ar垂直的单位向量；（3）与ar平行的单位向量主要体会向量代数运算的方便和简便，以及几何性质的直观熟练准确的运用向量数量积进行运算，并对某些结论性的内容有所了解课堂小结 1.数量积的定义、性质、运算率2.几种特殊情况的讨论（注意事项）教师提出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？主要学生总结，教师不做过多引导让学生掌握最主要的内容；让大多数学生知道还有某些注意事项作业1、看书总结平面向量数量积的注意事项（分别从定义、运算率、性质、与数乘的区别总结）2、总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结）3、 P115练习B---2（1）（2）、3练习A---1（1）（2）习题A---2习题B---4注意：1、找向量夹角时，向量必须同起点；2、定义中注意垂直时数量积为0；3、两个向量的数量积称为内积，写成a b；符号“·”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”4、数量积不满足结合率和消去率：在实数中，若a0，且a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c但是a b = b c a = c在实数中，有(a b)c = a(b c)，但是(a b)c a(b c)5、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1．理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算．2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直等有关的问题. 学习重点：平面向量数量积的坐标表示及运算．(重点)学习难点：用两个向量的坐标判断垂直关系．(难点)新知导学1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).温馨提示：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)是坐标平面内的三个点，若AC ⊥AB ，则(x 3－x 1)·(x 2－x 1)＋(y 3－y 1)·(y 2－y 1)＝0. 2．三个重要公式温馨提示：利用夹角公式求夹角时，不包括a ，b 中存在零向量的情况．互动探究探究点1 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．a ∥b 与a ⊥b 坐标表示有何区别？两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．探究点2 你能用向量法推导两点间距离公式|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2吗？题型探究类型一向量数量积的坐标运算例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.规律方法(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．活学活用1 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．类型二两向量的夹角例2 按要求作答：(1)若a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，求a 与b 的夹角；(2)已知三点A (2，－2)，B (5,1)，C (1,4)，求∠BAC 的余弦值．规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角．活学活用2 设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值．类型三 向量垂直的坐标表示例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．活学活用3 已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .感悟提升课堂达标1．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2,3)，则a ·b ＝( )A ．5B ．4C ．－2D ．－12．设a ＝(4,3)，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且|b |≤14，则b 为( )． A.(2,14)B.⎝⎛⎭⎫2，－27C.⎝⎛⎭⎫－2，27 D.(2,8) 3．已知A (－3,2)，B (0，－2)，则|AB →|＝________.4．已知向量OA →＝(－1,2)，OB →＝(8，m )，若OA →⊥AB →，则m ＝________.5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．课堂小结1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.参考答案新知导学1．它们对应坐标的乘积的和x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0互动探究探究点1 提示若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0.若a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．探究点2 提示 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴AB →·AB →＝AB →2＝|AB →|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.题型探究类型一 向量数量积的坐标运算例1 解：(1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)，∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.活学活用1 解：(1)a ·b ＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a ＋b ＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a －b ＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a ＋b )·(2a －b )＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a ·b )·c ＝17c ＝17(2,1)＝(34,17)，a ·(b ·c )＝a [(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．类型二 两向量的夹角例2 解：(1)a ·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a |＝3，|b |＝5 2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－153×52＝－22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝3π4. 即a 与b 的夹角为34π. (2)∵AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15. 又∵|AB →|＝32＋32＝32，|AC →|＝(－1)2＋62＝37，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB ||AC |＝1532·37＝57474. 活学活用2 解：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m .又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m (1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35. 经检验m ＝1不合题意，所以实数m 的值为35. 类型三 向量垂直的坐标表示例3 解：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．活学活用3 解：设向量b ＝(x ，y )．根据题意，得OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|.∴(a －b )·(a ＋b )＝0，|a －b |＝|a ＋b |，∴|a |＝|b |，a ·b ＝0.又∵a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32， 即⎝ ⎛ x 2＋y 2＝1，－12x ＋32y ＝0. 解得⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝12或⎩⎨⎧ x ＝－32，y ＝－12. ∴b ＝⎝⎛⎭⎫32，12或b ＝⎝⎛⎭⎫－32，－12. 感悟提升课堂达标1．【答案】D【解析】a ·b ＝1×2＋(－1)×3＝－1.2．【答案】B【解析】法一 因为b 在x 轴上的投影为2，所以b 的横坐标为2，排除C 项；又|b |≤14，排除A 项；又a 在b 上的投影为522＝|a |·cos α(α为a 与b 的夹角)． 所以cos α＝22，将D 选项代入cos θ＝a ·b |a |·|b |进行验证可排除． 法二 设向量b ＝(2，y )，由题意，得a ·b |a |·|b |＝cos α＝522|a |＝22. 将a ＝(4,3)，b ＝(2，y )代入上式计算，得y ＝－27或y ＝14.又|b |≤14，故y ＝14(舍去)， 则y ＝－27， 即b ＝⎝⎛⎭⎫2，－27. 3．【答案】5【解析】∵AB →＝(3，－4)．∴|AB →|＝32＋(－4)2＝5.4．【答案】132【解析】∵OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →)＝OA →·OB →－OA →2＝2m －13＝0，∴m ＝132. 5．解：(1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.。

2.4.2平面向量数量积地坐标表示、模、夹角一、教材分析本课地地位及作用：平面向量数量积地坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量地数量积运算，为研究平面中地距离、垂直、角度等问题提供了全新地手段.它把向量地数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一.二．教学目标1．学会用平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.理解掌握向量地模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量地夹角、垂直等问题.2．<1）通出问题，把问题地求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论<2）通过对向量平行与垂直地充要条件地坐标表示地类比，教给了学生类比联想地记忆方法.3．经历根据平面向量数量积地意义探究其坐标表示地过程，体验在此基础上探究发现向量地模、夹角等重要地度量公式地成功乐趣，培养学生地探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积地坐标表示.难点：向量数量积地坐标表示地应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量地坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示地，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用地工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前地一个亟待解决地问题.因此，本节内容地学习是学生认知发展和知识构建地一个合情、合理地“生长点”.所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺地教学方法.因此结合中学生地认知结构特点和学生实际.我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.理解掌握向量地模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量地夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积地意义探究其坐标表示地过程，体验在此基础上探究发现向量地模、夹角等重要地度量公式地成功乐趣，培养学生地探究能力、创新精神.五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪.2．学案导学：见后面地学案.3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习.六、课前准备1．学生地学习准备：预习学案.2．教师地教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案.七、课时安排：1课时八、教学过程(一>预习检查、总结疑惑检查落实了学生地预习情况并了解了学生地疑惑，使教学具有了针对性.<二）情景导入、展示目标.创设问题情景，引出新课⑴a与b地数量积地定义？⑵向量地运算有几种?应怎样计算？出示学习目标：1、理解掌握平面向量数量积地坐标表示、向量地夹角、模地公式.2、两个向量垂直地坐标表示3、运用两个向量地数量积地坐标表示初步解决处理有关长度垂直地几个问题.<三）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2>,b=(x2,y2>,怎样用a与b 地坐标表示数量积a·b呢？a·b=(x1,y1>·(x2,y2>=(x1i+y1j>·(x2i+y2j>=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1 i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2即：两个向量地数量积等于它们对应坐标地乘积地和师生：学生回答提出地问题，教师点评学生：合作探索提出地问题.教师：巡视辅导学生，解决遇到地困难，估计学生对正交单位基向量i,j地运算可能有困难，点拨学：i2=1,j2=1,i·j=0师生：学生展示探究结果，教师给予点评设计意图：回顾平面向量数量积地意义，为探究数量积地坐标表示做好准备.创设情境激发学生地学习兴趣，出示学习目标使学生了解本课地任务问题引领，培养学生地探索研究能力探究二：探索发现向量地模地坐标表达式若a=(x,y>，如何计算向量地模|a|呢？若A(x1,x2>,B(x2,y2>，如何计算向量AB地模两点A、B间地距离呢？教师提出问题学生：独立思考探究合作交流让学生展示探究地结论，教师总结设计意图：在向量数量积地坐标表示基础上，探索发现向量地模例1、如图，以原点和A(5， 2>为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量地坐标.解：设B点坐标(x，y>，则= (x，y>，= (x-5，y-2>∵⊥∴x(x-5> + y(y-2> = 0即：x2 + y2-5x- 2y = 0又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5>2 + (y-2>2即：10x + 4y = 29由∴B点坐标或；=或评述：用向量地垂直关系地坐标表示作为此题地突破点.变式：已知探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b都是非零向量，a=(x1,y1>,b(x2,y2>,如何判定a⊥b或计算a与b地夹角<a,b>呢？1、向量夹角地坐标表示2、a⊥b<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=03、a∥b <=>X1y2-x2y1=0学生：独立思考、探究，合作交流，师生：让学生展示探究地结论，教师总结提醒学生a⊥b与a∥b坐标表达式地不同设计意图：在向量数量积地坐标表示基础上两向量垂直，两向量夹角地坐标表达式例2在△ABC中，=(2， 3>，=(1，k>，且△ABC地一个内角为直角，求k值.解：当A = 90︒时，⋅= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =当B = 90︒时，⋅= 0，=-= (1-2，k-3> =(-1，k-3>∴2×(-1> +3×(k-3> = 0 ∴k =当C= 90︒时，⋅= 0，∴-1 + k(k-3> = 0 ∴k=评述：熟练应用向量地夹角公式.变式：已知，当k为何值时，<1）垂直？<2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？<四）反思总结，当堂检测.教师组织学生反思总结本节课地主要内容，并进行当堂检测.设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单地反馈纠正.<课堂实录）<五）发导学案、布置预习.我们已经学习数量积地坐标运算.模.夹角.下节学习平面向量应用举例这节课后大家可以先预习这一部分，着重体会向量是一种处理几何问题.物理问题地工具增强应用意识提高解题能力九、板书设计具备一定地数学思维能力和处理向量问题地方法地现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线地原则，为此，我通过精心设置地一个个问题，激发学生地求知欲，积极地鼓励学生地参与，给学生独立思考地空间，鼓励学生自主探索，最终在教师地指导下去探索发现问题，解决问题.在教学中，我适时地对学生学习过程给予评价，适当地评价，可以培养学生地自信心，合作交流地意识，更进一步地激发了学生地学习兴趣，让他们体验成功地喜悦.2．教学手段：利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课地信息容量，极大提高学生地学习兴趣.十一、学案设计(见下页>2.4.2平面向量数量积地坐标表示、模、夹角课前预习学案一、预习目标：预习平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.了解向量地模、夹角等公式.二、预习内容：1.平面向量数量积<内积）地坐标表示2.引入向量地数量积地坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1>向量模地坐标表示：能表示单位向量地模吗？(2>平面上两点间地距离公式：向量a地起点和终点坐标分别为A(x1，y1>，B(x2，y2>AB=(3>两向量地夹角公式cos =3. 向量垂直地判定<坐标表示）4.向量平行地判定<坐标表示）三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案一、学习目标学会用平面向量数量积地坐标表达式，会进行数量积地运算.掌握两个向量共线、垂直地几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.学习重难点：平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积地应用二、学习过程<一）创设问题情景，引出新课a与b地数量积地定义？⑵向量地运算有几种?应怎样计算？<二）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2>,b=(x2,y2>,怎样用a与b 地坐标表示数量积a·b呢？a·b=(x1,y1>·(x2,y2>=(x1i+y1j>·(x2i+y2j>=x1x2i2+x1y2i·j+x2y·j+y1y2j2=x1x2+y1y21i教师：巡视辅导学生，解决遇到地困难，估计学生对正交单位基向量i,j地运算可能有困难，点拨学生：i2=1,j2=1,i·j=0探究二：探索发现向量地模地坐标表达式若a=(x,y>，如何计算向量地模|a|呢？若A(x1,x2>,B(x2,y2>，如何计算向量AB地模两点A、B间地距离呢？例1、如图，以原点和A(5， 2>为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量地坐标.变式：已知探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b都是非零向量，a=(x1,y1>,b(x2,y2>,如何判定a⊥b或计算a与b地夹角<a,b>呢？1、向量夹角地坐标表示2、a⊥b<=> <=>x1x2+y1y2=03、a∥b <=>X1y2-x2y1=0例2在△ABC中，=(2， 3>，=(1，k>，且△ABC地一个内角为直角，求k值.变式：已知，当k为何值时，<1）垂直？<2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？<三）反思总结(四>当堂检测1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b>与a垂直，则a与b地夹角是< ）A.60°B.30°C.135°D.４５°2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间地夹角为，那么向量m=a-4b地模为< ）A.2B.2C.6D.123、a=(5,-7>,b=(-6,-4>，求a与b地数量积4、设a=(2,1>,b=(1,3>,求a·b及a与b地夹角5、已知向量a=(-2,-1>,b=(λ,1>若a与b地夹角为钝角,则λ取值范围是多少?课后练习与提高1.已知则< ）A.23B.57C.63D.832.已知则夹角地余弦为< ）A. B. C. D.3.则__________.4.已知则__________.5.则______________6.与垂直地单位向量是__________A. B.D.7.则方向上地投影为_________8.A(1,2>,B(2,3>,C(2,0>所以为( >A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形9.已知A(1,0>,B(5,-2>,C(8,4>,D.(4.6>则四边形ABCD为< ）A.正方形B.菱形C.梯形D. 矩形10.已知点A<1，2），B(4,-1>,问在y轴上找点C，使∠ABC＝90º若不能，说明理由；若能，求C坐标.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1.掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；2.掌握向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，能解决一些简单问题.【知识梳理】知识回顾：1．两个向量的数量积的性质：设与为两个非零向量(1)、 &#61534; &#61659;&#61655;(2)、当与同向时， &#61655; = ，当与反向时， &#61655;特别的： &#61655;=_____或，| &#61655; | ≤ | || |，&#61553; =________新知探究：已知非零向量，，怎样用和的坐标表示&#61655; ？1、平面两向量数量积的坐标表示：即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2. 平面内两点间的距离公式（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定：设，，则 &#61534;4.两向量夹角的余弦（）&#61553; = =思考感悟:向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有 &#61655; 0（0）？对点练习：1.已知a→=(—3,4),b→=(5,2), 则a→b→等于( )A. —14B. —D. 82.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),c→=(1,—1), 则(a→b→)c→等于 ( )A. —14B. —(7,—7) D. (—7,7)3.已知A(—1,1),B(1,2), 则|AB→|等于 ( )A. 5 B—1 D. 74. 已知a→=(3,4),b→=(5,12), 则a→,b→夹角的余弦为( )A. 6365 BD. 13【合作探究】典例精析：例1.已知向量，；（1）求，；（2）求的值；（3）求的值；变式1：已知向量，；（1）求向量与的夹角；（2）若向量与垂直，求的值；例2.设 = (5，&#61485;7)， = (&#61485;6，&#61485;4)，求及、间的夹角θ的余弦值。

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质：3．练习：（1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知||=2，||=1，与之间的夹角为3π，那么向量=-4的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，怎样用和的坐标表示∙？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即∙2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =22y x +=22y x +=. （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，221221)()(y y x x -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x =，则a ⊥b ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦 已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，与之间的夹角为θ（πθ≤≤0）co s θ222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2，5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.练习1、习题2.4 A 组第5题例2设= (5，-7)，= (-6，-4)，求∙，、间的夹角θ的余弦及│-4│。

必修四第二章 平面向量2.4 .2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：向量数量积的坐标表示2、难点：向量数量积的坐标表示知识要点．1．两个向量数量积的坐标表示：若a =（x 1，y 1）、b =（x 2，y 2），则a ·b =x 1x 2+y 1y 22．向量的模：若a =（x ，y ），则|a |2=a ·a =x 2+y 2，∴|a 3．两点间的距离公式：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）则AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∴|AB |=4．两向量垂直的坐标条件：设两非零向量a =（x 1，y 1）、b =（x 2，y 2），则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=05．设A 、B 、C 是坐标平面上的三点，它们的坐标分别为：A （x 1，y 2），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则AC AB ⊥⇔（x 3-x 1）（x 2-x 1）+（y 3-y 1）（y 2-y 1）=0预习自测1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32[归纳反思]能力提升5．已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=，试求()a b c 和()a b c 的值.6. 已知(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-，根据下列情况求x ：（1）//u v （2）u v ⊥7． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .8． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．参考答案预习自测:1、答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2、答案 B解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10.3、答案 D 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73. 4、答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 能力提升5.答案：()a b c ＝（－8，－12），()a b c ＝（－16，－8）6.答案：（1）12 （2）－2或727.解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4， ∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)． (2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12， ∴c ＝12b ＝(－1,3)． 8.解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7. 由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12. 当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)． 故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．。