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浅谈解析几何中最值和参数范围问题的求解策略作者：陆爱莲来源：《教育教学科研》2013年第03期作者简介：陆爱莲，2002年毕业于广西师范大学数学教育专业，大学本科学历，理学学士，同年9月至今任教于马山中学，2008年12月获得中学一级教师资格。
积极参加教研教改活动，所撰写的论文多次在省、国家级论文评选中获二、三等奖。
【摘要】：解析几何中的最值和参数范围问题是高中数学的重要内容.其主要特点是综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角等内容.因此，在教学中应重视对数学思想、方法进行归纳提炼，如方程思想、函数思想、参数思想、数形结合的思想、对称思想、整体思想等思想方法，达到优化解题思维、简化解题过程的目的.本文通过对一些典型例题的分析和解答，归纳了解析几何中常见的解决最值和参数范围问题的思想方法，总结了解答典型例题的具体规律，并提供了一些常用的解题方法、技能与技巧。
【关键词】：解析几何最值问题参数范围求解策略解析几何中涉及最值和参数范围问题常有求面积、距离最值、参数范围问或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线中几何元素的最值或与之相关的一些问题。
我们可以从两个方面来研究圆锥曲线的最值和参数范围问题，一方面用代数的方法研究几何，题中涉及较多数字计算与字母运算，对运算及变形的能力要求较高，用代数的方法解决几何；另一方面要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考，利用数形结合的思想解决问题。
一、代数法：借助代数函数求最值和参数取值范围的方法。
运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值。
常用的方法有： 1.配方法。
由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值联系紧密，这时可对二次函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值。
1、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1。
高中数学专题--- 最值或取值范围问题基本方法：最值或取值范围问题解题策略一般有以下几种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质求解.（2）代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数（自变量）的取值范围；②利用已知参数（自变量）的范围，求新参数（新自变量）的范围，解这类问题的核心是在两个参数（自变量）之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数（自变量）的取值范围； ④利用基本不等式求出参数（自变量）的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，如导数法等，确定参数（自变量）的取值范围． 最值或取值范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数（自变量）的不等式，通过解不等式求出其范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.一、典型例题1. 已知抛物线2y x =和C ：()2211x y ++=，过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥，作C 的两条切线，与y 轴分别相交于A ，B 两点.求ABP ∆面积的最小值.2. 已知椭圆:C 2214y x +=，过点()0,3M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B . 设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点）.求当AB <λ的取值x范围.二、课堂练习1. 已知椭圆C ：2214x y +=，过点()4,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅，求λ的取值范围.2. 已知A ，B 为椭圆Γ：22142x y +=的左，右顶点，若点()()000,0P x y y ≠为直线4x =上的任意一点，PA ，PB 交椭圆Γ于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.三、课后作业1. 已知椭圆22:143x y C +=，过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点)，线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围.2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程.x3. 已知F 为椭圆2214x y +=的一个焦点，过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.。
一、利用圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义，是曲线上的动点本质属性的反映。
研究圆锥曲线的最值，利用圆锥曲线的定义，可使问题简化。
例1、若使双曲线上一点M到定点A（7，）的距离与M到右焦点F的距离之半的和有最小值，求M点的坐标。
解析：如图所示，由双曲线定义2可知，，所以|MF|=2|MP|。
令，即。
此问题转化为折线AMP的最短问题。
显然当A、M、P同在一条与x轴平行的直线上时，折线AMP最短，故M点的纵坐标为，代入双曲线方程得M（，）。
二、利用几何图形的对称性对称思想是研究数学问题常用的思想方法，利用几何图形的对称性去分析思考最值问题。
例2、已知点A（2，1），在直线和上分别求B点和C 点，使△ABC的周长最小。
分析：轴对称的几何性质以及两点间的距离以直线段为最短。
解析：先找A（2，1）关于直线、的对称点分别记为和，如图所示，若在、上分别任取点和，则△ABC周长=周长。
故当且仅当、、、四点共线时取等号，直线方程为：，与、的交点分别为B（，）、C（，0）。
三、利用参数的几何意义利用参数的几何意义，把它转化为几何图形中某些确定的几何量（如角度、长度、斜率）的最大值、最小值问题。
例3、椭圆内有两点A（4，0），B（2，2），M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最大值与最小值。
分析：若直接利用两点的距离公式，难度较大，通过椭圆定义转化后，利用几何性质可解决问题。
解析：|MA|+|MB|=2a-|MC|+|MB|=10+|MB|-|MC|，根据平面几何性质：||MB|-|MC||，当且仅当M、B、C共线时取等号，故|MA|+|MB|的最大值是，最小值是。
四、利用代数性质将问题里某些变化的几何量（长度、点的坐标、斜率、公比）设为自变量，并将问题里的约束条件和目标表示为自变量的解析式，然后利用代数性质（如配方法、不等式法、判别式法等）进行解决，可使问题简单化。
例4、过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值。
解析几何最值和参数范围问题的求解策略解析几何问题常常围绕“形助数”和“数研究形”展开.圆锥曲线的最值和范围问题目标函数化归函数最值求解是通法.若能抓住定义的本质属性和曲线方程的几何特征，往往能寻求到最值问题的简捷解题途径.要充分认识和体验某些几何量的几何意义，重视“形助数”和“数研究形”的简化运算的功能.1（05全国） P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=⋅且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.解：本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离等基本知识及综合分析能力. 突显依据几何条件的特征构建目标函数，换元化归函数值域求解最值。
依据四边形对角线垂直的面积公式，“设而不解整体思维”，用弦长公式切入类比，如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （0，1），且PQ ⊥MN ，直线PQ 、MN 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k.又PQ 过点F （0，1），故PQ 方程为.1+=kx y 将此式代入椭圆方程得.012)2(22=-++kx x k 设P 、Q 两点的坐标分别为则),,(),,(2211y x y x.,21,22221221k x x k k x x +-=+-=+()()[]212212221221241)()(||x x x x k y y x x PQ -++=-+-=从而,)2()1(82222k k ++=222)1(22||kk PQ ++=亦即 （i ）k MN k 1,0-≠的斜率为时当,同上可类比推得.)(2))11(1(22||22kk MN -+-+=故四边形面积||||21MN PQ S ⋅=222214(1)(1)(2)(2)k k k k ++=++.225)12(42222k k k k ++++= 如何研究最值？整体变量观念“换元法”简化， 2214(2),252u u k S k u +=+==+令得1(1)52u-+因为2212u k k =+≥ ;2916,,916,2,1<≤==±=S u S S u k 所以为自变量的增函数是以且时当 （ii ）当k =0时，MN 为椭圆长轴，22||=MN 、2||=PQ ,.2||21=⋅=MN PQ S综合（i ），（ii ）知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为.9162 （05广东）在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y =x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解： 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，等基本知识及综合分析能力.构建目标函数化归不等式求最值解决。
解析几何中最值问题的解题策略
圆锥曲线中最值问题的基本解法有几何法和代数法。
其中，代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数，通过运用基本不等式或构造函数等来求解函数的最值。
下面我们来介绍运用基本不等式的方法来解决圆锥曲线的一个优美性质。
例题 1.已知
(0,2)A ，椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>
的离心率为
F ，直线AF
的斜率为3
-，O 是坐标原点。
（1）求E 的方程；
（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程。
解：（1）2
2:14
x E y += （2）由题意直线l 的斜率存在，设:2l y kx =+
联立22
2
1
4
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22
(41)16120k x kx +++=，22316(43)0,4k k ∆=->>得
122|||41PQ x x k -==+ 原点O 到直线PQ
的距离
所以221
443||1241
OPQ
k S PQ d k ∆+-=⋅==≤=+
当2273
44
k =
>
时，取等号，此时:2l y x =+ 先来解析这道题，应用了两个公式： 一.
弦长公式212|||,PQ x x a x a
-=是的系数 二.
,0,0,=2
a b
a b a b +≤
>>=当时，不等式式取“”号 我们运用这两个知识来证明该题型具有的一般性结论
例题2.已知22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>，设过点(0,)A m 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，
当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程。
解：由题意直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+
联立22221
y kx m
x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2222222222
()20a k b x a b kmx a m a b +++-=，
22
22
2
2
2
2
2
2
4(),m b a b a k b m k a -∆=+->
222||PQ a k b
=+原点O 到直线PQ
的距离所以
1||2OPQ
S PQ d ∆=⋅== 22222222
()2()2
m a k b m ab
ab a k b ++-≤=+ 当222222222
2a k b m m a k b m +-=+=，即时，取等号。
由此我们得出一个一般性结论：
若直线l 的斜率k 为定值，当222
2
+=2a k b m 时，OPQ S ∆有最大值2
ab
若直线l 的截距m 为定值，且满足2
2
2m b ≥，当22
2
22-=m b k a 时，OPQ
S ∆有最大值2
ab
若2
2
2m b <，当22
2
22-=0m b k a <时，OPQ
S ∆取不到最大值2
ab ，此时不能用基本不等式求最值。
我们得探索其他求最值的方法，用构造函数法或放缩法可以证明，当=0k 时，OPQ S ∆有最大值，下面我们再看一道例题。
例题3已知动圆P 与圆22
1:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，记
圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点, 求△QMN 面积的最大值． （1）设圆P 的半径为R , 圆心P 的坐标为(,)x y ，
由于动圆P 与圆22
1:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，
结合图像可知，动圆P 与圆1F 只能内切.且127,
1.PF R PF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
则4||6||||2121=>=+F F PF PF .
所以圆心P 的轨迹是以点12,F F 为焦点的椭圆, 且3,2a c ==, 则2225b a c =-=.
所以曲线C 的方程为15
92
2=+y x . （2）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，
由
2
2
2,
1,
95
x
my
x
y
可得2
25920250m y my （），
则121222
2025
,5959
m y y y y m m +=-=-++. 所以2
2
12
1214MN m y y y y
2
2
22
20100
15959
m
m m m
2
2
301.59
m m
因为//MN OQ ，所以△QMN 的面积等于△OMN 的面积.
点O 到直线2:+=my x MN 的距离2
1d m
.
所以△QMN 的面积22222
1
130(1)301
2259
59
1
m m S MN d m m m .
t ，则221m t =-(1)t ≥ ，22303030454
51
9
5t t S
t t t
t
.
设4
51f t t t t
，则22
2
454
5t f t t t
. 因为1t , 所以22540.t f t t 所以4
5f t t t
在1,上单调递增.
所以当1t 时, f t 取得最小值, 其值为9.所以△QMN 的面积的最大值为
30
9
. 说明: △QMN 的面积22
212
1
2
12
1
30142
m S
OF y y y y y y . 例题4已知椭圆E 的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且抛物线y x 242
-=的焦点是它
的一个焦点，又点)2,1(A 在该椭圆上。
（1）求椭圆E 的方程；（2）若斜率为2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程。
例题5．设椭圆中心在坐标原点，A （2,0），B （0,1）是它的两个顶点，直线y=kx （k>0）与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E,F 两点。
（1）6=，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值；
例题6在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），P 为椭圆G 的上顶点，且∠PF 1O=45°． （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l 1：y=kx+m 1与椭圆G 交于A ，B 两点，直线l 2：y=kx+m 2（m 1≠m 2）与椭圆G 交于C ，D 两点，且|AB|=|CD|，如图所示．
（ⅰ）证明：m 1+m 2=0；
（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值． 12（Ⅰ）根据F 1（﹣1，0），∠PF 1O=45°，可得b=c=1，从而a 2=b 2+c 2=2，故可得椭圆G 的标准方程；
（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）． （ⅰ）直线l 1：y=kx+m 1与椭圆G 联立，利用韦达定理，可求AB ，CD 的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；
（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．
【解析】：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．
因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．
所以，a2=b2+c2=2．…（2分）
所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
（ⅰ）证明：由消去y得：．则，…（5分）
所以
==
=．
同理．…（7分）
因为|AB|=|CD|，
所以．
因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）
（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2=0，所以．…（10分）
所以
=
．
（或）
所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）。
