立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

1． 空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.

(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小

1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．

2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉． 2． 点面距的求法

如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到 平面α的距离d ＝|AB →

·n |

|n |

.

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．

( × )

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．

( × )

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．

( × )

(4)两异面直线夹角的围是(0，π2]，直线与平面所成角的围是[0，π

2]，二面角的围是[0，

π]．

( √ )

(5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°.

( √ )

(6)若二面角α－a －β的两个半平面α、β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －

β的大小是π－θ.

( × )

2． 已知二面角α－l －β的大小是π

3

，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的

角为

( )

A.2π

3 B.π3

C.π2

D.π6

答案 B

解析 ∵m ⊥α，n ⊥β，

∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补． 又∵异面直线所成角的围为(0，π

2]，

∴m ，n 所成的角为π

3

.

3． 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－

1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于

( )

A ．4

B ．2

C ．3

D ．1

答案 B

解析 P 点到平面OAB 的距离为

d ＝|OP →

·n||n |＝|－2－6＋2|9

＝2，故选B.

4． 若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l

与α所成角的正弦值为_________． 答案

411

33

解析 ∵n ·a ＝－8－3＋3＝－8，|n |＝16＋1＋1＝32， |a |＝4＋9＋9＝22，

∴cos 〈n ，a 〉＝n ·a |n|·|a |＝－832×22＝－411

33

.

又l 与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝411

33

.

5． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM 、PN ，如果∠BPM ＝

∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为________． 答案 90°

解析 不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，如图， 作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ， ∵∠EPM ＝∠FPN ＝45°， ∴PE ＝

22a ，PF ＝22

b ， ∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →

) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF → ＝ab cos 60°－a ×22b cos 45°－22ab cos 45°＋22a ×22b ＝

ab 2－ab 2－ab 2＋ab

2

＝0，

∴EM →⊥FN →

，

∴二面角α－AB －β的大小为90°.

题型一 求异面直线所成的角

例1 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直

线BC 1与AE 所成角的余弦值为

( )

A.1010

B.3010

C.21510

D.31010

思维启迪 本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量BC 1→、AE →

所成的角来求． 答案 B

解析 建立坐标系如图，

则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．

BC 1→＝(－1,0,2)，AE →

＝(－1,2,1)，

cos 〈BC 1→

，AE →

〉＝

BC 1→·AE

→

|BC 1→|·|AE →|

＝3010.

所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为

3010

. 思维升华 用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来

求解，而两异面直线所成角的围是θ∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤

0，π2，两向量的夹角α的围是[0，π]，所以要

注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|.

已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形AA 1＝2AB ，

E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为

( )

A.1010

B.15

C.31010

D.35

答案 C

解析 如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． 设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)， ∴BE →

＝(0，－1,1)，

CD 1→

＝(0，－1,2)，

∴cos 〈BE →，CD 1→

〉＝1＋22·5＝31010.

题型二 求直线与平面所成的角

例2 如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，

垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点． (1)证明：PE ⊥BC ；

(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．

思维启迪 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH 的法向量．