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概率论主要内容第一章 随机事件与概率主要内容：一．事件的运算：交、并、补等二．概率的性质：加法公式等三．三种概型：古典概型、几何概型、伯努利概型古典概型，满足有限性（样本点总数有限）、等可能性，计算概率用样本点个数之比； 几何概型，满足有限性（样本空间测度有限）、等可能性，计算概率用测度之比； 伯努利概型，满足两种结果、相互独立，概率不变，计算概率用伯努利定理，n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1(}{L =−==−。
四．条件概率及其三个公式：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式乘法公式，事件积的概率等于一个事件的概率乘以另一事件的条件概率；全概率公式，用于一个结果可在多种原因下发生，根据原因求结果，∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(； 贝叶斯公式，用于一个结果可在多种原因下发生，结果发生了，问原因，∑==n i ii k k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(。
五．事件独立性重点：条件概率及其三个公式；事件独立性。
第二章 随机变量及其分布主要内容：一．三类变量：离散、连续、混合离散随机变量，全部可能取值为有限个或可列无限个，分布函数为阶梯形函数，一般用概率函数刻画，求概率时用概率函数求和；连续随机变量，分布函数为连续函数且不可导的点最多只有可列无限个，一般用密度函数刻画，求概率时用密度函数积分；混合随机变量，分布函数不连续也不是阶梯形函数且不可导的点最多只有可列无限个，只能用分布函数刻画，求概率时用斯蒂阶积分。
二．三个函数：概率函数、密度函数、分布函数概率函数，L ,2,1,}{===k p x X P k k ，基本性质-非负性、正则性，适用于离散随机变量； 密度函数，)(x p ，基本性质-非负性、正则性，适用于连续随机变量；分布函数，}{)(x X P x F ≤=，基本性质-单调性、正则性、右连续性，适用于所有随机变量。
第一章第一章 随机事件1.1 概述§1.1§1.2 事件的概率§1.3 古典概率模型§1.4 条件概率§1.5 事件的独立性二.有无限个可数个可能结果的随机试验.例1:观察某交换台早晨8:00-9:00接到电话的次数,设数字i 表示呼叫次数, i =0,1,2=0,1,2……..,则: Ω={0,1,2,={0,1,2,…….}三.可能结果不可数的随机试验.例1:在分析天平上称量某物品并记录称量的结果.记x 为此物的称量, 则Ω={|0}x x ≥例2:在一批灯泡中任取一个，测其寿命记t 为所取灯泡的寿命, 则Ω=}0|{≥t t 例3:观察某块地的玉米产量. 记y 为此块地的玉米产量, 则Ω={|0}y y M ≤≤类似的可推广到多个事件相加,以及无数可列个事件相加.n 个事件的并（和）12,,,n A A A ⋯表示n 个事件中至少有一个发生,记为n A A A +++⋯21nA A A ∪∪∪⋯21可列个事件的并（和）12,,,,n A A A ⋯⋯11n nn A A A ∞=+++=∑⋯⋯表示可列个事件中至少有一个发生,记为或是1nn A ∞=∪或“可列个”在本学科里通常表示无限个可数的。
ABAB-A AAB A-B⇒⇔事件例 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数：事件A 表示“奇数点”；B 表示“偶数点”；C 表示“小于3的点”，D 表示“大于2小于5的点” E 表示“大于4的点”,求事件间的关系.D ={3,4}, E ={5,6}, Ω={1,2,3,4,5,6}解:显然有:A ={1,3,5}, B ={2,4,6}, C ={1,2}互不相容事件有:A 与BC 与D, 或说事件C,D,E 两两互不相容对立事件有:A 与BD 与E,C 与EC D E ++=ΩA B +=Ω又因为A,B 构成Ω的一个最小的划分C ,D ,E 构成Ω的一个划分1.[关系]事件的包含2. [关系]事件的相等：3. [运算]事件的并（和）4. [运算]事件的交（积）5.[运算]事件的差(A-B)6.[关系]互不相容事件（互斥事件）7.[关系]对立事件(互逆事件)8.[关系] Ω的一个划分小结本节首先介绍随机试验、样本空间的基本概念，然后介绍随机事件的各种运算及运算法则。
第一章 随机事件及其概率
一、填空题
1．一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概率是 .
2．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 .
3．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于
56 ”的概率为 . 4．已知P (A )=0.4, P(B )=0.3,
(1) 当A ,B 互不相容时, P (A ∪B )= ; P(AB )= .
(2) 当B ⊂A 时, P(A+B )= ; P (AB )= ；
5. 事件C B A ,,两两独立, 满足21)()()(<
===C P B P A P ABC ，φ,且P (A+B+C )=16
9， )(A P 则= . 6．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A +的概率=+)(B A P .
7．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 .
8. 一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率 .
9. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是5
2 ,21 ,32，三人中恰好有两人合格的概率为 .
10. 一次试验中事件A 发生的概率为p , 现进行n 次独立试验, 则A 至少发生一次的概率为 ；A 至多发生一次的概率为 . 二、选择题
1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A 为（ ）.
（A ）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; （B ）“甲、乙两种产品均畅销”;
（C ）“甲种产品滞销”; （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.
2. 对于任意二事件A 和B 有=-)(B A P ( ).
(A) )()(B P A P -; （B ）)()()(AB P B P A P +-;
（C ）)()(AB P A P -; （D ）)()()()(B A P B P B P A P -++.
3. 当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生则（ ）.
(A)()()()1;(B)()()()1;
(C)()(); (D)()().P C P A P B P C P A P B P C P AB P C P A B ≤+-≥+-==+
4. 设则下列等式成立的是是三随机事件，且、、,0)(>C P C B A ( ).
() (|)(|)1; () (|)(|)(|)(|);
() (|)(|)1; () (|)(|)(|).
A P A C P A C
B P A B
C P A C P B C P AB C C P A C P A C
D P A B C P A C P B C +==+-+== 5. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为（ ）.
1212() ; () ; () ; () .4455A B C D
6. 设则,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P （ ）.
(A) 事件B A 和互不相容； (B) 事件B A 和互相对立；
(C) 事件B A 和互不独立； (D) 事件B A 和相互独立.
7. 某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）.
222222(A)3(1); (B)6(1);
(C)3(1); (D)6(1).p p p p p p p p ----
三、解答题
1. 从数字1,2,3，…，10中任意取3个数字，
（1）求最小的数字为5的概率;
（2）求最大的数字为5的概率。
2．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。
3．从0 ~ 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求：
（1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率p；
（2）取的至少有3个电话号码相同的概率q.
4. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？
5. 已知16
1)()(,0)(,41)()()(====
==BC P AC P AB P C P B P A P ，求事件C B A ,,全不发生的概率.
6. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？
7. 某一工厂有C B A ,,三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是C B A ,,车间生产的概率.
8. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
9. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率.
10. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为
81
80, 求该射手的命中率.
11. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率.。
