量子力学第四章 - 2
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量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第4章-2
4.29——6.1
ˆ 的本征态下， L x = L y = 0 。（提示：利用 L y L z − Lz L y = iL x ，求平均。） 4.29 证明在 L z
证：设 ψ 是 L z 的本征态，本征值为 m ，即 L z ψ
= m ψ
∴
[L
y
, L z = L y L z − L z L y = iL x ， 1 Ψ Ly Lz Ψ i 1 = m Ψ Ly Ψ i
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 ； 2 4 0
)
1 L x 取 − 的振幅为 1 − 2
总几率为 C1
2
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 。 2 4 0
)
2） L x 在 l = 2 的空间， L2 , L z 对角化表象中的矩阵 利用
1 − 2 1 6a ， d = − 2a ， e = a ，本征矢为 6 ，在 C 2Y20 态下，测得 L x = − 2 的 4 − 2 1
将它们代入（3）就得到前一法（考虑 l x , l y 对称）得到相同的结果。
l x2 =
1 [(l + m)(l − m + 1) 2 + (l − m)(l + m + 1) 2 ] 4 1 = [l (l + 1) − m 2 ] 2 2
ˆ lˆ , lˆ lˆ 没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这 又从（4）式看出，由于 l + + − −
2
将上式在 lm 态下求平均，因 Lz 作用于 lm 或 lm 后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵 消，因此 又
ˆ 的本征态下， L x = L y = 0 。（提示：利用 L y L z − Lz L y = iL x ，求平均。） 4.29 证明在 L z
证：设 ψ 是 L z 的本征态，本征值为 m ，即 L z ψ
= m ψ
∴
[L
y
, L z = L y L z − L z L y = iL x ， 1 Ψ Ly Lz Ψ i 1 = m Ψ Ly Ψ i
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 ； 2 4 0
)
1 L x 取 − 的振幅为 1 − 2
总几率为 C1
2
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 。 2 4 0
)
2） L x 在 l = 2 的空间， L2 , L z 对角化表象中的矩阵 利用
1 − 2 1 6a ， d = − 2a ， e = a ，本征矢为 6 ，在 C 2Y20 态下，测得 L x = − 2 的 4 − 2 1
将它们代入（3）就得到前一法（考虑 l x , l y 对称）得到相同的结果。
l x2 =
1 [(l + m)(l − m + 1) 2 + (l − m)(l + m + 1) 2 ] 4 1 = [l (l + 1) − m 2 ] 2 2
ˆ lˆ , lˆ lˆ 没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这 又从（4）式看出，由于 l + + − −
2
将上式在 lm 态下求平均，因 Lz 作用于 lm 或 lm 后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵 消，因此 又
量子力学教程-周世勋-第四章表象
∫
v
ˆ = r 时， （4.2-6）式化为： 是由于在（4.2-6）式中含有对 q′ 的积分之故。当 Q v v v vv u ( r ′, t ) dr ′ v(r , t ) = ∫ Frr ′
∧ v
∧ v
（4.2-7）
上式与（4.2-1）式在形式上并不相同，但上式可以化为（4.2-1）式。因 r − r ′′ 对应本征值 r 与 r ′ 的 本征函数分别为 δ ( r ′′ − r ) 与 δ (r ′′ − r ′) ，则
从以上的讨论可知，一个物理体系的状态在任何表象中都有两种表示法，即函数表示法与矩阵 表示法。当本征态排序确定后，这两种表示法是完合等价的。一般说来，在分立谱表象中采用矩阵 表示较好，而在连续谱表象中采用函数表示较好。 4．力学量算符在自身表象中的本征函数
85
ˆ 的自身表象中，若 Q ˆ 的本征值为连续谱，则由（4.1-6）式可知，当 ϕ (r , t ) = φ (r ) 时，应 在Q Q′ ˆ = Q 对应本征值 Q′ 的本征函数为 δ (Q − Q′) 。因 有 aQ (t ) = δ (Q − Q′) ，所以 Q
对应的本征态为
h ∂ 的本征值 mh 在一维 φ 空间中 i ∂φ
1 imφ e ，这时的本征值 mh 无简并，而在二维 θφ 空间中对应的本征态可取为 2π
ˆ2 与 L ˆ 的两 Ylm (θ , φ ) ，则本征值 mh 的简并度很大。L 相当于描写简并度的角标。但 Ylm (θϕ ) 对于 L z
⎛ a1 (t ) ⎞ a (t ) ⎟ A(t ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜ M ⎟ ⎝ ⎠
阵 A+：
* * A+ (t )(a1 (t ) a2 (t )L) * *
中科院量子力学超详细笔记 第四章 中心场束缚态问题
⎡ ⎣ Lx , Ly ⎤ ⎦ = ihLz , ⎡ ⎣ Ly , Lz ⎤ ⎦ = ihLx , [ Lz , Lx ] = ihLy ⎡ ⎣ Li , L j ⎤ ⎦ = ihε i j k Lk
(4.8) (4.9)
其中 ε i j k 是 Levi-Civita 张量。也可以将(4.8)式写成紧凑的记号， 因为 L
2 L2 = −h 2 ∇ ( θ ,ψ )
⎞⎤ ⎟⎥ + V (r ) ⎟ ⎥ ⎠⎦
(4.6) (4.7)
这里， L2 为轨道角动量平方算符 由于它只对角变数作用，它和 H 是对易的，即
[H , L ] = 0
2
这说明， 在任何形式的中心场 V (r ) 中运动的粒子， 其轨道角动量平方 L2 都是一个守恒量。 由直接计算可得
(
)
15 Sinθ Cosθ e iϕ , 8π 15 Sinθ Cosθ e −iϕ , 8π
Y2− 2 (θ , ϕ ) =
15 Sin 2θ e −i 2ϕ 32π
（其物理解释见下节） 。 这里 l 称为轨道角动量量子数，m 称为磁量子数 对一个给定的 l ，相应的 m 可以取 (2l + 1) 个不同的值，对应于 (2l + 1) 个 不同的正交归一态。
(| m |≤ l )
(4.13)
相应的本征值为 α = l (l + 1) h 2 ， β = mh 。其中缔合 Legendre 多项式采用 Ferrer 定义，
Pl m ( x ) =
l +m 1 1 2 2 d ( − x ) ( x 2 − 1) l ， ( | m| ≤ l ) 1 l l +m dx 2 ⋅ l! m
v v V⎡ ⎣ r1 ( t ) , r2 ( t ) , t ⎤ ⎦
(4.8) (4.9)
其中 ε i j k 是 Levi-Civita 张量。也可以将(4.8)式写成紧凑的记号， 因为 L
2 L2 = −h 2 ∇ ( θ ,ψ )
⎞⎤ ⎟⎥ + V (r ) ⎟ ⎥ ⎠⎦
(4.6) (4.7)
这里， L2 为轨道角动量平方算符 由于它只对角变数作用，它和 H 是对易的，即
[H , L ] = 0
2
这说明， 在任何形式的中心场 V (r ) 中运动的粒子， 其轨道角动量平方 L2 都是一个守恒量。 由直接计算可得
(
)
15 Sinθ Cosθ e iϕ , 8π 15 Sinθ Cosθ e −iϕ , 8π
Y2− 2 (θ , ϕ ) =
15 Sin 2θ e −i 2ϕ 32π
（其物理解释见下节） 。 这里 l 称为轨道角动量量子数，m 称为磁量子数 对一个给定的 l ，相应的 m 可以取 (2l + 1) 个不同的值，对应于 (2l + 1) 个 不同的正交归一态。
(| m |≤ l )
(4.13)
相应的本征值为 α = l (l + 1) h 2 ， β = mh 。其中缔合 Legendre 多项式采用 Ferrer 定义，
Pl m ( x ) =
l +m 1 1 2 2 d ( − x ) ( x 2 − 1) l ， ( | m| ≤ l ) 1 l l +m dx 2 ⋅ l! m
v v V⎡ ⎣ r1 ( t ) , r2 ( t ) , t ⎤ ⎦
第四章 光的发射和吸收(二)
第四章 光的发射和吸收(二)试看单轴晶体的计算。
为表达的方便，用S (i,f )表示上述公式中的电偶极矩矩阵元的平方和，把沿某一方向偏振的电偶极跃迁的几率写成()()f ,i S c e .P p p εω32334sp.em k = (4.23)对于π和σ偏振的自发辐射跃迁，可以分别写出其跃迁几率()()f ,i S c e .P k π323π34sp.em εω =，()()f ,i S c e .P k σ32334sp.em εωσ = 按照全概率公式，总的自发辐射跃迁几率为()()()()()()().P .P .P p .P p .P sp.em32sp.em 31sp.em σsp.em πsp.em σπσπ+=+= (4.24)必须指出，应用这些公式到晶体介质的计算中，还要考虑进介质折射率的改正因子。
以后将看到，利用(4.24)式计算各向异性介质中激活离子能级寿命，就不至于发生过高估计跃迁几率的错误。
现在来讨论磁偶极跃迁和电四极跃迁、从单电子的情况出发并假定与电偶极跃迁相关的<ϕf e ⎪r ⎪ϕi e >=0，根据展开式(4.18)先分析自发发射过程（见(4.16)式）的矩阵元),可得()()ee e e if i i f i e ϕϕϕϕp e r k p e r k ⋅⋅-=⋅⋅-(4.25)为方便表示，式中e 为e α(k )。
为了同跃迁机理相联系，习惯上将(k ⋅r )(e ⋅p )分成两部分，即()()()()()()()()∑∑∑∑∑∑++⨯⋅-=++⋅⨯=++-===⋅⋅j,i ij jij i j,i ij jiji j ,i ij jij i j,i i j j i j i j,i jij i j,i jj i i p r pr e k p r pr e k p r pr e k p r p r e k pr e k p e r k 212121212121l k e l e k p e r k (4.26)式(4.26)中i ，j 表征上述各个矢量的三个分量，l =r ⨯p 是轨道角动量算符。
量子力学——第四章作业参考答案
=⎡ ⎣ p y , lz ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , pz ⎤ ⎦ = 2i px ，
同理 ( p × l + l × p ) y = 2i p y ， ( p × l + l × p ) z = 2i pz ，因此
14
p × l + l × p = 2i p 。
2 2 2 2 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦x = ⎡ ⎣l x , p x ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , px ⎤ ⎦+⎡ ⎣lz , px ⎤ ⎦
可见， ( p × l − l × p ) = p × l − l × p ， p × l − l × p 为厄米算符。
+
（4）算符 r × l
( r × l ) x = ylz − zl y ，
( r × l ) x = lz+ y + − l y+ z + = lz y − l y z = ( ylz − i x ) − ( zl y + i x ) = ( r × l ) x − 2i
[ A, BC ] = ABC − BCA = ( ABC + BAC ) − ( BAC + BCA)
= [ A, B ]+ C − B [ A, C ]+
3.8 证明：
( p × l + l × p ) x = p y lz − pz l y + l y p z − l z p y = ( p y lz − lz p y ) + ( l y pz − pz l y )
+
+ + + + +
+
+
+
同理 ( p × l + l × p ) y = 2i p y ， ( p × l + l × p ) z = 2i pz ，因此
14
p × l + l × p = 2i p 。
2 2 2 2 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦x = ⎡ ⎣l x , p x ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , px ⎤ ⎦+⎡ ⎣lz , px ⎤ ⎦
可见， ( p × l − l × p ) = p × l − l × p ， p × l − l × p 为厄米算符。
+
（4）算符 r × l
( r × l ) x = ylz − zl y ，
( r × l ) x = lz+ y + − l y+ z + = lz y − l y z = ( ylz − i x ) − ( zl y + i x ) = ( r × l ) x − 2i
[ A, BC ] = ABC − BCA = ( ABC + BAC ) − ( BAC + BCA)
= [ A, B ]+ C − B [ A, C ]+
3.8 证明：
( p × l + l × p ) x = p y lz − pz l y + l y p z − l z p y = ( p y lz − lz p y ) + ( l y pz − pz l y )
+
+ + + + +
+
+
+
量子力学第四章习题(1)
第四章态叠加原理及力学量的算符表示4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4)4-2 线性算符具有下列性质：，式中C是复数。
下列算符哪些是线性的？（1）（2）（3）（4）（5）（6）4-3 若都是厄米算符，但，试问：（1）是否厄米算符？（2）是否厄米算符？4-4 证明下列算符哪些是厄米算符：4-5 （1）证明（2）4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）（2）4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。
又问，算符的情况下，是什么样的算符？4-8 对于一维运动，求的本征函数和本征值。
进而求的本征值。
4-9 若算符有属于本征值为的本征函数，且有：和，证明和也是的本征函数，对应的本征值分别是和。
4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么？此本征函数的本征值是什么？4-11 如果为线性算符的一个本征值，那么为的一个本征值。
一般情况下，设为的多项式，则便为的一个本征值。
试证明之。
4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。
4-13 当势能改变一个常数C时，即时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能量本征值改变否？4-14 一维谐振子的势能，处于的状态中，其中，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？（2）它的动量有没有确定值？4-15 在时间时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：式中是振子的第n个时间无关本征函数。
（a）试求C3的数值。
（b）写出在t时的波函数。
（c）在时振子的能量平均值是什么？在秒时的呢？4-16 证明下列对易关系：，4-17 证明下列对易关系：。
量子力学——第四章作业参考答案
( p × l − l × p )x ，
2 ( p × l − l × p)y ， ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦ z = i ( p × l − l × p ) z ，因此
同理 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦y = i
i
2 ( p × l − l × p) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦。
3.10 证明： （a） pr =
可见， ( r × l − l × r ) = r × l − l × r ， r × l − l × r 为厄米算符。
+
3.3
证明：一维情况下，由 x 和 p 的对易关系 [ x, p ] = i ， 可得 从而
（6） （7）
xp = i + px ， px = xp − i
，
m −1 n m n +1 [ p, F ] = ∑ Cmn ( px m p n − x m p n+1 ) = ∑ Cmn ⎡ ⎣( xp − i ) x p − x p ⎤ ⎦ m,n =0 ∞ m,n =0
∂ F。 ∂x
（8）
=
m ,n =0
mn
= −i
m,n =0
∑C
mn
mx m −1 p n = −i
同理，可得 [ x, F ] = i 3.4 证明：
∂ F。 ∂p
（9）
[ AB, C ] = ABC − CAB = ( ABC + ACB ) − ( ACB + CAB )
= A [ B, C ]+ − [ A, C ]+ B
（b） pr =
1⎛r r ⎞ 1 ⎡r r ⎛ r ⎞⎤ ⎜ i p + p i ⎟ = ⎢ i p + i p − i ⎜ ∇i ⎟ ⎥ 2⎝ r r ⎠ 2 ⎣r r ⎝ r ⎠⎦
量子力学第四章-表象理论(3部分)
∑a
n
n
*(t )an (t ) + ∫ aq *(t )aq (t )dq = 1
|aq(t)|2dq 是在 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。 之间的几率。 之间的几率
在这样的表象中， 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示： 表示：
a1(t) a 2(t) M Ψ = a n (t) M aq (t)
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 本征函数展开：
Ψ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
n
证：
1 = ∫ Ψ * ( x, t )Ψ( x.t )dx
=
an (t ) = ∫ un * ( x)Ψ( x.t )dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ... ...,
∫
ψ p * ( x )ψ p ′ ( x ) e
− iE p′ t / h
dx
所以，在动量表象中， 所以，在动量表象中， 具有确定动量p 的粒 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 函数。 p为变量的δ- 函数。 换言之， 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 函数。 个δ函数。
=e
− iE p′ t / h
假设只有分立本征值将q表象的表达方式代入一力学量算符的矩阵表示22211211nm是其矩阵元写成矩阵形式q表象的表达方式11101011计算中使用了公式由此得l在自身表象中具有最简单形式是一个对角矩阵对角元素就是1力学量算符用厄密矩阵表示dx所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵
第四章 态和力学量表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 Dirac 符号 §5 Hellmann – Feynman 定理及应用 §6 占有数表象 §7 么正变换矩阵
曾谨言量子力学习题解答 第四章
ˆ nx ˆm x ˆm p ˆn p 是厄密算符。 2
ˆ nx ˆm x ˆm p ˆn p 也是。 2
因此 Anm
mn
ˆB ˆ 0 ˆ 作为厄密算符 0 ˆ 的定义，并设 ( A ˆ ) 又假定用 0 ˆ ) 则本题可用较简方式来证明如下： ˆ A ( B
从原来的对易式经过总数 n-1 次运算后，得
取 A=q，B=p，注意[q，p]=hi 代入前一式后，有
(6)证明
是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式： 前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证 （证明）此算符 证明动量是厄密算符，则 F( )
ni ni
在前式的最后一项中，当 I=x 时，可利用莱勃尼兹公式：
Pxn ( X) (
h n h n 1 h n n Px ) ( X) ( )n ( X n n n 1 ) XPxn i Px i x i x x
n n n
当 i y , z : Py ( X ) XPy ; Pz ( X ) XPz
[ p, fp 2 ] pfp 2 fp 2 ( pf fp ) p 2
h i 2 f p i
(2)证明以下诸式成立： (1) (证明)根据坐标分角动量对易式
~81~
为了求证
该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的 x 分量。
以及
看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。
(2) （证明）证法与（1）类似，但需先证 分量与 分量的对易律
同理可证明其他轮换式，由此得普通式
量子力学第四章三维空间中的量子力学-USTC
BΨq
`
r2
1 sin2
ȷ B2 Ψ
5 / 126
注意到在球坐标系里，
~Lˆ2
“
´ℏ2
„1
sin
Bpsin
Bq
`
1 sin2
ȷ B2
上式等价地写为：
~ˆp2
“
´
ℏ2 r2
Brpr2Brq
`
~Lˆ2
r2
“
ˆ ´ℏ2 Br2
`
2˙ r Br `
~Lˆ2
r2
“
´
ℏ2 r
Br2r
`
~Lˆ2
r2
因此，中心力场中粒子的能量本征值方程可表为：
« ´ℏ22rFra bibliotekBr2r
`
~Lˆ2 2r2
`
ff Vprq
Epr; ; q “ E
Epr; ; q
方程左端第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项可 称为径向动能算符.
6 / 126
在中心力场情形下既然可以将能量本征函数取为 tHˆ ; ~Lˆ2; Lˆ3u 的
4 / 126
考虑到中心力场中 ~Lˆ2 也是守恒量，而且与 ~Lˆ 的各个分量算符都
对易，因此体系的力学量完全集合可以选取为
!Hˆ ;
~Lˆ2;
) Lˆ3
即能量本征态同时也取为 ~Lˆ2 与 Lˆ3 的共同本征函数.
为了实现这一设想，现将中心力场情形下粒子的哈密顿算符用球 坐标表出。注意到对任一波函数 Ψ，我们有：
„1 r
d2 dr2
r
`
2
ℏ2
pE
´
Vprqq
苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter4
第四章 矩阵力学基础（2）——表象理论 典型例题分析 4.1 质量为 m 的粒子在势场 V(x)中作一维运动，试建立动量表象中的能量本征方程。 解题思路：Schrodinger 方程式位置表象中描写波函数的方程，因此可以将它的解展开为一 系列动量表象本征函数的组合，其系数便是动量表象中的波函数。 解： 采用 Dirac 符号，能量本征方程在位置表象中的方程，即 Schrodinger 方程，
（4.40）
K dp 1 = [ p,V (r )] dt i=
（4.41）
在座标表象中， p = −i=∇ ，于是，
K
K K dp = −∇V = F dt
（4.42）
当 λ = 1 时，
（4.19）
B12 −λ
= 0 ⇒ λ = ±1
（4.20）
b1 = e− iα b2 , b2 = eiα b1
再结合归一化条件： (b1
*
（4.21）
b * ⎛ 1⎞ b2 )⎜ ⎟ =1 ⎝ b2 ⎠
b1 =
为方便讨论，取 γ = α = 0
1 iγ 1 i (γ +α ) e , b2 = e 2 2
由对易关系， px y − ypx = −i=δ xy ，可以得
K K K K [r , p 2 ] = [ x, px 2 ]i + [ y, p y 2 ] j + [ z , pz 2 ]k
易知， [ x, px ] = 2i=px ，所以，
2
（4.39）
K K dr p = 。 dt m
同理可得，
左乘 p ，得
∫
由
p (T + V ) p ' ϕ ( p ')dp ' = E ∫ p p ' ϕ ( p ')dp ' p '2 p2 p p' = δ ( p − p ') 2m 2m
（4.40）
K dp 1 = [ p,V (r )] dt i=
（4.41）
在座标表象中， p = −i=∇ ，于是，
K
K K dp = −∇V = F dt
（4.42）
当 λ = 1 时，
（4.19）
B12 −λ
= 0 ⇒ λ = ±1
（4.20）
b1 = e− iα b2 , b2 = eiα b1
再结合归一化条件： (b1
*
（4.21）
b * ⎛ 1⎞ b2 )⎜ ⎟ =1 ⎝ b2 ⎠
b1 =
为方便讨论，取 γ = α = 0
1 iγ 1 i (γ +α ) e , b2 = e 2 2
由对易关系， px y − ypx = −i=δ xy ，可以得
K K K K [r , p 2 ] = [ x, px 2 ]i + [ y, p y 2 ] j + [ z , pz 2 ]k
易知， [ x, px ] = 2i=px ，所以，
2
（4.39）
K K dr p = 。 dt m
同理可得，
左乘 p ，得
∫
由
p (T + V ) p ' ϕ ( p ')dp ' = E ∫ p p ' ϕ ( p ')dp ' p '2 p2 p p' = δ ( p − p ') 2m 2m
量子力学导论第4章答案参考资料
第四章力学量用算符表达与表象变换1 14.1 ）设A 与B 为厄米算符，则—AB BA 和 AB 一 BA 也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符2 2i分解为F =F . • iFF 与F_均为厄米算符，且证：i)1AB BA1 -AB BA 为厄米算符。
1 1 1二—B A - A B 二 丄 BA - AB 二丄 AB - BA -2i 2i 2i二1（AB - BA ）也为厄米算符。
iii ）令 F 二 AB ，则 F 二 AB = B A ；= BA ,由i ） ,ii ）得F . = F , F_ = F_，即卩F 和F_皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得F iF4.2）设F （x, p ）是x, p 的整函数，证明整函数是指F(X, p)可以展开成F(X,p) = v C mn X m p n 。
m,n =0证： (1)先证 p,x m L -mi x m 4, X, p n]二 ni pn/。
p,xm ] =x m4 lp,x 「p, x m4 xi x m4 x m ^ ip,xk p,x m Q x 2 --2i x m4 x m ： b, x 殳2 b,x m ； x 3=-3i x m4 ■ 'p,x m ^x 3 二… =-m -1i 乂心■ b,x m —z x m _ --m -1 i x m4 -i x m J 二 mi x m4同理，F 均可1 ^2i F -F1F =2 F F ,1 11 B A A B BA AB AB BAii)扌 AB 一 BA 且定义F T F「F(1)'p,F:xX, p n .1 - p n二X, p Z- X, p n J Ip=i*p n' + p n~ IX, p】p + X, p n~ 】p2= 2i%n」+ k, p n，】p 2=n卷p n」现在，Ip,F ]= |P, hC mn X”=送C mn b,X m Ip"Q QC mn -mi x mJ p nm,n兰:F 7而-i ——C mn -mi x mJ p n。
量子力学课件4章-三维空间中的量子力学
由此决定了函数 v 。 v cj j. j0
至此，得到波函数的径向部分为：
ur rRr,
u l1ev ,
v cj j. j0
问题：径向部分是否满足波函数的“单值性、连续性和有限性”要求？
二
（1）单值； 条
（2）连续。
件 满
足
（3）有限性条件
1. ρ→ 0 时， R(r) 有限。
sin
d d
l(l
1) sin
2
1
d2 d 2
0.
得到两个方程：
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1) sin
2
m2;
1
d 2 d 2
m2.
d 2 m2 () eim . d 2
当 变化 2 时，回到空间同一点，要求 ( 2 ) ().
exp[im( 2 )] exp(im)
第四章
三维空间中的量子力学
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4
球坐标系中的薛定谔方程 氢原子 角动量 自旋
§4.1 球坐标系中的薛定谔方程
三维空间中，薛定谔方程 i H ; t
哈密顿算符
：
1 2
mv 2
V
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
V
px
i
, x
py
i
, y
pz
i
, z
p . i
i
R r 2 sin
sin
Y
R r 2 sin 2
2Y 2
两边同除以 RY 和乘以 2mr2 / 2
《凝聚态物理》第四章_能带理论-II
第四章 能带论－2
一、模型的描述：波包
按量子力学，电子用波来描述。经典粒子性要求确定的 轨道、动量。如何把电子的粒子性与波动性联系和统一 起来呢？
量子——经典类比，用到“波包”的概念
▪ 波包：是分布在空间有限区域的波列，频率也有
一定的分布范围。 粒子空间分布在 r 附近 △r 范围内，动量取值
NC
C
gC
e d C KBT
PV
g V
V
e d V KBT
C
V
T的缓 变函数
E
CB
VB
f (E)
第四章 能带论－2
4、半导体的统计理论
本征半导体：
nC pv
c
v
2
1 2
kBT
ln
Pv Pc
E
CB
C
V
VB
f (E)
4-2 恒定电场、磁场作用下
电子的运动
九、恒定磁场 作用下电子的 准经典运动
例：自由电子，B=(0,0,B)
kz
B
运动轨道为圆－回旋运动
回旋周期：
T d k d k d t
2 k 2 m
kx
evB eB
回旋频率：
c
eB m
k
ky
等能面
等于实空间的 回旋频率
第四章 能带论－2
二、自由电子回旋运动（实空间）
m dv dt ev B
vvxy
eB mvy eB mvx
能带电子？由于晶格的散射，电子不可能被无 限制加速
第四章 能带论－2
二、k－空间运动
▪ 电子的运动保持在同一个能带内，能量周期性 变化，在 K－空间周期性运动。
量子力学第 4 章
Fmn
δmn
∑
n
Fmn an = bm
(m = 1,2 ⋅⋅⋅)
此联立方程组可写成矩阵方程的形式，
⎛ F11 F12 ····⎞ ⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ = ⎜b ⎟ F F ···· 2 ⎜ 21 22 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ···············⎟ ⎜ · ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ ⎝· ·⎠ ⎝· ⎠
r ˆ r 在p ˆ 表象中，波函数的自变量是 p 。
2 ↔ | c ( p , t ) | 是 r 的取值概率 是 p 的取值概率。
思考：动量表象的波函数与动量本征函数是一回事吗？ (从物理意义和所满足的方程来看它们的区别) 9
在一般情况下 在 Ô 表象中波函数的自变量是 Ô 的取值 λn (or λ)，
2. 力学量的本征函数在自身表象中的表示 力学量 Ô 的本征函数ϕ 在 Ô 表象的表达形式是什么 样的？ * Ô 本征值分立 cn = ∫ ϕn ϕm dτ = δ mn ,
or
* cλ = ∫ ϕλ ϕλ′ dτ = δ (λ − λ ′),
Ô 本征值连续
当 Ô 表象是分立表象时就有
⎛1 ⎞ ⎜0 ⎟ cϕ1 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · ⎝· ·⎠ ⎛0⎞ ⎜1 ⎟ cϕ2 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · · ⎝ ·⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ n · ϕn ⎜ ···· c = · ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝· ·⎠
()
()
电子任意的自旋状态，可以表为这两种基本的自旋 状态的线性迭加(本征函数具有完备性),即
0 = a . χ =a 1 + b b 0 1
() () ()
ˆz 表象中，自旋波函数的一般形式。 这就是在 s
高等量子力学 第四章 表象理论
K表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用 表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组 ， 表象 它们的共同本征矢量作为基矢： 它们的共同本征矢量作为基矢：
K i = ki i
完备性关系： 完备性关系：
∑i
i
i =1
一、矢量的矩阵表示
ψ = ∑ i i ψ = ∑ i ψi,
i i
容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示， 容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，但不 的数值。 改变二矢量内积 ψ ϕ 以及 ψ A ϕ 的数值。
§4-3 若干矩阵运算
1、矩阵的迹 ： trA = 、
∑A
i
ii
(4.20) (4.21)
迹的重要性质是 tr ( AB ) = tr ( BA) 2、矩阵的行列式 、 det A = ∑ ε abc⋯n Aa1 Ab 2 AC 3 ⋯ AnN
bb' nn' a' 1 b' 2
∑ ( ∑ε A A ⋯ A )B = ∑ (ε det A)B B ⋯B = ε ∑∑ ε ′ ′ ′ ′ B ′ ⋯ ′ ⋯ B ′ = det A B
a'b'c'⋯n' abc⋯n aa' a'b'c'⋯n' a'b'c'⋯n' a' 1 b' 2 n' N
B ⋯Bn' N
det( AB) = det A ⋅ det B
证明： 证明： det（AB） =
∑ε
abc⋯n
abc⋯n ⋯
abc⋯n
( AB) a1 ( AB) b 2 ⋯ ( AB) nN
量子力学(第四章)
5
③同一个态可以在不同的表象中表示，表象不 同一个态可以在不同的表象中表示， 波函数的形式也不同，但它们完全等价。 同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。 坐标表象：ψ ( x, t ) 坐标表象： 动量表象： Φ ( p, t ) 动量表象：
RETURN
6
§ 4.2
算符的矩阵表示
一、算符在一般表象中的表示 二、算符在自身表象中的表示 三．算符表示矩阵的性质
H mn ˆ ψ dx = E ψ *ψ dx = (n + 1 )hω δ = ∫ψ m H n n∫ m n mn 2
*
1 2 0 ( H mn ) = 0 M
0 3 2 0 M
0 0 L 0 0 L hω 5 0 L 2 M M M
∫u
* m
un dτ = δ mn
3
可知量） 任何一个态ψ （可知量）可按该基矢展开
ψ = ∑ anun
* 展开系数 an (t ) = ∫ψ un dτ 上的投影, 其中 a n 是矢量ψ 在基 un 上的投影,这一 组数 (a1, a2 ,L, an ,L)就是矢量 ψ 在Q表象中的表 示,记为一矩阵形式
† Fmn = Fnm* = Fmn
F† = F
结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。 结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
12
[例题] 求一维谐振子的坐标 ，动量 及哈密顿 例题] 求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿 在能量表象中的矩阵表示。 量H在能量表象中的矩阵表示。 在能量表象中的矩阵表示 [解 ] 利用厄米多项式的递推关系 xmn = ∫ψ m* xψ n dx
n
a1 (t ) a 2 (t ) ψ = M a n (t ) M
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本 章 目 录
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
4.1 态的表象
7
The representation of the states
4.2 算符的矩阵表示
24
Matrix representation of operators
0
2
0
0
0
a2
(t
)
F (a1*(t),
, an*(t)
)0
0
0 0
0
0
n
0
0
an
(t
)
0 0 0 0
F n an (t) 2
n
7
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续4）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
求出本征值
0
i
(i 1, 2, )
出将a每i1(个t), ai i值2(分t),别代,入即矩得阵本方征程函（数1）或（2），求
a i1
ui
a
i2
(i 1, 2,
)
这样变解微分方程 为解代数方程。
10
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续7）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
在 Fˆ 自身表象中：Fˆun(x) nun(x)
Fmn um* (x)Fˆun(x)dx um* (x)nun (x)dx nm n
1 0 0 0 0 a1(t)
3. 本征方程
Fˆ (x, i ) (x, t) (x, t)
x
在Q表象中，其矩阵形式为：
F11 F12
F1m
F21
F22
F2m
Fn1 Fn2 Fn n
a1(t) a1(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
a2
(t
)
a2
(t
)
（1）
am (t) an (t)
F （续7）
m1
行矩阵
方矩阵
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F1n a1(t)
F1n
a
2
(t)
Fmn a n (t)
列矩阵
F †F
6
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续3）
m
am (t)
um (x)Fˆunn(x)dx an(t)
nm
am (t)Fmnan (t)
nm
其中 Fmn um (x)Fˆun (x)dx 为算符 Fˆ 的矩阵元 5
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续2）
用矩阵表示为
F a*1(t),
, a*m (t)
F11 F12
F21
F12
4.3 量子力学公式的矩阵表示 32
Matrix representation of formula for quantum mechanics
4.4 幺正变换
48
Unitary transformation
4.5 狄拉克符号
58
Dirac symbols
4.6 线性谐振子与占有数表象 68
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter.4 态和力学量的表象
The representation for the states and dynamical variables
1
引言（续 2）
(x, t) an (t)un (x)
n
(, ) *(x, t) (x, t)dx
(, ) bn*(t)an (t)
n
(x, t) bn (t)un (x)
n
a1
t
矩阵 (, ) (b1*(t)
表示
bn* (t )
)
a
n
t
†
3
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
归一化条件：
*(x, t) (x, t)dx 1
a 1 t
a 1t a n t a n t 1
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
an (t) 2 1
n1
† 1
4
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
移项得：
8
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续5）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F11 F1 2 F2 1 F2 2
Fn 1
Fn 2
F1 m F2 m
Fn n
a 1(t) a 2(t)
Linear oscillator and occupation number
representation
2
4.3 量子力学公式的矩阵表示
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
1．内积与归一化条件 内积：
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
2. 期望值（平均值）公式
任意态 x,t an tun x
n1
F *(x, t)Fˆ (x, i
) (x, t)dx
x
am* (t)um* (x)Fˆ an (t)un(x)dx
例： 在 Lˆ2和 Lˆz 的共同表象中，l=1的子空间：
Lˆ2和 Lˆz 的共同本征函数系 Y11,Y10 ,Y11 ，构成
0
a
m
(t)
（2）
此式即为线性齐次方程组：
(Fmn mn ) an (t) 0 （m = 1，2，3……） n
非零解的条件是系数行列式等于0，即久期方程：
9
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续6）
F11 F12
F1 n
F2 1 F2 2
F2 n
Fn 1 Fn 2
Fn n
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
4.1 态的表象
7
The representation of the states
4.2 算符的矩阵表示
24
Matrix representation of operators
0
2
0
0
0
a2
(t
)
F (a1*(t),
, an*(t)
)0
0
0 0
0
0
n
0
0
an
(t
)
0 0 0 0
F n an (t) 2
n
7
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续4）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
求出本征值
0
i
(i 1, 2, )
出将a每i1(个t), ai i值2(分t),别代,入即矩得阵本方征程函（数1）或（2），求
a i1
ui
a
i2
(i 1, 2,
)
这样变解微分方程 为解代数方程。
10
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续7）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
在 Fˆ 自身表象中：Fˆun(x) nun(x)
Fmn um* (x)Fˆun(x)dx um* (x)nun (x)dx nm n
1 0 0 0 0 a1(t)
3. 本征方程
Fˆ (x, i ) (x, t) (x, t)
x
在Q表象中，其矩阵形式为：
F11 F12
F1m
F21
F22
F2m
Fn1 Fn2 Fn n
a1(t) a1(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
a2
(t
)
a2
(t
)
（1）
am (t) an (t)
F （续7）
m1
行矩阵
方矩阵
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F1n a1(t)
F1n
a
2
(t)
Fmn a n (t)
列矩阵
F †F
6
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续3）
m
am (t)
um (x)Fˆunn(x)dx an(t)
nm
am (t)Fmnan (t)
nm
其中 Fmn um (x)Fˆun (x)dx 为算符 Fˆ 的矩阵元 5
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续2）
用矩阵表示为
F a*1(t),
, a*m (t)
F11 F12
F21
F12
4.3 量子力学公式的矩阵表示 32
Matrix representation of formula for quantum mechanics
4.4 幺正变换
48
Unitary transformation
4.5 狄拉克符号
58
Dirac symbols
4.6 线性谐振子与占有数表象 68
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter.4 态和力学量的表象
The representation for the states and dynamical variables
1
引言（续 2）
(x, t) an (t)un (x)
n
(, ) *(x, t) (x, t)dx
(, ) bn*(t)an (t)
n
(x, t) bn (t)un (x)
n
a1
t
矩阵 (, ) (b1*(t)
表示
bn* (t )
)
a
n
t
†
3
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
归一化条件：
*(x, t) (x, t)dx 1
a 1 t
a 1t a n t a n t 1
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
an (t) 2 1
n1
† 1
4
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
移项得：
8
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续5）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F11 F1 2 F2 1 F2 2
Fn 1
Fn 2
F1 m F2 m
Fn n
a 1(t) a 2(t)
Linear oscillator and occupation number
representation
2
4.3 量子力学公式的矩阵表示
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
1．内积与归一化条件 内积：
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
2. 期望值（平均值）公式
任意态 x,t an tun x
n1
F *(x, t)Fˆ (x, i
) (x, t)dx
x
am* (t)um* (x)Fˆ an (t)un(x)dx
例： 在 Lˆ2和 Lˆz 的共同表象中，l=1的子空间：
Lˆ2和 Lˆz 的共同本征函数系 Y11,Y10 ,Y11 ，构成
0
a
m
(t)
（2）
此式即为线性齐次方程组：
(Fmn mn ) an (t) 0 （m = 1，2，3……） n
非零解的条件是系数行列式等于0，即久期方程：
9
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续6）
F11 F12
F1 n
F2 1 F2 2
F2 n
Fn 1 Fn 2
Fn n
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable