走进2018年中考数学专题复习几何最值问题解题策略

中考数学压轴题解题技巧解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。

（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。

求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。

此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。

（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。

求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。

一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。

找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。

求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。

而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

2018中考数学压轴题：9种题型+5种策略2018中考数学压轴题：9种题型+5种策略，全面攻破！如何解中考数学压轴题成了很多同学关心话题。

下面介绍几种常用的压轴题的九种形式和解题策略，供大家参考学习！中考的设立是为了高一级学校选拔优秀人才提供依据，其中中考压轴题更是为了考查学生综合运用知识的能力而设计的题型，具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活等特点。

九种题型1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

4.一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。

几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。

中考网为大家提供2018年中考数学复习策略，更多中考数学复习资料请关注我们网站的更新!2018年中考数学复习策略第一梳理策略总结梳理，提炼方法。

复习的最后阶段，对于知识点的总结梳理，应重视教材，立足基础，在准确理解基本概念，掌握公式、法则、定理的实质及其基本运用的基础上，弄清概念之间的联系与区别。

对于题型的总结梳理，应摆脱盲目的题海战术，对重点习题进行归类，找出解题规律，要关注解题的思路、方法、技巧。

如方案设计题型中有一类试题，不改变图形面积把一个图形剪拼成另一个指定图形。

总结发现，这类题有三种类型，一类是剪切线的条数不限制进行拼接;一类是剪切线的条数有限制进行拼接;一类是给出若干小图形拼接成固定图形。

梳理了题型就可以进一步探索解题规律。

同时也可以换角度进行思考，如一个任意的三角形可以剪拼成平行四边形或矩形，最少需几条剪切线?联想到任意四边形可以剪拼成哪些特殊图形，任意梯形可以剪拼成哪些特殊图形等。

做题时，要注重发现题与题之间的内在联系，通过比较，发现规律，做到触类旁通。

反思错题，提升能力。

在备考期间，要想降低错误率，除了进行及时修正、全面扎实复习之外，非常关键的一个环节就是反思错题，具体做法是：将已复习过的内容进行“会诊”，找到最薄弱部分，特别是对月考、模拟试卷出现的错误要进行认真分析，也可以将试卷进行重新剪贴、分类对比，从中发现自己复习中存在的共性问题。

正确分析问题产生的原因，例如，是计算马虎，还是法则使用不当;是审题不仔细，还是对试题中已知条件或所求结论理解有误;是解题思路不对，还是定理应用出错等等，消除某个薄弱环节比做一百道题更重要。

应把这些做错的习题和不懂不会的习题当成再次锻炼自己的机会，找到了问题产生的原因，也就找到了解题的最佳途径。

事实上，如果考前及时发现问题，并且及时纠正，就会越快地提高数学能力。

对其中那些反复出错的问题可以考虑再做一遍，自己平时害怕的题、容易出错的题要精做，以绝后患。

知识板块考点一：几何图形中的最小值问题方法： 1.找对称点求线段的最小值；步骤：①找已知点的对称点，动点在哪条线上动，就是对称轴；②连接对称点与另一个已知点；③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长；2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边；3.转化成其他线段，间接求线段的最小值；例如：用点到直线的距离最短，通过作垂线求最值；4.用二次函数中开口向上的函数有最小值；考点二：几何图形中的最大值问题方法：1.当两点位于直线的同侧时，与动点所在的直线的交点，这三点在同一直线时，线段差有最大值；2.当两点位于直线的异侧时，先找对称点，同样三点位于同一直线时，线段差有最大值；3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边；4.用二次函数中开口向下的函数有最大值；例题板块考点一：几何图形中的最小值问题例1.如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是 _________ ．图1 图2 图3例2.如图2，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN的最小值是 ．例3.如图3，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，BC=6，AC=8，则线段EF 长的最小值为 ；第一节几何最值问题专项例4.如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边AC 上的一个动点，则△PEF 周长的最小值为 .图4 图5 例5.如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 的坐标为（9，0），点C 的坐标为（2，0），tan ∠BOA=A ．67B ．231 C. 6 D ．193+例6．如图6，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为（ ）图6 图7 图8 例7.如图7，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点，且PQ=3，当CQ= _________ 时，四边形APQE 的周长最小．考点二：几何图形中的最大值问题例1.已知点A （1，2）、B （4，-4），P 为x 轴上一动点．（1）若|PA |+|PB |有最小值时，求点P 的坐标；（2）若|PB |-|PA |有最大值时，求点P 的坐标．例2.如图8所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x=图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 .例3.如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C 为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．练习板块1.如图1，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为_____．图1 图2 图3 图42.如图2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD边的中点，P为BC边上的任一点，那么，AP+EP的最小值为_____．3.如图3，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为_______．4.如图4，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是.5.如下图1，反比例函数xk y =（x ＞0）图象上的两点A 、B 的横坐标分别为1，3，点P 为x 轴正半轴上一点，若PA-PB 的最大值为22，则k= ．图1 图2 图36.如图2，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）7.如图3，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA ．设PA=x ，PB=y ，则（x ﹣y ）的最大值是 ．8.如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM 的最小值为13+时，求正方形的边长．9.已知：如图，把矩形OCBA 放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB 的中点M ，连接MC ，把△MBC 沿x 轴的负方向平移OC 的长度后得到△DAO ．A ．25+B ．62C ．52D ．222+（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．①若△OQP∽△DAO，试求出点P的坐标；②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？作业板块1.如图1，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是．2.如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连结EF，点M为EF的中点，则AM的最小值为．图1 图23.如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=3，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为．4.如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．图3 图45..如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；。

中考数学复习专题讲座（九）---几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂直线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

一用两点之间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1.如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A ．21+B ．5C ．14555 D ．52 【答案】A 。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD ≤OE +DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB =2，BC =1，∴OE =AE =12AB =1。

DE =2222AD AE 112=+=+=，∴OD 的最大值为：21+。

故选A 。

例2.在锐角三角形ABC 中，BC =24，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是 ▲ 。

【答案】4。

【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA 上截取BE =BN ，连接EM 。

∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∴∠EBM =∠NBM 。

在△AME 与△AMN 中，∵BE =BN ，∠EBM =∠NBM ，BM =BM ，∴△BME ≌△BMN （SAS ）。

中考数学最值问题解题技巧
在中考数学中，最值问题是一个常见的难点，通常涉及到几何、代数等多个知识点。

以下是一些常见的解题技巧：
1.特殊位置与极端位置法：考虑特殊位置或极端位置，确定相应
位置时的数值，再进行一般情形下的推证。

2.几何定理法：应用几何中的不等量性质、定理，比如“三边关
系”或“将军饮马”问题。

3.数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，建立方程或函
数来进行处理。

4.轨迹法：探寻动点轨迹而求最值，往往又会涉及到几何定理法
和数形结合法的运用。

5.找临界的特殊情况：确定最大值和最小值。

6.利用轴对称转化为两点之间的直线段。

7.利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

8.利用一点到直线的距离：垂线段最短——将点到直线的折线段
转化为点到直线的垂线段。

9.利用特殊角度（30°，45°，60°）将成倍数的线段转化为首
尾相连的折线段，在转化为两点之间的直线段最短。

2018中考数学答题技巧指导中考是九年义务教育的终端显示与成果展示，其竞争较为激烈。

为了更有效地帮助学生梳理学过的知识，提高复习质量和效率，在中考中取得理想的成绩，下文为大家准备了中考数学答题技巧指导的内容。

第一、我们要有分类讨论的意识。

很多知识点是分类讨论的常客，对于这些知识点，同学们在考试时要保持高度的敏感，时刻紧绷分类讨论的弦，以免掉进出题老师的陷阱。

第二、分类讨论是要有一定原则，不要东一榔头西一棒子的的试，要具备一定的条理。

分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级有序进行。

以探寻直角坐标系中等腰直角三角形存在的问题来说，如果给定两个点A、B，需要在X 轴上找第三个点C使得这个三角形ABC是等腰直角三角形，这个时候同学们可以线段来分类讨论：AB为斜边时，AC为斜边或时BC为斜边时点C的坐标。

这样讨论保证不会丢掉任何一种可能性，并且效率较高。

当然也可以按照角来讨论，但是注意不要两种分类方法穿插进行。

有些时候有可能会进行二次讨论，这个时候对于同学们的条理性要求就更大了，例如探讨含有30°角的直角三角形时，要先讨论那个角是直角，在讨论哪个角是30°或60°。

第三、在列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查是否每种可能性都会存在，是否有需要舍去的，最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根，那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。

同样有些时候也需要注意是否有些讨论结果重复，需要进行合并。

例如直角坐标系中求能够成等腰三角形的点坐标，如果按照一定的原则分类讨论后，有可能会出现同一个点上可以构成两个等腰三角形的情况，这种情况下就要进行合并。

也就是说找到的三角形的个数和点的个数是不一样的。

以下几点是需要大家注意分类讨论的1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。

第六学最值问题解题策略【基础要点】初中阶段，几何方面求线段的最值问题，离不开两句话．让我们一起大声喊出来：两点之间，线段最短；垂线段最短．基本模型：将军饮马，胡不归，阿氏圆．【典型例题】模型1：将军饮马模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=，C′B=∴AC+CB=AC+CB′=．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用[1]如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC 对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是．[2]如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD 上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是；[3]如图⑥，一次函数y =﹣2x +4的图象与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，点O 为坐标原点，点C 与点D 分别为线段OA ，AB 的中点，点P 为OB 上一动点，求：PC +PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．图⑦（3）拓展迁移如图⑦，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为x =1，且抛物线经过A （﹣1，0）、C （0，﹣3）两点，与x 轴交于另一点B ．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线x =1上找到一点M ，使△ACM 周长最小，请求出此时点M 的坐标与△ACM 周长最小值．（结果保留根号）（4）代数应用：求代数式()366422+-++x x （0≤x ≤6）的最小值．有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线．（如下图）A 是出发地，B 是目的地；AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地．为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB ．但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素．如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的．那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC 上选定一点D ，小伙子从A 走到D ，然后从D 折往B ，可望最早到达B ．用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为1V ，在沙地上行走的速度为2V ，即求21V BD V AD 的最小值.【模型分析】如图，已知点（6，0），B （0，23），点P 是x 轴上的一动点，求PB PA 21的最小值．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．【巩固训练】1．某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为；（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N 使BM+MN的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式（0≤x≤4）的最小值．2．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值．4．如图所示，已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B 两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？5．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．6．如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．（1）若P为直线OD上一动点，求△APB的面积；（2）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（3）作点B关于直线MD的对称点B′，以M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB′＋22QB的最小值．。

2018中考数学压轴题解题技巧和方法1、大胆取舍——确保中考数学相对高分“有所不为才能有所为，大胆取舍，才能确保中考数学相对高分。

”针对中考数学如何备考，著名数学特级老师说，这几个月的备考一定要有选择。

首先，要进行一次全面的基础内容复习，不能有所遗漏；其次，一定要立足于基础和难易度适中，太难的可以放弃。

在全面复习的基础上，再次把掌握得似懂非懂，知道但又不是很清楚的地方搞清楚。

在做题练习上要学会选择，决不能不加取舍地做题，即便是老师布置的作业，也建议同学们选择性地做，已经掌握得很好的不要多做，把好像会做但又不能肯定的题认真做一做，把根本没有感觉的难题放弃不做。

千万不要到处去找各个学校的考试题来做，因为这没有针对性，浪费时间和精力。

”2、做到基本知识不丢一分某外国语学校资深中考数学老师建议考生在中考数学的备考中强化知识网络的梳理，并熟练掌握中考考纲要求的知识点。

首先要梳理知识网络，思路清晰知己知彼。

思考中学数学学了什么，教材在排版上有什么规律，琢磨这两个问题其实就是要梳理好知识网络，对知识做到心中有谱。

其次要掌握数学考纲，对考试心中有谱。

掌握今年中考数学的考纲，用考纲来统领知识大纲，掌握好必要的基础知识和过好基本的计算关，做到基本知识不丢一分，那就离做好中考数学的答卷又近了一步。

根据考纲和自己的实际情况来侧重复习，也能提高有限时间的利用效率。

3、做好中考数学的最后冲刺距离中考越来越近，一方面需按照学校的复习进度正常学习，另一方面由于每个人学习情况不一样，自己还需进行知识点和丢分题型的双重查漏补缺，找准短板，准确修复。

压轴题坚持每天一道，并及时总结方法，错题本就发挥作用了。

最后每周练习一套中考模拟卷，及时总结考试问题。

我们做题的原则是先搞懂搞透错题，再做新题。

如果没有时间做新题，多花时间思考、沉淀错题是更有效的学习方法。

中考是一场选拔性的考试，紧张是难免的，只要不过度紧张，适度紧张也是必要的，而且紧张的不是你一个人，大家都紧张。

（2018荆州）（2018新疆建设兵团）轴对称求最值（2018苏州）二次函数最值（2018铜仁）（2018十堰）垂线段最短（2018贵阳）二次函数求最值（2018泸州）如图5，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 13 .轴对称求最短路径（2018天津）轴对称求最短路径（2018滨州）轴对称求最短路径（2018宜宾）在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立。

依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4,EF=3,点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2 +PG 2的最小值为（ D ） 应用结论在GF 边找一点即可A.10B.192C.34D.10（2018内江）圆中直径最长（2018兰州）（2018龙东地区）（2018自贡）如图，在⊿ABC 中，AC BC 2,AB 1===,将它沿AB 翻折得到⊿ABD ,则四边形ADBC 的形状是 菱 形，点P E F 、、分别为线段AB AD DB 、、的任意点，则PE PF +的最小值是.平行线之间垂线段最短（2018泰安）（2018广州）如图11，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD.(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹，不写作法) （2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE;②若CD=2，AB=4，点M,N分别是AE,AB上的动点，求BM+MN的最小值。

（2018荆门）（2018陕西）（2018扬州）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AO BC ⊥于点O ，OE AB ⊥于点E ，以点O 为圆心，OE 为半径作半圆，交AO 于点F .（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若点F 是AO 的中点，3OE =，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P 是BC 边上的动点，当PE PF +取最小值时，直接写出BP 的长.。

几何最值中考题的求解策略中考压轴题中经常会出现有关最值问题，让很多同学望而生畏，束手无策.其实，解几何的最值问题，一般是以几何中不等量的性质、定理为基础，或借助于代数方法、三角方法来证明几何量变化的取值范围，从而得出最值.求解策略通常有两种：一是利用几何中不等量的性质（如两点之间线段最短、垂线段最短）等借助几何变换求解；二是引入变量建立方程、函数模型来求最值.下面举例说明.一、利用几何性质求最值利用几何性质，如两点之间线段最短、垂线段最短、直径是圆中最大的弦等来求解最值.例1 如图1，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是.图1 图2解：如图2，过点O作OC垂直AB于C，交⊙O于D、E 两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB.∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∴OA=2，AB=2，而S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，∵当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N 点到AB的距离最大，△NAB的面积最大，即M点运动到D 点，N点运动到E点时，四边形MANB的面积最大.∴四边形MANB面积的最大值：S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB?（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4点评：本题将圆与三角形的知识综合在一起，解题时需要深刻理解垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，通过两动点运动，找到组成四边形的两三角形面积最值情景，从而使问题得以解决.二、利用轴对称求最值求解两条线段之和最短的问题，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，得出答案.例2 如图3矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使MB+MN的值最小，求这个最小值.图3 图4解：如图4，作B关于AC的对称点B′，连结，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，这时BM +MN的最小值，即为BM+MN′的最小值，显然BM+MN′的最小值等于点B到AB′的距离BH.要求BH的长，设AB′与DC交于P点，连结BP，则S△ABP=AP?BH=S矩形ABCD=×20×10=100（cm2）B′与B关于AC对称？圯∠1=∠2矩形ABCD中，DC∥AB？圯∠2=∠3？圯∠1 =∠3？圯PA=PC设AP=PC=x，则DP=20-x在Rt△APD中，由勾股定理，得PA2=DP2+DA2即x2=（20-x）2+102，解得x=12.5（cm），即AP=12.5（cm），∴BH=100×=16（cm），即BM+MN的最小值是16cm.三、利用展开图求最值当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段.例3 如图5，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12cm，B点沿母线到桶口D点的距离是8cm，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15cm.如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？图5 图6解：如图6，延长BD，在延长线上取点B′，使BD=B′D=8cm，连接AB′，交CD于点E，连接BE，则最短的路线应该是沿AE、EB爬行即可.因为两点之间线段最短.在△AB′F中，∠F= 90°，AF=15cm，B′F=12+8=20cm，由勾股定理，得AB′=25cm.∵AC∥B′D，∴△ACE∽△B′DE，∴AC∶B′D=AE∶B′E=12∶8=3∶2，∴AE=25×=15cm，BE=B′E=25×=10cm，∴AE+BE=25cm.即蚂蚁爬行的最短路程是25cm.点评：本题主要考查平面展开最短路径问题，解题的关键是根据题意确定最短路线.最后根据两点之间线段最短，运用勾股定理即可求解.四、利用不等式求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案.例4 不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________.解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h，∵2S△ABC=4a=12b=ch，∴a=3b，又∵c得12b3，又∵c>a-b=2b，代入12b=ch，得12b>2bh，所以h<6，∴3<h<6，故整数的最大值为5.五、利用一次函数求最值构造函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，在求解这类问题时，我们要充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识来寻求等量关系，从而构造出函数关系式求解.例5 如图7，⊙O上的定点C和动点P在直径AB的两侧，已知AB=5，AC=3，点P在弧AB上运动，过点C作CP 的垂线与PB的延长线交于点Q.当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，最大值是多少？图7解：∵PC⊥CQ，∴∠PCQ=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCQ=∠ACB=90°，∵∠A=∠P，∴△ABC∽△PQC设CP=x，CQ=y，∴=，CQ=，即y=.可见，y随x的增大而增大. 所以当PC为直径，x取得最大值，即当x=5时，y的值最大，最大值是.六、利用二次函数求最值例6 王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm、下底为120cm、高为60cm的直角梯形板子（如图8），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域（如图9），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点.（1）求FC的长；（2）利用如图9求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.图8 图9解：（1）由题意，得△DEF∽△CGF，∴=，又∵DE=AD-AE=60-30=30，DF=DC- FC=60-FC，CG=120-60=60，∴=，∴FC=40（cm）；（2）如图10，设矩形顶点B所对的顶点为P，则①当顶点P在AE上时，x=60，y的最大值为60×30=1800（cm2）②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N、PM⊥AB于点M.根据题意，得△GFC∽△GPN.∴=，∴NG=x，∴BN=120-x，∴y=x（120-x）=-（x-40）2+2400，∴当x=40时，y的最大值为2400（cm2）；③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2400（cm2），综合①②③，得x=40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2400 cm2；（3）根据题意，正方形的面积y（cm2）与边长x（cm）满足的函数表达式为：y=-x2+120x，当y=x2时，正方形的面积最大，∴x2=-x2+120x.解之，得x1=0（舍去），x2=48（cm），∴面积最大的正方形的边长为48 cm.点评：本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视用分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（3）小题只需根据题意列出方程就能解决.七、利用一元二次方程求最值用数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值.例7 已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（∠Z=90°），它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC（∠C=90°）的三条边上，求△ABC直角边长的最大可能值.分析：顶点Z在斜边上或直角边CA（或CB）上，当顶点Z在斜边AB上时，取XY的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在（AC或CB）上时，设CX=x，CZ=y，建立x、y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值.解：（1）如图11，顶点Z在斜边上，取XY的中点M，连接CM、ZM、CZ，并作AB边上的高CN，则CZ≤CM+MZ=+=，又∵CN≤CZ，∴CN≤，CA=CN≤2；（2）如图12，顶点Z在直角边CA（或CB）上，由对称性，不妨设CX=x，CZ=y，并过Y作YH⊥CA于H，易得△ZYH ≌△XZC，得HZ=CX=x，HY=CZ=y，∵△AHY为等腰直角三角形，则AH=y，设AC=b，则2y+x=b，即x=b-2y，在Rt△CXZ中，y2+（b-2y）2=12，即5y2-4by+b2-1=0，∵y为实数，则Δ=16b2-20（b2-1）=20-4b2 ≥0，b≤，当b=时，y=，x=，综合（1）、（2）知，b的最大值为.图11 图12。

几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】A 1BC ．5 5 D ．52 【答案】A 。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。

DE====，∴OD 1。

故选A 。

例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 ▲ 。

【答案】4。

【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。

∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∴∠EBM=∠NBM。

在△AME 与△AMN 中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM ，∴△BME≌△BMN（SAS ）。

2018中考数学难点突破：求最值问题
中考数学求最值问题主要包括求线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及代数式的和与差等，近几年来，中考题常以这类题考查学生的实践操作能为、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力。

为此，针对常考的类型一一解答，希望对初三学子有所帮助。

求最值问题解决方法通常包括两大类:
一、应用几何性质
1、三角形的三边关系
2、两点间线段最短
3、垂线段最短
4、利用轴对称
二、代数法求解
1、利用配方法
2、利用一元二次方程判别式。

中考数学最值问题解题技巧中考数学最值问题是指在一组或若干个变量中，要求找到一个或几个变量的最大值或最小值。

这类问题在中考数学中比较常见，通常涉及到函数、不等式、方程等知识点。

下面将介绍几个解题技巧：1.观察法观察法是最直接、最简单的方法，通过观察题目中的条件和结论，寻找其中的规律和趋势，从而得出结论。

例如，在求一个二次函数的最值时，可以通过观察函数的开口方向、对称轴和顶点位置等特征，从而得出函数的最大值或最小值。

2.函数法函数法是指利用函数的概念和性质来解决最值问题。

通常需要建立一个函数模型，如一次函数、二次函数等，然后通过求导数或分析函数的单调性来找到最大值或最小值。

例如，在求一个关于x的二次函数y=x^2+2ax+b的最值时，可以通过配方将函数转化为顶点式，再利用二次函数的性质进行求解。

3.不等式法不等式法是指利用不等式的性质来解决最值问题。

通常需要先找到一个不等式，然后通过分析不等式的性质来找到最大值或最小值。

例如，在求一个关于x的一元二次不等式ax^2+bx+c>0的最大值时，可以通过分析不等式的开口方向、对称轴和判别式等特征，从而找到最大值。

4.数形结合法数形结合法是指将数量关系和空间形式结合起来解决问题。

通常需要先分析题目中的数量关系，然后借助图形将数量关系直观地表现出来，再通过观察图形找到最大值或最小值。

例如，在求一个关于x的一元二次不等式ax^2+bx+c>0的最大值时，可以通过将不等式转化为二次函数，再结合图形进行分析。

总之，解决中考数学最值问题需要掌握一定的解题技巧和思维方式。

在解题过程中要善于观察、分析、归纳和总结，同时要注意灵活运用所学知识进行综合分析和解题。

你会“几何中的最值问题”吗一、几何中最值问题包括： ①“面积最值” ②“线段（和、差）最值”. （1）求面积的最值方法：需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；（2）求线段及线段和、差的最值方法：需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法：常用定理：两点之间，线段最短（已知两个定点时）平移使点在线异使点在线同平移垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时） 三角形三边关系二、精讲精练1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点2.3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ +PQ 的最小值为 .PA +PB 最小，BlNQP ED CBA4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为 .5. 如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 .7. 如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离MN第5题图 第6题图 第7题图QPKDCB A8. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_________．9. 如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD长度的最小值为 ．10. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边PA 的长度改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为_________第9题图 第10题图11. 在△ABC 中，∠BAC =120°，AB=AC =4，M 、N 两点分别是边AB 、AC 上的动点，将△AMN 沿MN 翻折，A 点的对应点为A ′，连接BA ′，则BA ′的最小值是_________．A B CEFMA BCDP A'NMCBA几何中的最值问题（作业）1． 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD =90°，AB =6，对角线AC 平分∠BAD ，点E 在AB 上，且AE =2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE ＋PB 的最小值是__________．第1题图 第2题图 第3题图2． 在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________cm （结果不取近似值）.3． 如图，在锐角△ABC 中，42AB ，∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为___________．4． 圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC= 4cm ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是 。