3.2立体几何中的向量方法3(垂直关系)

§3.2 立体几何中的向量方法(三)—— 利用向量方法求距离知识点一 求两点间的距离已知矩形ABCD 中, AB ＝4, AD ＝3, 沿对角线AC 折叠, 使面ABC 与面ADC垂直, 求BD 间的距离．解 方法一过D 和B 分别作DE ⊥AC 于E, BF ⊥AC 于F, 则由已知条件可知AC ＝5, ∴DE ＝3×45＝125, BF ＝3×45＝125.∵AE ＝AD 2AC ＝95＝CF,∴EF ＝5－2×95＝75,∴DB u u u r ＝DE →＋EF u u u r ＋FB →.|DB u u u r |2＝ (DE →＋B 1E →＋FB →)2＝DE →2＋EF u u u r 2＋FB →2＋2DE →·EF u u u r ＋2DE →·FB →＋2EF u u u r ·FB →. ∵面ADC ⊥面ABC, 而DE ⊥AC, ∴DE ⊥面ABC, ∴ DE ⊥BF, DE → ⊥FB →,|DB u u u r |2＝DE →2＋B 1E →2＋FB →2＝14425＋4925＋14425＝33725,∴|DB u u u r |＝3375.故B 、D 间距离是3375. 方法二同方法一．过E 作FB 的平行线EP, 以E 为坐标原点, 以EP, EC, ED 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则由方法一知DE ＝FB ＝125, EF ＝75, ∴D ⎝⎛⎭⎫0，0，125, B ⎝⎛⎭⎫125，75，0, ∴BD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫125，75，－125, | BD u u u r|＝⎝⎛⎭⎫1252＋⎝⎛⎭⎫752＋⎝⎛⎭⎫－1252＝3375. 【反思感悟】 求两点间的距离或某线段的长度的方法： (1)把此线段用向量表示, 然后用|a |2＝a·a 通过向量运算去求|a |.(2)建立空间坐标系, 利用空间两点间的距离公式d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2求解．如图所示, 正方形ABCD, ABEF 的边长都是1, 而且平面ABCD ⊥平面ABEF, 点M 在AC 上移动, 点N 在BF 上移动, 若CM ＝BN ＝a(0＜a ＜ 2)．(1)求MN 的长；(2)当a 为何值时, MN 的长最小． 解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0), F(1,1,0), C(0,0,1) ∵CM ＝BN ＝a(0<a<2),且四边形ABCD 、ABEF 为正方形, ∴M(22a,0,1－22a), N(22a, 22a,0), ∴|MN →＝(0, 22a, 22a －1), ∴|MN →|＝a 2－2a ＋1.(2)由(1)知MN ＝(a －22)2＋12,所以, 当a＝22时, MN ＝22. 即M 、N 分别移到AC 、BF 的中点时, MN 的长最小, 最小值为22. 知识点二 求异面直线间的距离如图所示, 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, AB ⊥侧面BB 1C 1C, E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点, EA ⊥EB 1, 已知AB ＝2, BB 1＝2, BC ＝1, ∠BCC 1＝π3, 求异面直线AB 与EB 1的距离．解.以B 为原点, BA →、BA →所在直线分别为y 、z 轴, 如图建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1, BB 1＝2, AB ＝2, ∠BCC 1＝π3,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B(0,0,0), A(0,0, 2), B 1(0,2,0),设 E (3,,02a ), 由EA ⊥EB 1, 得EA u u u r ·1EB u u u r=0,即⎝⎛⎭⎫－32，－a ，2·⎝⎛⎭⎫－32，2－a ，0＝0, 得⎝⎛⎭⎫a －12⎝⎛⎭⎫a －32＝0, 即a ＝12或a ＝32(舍去), 故E ⎝⎛⎭⎫32，12，0.设n 为异面直线AB 与EB 1公垂线的方向向量, 由题意可设n ＝(x, y,0),则有n ·1EB u u u r=0.易得n ＝(3, 1,0), ∴两异面直线的距离d ＝BE n n⋅u u u r＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫32，12，0·(3，1，0)3＋1＝1.【反思感悟】 求异面直线的距离, 一般不要求作公垂线, 若公垂线存在, 则直接求解即可；若不存在, 可利用两异面直线的法向量求解．如图所示, 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, AB ＝4, AD ＝3, AA 1＝2, M 、N 分别为DC 、BB 1的中点, 求异面直线MN 与A 1B 的距离．解 以A 为原点, AD 、AB 、AA 1所在直线分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则A 1(0,0,2), B(0,4,0), M(3,2,0), N(0,4,1)．∴|MN →＝(－3,2,1), 1A B u u u u r ＝(0,4, －2)．设MN 、A 1B 公垂线的方向向量为 n ＝(x, y, z),则10,0,n MN n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2y ＋z ＝04y －2z ＝0.令y ＝1, 则z ＝2, x ＝43,即n ＝⎝⎛⎭⎫43，1，2, |n |＝613. 1MA u u u u r＝(－3,－2,2)在n 上的射影的长度为d ＝1MA nn⋅u u u u r ,故异面直线MN 与A 1B 的距离为66161.知识点三 求点到平面的距离在三棱锥B —ACD 中, 平面ABD ⊥平面ACD, 若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1, 且∠BAD ＝30°, 求点D 到平面ABC 的距离．解如图所示, 以AD 的中点O 为原点, 以OD 、OC 所在直线为x 轴、y 轴, 过O 作OM ⊥面ACD 交AB 于M, 以直线OM 为z 轴建立空间直角坐标系,则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0, B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，0，12, C ⎝⎛⎭⎫0，32，0, D ⎝⎛⎭⎫12，0，0, ∴AC u u u r =⎝⎛⎭⎫12，32，0,AB u u u r ＝⎝⎛⎭⎫32，0，12, DC u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0,设n ＝(x, y, z)为平面ABC 的一个法向量,则31·0,2213·0,22AB x z AC x y ⎧⎫=+=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎭n n u u u r u u u r , ∴y ＝－33x, z ＝－3x, 可取n ＝(－3, 1,3), 代入d ＝DC n n⋅u u u r , 得d ＝32＋3213＝3913,即点D 到平面ABC 的距离是3913. 【反思感悟】 利用向量法求点面距, 只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量, 代入公式求解即可．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4, M 、N 、E 、F 分别为A 1D 1、A 1B 1、C 1D 1、B 1C 1的中点, 求平面AMN 平面与EFBD 间的距离.解 如图所示, 建立空间直角坐标系D —xyz, 则A(4,0,0), M(2,0,4), D(0,0,0), B(4,4,0), E(0,2,4), F(2,4,4), N(4,2,4),从而EF u u u r ＝(2,2,0), MN →＝(2,2,0),AM u u u u r ＝(－2,0,4), BF →＝(－2,0,4), ∴EF u u u r ＝MN →, AM u u u u r ＝BF →,∴EF ∥MN, AM ∥BF, ∴平面AMN ∥平面EFBD.设n ＝(x, y, z)是平面AMN 的法向量,从而·220,·240,MN x y AM x z ⎧⎫=+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩⎭n n u u u u r u u u u r解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z y ＝－2z .取z ＝1, 得n ＝(2, －2,1),由于AB u u u r在n 上的投影为n AB n⋅u u u r ＝－84＋4＋1＝－83.∴两平行平面间的距离d ＝n ABn⋅u u u r＝83. 课堂小结：1．求空间中两点A, B 的距离时, 当不好建系时利用|AB|＝|AB u u u r|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2来求．2．两异面直线距离的求法．如图(1), n 为l 1与l 2的公垂线AB 的方向向量, d ＝|AB u u u r |＝|CD →·n ||n |.3点B 到平面α的距离：|BO uuu r |=AB n n⋅u u u r .(如图(2)所示)4.面与面的距离可转化为点到面的距离.一、选择题 1.若O 为坐标原点,OA u u u r=（1, 1, -2）, OB uuu r=（3, 2, 8）,OC u u u r=（0, 1, 0）, 则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ） A.1652B ．214C.53D.532答案 D解析 由题意OP uuu r ＝(1－t )OA →＝12(OA →＋OB →)＝(2, 32, 3),PC →＝OC →－OP uuu r ＝(1－t )OA →＝(－2, －12, －3), PC ＝|PC →|＝ 4＋14＋9＝532.2．如图, 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1, O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心, 则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A ．12B.24C.22 D.32 答案 B解析 以D 为坐标原点, 以DA, DC, DD 1所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则有D 1（0, 0, 1）, D （0, 0, 0）, A （1, 0, 0）, B （1, 1, 0）, A 1（1, 0, 1）, C 1（0, 1, 1）.因O为A 1C 1的中点, 所以O （12, 12,1）, 1C O u u u u r =（12, -12, 0）, 设平面ABC 1D 1的法向量为 n=（x,y,z ）, 则有10,0,n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r即0,0,x z y -+=⎧⎨=⎩ 则 n = （1, 0, 1）, ∴O 到平面ABC 1D 1的距离为：1C O nd n⋅=u u u u r ,.3．在直角坐标系中, 设A (－2,3), B (3, －2), 沿x 轴把直角坐标平面折成120°的二面角后, 则A 、B 两点间的距离为( )A ．211 B.11 C.22 D ．311 答案 A解析 AB AE EF =+u u u r u u u r u u u r ＋FB →AB u u u r 2＝AE u u u r 2＋EF u u u r 2＋FB →2＋2AE u u u r ·EF u u u r ＋2AE u u u r ·FB →＋2EF u u u r ·FB → ＝9＋25＋4＋2×3×2×12＝44.∴|AB u u u r|＝211.4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2, 点E 是A 1B 1的中点, 则点A 到直线BE 的距离是( )A.655B.455C.255D.55 答案 B解析 如图所示,BA u u u r=（2, 0, 0）,BE u u u r=（1, 0, 2）,∴cos θ= BA BEBA BE⋅u u u r u u u r u u u r u u u r＝225＝55, ∴sin θ＝1－cos 2θ＝255, 455.A 到直线BE 的距离d ＝|－*6]·OC →|sin θ＝2×255＝二、填空题5．已知A (2,3,1), B (4,1,2), C (6,3,7), D (－5, －4,8), 则点D 到平面ABC 的距离为________．答案 491717解析 设平面ABC 的法向量为n ＝(x , y , z ),则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0. ∴n ＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1, 又AD u u u r=（-7, -7, 7）.∴点D 到平面ABC 的距离d = AD n n⋅u u u r＝491717. 6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 棱长为2, E 为A 1B 1的中点, 则异面直线D 1E 和BC 1间的距离是________．答案 263解析 如图所示建立空间直角坐标系,设n 为异面直线D1E 与BC1公垂线的方向向量,并设n =(x,y,z),则有110,0,n BC n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r易求得n =（1, -2, 1）,∴d=11D C nn⋅u u u u u r ＝|(0，2，0)·(1，－2，1)|1＋4＋1＝46＝263.7．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 点A 到平面A 1BD 的距离为________．答案 33a解析 以D 为空间直角坐标原点, 以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系,则D (0,0,0), A (a,0,0), B (a , a,0), A 1(a,0, a )． 设n ＝(x , y , z )为平面A 1BD 的法向量,则有10,0,n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r, 即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )(a ，0，a )＝0，(x ，y ，z )(a ，a ，0)＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1, ∴n ＝(1, －1, －1)．∴点A 到平面A 1BD 的距离d ＝DA n n⋅u u u r ＝a 3＝33a . 三、解答题8．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的, 其中AB ＝4, BC ＝2, CC 1＝3, BE ＝1.(1)求BF 的长；(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,0), B (2,4,0), A (2,0,0), C (0,4,0), E (2,4,1), C 1(0,4,3)．设F (0,0, z )．∵四边形AEC 1F 为平行四边形,∴由1AF EC =u u u r u u u u r得（-2, 0, z ）=（-2, 0, 2）, ∴z=2.∴F （0, 0, 2）.∴BF u u u r=（-2, -4, 2）.于是|BF u u u r|=26 （2）设n 1为平面AEC 1F 的一个法向量,显然n 1不垂直于平面ADF, 故可设n 1=（x, y, 1）,由0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 得 0410,2020,x y x y ⨯+⨯+=⎧⎨-⨯+⨯+=⎩即410,220,yx+=⎧⎨-+=⎩∴1,1,4xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴n1=（1,14-,1）.又1CCu u u u r=(0,0,3),设1CCu u u u r与n1的夹角为α,则cosα= 1111CC nCC n⋅u u u u ru u u u r343313331116==⋅++∴C到平面AEC1F的距离为d=|1CCu u u u r|cosα=3×4333343311=9．已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中, 底面边长为22, 侧棱长为4, E、F分别为棱AB、BC的中点．(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离．(1)证明建立如右图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),B(22, 22, 0), E(22, 2, 0),F(2, 22, 0), D1(0,0,4),B1(22, 22, 4)．EFu u u r＝(－2, 2, 0), DB→＝(22, 22, 0), 1DDu u u u r＝(0,0,4),EFu u u r·DB→＝0.∴EF⊥DB, EF⊥DD1, DD1∩BD＝D,∴EF⊥平面BDD1B1.又EF⊂平面B1EF, ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.（2）解由（1）知11D Bu u u u r=)(22,22,0EFu u u r=)(2,2,0-, 1B Eu u u u r=)(0,2,4--,设平面B1EF的法向量为n,且n = (x,y,z),则n⊥EFu u u r,n⊥1B Eu u u u r,即n·EFu u u r=（x, y, z）·)(2,2,0＝－2x＋2y＝0,n ·1B E u u u u r ＝(x, y, z)·(0,－2, －4)＝－2y －4z ＝0. 令x ＝1, 则y ＝1, z ＝－24, ∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，－24. ∴D 1到平面B 1EF 的距离11D B nd n ⋅=u u u u r ＝|22＋22|12＋12＋⎝⎛⎭⎫－242＝16171710．直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为3, 底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形, AC ∩BD ＝O , A 1C 1∩B 1D 1＝O 1, E 是O 1A 的中点．(1)求二面角O 1—BC －D 的大小；(2)求点E 到平面O 1BC 的距离．解 (1)∵OO 1⊥平面AC ,∴OO 1⊥OA , OO 1⊥OB , 又OA ⊥OB ,建立如图所示的空间直角坐标系,∵底面ABCD 是边长为4, ∠DAB=60°的菱形, ∴OA=23, OB=2,则A(23,0,0), B(0,2,0), C(-23,0,0), O 1(0,0,3) 设平面O 1BC 的法向量为n 1=（x,y,z ）, 则n 1⊥1O B u u u u r , n 1⊥1O C u u u u r , ∴⎩⎨⎧ 2y －3z ＝0－23x －3z ＝0, 若z ＝2, 则x ＝－3, y ＝3, ∴n 1＝(－3, 3,2), 而平面AC 的法向量n 2＝(0,0,3)∴cos 〈n 1, n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝63×4＝12, 设O 1－BC －D 的平面角为α, ∴cos α＝12, ∴α＝60°.故二面角O 1－BC －D 为60°.(2)设点E 到平面O 1BC 的距离为d , ∵E 是O 1A 的中点, ∴1EO u u u u r ＝(－3, 0, 32), 则d=111EO n n ⋅u u u u r ＝|(－3，0，32)·(－3，3，2)|(－3)2＋32＋22＝32 ∴点E 到面O 1BC 的距离等于32.。

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组 专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。

3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二 证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三 解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。