江苏省高一下学期数学期中复习试卷

江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题一、单选题1．cos14cos16cos76sin16︒︒-︒︒=（ ）A ．12B C ．12- D ．2．已知(1,2),5a a b =⋅=rr r ，若(2)b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π43．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量(),p a c b =+r ，(),q b a c a =--r.若//p q r r，则角C 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（ ）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r5．函数1()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,2π)内的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知π1cos 63α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79- B ．79 C ．23-D ．237．在ABC V 中，若1cos21cos2cos cos C Bc B b C--=⋅⋅，则ABC V 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC PD ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()0,2D ．[]0,2二、多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．O 为点A ，B ，C 所在直线外一点，且0.4OC xOA OB =+u u u r u u u r u u u r，则0.6x =B ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==r r，且a r 与a b λ+r r 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．已知向量(1,AB AC ==-u u u r u u u r ，则AB u u u r在AC u u u r 上的投影向量的坐标为D ．若点G 为ABC V 中线的交点，则0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r10．已知tan 2tan αβ=，则（ ）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且2,a AB AC =⋅=u u u r u u u r，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B．若b =ABC V 只有一解C ．若ABC V 为锐角三角形，则b的取值范围是 D ．若D 为BC 边上的中点，则AD的最大值为2三、填空题12．已知πsin 2sin(π)2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15︒，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为.14．ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，点P 是ABC V 所在平面内的动点，满足(0)||||λλ⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r BC BA OP OB BC BA ．射线BP 与边AC 交于点D ．若sin sin sin sin a A c C b B a C +-=，2BD =，则角B 的值为 ，ABC V 面积的最小值为 ．四、解答题15．如图所示，在ABCD Y 中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒. （1）求AC u u u v的模；（2）若13AE AB =u u u v u u u v ，12BF BC =u u u v u u u v ，求AF DE ⋅u u u v u u u v的值.16．已知向量2sin cos sin ,cos ,sin cos 222222x x x x x x m n ⎛⎫⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭r r ，且函数()f x m n =⋅r r ．(1)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2()3f x =，求sin x 的值；(2)若将函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得图像向左平移π4个单位，得到()g x 的图像，求函数()g x 单调增区间．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =. (1)求A ； (2)求2b ca+的最大值. 18．在直角梯形ABCD 中，已知AB DC P ，AD AB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且B E B Cλ=u u u r u u ur ，()1DF DC λ=-u u u r u u u r ，R λ∈．(1)当0AE BC ⋅=u u u r u u u r时，求λ的值； (2)当23λ=时，求DM MB 的值； (3)求12AF AE +u u u r u u u r 的取值范围．19．定义函数()sin cos f x m x n x =+的“源向量”为(),OM m n =u u u u r ，非零向量(),OM m n =u u u u r的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，其中O 为坐标原点．(1)若向量(OM =u u u u r的“伴随函数”为()f x ，求()f x 在[]0,πx ∈的值域；(2)若函数()()g x x α=+的“源向量”为OM u u u u r，且以O 为圆心，OM u u u u r 为半径的圆内切于正ABC V （顶点C 恰好在y 轴的正半轴上），求证：222MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 为定值；(3)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()h x 的“源向量”为()0,1OM =u u u u r，且已知()38,5a h A ==，求AB AC AB AC +-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围．。

江高一下学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知中，，，，则等于（ ） ABC 4a =4b =30A ∠=︒B ∠A. 或 B. 或C.D.60︒120︒30︒150︒60︒30︒【答案】D 【解析】【分析】直接利用正弦定理化简求解即可．【详解】由题意在中，，，，ABC 4a =4b =30A ∠=︒由正弦定理：可得． sin sin a b A B=14sin 12sin 42b A B a ⨯===，或．0180B ︒<<︒ 30B ∴=︒150︒又，所以 a b =30B =︒故选：D ．2. 下列说法正确的是（ ）A. 设非零向量，，若，则向量与的夹角为锐角 a b 0a b ⋅> a bB. 若非零向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线 AB CDC. 若，，则a b ∥b c ∥a c∥D. 若，则a b =a b =r r 【答案】D 【解析】【分析】对于A ，当向量，同向时，即可判断；对于B ，根据共线向量的定义即可判断；对于C ，根a b据零向量与任意向量共线，即可判断；对于D ，根据相等向量的定义即可判断.【详解】解：对于A ，若，则，故A 错误；0a b ⋅>,0,2a b π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭对于B ，若非零向量与是共线向量，AB CD则与平行或共线，故B 错误；AB CD 对于C ，若，，a b ∥b c∥当时，不能确定是否平行，故C 错误；0b =,a c 对于D ，若，则，故D 正确.a b =a b =r r 故选：D.3. 如图，在多面体中，平面平面 ，且ABC DEFG -//ABC ,//DEFG EF DG ,2AB DE DG EF ==，则 ( )A. 平面B. 平面 //BF ACGD //CF ABEDC.D. 平面平面//BC FG //ABED CGF 【答案】A 【解析】【分析】取DG 的中点M ，连AM 、FM ，证明四边形ABFM 是平行四边形，问题得解. 【详解】如图所示，取DG 的中点M ，连AM 、FM ，．则由已知条件易证得四边形DEFM 是平行四边形， ∴且．//DE FM DE FM =∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ， ∴AB ∥DE ， ∴AB ∥FM ． 又AB ＝DE ， ∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形， ∴BF ∥AM ．又BF 平面ACGD ，AM 平面ACGD ， ⊄⊂∴BF ∥平面ACGD ．选A ．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理及面面平行的性质，还考查了转化能力及空间思维能力，属于中档题.4. 一艘轮船按照北偏东方向，以18海里小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东40︒/20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）海里． A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】【分析】作出示意图，利用余弦定理，即可得解．【详解】设轮船从点出发到达点，灯塔在点，如图所示，A CB由图可知，，海里， 1804020120BAC ∠=︒-︒-︒=︒2018660AC =⨯=在中，由余弦定理知，，ABC 222||||2cos BC AB ACAB AC BAC =+-⋅⋅∠所以，即，2221||626()2AB AB =+-⨯⨯-2||6400AB AB +-=解得或（舍负）， ||4AB =10-所以灯塔与轮船原来的距离为4海里． 故选：C ．5. 如图所示，在等腰梯形中，，为线段的中点，，ABCD //AD BC E AB 14DF FC =24BC AD ==，，则（ ）60ABC ∠= BF CE ⋅=A. B. C.D.12-10-8-6-【答案】B 【解析】【分析】求出，再由利用数量积的定义计算即可2AB CD ==4152BF CE BC CD BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解.【详解】在等腰梯形中，分别过点，作，垂直于于点，， ABCD A D AM DN BC M N 则，， 2MN AD ==1BM CN ==因为 ，所以，60ABC ∠= 2AB CD ==因为为线段的中点，，E AB 14DF FC =所以24112452255BF CE BC CD BA BC BA BC BC CD BA CD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 212424cos 60422cos 6024cos120255=⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ，4162161055=-++=-故选：B.6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 7 B. 6C. 5D. 3【答案】A 【解析】【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解. r 【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长， r 3r 3l =所以，解得. ()384S r r l ππ=+=侧7r =故选：A.【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.7. 设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且111ABC A B C -40π，则该直三棱柱的体积是（ ）1,120AB AC AA BAC ∠=== A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先设出棱长，表示出球半径，利用球的表面积求出棱长，然后利用柱体的体积公式可求体积. 【详解】设.因为，所以.12AB AC AA m ===120BAC ∠= 30ACB ∠=由正弦定理得是外接圆的半径），.22(sin30mr r =ABC 2r m =又球心到平面的距离等于侧棱长.所以球的表面ABC1AA=积为，解得)24π40π=m =因此该直三棱柱的体积是2311422ABC S AA m m ⋅=⨯== 故选：A.8. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足．角A 的内角平分线交ABC 2tan 1tan c Ab B=+于点M ，若，则（ ） BC 2BM CM ==AMBCA.B.C.D. 2233212【答案】A 【解析】【分析】由条件及三角形中角的关系，结合正弦定理先求出角，由三角形的内角平分线定理可得A ，然后在，中，分别利用余弦定理结合，用2AB AC =ACM △ABM 180BMA CMA ∠+∠=︒AC表示出，从而可得出答案.,AM BC 【详解】由条件有：，sin 2sin sin cos sin cos sin cos sin()cos 11sin sin sin cos sin cos sin cos cos AC A B B A A B A B A B B B A B A B A B++=+=+==又，则，sin()sin()sin ,sin 0,sin 0A B C C B C π+=-=>>2sin sin sin sin cos C CB B A=即，又，则1cos 2A =()0,A π∈3A π=由为的角平分线，则,即 AM CAB ∠2AB BM AC CM==2ABAC =则30CAM BAM ∠=∠=︒在中， ACM △222cos 2AC AM CM CAM AC AM +-∠==⋅⋅即①222AC AM CM AM +-=⋅在中，ACM △222cos 2CM AM AC CMA CM AM+-∠=⋅⋅在中，ABM 22222244cos 24BM AM AB CM AM AC BMA BM AM CM AM+-+-∠==⋅⋅⋅⋅由，则180BMA CMA ∠+∠=︒22222244024CM AM AC CM AM AC CM AM CM AM+-+-+=⋅⋅⋅⋅化简得到： ②22222AM AC CM =-将②代入①可得： ③ AMAC =将③代入②可得：, 所以CMAC =BC =所以23A BC M ==故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个1111ABCD A B C D -M N P 11CD BC 11A D 结论正确的是（ ）A. 与是异面直线；B. 、、相交于一点； AP CM AP CM 1DDC. ；D. 平面.1//MN BD //MN 11BB D D 【答案】BD 【解析】【分析】本题首先可根据、判断出A 错误，然后根据平面平面//MP AC MP AC ≠11 A ADD 得出B 正确，再然后根据得出C 错误，最后根据线面平行的判定即可证得D111=C CDD DD 1//MN D O正确.【详解】A 项：如图，连接、、，PM AC 11AC因为、分别是、的中点，多面体是正方体， M P 11C D 11A D 1111ABCD A B C D -所以，，，11//MP AC 11//AC A C //MP AC 因为，所以与是同一平面内的相交直线，A 错误； MP AC ≠AP CM B 项：因为平面平面，平面，平面，11 A ADD 111=C CDD DD AP ⊂11A ADD CM ⊂11C CDD 所以、、相交于一点，B 正确；AP CM 1DD C 项：如图，连接与交于点，连接、，AC BD O ON 1OD由正方体性质易知，是中点， O BD 因为是中点，所以，， N BC //ON CD 12ON CD =因为，，所以，， 1//D M DC 112D M DC =1//ON D M 1ON D M =故四边形是平行四边形，，易知C 错误； 1ONMD 1//MN D O D 项：因为，平面，平面， 1//MN D O MN ⊄11BB D D 1OD ⊂11BB D D 所以平面，D 正确， //MN 11BB D D 故选：BD.10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）ABCDEFGH ||1OA =A.B.OA OD ⋅= OB OH +=C.D. 在向量上的投影向量为AH HO BC BO ⋅=⋅ AH AB AB 【答案】AB 【解析】【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，然后再由数ABCDEFGH 45︒量积的运算逐一分析四个选项得答案．【详解】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，ABCDEFGH 45︒对于，A 正确；A 11cos135OA OD ⋅=⨯⨯︒=对于B ，，则以，为邻边的对角线长是倍，90BOH ∠=︒OB OH ||OA可得，故B 正确；OH OB +==对于C ，，，与的夹角为，AH BC = ||||HO BO = AH HO180AHO ︒-∠与的夹角为，故，故C 错误；BC BO OBC AHO ∠=∠AH HO BC BO ⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r对于D ，由已知可得，AH ==在向量上的投影数量为∴AH ABcos135AH AH ︒===则在D 错误．AHAB故选：AB ．11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，的面积为，下列与有关的ABC A B C a b c ABC S ABC 结论，正确的是（ ）A. 若为锐角三角形，则ABC sin cos A B >B. 若，则A B >sin sin A B >C. 若，则一定是等腰三角形 cos cos a A b B =ABC D. ，则的外接圆半径是4 2,30a A ==︒ABC 【答案】AB 【解析】【分析】对于，根据锐角三角形的性质，结合正弦函数单调性以及诱导公式，判断A ，根据正弦定理A 判断B ，根据正弦定理，进行边角互换，可得正弦等式，判断C ，根据正弦定理，可判断D ． 【详解】对于，若为锐角三角形，可得且， A ABC 2A B π+>π,(0,)2A B ∈可得，且，根据正弦函数的单调性， π2A B >-ππ(0,)22B -∈可得，所以，故正确； πsin sin()2A B >-sin cos A B >A 对于B ，在中，由知，根据正弦定理可得，故B 正确；ABC A B >a b >sin sin A B >对于C ，由正弦定理知，，则，2sin a R A =2sin b R B =2sin cos 2sin cos R A A R B B =可得，故或，是等腰三角形或直角三角形，故C 错误； sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=ABC 对于D ，在中，设的外接圆半径是R ，则根据正弦定理可得，ABC ABC 22=4,21sin 2a R R A ===故D 错误． 故选：AB ．12. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） ABC A B C a b c A. ，．π3C ∠=2c =ABC B. ，．的最大值为 π3C∠=2c =AC AB ⋅ 2+C. 若，则的形状为等腰三角形 AB AC BA BC ⋅=⋅ABC D. ，则的形状为等边三角形 10,3AB AC BA BC BC AB ACBABC ⎛⎫ ⎪+⋅=⋅= ⎪⎝⎭ABC 【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由余弦定理结合基本不等式求得的最大值，即可得出面积的最大值，进而可判断A ab 是否正确；对于B ，由正弦定理结合二倍角公式，两角和与差的正弦公式，正弦函数性质求得的cos b A 最大值，从而可得数量积的最大值，即可判断B 是否正确；对于C ，由向量数量积公式和两角和与差的三角函数公式即可判断C 是否正确；对于D ，因为，判断的平分线AD 与0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭A ∠BC 垂直，得是等腰三角形，因为，判断角B 是否为60°，即可判断D 是否正确. ABC 13BA BC BA BC ⋅=【详解】对于，由余弦定理可得， A 22222π22cos 23a b ab a b ab ab ab ab =+-=+-≥-=当且仅当时，等号成立，2a b ==A 正确； 11πsin 4sin 223ABC S ab C =≤⨯⨯=△对于B ，， cos 2cos AC AB bc A b A ⋅==在中，，， ABC 22ππsin sin()sin 33b cC A ==-2πsin()3b A =-2π1cos sin()cos sin )cos 32b A A A A A A =-=+21sin cos )2A A A =+， πcos 2)sin 2])13A A A =++=++因为，所以，所以， π3C =2π03A <<ππ5π2333A <+<所以，即时，取得最大值1，即， ππ232A +=π12A =πsin(23A +cos b A 1所以的最大值为，故B 正确；AC AB ⋅ 2对于C ，因为，所以，即，AB AC BA BC ⋅=⋅cos cos bc A ac B =cos cos b A a B =由正弦定理得，即， sin cos sin cos =B A A B sin()=0A B -因为，所以， 0π,0πA B <<<<ππA B -<-<所以，所以是等腰三角形，故C 正确；A B =ABC 对于D ，因为， 0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭所以的平分线AD 与BC 垂直，所以是等腰三角形A ∠ABC 因为，所以，所以， 13BA BC BA BC ⋅= 1cos 3B =π3B ∠≠所以是等腰非等边三角形，故D 错误．ABC 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm 3.【答案】2π【解析】 【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为 262⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为 2π故答案为：2π-【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 在中，，若O 为外接圆的圆心，则的值为__________．ABC 4,6AB AC ==ABC AO BC ⋅ 【答案】10【解析】【分析】作出边垂线，利用向量的运算将用表示，得有向量的数量积的几何意义将,AB AC BC ,AB AC向量的数量积表示成一个向量与另一个向量的投影的乘积即可求得答案【详解】过作，垂足分别为，O ,OS AB OT AC ⊥⊥,S T 因为O 为外接圆的圆心，ABC 所以分别为的中点， ,S T ,AB AC 所以()AO BC AO AC AB ⋅=⋅- AO AC AO AB =⋅-⋅ cos cos AO AC OAC AO AB OAB =⋅∠-⋅∠AC AT AB AS =- , 64641022=⨯-⨯=故答案为：1015. 如图，在中，，，.为内部（包含边界）的动点，且ABCa =4c =23BAC π∠=P ABC .则___________；的取值范围___________. 1PA =AC AB +=PB PC ⋅【答案】①. 4 ②.[]11,9--【解析】 【分析】方法1：①由正弦定理求得，进而可求得b ，可得在是等腰三角形，取BC 的中点E ，在中ACB ∠ABC BEA △可求得AE ，再由可求得的值.AB+AC =2AE ||AB AC + ②设 ，，则展开计算，转化为三角函数在,AP AE θ<>= [0,]3πθ∈()()PB PC PA AB PA AC ⋅=+⋅+ 给定区间上求值域，即可得结果.方法2： ①由余弦定理求得b 的值，再由即可求出；2||AB AC + ②以A 为原点建系，设 ，则可得，转化为三角函PAB α∠=2(0)3πα≤≤4sin(76PB PC πα⋅=-+- 数在给定区间上求值域，即可得结果.【详解】方法1：①在中，由正弦定理得：ABC sin sin B a C c BA AC =∠∠4sin ACB =∠解得：. 1sin 2ACB ∠=又∵，∴，∴ 23BAC π∠=6ACB π∠=6ABC π∠=∴，4b c ==取BC 的中点E ，连接AE ，如图所示，则：， ，AE BC ⊥AB+AC =2AE ∴在中， ，BEA △sin 4sin 26ABC AE AB π=⨯∠==∴，||2||4AB AC AE +== ②设 ，则 ， ,AP AE θ<>= [0,]3πθ∈2()()()PB PC PA AB PA AC PA AC AB PA AB AC ⋅=+⋅+=++⋅+⋅ 212||||cos 12||||cos 83AE AP AB AC AE AP πθ=-⋅+⨯⨯=-⨯⨯- ，7221cos 74cos θθ=--⨯⨯⨯=--∵，∴，∴， [0,]3πθ∈1cos [,1]2θ∈74cos [11,9]θ--∈--故的范围是：； PB PC ⋅ [11,9]--方法2：①在中，由余弦定理 ，ABC 2222cos a b c bc BAC =+-∠即： ，解得：或（舍）， 248164b b =++4b =8b =-， 2222222||()244244cos 163AB AC AB AC AB AC AB AC π+=+=++⋅=++⨯⨯⨯= ∴，||4AB AC += ②以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，设 ，则P 点的坐标为，B 点的坐标为 ， PAB α∠=2(03πα≤≤(cos ,sin )αα(4,0)C 点的坐标为 ， (2,-∴ ，，(4cos ,sin )PB αα=-- (2cos ,sin )PC αα=---∴， 2cos 74sin()76PB PC πααα⋅=---=-+- ∵，∴，∴， 203πα≤≤5666πππα≤+≤1sin()126πα+≤≤∴，114sin()796πα-≤-+-≤-即：，故的范围是：，119PB PC -≤⋅≤- PB PC ⋅[11,9]--故答案为：4；.[11,9]--16. 已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，若动点在正方1111ABCD A B C D -M N BC 1CC P 形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是_________． 11BCC B 1//PA AMN 1PA【答案】 【解析】 【分析】构造与平面平行的平面，得出点轨迹，在中计算的范围即可．AMN 1A EF P 1A EF 1A P 【详解】连接，，取的中点，的中点，连接，，，1BC EM 11B C E 1BB F 1A E 1A F EF 则，，所以，1BC //EF MN //1BC EF //MN 因为， ，1AA //1BB //EM 11M A B E A B ==所以四边形为平行四边形，所以，1AMEA 1//A E AM 因为平面，平面，,AN MN ⊂AMN 1,A E EF ⊄AMN 所以平面，平面，1A E //AMN EF //AMN 因为，所以平面平面，1A E EF E ⋂=1//A EF AMN 平面，的轨迹为线段．1//A P AMN P ∴EF，11A E A F == EF =当时， ∴1A P EF ⊥1A P =当与（或重合时，．P E )F 1A P ∴1A P ≤≤故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.(,1)a m =- (1,2)b = （1）若，求； ()+2a b b ⊥ 2a b + （2）若向量，，求与夹角的余弦值.(2,1)c =- a c ∥ a 2a b -r r【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据求得，从而可得，于是 ()+2a b b ⊥ 3m =-2(1,3)a b +=- 2a b += （2）由，可得，再由夹角公式计算即可.a c ∥ (2,1)a =- 【小问1详解】 因为，，(,1)a m =- (1,2)b = 所以，.+(1,1)a b m =+ 2(2,4)b = 由，可得，即， ()+2a b b ⊥ ()+20a b b ⋅= 2(1)40m ++=解得，所以，故3m =-2(1,3)a b +=- 2a b += 【小问2详解】 因为向量，，所以，所以.(2,1)c =- a c ∥ 20m -=2m =则，，(2,1)a =- 2(0,5)a b -=-所以， ()2cos ,22a a b a a b a a b ⋅--=-==所以与夹角的余弦值为. a 2a b -rr 18. 在中，角所对的边分别为，且 ABC ,,A B C ,,a bc cos b A c ⋅=（1）求角B ；（2）若的面积为BC 边上的高，求，的值．ABC 1AH =b c 【答案】（1）π6B =（2），b =2c =【解析】【分析】（1）利用余弦定理角边互化，再利用三角函数的特殊值对应特殊角，结合角的范围即可求解； （2）根据正弦定理及三角形的面积公式，再利用余弦定理即可求解.【小问1详解】因为，所以cos b A c =-2222b c a bc bc +-⋅=-所以，即22222b c a c +-=-222c ab +-=由余弦定理可得， 222cos 2c a b B ac +-==因为，所以 ()0,πB ∈π6B =【小问2详解】由（1）知，，因为BC 边上的高，所以， π6B =1AH =2πAHB ∠=在中，由正弦定理可得， ABH sin sin c AH AHB B=∠即. sin sin 22sin sin 6πAH AH AHB c πB∠===因为的面积为ABC所以，解得. 11sin 22ac B a ==a =在中,由余弦定理,得ABC，则. 2222cos 4842228b a c ac B =+-=+-⨯⨯=b =所以的值为，的值为. b c 219. 由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行1111ABCD A B C D -111C B CD -ABCD 四边形，O 为与的交点．AC BD（1）求证：∥平面；1A O 11B CD （2）求证：平面∥平面；1A BD 11B CD （3）设平面与底面的交线为l ，求证：．11B CD ABCD BD l ∥【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可； 11B D 1O 111,CO AO （2）由线线平行证平面，结合平面即可证平面平面； BD ∥11B CD 1AO ∥11B CD 1A BD ∥11B CD （3）由线面平行证线线平行即可.【小问1详解】取的中点，连接，11B D 1O 111,CO AO ∵是四棱柱，∴， 1111ABCD A B C D -11AO OC ∥∴四边形为平行四边形，∴， 11AOCO 11AO O C ∥又平面平面，∴平面．1O C ⊂111,B CD AO ⊄11B CD 1AO ∥11B CD【小问2详解】∵，∴四边形是平行四边形，∴，111BB AA DD ∥∥11BB D D 11BD B D ∥∵平面平面，∴平面，BD ⊄1111,B CD B D ⊂11B CD BD ∥11B CD由（1）得平面且，平面， 1AO ∥11B CD 1BD AO O = 1BD AO ⊂、1A BD ∴平面平面．1A BD ∥11B CD 【小问3详解】由（2）得：平面，BD ∥11B CD 又平面，平面平面，∴．BD ⊂ABCD 11B CD ⋂ABCD l =BD l ∥20. 北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步ABCD道，且. ,2AC D B ∠∠=1,3,cos AD CD B ===（1）求氢能源环保电动步道的长；AC （2）若___________；求花卉种植区域总面积.从①，②. 3BCA π∠==BC【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求出，利用余弦定可求的长；cos D AC（2）选①：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得AB =sin BAC ∠，，从而可求花卉种植区域总面积．ABC S ADC S △选②：利用余弦定理求出，，从而可求花卉种植区域总面AB =ABC S ADC S △积．【小问1详解】解：，， cos B =2D B ∠=∠21cos cos 22cos 13D B B ∴==-=-，，由余弦定理得， 1AD = 3CD =∴22212cos 196()123AC AD CD AD CD D =+-⋅=+-⨯-=，0AC > ∴=AC【小问2详解】解：若选①：，在中，由正弦定理得，3BCA π∠=ABC sin sin AB AC ACBB =∠ cosB =，由（1）知， sin B∴=AC==AB = 1sin sin()sin cos cossin 2BAC B ACB B ACB B ACB ∠=∠+∠=∠+∠==， 11sin 22ABC S AB AC BAC ∴=⨯⋅∠== ，1cos 3D=- sin D ∴==故11sin 1322ADC SAD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯=∴=若选②：，在中，由余弦定理得，解得或=BC ABCcos B ==AB =（舍去），AB =，cos B =sin B ∴=11sin 22ABC S AB BC B ∴=⨯⋅== ，1cos 3D =- sin D ∴==故11sin 1322ADC S AD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯= 花卉种植区域总面积为∴=21. 几何体是四棱锥，为正三角，，，为线段的E ABCD -ABD △2BC CD ==120BCD ∠=︒M AE 中点.（1）求证：平面；//DM BEC（2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，EB N ,,,D M N C BN BE 并说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，13BN BE =【解析】 【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平//MF EBC //DF EBC 行的判定定理证得面面，从而得到平面；//DMF EBC //DM BEC （2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段N 4PC =成比例得到的值. BN BE【小问1详解】记为的中点，连接，如图1，F AB ,DF MF 因为分别为的中点，故，,F M ,AB AE //MF EB 因为平面平面MF ⊄,EBC EB ⊂,EBC 所以平面，//MF EBC 又因为为正三角形，所以 ，，ADB 60DBA ∠=︒DF AB ⊥又为等腰三角形，，所以,BCD △120BCD ∠=︒30DBC ∠=︒所以，即，90ABC ∠=︒BC AB ⊥所以，又平面平面//DF BC DF ⊄,EBC BC ⊂,EBC 所以平面，又，平面，//DF EBC DM MF F ⋂=,DM MF ⊂DMF 故平面平面，//DMF EBC 又因为平面，故平面.DM ⊂EBC //DM BEC【小问2详解】延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如,CD AB P PM BE N CN N //NQ AE AB Q 图2，因为平面，平面，平面平面， //DM ECB DM ⊂PDM PDM ECB CN =所以，此时四点共面，//DM CN ,,,D M N C 由（1）可知，，得，2,60,BC CD PCB CB BP ==∠=︒⊥30,4CPB PC ∠=︒=故，又因为，所以， 4263PN CP PM DP ===//NQ AE 23NQ PN AM PM ==则有，故. 3112223NQ NQ AE AM ==⨯=13BN NQ BE AE ==22. 在中，分别是角的对边，．ABC ,,a b c ,,A B C 2cos cos cos a A b C c B =+（1）求角A 的大小；（2）若，点为重心，点为线段的中点，点在ABC G ABC M AC N 线段上，且，线段与线段相交于点，求的取值范围.AB 2AN NB =BM CN P GP【答案】（1） π3（2）16GP ⎛∈ ⎝ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得； （2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即AB AC AG AP 可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积GP 2bc =b 的运算律及对勾函数的性质计算可得．【小问1详解】因为，2cos cos cos a A b C c B =+由正弦定理可得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin A A B C C B B C A =+=+=又因为，则，()0,πA ∈sin 0A >可得，即，所以. 2cos 1A =1cos 2A =π3A =【小问2详解】由题意可得，， 23AN AB = 12AM AC = 所以， ()222111333233AG AB BG AB BM AB AM AB AB AC AB AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ 因为、、三点共线，故设， C N P ()()2113AP AN AC AB AC λλλλ=+-=+- 同理、、三点共线，故设， M B P ()()1112AP AB AM AB AC μμμμ=+-=+- 则，解得， ()231112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩3412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以， 1124A AB A PC =+ 则， ()11111112243361212GP AP AG AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=-=- ⎪⎝⎭ 因为，所以，1sin 2ABC S bc A == 2bc =又因为为锐角三角形，ABC 当为锐角，则，即， C 0AC BC ⋅> ()22102A AC AC A C AC AB B b bc -⋅⋅==>--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即，所以； 22b c b>=1b >当为锐角，则，即， B 0AB CB ⋅> ()22102A AB AB A B AC AB C c bc -⋅=⋅=>--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则，即，所以； 2c b >22b b⋅>02b <<综上可得，12b <<又因为， 1212GP AB AC =⋅- 则， ()222222222216144|2444|4||424GP AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC c bc b b b =-=-⋅+=-⋅+=-+=-+ 因为，则，12b <<214b <<且在上单调递减，， ()164f x x x=-+(1,4)()()113,44f f ==所以，即， ()()4,13f x ∈()22216144||44,13GP b b =-+∈u u u r所以．16GP ⎛∈⎝。

高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（ ） z ()13i z i -=-i zA ．1B ．2C D ．4【答案】C【解析】由复数的除法求出复数，再由模的定义求得模．z【详解】由题意． 23(3)(1)3321(1)(1)2i i i i i i z i i i i --++--====+--+=故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模．属于基础题．2．已知向量，满足，则向量，夹角的大小等于（ ）a b||a = ||b = ()1a b b -⋅= a b A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°【答案】A【分析】先由得到，再根据数量积公式得到()1a b b -⋅= 21a b b ⋅-= cos θ=的范围进行求解.【详解】设向量向量，的夹角为， a bθ由，得， ()1a b b -⋅= 21a b b ⋅-= 即，2||||cos ||1a b b θ⋅-=因为||a = ||b =所以，解得 21θ-=cos θ=又因为，所以，0180θ≤≤ 30θ= 即向量，的夹角的大小为30°． a b故选：A ．3．已知复数z 1，z 2，则z 1z 2的代数形式是（ ）cos sin 1212i ππ⎫+⎪⎭cos sin 66i ππ⎫+⎪⎭ABcos sin 44i ππ⎫+⎪⎭cos sin 1212i ππ⎫+⎪⎭C D【答案】D【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详解】12cos sin cos sin 121266z z i i ππππ⎫⎫=++⎪⎪⎭⎭s in()]112626i ππππ=+++44cossin )i ππ=+=故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得． 【详解】∵a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，∴， sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-∴, sin()sin()sin cos sin cos B C C A C B C A +-+=-∴， sin cos sin cos 0B C A C -=∴或，∴或，cos 0C =sin sin A B =2C π=A B =故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用． 5．若，则（ ） 4sin 3cos 0αα-=2sin 22cos αα+=A ．B ．C ．D 4825562585【答案】B【解析】由，求得，再由，即可求出．4sin 3cos 0αα-=3tan 4α=222tan 2sin 22cos tan 1αααα++=+【详解】由，求得， 4sin 3cos 0αα-=sin 3tan cos 4ααα==而， 222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα+++==++所以． 22322564sin 22cos 25314αα⨯++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．6．如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则ABC ∆3AB AC ==4BC =P BC ()AP AB AC⋅+（ ）A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关【答案】A【解析】设，根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意(01)BP BC λλ=≤≤义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可. 【详解】设.(01)BP BC λλ=≤≤，()()()2()AP AB AC AB BP AB AC AB AB AC BC AB AC λ⋅+=+⋅+=+⋅+⋅+ 因为，()()()()220BC AB AC BA AC AB AC AC AB λλλ⋅+=+⋅+=-=，22299161cos 22339AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯所以.()22333cos 10AP AB AC AB AB AC A ⋅+=+⋅=+⨯⋅= 故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力. 7所得的结果是（ ）2cos 20-︒A ．B ．C ．D ．2141232【答案】B【分析】，再结合2cos20︒=展开整理即可得答案.()sin40sin6020=-【详解】2cos202cos20︒=====.sin2012sin202===故选：B【点睛】本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在2cos20︒=化简整理即可求解.()sin40sin6020=-8．已知中，的面积为（）ABC1,sin,23B C A BCπ=-==ABCAB．C．D【答案】C【分析】由已知判断为锐角，然后分别求解与的值，再由正弦定理求解与的值，B sin B sinC b c代入三角形面积公式得答案．【详解】解：由，得，可得为锐角，2B Cπ=-2C Bπ-=B又，，则，1sin3A=1sin()3B C∴+=1sin(223Bπ+=即，，解得，则1cos23B=∴21213cos B-=cos=B sin B=sin sin()cos2C B Bπ=+==由正弦定理，sin sin sina b cA B C==得．sinsina BbA==sin6sina CcA=．∴111sin6223ABCS bc A==⨯⨯=故选：．C二、多选题9．在复平面内，下列说法正确的是( ) A ．若复数(i 为虚数单位)，则 1i1iz +=-i z =B ．若复数z 满足，则2z ∈R z ∈R C ．若复数，则z 为纯虚数的充要条件是()i ,z a b a b =+∈R 0a =D ．若复数z 满足，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆 1z =【答案】AD【分析】A ：根据复数的除法运算法则计算即可；B ：设，根据求出a 、b ()i ,z a b a b =+∈R 2z ∈R 的值即可判断；C ：根据纯虚数的概念即可判断；D ：设，求出z 对应的点(a ，b )()i ,z a b a b =+∈R 的轨迹方程即可判断．【详解】对于A ，，故A 正确； ()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====--+对于B ，设z =a +b i ，a 、b R ，则， ∈2222i z a b ab =-+；当a =0，b ≠0时，z =b i R ，故B 错误；20z ab ∈⇒=R ∉对于C ，，则z 为纯虚数的充要条件是a =0且b ≠0，故C 错误；()i ,z a b a b =+∈R 对于D ，设，则，()i ,z a b a b =+∈R 2211z a b =⇒+=则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆，故D 正确． 故选：AD ．10．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）a bA ．若，则，的方向相同+=- a b a b a bB ．若⊥，则a ba b a b +=- C ．若，则在方向上的投影向量为a b a b +=+ a b aD ．若存在实数λ使得，则a b λ=+=- a b a b 【答案】BC【分析】将模的关系转化数量积的关系，结合夹角的特征可判断A B D 的正误，再根据投影向量的定义可判断C 的正误．【详解】因为，， +=- a b a b 2222+22a b a b a b a b +⋅=+-⋅ 故即，故，共线反向，故A 错误．a b a b ⋅=-⋅ cos ,1=- a b a b若⊥，则，故，故B 正确．a b 2240a b a b a b +--=⋅=a b a b +=- 若，则即，a b a b +=+ 2222+22a b a b a b a b +⋅=++⋅a b a b ⋅=⋅ 故，故，共线同向，故cos ,1a b = a b()0b a λλ=> 则在方向上的投影向量为，故C 正确． a b b a a a a a bλλ==由A 选项的分析可知：即为，共线反向，且， +=- a b a b a ba b ≥ 故当时，，共线同向，故不成立， 0λ>a b+=- a b a b 故选：BC ．11．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），ABC a ∈R tan A tan B x 230x ax a -++=则可能是（ ） ABC A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】BCD【分析】由韦达定理及正切的两角和公式通过分类讨论可求解. 【详解】因为方程有两根，，230x ax a -++=tan A tan B 所以，所以，tan tan tan tan 3A B a A B a +=⎧⎨⋅=+⎩tan tan tan()(2)1tan tan 1(3)2A B a aA B a A B a a ++===≠--⋅-+--且或. 24(3)06a a a ∆=-+≥⇒≥2a <-所以， tan()02aA B a +=<--因为，所以，从而可得， A B C π+=-tan()tan()tan 0A B C C π+=-=-<tan 0C >所以.02C π<<当时，，所以，，此时锐角三角形.6a ≥tan tan 0A B ⋅>02A π<<02B π<<ABC 当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形. 3a <-tan tan 0A B ⋅<,A B ABC 若，则，此时，所以，解得或（舍），tan tan A B =A B =tan tan 2a A B ==322a aa ⋅=+6a =2a =-当时，是等腰三角形.6a =ABC 因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形. ABC 故选：BCD12．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足，则下列224sin 02A Bb a a +-+=结论正确的是（ ） A ．角C 一定为锐角 B ． 22220a bc +-=C ． D ．sin 2sin cos 0B A C +=3tan tan 0A C +=【答案】BCD【分析】利用余弦定理与正弦定理的边角互化，对选项逐一判断. 【详解】∵，∴， 224sin02A Bb a a +-+=224cos 02C b a a -+=即，∴， ()22cos 10b a a C -++=cos 02bC a=-<又，∴一定是钝角，故A 错误；()0,C π∈C 由余弦定理知，， 222cos 22a b c bC ab a+-==-化简得，，故B 正确；22220a b c +-=∵， ()()222222222tan sin cos sin cos 1tan cos sin sin cos 332a b c bc A A C A C a b C A C C A c b ab b c a +-⋅-==⋅=⋅==-⋅+-∴，3sin cos cos sin 0A C A C +=，C 正确；()sin 2sin cos 0sin 2sin cos 0A C A C B A C ++=⇒+=∴，D 正确； 3tan tan 0A C +=故选：BCD【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、填空题13．已知平面向量，，且，则 _________ . ()2,1a =- (),2b m = a b ⊥+= a b【分析】利用求出，再求出的坐标后可求其模长．a b ⊥ m a b +【详解】因为，故，，故， a b ⊥220m -=1m =()3,1a b += 故a +14．已知，且_____________. π0π2αβ<<<<cos αβ==αβ+=【答案】54π【分析】先由已知条件求出，然后求出的值，从而可求出. sin ,cos αβ()sin αβ+αβ+【详解】因为， π0π2αβ<<<<cos αβ==所以 sin α===cos β===所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛== ⎝因为，所以， π0π2αβ<<<<322ππαβ<+<所以，54αβπ+=故答案为：. 54π15．为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西A B D A B D 15︒、北偏东方向．再往正东方向行驶16海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏45︒C B C A C 西方向，则、两岛屿之间的距离为___________海里． 60︒A B【答案】【分析】根据题意画出图形，结合图形在中由正弦定理求得的值，在中求出ADC △AD BDC BD ，在中由余弦定理求得的值． ADB AB 【详解】根据题意画出图形，如图所示：由题意知，，，所以，105ADC ∠=︒30ACD ∠=︒16CD =45DAC ∠=︒在中，由正弦定理得：，解得ADC △16sin 45sin 30AD=︒︒AD==又，，所以， 45BDC ∠=︒90BCD ∠=︒16BC DC ==BD =又，154560ADB∠=︒+︒=︒在中，由余弦定理得：ADB ， 222260384AB =+-⨯︒=解得AB =所以､两岛屿之间的距离为 A B 故答案为：四、双空题16．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，且交AB 于点E ．DE AB ⊥且交AC 于点F ,则的值为____________；的最小值为//DF AB |2|BE DF +()DE DF DA +⋅____________．【答案】 11120【分析】设，由可求出；将化为关于BE x =222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+ ()DE DF DA +⋅ x的关系式即可求出最值.【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，BE x =10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABC DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====- ，为边长为的等边三角形，，//DF AB DFC ∴ 12x -DE DF ⊥， 22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-= ，|2|1BE DF +∴=2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅ ， 222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+⎪⎝⎭所以当时，的最小值为. 310x =()DE DF DA +⋅ 1120故答案为：1；. 1120五、解答题17．已知复数（，是虚数单位）.123i,2i z a z a =+=-R a ∈i (1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围； 21z z +a (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 1z 260x x m -+=m 【答案】(1) 2a >-(2) 18m =【分析】（1）写出，再根据复数的加法运算求出，再根据复数的几何意义结合题意列出2z 21z z +方程组，从而可得出答案；（2）根据一元二次方程的虚数根互为共轭复数，结合韦达定理即可得出答案. 【详解】（1）解：，22i z a =+，()()1223i z z a a +=+++因为在复平面内对应的点落在第一象限，21z z +所以，解得；2030a a +>⎧⎨+>⎩2a >-（2）解：因为虚数是实系数一元二次方程的根， 1z 260x x m -+=所以虚数也是一元二次方程的根， 13i z a =-260x x m -+=则，2111126,9z z a z z a m +==⋅=+=所以.3,18a m ==18．已知角是的内角，若，. A ABC),cos a A A = ()1,1b =-r (1)若，求角A 的值；a b (2)设，当取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）.()f x a b =⋅ ()f x a b 【答案】(1)；(2). 5π6(-【分析】(1)由向量平行的坐标表示列方程求A ，(2)由数量积的坐标公式求，再求其最值，并()f x 根据投影 的定义求在上的投影向量.a b 【详解】解：(1)∵角是的内角，∴，A ABC 0πA <<又，且，),cos a A A = ()1,1b =-r a b ∴，即，cos 0A A -=12cos 02A A ⎫⎪⎭+=∴， πsin 06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=∵，∴， 0A π<<ππ7π666A <+<则，即； ππ6A +=5π6A =(2)， ()πcos 2sin 6f x a b A A A ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭ ∵，∴要使取得最大值，则，即. ππ5π666A -<-<()f x ππ62A -=2π3A =∴， 2π2π31,cos ,3322a ⎫⎛⎫==-⎪⎪⎭⎝⎭∴在上的投影向量为. ab ()(1,1a b b b ⋅⋅=-=- 19．在①A = ，a =b =②a = 1，b = A = ；③a，b = ，B =这3π6π3π三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为2，并加以解答.问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 ________ ，解三角形.【答案】；或 ②ππ232B C c ===，，2ππ136B C c ===，，【分析】根据三角形的边角关系及正弦定理求解三角形即可. 【详解】（1）选择条件①π3a b A==根据正弦定理：可得：sin sina bA B=sinsinb ABa===或，时，，不符合题意.π4B∴=3π4B=3π4B=πA B+>所以选择条件时，，此时，①π4B=ππ5ππA Bπ4312C=--=--=计算得：sinsina CcA===此时三角形的解只有一个，不符合题意.（2）选择条件.②π16a b A===，根据正弦定理：可得：sin sina bA B=sinsinb ABa===或π3B∴=2π3B=时，，此时计算得：π3B=ππππA Bπ632C=--=--=2c=时，，此时计算得：2π3B=π2πππA Bπ636C=--=--=1c a==选择条件，解三角形可得结果为：②或ππ232B C c===，ππ136B C c===，，（3）选择条件③π3a b B==根据正弦定理得：sinsin1a BAb===，此时，计算得：π2A∴=ππππA Bπ326C=--=--=c=此时三角形只有一个解，不符合题意.所以选择条件，解三角形结果为：或 ②ππ232B C c ===，ππ136B C c ===20．在中，角所对的边分别为，且．ABC , ,A B C ,,a b c ()cos =2cos a B c b A -（1）求角；A （2）若向量，求的取值范围． ()2cos ,2cos ,0,sin 2c mB A n æöç÷ç÷è==ø2m n - 【答案】（1）；（2）． 3π【分析】（1）由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式化简后可求得；A （2）由模的坐标表示求出向量的模，并利用公式，两角和的余弦公式化简后，由（1）求得角范C 围，结合余弦函数性质可得结论．【详解】解：（1）在中，ABC cos =(2)cos a B c b A -由正弦定理：，sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，因为，故，sin 2sin cos C C A =(0,)C π∈sin 0C >从而，又，所以． 1cos 2A =(0,)A π∈3A π=（2） ()2cos ,10),si ,n 2(n C m B == 22cos ,12si )c n ((o = ,cos s 2C m n B B C -=- 2222cos cos m n B C -=+ 1cos 21cos 222B C ++=+)11cos 2c (os 22B C =++ ]12=1+[cos2223()cos C C p +-4()co ]11[cos 222s 3C C p -+=+]1=1+[22cos 221cos 2C C C +--111[cos 2]222C C =+- 11cos(2)23C π=++因为，， 203C π<<52333C πππ<+<11cos 232C π⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭所以 1151cos 22234C π⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭所以2152,24m n éö÷-Îê÷êëø 所以． 2m n -Î21．如图，在四边形中，，，ABCD 34ABC π∠=AB AD⊥AB =（1）若的面积；AC =ABC ∆（2）若，，求的长. 6ADC π∠=CD =AD【答案】（1）；（2.12【分析】（1）由余弦定理求出BC ，由此能求出△ABC 的面积．（2）设∠BAC ＝θ，AC=x ，由正弦定理得从而，在sin sin 4x AB ABC πθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭1=sin 4x πθ⎛⎫-⎪⎝⎭ACD ∆中，由正弦定理得θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin ∠CAD ．再利用余弦x 定理可得结果.【详解】（1）因为，34ABC π∠=AB =AC =所以，即，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2230BC BC +-=所以.1BC =所以. 11122ABC S =⨯= （2）设，，则， 04BAC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭AC x =2CAD πθ∠=-在中，由正弦定理得：， ABC ∆sin sin 4x AB ABC πθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭所以； 1sin 4x πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在中，，所以. ACD ∆sin sin 62x CD ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭x =即，1sin 4πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 2θ=所以，sin cos CAD θ∠=所以AC x ==cos CAD ∠=所以在中，.ACD ∆2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠即，解得（舍）.2220AD --=AD =AD =【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．已知的最小正周期是． ()()21sin cos (0)2f x x x x f x ωωωω=->π(1)求的值；ω(2)若，求值； ()4π7π5312f αα⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭sin2α(3)当时，讨论方程的根的个数． π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π6f x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】(1)；1ω=； (3)答案见解析.【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再结合函数的最小正周期计算作答.()f x （2）利用（1）的结论，结合平方关系及和角的正弦公式求解作答.（3）求出函数，并探讨在上的性质，由函数值的变化情况即可推理作答. π()6y f x =+π[0,2【详解】（1）依题意， 1cos 21cos 2π()22sin(22226x x f x x x x ωωωωω-=-=-=-函数的最小正周期，解得， ()f x 2ππ2ω=1ω=所以的值是1.ω（2）由（1）知，，于是，而， π()sin(2)6f x x =-π4()sin(2)65f αα=-=π7π312α≤≤则，， ππ2[,π]62α-∈π3cos(2)65α-=-所以 ππππππsin2sin[(2sin(2cos(2)sin 666666αααα=-+=-+-. 431()552=+-⨯=（3）由（2）知，函数，显然， πππ(sin(2),[0,662f x x x +=+∈ππ7π2[,]666x +∈函数在上单调递增，函数值由增大到1，在上单调递减，函数值由1减小π()6y f x =+π[0,612ππ[,62到， 12-则当或时，方程的根的个数为0； 12k <-1k >π()6f x k +=当或时，方程的根的个数为1； 1k =1122k -≤<π(6f x k +=当时，方程的根的个数为为2. 112k ≤<π()6f x k +=。

江苏省南京市中华中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，，则（ ） ()3,4a = ()1,2a b -= a b ⋅=A ．5B ．14C ．D ．6-【答案】B【分析】先求向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出答案.a【详解】因为，，所以， ()3,4a = ()1,2a b -= ()()1,22,2b a =-=所以.324214a b ⋅=⨯+⨯=故选：B. 2．已知，则（ ） 1cos 3α=sin sin2αα=A ．B ．C ．D ．1272278271627【答案】D【分析】利用平方关系可求，结合二倍角公式可得答案. 2sin α【详解】因为，所以； 1cos 3α=228sin 1cos 9αα=-=所以. 28116sin cos 29327sin sin22αααα=⨯==⨯故选：D.3．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若米，，，，则塔尖之间的AC =BC =45MCA ∠=︒30NCB ∠=︒120MCN ∠=︒MN 距离为（ ）米.A ．80B ．120C ．D ．【答案】D【分析】先求，利用余弦定理求得.,MC NC MN【详解】，80,160MC NC ====在三角形中，由余弦定理得：MCN米.MN ===故选：D4．在中，，，则（ ） ABC 4cos 5A =()1tan 3A B -=tan B =A ．B ．C ．D ．139139559【答案】A【分析】先求出，根据可求答案. tan A ()1tan 3A B -=【详解】因为在中，，所以为锐角，且， ABC 4cos 5A =A 3sin 5A =所以； sin 3tan =cos 4A A A =因为，所以， ()1tan 3A B -=tan tan 1=1tan tan 3A B A B -+即，解得. 933tan 1tan 44B B -=+1tan 3B =故选：A.5．在中，为线段上一点，且，若，则的最小值为ABC D BC 2AE ED =ED xAB y AC =+ 19x y+（ ）A ．B ．16C ．48D ．60163【答案】C【分析】先由得出再得出,最后常值代换应用基本不等式可解.2,AE ED =13ED AD =331x y +=【详解】, 12,3AE ED ED AD =∴=,，又B ，D ，C 三点共线， 13AD x AB y AC =+33AD xAB y AC =+331,0,0,x y x y ∴+=>>, ()1919327333273048y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=+++≥= ⎪⎝⎭,当且仅当即当时取最小值. 1948x y ∴+≥327,y x x y =11,412y x ==故选:C.6．已知，且，，则（ ）π02βα<<<()12cos 13αβ-=3cos25β=()sin αβ+=A ．B ．C ．D ．6365336548651665【答案】A【分析】结合角的范围，利用同角三角函数基本关系及两角和差的正弦公式即可求解. 【详解】因为所以， π02βα<<<π02αβ<-<又，所以，()12cos 13αβ-=()5sin 13αβ-===因为，所以， π02β<<02πβ<<因为，所以， 3cos25β=4sin 25β==所以. ()()()()sin sin[2]sin cos 2cos sin 2αβαββαββαββ+=-+=-+-531246313513565=⨯+⨯=故选：A7．记的内角 ，，的对边分别为，，.已知，，则周长ABC A B C a b c 1b =22cos a c C -=ABC 的最大值为（ ）A B C ．3 D ．113【答案】C【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得，求出角B ，利用余弦定1cos 2B =理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案. a c +【详解】由,可得, 1b =22cos a cC -=2sin sin 2sin cos A C B C -=即，即， 2sin()sin 2sin cos B C C B C +-=2cos sin sin 0B C C -=因为，故， ()0,π,sin 0C C ∈≠12cos 10,cos 2B B -=∴=而，故， (0,π)B ∈π3B =故，即，2222cos ()31b a c ab B a c ac =+-=+-=22()()31314a c a c ac ++=+≤⨯+解得，当且仅当时取等号，02a c <+≤1a c ==故周长的最大值为， ABC 213+=故选：C8,且,,则（ ） cos cos αββα=-()0,πα∈()0,πβ∈αβ-=A ．B ．C ．D ． π3π3-2π32π3-【答案】C【分析】先求出的范围,再利用和差化积公式对等式两边分别化简,即可求得的正切值,从αβ-αβ-而求出.αβ-【详解】,()0,πα∈ ()0,πβ∈,,sin 0,sin 0αβ∴>>cos cos 0βα∴->又时,是减函数,,. ()0,πx ∈ cos y x =αβ∴>0παβ∴<-<由和差化积公式可得:,2sincos2sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=,,,,()0,πα∈ ()0,πβ∈sin02αβ+∴>,∴sin22αβαβ--=,又,, ∴tan2αβ-=0παβ<-< π23αβ-∴= 2π3αβ∴-=故选:C.二、多选题9．在矩形中，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是ABCD 5AB =4BC =E F BC CD （ ）A ．B ．12AE AB AC =+ 12AF AB AD =+ C ． D ．41AE AF ⋅=25AC AB ⋅=【答案】BD【分析】如图建系，应用坐标运算求向量加法及数量积分别判断各个选项即可. 【详解】如图建系，，()()()()()50,0,5,0,5,4,0,4,5,2,,42A B C D E F ⎛⎫⎪⎝⎭,A 选项错误;()()155,05,412,2212AB AE AC ⎛⎫=+=≠ ⎪⎝⎭+,B 选项正确; ()()1155,00,4,4222AB AD AF ⎛⎫++== ⎪⎝⎭=,C 选项错误;()5255,2,484122AE AF ⎛⎫⋅=⋅=+≠ ⎪⎝⎭,D 选项正确. ()()5,45,0554025AC AB ⋅=⋅=⨯+⨯=故选：BD.10．下列代数式的值为1的是（ ） A ． B ． 4sin75cos75︒︒22cos 15sin 15︒-︒C ． Dcos15sin15-︒︒【答案】AD【分析】利用倍角公式，辅助角公式和两角差的正切公式逐项求解可得答案. 【详解】对于A ，，A 正确； 14sin75cos7502si 5n1︒︒=︒=对于B ，，B 不正确； 22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=对于C， cos15sin15i 5n15⎫︒︒=︒︒-⎪⎪⎭C 不正确； )cos45cos15sin45sin15=︒︒︒︒=︒=-对于D ，D 正确. ()tan60tan15tan 601511tan60tan15︒-︒==︒-︒=+︒︒故选：AD.11．记的内角，，的对边分别为，，，则下列判断正确的是（ ）ABC A B C a b cA ．若，，，则是钝角三角形 2a =3b =4c =ABCB ．若，则是等腰三角形 sin2sin2A B =ABC C ．若，则为锐角三角形 cos cos cos 0A B C >ABCD ．若，则为锐角三角形 cos cos cos 0A B C ++>ABC 【答案】AC【分析】利用余弦定理和三角形的性质逐项判断即可得出答案. 【详解】对于A ，因为，，，所以为最大角，2a =3b =4c =C ，所以是钝角三角形，A 正确；22249161cos 022234a b c C ab +-+-===-<⨯⨯ABC 对于B ，因为，所以或， sin2sin2A B =22A B =22πA B +=即或，是等腰三角形或直角三角形，B 不正确； A B =π2A B +=ABC 对于C ，因为，所以均大于零，即为锐角三角形，C 正cos cos cos 0A B C >cos ,cos ,cos A B C ABC 确；对于D ，当时，满足，但是为钝角三角形，D 不正π2π,63A B C ===cos cos cos 0A B C ++>ABC 确. 故选：AC.12．已知，则的值用可以表示为（ ） sin10a = 2231sin 40cos 40- a A ．B ．C ．D ．2841a a +-2421a a +-16a 32a 【答案】AD【分析】利用诱导公式、两角和公式以及二倍角公式，化简求解即可得到答案. 【详解】 222222313cos 40sin 40sin 40cos 40sin 40cos 40--=， ()()2222311cos801cos8048cos8048sin1048221cos 101sin 101sin 804a a +--+++====--又 ()sin30sin 310=⨯sin(1020)sin10cos 20cos10sin 20=+=+22sin10(12sin 10)2sin10cos 10=-+ 313sin104sin 102=-=， 31342a a ∴-=故，得到 3681a a -=()()3222246883214832111a a a a a a a a a a-+-+===---故选：AD三、填空题13．向量在向量方向上的投影向量______. ()3,4a = ()1,2b =- c =【答案】()1,2-【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】向量在向量方向上的投影向量是. ()3,4a = ()1,2b =- ()1,2a bb b b⋅⋅==-故答案为：()1,2-14．函数的最小值为______. ()2sin cos2f x x x =-【答案】32-【分析】化简的解析式，根据二次函数的性质求得正确答案.()f x 【详解】，()22sin cos22sin 2sin 1f x x x x x =-=+-，根据二次函数的性质可知，1sin 1x -≤≤当时，取得最小值. 21sin 222x =-=-⨯()f x 2113221222⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：32-15．非零向量满足：，,则与夹角的大小为_______,a b a b a -= ()0a a b ⋅-= a b - b【答案】135°或者34π【分析】根据题意，设，，则，结合题意分析可得△OAB 为等a OA=b OB = a b OA OB BA -=-= 腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．【详解】解：根据题意，设，，则，a OA=b OB = a b OA OB BA -=-= 若||＝||，，即||＝||，且⊥，a b - a ()0a a b ⋅-= BA OA OA BA 则△OAB 为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°＝135°， a b - b故答案为135°．【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．四、双空题16．如图，在中，，，过点向外作等腰直角三角形，且ABD △1AB AD ==DAB θ∠=B DBC ，则当______时，的长度取得最大值，最大值为______.BC BD =θ=AC【答案】3π41【分析】利用余弦定理及诱导公式得到，结合，求出最大值及此2π34AC θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,πθ∈时的值.θ【详解】在中，由余弦定理得ABD △，2222cos 112cos 22cos BD AD AB AD AB DAB θθ=+-⋅∠=+-=-故，，BC =()0,πθ∈π0,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，，所以， π2ABC θ-∠=π2DBC ∠=πππ222ABC ABC DBC θθ-∠=∠+∠=+=-故2222cos 122cos π2AC AB BC AB BC ABC θθ⎛⎫=+-⋅∠=+--- ⎪⎝⎭32cos 32cos 22θθθθ=-+=-+，π32cos 4sincos2sin 2cos 33224θθθθθθ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，()0,πθ∈ππ3π,444θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故当，即时，取得最大值，最大值为，ππ42θ-=3π4θ=2AC 3故AC 1=故答案为：，3π41五、解答题17．已知.()πsin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的值域；()f x (2)若，，求的值.()35f α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin α【答案】(1) []1,1-【分析】（1）先根据两角和差正弦余弦公式化简解析式，再应用三角函数值域求解即得； （2）先用已知角表示未知角，结合同角三角函数关系求函数值，再应用两角和差公式求解即可. 【详解】（1）， ()11sin sin cos sin cos 3226f x x x x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭所以的值域为 ()f x []1,1-（2）由（1）得，π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ππ2π,663⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭α所以.π4sin 65α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=-⨯=18．已知，. π02α<<21sin 12sin 22αα=-(1)求的值； tan2α(2)若，，求的值. π02β<<2tan 2tan 30ββ--=αβ+【答案】(1)43-(2) 3π4【分析】（1）根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；（2）结合角的范围解一元二次方程得，然后根据两角和正切公式求出，然tan 3β=()tan 1αβ+=-后根据角的范围确定角的大小.【详解】（1）因为，所以， 21sin 12sin 22αα=-1sin cos 2αα=所以，所以tan 2α=22tan 224tan21tan 143ααα⨯===---（2）因为，所以或. 2tan 2tan 30ββ--=tan 3β=tan 1β=-因为，所以，所以. π02β<<tan 0β>tan 3β=所以()tan tan 23tan 11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯因为，，所以，所以. π02α<<π02β<<0παβ<+<3π4αβ+=19．在中，角的对边分别为.已知. ABC ,,A B C ,,a b c cos cos cos a b cA B C+=+(1)求角的大小；A (2)若为线段延长线上一点，且，求. D BC ,3BA AD BD CD ⊥=sin ACD ∠【答案】(1)； π3【分析】（1）由正弦定理边角关系及差角正弦公式可得，结合三角形内角()()sin sin A B C A -=-性质即可求的大小；A（2）设，且，在、应用正弦定理列方程求ACB θ∠=2BC CD =ACD ACB △tan θ=角三角函数关系、诱导公式即可求的大小. sin ACD ∠【详解】（1）由正弦边角关系得：， sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+所以sin cos sin cos sin cos sin cos A B A C B A C A +=+则，即， sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=-()()sin sin A B C A -=-所以（舍）或，故 . πC B -=2B C A +=ππ23A A A -=⇒=（2）设，且，ACB θ∠=2BC CD =在中，①， ACD ππsin sin 66CD AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在中，②， ACB △ππsin sin 33BC AC θ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以，πsin 3πsin 6θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭tanθ⇒=所以sin si n ACD θ∠==20．如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点.αβP Q(1)若，求的值； 13,22OP OQ ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()cos αβ-(2)若，，求的值. π6α=OP OQ -= 2cos 2π3β⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)14(2) 4781-【分析】（1）先表示出向量的坐标，利用和差角公式可求答案；,OP OQ （2）根据，根据倍角公式可得答案. OP OQ -= ()8cos 9βα-=【详解】（1）因为，，()cos ,sin OP αα= ()cos ,sin OQ ββ= 所以， ()13cos cos ,sin sin ,22OP OQ αβαβ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭所以， 1cos cos 23sin sin 2αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式平方相加，得， ()522cos 2αβ+-=解得. ()1cos 4αβ-=（2）因为OP OQ -=== 所以. ()8cos 9βα-=因为，所以. π6α=π8cos 69β⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以 2πcos 2πcos 2π36ββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2ππcos22cos 166ββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 284721981⎛⎫=-⨯+=- ⎪⎝⎭21．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块凸四边形的麦田里成为守望者，为了分割麦田，ABCD 他将连结，经测量，，.霍尔顿发现无论多长，是AC 2AD DC ==1AB =3BC =AC 3cos 4cos B D -定值.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方和相关，记和的面积分别为和ABC ADC △1S 2S ，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值.请你帮助霍尔顿解决以下问题： 2212S S +(1)求出的值；3cos 4cos B D -(2)求的最大值.2212S S +【答案】(1)1(2)498【分析】（1）在两个三角形内分别利用余弦定理求出，化简整理可得答案； 2AC （2）利用面积公式分别表示出，求和，利用换元法求解最值.2212,S S 【详解】（1）在中，，，根据余弦定理，ABC 1AB =3BC =. 2222cos 196cos 106cos AC AB BC AB BC B B B =+-⋅=+-=-同理，在中，.ADC △288cos AC D =-所以，106cos 88cos B D -=-所以.3cos 4cos 1B D -=（2）由（1）可知； 3cos 1cos 4B D -=在中， ABC ， ()2222211199sin 13sin sin 1cos 2244S AB BC B B B B ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理可得，在中，ADC △. ()()222221344cos 43cos 152cos 3cos 44S D B B B =-=-⨯-=⨯+-令，则cos B x =， ()()()22222212933314915233434422612S S x x x x x x ⎡⎤⎛⎫+=-++-=-++=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以当时，取得最大值，最大值为. 16x =2212S S +498所以，当时，的最大值为. cos 16B =2212S S +49822．在直角中，，，为的中点，，分别为线段，ABC 90C ∠=︒24AB AC ==M AB P Q AC BC 上异于，的动点，且.C B 120PMQ ∠=︒(1)当时，求的长度；120MQB ∠=︒PQ(2)若为的中点，设，求的取值范围.N PQ ()90120MQB θθ∠=︒<<︒22MN NP - 【答案】(1)PQ =(2)(1,6--【分析】（1）根据正弦定理求出，再利用余弦定理可求； ,MP MQ PQ （2）设，由正弦定理用表示出，把转化为，结合三角恒MQB θ∠=θ,MP MQ 22MN NP - MP MQ ⋅ 等变换的知识可求范围.【详解】（1）在直角中，，，为的中点， ABC 90C ∠=︒24AB AC ==M AB 所以，.30B ∠=︒2MB =在中，，，，MQB △120MQB ∠=︒30B ∠=︒2MB =根据正弦定理，得sin sin MB MQ MQB B=∠sin 2sin B MQ MB MQB ==∠在中，，同理，由正弦定理可得. MPA △2,30,60MA AMP A =∠=︒=︒MP =在中，，，MPQ 120PMQ ∠=︒MQ MP =根据余弦定理，2222cos PQMP MQ MP MQ PMQ =+-⋅∠得， 241193323PQ ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭所以PQ =（2）在中，，，，MQB △MQB θ∠=30B ∠=︒2MB =根据正弦定理，得. sin sin MB MQ MQB B=∠sin 1sin sin B MQ MB MQB θ==∠同理，在中，MPA △MP =因为， ()()()()22MN NP MN NP MN NP MN NP MN NQ MP MQ -=+⋅-=+⋅+=⋅所以 ()1cos120sin sin 210MP MQ MP MQ θθ⋅=︒=︒-== （用积化和差化简不扣分）=因为，所以，所以，90120θ<<︒︒1802240θ<<︒︒150230210θ︒︒<-<︒所以，所以()1cos260θ-≤-︒<()1cos230θ-≤-︒<所以16-<≤-所以的取值范围为.MP MQ⋅(1,6--。

高一年级第二学期期中联考数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.函数2()sin f x x =的最小正周期为 .2.过点(2,1)且与直线340x y ++=垂直的直线方程为 .3.棱长为1的正方体的外接球的表面积为 .4.已知,A B 两点的坐标分别为(0,4),(4,6)，则以AB 为直径的圆的标准方程为 .5.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 . （填写正确命题的序号）①若m ∥n ，m ⊥β，则 n ⊥β； ②若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥β． 6.若函数2()(1)()f x x x ax =++为奇函数，则a = .7.在ABC ∆中，边,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若a =3A π∠=，则当b 取最大值时，ABC ∆的面积为 .8.已知一圆锥的底面是半径为1cm 的圆，若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积是 cm 2.9.设0ω>，若函数()sin()4f x x πω=+的图像向左平移4π个单位与原图像重合，则ω的最小值为 .10.已知正方形ABCD 的边长为2，边,AB CD 分别为圆柱上下底面的直径，若一蚂蚁从点A 沿圆柱的表面爬到点C ，则该蚂蚁所走的最短路程为 .11.若直线l 的一般式方程为sin 10()x R θθ-+=∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是 .12.在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，CC 1的中点，设三棱锥1C DEF -的体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12V :V = .13.已知圆22:1O x y +=，点C 为直线:220l x y +-=上一点，若圆O 存在一条弦AB 垂直平分线段OC ，则点C 的横坐标的取值范围是 .14.已知直线4y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r = .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)如图，已知点(1,0)A ，B 是单位圆221x y +=上一动点，且点B 是线段AC 的中点.（1）若点C 在y 轴的正半轴上，求OA OB ⋅u u u r u u u r；（2）若23AOB π∠=，求点A 到直线OC 的距离.16. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别为1,BB AC 中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .ABA 1B 1C 1F E第16题如图，已知过点(4,3)P 的光线，经x 轴上一点A 反射后的射线l 过点(0,5)Q . （1）求点A 的坐标；（2）若圆C 过点Q 且与x 轴相切于点(1,0)-，求圆C 的方程.18. (本小题满分16分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知(0)a b m +=>.（1）当3m =时，①若A B =，求sin C ； ②若6B π=，求sin()A C -的值； （2）当2m =时，若2c =，求ABC ∆面积最大值.如图，在平面直角坐标系xOy 中，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地面，x 轴、y 轴上的单位长度都为1km ，某炮位于坐标原点处，炮弹发射后，其路径为抛物线221(1)20y kx k x =-+的一部分，其中k 与炮弹的发射角有关且0k >. （1）当1k =时，求炮弹的射程；（2）对任意正数k ，求炮弹能击中的飞行物的高度h 的取值范围；（3）设一飞行物（忽略大小）的高度为4km ，试求它的横坐标a 不超过多少km 时，炮弹可以击中它.（答案精确到0.1取2.236）20. (本小题满分16分)如图，已知圆222:(0)O x y r r +=>，动直线l 过点(1,0)M 交圆O 于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点（点A 在x 轴上方），点N 在x 轴上，若点B 的坐标为(0,)r -，则点A 的横坐标为85. （1）求r 的值；（2）当直线l时，直线AN 与圆O 相切，求点N 的坐标；（3）试问：是否存在一定点N ，使得ANM BNM ∠=∠总成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.第20题。

江苏省南京市五所高中合作联盟2023-2024学年高一下学期期中数学试卷一、单选题1．已知复数()2i i z -=，则z =（ ） A ．12i3+ B ．12i3-+ C ．12i5+ D ．12i5-+2．在ABC V 中，若AC =45C =︒，2AB =，则B 等于（ ）A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π33．sin35cos25cos145sin 25︒︒-︒︒=（ ）A B ．12C ．12-D ．4．在ABC V 中，23BE BC =u u u r u u u r ，34AF AE =u u u r u u u r ，则BF =u u u r（ ）A ．3142AB AC --u u u r u u u r B ．3142AB AC -+u u ur u u u r C ．3142AB AC -u u u r u u u rD ．3142AB AC +u u ur u u u r 5．若2cos 3α=-，()0,πα∈，则cos 2α的值为（ ）A B ． C ．D6．已知α、()0,πβ∈，且cos α=cos βαβ+=（ ）A ．π4B ．3π4C ．π4或34π D ．3π4或5π47．在斜ABC V 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin sin a A b B c C+-3sin cos b B C =，若CD 是ACB ∠的角平分线，且CD AC 2==，则cos ACB ∠=（ ）A ．18B ．718 C ．23D ．518 8．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1CD =，π3BAD ∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AD AC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题9．已知复数()()211i R z m m m =-++∈，则下列结论正确的有（ ）A ．若复数z 为实数，则1m =-B ．若复数z 为纯虚数，则1m =±C ．当1m =时，2i z =-D ．当0m =时，202410122z =10．关于平面向量a r 、b r 、c r，下列说法正确的是（ ）A ．若22a b =r r ，则a b =r rB ．a b a b ⋅≤r r r rC ．若非零向量a r 、b r 满足a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r r的夹角是30︒D ．若向量()1,2a =-r ，()1,3b =r ，则向量a r 在向量b r 上的投影向量为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．下列选项中，值为14的有（ ）A ．sin 75sin15︒︒B ．sin18sin54︒︒C ．sin 56sin 4cos56cos 4︒+︒︒+︒D ．21tan 22.521tan 22.5︒-︒三、填空题12．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若4a =，b 5π6C =，则c =.13．已知tan 3α=-，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.14．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是BC 、AB 的中点，AD 与CE 的交点为O ，若2A O B C ⋅=u u u r u u u r，则cos b C ⋅的最小值为.四、解答题15．已知向量a r 与b r 满足2a =r ，1b =u u r ，a r 与b r的夹角为120︒.(1)当k 为何值时，()()32a b ka b +⊥-r r r r ； (2)求向量3a b +r r 与向量a r的夹角的余弦值.16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若4a =，b 且co s 20c A b -=. (1)求c ；(2)已知点D 在线段AB 上，且2π3CDB ∠=，求CD 长.17．若已知向量()cos ,sin a x x =r ，()cos ,sin b x x x =+-r ，设函数()f x a b =⋅r r . (1)若//a b r r且()0,πx ∈，求角x 的大小；(2)已知α，β均为锐角，π665f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()5sin 13αβ-=-，求()sin αβ+的值. 18．“无想山国家森林公园”位于南京市溧水区城南新区，总面积约3平方千米，平均海拔100米，拥有天池、无想湖等10多个天然和人工湖泊，以及壮观的松林景观和竹海景观，森林覆盖率为95.6%，空气质量常年保持一级标准.无想山景区山清水秀，文化底蕴深厚，自古被誉为“溧水第一胜境”.为了方便市民休闲、观光和锻炼，溧水区政府决定在无想山脚下挖掘一个人工湖.人工湖设计呈凸四边形形状，记为四边形ABCD ，并规划AB BC CD ==2=百米，AD =.(1)设计师发现无论BD cos A C -为一个定值，请你验证设计师的结论，并求出这个定值；(2)为了能容纳更多的游船，人工湖的面积越大越好，问怎样设计才能使人工湖的面积最大？并求出最大值.19．如图，在ABC V 中，2AB =，4AC =，120BAC ∠=︒，2BD DA =u u u r u u u r ，2CE EB =u u ur u u u r .(1)求AE CD ⋅u u u r u u u r的值；(2)线段BC 上是否存在一点P ，使得CD AP ⊥？若存在，请求出点P 的位置，若不存在，请说明理由；(3)若O 是ABC V 内一点，且满足()20R OC OB mOA m ++=∈u u u r u u u r u u u r r ，求2O A O C O A O B ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值.。

一、单选题1．已知，则（ ） 3i z =-z =A ．3B ．4CD ．10【答案】C【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.【详解】因为，所以3i z =-z ==故选：C.2．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ） ()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x π6x =ϕA ．B ．C ．D ．π12π6π32π3【答案】B【分析】由正弦函数的图象的对称性可得，由此可以求出的值. ()πππZ 32ϕ+=+∈k k ϕ【详解】由题得：，故，而，所以.π16f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭()πππZ 32ϕ+=+∈k k 0πϕ<<π6ϕ=故选：B.3．已知是边长为2的等边三角形，，，分别是边，，的中点，则下列选ABC A D E F AB BC CA 项正确的是（ ）A ．B ．AB AC AE += AB AC BE -= C ．D ．12EF AB = 12DE DF ⋅= 【答案】D【分析】根据向量加法、减法、数乘向量的几何意义，结合等边三角形的性质以及图象，即可判断A 、B 、C 项；根据几何关系得出，，根据数量积的定义，即可得出D 项.12DE AC =12DF BC =【详解】对于A 项，因为是边的中点，所以，故A 项错误；E BC ()12AE AB AC =+对于B 项，因为是边的中点，所以，E BC 22CB EB BE ==-所以，故B 项错误；2AB AC CB BE -==-对于C 项，因为，分别是边，的中点，所以，且. E F BC CA EF AB ∥12EF AB =又因为反向，所以，故C 项错误；,EF AB 12EF AB =-对于D 项，因为，，分别是边，，的中点，D E F AB BC CA 所以，且,，且， ∥D E A C 12DE AC =DF BC ∥12DF BC =所以，，.12DE AC =12DF BC=因为，，所以，2AC BC ==π3ACB ∠=12222CA CB ⋅=⨯⨯= 所以， 2AC BC CA CB ⋅=⋅=所以，故D 项正确.1142CA CB DE DF ⋅==⋅ 故选：D.4．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积Rt O A B '''△OAB A O B B A ''''⊥2O A ''=OAB A 是（ ）A B ．1C D ．【答案】D【分析】由直观图得到原图可得答案.【详解】因为，所以，，2O A OA ''==O B ''=OB =90BOA ∠=所以的面积是OAB A 12OAB S OA OB =⨯⨯=A 故选：D.5．已知向量，，，则实数（ ）.()0,2a =r)b = ()()a kb ka b -⊥+k =A ． B ．0 C ．1 D ．或11-1-【答案】D【分析】由已知求出，，.由已知可得，展开代入，即可得24a = 24b = 2a b r r ×=()()0a kb ka b -⋅+= 出答案.【详解】由已知可得，，，.222024a r =+=22214b =+= 2a b rr ×=因为， ()()a kb ka b -⊥+所以，，()()0a kb ka b -⋅+=所以有，()22210ka k a b kb +-⋅-= 所以，，解得.()242140k k k +--=1k =±故选：D.6．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，下列说法中不正确的1111ABCD A B C D -M N AC 1A B 是（ ）A ．平面B ． //MN 11ADD A MN AB ⊥C ．与所成角为45°D ．平面MN 1CC MN ⊥1ACD 【答案】D【分析】连接，，由中位线定理以及线面平行判定判断A ；由平面证明BD 1A D AB ⊥11ADD A ；由，得出与所成角；由与不垂直判断D.AB MN ⊥1MN A D A 11CC D D A MN 1CC MN 1CD 【详解】对于A ：如图，连接，.BD 1A D 在正方形中，为的中点,，即也为的中点， ABCD M AC AC BD M ∴⋂=M BD 在中，分别为的中点，，1A BD A ,M N 1,BD A B 1MN A D A 又平面，平面，平面，故A 正确；MN ⊄ 11ADD A 1A D ⊂11ADD A MN ∴A 11ADD A对于B ：平面，，，故B 正确；AB ⊥Q 11ADD A 1AB A D ∴⊥AB MN ∴⊥对于C ：，，与所成角为，故C 正确； 1MN A D A 11CC D D A ∴MN 1CC 1145A DD ∠=︒对于D ：连接，，11111,,,A D B C CD B D 1111B C CD B D == 1160B CD ∴∠=︒，与不垂直，即与不垂直，则不垂直平面，故D 错误；11B C A D A ∴1A D 1CD MN 1CD MN 1ACD故选：D7．（ ）2023i 2⎫+=⎪⎪⎭A ． B ． CDi2i 2i 2i 2【答案】B【分析】由结合平方差公式以及复数的运算求解即可. 21i 2ii 2⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭【详解】，即. 231i i2i i 244⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭21i 2ii 2⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭所以. 231i 13i 13112i 22i 44i 44i i i ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=--=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭所以 26743674023i i i 1i 222i 2⎫⎫⎫⎫⎛⎫+=+=-⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎡⎤⎢⎥⨯⨯⎢⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎭⎭⎭⎣⎦. ()33723371i i i 1i 222⎫⎫⎛⎫=⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎣=-+=⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎭⎦⎭故选：B8．淮阴中学高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观今世缘酒业厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在、处分别测得雕塑最高点的仰角B C 为30°和20°，且，则该雕塑的高度约为（ ）（参考数据）5cm =BC cos100.985︒=A ．4.92B ．5.076C ．6.693D ．7.177【答案】A【分析】运用正弦定理先求出BD ，再求出AD . 【详解】在中，由正弦定理得：BCD △，()sin ·2·cos10sin sin sin BD BC BCD BD BC BC BCD BDC ABD BCD ︒∠=⇒==∠∠∠-∠在中，；R t ABD A 1sin 2cos10sin 30250.985 4.922AD BD ABD BC ︒︒=∠=≈⨯⨯⨯=故选：A.二、多选题9．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A ，，，其中为坐标原点，则z z i z z B C O （ ） A ．B ．C ．D ．OA OB = OA OB ⊥AB AC = OC AB ∥【答案】AB【分析】分别求得的值判断选项A ；利用向量垂直充要条件判断选项B ；分别求得,OA OB的值判断选项C ；利用向量平行充要条件判断选项D. ,AB AC【详解】设，则，， i(,R)z a b a b =+∈i i z b a =-+i z a b =-则.(,),(,),(,)A a b B b a C a b --选项A ：判断正确；(,),(,)OA a b OB b a ==- 选项B ：，则.判断正确；()0OA OB a b ab ⋅=-+= OA OB ⊥选项C ：，(,),(0,2)AB b a a b AC b =---=-=则不一定成立.判断错误； AB AC = 选项D ：，(,),(,)AB b a a b OC a b =---=-，()()()()22b a b a a b b b a a -----=+-则不一定成立.判断错误.OC AB ∥故选：AB10．已知空间中的平面，直线，，以及点，，，，则以下四个命题中，不正确的αl m n A B C D 命题是（ ）A ．在空间中，四边形满足，则四边形是菱形. ABCD AB BC CD DA ===ABCD B ．若，，则.l α∉∈A l A αÏC ．若，，，，，，则. m α⊂n ⊂αA m ∈B n ∈∈A l B l ∈l ⊂αD ．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线. l m n l n m 【答案】ABD【分析】举特例即可说明A 、D 错误；根据直线与平面的位置关系可判断B ；由已知结合基本事实2，即可得出C.【详解】对于A 项，正四面体的各个棱长均相等，但显然不是菱形，故A 项错误； 对于B 项，若，则或与相交，故B 项错误；l α∉l α∥l α对于C 项，由已知可得，，，即直线上有两个点在平面内， A α∈B α∈l α根据基本事实2可知，故C 项正确；l ⊂α对于D 项，如图正方体中，和异面，，但是，故1111ABCD A B C D -11A B BC 11∥A B AB AB BC B ⋂=D 项错误. 故选：ABD.11．漫步在江苏省淮阴中学没理的校园中，最著名的景点是光荣之门，四面石墙围绕着喷泉，可近似的看作是正八边形的一半.在此图形中.在五边形中，，以下结论正确ABCDE AB BC CD DE ===的是（ ）A ．.OA OC +B ．2AD BC =u u u r u u u r C ．在上的投影向量为. AD AB1AB ⎫⎪⎪⎭D ．点者线段上，且，则的最大值是.P CD BP xBC yBA =+x y+2【答案】ACD【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算性质逐项判断即可. 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，AB x AFy，， 1AB BC CD DE ====π3π,48AOB CBx OAB ∠=∠=∠=则且， ()()0,0,1,0,1,1,A B C D ⎛⎛+⎝⎝1122O ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，1111,12222OA OC ⎛⎫⎛⎫⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭11,122⎫-=-⎪⎪⎭ ， A 正确；OA OC ∴+=，所以 ，B 错误；1,22AD BC ⎛=== ⎝ 2AD BC ≠u u u r u u u r又，，所以，即在向量上的投影向量为1AD ⎛=+ ⎝ ()1,0AB = 2·1AD AB AB = AD AB，C 正确；1AB ⎫⎪⎪⎭若在线段（包括端点）上，设，，P DC DPDC λ=[]0,1λ∈所以，，BP BD DP BD DC λλ⎫=+=+=⎪⎪⎭ ()1,0,BA BC =-= 由，可得，BP xBC yBA =+1x y y λ=-⎪+=⎪⎩则，故，11x y λ=-+⎧⎪⎨+⎪⎩)[]21,0,1x y λλ+=-∈所以，D 正确. 1,2x y ⎡+∈⎣故选：ACD.12．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ） ()sin4sin3f θθθ=+1θ2θ3θ()f θ()0,πA ．B ． {}123π,,7∈θθθ12312π7θθθ++=C ．D ．1231cos cos cos 8θθθ=1231cos cos cos 2θθθ++=-【答案】BCD【分析】根据题意结合正弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A 、B ，将1θ2θ3θ根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可123cos cos cos θθθπ2π4π777cos cos cos -sin π7判断C ，将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D. 123cos cos cos ++θθθsinπ7【详解】由题知，，是的三个根， 1θ2θ3θsin 4sin 30θθ+=可化为，即，sin 4sin 30θθ+=sin 4sin 3θθ=-()sin 4sin 3πθθ=+所以可得或，， 43π2πk θθ=++43ππ2πk θθ++=+Z k ∈解得或，， π2πk =+θ2π7k θ=Z k ∈因为，所以或或，()0,πθ∈2π7θ=4π76π7故可取，，，12π7θ=24π7θ=36π7θ=所以选项A 错误；因为，所以选项B 正确； 12312π7θθθ++=1237c o 2c πs 4π6π7os o cos c scos s7co θθθ=4cos cos co 2πππ77s π7⎛⎫= ⎝-⎪⎭ ππ2π4π2sin π2π4π7777π7772sin 7cos cos coscos cos cos =-=-2π2π4π2sin 777π4sin 7cos cos =-7co 4π4π2sin 77π8s sin=-， π8ππsin πsinsin1777πππ88sin 8sin 8sin777⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-=-=-=故选项C 正确；而 1237c o 2πos cos cos c sc 7os c 7os 4π6πθθθ++++= π2π4π6πsin 7777πsin 7cos cos cos ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=， π2ππ4ππ6πsin sin sin 777777πsin 7cos cos cos ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=根据积化和差公式：， ()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦所以原式可化为：1π2ππ2ππ4ππ4ππ6ππ6πsin sin sin sin sin sin 2777777777777πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin272727272727πsin 7-+-+-=，故选项D 正确. 1πsin127π2sin 7-==-故选：BCD.【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有： （1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；（2）遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简； cos cos 2cos3cos 4ααααsin α（3）积化和差公式：，()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，，()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦. ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦三、填空题13．已知复数在复平面内对应的点都在射线的虚部为______ z ()2,0y x x =>z 【答案】2【分析】依题意可设复数得到方程，解得即可. 2i(0)z a a a =+>a 【详解】依题意可设复数，2i(0)z a a a =+>由（舍去）， 5z ==1a =1a =-所以， 12zi =+所以的虚部为. z 2故答案为：.214．已知函数的部分图像如图所示，若，则等()()(),0f x x f x ωϕω=+>，2AB BC AB ⋅=- ω于___【答案】/ 2π12π【分析】先利用条件求得，求得最小正周期为4，进而求得的值.2AB BC AB ⋅=- π3ABC ∠=ω【详解】由，，即， 2BC AB = 2AB BC AB ⋅=- 2cos ,AB BC AB BC AB ⋅=- 可得，则，1cos ,2AB BC =- 1cos ,2BA BC = 又，则， (),0,πBA BC ∈ π3ABC ∠=过点B 作于E ，则，， BE AD ⊥BE =2AD =则，则， 4T =2ππ42ω==故答案为：π215．正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面1111ABCD A B C D -E F G 11B C 11C D 1B B 截正方体所截面的周长为___EFG【答案】【分析】先作出平面截正方体所得截面，进而求得该截面的周长.EFG 【详解】连接并延长交延长线于Q ，则EG CB 12BQ CB =过Q 作，交于H ，交于K ，则， //QH BD AB AD ,BH HA AK KD ==过K 作，交于T ，连接，1//KT AD 1DD FT 则六边形即为平面截正方体所得截面， FEGHKT EFG又均为棱的中点，则截面的周长为,,,,,F E G H K T故答案为：16．中，，，，是边上的中线，，分别为线段，ABC A 1AB =4AC =60A ∠=︒AD BC E F AB AC上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为______EF AD G AEF △ABC A AG EF ⋅【答案】2【分析】利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可.【详解】设，由向量共线的充要条件不妨设，AG AD AE mAB AF nACλ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩()1AG x AE y AF x y =++= 则， ()22AG xAE y AF AD AB AC xmAB ynAC xm yn λλλ=+==+=+⇒== 即，122mnλλ+=又面积为面积的一半可得：， AEF △ABC A 1sin 60112122sin 602AE AFmn AB AC ⨯⋅⋅=⇒=⨯⋅⋅ 所以.221221mm m m λλλ+=⇒=+，()()23321922242m AB AC AG E nAC mAB F n m λλλ⋅+-=-=-++= 易知(][]210,1,1423,62n m m ⎡⎤∈∴∈⇒+∈⎢⎥⎣⎦ 当时，即重合时取得最小值.1m =,E B 321226-+=故答案为：2【点睛】关键点点睛：由点共线及向量间的关系，设、、AG AD AE mAB AF nAC λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩()1AG x AE y AF x y =++=得到，面积关系得，最后应用数量积运算律转化数量()2AG AD AB AC λλ==+ 122m n λλ+=12mn =积为关键.AG EF ⋅四、解答题17．己知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位. z 21iz z ++-i (1)求复数；z (2)若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围 ()2m z -m 【答案】(1)2i 3z =-(2) 2(,)3+∞【分析】（1）设且，化简得到，结合题意得到i,R z b b ∈=0b ≠2223i 1i 22z b b z +-++=+-23=02b+，即可求解；（2）由，求得，根据题意得到且，即可求解.2i 3z =-()2244(i 93m z m m -=-+2409m ->4>03m 【详解】（1）解：由题意，设，其中且， i z b =R b ∈0b ≠可得， ()()()()i 21i 2i 2223i i i 1i 1i 1i 1i 22b z b b b z b b ++++-++=+=+=+---+因为为实数，可得，解得，即. 21i z z ++-23=02b +23b =-2i 3z =-（2）解：由，则，2i 3z =-()222244(i)()i 393m z m m m -=+=-+因为复数所表示的点在第一象限，可得且，()2m z -2409m ->4>03m 解得，所以实数的取值范围为.23m >m 2(,)3+∞18．（1）求的值域sin 2cos xy x=-（2）若，求的取值范围.33sin cos 0θθ+<sin cos θθ+【答案】（1）；（2） ⎡⎢⎣)⎡⎣【分析】（1）令，根据辅助角公式结合正弦函数的性质得出所求值域； sin 2cos xy ax==- （2）令，结合立方和公式得出，进而得出的取值范围.sin cos t θθ+=()21302t t -<sin cos θθ+【详解】（1）令，则，sin 2cos xy a x==-sin cos 2x a x a +=，其中，所以.)2x a ϕ+=tan a ϕ=sin()[1,1]x ϕ+=-，则，，解得. 22411a a ≤+231a ≤a ⎡∈⎢⎣即的值域为. sin 2cos xy x =-⎡⎢⎣（2）令，因为， sin cos t θθ+=πsin cos 4θθθ⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以，因为， t ⎡∈⎣()22sin cos 12sin cos t θθθθ=+=+所以，21sin cos 2t θθ-=所以()233221sin cos (sin cos )sin sin cos cos 12t t θθθθθθθθ⎛⎫-+=+-+=- ⎪⎝⎭，解得. ()21302t t =-<0t ≤<即的取值范围为.sin cos θθ+)⎡⎣19．《九章算术，商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”阳马是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，已知四棱锥为一个阳马，面，是上的一点.P ABCD -PC ⊥ABCD M CD(1)求证：；BC PM ⊥(2)若，分别是，的中点，求证：平面 M N CD PB //CN AMP 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得面，进而证得； BC ⊥PCD BC PM ⊥（2）利用线面平行判定定理即可证得平面//CN AMP 【详解】（1）面，面，则，PC ⊥ABCD BC ⊂ABCD PC BC ⊥又，，面， CD BC ⊥CD PC C = ,CD PC ⊂PCD 则面，又面，则 BC ⊥PCD PM ⊂PCD BC PM ⊥（2）取中点T ，连接， PA ,NT MT 又，则， PN BN =1//,=2NT AB NT AB 又，则， 1//,=2CM AB CM AB //,=CM NT CM NT 则四边形为平行四边形，则，CMTN //CN MT 又平面，平面，则平面.CN ⊄AMP MT ⊂AMP //CNAMP20．在中，的对边分别为，且. ABC A ,,A B C ,,a b c ()2cos cos 2cos c b A a B a C -=-(1)若，求的值； cos cos a C c A=cos B (2)若，点在线段上，且满足，求的取值范围. 2AB = D BC AC AB AD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭AD 【答案】(1) 78(2)4(0,)3【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式，求得，得到2sin()sin()A C A B +=+2sin sin B C =，再由，求得，进而求得时，结合余弦定理，即可求解. cos cos a C c A=sin 2sin 2A C =A C =（2）由点在线段上，且满足，得到为角平分线，利用三角形的内D BC AC ABAD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭AD A 角平分线定理求得，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.2BD CD =1233AD AB AC =+【详解】（1）解：因为， ()2cos cos 2cos c b A a B a C -=-由正弦定理得， ()2sin sin cos sin cos 2sin cos C B A A B A C -=-即， 2sin cos 2sin cos sin cos sin cos C A A C A B B A +=+可得，2sin()sin()A C A B +=+又因为，可得，即， πA B C ++=2sin sin B C =2b c =由，可得，可得，可得， cos cos a C c A=sin cos cos sin A CA C =sin cos sin cos A A C C =sin 2sin 2A C =又由，所以或，即或 ,(0,π)A C ∈22A C =22πA C +=A C =π2A C +=当时，可得，因为，所以，不符合题意，舍去；π2A C +=π2B =2b c =π2B =所以时，此时，由余弦定理得，A C =2a c b ==222447cos 2228b b b B b b +-==⨯⨯综上可得，的值为 .cos B 78（2）解：由（1）知，即且，可得，， 2sin sin B C =2b c =2AB = 2c =1b =又由点在线段上，且满足， D BC AC ABAD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭因为分别是和同向的单位向量，所以为角平分线，,AC AB AC AB AC ABAD A 由三角形的内角平分线定理，可得，即， 2AB BDAC CD==2BD CD =在中，可得，ABD △2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+所以，22214244488221cos cos 99999999AD AB BC AB BC A A =++⨯⋅=++⨯⨯=+ 因为，可得，所以，所以，(0,π)A ∈cos (1,1)A ∈-216(0,)9AD∈ 4(0,3AD ∈ 即向量的取值范围是.AD 4(0,321．在直角中，，，，为边上一点，且. ABC A AB 90A ∠= 60B ∠= D BC 3BD DC =(1)若上一点满足，且，求的值.AD K 2DK KA =AK xAB y AC =+ 2x y +(2)若为内一点，且，求的最小值.P ABC A 1AP =()PA PB PC ⋅+ 【答案】(1) 7212x y +=(2) 0【分析】（1）由结合平面向量的减法可得出关于的表达式，由3BD DC = AD {},AB AC 2DK KA=可得出，可得出关于的表达式，进而可求得的值；13AK AD = AK{},AB AC 2x y +（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，A AC AB x y (),P x y 可得出，分析可得，其中，设，，利用平221x y +=π6PAC ACB ∠=∠=π06θ≤≤cos x θ=sin y θ=面向量的数量积、平面向量的基本知识以及正弦型函数的值域可求得的最小值. ()PA PB PC ⋅+【详解】（1）解：因为，则，即，3BD DC =()3AD AB AC AD -=- 1344AD AB AC =+ 因为，则， 2DK KA =1113113344124AK AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭又因为，则，，故.AK xAB y AC =+ 112x =14y =1172212412x y +=+⨯=（2）解：在中，，，，ABC A 90BAC ∠= 60ABC ∠= AB =1tan 60ACAB ==以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， A AC AB x y则、、，设点，可得，()0,0A ()0,1B )C(),P x y 1=221x y +=设，若点在上且使得，且为的中点，此时，θ∠=CAP P BC 1AP = P BC π6PAC ACB ∠=∠=因为点在内，所以，，则，， P ABC A π06θ≤≤cos x θ=sin y θ=，，，(),PA x y =--(),1PB x y =-- ),PC x y =-所以，，)2,12PB PC x y +=-所以，())())22212222PA PB PC xx y y x y y y ⋅+=---=+-=-+，()π2sin 22sin 3θθθ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭因为，则，故当时，取最小值.π06θ≤≤πππ332θ≤+≤ππ32θ+=()PA PB PC ⋅+ 022．已知复数的三角形式为.z cos isin z θθ=+(1)若复数对应的向量为，把按逆时针方向旋转15°，得到向量恰好在轴正半轴上，z OZ OZ1OZy求复数（用代数形式表示）. z (2)若的实部为，是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无z 2211ra a-+r 21u z z =++a 最大值？若存在这样的的值，则求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说r u a r 明理由.【答案】(1) z =(2)存在，时1r =a =【分析】（1）根据复数三角形式的运算及几何意义得出，再由的实部为，即可得出答1OZ 1OZ0案.（2）由题表示出，令，分析，进而判断的最值问题，即可得[]2cos 10,3u θ=+∈2t a =111rt t-≠+u 出答案.【详解】（1）把按逆时针方向旋转15°，OZ所得向量， ()()1cos 15isin 15OZ θθ=+︒++︒因 ()1sin15sin 45302°=°-°， ()1cos15cos 45302︒=︒-︒==因为向量恰好在轴正半轴上，1OZy 则， ()cos 150θ+︒=()sin 151θ+︒=解得 ()cos cos 151501θθ=+︒-︒=+()sin sin 151510θθ=+︒-︒=-=故复数. z（2）存在，时 1r =a =由题知，21u z z =++()cos 2cos 1i sin2sin θθθθ=++++====，1θ==+因的实部为，则， z 2211ra a -+221cos 1ra a θ-=+令，则， ()20t a t =≥()22111111111r t r ra rt r y r a t t t+----+====-++++易得在上单调递减，又为正整数，故在上单调递增，11y t=+[)0,∞+r 11r y r t +=-+[)0,∞+因，则， 1cos θ1-££[]2cos 10,3u θ=+∈则要使得只有最小值而无最大值，2cos 1u θ=+只需要即可，即，即，cos 1θ≠2211co 111s ra a rt t θ-==-≠++2rt t ≠+当时，，，不符合只有最小值无最大值； 0=t cos 1θ=-1u =当时，， 0t ≠21r t≠+因，则，又为正整数，则， 211t+>1r ≤r 1r ≥所以，1r =此时，当取得最小时，易得，221cos 1a a θ-=+2cos 1u θ=+01cos 2θ=-即，解得221112a a -=-+a =【点睛】关键点睛：本题主要考察复数及其三角形式，计算复数的模和辐角主值是解答的关键，特别注意：中，为的模，是的辐角，中的辐角，叫做的辐角()()cos isin 0z r r θθ=+>r z θz [)0,2πz 主值，记作，显然.arg z ()arg 2πZ z k k θ=+∈。

江苏省高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一上·南充期中) 已知 a＞ b，则下列不等式成立的是（）A . ln（a﹣b）＞0B .C . 3a﹣b＜1D . loga2＜logb23. （2分） (2017高一下·磁县期末) 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底是下底的，若原平面图形的面积为3 ，则OA的长为（）A . 2B .C .D .4. （2分）在等差数列{an}中，a1=1,d=3,当an=298时，序号n等于（）A . 99B . 100C . 96D . 1015. （2分）定义在（0，）上的函数,是它的导函数，且恒有成立，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·陕西月考) 在中，内角，，的对边分别为，，，且面积为，则面积的最大值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·郑州模拟) 已知数列的前项和为，，，且，记，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·河北期末) 已知为的导函数，若，且，则的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分）由确定的等差数列，当时，序号等于（）A . 99B . 100C . 96D . 10110. （2分）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（）A . 90B . 100C . 145D . 19011. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 已知数列为等差数列，其前项和为，若（且），有以下结论：① ；② ；③ 为递增数列；④ ．则正确的结论的个数为（）A .B .C .D .12. （2分）下列命题中正确的是（）A . 若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列B . 若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列C . 若a，b，c是等差数列，则2a ， 2b ， 2c是等比数列D . 若a，b，c是等比数列，则2a ， 2b ， 2c是等差数列二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一上·上海考) 若关于x的不等式的解集是，则m的值为________.14. （1分） (2019高三上·南宁月考) 设是公差不为0的等差数列的前n项和，且，则 ________.15. （1分）已知sinα+cosα= ，则sinαcosα=________．16. （1分） (2017高二上·南阳月考) 给出下列命题：① 中角，，的对边分别为，，，若，则；② ，，若，则；③若，则；④设等差数列的前项和为，若，则 .其中正确命名的序号是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）正四棱台的体对角线是5cm，高是3cm，求它的两条相对侧棱所确定的截面的面积．18. （5分）(2019·黄山模拟) 在△ABC中，AB=2，且sinA（1-2cosB）+sinB（1-2cosA）=0.以AB所在直线为x轴，AB中点为坐标原点建立平面直角坐标系.（I）求动点C的轨迹E的方程；（II）已知定点P（4，0），不垂直于AB的动直线l与轨迹E相交于M、N两点，若直线MP、NP关于直线AB 对称，求△PMN面积的取值范围。

江苏省连云港市新海高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．cos225cos45sin225sin45-︒︒︒︒的值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D 2．已知i 为虚数单位，且复数2024i 4i z =，则下列说法中正确的是（ ） A ．复数z 为实数 B ．2024i i =C ．复数z 为纯虚数D ．4i z =3．已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（ ）A ．3B ．C ．5D ．4．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =b 60B =︒，则角C 等于（ ） A ．45︒B ．75︒C ．105︒D ．135︒5．若πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．23C ．910 D ．12-6．《后汉书-张衡传》曰：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机，外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km 的A ，B 两地各放置一个地动仪，B 在A 的东偏北45︒方向，若A 地地动仪正东方向的铜丸落下，B地东偏南30︒方向的铜丸落下，则地震的位置在A 地正东（ ）km ．A ．50B ．100C ．100D ．100⎭7．如图，设正八边形ABCDEFGH 的边长为a ，若2A C A E ⋅=u ur u u ru u ，则此正八边形的面积是（ ）A ．1B C ．2D ．8．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ()sin A C B =-，则角A 的最大值是（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒二、多选题9．下列说法中正确的是（ ） A ．直四棱柱是长方体B ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D ．棱台的侧面是等腰梯形10．关于复数1z ，2z ，下列说法正确的是（ ）A ．若120z z ->，则12z z >B ．若120z z =，则10z =或20z =C ．1212z z z z +=+D ．若22120z z +<，则1z ，2z 中至少有一个是虚数11．如图，点P ，Q 分别是长方形ABCD 的边DC ，CB 上两点且22AB AD ==，DP DC λ=u u u r u u u r，CQ CB μ=u u u r u u u r，则下面结论正确的是（ ）A ．当12λμ==时，APQ △是钝角三角形 B ．若12DP DC =u u u r u u u r ，34CQ CB =u u u r u u u r ，则AP AQ ⋅u u u r u u u r 的值是114C ．当λμ=时，APQ △的面积最小值是34D ．当12λ=时，向量数量积PQ AQ ⋅u u u r u u u r 的最小值是74三、填空题12．已知2sin cos αβ+=32cos sin 2αβ+=-，则()sin αβ+的值等于．13．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒， 2a =r ，3b =r ，则2a b -r r 与a r夹角的余弦值是．14．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1s i n 1c o s 2c o s s i n 2B AB A --=，则2222b a c +的取值范围是．四、解答题15．设复数()11i z a a =-∈R ，234z i =-． (1)若12z z +是实数，求12z z ⋅；(2)若复数()21z 在复平面上对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围； (3)若复数z 满足21z z -=，求z 的最小值．16．在平面直角坐标系中，已知点()1,4A ，()2,3B -，()2,C m ． (1)若三点,,A B C 共线，求实数m 的值； (2)若ABC V 是锐角三角形，求实数m 取值范围；(3)是否存在实数m ，使得AB u u u r在AC u u u r上的投影向量是113AC u u ur ？若存在，请求出实数m 的值，若不存在请说明理由．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11B C 的中点，设平面1A BM 与底面ABC 的交线为l ．(1)证明：1AC P 平面1A BM ； (2)证明：l P 平面1A MC ．18．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin()sin sin B A A C -+=． (1)求内角B 的大小；(2)角B 的平分线BD 与边AC 交于点D ，2BD =，若2a c =，求边b 的值； (3)若3a =，求ABC V 的周长的取值范围．19．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别是BC ，AB 的中点，点F 在线段BD 上且是靠近B 点的一个三等分点，AF 交ED 于点G ，EC 交AD 于点O ．(1)用AB u u u r和AD u u u r 表示AF u u u r ； (2)若EG ED λ=u u u r u u u r，求实数λ；(3)过点O 的直线与边AB ，BC 分别交于点S ，T ，设四边形DEST 的面积为1S ，梯形AEDC 的面积为2S ，求12S S 的最小值．。

江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在△ABC 中，已知8,30,105a B C ===o o ，则b 等于（ ）A ．323B ．4 3 C．D ．4 22．若cos 21π2cos 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=（ ）AB ． 22C ．14D ．123．复数2i1i z +=-，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．z B ．z 的共轭复数为31i 22+C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在平面内的对应点位于第一象限41cos20-︒的值为（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．−45．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为S ，222,44a S b c ==+-，则△ABC 外接圆的面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．πD ．2π6．已知梯形ABCD 中，//,3,3AD BC BF FC AH HF ==u u u r u u u r u u u r u u u r，且BH BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ的值为（ ）A ．364B ．564C ．764D ．9647．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2c cos B ＝a ，且B＝2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形8．在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =2 3，102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15二、多选题9．计算下列几个式子，结果为 3的是（ ） A．tan 25tan3525tan35+︒︒︒︒B ．()2sin35cos 25sin55cos65︒︒+︒︒C ．2πtan6π1tan 6- D ．1tan151tan15+︒-︒10．已知向量()1,3a =r ，()2,4b =-r ，则下列结论正确的是（ ）A ．()a b a +⊥r r rB．2a b +r rC ．向量a 与向量b的夹角为34πD ．b 在a 的投影向量是()1,311．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =△ABC满足sin :sin :sin A B C =，且ABCS =△，请判断下列命题正确的是（ ）A ．△ABC周长为5B ．3C π=C ．△ABCD ．△ABC 中线CD的长为2三、填空题12．已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=u u u r u u u r.13sin αα+，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()s i n co s c o s s i n B C B C b c C+⎫+=⎪⎭，π3B =，则2a c +的最大值为.四、解答题15．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中(a =r(1)若4c =r ，且//c a r r，求c 的坐标；(2)若1b =r ，且()52a b a b ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭r r r r ，求a与b 的夹角θ 16．m 为何实数时，复数()()()22i 3i 121i z m m =+-+--满足下列要求：（1）z 是纯虚数；（2）z 在复平面内对应的点在第二象限； 17．已知π1tan 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求2sin 22cos 1tan ααα++的值；(2)若π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin β=αβ+的值.18．已知向量()cos ,sin a αα=r ，12b ⎫=-⎪⎪⎝⎭r ，π02α<<. (1)若a b ⊥r r 时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -=r r 2πsin 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.19．请欣赏：上图所示的毕达格拉斯树画是由图（ⅰ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra 做出来的图片，其中四边形ABCD ，AEFG ，PQBE 都是正方形.如果改变图（ⅰ）中AEB ∠的大小，会得到更多不同的“树形”.(1)在图（ⅰ）中，AB =2，1AE =，且AE AB ⊥，求AQ ；(2)在图（ⅱ）中，AB =2，1AE =，设()0180EAB θθ∠=︒<<︒，求2AQ 的最大值.。