12-2 二重积分计算(1)

二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分1.X 型区域1) 定义：先把x 看做常数，f(x,y)只看做y 的函数，对f(x,y)计算从1ϕ(x)到2ϕ(x)的定积分，然后把所得结果（为x 的函数）再对x 从a 到b 计算定积分，称其为X 型积分。

2) 积分区域D={(x,y)|21,ϕϕ≤≤≤≤y b x a },称为X 型区域。

3) 记作：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(2)(1)(2)(1),(),(),(),(x x Db a Db a x x dy y x f dx d y x f dx dy y x f d y x f ϕϕϕϕσσ4) 例题1注意：积分限：由下向上作平行为y 轴的直线，先经过的为积分下限，后经过的为积分上限。

.2,1,所围闭区域及：由其中计算xy x y D xyd D===⎰⎰σ⎩⎨⎧≤≤≤≤xy x D X 121:2211[]2xy x dx =⋅⎰89)22(213=-=⎰dx x x 211xDxyd dx xydyσ=⎰⎰⎰⎰解： 12 oxyy=xy=1Dx2.Y 型区域1）定义：先对x ，后对y 的二次积分，称之为Y 型积分。

2）积分区域D={})()(,),(21y x y d x c y x ϕϕ≤≤≤≤，称之为Y 型区域。

3）记作：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(2)(1)(2)(1),(),(),(),(y y Dd c Dd c y y dx y x f dy d y x f dy dx y x f d y x f ϕϕϕϕσσ4）例题2注意：积分限：由左向右做平行于x 轴的直线，先经过的为积分下限，后经过的为积分上限。

.2,1,所围闭区域及：由其中计算xy x y D xyd D===⎰⎰σ⎩⎨⎧≤≤≤≤221:x y y D Y 2221[]2y x y dy =⋅⎰89)22(213=-=⎰dy y y 221yDxyd dy xydxσ=⎰⎰⎰⎰解：12 o xy x = y x=2D y1 2例题3所围闭区域及：由其中计算2,2-==⎰⎰x y x y D xyd Dσ［法1］⎩⎨⎧+≤≤≤≤-221:2y x y y D Y 232511(44)2y y y y dy -=++-⎰46322114[2]2436y yy y -=++-13[12]24=-=2221y y D xyd dy xydx σ+-=⎰⎰⎰⎰22221[]2y y x y dy +-=⎰458［法2］⎩⎨⎧≤≤-≤≤x y x x D 10:1⎩⎨⎧≤≤-≤≤xy x x D 241:2⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21DD D xyd σ=+=⎰⎰⎰⎰--xx x x xydydx xydy dx 24110845例题四 计算()22Dxy dxdy +⎰⎰其中D 是以y x y x a y a ==+=，，和()30y a a =>为边的平行四边形区域。

二重积分的计算方法李季（德州学院数学系，山东德州 253023）摘 要：二重积分计算的基本途径是将二重积分转化为二次积分计算，转化二次积分的方法灵活多变，选择不当将会使积分更加复杂，甚至无法计算，本文针对不同种类的二重积分给出了与之相对应的计算方法，还介绍了如何利用对称性来简化二重积分的计算．关键字：二重积分；积分区域；二次积分；变量代换；二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分，在几何、物理等方面有着重要的应用．理解二重积分的概念，熟练掌握二重积分的计算，是进行有关研究的基础．但是，二重积分的计算往往比较困难，不知道该怎样进行．学习二重积分的计算，关键在于掌握计算方法．1 利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x b ϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，则有21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰； （1）若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有图121()()(,)(,)dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰⎰⎰．[1]（2）例1 计算22Dy dxdy x⎰⎰，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．解 积分区域为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则2221221x x Dyy dxdy dx dy x x=⎰⎰⎰⎰ 321213xxy dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰251133x dx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰221412761264x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式123(,)(,)(,)(,)DD D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）进行计算，例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但y y=xxy=1 D2D1xO 211 2图33D oxy1D2D 图4是将可D 划分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算．解 D 划分为()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-则12DD D d d d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12230122x xx x dx dy dx dy -=+⎰⎰⎰⎰120112322x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 1222013333442x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．例 3 计算二重积分2Dy x dxdy -⎰⎰，其中D 为区域1x ≤，02y ≤≤．[2]分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．OyxD1D2图6y xOx=2yy=2xx+y=3图5解 区域D 如图6可分为12D D ，其中21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩ 由公式（3）则12222DD D y x dxdy y x dxdy x ydxdy -=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰221212211523x x dx y x dy dx x ydy π--=-+-=-⎰⎰⎰⎰2 利用变量变换法计算定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂，(),u v ∈∆．则()()()()(,),,,,Df x y d f x u v y u v J u v dudv σ∆=⎰⎰⎰⎰ （4）（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．例4 求x y x yDedxdy -+⎰⎰，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像∆如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．解 做变换()()12:12x u v T y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()1,02J u v =>所以12x yux yvDedxdy e dudv -+∆=⎰⎰⎰⎰1012u v v v du e du -=⎰⎰()11012v e e dv -=-⎰ 14e e --=2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有()(),,,u f x y v g x y ==且,m u n v αβ≤≤≤≤，则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域∆，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ．分析 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．实际是计算二重积分Ddxdy ⎰⎰，其被积函数DyxO图7图8vuO很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y yx x αβ==，如果设2,y y u v x x==，则有,m u n v αβ≤≤≤≤，解 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰作变换2:u x v T v y u ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，[][],,m n αβ∆=⨯()()4,,,.uJ u v u v v =∈∆ 所以()()()22334433=6n m D n m udv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ∆--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 例6 求233Dx dxdy y xy+⎰⎰．22:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2,y u xy v x==，它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域∆．解 令2:u xy T y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩在变换T 作用下，区域D 的原像(){},13,13u v u v ∆=≤≤≤≤， ()1,03J u v v=≠ 所以233113Dx dxdy dudv y xy v uv v ∆=⋅++⎰⎰⎰⎰()3311du dv v v uv =+⎰⎰2ln 23=．2.3 利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有()22f x y +、x f y ⎛⎫⎪⎝⎭或y f x ⎛⎫⎪⎝⎭形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换cos :sin x r T y r θθ=⎧⎨=⎩，0,02θθπ≤<∞≤≤ 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .（1）如果原点0D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．则有()()()()21,cos ,sin r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰（5）类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤那么()()()()2211,cos ,sin r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰（6）（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成()0r r θ≤≤，0θπ≤≤则有()()()20,cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则∆为yxD1D 图 8()0r r θ≤≤，αθβ≤≤那么()()(),cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰（8）例7 计算221Dd I x y σ=--⎰⎰，其中D 为圆域：221x y +≤分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为22()f x y +，且原点为D 的内点，故可采用极坐标变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩，可以达到简化被积函数的目的．解 作变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩， 则有221Dd I x yσ=--⎰⎰21211d rdr rπθ=-⎰⎰12201r d πθ⎡⎤=--⎣⎦⎰202d πθπ==⎰． 例8 计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==，以及曲线22x y y =--所围成的平面区域．分析 首先根据题意，画出积分区域，由于积分区域D 与1D 一起围成规则图形正方形，且1D 为半圆区域，根据极坐标变换简化被积函数．解 积分区域如图15所示，1D D +为正方形区域，1D 为半圆区域，则有11DD D D ydxdy ydxdy ydxdy +=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而12224D D ydxdy dx dy -+==⎰⎰⎰⎰，又1:02sin ,2D r πθθπ≤≤≤≤故原式12sin 02sin D ydxdy d r rdr πθπθ=⋅⎰⎰⎰⎰428sin 3d ππθθ=⎰ 281cos 212cos 23422ππθπθ+⎛⎫=-+= ⎪⨯⎝⎭⎰． 2.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：cos ,0:sin ,02x ar r T y br θθθπ=≤≤∞⎧⎨=≤≤⎩并且雅可比行列式(),J u v abr = 同样有()(),cos ,sin Df x y dxdy f ar br abrdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰ （9）例9 计算22221Dx y I c dxdy a b =--⎰⎰，其中()22,01,0x D x y y b x a a ⎧⎫⎪⎪=≤≤-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭分析 根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．解 作广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，(),J u v abr =由（9）知22221Dx y I c dxdy a b =--⎰⎰122001d c r abrdr πθ=-⎰⎰122016abc d r r dr abc ππθ=-=⎰⎰3 某些特殊函数的计算3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分1D 和2D ，那么有如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值互为相反数，那么(),0Df x y d σ=⎰⎰如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，那么()()()12,2,2,DD D f x y d f x y d f x y d σσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰[3]例10 计算2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 为双曲线221x y -=及0,1y y ==所围成区域．分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到()2,f x y x y =为x 的偶函数，另一方面D 关于y 轴对称，且(),f x y 在1D 在2D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．解 积分区域如图11所示：1D 为D 在第一象限内的部分，D 关于y 轴对称，又()2,f x y x y =为x 的偶函数，由对称性有1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰ 宜选择先对x 后对y 的积分次序 故原式1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰2112002y dy x ydx +=⎰⎰xyO D1D211()31220213y y dy =+⎰()()521202214211515y =+=-．3.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号．例11 求224Dx y dxdy +-⎰⎰，其中D 为229x y +≤围成的区域．分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得22224040x y x y +-≥+-≤及的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．解 为去绝对值号，将D 分成若干个子区域，即221:4D x y +≤ 222:49D x y ≤+≤在1D 内 222244x y x y +-=--在2D 内 222244x y x y +-=+-故原式224Dx y dxdy +-⎰⎰ ()()12222244D D x y dxdy x y dxdy =--++-⎰⎰⎰⎰， 利用极坐标计算有()()12222200448D x y dxdy d r rdr πθπ--=-=⎰⎰⎰⎰ ()()2232220125442D x y dxdy d r rdr πθπ+-=-=⎰⎰⎰⎰ 故原式2541822πππ=+=．例12 求(),D f x y dxdy ⎰⎰,其中()(),0,0,0,x y e x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他,D 由,,0x y a x y b y +=+==和y b a =+所围成()0b a >>.分析 首先划出积分区域,将区域D 分解为如图所示三个区域,根据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的积分,再利用二重积分对区域的可加性再相加即得.解 如图12,并由(),f x y 表达式可得123D D D D = .在1D 上有 (),0f x y =,则()1,0D f x y dxdy =⎰⎰.因而()()23x y x y D D I edxdy e dxdy -+-+=+⎰⎰⎰⎰()()00a b x a b x x y x y a x a dx e dy dx e dy ---+-+-=+⎰⎰⎰⎰a b a b ae be e e ----=-+-通过以上例子可以看出,二重积分的计算方法和技巧还是很强的,学习二重积分的计算,需要掌握一些计算方法和技巧,才能准确快速地进行.参考文献：[1] 华师大数学系．数学分析(下)[M]．北京:高等教育出版社．2003．[2] 毛宇辉．数学分析学习指导书(下)[M]．北京:高等教育出版社．2003．[3] 彭辉．高等数学辅导(下)[M]．济南:山东科学技术出版社．2009．[4] 郭大鹏．一个多次分部积分公式的发现、证明[J]．长春师范学院学报，2004，(02):18-19．[5] 汤茂林．分部积分法在二重积分中的巧用[J]．高等数学研究，2007，(02):24-25．[6] 张瑞平．二重积分的几种计算方法[J]．高等数学研究:1997，(01):27-28[7] 倪伟平．用含参变量积分解决积分计算的数学模式[J]．枣庄师专学报:2000，(02):31-32．[8] 林先安．分部积分法在重积分中的应用[J]．数学通报，1993(06):11-12．[9] 汪军、郁时炼．分部积分法的巧用[J]．高等数学研究，1999(04):22-23．D1D2x y aa+bD312 a[10] 缪倩娟、贡韶红．关于分部积分法的进一步探讨[J]．中国科技信息，2006(21):63-64．Calculation of double integralsLi Ji(Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou Shandong 253023)Abstract: The double integral calculation of the basic approach is to calculate the double integral into a double integration, method of double integration into flexible, poor choice will make the integration more complex, if not impossible to calculate. This paper shows the different types of double integral corresponding calculation method also describes how to use symmetry to simplify the calculation of double integrals.Keywords: double integrals; integral area; double integration; variable substitution;。

考研数学中二重积分的计算方法与技巧顾 贞 洪 港 高恒嵩高等数学作为大多数专业研究生考试的必考科目，其有自己固有的特点，大纲几乎不变，注重基本知识点的考察，注重学生的综合应用能力，也考察学生解题的技巧.二重积分作为考研数学必考的知识点，在解题方面有一定的技巧可循，本文针对研究生考试中二重积分的考察给出具有参考性的解题技巧.二重积分的一般计算步骤如下：（1） 画出积分区域D 的草图；（2） 根据积分区域D 以及被积函数的特点确定合适的坐标系；（3） 在相应坐标系下确定积分次序，化为二次积分； （4） 确定二次积分的上、下限，做定积分运算.但是在历年考试题中，越来越多的题目注重解题技巧的考查，考题经常以下列几种情况出现：1分段函数的二重积分如果被积函数中含有函数关系min max,以及绝对值函数，则需要对二重积分进行分区域积分.例1：（2008年试题）计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),({≤≤≤≤=y x y x D .解：积分区域如图1所示：因为⎩⎨⎧>≤=111}1,max{xy xy xy xy ，所以有：max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰1122222111022x xdx dy dx dy dx xydy=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2ln 419)ln 21(21ln 2ln 2212212+=-+-+⨯=x x2交换二重积分的次序交换积分次序的步骤如下： （1） 先验证二次积分是否是二重积分的二次积分（积分下限小于上限）（2） 由所给二次积分的上、下限写出积分区域D 的不等式组（3） 依据不等式组画出积分区域D 的草图（4） 根据积分区域D 的草图写出另一种积分次序下的二次积分。

例2：计算dy e dx xy ⎰⎰-222解：积分区域如图2所示：因为⎰-22xy dy e 不可积，所以交换二重积分次序，则有：)1(214022022222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy e dx e dy dy e dx yy yy xy图1 图2 图3 图43利用积分区域的对称性计算二重积分（1）利用积分区域的对称性，被积函数的奇偶性计算 设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于y 轴对称，1D 为D 中0≥x 的部分.则有：()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=DD y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于x 轴对称，1D 为D 中0≥y 的部分.则有:()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=D D y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ 例3：（2017年试题）已知平面区域22{(,)2}D x y x y y =+≤，计算二重积分2(1).Dx dxdy +⎰⎰解析：积分区域具有对称性如图3，首先考虑使用奇偶性，其次，因为积分区域为圆域，需要使用极坐标进行求解。

重积分的计算方法探讨一、二重积分的计算方法二重积分的基本计算方法有两种，一是化累次积分的方法,二是极坐标的方法。

1.化累次积分计算二重积分 X --型区域:D : ϕ1(x)≤y ≤ϕ2(x), a ≤x ≤b .dx dy y x f d y x f bax x D⎰⎰⎰⎰=]),([),()()(21ϕϕσY --型区域:D : ψ1(x)≤y ≤ψ2(x), c ≤y ≤d .⎰⎰⎰⎰=dc y y Ddxy x f dy d y x f )()(21),(),(ψψσ例1. 计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域.【解法一】把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是⎰⎰⎰⎰=211][xDdx xydy d xy σ⎰⎰-=⋅=2132112)(21]2[dx x x dx y x x 89]24[212124=-=x x ，【注】积分还可以写成⎰⎰⎰⎰⎰⎰==211211xxDydy xdx xydy dx d xy σ.【解法二】也可把D 看成是Y --型区域: 1≤y ≤2, y ≤x ≤2 . 于是⎰⎰⎰⎰=212][yDdyxydx d xy σ⎰⎰-=⋅=2132122)22(]2[dy y y dy x y y 89]8[2142=-=y y . 例2. 计算σd y x y D⎰⎰-+221, D 是由直线y =1、x =-1及y =x 所围成的闭区域. 【解】 画出区域D , 可把D 看成是X --型区域: -1≤x ≤1, x ≤y ≤1. 于是⎰⎰⎰⎰-+=-+-122112211xDdyy x y dx d y x y σ⎰⎰----=-+-=1131112322)1|(|31])1[(31dx x dx y x x21)1(32103=--=⎰dx x . 也可D 看成是Y --型区域:-1≤y ≤1, -1≤x<y . 于是⎰⎰⎰⎰---+=-+111222211yDdxy x ydy d y x y σ.2.利用极坐标计算二重积分有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量ρ 、θ 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分σd y x f D⎰⎰),(.若积分区域D 可表示为 D:ϕ 1(θ)≤ρ≤ϕ 2(θ), α≤θ≤β, 则ρρθρθρθθρρθρθρθϕθϕβαd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (.例3. 计算⎰⎰--Dy x dxdy e22, 其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域.【解】在极坐标系中, 闭区域D 可表示为: 0≤ρ≤a , 0≤θ ≤2π . 于是⎰⎰⎰⎰---=DDy xd de dxdy e θρρρ222θθρρπρπρd e d d e aa 020200]21[ ][22⎰⎰⎰---== )1()1(212220a a e d e ---=-=⎰πθπ.注: 此处积分⎰⎰--Dy xdxdy e 22也常写成⎰⎰≤+--22222a y x y xdxdy e .例4 求球体x 2+y 2+z 2≤4a 2被圆柱面x 2+y 2=2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.【解】由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍.⎰⎰--=Ddxdyy x a V 22244,其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D 可表示为0≤ρ≤2a cos θ , 20πθ≤≤. 于是 ⎰⎰⎰⎰-=-=20cos 2022224444πθρρρθθρρρa Dd a d d d a V)322(332)sin 1(33222032-=-=⎰πθθπa d a .二、二重积分的计算技巧1.改变累次积分的次序计算二重积分有些题目若把积分区域视为X 型积分比较困难，甚至积不出来，但视为Y 型区域就好积多了。

第二节 二重积分的计算这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算，很显然用其定义来计算是很复杂的． 一、矩形上的二重积分的计算为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法.定理 12. 4 若函数f (x,y )是矩形D =[a,b ]×[c,d ]上的可积函数. 若对每一个x ∈[a,b ]积分⎰=dcdy y x f x h ),()(存在, 则h (x ) 在[a,b ]上可积, 并有等式dx dy y x f dx x h dxdy y x f badcbaD)),(()(),(⎰⎰⎰⎰⎰==,它也记为⎰⎰badcdy y x f dx ),(. 这个表达式称为二次积分或二次累次积分,也简称为累次积分.证明 在[a,b ]中插入若干个分点 b x x x x a n =<<<<= 210, 并记 Δx i = x i - x i-1 , (i =1,2,…..,n ), 当令λx =max{Δx i | i =1,2,…..,n },要证: dx dy y x f x h b adcni ii)),(()(lim1⎰⎰∑=∆=→ξλ.再在[c,d ]中插入若干个分点 d y y y y c m =<<<<= 210, Δy j = y j - y j-1 , (j =1,2,…..,m ), 那么, 直线y = y j (j =0,1,2,…..,m ), x = x i (i =0,1,2,…..,n ) 将D 分成m n 个小矩形D ij =[ x i-1 , x i ]×[y j-1 , y j ] (i =1,2,…..,n, j =1,2,…..,m ). 当记}),(|),(inf{ij ij D y x y x f m ∈=, }),(|),(sup{ij ij D y x y x f M ∈=,∑∑⎰∑===∆≤=≤∆-mj j ijmj y y ii mj jij y Mdy y f h ym ji 1111),()(ξξ因此,∑∑∑∑∑=====∆∆≤∆≤∆∆n i mj i j ijn i iin i m j ijijx y Mx h x y m 11111)(ξ注意到,此式的左右两端正是f (x,y )在矩形D 上以此分划的Darboux 小和及大和.. 再令令λy =max{Δy i | i =1,2,…..m }, λ=λx +λy , 由可积性知,⎰⎰∑∑=∆∆==→Dn i mj i j ij dxdy y x f x y m ),(lim 110λ,⎰⎰∑∑=∆∆==→Dni mj i j ij dxdy y x f x y M ),(lim 11λ.又有两边夹易得, ⎰⎰∑=∆=→Dni iidxdy y x f x h ),()(lim1ξλ即有⎰⎰∑=∆=→Dni iidxdy y x f x h x ),()(lim1ξλ, 那么h (x ) 在[a,b ]上可积, 并有等式dx dy y x f dx x h dxdy y x f b adcb aD)),(()(),(⎰⎰⎰⎰⎰==.同样我们可得定理 12. 5 若函数f (x,y )是矩形D =[a,b ]×[c,d ]上的可积函数. 若对每一个y ∈[c,d ]积分⎰=badx y x f y g ),()(存在, 则g (y ) 在[c,d ]上可积, 并有等式dy dx y x f dy y g dxdy y x f dcbadcD)),(()(),(⎰⎰⎰⎰⎰==,这时它也记为⎰⎰dcbadx y x f dy ),((也是二次积分或累次积分).引理 若函数f (x,y )是矩形D =[a,b ]×[c,d ]上的连续函数, 那么⎰=badx y x f y g ),()( 和 ⎰=dcdy y x f x h ),()(分别是[c,d ]和[a,b ]上的连续函数.当然也是相应区间上的可积函数.证明 只证g (y ) 是[c,d ]上的连续函数. 由条件知, f (x,y )在[a,b ]×[c,d ]上一致连续, 所以,任意ε>0, 存在 δ>0, 对任意(x 1, y 1), (x 2, y 2)∈[a,b ]×[c,d ],只要δ<-+-221221)()(y y x x , 有 2|),(),(|2211+-<-a b y x f y x f ε, 所以任意y 1, y 2∈[c,d ], 当 |y 1 - y 2|<δ,⎰⎰-=-babadx y x f dx y x f y g y g |),(),(||)()(|1212⎰-≤badx y x f y x f |),(),(|12εεε<-⋅+-=+-≤⎰)(21ababdxabba.故g(y) 在[c,d]上的一致连续.由此可得定理12.6若函数f(x,y)是矩形D=[a,b]×[c,d]上的连续函数. 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==badcdcbaDdyyxfdxdxyxfdydxdyyxf),(),(),(.即可交换顺序.这个结论的可以放宽为: f(x,y)是矩形D=[a,b]×[c,d]上的可积函数, 对每一个y∈[c,d]积分⎰=badxyxfyg),()(存在, 对每一个x∈[a,b]积分⎰=dcdyyxfxh),()(y也存在,.这时定理12.6 结论仍然成立, 即⎰⎰⎰⎰⎰⎰==badcdcbaDdyyxfdxdxyxfdydxdyyxf),(),(),(.二、一般区域上的二重积分计算首先我们来讨论D是下面一种比较特殊的区域时的情况，然后讨论一般情形．设其中()()x hxg,是区间[]b a,上的连续函数，()()},|),{(xhyxgbxayxD≤≤≤≤=，这样的区域D ，我们称之为x－型区域(当然可求面积)．如图当()()y vyu,是区间[]d c,上的连续函数，()()},|),{(yvxyudycyxD≤≤≤≤=（如图12-2-2）称为y－型区域.定理12.7 设函数f(x,y)是有界闭区域D上的可积函数，U= [a,b]×[c,d]包含D. 那么当令DU y x D y x y x f y x f -∈∈⎩⎨⎧=∧),(,),(,0),(),(,那么),(y x f ∧是U 上的可积函数. 并且⎰⎰⎰⎰=∧DUdxdy y x f dxdy y x f ),(),(.事实上),(y x f ∧在D 上可积,在U-D 上也可积 . 由性质知),(y x f ∧在U 上的可积.定理 12.8 设()()},|),{(x h y x g b x a y x D ≤≤≤≤=为x －型区域, f (x,y )是D 上的连续函数，那么⎰⎰⎰⎰=bax h x g Ddy y x f dx dxdy y x f )()(),(),(证明 令 U= [a,b ]×[c,d ]包含D . 由定理12.7⎰⎰⎰⎰⎰⎰∧∧==bad cUDdy y x f dx dxdy y x f dxdy y x f ),(),(),(注意到,当固定x 时, 若()()d y x h x g y c ≤≤<≤或, ),(y x f ∧=0,;若()()x h y x g ≤≤,),(),(y x f y x f =∧. 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∧∧b a x h x g d x h x g c Ddy y x f dy y x f dy y x f dx dxdy y x f )()()()(),(),(),(),(, 显然 ⎰⎰⎰⎰=bax h x g Ddy y x f dx dxdy y x f )()(),(),(.例1 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解 区域D 如图12-2-3所示，可以将它看成一个x -型区域， 即 ()}1,21|,{x y x y x D ≤≤≤≤=． 所以⎰⎰⎰⎰=xDxydy dx xyd 121σ⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅===213211289212121dx x x dxy x xy y也可以将D 看成是y －型区域，()}2,21|,{≤≤≤≤=x y y y x D ，于是⎰⎰⎰⎰=221yDxydx dy xyd σ.89212221213212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰=dy y y dy y x yx有上面的例子可以看到，计算二重积分的关键是区域，要注意的是区域的区别,同时还要考虑被积函数．定理 12.9 设()()},|),{(y v x y u d y c y x D ≤≤≤≤=为y －型区域, f (x,y )是D 上的连续函数，那么⎰⎰⎰⎰=dcy v y u Ddx y x f dy dxdy y x f )()(),(),(如果D 既不是x -型区域也不是y -型区域,如图12-2-4我们可以将D 分划成若干个x -型区域和y -型区域的并.例２ 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中D 是有抛物线x y =2及2-=x y 所围成的有界闭区域．D 1D 2[][]1cos 1cos sin sin sin sin 101100100-=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰x xdx dx y x x dy x x dx d x x x x Dσ解：如图12-2-4，区域D 可以看成是y －型区域，它表示为()}2,21|,{2+≤≤≤≤-=y x y y y x D ，所以84522121221222=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰-+-+dy xy xydx dy xyd y y y yDσ．我们也可以将D 看成是两个x －型区域21,D D 的并集． 如图1２-2-5，其中()()}2,41|,{},,10|,{21x y x x y x D x y x x y x D ≤≤-≤≤=≤≤-≤≤=所以积分可以写为两个二次积分的和．即⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=10422xxxx Dxydy dx xydy dx xyd σ．最后可以算出同样的结果，当然这样计算可能要麻烦一点．所以识别区域很重要，还有一点要注意的是，有的区域尽管既是x －型的，又是y －型的，但是在计算时候,可能将它看成其某中一种时，计算不出来．比如下面的例子．例３ 计算二次积分⎰⎰11sin y dx xxdy ． 分析：直接按照这个顺序是计算不出来的，尽管xxsin 的原函数是存在的，但是还是无法求出其表达式．我们可以考虑将这个积分先化为二重积分，再换成另外一种二次积分来计算．解⎰⎰⎰⎰=Dy d x xdx x x dy σsin sin 11，其中D 是如图1２-2-6所示的区域，将它看成是x -型区域，有()}0,10|,{x y x y x D ≤≤≤≤=，所以上面例子的方法常称为交换积分次序. 可以看出，有时候计算时需要交换二次积分的积分次序，而使得计算简单，有时候如不交换次序,是难以计算出结果．设()},|,{d y c b x a y x D ≤≤≤≤=，如果f (x ) 和g (y )分别在[a,b ]和[c ,d ]上可积, 则f (x )g (y )在D 上可积,并有()()()()⎰⎰⎰⎰⋅=b adcDdy y g dx x f d y g x f σ．读者可以自己验证上面的结论． 例４ 计算⎰⎰Dd y x σ22， 其中()}11,10|,{≤≤-≤≤=y x y x D ． 解：由上面的讨论，有⎰⎰Dd y xσ22⎰⎰-=102112dy y x dx＝92323111122=⋅=⎰⎰-dy y dx x ．例５ 求由曲面22y x z +=与1=z 所围的体积V ．解：此立体如图1２-2-7 所示，它的体积可以看成是一个圆柱体体积减去一个曲顶柱体体积．圆柱体的体积是ππ=⋅=211V ．曲顶柱体的顶是22y x z +=，底为区域()}1|,{22≤+=y x y x D ．所以其体积为()()⎰⎰⎰⎰----+=+=Dx xdy y xdx d y x V 22112211222σ＝2π．所以此立体体积为22πππ=-．在这里积分()⎰⎰----+22112211x x dy y xdx 的计算尽管可以计算出来，但是是比较复杂的，在这里没有写出，我们将在后面用其它的方法来计算这个二次积分． 本节最后将给出前面积分运算的几何解释.当()y x f ,是有界闭区域D 上的连续函数且()0,>y x f 时，二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示的是以D 为底，以()y x f ,为顶的曲顶柱体的体积．如图1２-2-8所示．它的体积可以通过计算这个二重积分得到．我们下面通过另外的一种途径来求其体积． 我们采用的方法是定积分的微元法．１．以x 为积分变量，其变化区间为[]b a ,；２．求在],[b a 的一个小的子区间],[dx x x +上所对应的曲顶柱体的体积，这是一个小的曲顶柱体，将它近似为一个截面已知的立体的体积．接下来就是计算这个截面面积．将对于任意的[]b a x ,0∈，用平面0x x =去截曲顶柱体得到截面()⎩⎨⎧==yx f z x x ,0，即()⎩⎨⎧==y x f z x x ,00．它在yoz 平面上的投影是一个如图2-３所示的曲边梯形．其面积为 ()()()()⎰=x h x g dy y x f x A ,00．一般地，当0x 变动时，有截面面积()()()()⎰=x h xg dy y x f x A ,．于是区间],[dx x x +所对应的小曲顶柱体体积为()()()()dx dy y x f dx x A dV x h x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰,，所以曲顶柱体的体积为 ()()()()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==b a b a x h x g dx dy y x f dx x A V ,．这样的积分实际上是积分两次，即先对y 积分，再对x 积分，即二次积分．也记为()()()⎰⎰bax h xg dy y x f dx ,．习题 12-21.求下列函数的二重积分,()⎰⎰Ddxdy y x f ,,这里D=[0,1]×[0,1].1) ()1,1,01,>+≤+⎩⎨⎧--=y x y x y x y x f ;2)()1,1,0,22>+≤+⎩⎨⎧+=y x y x y x y x f ;3)()otherwise x y x y x y x f ,2,0,22≤≤⎩⎨⎧+= ;2. 设f (x )是[a,b ]上的连续函数,证明2)(])()([2⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰b a bx b a dx x f dx dy y f x f . 3.求下列二重积分 1)⎰⎰Ddxdy y x 23 , },20|),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=; 2)⎰⎰+D dxdy x y142 , }20,21|),{(x y x y x D ≤≤≤≤=; 3) ⎰⎰Dyx dxdy e , },21|),{(3y x y y y x D ≤≤≤≤=; 4) ⎰⎰Dy dxdy e 2, }0,10|),{(y x y y x D ≤≤≤≤=; 5) ⎰⎰-Dd y x σ)2( , D 是由原点为中心2为半径的圆周所围的有界区域;6) ⎰⎰Dd xy σ)2( , D 是由(0,0),(1,2)和(0,3)为顶点的三角形所围的有界区域;7)σ⎰⎰+Dd y x )(22，其中D 是矩形区域：|x|≤1， |y|≤1；8)σ⎰⎰+Dd y x )23(，其中D 是x 轴、y 轴与直线2=+y x 所围成闭区域，9)σ⎰⎰++Dd y y x x )3(322，其中D 是矩形闭区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； 10)σ⎰⎰+Dd y x x )cos( ， 其中D 是顶点分别为（0，0），（π,0）和(π,π)的三角形闭区域．4.交换下列的积分顺序1)⎰⎰---22993),(x x dy y x f dx ;2)⎰⎰-ydx y x f dy 903),(;3)⎰⎰4arctan 1),(πxdy y x f dx ;4)⎰⎰⎰⎰-+yy dx y x f dy dx y x f dy 30312010),(),(;5)⎰⎰10),(ydx y x f dy ; 6)⎰⎰---11122),(y y dx y x f dy ; 7)7)⎰⎰222),(yy dx y x f dy 8)⎰⎰ex dyy x f dx 1ln 0),(5.求下列的积分1) ⎰⎰3312yxdy e dx ;2)⎰⎰+13101ydx x dy ;3)⎰⎰9232)cos(y dx x y dy ; 4)⎰⎰+2arcsin 21cos 1cos πydx x xdy .6. 画出积分区域，计算积分： 1) σ⎰⎰Dd y x ，其中D 是由两条抛物线2x y =, x y =所围成闭区域，2)σ⎰⎰Dd xy 2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成右半闭区域， ３）σ⎰⎰+D y x d e , 其中D 是由1≤+y x 所确定的闭区域， 4)σ⎰⎰-+Dd x y x )(22， 其中D 是由直线x y y ==,2 及x y 2=所围成的闭区域．。

二重积分计算例题及过程
下面是关于二重积分的计算的例题及过程：
一、二重积分的定义及其表达式：
二重积分是指将二维区域分割成小的子区域，把函数的积分在每个子区域上做一次，然后再把这些子区域的积分结果相加，而且每个子区域的积分面积要不断减小，从而得到总积分值作为结果。

双重积分的表达式：
$$\iint f (x, y) \, dA = \iint f (x, y) \, dx dy$$
二、计算例题：
计算二重积分
$$\iint_D(x+2y) \,dxdy$$
其中,D为：$$D=[0,1] \ times [1,2]$$
三、计算过程：
（1）根据题目给出的二重积分表达式将函数分解成x和y的乘积：$$\iint_D(x+2y) \,dxdy=\int_0^1\int_1^2(x+2y)dxdy$$
（2）计算X的积分：
$$\int_0^1\int_1^2xdxdy=\int_0^1[\frac{1}{2}x^2]_1^2dy=2y-
\frac{1}{2}y^2|_1^2=2(2)-2(\frac{1}{2})=3$$
（3）计算Y的积分：
$$\int_0^1\int_1^22ydy=\int_0^1[y^2]_1^2dy=2y^2|_1^2=2(4)-(1^2)=7$$ （4）将X和Y的积分相加：$$3+7=10$$
（5）最终得出求此双重积分的结果为：$$\int_D(x+2y) \,dxdy=10$$。