2018年江苏省高一下学期期中考试数学试卷

2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.963.（单选题，3分）已知sinα= 1，则cos2α的值为（）8A. −3132B. 3132C. 6364D. −63644.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √555.（单选题，3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB=sinC，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.57.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12的值为（）8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosαA.-3B.3C. 13D.- 139.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 16√33D. 32√3912.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π513.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折，则二面角C-BM-A的大小为___ ．成二面角，折后A与C的距离为√6216.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．时，求b、c的值；（1）当a=2，m=54（2）若角A为锐角，求m的取值范围．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD || 面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45的值；（1）若c=2a，求sinBsinC，求sinA的值．（2）若C-B= π422.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△AB C不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面【正确答案】：C【解析】：在A中，不同线的三点确定一个平面；在B中，四边形有可能是空间四边形；在C中，梯形有一组对边平行，一定是平面图形；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面．【解答】：解：在A中，不同线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定是平面图形，故B错误；在C中，∵梯形有一组对边平行，而平行线能确定一个平面，∴梯形一定是平面图形，故C正确；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面，故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、平面的基本性质及定理等基础知识，属于基础题．2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.96【正确答案】：B【解析】：由正方体的表面积为96，求出正方体的棱长为4，由此能求出正方体的体积．【解答】：解：设正方体的棱长为a，∵正方体的表面积为96，∴S=6a2=96，解得a=4，∴正方体的体积为V=43=64．故选：B．【点评】：本题考查正方体的体积的求法，考查正方体的结构特征等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．3.（单选题，3分）已知sinα= 18，则cos2α的值为（）A. −3132B. 3132C. 6364D. −6364【正确答案】：B【解析】：由sinα计算二倍角的余弦值即可．【解答】：解：由sinα= 18，则cos2α=1-2sin2α=1-2× (18) 2= 3132．故选：B．【点评】：本题考查了二倍角的余弦值的计算问题，是基础题．4.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √55【正确答案】：A【解析】：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，利用向量法能求出异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C （0，2，0），D （0，0，0），D 1（0，0，2），E （1，2，0），CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，0）， D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，-2），设异面直线CD 和D 1E 所成角为θ，则cosθ= |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ •D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√4•√9 = 23 ． ∴异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值为 23 ．故选：A ．【点评】：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.（单选题，3分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sinAcosB=sinC ，则△ABC 的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【正确答案】：B【解析】：由已知等式可得sin（A-B）=0，结合角的范围可得A=B，则答案可求．【解答】：解：由2sinAcosB=sinC，得2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π，则A-B=0，即A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故选：B．【点评】：本题考查三角形形状的判断，考查两角和与差的正弦，是基础题．6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：C【解析】：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，分析可得△O′A′B′的面积S′，由直观图的性质S′S = √24计算可得答案．【解答】：解：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，△O′A′B′中，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则其面积S′= 12×2×2×sin∠A′O′B′= 12×2×2× √22= √2，又由S′S = √24，则S= S′√24=4；故选：C．【点评】：本题考查平面图形的直观图，涉及由直观图还原原图，属于基础题．7.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12【正确答案】：C【解析】：直接利用正弦定理求出结果．【解答】：解：已知：B=60°，a=1，b=2，利用正弦定理：asinA =bsinB，解得：sinA= √34，故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理的应用及相关的运算问题．8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα的值为（）A.-3B.3C. 13D.- 13【正确答案】：A【解析】：由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】：解：∵tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα = tanα+1tanα−3=-3，故选：A．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α【正确答案】：D【解析】：在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由面面垂直的性质定理得n⊥α．【解答】：解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，得：在A中，若m || β，n⊥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m || α，n || β，α || β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则由面面垂直的性质定理得n⊥α，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）【正确答案】：A【解析】：根据锐角三角形的性质，先求出A的范围，结合正弦定理进行转化求解即可．【解答】：解：在锐角三角形中，0＜2A＜π2，即0＜A＜π4，且B+A=3A，则π2＜3A＜π，即π6＜A＜π3，综上π6＜A＜π4，则√22＜cosA＜√32，∵a=2，B=2A，∴由正弦定理得asinA =bsinB=b2sinAcosA，得b=4cosA，∵ √22＜cosA＜√32，∴2 √2＜4cosA＜2 √3，即2 √2＜b＜2 √3，则b的取值范围是（2 √2，2 √3），故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决本题的关键．11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 163√3D. 329√3【正确答案】：D【解析】：由题意画出图形，可得PD=2PC，研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），可知当P到底面距离为4√33时三棱锥P-BCD的体积最大，则答案可求．【解答】：解：∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP，同理BC⊥平面D1DCC1，则BC⊥CP，∠APD=∠MPC，∴△PAD∽△PMC，∵AD=2MC，∴PD=2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设D（0，0），C（4，0），C1（4，4），设P（x，y），∵PD=2PC，∴ √x2+y2 = 2√(x−4)2+y2，化简得：3x2+3y2-32x+64=0（0≤x≤4）．该圆与CC1交点的纵坐标最大，交点坐标为（4，4√33），三棱锥P-BCD的底面BCD的面积为8，则三棱锥P-BCD的体积最大值是13×8×4√33=32√39．故选：D．【点评】：本题考查棱锥体积的求法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是中档题．12.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π5【正确答案】：B【解析】：由题意画出图形，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，由线面垂直的判定和性质可得M点的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周，利用空间向量求解球心的平面的距离，然后求解圆的半径得答案．【解答】：解：如图：棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，BN，∵NC1=2NB1，∴CP⊥BN，又DC⊥平面BCC 1B 1，∴DC⊥BN ，则BN⊥平面DCP ，则M 点的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周．建立如图所示的坐标系，则D （0，0，0），C （0，6，0），P （6，6，2），O （3，3，3）， 设平面DOP 的法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），由 {n ⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {6y =06x +2z =0 ，令x=1．y=0，z=-3，所以 n ⃗ =（1，0，-3）， O 到平面DOP 的距离为： |DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ | = |3+0−9|√1+9 = 6√10， 所以截面圆的半径为： √32−(6√10)2 = 3√155 ． 所以动点M 运动路线的长度为： 2×3√155×π = 6√155π ． 故选：B ．【点评】：本题考查考查空间想象能力和思维能力，训练了点到平面的距离的求法，正确找出M 点的轨迹是关键，属于难题．13.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．【正确答案】：[1]3：1：2 【解析】：由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式，求出圆柱、圆锥及球的体积，进而得到答案．【解答】：解：设球的半径为R ，则圆柱和圆锥的高均为2R ，则V 圆柱=2π•R 3，V圆锥= 2π•R3，3π•R3，V球= 43故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2【点评】：本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．【正确答案】：[1] 7043【解析】：设t小时后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，进而根据时间和速度表示出AD和BE，求得BD=200-80t，题就就抓化为求DE最小时t的值．利用余弦定理建立方程，根据二次函数的性质求得函数取最小值时t的值．【解答】：解：如图所示：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t．因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD•BEcos60°=（200-80t）2+2500t2-（200-80t）•50t=12900t2-42000t+40000．时DE最小．当t= 7043故答案为：7043【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．应熟练掌握如正弦定理，余弦定理及其变形公式．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，则二面角C-BM-A的大小为___ ．【正确答案】：[1]120°【解析】：推导出MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，从而∠CMA是二面角C-BM-A的大小，利用余弦定理能求出二面角C-BM-A的大小．【解答】：解：∵在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，∴AC= √12+12 = √2，∵M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，∴MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA是二面角C-BM-A的大小，∴cos∠CMA= AM2+CM2−AC22×AM×CM =12+12−322×√22×√22=- 12，∴∠CMA=120°，∴二面角C-BM-A的大小为120°．故答案为：120°．【点评】：本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．16.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：结合三角形关系和式子sinA=4sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，进而得到tanB+tanC=4tanBtanC，结合函数的单调性可求得最小值．【解答】：解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=4sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在① 式两侧同时除以cosBcosC，可得：tanB+tanC=4tanBtanC，又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=- tanB+tanC1−tanBtanC，② ，则tanAtanBtanC=- tanB+tanC1−tanBtanC•tanBtanC，由tanB+tanC=4tanBtanC，可得tanAtanBtanC=- 4(tanBtanC)21−tanBtanC，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由② 式得1-tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=- 4t21−t =- 41t2−1t，1t2- 1t=（1t- 12）2- 14，由t＞1得，- 14≤ 1t2- 1t＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为16．故答案为：16．【点评】：本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想，有一定灵活性，属于中档题．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．（1）当a=2，m=54时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2-4bc=0．a=2，m=54时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】：解：（1）由题意得b+c=ma，a2-4bc=0．当a=2，m=54时，b+c=52，bc=1．解得 {b =2c =12或{b =12c =2． （2） cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c )2−2bc−a 22bc =m 2a 2−a 22−a 2a 22=2m 2−3∈(0，1) ． ∴ 32＜m 2＜2 ，又由b+c=ma 可得m ＞0，所以√62＜m ＜√2 ． 【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA=PC ，E 为PB 的中点．（1）求证：PD || 面AEC ；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB ．【正确答案】：【解析】：（1）设AC∩BD=O ，连接EO ，证明PD || EO ，利用直线与平面平行的判定定理证明PD || 面AEC ．（2）连接PO ，证明AC⊥PO ，AC⊥BD ，通过PO∩BD=O ，证明AC⊥面PBD ，然后证明面AEC⊥面PBD【解答】：解：（1）证明：设AC∩BD=O ，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD || EO…（4分）而PD⊄面AEC ，EO⊂面AEC ，所以PD || 面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面P BD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，利用两角差的余弦公式求出cosβ的值；（2）由△AOB的面积值求出OB，再利用余弦定理求得AB的值．【解答】：解：（1）由题可得∠AOB=120°，∠BAO为锐角，且sin∠BAO=sinα= 35，所以cosα= 45，所以cosβ=cosB=cos（60°-α）=cos60°cosα+sin60°sinα= 12 × 45+ √32× 35= 4+3√310；（2）由OA=3，计算△AOB的面积为：S= 12OA×OB×sin∠AOB= 12×3OB×sin120°= 3√34OB= 15√34，解得OB=5；由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB=9+25-2×3×5×（- 12）=49，所以AB=7，即A、B间的距离为7km．【点评】：本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．【正确答案】：【解析】：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B-DEG 的高，求出三角形DEG的面积，再由等体积法即可求得三棱锥G-BDE的体积．【解答】：（1）证明：取AC的中点P，连接DP，∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴∠A=30°，△ADC是等腰三角形，得DP⊥AC，DP= √3，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4，∴AE=2，EP=1，得∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，即ED⊥DC；∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴DE⊥平面BCD；（2）解：EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴BD= √3，DC= √32+(√3)2=2√3，∴B到DC的距离h= BD×BCDC = √3×32√3=32，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．∵ S△DEG=12×2×√3=√3，∴ V G−BDE=V B−DEG=13S△DEG×ℎ = 13×√3×32=√32．即三棱锥G-BDE的体积为√32．【点评】：本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45．（1）若c=2a，求sinBsinC的值；（2）若C-B= π4，求sinA的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知及余弦定理可得a 2+c2−b22ac= 45，结合c=2a，可求bc= 3√510，进而利用正弦定理即可得解．（2）利用二倍角的余弦公式可求cos2B的值，进而可求sinB，sin2B的值，由于A= 3π4-2B，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】：（本小题满分14分）解：（1）在△ABC中，因为cosB= 45，所以a 2+c2−b22ac= 45．因为c=2a，所以(c2)2+c2−b22c×c2= 45，即b2c2= 920，所以bc = 3√510，由正弦定理得sinBsinC =bc，所以：sinBsinC =3√510．（2）因为cosB= 45，所以cos2B=2cos2B-1= 725．又0＜B＜π，所以sinB= √1−cos2B = 35，所以sin2B=2sinBcosB=2× 35×45= 2425．因为C-B= π4，即C=B+ π4，所以A=π-（B+C）= 3π4-2B，所以sinA=sin（3π4 -2B）=sin 3π4cos2B-cos 3π4sin2B= √22×725-（- √22）× 2425= 31√250．【点评】：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的余弦公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理知ABsinC = bsinB= asinA=2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．【解答】：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°，由ABsinC = bsinB= asinA=2R=4⇒b=2 √2，sinA= 12∵A为锐角∴A=30°，又B=45°∴C=105°，∴AB=2Rsin105°=4sin75°= √6+√2；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1，cosC= a2+b2−c22ab＜0，∴a2+b2＜c2＜（2R）2，即a 2+b 2＜4R 2．（3）a ＞2R 或a=b=2R 时，△ABC 不存在， 当 {a =2R b ＜a 时，A=90°，△ABC 存在且只有一个，∴c= √a 2−b 2 ，当 {a ＜2R b =a时，∠A=∠B 且都是锐角即sinA=sinB= a2R 时，△ABC 存在且只有一个，∴c=2RsinC=2Rsin2A=2R×2sinAcosA= a R√4R 2−a 2 ， 当 {a ＜2Rb ＜a时，∠B 总是锐角，∠A 可以是钝角，可是锐角，∴△ABC 存在两个， ∠A ＜90°时，c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ， ∠A ＞90°时， c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ，【点评】：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a ，b 两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．。

江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数 学 试 卷2018.4说明：1. 以下题目的答案做在答卷纸上.2. 本卷总分160分，考试时间120分钟.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应．．．．．的位置上．．．．． 1.数列{}n a 中，)2(1,1111≥+==--n a a a a n n n ，则3a = ▲ ．2.在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则A 为 ▲ ．3.在函数①1y x x =+,②1sin sin y x x =+π0 2x ∈（，）,③22y x =+④42x x y e e =+-中， 最小值为2的函数的序号是 ▲ ．4.设n S 是等差数列{a n }的前n 项的和．若27a =，77S =-，则7a 的值为 ▲ ．5.在ABC ∆中，若3,6==a A π，则=++++CB A cb a sin sin sin ▲ ．6.已知数列{}n a 满足*1112,()1nn na a a n a ++==∈-N ，则2018a 的值为 ▲ ． 7.设正项等比数列{a n }满足4352a a a -=．若存在两项a n 、a m ，使得m n a a a ⋅=41，则n m + 的值为 ▲ ．8.在△ABC 中，若1a =，b 6π=A ，则△ABC 的面积是 ▲ ．9.已知数列{}n a 的通项公式,12+=n a n 则1132211111+-++⋅⋅⋅++n n n n a a a a a a a a = ▲ ． 10.在ABC ∆中,,2,60a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围为 ▲ ． 11.在△ABC 中，已知π32,4==A BC ，则AC AB ⋅的最小值为 ▲ ． 12.已知钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．13.已知数列{}n a 为公比不为1的等比数列，满足12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，且对任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，则k 的值为 ▲ ．14.已知,4,,=+∈b a R b a 则111122+++b a 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)在等比数列}{n a 中， 0n a >，公比)1,0(∈q ，252825351=++a a a a a a ， 且2是3a 与5a 的等比中项． (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设n n a b 2log =，数列}{n b 的前n 项和为n S ，当nS S S n +++ 2121最大时，求n 的值．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c B c C b +=cos sin 3 (1)求角B ； (2)若2b ac =，求11tan tan A C+的值．17．(本小题满分14分)某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．(本小题满分16分)已知0x >，0y >，24xy x y a =++. (1)当16a =时，求xy 的最小值；(2)当0a =时，求212x y x y+++的最小值.19．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． (1)求证：数列{}n a 为等比数列； (2)若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+，求数列{}n b 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和．20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）． (1)若21a a =+，322a a =，且数列{}n b 是公差为3的等差数列，求2n S ；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +--≥-恒成立，求a 的取值范围．江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数 学 试 卷(附加)命题人：徐惠杰 2018.4说明：1. 以下题目均为必做题，请将答案写在答卷纸上. 2. 本卷总分40分，考试时间30分钟. 一、 填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．1.等比数列{}n a 中，若对任意正整数n 都有1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-，则 22212n a a a ++⋅⋅⋅+= ▲ ．2.在△ABC 中,A B 2=,则ab的取值范围是 ▲ ．3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列也为等差数列，则10a = ▲ ．4.正数y x ,满足111=+y x ，则1813-+-y yx x 的最小值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共16分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 5.在数列{}n a 中，11a =，283a =，111(1)n n nn a a n λ++=++，λ为常数，*n ∈N ． （1）求λ的值； （2）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （3）是否存在正整数r s t ，，（r s t <<），使得r s t ，，与r s t a a a ，，都为等差数列？若存在，求r s t ，，的值；若不存在，请说明理由．江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数 学 试 卷答案1.25 2.32π 3.④ 4. -13 5.326.-37.68.42 9.96+n n10.)334,2( 11.38-12.8 13.25- 14. 452+二、解答题15.解：⑴ 由252825351=++a a a a a a 得235()25a a +=.................2分0>n a ,得355a a +=因为354a a ⋅=得354,1a a ==, 求得12q =, ...................5分 所以52nn a -= ...........................................7分⑵ 2log 5n n b a n ==-．...........................................9分 因为对任意n N *∈，11n n b b +-=-，所以{}n b 是以4为首项，1-为公差的等差数列．所以292n n n S -=．..........................................12分9,90,90,90,2n n n n S S S S n n n n n n n n-=<>==><时，时，时， 所以nS S S n +++ 2121最大为89n =或者． ...................14分16．解：（1）由正弦定理得sin cos sin sin B C B C C =+，ABC ∆中，s i n 0C>，所以cos 1B B -=，................................................3分所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=；........................6分（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，........................8分11cos cos cos sin sin cos sin()sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C A C B B A C A C A C A C A C A C π++-+=+==== ...............................................................................................................12分所以，211sin1tan tan sin sinBA CB B+==分17(1)05x<≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x=-+=-+--+=-+-．........................................................................................3分令20.4 3.2 2.80y x x=-+-≥得，17x≤≤，从而15x≤≤，即min1x=．.................6分（2）当05x<≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x=-+-=--+，所以当4x=时，max3.6y=（万元）．.....................................8分当5x>时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x xx x=-+=--+=--+--．...10分因为9363xx-+-≥（当且仅当933xx-=-即6x=时，取“=”），所以max3.7y=（万元）．.......................................................... 13分综上，当6x=时，max3.7y=（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元．.......14分18.（1）当16a=时，2416416xy x y xy=++≥+， (3)分即280-≥，4)0∴≥，4≥，16xy∴≥，.......................................6分当且仅当48x y==时，等号成立。

江苏省徐州市2018—2019学年高一下学期期中考试数学试题2019．4一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．已知直线l 过A(1，1)、B(﹣1，3)两点，则直线l 的倾斜角的大小为 A ．6π B ．4π C ．34π D ．23π2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为 A ．163π B ．323π C ．643π D ．2563π3．如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线A x ＋B y ＋C ＝0不经过第几象限A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ，b ，A ＝60°，则B 的大小为 A ．6π B ．4π C ．34π D ．4π或34π5．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1—BB 1D 1D 的体积为A ．3 B ．13 C ．6 D ．146．已知直线l 1：310ax y ++=与直线l 2：2(1)10x a y +++=互相平行，则实数a 的值为 A ．﹣3 B ．35-C ．2D ．﹣3或27．△ABC 中，∠A ＝30°，AB ，BC ＝1，则△ABC 的面积等于A B C D 8．设m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．49．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E ，F ，F 1，E 1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为A B ．2 C ．2 D ．9410．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2tanB ＝b 2tanA ，则△ABC 的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．直线l 1：240kx y k --+=与x 轴交于点M ，直线l 2：420x ky k +--=与y 轴交于点N ，线段MN 的中点为P ，则点P 的坐标(x ，y )满足的方程为 A ．(25)(2)0x y x y +--= B ．250x y +-= C ．(24)(2)0x y x y +++= D ．240x y +-=12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11tan A tan B-的取值范围是A ．(1B ．(1)C ．)D ．(1，+∞) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 13．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是．14．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则圆柱的体积为 ．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝ m ．16．在△ABC 中，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，BC ＝3，则边AC 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题满分10分）已知直线l 过点P(2，3)，根据下列条件分别求直线l 的方程：（1）直线l 的倾斜角等于23π； （2）直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0．18．（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点． （1）求证：B 1C 1∥平面A 1DE ；（2）求证：平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1．19．（本题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知b sinA ＝a cos(B ﹣6π)． （1）求角B 的大小；（2）设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A ﹣B)的值．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝2AD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：EF ⊥平面PDC ．21．（本题满分12分）如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头．∠MPN 为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：AD ＝6米，AE ＝6米，AP ＝2米，∠MPN ＝4π．记∠EPM ＝θ(弧度)，监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（参考数据：tan 54≈3） （2）求S 的最小值．22．（本题满分14分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，AD ＝CD ＝4． （1）当四边形ABCD 内接于圆O 时，求四边形ABCD 的面积S ； （2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线BD 的长．。

苏州市2018～2018学年度第二学期高一期终考试2018.6数 学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．2. 请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，第Ⅱ卷的解答写在答题卷上，在本试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知98a p =，则角a 的终边所在的象限是(A ) 第一象限 (B ) 第二象限 (C ) 第三象限 (D ) 第四象限2. cos75cos15⋅的值是(A )12 (B ) 14(C (D 3. 与向量(12,5)=a 平行的单位向量为 (A ) 125(,)1313-(B ) 125(,)1313-- (C ) 125(,)1313或125(,)1313--(D ) 125(,)1313-或125(,)1313-4. 若cos()x p -=[0,2]x p ∈，则x 等于 (A )6p (B ) 3p (C ) 6p 或116p (D )3p 或53p5. 下列函数中，在区间(0,2)p 上为增函数且以p 为同期的函数是 (A ) sin 2xy = (B ) sin y x = (C ) tan y x =-(D ) cos 2y x =-6. 若向量(1,1)=a ，(1,1)=-b ，(1,2)=--c ，则=c (A ) 1322--a b(B ) 1322-+a b(C ) 3122-a b(D ) 3122-+a b7. 已知,x y ∈+R ，且满足20x y +=，则lg lg x y +的最大值是 (A ) 40(B ) 10(C ) 4(D ) 28. 设OA =a ，OB =b ，OC =c ，当l m =+c a b (,)l m ∈R ，且1l m +=时，点C 在 (A ) 线段AB 上(B ) 直线AB 上(C ) 直线AB 上，但除去A 点 (D ) 直线AB 上，但除去B 点9. 已知向量a 、b 的夹角为60，||1=a ，||2=b ，若()()m +⊥-a b a b ，则m 的值为(A )52(B ) 52-(C )32 (D ) 32-10. 已知0a <，10b -<<，那么(A ) a aa b b -<<(B ) a aa b b -<<(C ) a aa b b<-<(D )a a ab b<<- 11. 把函数sin 2y x =的图象按向量a 平移后得到函数sin(2)36y x p=++的图象，则向量a 是(A ) (,3)6p (B ) (,3)6p - (C ) (,3)12p -- (D ) (,3)12p -12. 已知函数2sin()y x w q =+为偶函数(0)q p <<，其图象与直线2y =的交点的横坐标为12,x x ．若12||x x -的最小值为p ，则(A ) 2w =，2p q =(B ) 2w =，4p q = (C ) 12w =，4p q = (D ) 12w =，2p q = 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卷相应的横线上． 13. 在ABC △中，已知0AB AC ⋅>，154ABC S =△，||3,||5AB AC ==，则BAC ∠= ▲ ． 14. 已知3cos 5q =-，且32p q p <<，则tan()4pq -= ▲ ．15. 要做一个长方体无盖的箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果这个箱子的箱底每1 m 2的造价为200元，箱子的壁每1 m 2的造价为100元，拼接等其它材料是箱底和箱壁总造价的10％，则这个箱子的最低造价为 ▲ 元．16. 如下图，一个人在地面上某处用测量仪测得一铁塔顶的仰角为q ，由此处向铁塔的方向前进30 m ，测得铁塔顶的仰角为2q ，再向铁塔的方向前进，又测得铁塔顶的仰角为4q ．如图测量仪的高为三．解答题：本大题共6小题，共74分．请把解答写在答题卷规定的答题框内．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a a b b ==a b ． (Ⅰ) 求(2)⋅+a a b 的取值范围； (Ⅱ) 若3pa b -=，求|2|+a b ．18. (本小题满分12分)已知ABC △的顶点坐标为(1,0),(5,8),(7,4)A B C -，在边AB 上有一点P ，其横坐标为4． (Ⅰ) 设AP AB l =，求实数l ；(Ⅱ) 在边AC 上求一点Q ，使线段PQ 把ABC △分成面积相等的两部分．19. (本小题满分12分)已知34OA =-i j ，5OB =-i j ，(5)(3)OC m m =--+i j ()m ∈R ，其中,i j 分别是直角坐标系内x 轴和y 轴正方向上的单位向量．(Ⅰ) 若ABC △是以A ∠为直角的直角三角形，求m 的值； (Ⅱ) 若点,,A B C 能构成三角形，求m 应满足的条件．20. (本小题满分12分)设函数()sin()(0,)22f x x p pw j w j =+>-<<，给出下列三个论断： (1)()f x 的图象关于直线6x p=-对称； (2)()f x 的周期为p ；(3) ()f x 的图象关于点(,0)12p对称．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．21. (本小题满分12分)已知tan ,tan a b 是方程2430x px --= (p 为常数) 的两个根． (Ⅰ) 求tan()a b +；(Ⅱ) 求22cos2cos22sin ()a b a b +-．22. (本小题满分14分)定义在非零实数集上的奇函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且(3)0f -=．(Ⅰ) 求(3)f 的值；(Ⅱ) 求满足()0f x >的x 的集合；(Ⅲ) 若3()cos()1(),[,2]42g x x a a x p pp ++-∈∈R ．是否存在实数a ，使得[()]0f g x >恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．苏州市2018～2018学年度第二学期高一期终考试数学参考答案和评分标准说明：1．本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：每小题5分，满分60分．解析：1. 因为988pa p p ==+，所以角a 的终边在第三象限．2. 11cos75cos15sin15cos15sin3024⋅=⋅==．3. 与向量(12,5)=a 平行的向量有两个，它们是：125(,)||1313=a a 或125(,)||1313-=--a a ．4. 对cos()x p -=应用诱导公式，可得cos x =．又因为[0,2]x p ∈，所以6x p=或116x p=． 5. 在四个函数中，周期为p 的函数是tan y x =-与cos 2y x =-，其中在区间(0,2)p 上为增函数的只有cos 2y x =-．6. 一般方法：设x y =+c a b ，则(,)(1,2)x y x y +-=--，解之得31,22x y =-=．特殊方法：131(1,2)(1,0)(0,2)()()222=--=--=-+--=-+c a b a b a b ．7. 由基本不等式可得，2lg lg lg lg()22x y x y xy ++==…，当且仅当10x y ==时取等号．因此，lg lg x y +的最大值是2．8. 由已知可得，(1)OC OA OB m m =-+，即()OC OA OB OA m -=-，即AC AB m =，即AC与AB 共线．因此，点C 在直线AB 上．9. 首先，由向量a 、b 的夹角为60，||1=a ，||2=b ，可得221,4,1==⋅=a b a b ；再由()()m +⊥-a b a b ，可得22()()(1)250m m m m +⋅-=+-⋅-=-=a b a b a a b b ，即52m =． 10. 首先，由0a <，10b -<<，知0,0,0a a a b b >-<<．而11b->，两边同乘以负数a 得a a b -<．因此，a aa b b-<<． 11. 函数sin(2)36y x p =++可改写为3sin 2()12y x p -=+，所以(,3)12p=-a ．12. 由函数2sin()y x w q =+为偶函数(0)q p <<，知2pq =；由12||x x -的最小值为p ，知2sin()y x w q =+的最小正周期为p ，所以2w =．因此，2w =，2p q =． 二．填空题：每小题4分，满分16分．13．30； 14．17； 15．8800； 16．16.5．解析： 13. 把154ABC S =△，||3,||5AB AC ==代入三角形面积公式1||||sin 2ABC S AB AC A =⋅△，得1sin 2A =；再由0AB AC ⋅>知角A 为锐角．因此，30A ∠=． 14. 由3cos 5q =-，且32p q p <<，得4sin 5q =-，4tan 3q =．所以tan 11tan()41tan 7p q q q --==+．15. 设这个箱子的箱底的长为x m ，则宽为16xm ，设箱子的总造价为()f x 元．根据题意，得 3216()[200161003(2)]110%660()3520f x x x x x=⨯+⨯+⨯=++． 当且仅当4x =时，()f x 取最小值8800．16. 在ADE △中，2,4ADE AED AED q q ∠=∠=∠=，30,AD DE AE ===角形得230q =，460q =，所以sin 6015AC AE ==，15 1.516.5+=．因此，铁塔的高为16.5 m ． 三．解答题：17. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)2(2)212(cos cos sin cos )a b a b ⋅+=+⋅=++a a b a a b …………………………… 2分12cos()a b =+-． ………………………………………………………………… 3分 ∵1cos()1a b --剟，……………………………………………………………… 4分∴(2)⋅+a a b 的取值范围是[1,3]-． ……………………………………………… 6分 (Ⅱ) 222|2|4454cos()a b +=+⋅+=+-a b a a b b ， …………………………………… 9分∵3p a b -=，∴1cos()2a b -=． ………………………………………………… 11分 ∴2|2|7+=a b，即|2|+a b 12分 18. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)设(4,)P b ，则(3,),(4,8)AP b AB ==．…………………………………………… 2分∵AP AB l =，则(3,)(4,8)b l =，∴34l =．……………………………………… 4分 (Ⅱ)设(0)AQ AC m m =>．∵||||31||||42APQ ABCS AP AQ S AB AC l m m ====△△，……………………………………………… 6分∴23m =．………………………………………………………………………………8分 设(,)Q Q Q x y ，则2(1,)(6,4)3Q Q x y -=-．………………………………………… 10分∴85,3Q Q x y ==-．∴8(5,)3Q -．………………………………………………… 12分19. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)由题意A ∠为直角，∴0AB AC ⋅=． ……………………………………………… 1分∵23AB OB OA =-=+i j ，(2)(1)AC OC OA m m =-=-+-i j ，…………………3分 ∴(23)[(2)(1)]0m m +⋅-+-=i j i j ．…………………………………………………4分 ∴2(2)3(1)0m m -+-=．………………………………………………………… 5分 解得75m =．……………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)若AB 与AC 共线，则存在实数l ，使得AC AB l =，…………………………… 8分即(2)(1)(23)m m l -+-=+i j i j ．∴22,13.m m l l -=⎧⎨-=⎩∴4m =．……………………………………………………………10分∵点,,A B C 能构成三角形，∴AB 与AC 不共线．……………………………… 11分 又点,B C 不重合，故实数m 应满足的条件为4m ≠．…………………………… 12分20. 本小题满分12分．解：正确命题为：(1)(2)⇒(3).(或(2)(3) ⇒ (1)) ……………………………………… 2分下面证明(1)(2)⇒(3)的正确性．∵()sin()f x x w j =+的周期为p ，∴2pp w=．∴2w =．………………………………4分 又∵()f x 的图象关于直线6x p =-对称，∴2()(62k k p pj p ⨯-+=+∈Z)．………… 6分 ∴5()6k k pj p =+∈Z ．……………………………………………………………………7分 ∵22p p j -<<，∴1k =-，∴6pj =-．…………………………………………………9分 ∴()sin(2)6f x x p=-．……………………………………………………………………10分当12x p=时，0y =， 即()f x 的图象关于点(,0)12p对称． …………………………………………………… 12分注：(2)(3) ⇒ (1)证法类上，可解得()sin(2)6f x x p=-．21. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)∵tan ,tan a b 是方程2430x px --= 的两个根，∴tan tan 4,tan tan 3p a b a b +==-．………………………………………………2分∴tan tan 4tan()1tan tan 1(3)pp a b a b a b ++===---．……………………………………… 5分 (Ⅱ) 22cos2cos22sin ()a b a b +-2cos2cos21cos2()a b a b =+-- ………………………………………………… 6分 cos 2cos 2sin 2sin 21a b a b =-+…………………………………………………… 7分 cos 2()1a b =++ …………………………………………………………………… 8分22cos ()a b =+．…………………………………………………………………… 9分 ∵tan()p a b +=，∴sin()cos()p a b a b +=+．∴222222sin ()cos (),1cos ()cos ()p p a b a b a b a b +=+-+=+． 即221cos ()1p a b +=+．…………………………………………………………… 11分 ∴2222cos 2cos 22sin ()1p a b a b +-=+． ……………………………………… 12分 22. 本小题满分14分．解：(Ⅰ)∵()f x 是奇函数，∴(3)(3)f f -=-．∵(3)0f -=，∴(3)0f =．………………………………………………………… 2分(Ⅱ)∵奇函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，∴()f x 在(0,)∞上也是减函数． ……… 3分当0x <时，由()0(3)f x f >=-，得3x <-；…………………………………… 4分 当0x >时，由()0(3)f x f >=，得03x <<．…………………………………… 5分 ∴当()0f x >时，有3x <-或03x <<． ………………………………………… 6分 因此，满足()0f x >的x 的集合为{|x 3x <-或03x <<}． (Ⅲ)由(Ⅱ)知，要使[()]0f g x >在3[,2]2x pp ∈上恒成立， 即只要使()3g x <-或0()3g x <<在3[,2]2x pp ∈上恒成立．…………………… 7分∵())1]14g x a x p=+-+，令)14t x p=+-，则()1g x at =+．∵3[,2]2x p p ∈，∴79[,]444x p p p+∈，cos()4x p +∈．∴1]t ∈．…………………………………………………………………… 9分①当0a ?时，()g x 在3[,2]2x pp ∈上的最大值是1)1a +，最小值是1． 要使()3g x <-或0()3g x <<在3[,2]2x pp ∈上恒成立，只要1)13a +<，即02a <…．…………………………………… 11分②当a <0时，()g x 在3[,2]2x pp ∈上的最大值是1，最小值是1)1a +． 要使()3g x <-或0()3g x <<在3[,2]2x pp ∈上恒成立，只要1)10a +>，即10a <<．…………………………………… 13分综合①②知，实数a 的取值范围(1,1)．……………………………14分。

江苏省仪征中学2018-2018年度第二学期期中考试高 一 数 学 试卷本试卷分为第Ⅰ卷（填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，满分160分，时间120分钟.一.填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分，请将答案填在答案纸相应位置．)1．等差数列1，-1，-3，-5，．．．，-89的项数是 ▲2．已知数列}{n a 是等差数列，且1713a a a π++=-，则7sin a ＝ ▲ .3．若不等式022>++bx ax 的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 值是 ▲ ．4．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+= ▲ ．5．若实数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为 ▲ ．6．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系 ▲ ．7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则 ▲ ．8．在△ABC 中，若cos cos ,a A b B =则△ABC 的形状是 ▲ ．9．等比数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，当333S a =时，公比q = ▲ ．10．在等差数列{}n a 中，公差1d =，前100项的和100100S =，则99531...a a a a ++++=▲ ．11．已知数列{}n a 中，()12121,2,,3,n n n a a a a a n N n +--===-∈≥则2011a = ▲ ．12．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若a ，b ，c 成等比数列，==cB b A sin ,60则 ▲ ．13．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行()4n ≥从左向右的第4个数为 ▲ ．14．某人2018年7月1日在银行存入一年定期存款a 元，以后每年7月1日到银行将原来存款的本金与利息转为新一年的定期存款，并再新存入一年定期存款a 元。

南京市2018年高一（下）期中试卷数学一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分）1。

不等式（x－2）(x－2)＜0的解集为________。

2.已知数列{a n｝为等差数列，公差是2，a3＝5,则a2＝________.3。

已知三个实数3，x，12成等比数列，则x＝________。

4.已知函数f (x）＝x＋错误!（x＞0），则函数f (x)的最小值是________。

5.在△ABC中，a、b分别是∠A、∠B所对的边，∠A＝错误!，∠B＝错误!，b＝8，则a的值为________.6.已知数列｛a n}为等差数列,其前n项和为S n，若a5＝8，a9＝24，则S13＝________。

7.已知m、n均为正实数，且m＋2n＝1，则mn的最大值为________。

8。

锐角．．△ABC的面积为10错误!，且AB＝5，AC＝8，则BC的值为________。

9.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S8,S7，S9成等差数列,则公比q为________。

10.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，若b2＋c2－错误!bc ＝a2，且错误!＝错误!，则∠C的大小为________.11。

已知f (n)＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!,若f （n）＜10，则正整数n的最大值为________.12。

关于x的不等式2kx2＋kx－错误!≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是________.13.若x,y∈(0,＋∞）,x＋错误!＋xy＝4，则错误!的取值范围是________.14.对于数列｛a n}，定义b n(k）＝a n＋a n＋k,其中n，k∈N*.若a1＝1，a32－2a3－3＞0，且对任意n,k∈N＊,都有b n＋1(k）＝λb n(k)，则实数λ的取值范围为________.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15。

（本小题满分14分）已知数列｛a n}为等差数列，且a2＝－2，a8＝10（1）求数列｛a n}的通项公式(2）已知数列数列｛b n}为等比数列，其前n项和为S n，且b1＝a4，b4＝a11，ABCDCDES n ＝510,求n 的值。

高一下学期期中考试数学试题一、填空题1．过两点()()1,2,3,4M N 的直线的斜率为__________. 2．若数列{}n a 满足()*1220n n n a a a n N++-+=∈，且122,4aa ==，则数列{}n a 的通项公式为na =____________.3．在A B C ∆中，若sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则co s C=___________4．已知三个数12,,3x 成等比数列，则实数x =_______________.5．不等式的解集为______________.（用区间表示）6．过两点()1,1-和()3,9的直线在x 轴上的截距是___________. 7．在等比数列{}n a 中，已知253432,4a a a a =-+=，且公比为整数，则9a =______.8．若直线220a x y -+=与直线()310x a y +-+=平行，则实数a 的值为_______.9．如果关于x 的不等式210m x m x --≥的解集为∅，则实数m 的取值范围是___.10．A B C ∆内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，且s in ,s in ,s in A B C成等比数列，则角B=___________.11．已知下列四个条件：①0b a>>；②0a b>>；③0ab>>；④0ab >>.能推出11ab<成立的是___________.12．已知函数()2f x x x =-，则不等式()()1fx f ≤的解集为______.13．如图，在A O B ∆中，3,6,4A OB O A Mπ∠==为边A B 上一点，M到边,O A O B的距离分别为2,A B 的长为_____________.14．已知{}{},nna b 均为等比数列，其前n 项和分别为,nnST ，若对任意的*n ∈N ，总有314nn nS T +=，则33a b =．二、解答题 15．设集合A为函数1lg2x y x+=-的定义域，集合B为不等式()()120(0)a x x a -+≥>的解集.（1）若1a =，求A B ⋂；（2）若R B C A⊆，求实数a 的取值范围.16．（1）已知直线l 的方程为()20a x y a a R -++=∈，求证：不论a 为何实数，直线l 恒过一定点P ；（2）过（1）中的点P 作一条直线m ，使它被直线1:430l x y ++=和2:3550l x y --=截得的线段被点P 平分，求直线m 的方程.17．在A B C ∆中，三内角A,B,C 的对边分别为a,b,c. （1）若45,2c A a ===，求,C b ；（2）若tan a b A =，且B 为钝角，证明：2B A π-=，并求sin sin A C +的取值范围.18．如图，A,B,C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度是8千米/小时，乙到达B 地后原地等待，设1tt =时，乙到达C 地.（1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？并说明理由.19．已知数列{}n a 的前n项和为nT ，且*1,2n n T a n N=-+∈，设()*1223lo g n n b a n N+=∈，数列{}nc 满足.nn n c a b =⋅.（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ； （3）若2114n c mm ≤++对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.20．已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列，偶数项是公差为2d 的等差数列， nS 是数列{}n a 的前n 项和，121, 2.a a ==（1）若54516,S a a ==，求10a ；（2）已知15815S a =，且对任意的*n N∈，有1n n a a +<恒成立，求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若()12130d d d =≠，且存在正整数(),m n m n ≠，使得m n a a =，求当1d 最大时，数列{}n a 的通项公式.高一下学期期中考试数学试题【解析】一、填空题1．过两点()()1,2,3,4M N 的直线的斜率为__________. 【答案】1【解析】由斜率公式可得： 42131M N k -==-.2．若数列{}n a 满足()*1220n n n a a a n N++-+=∈，且122,4aa ==，则数列{}n a 的通项公式为n a =____________.【答案】2n【解析】由递推公式可得：211n n n na a a a +++-=-，数列{}n a 是等差数列，故：()2112,12n d a a a a n d n=-==+-=.3．在A B C ∆中，若sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则co s C=___________【答案】12-【解析】由正弦定理可得： sin :sin :sin ::3:5:7A B C a b c ==，不妨设3,5,7(0)am b m c m m ===>，由余弦定理可得：2221c o s 22a b cC a b+-==-.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．4．已知三个数12,,3x 成等比数列，则实数x =_______________.【答案】6±【解析】由题意结合等比中项的结论有： 2123,6xx =⨯∴=±.5．不等式的解集为______________.（用区间表示）【答案】【解析】不等式即：，则不等式的解集是.6．过两点()1,1-和()3,9的直线在x 轴上的截距是___________. 【答案】32-【解析】由题意可得，直线的斜率()91231k -==--，直线方程为： ()923y x -=-， 令0y=可得： 32x =-，即直线在x 轴上的截距是32-.7．在等比数列{}n a 中，已知253432,4a a a a =-+=，且公比为整数，则9a =______.【答案】-256;【解析】由等比数列的性质结合题意有： 25343432{4a a a a a a ==-+=，解得： 348{4a a ==-或438{4a a ==-，结合公比为整数可得： 43824a q a ===--，则：()()669342256a a q==-⨯-=-.点睛：等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 8．若直线220a x y -+=与直线()310x a y +-+=平行，则实数a 的值为_______. 【答案】1;【解析】由直线平行的充要条件可得： 22131a a -=≠-，解得： 1a =.9．如果关于x 的不等式210m x m x --≥的解集为∅，则实数m 的取值范围是___.【答案】(]4,0- 【解析】当0m=时，原命题成立，否则应有：()()2{410m m m <∆=--⨯⨯-<，解得：40m -<<，综上可得：实数m 的取值范围是(]4,0-.点睛：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，0{0a >∆<不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，0{a <∆<.10．A B C ∆内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，且s in ,s in ,s in A B C成等比数列，则角B=___________.【答案】60︒【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，且sinA ，sinB ，sinC 成等比数列， ∴2b =a +c ,sin 2B =sinAsinC ,即b 2=ac ，∴(a +c )2=4ac ,整理可得：(a −c )2=0，解得a =c ，∴b 2=ac =a 2=c 2，可得：a =b =c ，△ABC 为等边三角形， 则角60B =︒.11．已知下列四个条件：①0b a >>；②0a b >>； ③0ab>>；④0ab >>.能推出11ab<成立的是___________.【答案】①,②,④; 【解析】①若b>0>a ，则110a b <<，故①正确； ②若0>a>b ，则ab>0，∴a b a ba b>，即11a b <.故②正确； ③若a>0>b ，则110a b>>，故不能推出11a b<，因此③不正确；④若a>b>0，则a b a b a b >，即11a b<，故④正确。

江苏省泰州中学2018-2018学年度第二学期高一数学期中试卷(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．不等式022≤--x x 的整数解共有 ▲ 个．2．在ABC ∆中，如果4:3:2::=c b a ，那么C cos = ▲ ． 3．在等差数列}{n a 中，当292=+a a 时，它的前10项和10S = ▲ ．4．在A B C ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，已知1,3,3===b a A π，则AB C ∆的形状是 ▲ ．5．海上有B A ,两个小岛相距n 210mile ，从A 岛望C 岛和B 岛所成的视角为060，从B 岛望C 岛和A 岛所成的视角为075，则B 岛和C 岛之间的距离BC = ▲ n mile ．6．若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S = ▲ ． 7．设关于x 的不等式342+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 8．若x x f 6sin)(π=，则=++++)2011()5()3()1(f f f f ▲ ．9．已知等比数列{}n a 满足0n a >，n =l ，2，…，且()252523nn a a n -⋅=≥，则当3n ≥时，212223221log log log log n a a a a -++++= ▲ ．10．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若222b c +-=，且ba=则C ∠= ▲ ．11．设{}n a 是正项数列，它的前n 项和n S 满足：()()314+⋅-=n n n a a S ，则=1005a ▲ ．12．已知1,100=≤<<<ab c a b ，则cb a b a 122+-+的最小值是 ▲ ．13．洛萨⋅科拉茨（Lothar Collatz, 1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即13+n ），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们得到一个数列：3，10，5，16，8，4，2，1．对洛萨⋅科拉茨（Lothar Collatz ）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n （n 为首项）按照上述规则施行变换后的第六项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有可能的取值为 ▲ ．14．我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满足如下两个条件：（1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+. 则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若函数)(x f 在]1,[m x ∈上的最小值为1，求实数m 的值．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ． （Ⅰ）用余弦定理证明：当C ∠为钝角时，222c b a <+；（Ⅱ）当钝角△ABC 的三边,,a b c 是三个连续整数时，求ABC ∆外接圆的半径．17．(本小题满分15分)在ABC∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c，不等式06sin 4cos 2≥++C x C x 对一切实数x 恒成立．（Ⅰ）求C cos 的取值范围；（Ⅱ）当C ∠取最大值，且2=c 时，求ABC ∆面积的最大值并指出取最大值时ABC ∆的形状．18．(本小题满分15分)设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的公比q ；（Ⅱ）求证：3a ，9a ，6a 成等差数列；（Ⅲ）当m a ，s a ，t a []()互不相等t s m t s m ,,,10,1,,∈成等差数列时，求t s m ++的值．19．(本小题满分16分)某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人． （Ⅰ）若9=a ，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ （Ⅱ）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？20．(本小题满分16分)将数列}{n a 中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数 ,,,841a a a 构成的数列为}{n b ，已知：①在数列}{n b 中，11=b ，对于任何*N n ∈，都有0)1(1=-++n n nb b n ； ②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为)0(>q q 的等比数列； ③5266=a ．请解答以下问题： （Ⅰ）求数列}{nb 的通项公式；（Ⅱ）求上表中第)(*N k k ∈行所有项的和)(k S ；（Ⅲ）若关于x 的不等式x x k k S 211)(->+在]201,2001[∈x 上有解，求正整数k 的取值范围．江苏省泰州中学2018-2018学年度第二学期高一数学期中试卷参考答案121110987654321a a a a a a a a a a a a一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1． 4 2． 41- 3． 10 4．直角三角形 5． 310 6． 7- 7． [)1,3-- 8． 23 9． ()21n n - 10． 0010515或11．2011 12．102201+ 13． 32,5,4 14． []13,25二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分) 解：（Ⅰ）由条件得()()()()⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+-+=+--⇒==-032390320301b a b a f f ， 4分解得：4,1=-=b a ． 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得32)(2++-=x x x f ， 8分()x f y = 的对称轴方程为1=x ，)(x f ∴在]1,[m x ∈上单调递增， 10分m x =∴时，()()132,2min =++-∴=m m m f x f ， 12分解得31±=m ．31,1-=∴<m m ． 14分 16．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）当C ∠为钝角时，0cos <C ， 2分由余弦定理得：22222cos 2b a C ab b a c +>⋅-+=， 5分 即：222c b a <+． 6分 （Ⅱ）设ABC ∆的三边分别为()Z n n n n n ∈≥+-,21,,1，ABC ∆是钝角三角形，不妨设C ∠为钝角，由（Ⅰ）得()()4004112222<<⇒<-⇒+<+-n n n n n n ， 9分3,2,,2==∴∈≥n n Z n n ，当2=n 时，不能构成三角形，舍去，当3=n 时，ABC ∆三边长分别为4,3,2， 11分415sin 41322432cos 222=⇒-=⨯⨯-+=C C ， 13分 ABC ∆外接圆的半径1515841524sin 2=⨯==CcR ． 14分 17．(本小题满分15分) 解：（Ⅰ）由已知得：()⎩⎨⎧≥-+⇒≤->02cos 3cos 20cos 24sin 40cos 22C C C C C ， 4分 ()舍去或2cos 21cos -≤≥∴C C ． 5分 1cos 21<≤∴C 6分 （Ⅱ）,21cos ,0≥<<C C π∴当C ∠取最大值时，3π=∠C ． 8分由余弦定理得：ab ab ab ab b a ab b a =-≥-+=⇒⋅-+=243cos2222222π，3433sin 21≤=⋅=∴∆ab ab S ABC π， 12分 当且仅当b a =时取等号，此时()3max =∆ABC S ， 13分 由3,π=∠=C b a 可得ABC ∆为等边三角形． 15分18．(本小题满分15分)解：（Ⅰ）当1=q 时，133a S =，199a S =，166a S =，6392S S S +≠ ，∴3S ，9S ，6S 不成等差数列，与已知矛盾，1≠∴q ． 2分 由6392S S S +=得：()()()qq a q q a q q a --+--=--⋅1111112613191， 4分 即()()()012111236639=--⇒-+-=-q qq q q，332121-=⇒-=∴q q ，113=⇒=q q （舍去），243-=∴q 6分 （Ⅱ）()012223621512181639=--=--=--q q q a q a q a q a a a a ，6392a a a +=∴，∴3a ，9a ，6a 成等差数列． 9分（Ⅲ）3S ，9S ，6S 成等差数列1471316136362212012a a a a q a q a q q q q +=⇔+=⇔+=⇔=--⇔， GP a a a 成471,,∴或GP a a a 成174,,，则12=++t s m ， 11分同理：GP a a a 成582,,或GP a a a 成285,,，则15=++t s m ，GP a a a 成693,,或GP a a a 成396,,，则18=++t s m ，GP a a a 成7104,,或GP a a a 成4107,,，则21=++t s m ，t s m ++∴的值为21,181512，，． 15分 19．(本小题满分16分)解：（Ⅰ）设从今年起的第x 年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y 万元．则)101,(800602000*≤≤∈++=x N x axxy ； 4分解法1：由题意，有310800602000≥++xx， 5分 解得，10340>≥x ． 7分 所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标． 8分 解法2：由于101,*≤≤∈x N x ，所以01080040030310800602000<+-=-++xx x x 7分所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标． 8分 （Ⅱ）解法1：设10121≤<≤x x ，则=-)()(12x f x f 22800602000ax x ++11800602000ax x ++-0)800)(800())(200080060(1212>++--⨯=ax ax x x a ，13分所以，020*******>-⨯a ，得24<a ． 15分所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人．16分解法2：)808060200060(1)800(8006080060602000800602000a x a a a x a a a x axxy +⋅-+=+⋅-⋅++=++=13分由题意，得0800602000<⋅-a，解得24<a ． 15分 所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． 16分20．(本小题满分16分)解：（Ⅰ）由0)1(1=-++n n nb b n ，得数列}{n nb 为常数列。

2018-2019学年度第二学期期中考试高一年级数学试题参考答案一、选择题： 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C B B A D C D D B A二、填空题：13. 082=−+y x 14. π43 15. 6100 16. 723 三、解答题：17.解：（1）设直线l 的斜率为k ，由题意得332tan −==πk ..................1分 又直线l 过点)3,2(P ，由直线的点斜式方程可得l ：)2(33−−=−x y ....3分 即直线l 的方程为：0)323(3=+−+y x ..........................4分(2）设直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为b a ,，由题意得0=+b a ，即a b −= ①若0=−=a b 时，则直线l 又过点)0,0(，可得直线l 的方程为：023=−y x ....6分 ②若0≠−=a b 时， 则直线l 的方程为：1=−+a y a x 将)3,2(P 代入得：132=−+aa ，即1−=a ................................8分 直线l 的方程为：01=+−y x .......................................9分 所以直线l 的方程为：023=−y x 或01=+−y x .............................10分18.证明:(1)在ABC ∆中因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以BC DE //........1分又由三棱柱111C B A ABC −可得：11//C B BC ..............2分所以DE C B //11........................................3分又⊄11C B 平面1A DE ，⊂DE 平面1A DE ,所以11B C ∥平面1A DE ；....5分（2）由（1）知BC DE //，又BC AC ⊥，所以AC DE ⊥ .......6分由直三棱柱111C B A ABC −可得：⊥1CC 平面ABC ,又⊂DE 平面ABC , 所以DE CC ⊥1.............................................7分A B C A 1 B 1 C 1 D E第18题图又因为C CC AC =1Ι,⊂AC 平面11ACC A ,⊂1CC 平面11ACC A ;所以⊥DE 平面11ACC A ..........................................9分 又⊂DE 平面DE A 1,所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ....................10分19.解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin a b A B =，即：sin sin b A a B =，....1分 又由πsin cos()6b A a B =−，得πsin cos()6a B a B =−，................2分 即πsin cos(6B B =−，即6sin sin 6cos cos sin ππB B B +=可得tan B =．......................................4分又因为(0π)B ∈，，可得B =π3..............................6分 （2）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+−=，故b..................8分由πsin cos(6b A a B =−，可得sin A =．因为a <c ，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =−= ..................10分所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B −=−=1127−=.......12分20. 证明：（1）连结AC ，在矩形ABCD 中,F 是BD 的中点，则F 是AC 的中点，又E 是PC 的中点， 所以在CPA ∆中有PA EF //………………………2分又PA ⊂平面PAD ，⊄EF 平面PAD ，∴//EF 平面PAD ……………………………5分(2)因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =，⊂CD 平面ABCD ，又由矩形ABCD 得AD CD ⊥，所以⊂CD ⊥平面PAD ， ……………………………7分又⊂PA 平面PAD ，∴PA CD ⊥ ，因为PA EF //， ∴EF CD ⊥………………8分又AD PD PA 22==，所以PAD ∆是等腰直角三角形，且2π=∠APD ，即PD PA ⊥ 又PA EF //， ∴EF PD ⊥ …………………………………………9分 而D PD CD =Ι，⊂CD 平面PDC ，⊂PD 平面PDC所以EF ⊥平面PDC ……………………………………………………………12分21.⑴方法一：在PME ∆中，EPM θ∠=，4=−=AP AE PE 米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=−， 由正弦定理得sin sin PM PE PEM PME =∠∠，所以sin 4sin sin cos sin()4PE PEM PM PME θθθ×∠===∠+−，.................2分 同理在PNE ∆中，4PEM π∠=,θπ−=∠2PNE ,4=PE 由正弦定理得sin sin PN PE PEN PNE =∠∠，所以sin sin sin()2PE PEN PN PNE θ×∠===∠−分 所以∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =××∠24cos sin cos θθθ=+.............6分当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=−， 所以35044πθ≤≤−. 综上可得：S θθθcos sin cos 42+=,350,44πθ ∈− . ............8分 方法二：在∆PME 中，EPM θ∠=，4=−=AP AE PE 米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=−， 由正弦定理可知：sin sin ME PE PMEθ=∠，所以sin 4sin 3sin sin()4PE ME PME θθπθ×===∠− ............2分 在∆PNE 中，由正弦定理可知：sin sin NE PE EPN PNE =∠∠，所以sin()4sin()44cos sin()2PE NE ππθθπθθ×++===−，............4分所以MN NE ME =−=, 又点P 到DE的距离为4sin 4d π==，所以∆PMN 的面积S=22cos sin cos 2221212×+×=×θθθd MN θθθcos sin cos 42+= .........................6分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=−， 所以35044πθ≤≤−. 综上可得：S θθθcos sin cos 42+=,350,44πθ ∈−. ............8分 ⑵由（1）得S θθθcos sin cos 42+= 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， .........10分 又350,44πθ ∈−当242ππθ+=即350,844ππθ =∈− 时，S1)=......11分 答：可视区域∆PMN面积的最小值为1)−平方米. ................12分22.解：（1）连接BD ，由余弦定理得A A AD AB AD AB BD cos 42242cos 222222⋅⋅−+=⋅−+=C C CD BC CD BC BD cos 64264cos 222222⋅⋅−+=⋅−+=即C A cos 4852cos 1620−=−............................2分又四边形ABCD 内接于圆O ，则又π=+C A所以)cos(4852cos 1620A A −−=−π 化简得21cos −=A .又),0(π∈A 所以,32π=A 同时有3π=C ..................4分 所以383sin 642132sin 4221=⋅⋅+⋅⋅⋅=+=∆∆ππBCD ABD S S S ...........6分 (2) 设四边形ABCD 的面积为S ，则C CD BC A AD AB S S S BCD ABD sin 21sin 21⋅⋅+⋅⋅⋅=+=∆∆ A AD AB AD AB BD cos 2222⋅−+=C CD BC CD BC cos 222⋅−+=.........8分 即⋅⋅−+=⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅=C A C A S cos 64264cos 42242sin 6421sin 42212222 −=+=AC C A S cos cos 32sin 3sin 4 平方相加得：C A C A S cos cos 6sin sin 6104162−+=+ 即)cos(66162C A S +−= ......................10分 又)2,0(π∈+C A当π=+C A 时，162S 有最大值，即S 有最大值. 此时，C A −=π,代入A C cos cos 32−=中得21cos =C 又),0(π∈C ，可得3π=C ...................................12分在BCD ∆中283cos 64264cos 222222=⋅⋅−+=⋅−+=πC CD BC CD BC BD 所以72=BD ..............................................14分。

江苏省南京市秦淮区2018-2019学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设04x ≤≤=（ ）.A.2sin xB.2cos xC.2sin x -D.2cos x -2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形3.已知α，β，γ为平面，l ，m ，n 为直线，则下列哪个条件能推出l β⊥（ ）. A.αβ⊥，n αβ=，l n ⊥B.αγ⊥，βγ⊥，l α⊥C.m α⊥，m β⊥，l α⊥D.αγ⊥，l αγ=，βγ⊥4.，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．D ．6π第II 卷（非选择题）二、填空题5.sin14cos16cos14sin16︒︒+的值是_______.6.在ABC ∆中，角A , B , C 的对边分别为,,a b c ，若222b c a +-=，则A 等于____7.在正方体1111ABCD A B C D -的各条棱中，与直线1AA 异面的棱有_________条. 8.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8a =，5b =，60C ︒=，则ABC 的面积为_______.9.已知某圆锥底面直径为2，侧面展开图扇形的圆心角为23π，则该圆锥体积为_______. 10.在ABC 中，4cos 5A =，1tan 7B =，则C 的值是_______.11.已知sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.12.一个正六棱锥的体积是2，则该六棱锥的侧面积是_______. 13.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若32a b =，则22cos cos 2sin A BA-=______. 14.在ABC 中，若sin 2cos cos C A B =，则tan tan A B 的取值范围为________.三、解答题15.在中，角，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3a =，1b =，60C ︒=. （1）求c ； （2）求sin A .16.如图，在正三棱锥P -ABC 中，E ，F ，G 分别为线段P A ，PB ，BC 的中点.（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：BC ⊥平面P AG . 17.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=. （1）求sin 2α的值； （2）求cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 18.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，11A B 的中点.（1）求证：1AD B C ⊥； （2）求证：1//B C 平面1AEC .19.（1）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，证明余弦定理：2222cos a b c bc A =+-；（2）长江某地南北岸平行，如图所示，江面宽度1km d =，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度110km /h V =，水流速度24km /h V =，设1V 和2V 的夹角为θ（0180θ︒︒<<），北岸的点1A 在点A 的正北方向.①当cos θ多大时，游船能到达1A 处，需要航行多少时间？②当120θ︒=时，判断游船航行到达北岸的位置在1A 的左侧还是右侧，并说明理由. 20.如图，在ABC 中，已知4AB =，4A π=，D 是线段AC 延长线上一点，4CBD π∠=，设ABC ∠的大小为θ，记BCD 的面积关于θ的函数为()f θ.（1）求()f θ解析式和定义域； （2）求()f θ最小值.参考答案1.B【解析】1.先根据平方关系和二倍角的正弦公式化简式子，再根据x 的范围，判断sin x 和cos x 的大小，去绝对值即可.因为sin 22sin cos x x x =，22sin cos 1x x +=，|sin cos ||sin cos |x x x x =++-， 因为04x π≤≤，所以cos sin 0x x ≥≥，sin cos cos sin 2cos x x x x x =++-=. 故选：B 2.B【解析】2.试题由已知及余弦定理可解得b=c ，即可判断得解． 解：∵，∴由余弦定理可得：，∴整理可得：b=c ． 故选B ． 3.C【解析】3.根据线线、线面和面面平行和垂直的有关定理，对选项逐一分析即可. 对于A ，未说明l α⊂，故错误；对于B ，垂直于同一平面的各平面位置情况不确定，故错误；对于C ，因为m α⊥，m β⊥，所以//αβ，又l α⊥，则l β⊥，故正确； 对于D ，垂直于同一平面的各平面位置情况不确定，故错误. 故选：C4.A【解析】4.试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：22443R πππ=⨯=，故选A. 5.12【解析】5.逆用正弦的两角和公式求解即可.1sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin 302︒︒︒︒︒︒︒=++==. 故答案为：126.6π【解析】6.由已知．在ABC ∆中， 222cos 2b c a A bc +-==， 6A π=．7.4【解析】7.与棱AA 1异面的有：BC ，CD ，C 1D 1，B 1C 1 故答案为：4．8.【解析】8.根据三角形的面积公式求解即可.11sin 85222S ab C ==⨯⨯⨯=故答案为：9.3【解析】9.已知底面直径和圆锥侧面展开图扇形的圆心角，利用扇形的弧长公式解得圆锥母线l 的长，再求出扇形的高h ，最后利用圆锥体积公式求解即可.因为底面直径为2，所以底面半径1r =，底面积S π=，底面周长2C π=， 又侧面圆心角23πα=，C l α=⋅，所以该圆锥母线3l =，高h ==133V Sh ==.故答案为：310.34π【解析】10.由平方关系求得sin A ，由商关系和平方关系求得sin B 和cos B ，在 ABC 中，A B C π++=，所以利用cos cos()C A B =-+求得cos C ，从而求得C 的值.因为4cos 5A =，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5A ==， 因为1tan 7B =，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin 1sin cos 7sin cos 1cos 10B B B B B B ⎧⎧=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎩⎪⎩，在 ABC 中，A B C π++=，所以()()cos =cos -cos C A B A B π⎡⎤+=-+⎣⎦，所以34cos cos()sin sin cos cos 5105102C A B A B A B =-+=-=⨯-⨯=-， 即34C π=. 故答案为：34π 11.35【解析】11.将sin 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭变形为sin 262ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，然后利用诱导公式和二倍角公式求解即可. 23sin 2sin 2cos 212sin 662665πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.12.【解析】12.由底面边长求得底面正六边形的面积，再由棱锥的体积公式求得高，再计算侧面上高，最后求侧面积即可.根据题意，底面边长为2a =，底面积2s ==体积13V sh ==，所以高2h =，所以侧棱长l ==1h ===所以侧面积11166222S ah =⨯⨯=⨯⨯=.故答案为： 13.72【解析】13.将2cos A 变形成21sin A -，由二倍角公式展开cos2B ，再由正弦定理和32a b =化简即可.22cos 1sin A A =-，2cos 212sin B B =-，所以22222cos cos 22sin sin sin sin A B B A A A --=， 由正弦定理，2222222sin sin 2sin B A b a A a--=， 又32a b =，所以22222292274=2a ab a a a ⨯--=. 故答案为：7214.(0,1]【解析】14.利用诱导公式得sin sin()C A B =+，再化简等式得到tan tan 2A B +=，代入到tan tan A B 中，整理成关于tan A 的一元二次函数的形式，再由tan A 的范围求得tan tan A B 的值域.在 ABC 中，A B C π++=，所以sin sin()C A B =+，所以2cos cos sin sin()sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+， 等式两边同时除以cos cos A B ，得tan tan 2A B +=， 因为A 和B 均为锐角，所以tan (0,2)A ∈，所以2tan tan tan (2tan )(tan (0,1)1]1A B A A A =-=--+∈， 当tan tan 1A B ==时取最大值， 故答案为：(0,1] 15.（1；（2）14；【解析】15.（1）已知两边夹一角，直接运用余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理求解即可.（1）余弦定理得，2222191cos 226a b c c C ab +-+-===，解得c =（2）正弦定理得，sin sin a c A C=，所以3sin sin 14a C A c ⨯===. 16.（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】16.（1）由中位线定理得//EF AB ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）根据等腰三角形的底边中线与底边垂直，得到BC AG ⊥和BC PG ⊥，再根据线面垂直的判定定理证明即可.（1）在PAB △中，由中位线可知//EF AB ， 又EF ⊄平面ABC ，AB平面ABC ，所以//EF 平面ABC ；（2）由正三棱锥可知，ABC 为等边三角形，PAB △为等腰三角形， 因为G 为中点，所以BC AG ⊥，BC PG ⊥，且AG PG G ⋂=，AG ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，所以BC ⊥平面PAG .17.（1）2425；（2）50【解析】17. （1）由3sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得cos α，再利用二倍角的正弦公式求解即可；（2）由3sin 52α=<可以得到0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，20,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而求解出cos2α，再利用两角差的余弦公式展开求解即可.（1）由3sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==， 所以24sin 22sin cos 25ααα==；（2）因为3sin sin 54πα=<=且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，20,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以27cos 212sin 25αα=-=，所以724cos 2cos cos 2sin sin 24442525πππααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭. 18.（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】18.（1）要证明1AD B C ⊥，先证明AD ⊥平面11BCC B ，又因为1B C ⊂平面11BCC B ，即可证明1AD B C ⊥；（2）连1A C 交1AC 于O ，连OE ，由中位线定理得1//B C OE ，再根据线面平行的判定定理证明即可.（1）由正三梭柱可知，1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥， 在等边ABC 中，D 为BC 中点，所以BC AD ⊥，且1BCBB B =，BC ⊂平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AD B C ⊥；（2）连1A C 交1AC 于O ，连OE ，在ABC 中，由中位线定理可知1//B C OE ，且1B C ⊄平面1AEC ，OE ⊂平面1AEC ，所以1//B C 平面1AEC .19.（1）证明见解析；（2）①2cos 5θ=-时，需要航行t =；②左侧，理由见解析【解析】19.（1）利用||||BC AC AB =-，两边平方即可证明；（2）①游船能到1A 处，则游船在水平方向上的速度和水流速度大小相等，得到()21cos 180v v θ︒=-，从而解出cos θ，再解出游船垂直江岸方向的速度，即可求得所需时间；②判断游船水平方向上速度向左，即可判断游船到达1A 的左侧. （1）利用向量法证明余弦定理： 在ABC 中，||||BC AC AB =-，两边平方可得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅， 即2222cos a b c bc A =+-， 余弦定理得证；（2）①若游船能到1A 处，则游船在水平方向上的速度和水流速度大小相等，则有()21cos 180v v θ︒=-，得()2cos 1805θ︒-=-， 所以()2cos cos 1805θθ︒=--=-，因为0180θ︒︒<<，所以sin 5θ==，此时游船垂直江岸方向的速度1sin /h v v θ==，时间h 42d t v ==，即当2cos 5θ=-时，游船能到达1A处，需要航行h 42t =； ②120θ︒=时，游船水平方向的速度大小为()12cos 1801km /h v v θ︒--=， 方向水平向左，故最终到达北岸时游船在1A 点的左侧. 20.（1）8()214f θπθ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）8- 【解析】20.（1）根据三角形内角和为π，分别表示出ACB ∠、DCB ∠和BDC ∠，也可求出θ得取值范围，即定义域，再根据正弦定理和三角形面积公式表示出()f θ，再由二倍角公式和辅助角公式化简()f θ即可；（2）求()f θ214πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭得最大值，再求解()f θ得最小值即可.（1）由题意可知：34ACB A ππθθ∠=--=-， 4DCB ACB ππθ∠=-∠=+，2BDC DBC DCB ππθ∠=-∠-∠=-， 根据题意，3040402πθπθππθπ⎧<<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得02πθ<<， 在ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin 4AB A BC ACB θ⋅==∠- ⎪⎝⎭，sin 443sin sin sin sin sin 4242BC DCB BD BDC ππθθππππθθθθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅∠⎝⎭⎝⎭====∠⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由三角形面积公式，218()sin 22sin cos 2cos sin 44f BC BD θθθθθπ=⋅=+- ⎪⎝⎭=， 由二倍角公式和辅助角公式，整理得88()sin 2cos 21214f θπθθθ==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）要求()f θ214πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭得最大值， 当sin 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即8θπ=214πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭1， ()f θ8=； 即()f θ最小值为8-.。

高一下学期期中考试数学试题一、填空题1．设α∈，若sin α＝，则cos＝________．【答案】【解析】由，若，得到，则，故答案为.2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝________．【答案】12【解析】由题意知，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.3．已知cos α＝，α∈，那么sin 2α＝__________．【答案】【解析】，则，综上所述，故答案为 .4．在等比数列{a n}中，a2＝3，a5＝81，则a n＝________．【答案】3n－1【解析】因为在等比数列中，，解得，故答案为 .5．若tan θ＝－，则cos 2θ＝__________．【答案】【解析】由，得，故答案为.6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列四个命题：① 若β∥γ，α∥γ，则α∥β；② 若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③ 若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④ 若m∥n，nα，则m∥α.其中正确的命题是________．(填序号)【答案】①③【解析】对于①，β∥γ，α∥γ，由面面平行的性质可得α∥β，①正确；对于②，若α⊥β，m∥α，则可能m∥β，因此②不正确；对于③，若m⊥α，m∥β，由面面垂直的性质可得α⊥β，③正确；对于④，若m∥n，nα，则可能mα，所以④是不正确，综上所述，可得正确命题的序号为①③，故答案为①③.7．设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7= ．【答案】【解析】试题分析：研究特殊数列：等差数列的通法为根据方程组求出其首项及公差.由及解得【考点】等差数列前n项和.8．已知α∈，且cos α＝－，则tan＝__________．【答案】【解析】，则，故答案为.9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝__________； 【答案】5【解析】由等差数列的性质，及，故答案为.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则的值为________．【答案】【解析】，，故答案为.11．设a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是________．(填序号)① 若a⊥b，a⊥α，则b∥α；② 若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③ 若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④ 若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β. 【答案】④【解析】对于①，根据，则或，不一定得出，由此可得①不正确；对于②，若a ∥α，α⊥β，则可能 ，因此②不正确；；对于③，，则 或，不一定得出，由此可得③不正确；对于④，由 且，可得直线所成角或其补角等于平面所成角，又因为，可得直线所成角对于 ，由此可得，所以④是真命题，综上所述，可得正确命题的序号为④，故答案为④.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 12．在△ABC 中，若s in c o s c o s a b c ABC==，则△ABC 的形状是__________．【答案】等腰直角三角形 【解析】c o s c o s a b c s in ABC==，由正弦定理： co s ,co s sin BB sinC C∴==，又,45A B C B C ∆∴==，故90A=，所以三角形A B C∆ 是等腰直角三角形，故答案为等腰直角三角形.13．设a ＝cos 2°－sin 2°，b ＝，c ＝，则a ，b ，c的大小关系为__________． 【答案】c<a<b【解析】由题意可得，，，在时，是增函数，可得，时，由 可得， 则 ，故答案为.14．各项均为正偶数的数列1a ，2a ，3a ，4a 中，前三项依次成为公差为)0(>dd 的等差数列，后三项依次成为公比为q 的等比数列，若-4a 881=a ，则q 的所有可能的值构成的集合为 ．【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧78,35【解析】试题分析：设四个数依次为：1111,,2,88a a d a d a +++其中1,a d为偶数，因为后三项依次成为公比为q的等比数列，所以()()()()211114222880388d d a da d a a d -+=++⇒=>-，所以()()88223880223d d d --<⇒<<，所以d 可能的值为：24,26,28，当24d=时，1512,;3a q ==当26d=时，12085a =（舍去）当24d=时，18168,;7a q ==所以q 的所有可能的值构成的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧78,35【考点】等差数列和等比数列的性质二、解答题15．如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中, CC 1⊥平面ABC, AC⊥BC, AB 1的中点为D ，B 1C∩BC 1＝E. 求证：（1）DE ∥平面AA 1C 1C ； （2）AC⊥平面BCC 1B 1. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理得，由线面平行的判定定理可得平面；（2）CC 1⊥平面ABC可得AC ⊥CC 1，由已知AC ⊥BC ，从而由线面垂直的判定定理可得结果. 试题解析：(1) 由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE∥AC. 因为DE 平面AA 1C 1C ，AC 平面AA 1C 1C ，所以DE∥平面AA 1C 1C. (2) CC 1⊥平面ABC.因为CC 1⊥平面ABC ，所以AC⊥CC 1.因为AC⊥BC，CC 1平面BCC 1B 1，BC 平面BCC 1B 1， BC∩CC 1＝C ，所以AC⊥平面BCC 1B 1.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的. 16．已知α∈，sin α＝.（1）求sin 的值；（2）求cos的值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解；（2）利用二倍即角公式可求的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解.试题解析：(1) 因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－＝－.故sin＝sin cos α＋cos sin α＝×＋×＝－.(2) 由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所以cos＝×＋×＝.17．已知等比数列{a n}的公比q>1，且满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log，S n＝b1＋b2＋…＋b n，求使成立的正整数n的最大值．【答案】（1）an＝2n；（2）使成立的正整数n的最大值12.【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于首项，公比的方程组，解得、的值，即可得结果；（2）结合（1）可得b n＝2n-3，从而可得S n＝n(n-2)，令，结合n是正整数可得结果.试题解析：(1) ∵ a3＋2是a2，a4的等差中项，∴ 2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，可得a3＝8，∴ a2＋a4＝20，∴解得或∵ q>1，∴∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2) ∵ b n ＝2n-3， ∴ S n ＝n(n-2) ∴使成立的正整数n 的最大值12.18．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，BC ∥AD ，PA ⊥PD ，AD ＝2BC ，AB ＝PB ， E 为PA 的中点．（1）求证：BE ∥平面PCD ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ． 【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：（1）要证明BE ∥平面PCD ，就是要在平面PCD 上找到一条与BE 平行的直线，由判定定理，从已知//,2A D B C A D B C=，E 又是A P中点，因此我们取P D 中点F ，可得//E F A D，且12E FA D=，从而有//E FB C且E FB C=，于是E F C B 是平行四边形，//B E C F，平行线找到了；（2）要证明平面PAB ⊥平面PCD ，而题中已知PA ⊥PD ，由面面垂直的性质，,P A P D 中一定有一条直线与其中一个平面垂直，由已知A B P B=，因此A PB E⊥，再由（1）A PC F⊥，这样结合P AP D⊥就有P AP D C⊥平面，于是有面面垂直.试题解析：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，CF ．因为E 为PA 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD ．因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，PAB CDEPAB CDEF所以EF∥BC，EF＝BC．所以四边形BCFE为平行四边形．所以BE∥CF． 4分因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，所以BE∥平面PCD． 6分（2）因为AB＝PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE．因为BE∥CF，所以PA⊥CF． 9分因为PA⊥PD，PD⊂平面PCD，CF⊂平面PCD，PD∩CF＝F，所以PA⊥平面PCD． 12分因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD． 14分【考点】线面平行，面面垂直，19．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且．（1）若米，求的长；（2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【答案】（1）1或3（2）【解析】试题分析：（1）利用余弦定理即可求得；（2）设，由正弦定理求得,利用，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．试题解析：解：（1）连结，已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形，因为，，所以，，在中由余弦定理，且，所以，解得或，（2）因为，，所以，所以，在中由正弦定理得：所以，在中，由正弦定理得：所以，若产生最大经济效益，则的面积最大，，因为，所以所以当时，取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大．【考点】正弦定理和余弦定理；三角形的面积；函数模型的选择与应用．20．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1.（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令c n＝，T n是数列{c n}的前n项和，求证:【答案】（1）bn＝3n＋1；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项和公比表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出的表达式后，用错位相减法求其前项和，然后求其最小值即可得结论.试题解析：(1) 由题意知，当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝6n＋5；当n＝1时，a1＝S1＝11，也符合上式，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由即解得所以bn＝3n＋1.(2) 由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.又Tn ＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×[4＋－(n＋1)×2n＋2]＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.第 11 页共 11 页。

江苏省震泽中学2018－2018学年度第二学期高一数学期中试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1、)619cos(π-的值是―――――――――――――――――――（ ）（A ）21 （B ）21- (C) 23 (D)23- 2、已知1715sin =α，α是第二象限角，则αtan 等于――――――（ ） （A ）815± （B ）158- (C) 815- (D) 8153、下列命题：（1）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量 （2）若=++CA BC AB 0,则C B A ,,为一个三角形的三个顶点 （3）若，均为非零向量，且方向相反，则||||||+=- （4）b a //是存在唯一的实数λ，使得b a λ=的充要条件其中真命题的序号是――――――――――――――――― （ ） （A ）（1）（3） （B ） （1）（4） (C) （3）（4） (D) （2）(3) 4、当22ππ≤≤-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的――――――（ ）（A ）最大值是1 ，最小值是－1 （B ）最大值是2 ，最小值是－2 (C) 最大值是1， 最小值是21- (D) 最大值是2 ， 最小值是－1 5、先将函数)36sin(5x y +=π的图像上的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图像向右平移3π个单位，则所得的图像的解析式是――――――（ ） （A ）)323sin(5π-=x y （B ）)623sin(5π-=x y(C) )3223sin(5π+=x y (D) )223sin(5π+=x y(第1页，共8页)6、若13e =，15e -=，且||||=，则四边形ABCD 是（ ）（A ）平行四边形 （B ）菱形 (C)等腰梯形 (D)不等腰梯形7、已知两点A (－2，4)， B （6，0），点C 在直线AB 上，且||21||=,则C 点 坐标是――――――――――――――――――――――――－（ ） （A ）（2，2） （B ）（－6，6） (C) （2，2）或（－6，6） (D)（2，8）或)38, 32(8、下列函数中，既是以π为最小正周期的偶函数，又是在)4, 0(π内单调递增的函数是（A ）x y tan =（B ）|2|sin x y = (C) xy 2cos )21(= (D)x y 2cos = （ ）9、适合31sin -=x ，]23,[ππ∈x 的角x 是―――――――――――――（ ） （A ）)31arcsin(- （B ）31arcsin - (C) )31arcsin(2-+π (D))31arcsin(--π10、若向量)sin , (cos αα=，)sin ,(cos ββ=，则与满足―――（ ）（A ）b a // （B ）b a ⊥ (C) )()(-⊥+ (D)a 与b 的夹角为βα-11、如图，⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于点P ，则PD PC PB PA +++等于（ ） （A ） （B ）2 (C) 2 (D) 412、若关于x 的方程0sin cos 2=+-a x x 在20π≤<x 内有解，则a 的取值范围是（ ）（A ）11≤≤-a （B ） 11≤<-a(C) 01<<-a (D) 45-≤a(第2页，共8页)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、已知：2||=，2||=，与的夹角为︒45，要使-λ与垂直，则=λ________14、函数)1sin 2(log 21-=x y 的单调递增区间为____________________________________15、如图是函数)sin(ϕω+=x A y )|| , 0 , 0(πϕω<>>A 的一部分图像，则此函数的解析式为_________________________16、给出下列命题：① 函数)232cos(π+=x y 是奇函数 ② 存在实数α，使23cos sin =+αα③ 若α，β使第一象限角，且βα<，则βαtan tan < ④ 8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程 ⑤ 函数)32sin(π+=x y 的图像关于点)0,12(π成中心对称图形其中正确命题的序号是_________________(第3页，共8页)三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程演算步骤）17、（本小题满分12分）已知向量2123e e --=，214e e +=，其中) 0 , 1 (1=e ) 1 , 0 (2=e 求（1）b a ⋅ ， ||b a +的值 （2）与的夹角 18、（本小题满分12分） 不查表求值：︒︒︒︒︒+++40cos 170sin )10tan 31(50sin 40cos(第4页，共8页)如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BC BM 31=CD CN 31=,试用，表示,,O(第5页，共8页)已知函数21cos cos sin 3)(2+-⋅=x x x x f ，R x ∈ （1）求)(x f 的最大值和最小值，并求取得最值时的x 的值（2）把函数)(x f y =的图像按) 0 , (ϕ=（0>ϕ）平移后，图像关于y 轴对称，求ϕ的最小值(第6页，共8页)已知向量)cos , sin 3(x x ωω=，)cos , (cos x x ωω=（0>ω） 记函数x f ⋅=)(，已知)(x f 的最小正周期为π （1）求ω （2）当30π≤<x ，试求)(x f 的值域(第7页，共8页)如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现在开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的矩形停车场PQCR，设PQCR的面积为S，∠PAB＝α.（1）求PQCR的面积S关于α的函数关系式，并写出α的取值范围；（2）当点P在弧ST上什么位置时，PQCR的面积S最大，并求此最大值.(第8页，共8页)高一数学期中试卷(答案)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）DCACA CCCDC BB二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、 2=λ14、 ]652,22[ππππ++k k )(Z k ∈15、 )62s i n (2π+=x y 16①④三、解答题（本大题共6小题，共74分）17、解：（1）)2,3(--= ，)1,4(=（2分） 141)2(43-⨯-+⨯-=⋅∴＝（2分）()21714213||＝＋-⨯+===+b a （3分）（2）22122114171314cos -=⋅-==θ （3分）22122114arccos－πθ=∴（2分） 18、解：原式＝︒︒︒︒︒︒+++40cos 170sin )10cos 10sin 31(50sin 40cos ―――――――――2分＝︒︒︒︒︒︒︒+++40cos 170sin 10cos )3010sin(250sin 40cos︒︒︒+=20cos 270sin 140cos 2――――――――――――――――8分＝20cos 220cos 222︒＝2―――――――――――――――――――――――12分19、解：b a BA -=BM OM 656161+=+=+=∴ （4分） +=+=323232+==∴ （4分） OM MN 6121-=-= （4分）20、解：（1）)62sin(2122cos 12sin 23)(π-=++-=x x x x f （2分） 当)(3Z k k x ∈+=ππ时 1m a x =y (2分) 当)(65Z k k x ∈+=ππ 1m i n -=y （2分） （2）把函数)(x f y =的图像按) 0 , (ϕ=（0>ϕ）平移后得到)622s i n (πϕ--=x y （2分）图像关于y 轴对称，1)62sin(±=--∴πϕ，即)(262Z k k ∈+=--πππϕ32ππϕ--=∴k （2分） 0>ϕ 6min πϕ=∴ （2分）π21、解：(1)22cos 12sin 23cos cos sin 3)(2xx x x x x f ωωωωω++=+⋅=21)62sin(++=πωx （4分） πωπ==22T 1=∴ω （2分） (2)21)62sin()(++=πx x f30π≤<x πππ65626≤+<∴x 1)62s i n (21≤+≤πx （4分） ∴值域为]231[， （2分）22、解：（1）)cos sin 81cos 90sin 90100(100αααα+--=S （5分）)2 , 0(πα∈ （1分）（2）令t =+ααcos sin 则22cos sin 2-=t αα]218190100[1002-⋅+-=∴t t S950)910(40502+-=t 其中]2,1[∈t2=∴t 时，290001405max -=S （7分）∴当点P 在弧ST 的中点时，面积最大 （1分）。

2018-2019学年无锡市天一中学2018级高一下学期期中考试数学（平行班）试卷★祝考试顺利★一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解答过程， 请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{}{}2,3,4,3,5A B ==,则A B =I _____.【答案】{3}【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A ＝{2，3，4}，B ＝{3，5}；∴A ∩B ＝{3}．故答案为：{3}．2.在极坐标系中，点2,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线(cos )6ρθθ=的距离为_____.【答案】【解析】【分析】把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出A 到直线的距离．【详解】解：点A （2，2π）的直角坐标为（0，2），直线ρ（cos θθ）＝6的直角坐标方程为 x y ﹣6＝0，利用点到直线的距离公式可得，点A （2，2π）到直线ρ（cos θθ）＝6的距离为故答案为3.若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．【答案】3m >【解析】【分析】由题，“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则(),m +∞是()3,+∞的真子集，可得答案.【详解】因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >，故答案为3m >.4.函数()2f x log x =在点()A 2,1处切线的斜率为______ 【答案】12ln2【解析】【分析】求得函数的导数()1'ln2f x x =，计算得()1'22ln2f =，即可得到切线的斜率． 【详解】由题意，函数()2log f x x =，则()1'ln2f x x =，所以()1'22ln2f =，即切线的斜率为12ln2， 故答案为：12ln2． 5.从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是____. 【答案】710【解析】【分析】基本事件总数n ＝25C ＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m ＝211223C C C +＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率． 【详解】解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人，基本事件总数n ＝25C ＝10，。