量子力学——第四章作业参考答案

4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。

解：(1)对于x L 333()31()()()21()()21()()()21()()()2x pp z y z y z y y z y y iip rp ri i p rp r i i p r p r i p p r L ey p z p ed e yp zp e d e i p p e d p pz i p p e d p pz τπτπτππ'-'-'-'--'=-=-∂∂=--∂∂∂∂=--∂∂⎰⎰⎰⎰()()()zy y i p p p p p pzτδ∂∂'=---∂∂（2）对于2x L23232331()()21()()21()()()21)()()()2pp x x z y z y z y z y z y y i ip rp ri i p r p r i i p rp r i i p r p L e L e d e y p z p e d e y p z p y p z p e d e y p z p i p p e p pzτπτπτππ'-'-'-'-'==-=--∂∂=---∂∂⎰⎰⎰⎰3()223221()())()21()()2()()z y z y y z y y zy y r i ip rp r i p p rd i p pe y p z p e d p pz p p e d p pz p p p p p pzττπτπδ-'--'∂∂=---∂∂∂∂=--∂∂∂∂'=---∂∂⎰⎰4.2设厄米算符ˆA ，B 满足22ˆˆ1A B ==，ˆˆˆˆ0AB BA +=，求：（1）在ˆA 表象中，算符ˆA 和ˆB的矩阵表示； （2）在ˆB表象中，算符ˆA 和ˆB 的矩阵表示； （3）在ˆA 表象中，算符ˆB的本征值和本征函数；（4）在ˆB表象中，算符ˆA 的本征值和本征函数； （5）由A 表象到B 的幺正变换矩阵S 。

量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第四章 态和力学量的表象4.1 求在动量表象角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。

解: 动量为p 的本征函数为()3212ieψπ⋅==p r p p在连续情况下，按矩阵元的定义，x L 的矩阵元为()()()()()()()*333331ˆˆˆ2112222i ix x zy pp iiii i ii i yz yzL L d e ypzpe d e y e d ez e d i z i y p p e e d ee d i p i p ψψττπττππττππ∞∞'-⋅⋅''-∞-∞∞∞''-⋅⋅-⋅⋅-∞-∞∞''-⋅⋅-⋅⋅-∞-∞==-⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭''∂∂=-''∂∂⎰⎰⎰⎰⎰p r p r p pp r p rp r p r p r p r p r p r ()()()()()()()331122iiz yyzz y yz z y z y y z y z p ed p ed i p i p p p i p p i p p i p p p p p p ττππδδδ∞∞∞''-⋅-⋅-∞-∞∂∂''=-''∂∂⎛⎫∂∂'''=-- ⎪ ⎪''∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰p p r p p r p p p p p p2x L 的矩阵元:()()()()()()22*23*3*31ˆˆˆ21ˆˆ212p r p r p pp r p r p r p ri ixx zy pp i i z y zy yz i i z yz y y z yzL L d e ypzpe d p p e ypzpe d i p p i p p p p e e d p p i p p ψψττπτππ∞∞'-⋅⋅''-∞-∞∞'⋅⋅-∞'⋅⋅==-⎡⎤⎛⎫∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰()()()32212r p p p p iz yz y y z y z z yy z i p p i p p ed p p p p p p p p ττπδ∞-∞∞'⋅--∞⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂'=--- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰4.2 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。

第一章测试1.导致“紫外灾难”的是（）A:维恩公式B:巴尔末公式C:瑞利-金斯公式D:普朗克公式答案:C2.量子力学的研究对象是微观物体。

（）A:错B:对答案:B3.光电效应实验中，光电子的最大动能与（）有关。

A:其余选项都不对。

B:入射光的光强C:入射光的频率D:入射光照射的时间答案:C4.玻尔在（）岁时获得诺贝尔物理学奖。

A:50B:37C:45D:26答案:B5.氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长为0.37nm。

（）A:对B:错答案:A第二章测试1.量子力学的态叠加原理是指（）A:波函数描述的相位的叠加;B:波函数的线性叠加;C:两列波振幅的叠加;D:两列波振动位移的叠加.答案:B2.对于一维束缚定态，如果势能具有空间反演不变性，则所有能量本征态都有确定的宇称。

（）A:错B:对答案:B3.下列哪种论述不是定态的特点（）。

A:任何不含时力学量的平均值都不随时间变化B:几率流密度矢量不随时间变化C:任何力学量的取值都不随时间变化D:几率密度不随时间变化答案:C4.质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，，基态的能量为。

（）A:对B:错答案:A5.波函数满足的标准化条件为单值、有限、连续。

（）A:对B:错答案:A第三章测试1.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为（）。

A:6B:12C:3D:9答案:D2.以下关于厄米算符本征问题说法正确的是（）A:厄米算符的本征值不一定为实数;B:厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交;C:厄米算符的本征值必为实数;D:厄米算符的本征函数系是完备的答案:BCD3.量子力学中可观测量对应的算符都是厄米算符。

（）A:错B:对答案:B4.力学量算符的正交归一本征函数完备系为，本征方程为，若体系的波函数为，则在态中测量力学量F结果为的几率为（）。

A:1B:9/4C:1/4D:9/10答案:D5.若在某一力场中力学量F守恒，则力学量F一定取确定值。

第四章态叠加原理及力学量的算符表示4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4)4-2 线性算符具有下列性质：，式中C是复数。

下列算符哪些是线性的？（1）（2）（3）（4）（5）（6）4-3 若都是厄米算符，但，试问：（1）是否厄米算符？（2）是否厄米算符？4-4 证明下列算符哪些是厄米算符：4-5 （1）证明（2）4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）（2）4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。

又问，算符的情况下，是什么样的算符？4-8 对于一维运动，求的本征函数和本征值。

进而求的本征值。

4-9 若算符有属于本征值为的本征函数，且有：和，证明和也是的本征函数，对应的本征值分别是和。

4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么？此本征函数的本征值是什么？4-11 如果为线性算符的一个本征值，那么为的一个本征值。

一般情况下，设为的多项式，则便为的一个本征值。

试证明之。

4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。

4-13 当势能改变一个常数C时，即时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能量本征值改变否？4-14 一维谐振子的势能，处于的状态中，其中，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？（2）它的动量有没有确定值？4-15 在时间时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：式中是振子的第n个时间无关本征函数。

（a）试求C3的数值。

（b）写出在t时的波函数。

（c）在时振子的能量平均值是什么？在秒时的呢？4-16 证明下列对易关系：，4-17 证明下列对易关系：。

量子力学练习参考解答第一章 波函数与薛定谔方程1.1，1.2，1.3题解答略。

1.4（a ）设一维自由粒子的初态为一个Gauss 波包，222412)(1)0,(απαψxx p i e e x -=证明：初始时刻，0=x ，0p p =[]2)(12α=-=∆x x x[]α2)(12=-=∆p p p2 =∆⋅∆p x证：初始时刻012222===-+∞∞-+∞∞-⎰⎰dx exdx x x x απαψ2122222222απαψα===-∞+∞-∞+∞-⎰⎰dx exdx x x x()22122α=-=∆xx x)0,(x ψ的逆变换为⎰+∞∞--=dx ex p ipx/)0,(21)(ψπϕ＝⎰+∞∞---dx eeeipx x x p i/2412220)(121απαπ＝2220()22214(/)p p eααπ--22202()()p p p eααϕπ--=因此02)(p dp p p p ==⎰+∞∞-ϕ2222222)(0αϕ +==⎰∞+∞-p dp p p p()α22122 =-=∆p p p2 =∆⋅∆p x注：也可由以下式子计算p 和2p ：2222(,0)()(,0)(,0)()(,0)dp x ix dx dxd p x x dxdx ψψψψ+∞*-∞+∞*-∞=-=-⎰⎰1.5 设一维自由粒子的初态为)0,(x ψ，证明在足够长时刻后，()[]⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=t mx t imx i t m t x ϕπψ2exp 4exp ,2式中()()⎰+∞∞--=dx e x k ikx0,21ψπϕ是)0,(x ψ的Fourier 变换。

提示：利用()x e e x i i δπααπα=-∞→24/lim。

证：依照平面波的时刻转变规律 ()t kx i ikxe e ω-→ ， m k E 22==ω，任意时刻的波函数为()()()dk e k t x mtkkx i 2/221, -+∞∞-⎰=ϕπψ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎰∞+∞-22/2ex p 212t mx k m t i k dk etimx ϕπ（1） 那时刻足够长后（所谓∞→t ），上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取m t 2 =α ， （2）参照此题的解题提示，即得()()⎰+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≈k d t mx k k e t m et x i timx δϕππψπ4/2221,2⎪⎭⎫⎝⎛=-t mx e e t m t imx i ϕπ2/4/2 （3） 1.6 依照粒子密度散布ρ和粒子流密度散布j的表示式， ()()()t r t r t r ,,,*ψψρ=()()()()()[]t r t r t r t r mi t r j ,,,,2,**ψψψψ∇-∇-=概念粒子的速度散布v()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-∇-==t r t r t r t r m i j v ,,,,2**ψψψψρ 证明：0=⨯∇v 。

量子力学作业四1. 带电粒子在均匀磁场中（沿z 轴方向）中运动时，哈密顿算符可以近似表示成H = p 2/2m - ωL z , ω = qB /(2mc ), q 为粒子的电荷，B 为场强。

已知t = 0时，0 ,0===z y x p p p p ，试求t > 0时)(),( ),(t p t p t p z y x 。

又，本题有哪些重要的守恒力学量？（提示：利用力学量变化率算符]ˆ,ˆ[1ˆH A i dt A d=及其定义式：)(),(ˆ),(*t A dtd d t r dt A d t r dt dA =≡⎰τψψ ，可化成经典谐振子方程，再利于初值条件，即可求解。

若0)(=t A dtd , 则力学量A 称为守恒量。

） 2. 设力学量K 的算符可以表示成两个不对易算符L 和M 之积，K=LM ，而L ，M 的对易式为[L ，M]=1。

K 的本征函数、本征值记为ψn ，λn （n=1,2,⋯）。

试证明：函数L ψn ，M ψn 如存在，则它们也是K 的本征函数，本征值分别为（λn -1），（λn +1）。

（提示：若函数L ψn ，M ψn 存在，即要证明)ˆ)(1()ˆ(ˆnn nL L K ψλψ-=和)ˆ)(1()ˆ(ˆn n n M M K ψλψ+=。

） 3. 证明：对于)(22r p V mH +=的情形，在任何束缚定态下，p 各分量的平均值为0。

（提示：n n nE H ψψ=，x V i V p H p x x ∂∂-== )](,[],[r ，利用这两式，从⎰⎰==τψψτψψd H p E d p p n x n n n x n x )()(1)()(**r r r r 中，可推导出0)()()(*=∂∂=∂∂⎰τψψd xV x V n n r r r 。

再利用]ˆ,ˆ[1ˆH p i dt p d x x =，可求得0)(=t p dt d x 。

因此C p x =，其中C 为常数，必须取0。

•第一章 绪论 •第二章 波函数和薛定谔方程 •第三章 力学量的算符表示 •第四章 态和力学量的表象 •第五章 微扰理论 •第六章 弹性散射 • 第七章 自旋和全同粒子1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。

证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 11833-=， 及λνc =、λλνd c d 2-=得 1185-=kT hc e hc λλλπρ， 令kThc x λ=，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 15-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 第一章绪论 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。

解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。

解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E μωμ+=可以化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμE b E a ==，相空间面积为 ,2,1,0,2=====⎰n nh E E ab pdq νωππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为 ()ϕω+=t A q sin 速度为 ()ϕωω+='t A q cos ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 220220222μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=n νμωnh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。

第4章三维空间中的量子力学本章主要内容概要1.球对称势场中能量本征函数的求解方法： 能量本征方程为22(),2V r E mψψψ-∇+=其中球坐标系中的拉普拉斯算符为2222222211111sin .sin sin r r r r r r θθθθθθφ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()(,,)()(,)(,)u r r R r Y Y rψθφθφθφ==分离变量，能量本征方程分解为角方程和径向方程和222111sin (1).sin sin YY l l Y θθθθθφ⎧⎫∂∂∂⎛⎫+=-+⎨⎬⎪∂∂∂⎝⎭⎩⎭()222221.22l l d u V u Eu m dr m r +⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦角方程的解是球谐函数(,)ml Y θφ，径向方程在指定势函数后可由级数法等求解。

2. 空间角动量空间角动量算符ˆ(/)()i =⨯=⨯∇L r pr 2222211sin ,sin sin L θθθθθφ⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦.z L i φ∂=∂ 对易关系[, ]; [, ]; [, ]x y z y z xz x yL L i L L L i L L L i i===⇒⨯=L L L ()2,0, ,,i L L i x y z ⎡⎤==⎣⎦2L 与L 的三个直角分量都对易，球谐函数(,)m l Y θφ为2,z L L 的共同本征函数。

22ˆˆ(,)(1)(,), (,)(,)m m m m l l z l lL Y l l Y L Y m Y θφθφθφθφ=+= 以1l =的三个基矢量11111,,,Y Y Y -构成的（子）表象是常用表象，在这个表象中，,,x y z L L L 的矩阵表示是010*******L 101, L 0, L 0002201000001x y z i i i i -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中z L 是在自身表象中，为对角矩阵，对角元是本征值。

第四章力学量用算符表达与表象变换1 14.1 ）设A 与B 为厄米算符，则—AB BA 和 AB 一 BA 也是厄米算符。

由此证明，任何一个算符2 2i分解为F =F . • iFF 与F_均为厄米算符，且证：i)1AB BA1 -AB BA 为厄米算符。

1 1 1二—B A - A B 二 丄 BA - AB 二丄 AB - BA -2i 2i 2i二1（AB - BA ）也为厄米算符。

iii ）令 F 二 AB ，则 F 二 AB = B A ；= BA ,由i ） ,ii ）得F . = F , F_ = F_，即卩F 和F_皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得F iF4.2）设F （x, p ）是x, p 的整函数，证明整函数是指F(X, p)可以展开成F(X,p) = v C mn X m p n 。

m,n =0证： (1)先证 p,x m L -mi x m 4, X, p n]二 ni pn/。

p,xm ] =x m4 lp,x 「p, x m4 xi x m4 x m ^ ip,xk p,x m Q x 2 --2i x m4 x m ： b, x 殳2 b,x m ； x 3=-3i x m4 ■ 'p,x m ^x 3 二… =-m -1i 乂心■ b,x m —z x m _ --m -1 i x m4 -i x m J 二 mi x m4同理，F 均可1 ^2i F -F1F =2 F F ,1 11 B A A B BA AB AB BAii)扌 AB 一 BA 且定义F T F「F(1)'p,F:xX, p n .1 - p n二X, p Z- X, p n J Ip=i*p n' + p n~ IX, p】p + X, p n~ 】p2= 2i%n」+ k, p n，】p 2=n卷p n」现在，Ip,F ]= |P, hC mn X”=送C mn b,X m Ip"Q QC mn -mi x mJ p nm,n兰:F 7而-i ——C mn -mi x mJ p n。

第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则()BA AB +21和()BA AB i-21也是厄米算符。

由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++21212121()BA AB +∴21为厄米算符。

ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++21212121()BA AB i-∴21也为厄米算符。

ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===++++，且定义 ()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+-+++==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得 -++=iF F F4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明[][]F ,F,,pi F x x i F p ∂∂=∂∂-=整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==,),(n m n m mnp x Cp x F 。

证： （1）先证[][]11, ,,--=-=n n m mp ni p x xmi xp 。

[][][][][][][][]()()[]()111111331332312221111,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m mx m i x i x i m xxp x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i xx p x p x x p同理，[][][][][][]1221222111,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n np ni ppx pi p p x p p x p p i pp x p x p p x现在，[][]()∑∑∑∞=-∞=∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,1,0,,,,n m nm mnn m n m mn n m n m mn px m i C p x p C p x C p F p而 ()∑∞=--=∂∂-0,1n m n m mn p x mi C x Fi 。