立体几何中的向量方法基础篇一（几何证明）
一．求直线方向向量
1.已知()()4,2,2,2,1,1B A -且),,6(y x a =为直线AB 的方向向量，求y x ,。
二．平面的法向量
2.在空间中，已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1C B A ，求平面ABC 的一个法向量。
3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，
2,==⊥DC PD ABCD PD 平面，E 为PC 中点
（1）分别写出平面PDC ABCD PAD ,,的一个法向量；
（2）求平面EDB 的一个法向量；
（3）求平面ADE 的一个法向量。
三．向量法证明空间平行与垂直
1.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，M AF AB ,1,2==
为EF 的中点，求
证：BDE AM 平面//
2. 如图，正方体''''D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD BB ,'的中点，求证：ADE F D 平面⊥'。
3. 如图，在四棱锥ABCD E -中，BCE CD BCE AB 平面平面⊥⊥,
0120,22=∠====BCE CD CE BC AB ，求证：平面ABE ADE 平面⊥。
巩固练习：
1. 如图，在正方体''''D C B A ABCD -中，P 是'DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心，
（1）求证：O B '为平面PAC 的一个法向量；（2）求平面CD B A ''的一个法向量。
2. 如图，在直棱柱'''C B A ABC -中，4',5,4,3====AA AB BC AC
（1）求证：'BC AC ⊥
（2）在AB 上是否存在点D ，使得'//'CDB AC 平面，若存在，确定D 点位置，若不存在，说明理由。
3. 如图，已知长方体''''D C B A ABCD -中，2==BC AB ，E AA ,4'=为'CC 的上的点，C B BE '⊥， 求证：BED C A 平面⊥'
4. 在三棱柱'''C B A ABC -中，1',2,,'===⊥⊥AA BC AB BC AB ABC AA 平面，E 为'BB 的中点，求证：C C AA AEC '''平面平面⊥
立体几何中的向量方法基础篇二（求空间角）
一．利用向量法求异面直线所成角：
必背公式：
1. 若异面直线21,l l 的方向向量分别为()()4,0,2,1,2,0=--=b a ，求21,l l 所成角θ。
2. 如图，在三棱柱'''C B A ABC -中，2','===⊥AA BC AB ABC AA 底面，F E ABC ,,900=∠分别是棱',BB AB 的中点，求直线',BC EF 所成角。
3. 如图，在正棱柱'''C B A ABC -中，H F E AB AA ,,,42'==分别为'',,'C A BC AA 的中点，（1）求异面直线C B EF ',所成角的余弦值；（2）求 EF H B ,'所成角的余弦值。
二．利用向量法求直线与平面所成角
必背公式：
4. 在棱长为2的正方体''''D C B A ABCD -中，E 为'CC 的中点
（1）求B A '与平面BDE 所成角的正弦值；（2）求B A '与平面''B BDD 所成角的正弦值；
（3）求E B '与平面'BED
5. 如图，在三棱锥ABC P -中，,2,60,900
0====∠=∠CA BC AB PAB APB 平面ABC PAB 平面⊥，求PC 与平面ABC 所成角的正弦值。
三．利用向量法求平面与平面所成角
必背公式：
注意符号判断：
6. 如图，在直棱柱'''C B A ABC -中，BC AB AB BC AA ⊥===,2'
（1）求二面角'''C C A B --的大小；（2）求面C B A ''与面ABC 所成角的余弦值。
7. 如图，在五面体ABCDEF 中，AD AB EF BC AD ABCD FA ⊥⊥,////,平面
AD EF BC AB AF 3
1==== （1）求二面角F EC D --的余弦值；（2）在线段CE 上是否存在点M ，使得AM 与平面CDE 所成角的正弦值为
36
