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量子力学(第四章)

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第四章 群论和量子力学

第四章 群论和量子力学

第一节 波函数作为不可约表示的基
另外，我们可以看出px和py轨道成对构成了E 表示的基。应该注意，在C3v群的特征标表中坐 标x和y被指明按照E表示变换。因而，函数 sinθcosφ和sinθsinφ按照与x和y同样的方式变换， 根据这一理由，具有本征函数sinθcosφ的p轨道 称为px，具有本征函数sinθsinφ的称为py。此外， 也说明了x和y坐标也表明了px和py轨道的变换性 质。
r31 r32 r33
j1
附录 二
两个矩阵的直积：
两个矩阵的直积和两个矩阵的乘积是不一样 的。如一个(2×2)的方阵与一个(3×3)的方阵其矩 阵的乘积是没有意义的，但其直积却是个(6×6) 的方阵。
附录 二
a11b11 a11b12 a11b13 a12b11 a12b12 a12b13
a11 a21
Hˆ ψi1 Eiψi1 Hˆ ψi2 Eiψi2
Hˆ ψik Eiψik
以操作R作用于波动方程，得：
HˆRˆψil Ei Rˆψil l 1,2,,k
第一节 波函数作为不可约表示的基
但此处Rψil一般可以是ψij的任意线性组合，
即：
k
Rˆ ψil rjlψij j1
对于另一个操作S，类似地有：
jl
j1 l1
第二节 直积
因而若想知道一个表示的特征标(R)，这个表 示是其他两个特征标为χ1(R)和χ2(R)的表示的 直积，则对于群的每个操作R，特征标由下式给 出：
χR χ1Rχ2R
下面以C4v群为例来说明：
C4v
Eˆ
A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
E
2
A1A2

量子力学课件：4.1 态的表象

量子力学课件：4.1 态的表象

量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应
有确定值 x’本征函数是
δ(x'-x)。
这可由本征 值方程看出：
所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量
p为变量的δ- 函数。
换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。
x ( x x) x ( x x)
所以
x ( x) ( x x)
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
(x, t) an(t)un( x)
n
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
证：
1 *( x, t)( x.t)dx
动量表象 C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/] C(p)=δ(p'-p)

量子力学第四章表象

量子力学第四章表象

第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q 表象中的态函数。

这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。

为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。

以从r 表象变换到Q 表象为例。

r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。

设ˆQ的本征值为分立谱Q n ，对应的本征函数为()n r φ 。

当各Q n 都无简并时，(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为：(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑（4.1-1） 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。

当Q n 存在简并时，展开式为：(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑（4.1-2）其中i 为描写简并的角标。

下面只讨论无简并的情况。

在（4.1-1）式中，a n (t)是Q n 与t 的函数，a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。

当Q n 在整个展开系数中变动。

由于Q n 为分立谱，所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。

a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Ｑ表象中的态函数。

例如，将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开： 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ （4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n 表示两个量子数lm 的集合。

上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。

2．本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。

若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。

量子力学答案(第二版)苏汝铿第四章课后答案4.5-4#3 @

量子力学答案(第二版)苏汝铿第四章课后答案4.5-4#3 @

2 1 2 1 2 1
∴对角化的矩阵为 L x S Lx S
L x 2
1 2 1 2 1 2
0 1 2 1 2

1 1 2 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 2 2
取 a1
1 ，归一化的 2
1 2 1 ˆ 对应于 L x 的本征值 2 1 2
ˆ 表象的变换矩阵为 ˆ 2 和L ˆ 的共同表象变到 L 由以上结果可知，从 L x Z
1 2 S 0 1 2 1 2 1 2 1 2
ˆA ˆS ˆ 1 ) ( S ˆB ˆ 1 ) ( S ˆ 1 ) ( S ˆA ˆS ˆ 1 ) ˆS ˆS (S ˆB

⑵
利用⑴式于⑵，则可以写成
[ A
aa
ˆB ˆ 1 ) ( S ˆB ˆ 1 ) A ] 0 ˆS ˆS (S
a1 ∴ 2a1 a1
a1 由归一化条件 1 (a , 2a , a ) 2a1 4 a1 a1
* 1 * 1 * 1 2
1 2 1 ˆ 的本征值 1 对应于 L 取 a1 ，归一化的 x 2 2 1 2
a1 0 1 0 a 1 当 2 时，有 1 0 1 a 2 a 2 2 a 0 1 0 a 3 3
1 a1 2 a 1 1 (a1 a 3 ) a 2 2 1 a3 a2 2

第四章 量子力学密度矩阵

第四章 量子力学密度矩阵
61
ˆ (r ) 是只与系统自由度有关的力学量算符。 矢 Ψ (r , q ) 来描写。我们只关心系统的自由度。设 F
系统的状态能否由一个只与 r 有关的态矢来完全描述呢？显然仅当系统自由度和环境自由度 没有关联时才有可能。 1、复合系统的基矢（非耦合表象） 研究一个复合系统 A + B
A ；感兴趣的子系统， { m B ：大环境（系统）， { n
第四章
§4.1 密度算符（矩阵） 一、纯态和混合态 1、纯态 能用一个态矢描述的态称为纯态。
密度矩阵方法
任意个态矢的线性叠加是一个态矢，故仍为纯态。 2、混合态 体系的状态不能用一个态矢描述，而需要用一组态矢及其相应的概率来描述，称为 参与态： Ψ j ←→ p j （处在 Ψ j 态的概率） 3、区别 纯态：概率幅的相干叠加，两态之间发生干涉 混合态：概率的不相干叠加。
3、密度算符的性质
ˆ 满足本征值方程 如果算符力学量 F
ˆψ = F ψ F k k k
当本征值无简并时，则 {ψ k }构成正交归一完备系；当本征值简并时，本征矢未必正交， 但可以要求它是归一和完备的。
ˆ 是厄米算符： ρ ˆ+ = ρ ˆ （1） ρ ˆ 的本征值是非负的。 （2） ρ ˆ （3）对于密度算符 ρ ˆ =1 Tr ρ
Bloch 球心则是一个不含任何信息的完全随机的混态——垃圾态。
§4.2 密度算符的动力学演化方程 一、密度算符一般动力学方程
ˆ 和一般的算符不同，它不是一个固定的算符，而是依赖于系统所处的状态， 态密度算符 ρ
随时间演化。由薛定谔方程不难得到态密度算符的运动方程 1、薛定谔绘景
ˆ (t ) 1 ˆ dρ ˆ (t ) ] = H (t ), ρ dt i

中科院量子力学超详细笔记 第四章 中心场束缚态问题

中科院量子力学超详细笔记 第四章 中心场束缚态问题
⎡ ⎣ Lx , Ly ⎤ ⎦ = ihLz , ⎡ ⎣ Ly , Lz ⎤ ⎦ = ihLx , [ Lz , Lx ] = ihLy ⎡ ⎣ Li , L j ⎤ ⎦ = ihε i j k Lk
(4.8) (4.9)
其中 ε i j k 是 Levi-Civita 张量。也可以将(4.8)式写成紧凑的记号， 因为 L
2 L2 = −h 2 ∇ ( θ ,ψ )
⎞⎤ ⎟⎥ + V (r ) ⎟ ⎥ ⎠⎦
(4.6) (4.7)
这里， L2 为轨道角动量平方算符 由于它只对角变数作用，它和 H 是对易的，即
[H , L ] = 0
2
这说明， 在任何形式的中心场 V (r ) 中运动的粒子， 其轨道角动量平方 L2 都是一个守恒量。 由直接计算可得
(
)
15 Sinθ Cosθ e iϕ , 8π 15 Sinθ Cosθ e −iϕ , 8π
Y2− 2 (θ , ϕ ) =
15 Sin 2θ e −i 2ϕ 32π
（其物理解释见下节） 。 这里 l 称为轨道角动量量子数，m 称为磁量子数 对一个给定的 l ，相应的 m 可以取 (2l + 1) 个不同的值，对应于 (2l + 1) 个 不同的正交归一态。
(| m |≤ l )
(4.13)
相应的本征值为 α = l (l + 1) h 2 ， β = mh 。其中缔合 Legendre 多项式采用 Ferrer 定义，
Pl m ( x ) =
l +m 1 1 2 2 d ( − x ) ( x 2 − 1) l ， ( | m| ≤ l ) 1 l l +m dx 2 ⋅ l! m
v v V⎡ ⎣ r1 ( t ) , r2 ( t ) , t ⎤ ⎦

量子力学第四章-表象理论(3部分)


波函数也可以选用其它变量的函数， 波函数也可以选用其它变量的函数， 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。
表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用 的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。 的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。
∫
ψ p * ( x )ψ p ′ ( x ) e
− iE p′ t / h
dx
所以，在动量表象中， 所以，在动量表象中， 具有确定动量p 的粒 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 函数。 p为变量的δ- 函数。 换言之， 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 函数。 个δ函数。
=e
− iE p′ t / h
坐标表象 动量本 征函数 不含时 动量本 征函数 本征 方程
1/2 (x,t)=[ /(2 xp[i(p' E't)/h i(p'x Ψp'(x,t)=[1/(2πh)] exp[i(p'x-E't)/h] 1/2
动量表象 C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/ C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/h] xp[
（1）具有分立本征值的情况 ） （2）含有连续本征值情况 ）
（1）具有分立本征值的情况 ）
算符Q的本征值为 的本征值为： 设 算符 的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...， ，
都是归一化的， 若Ψ, un都是归一化的， 则 an(t) 也是归一化的。
相应本征函数为： 相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。 。

量子力学曾谨言习题解答第四章

（12）
这个叠加式中，D和 都有两个指标，第一个是量子数 ，第二个是量子数 ，从（12）可以看出在 的状态中， 取各种可能测值的几率如下表：
的本征值
2
0
-
-2
相应的几率
+
+
+
诸D的计算有两种方法，第一法是直接法，此法是从方程组（7）中解出，我们需要的 ，而用 的本征函数 ， ， 的项表示它，这方法是初等的，结果
再将文字A，B对易得
（5）证明
（证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与[A，B]对易一点不能使用，即
从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得
取A=q，B=p，注意[q，p]=hi代入前一式后，有
(6)证明 是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。
当
因此：
现在利用前二式来证明题给一式的x分量的关系成立，该式左方：
86-87
利用（1）和（2）得
同理可得
综合3式得
[4]设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式：
前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证 (A等是实数)是厄密算符
（证明）此算符F( )不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则
运用这个关系于下面的计算：
满足厄密算符的定义。
（8）证明 （ 实数）是厄密算符。
（证明）方法同前题，假定已经证明 , 都是厄密算符，即：

量子力学——第四章作业参考答案


( p × l − l × p )x ，
2 ( p × l − l × p)y ， ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦ z = i ( p × l − l × p ) z ，因此
同理 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦y = i
i
2 ( p × l − l × p) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦。
3.10 证明： （a） pr =
可见， ( r × l − l × r ) = r × l − l × r ， r × l − l × r 为厄米算符。
+
3.3
证明：一维情况下，由 x 和 p 的对易关系 [ x, p ] = i ， 可得 从而
（6） （7）
xp = i + px ， px = xp − i
，
m −1 n m n +1 [ p, F ] = ∑ Cmn ( px m p n − x m p n+1 ) = ∑ Cmn ⎡ ⎣( xp − i ) x p − x p ⎤ ⎦ m,n =0 ∞ m,n =0
∂ F。 ∂x
（8）
=
m ,n =0
mn
= −i
m,n =0
∑C
mn
mx m −1 p n = −i
同理，可得 [ x, F ] = i 3.4 证明：
∂ F。 ∂p
（9）
[ AB, C ] = ABC − CAB = ( ABC + ACB ) − ( ACB + CAB )
= A [ B, C ]+ − [ A, C ]+ B
（b） pr =
1⎛r r ⎞ 1 ⎡r r ⎛ r ⎞⎤ ⎜ i p + p i ⎟ = ⎢ i p + i p − i ⎜ ∇i ⎟ ⎥ 2⎝ r r ⎠ 2 ⎣r r ⎝ r ⎠⎦

第4章-2.全同粒子体 西南大学量子力学PPT(考试必备)


§4.２
全同粒子体系的波函数
[本节要求]：深刻理解泡利原理，掌握如何
构造玻色子、费米子波函数
[本节内容]：讨论在忽略粒子之间相互作
用的情况下,如何去构造具有交换对称的波函数. 在计及相互作用时, 可以用它们作为基矢来展 开. 先讨论两个全同粒子体系, 然后推广到多 粒子体系.
一. 两个全同粒子体系的波函数：


N个粒子在N个单粒子态上的不同排列数有N! 个, 或者说有N! 个置换，所以上式共有N!项
奇置换：从标准排列式出发, 若经过奇数次对换才达到
排列P，记为 P 1 偶置换：从标准排列式出发, 若经过偶数次对换才达到 排列P，记为 P 1
注意到： １.在N!个置换中, 偶置换与奇置换各占一半； ２.并且注意到对换两个粒子波函数的次序，体
1 2
体系能量为 E k1 k2 的本征态为
1 2
k q1 k q2
体系能量为 k1 k 2
k q2 k q1
C1 k1 q1 k2 q2 C 2 k1 q2 k2 q1
1 2
这说明体系的能级是简并的, 这种与全同粒子 交换对称性相联系的简并, 称为交换简并.

反对称 对称 反对称 对称

对称 反对称 反对称 对称
费米子 玻色子
反对称 对称
例１：对两电子体系, 总波函数为

A

1 2

11 1 s1z 1 s2 z
2 2
A r1 , r2 s s1 z , s2 z

k1 r1 k 2 r2
两者相差一相因子
ˆ P ij
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---
b. 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时 取确定值。例如中心力场中的粒子，Lˆ 的 三分量都守恒( Lˆi , Hˆ 0, i x, y, z)，但由 于 Lˆx, Lˆy , Lˆz不对易，一般说来它们并不能同 时取确定值（角动量 l 0 的态除外）。
---
c. 定态和守恒量的区别 定态是体系的一种特殊的状态，即能量本征 态，而守恒量则是体系的一种特殊的力学量， 它与体系的Hamilton量对易。在定态下，一 切力学量(不显含t ，不管是否守恒量)的平 均值及测量值几率分布都不随时间改变，这 正是称之为定态的理由。而守恒量则是在一 切状态下(不管是否定态)的平均值和测量值 几率分布都不随时间改变，这正是称之为量 子体系守恒量的理由。
---
2. 能级简并与守恒量的关系
守恒量的应用极为广泛，在处理能量本 征值问题，量子态随时间变化，量子跃 迁以及散射等问题中都很重要。这里要 害是涉及能量简并，它们包括：(a)能 级是否简并？(b)在能级简并的情况下， 如何标记各简并态。
---
定理：设体系两个彼此不对易的守恒量F 和G ，
即F, H 0,G, H ，0 但 F,G ，0 则体系能
第四章 力学量随时 间的演化与对称性
本章所讲的主要内容
力学量随时间的演化(4.1) 波包的运动，Ehrenfest定理(4.2)
Schrodinger图像与Heisenberg图像(4.3)
守恒量与对称性的关系(4.4)
全同粒子体系与波函数的交换对称性(4.5)
-
---
§4.1 力学量随时间的演化
c.c.
(t
t
)
,
k
k
,
(t
)
c.c.
H ih
(t
),
k
k
,
Байду номын сангаас
(t)
c.c.
1 ih
(t
),
H
k
k
,
(t
)
c.c.
Ek ih
(t
),
---
k
2
c.c.
0
(7)
在量子力学中，如不显含力学量 Aˆ 与体系的 Hamilton量对易，则称为体系的一个守恒 量。按上述分析，量子体系的守恒量，无论 在什么态下，平均值和几率分布都不随时间 改变。
级一般是简并的。
证：由于F, H 0， F与 H可以有共同本征函
数
H E , F F
考虑到 G, H 0，故有
HG GH GE EG
即
G
也是H
的本征态，对应于本征值 ---
E
。
但 G 与 是否同一个量子态？考虑到
F,G 0，一般说来，
FG GF GF FG
即 G 不是 F的本征态。但 是 F的本征态， 因此 G与 不是同一个量子态。但它们又都 是 H的本征值为 E 的本征态，因此能级是简 并的。
---
推论：如果体系有一个守恒量 F ，而体系的 某条能级不简并(即对应于某能量本征值E 只有一个量子态 E)，则 E 必为 F 的本征态。 因为
HF E FH E FE E EF E
即 F E也是 H的本征值为 E 的本征态。但按假 定，能级E 无简并，所以 F E与 E只能是同 一个量子态，因此它们最多可以相差一个常数 因子，记为F，即 F E F E，所以 E也是 F 的本征态(F即本征值)。
---
量子力学守恒量的几个重要特征
a. 与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量 并不一定取确定值，即体系的状态并不一定 就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时 刻 t 是否处于某守恒量 Aˆ 的本征态，要根据 初条件决定。若在 t 0 时 Aˆ有确定值，则在 以后任何时刻 Aˆ 也有确定值。即若体系在初 始时刻处于 Aˆ 的某一本征态，则在以后任何 时刻均处在同一本征态。
Aˆ, Hˆ 0
则
dA 0
(4)
dt
即力学量 Aˆ 在任何态 (t)之下的平均值都不 随时间改变。还可以进一步证明，在任意态
(t)下 Aˆ 的几率分布也不随时间改变。
---
由于 Aˆ, Hˆ 0，我们可以选择包括 Aˆ和 Hˆ在 内的一组力学量完全集，其共同本征态记为
k( k 是一组完备的量子数的标记)，即
---
同样若在t 0时 Aˆ 无确定值， (rv, 0)并非 Aˆ 的 本征态，则在以后由Schrödinger方程给出的 态 (rv,t) 中，测量Aˆ 也不会有确定值，亦即 相应的态也不是 Aˆ 的本征态，但 Aˆ 的平均值 及测值几率的分布不变。由于守恒量具有上 述性质，它的量子数称为好量子数。
Hˆk Ekk , Aˆk Akk
(5)
于是，体系的任何一态 (t)均可用 k 展开
(t) ak (t) k , ak (t) k , (t) (6)
k
---
在 (t)态下，在 t时刻测量 Aˆ得 Ak的几率为 ak (t) 2，而
d dt
ak (t) 2
dak* dt
ak
rv
pv,V
(rv)
(8)
ih
1 m
p2
rvV
---
对于定态，d rv pv 0，所以
dt 1 p2 rvV m
即
2T rvV
(9)
式中T p2 2m 是粒子动能，上式即位力定理。
---
位力定理特例
设V(x, y, z)是x, y, z 的n次齐次函数（即
,
Aˆ
t
1 , HˆAˆ ih
1 , Aˆ Hˆ
ih
,
Aˆ
t
1 ih
, Aˆ, Hˆ
,
Aˆ
t
1 ih
Aˆ ,
Hˆ
Aˆ t
(2)
---
如Aˆ 不显含时间 (以后如t 不特别声明，都是指这
种力学量)，即
Aˆ 0 t
则
d dt
A
1 ih
Aˆ, Hˆ
(3)
因此，如
---
位力(Virial)定理 当体系处于定态下，关于平均值随时间
的变化，有一个有用的定理，即位力定理。 设粒子处于势场V (rv)中，Hamilton量为
H p2 V (rv) 2m
考虑 rv pv的平均值随时间的变化。我们有
ih d rv pv rv pv, H
dt
1 2m
rv
pv,
p2
1. 守恒量
与经典力学不同，量子力学中， 处于量子态下的体系，在每一时刻， 并非所有力学量都具有确定值，而只 具有确定的几率分布和平均值。
---
力学量 Aˆ 的平均值为
A(t) (t), Aˆ (t)
(1)
所以
d dt
A(t)
t
,
Aˆ
,
Aˆ
t
,
Aˆ
t
Hˆ
ih
,
Aˆ
,
Aˆ
Hˆ
ih