江苏省2018-2019年高一下学期期末数学复习测试卷

2018-2019学年度第二学期期末检测试题高一数学参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高. 圆锥的侧面积12S d =，其中c 是圆锥底面的周长，l 为母线长.方差()()()222122n x x x x x xs n-+-+⋅⋅⋅+-=.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.310x y ++=的倾斜角为（ ） A.3π B.23π C.6π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率可知tan 3θ=. 【详解】由直线方程可得直线斜率：3k =-设直线倾斜角为θ，则tan 3θ=- 又[)0,θπ∈ 23πθ∴= 本题正确选项：B【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，关键是明确直线倾斜角与斜率之间的关系.2.若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（ ） A. 平行 B. 异面C. 相交D. 以上皆有可能【答案】D 【解析】 【分析】通过图形来判断直线的位置关系即可得到结果.【详解】若l αβ=，,a c α⊂，,b d β⊂，位置关系如下图所示：若//a l ，//b l ，则//a b ，可知两条直线可以平行 由图象知，c 与d 相交，可知两条直线可以相交 由图象知，b 与c 异面，可知两条直线可以异面 本题正确选项：D【点睛】本题考查空间中直线的位置关系，属于基础题.3.经过点(1,3)P ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. 0条 B. 1条C. 2条D. 3条【答案】C 【解析】 【分析】若直线过原点，可知满足题意；直线不过原点时，利用直线截距式，代入点的坐标求得方程，从而得到结果.【详解】若直线过原点，则过()1,3P 的直线方程为：3y x =，满足题意 若直线不过原点，设直线为：x y a +=代入()1,3P ，解得：4a = ∴直线方程为：40x y +-=∴满足题意的直线有2条本题正确选项：C【点睛】本题考查在坐标轴截距相等的直线的求解，易错点是忽略直线过原点的情况.4.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 和1BC 所成角的大小为（ ）A.3π B.2π C.23π D.3π或23π 【答案】A 【解析】 【分析】连接1AD ，1CD ，根据平行关系可知所求角为1D AC ∠，易知1ACD ∆为等边三角形，从而可知13D AC π∠=，得到所求结果.【详解】连接1AD ，1CD11//BC AD 1D AC ∴∠即为异面直线AC 与1BC 所成角又11AD AC CD == 13D AC π∴∠=即异面直线AC 与1BC 所成角为：3π本题正确选项：A【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移直线找到所成角，再放入三角形中进行求解.5.已知圆22:4C x y +=，直线:1(1)l y k x -=+，则直线l 与圆C 的位置关系（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上皆有可能【答案】C 【解析】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可用k 表示出圆心到直线的距离d ，分别在0k ≤和0k >两种情况下求解出d r <，从而得到直线与圆相交. 【详解】直线l 方程可整理为：10kx y k -++= 由圆C 方程可知，圆心：()0,0；半径：2r =∴圆心到直线l 的距离：222212121111k k k k d k k k +++===++++若0k ≤，则1d r ≤<，此时直线与圆相交若0k >，则2221111k d k k k=+=+++又12k k+≥（当且仅当1k =时取等号） 2121k k∴+≤+ 则2d r ≤<，此时直线与圆相交综上所述：直线与圆相交 本题正确选项：C【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定，关键是明确直线与圆位置关系的判定是确定圆心到直线的距离与半径的大小关系，从而得到结果.6.在ABC ∆中，三条边分别为,,a b c ，若4,5,6a b c ===，则三角形的形状（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理可求得cos 0C >，可知C 为锐角；根据三角形大边对大角的特点可知C 为三角形最大的内角，从而得到三角形为锐角三角形.【详解】由余弦定理可得：2221625361cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯()0,C π∈且cos 0C > 0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又a b c <<，则A B C << ,,A B C ∴均为锐角，即ABC ∆为锐角三角形 本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形中三角形形状的判断，关键是能够利用余弦定理首先确定最大角所处的范围，涉及到三角形大边对大角的性质的应用.7.,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ） A. 若//a b ，//a α，则//b α B. 若a ⊥b ，b ⊥α，则a ⊥α C. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a b D. 若a ⊥α，b ⊥α，则//a b【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面之间的位置关系依次判断各个选项即可. 【详解】//a b ，//a α，此时//b α或b α⊂，A 错误；b α⊥，a b ⊥r r，此时//a α或a α⊂，B 错误；a c ⊥，bc ⊥，此时,a b 可能平行、异面或相交，C 错误；垂直于同一平面的两直线平行，D 正确.本题正确结果：D 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的相关定理的应用，属于基础题.8.已知ABC ∆中，2,AB AC AB AC ==^，将ABC ∆绕BC 所在直线旋转一周，形成几何体K ,则几何体K 的表面积．．．为（ ） A. 22πB. 2πC.2π3D.2π3【答案】B 【解析】 【分析】首先确定旋转体为两个圆锥构成的组合体，则所求表面积为两个圆锥的侧面积之和，求出侧面积即可得到结果.【详解】由题意可知，所得几何体为以BC 边的高为底面圆半径，AB ，AC 为母线的两个圆锥构成的组合体，可得底面圆半径为：12r BC ===2l AB AC === ∴几何体表面积为：222242S rl πππ===本题正确选项：B【点睛】本题考查旋转体侧面积的相关求解问题，关键是能明确旋转后所得的几何体.9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,2,34A a b π===B =（ ）A. 6πB.3π C.23π D.3π或23π 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理可求得sin B ，根据B 的范围可求得结果.【详解】由正弦定理sin sin a b A B =可得：3sin 34sin 22b A B a π=== ()0,B π∈且B A > 3B π∴=或23π本题正确结果：D【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.10.若点P 在圆22(1)1x y -+=上运动，(,1)Q m m --，则PQ 的最小值为（ ）A.221-212【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程求得圆心和半径；根据Q 点坐标可得其轨迹为一条直线，则所求的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线距离公式求得距离后，代入可得结果.【详解】由圆的方程得：圆心坐标()1,0C ，半径1r =(),1Q m m -- Q ∴点轨迹为：1y x =--，即10x y ++=∴圆心到直线距离：2d ==min 21PQ d r ∴=-=本题正确选项：B【点睛】本题考查圆上的点到直线上的点的距离的最小值的求解问题，关键是能够通过点的坐标得到轨迹方程.11.在ABC ∆中，已知2,1,AB AC A ==∠的平分线1AD =,则ABC ∆的面积（ ）A.34B.374C.38D.378【答案】D 【解析】 【分析】根据BAD CAD ABC S S S ∆∆∆+=和12BAD CAD BAC ∠=∠=∠可求得cos BAD ∠，利用同角三角函数和二倍角公式可求得sin BAC ∠，代入三角形面积公式求得结果.【详解】BAD CAD ABC S S S ∆∆∆+=111sin sin sin 222AB AD BAD AC AD CAD AB AC BAC ∴⋅∠+⋅∠=⋅∠ AD 为角平分线 12BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠3sin sin 22BAD BAD ∴∠=∠，即3sin 2sin cos 2BAD BAD BAD ∠=∠∠3cos 4BAD ∴∠= 3sin 44BAD ∴∠===则sin 2sin cos BAC BAD BAD ∠=∠∠=1sin 2ABC S AB AC BAC ∆∴=⋅∠=本题正确选项：D【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式，借助角平分线可构造出关于三角函数值的方程，从而使得问题得以求解.12.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆22:(8)16C x y -+=上运动，(6,0),(6,1),A B 则2PB PA +的最小值为（ ）B. 6C. 5D.22【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的方程、()6,0A 可知12AC PC PC OC ==，从而得到PAC OPC ∆∆，进而根据比例关系得到2OP PA =，将问题转化为求解PB OP +的最小值的问题，可知当P 为线段OB 与圆C 的交点时，取最小值OB ，两点间距离公式求得OB 即为所求最小值.【详解】P 为圆C 上任意一点，圆的圆心()8,0C ，半径4r =，如下图所示，4PC =，8OC =，2AC = 12AC PC PC OC ∴== PAC OPC ∴∆∆12PA OP ∴=，即2OP PA = 2PB PA PB OP ∴+=+又PB OP OB +≥（当且仅当P 为线段OB 与圆C 的交点时取等号）2PB PA OB ∴+≥2PB PA +本题正确选项：A【点睛】本题考查圆的问题中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够通过比例关系将2PA 转化为OP ，进而变为两个线段的距离之和的最小值的求解，利用三角形三边关系可知三点共线时取最小值，属于较难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某学校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查，则应抽取的女学生人数为_________． 【答案】60 【解析】 【分析】首先计算出抽样比，再根据分层抽样的原则计算可得结果.【详解】由题意可得抽样比为：15013001500120020=++则抽取的女学生人数为：112006020⨯=人 本题正确结果：60【点睛】本题考查分层抽样相关计算问题，属于基础题.14.如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD 的高度（建筑物CD 垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定,A B 两点，其距离为100米，然后在A 处测得60DAB ∠=，在B 处测得75DBA ∠=，30DBC ∠=，则此建筑物CD 的高度为__________米.【答案】 【解析】【分析】由三角形内角和求得45ADB ∠=，在ABD ∆中利用正弦定理求得BD ；在Rt BCD ∆中，利用正弦的定义可求得结果.【详解】由题意知：180607545ADB ∠=--= 在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sin AB BDBDA DAB=∠∠即：sin 100sin 60506sin sin 45AB DAB BD BDA ∠===∠在Rt BCD ∆中，sin 50630256CD BD DBC =∠== 本题正确结果：256【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的测量高度的问题，涉及到正弦定理的应用问题.15.已知圆22:1O x y +=和直线:2l y =，0(,2)P x 是直线l 上一点，若圆O 上存在,A B 两点，满足PA AB =，则实数0x 的取值范围是________．【答案】5,5⎡-⎣【解析】 【分析】由向量相等可知,,P A B 三点共线且A 为线段BP 中点，则PA AB =；利用勾股定理和弦长为AB 和PA ，从而可建立等式22058x d =-，根据2d 的范围构造不等式可求得结果.【详解】由PA AB =得：,,P A B 三点共线且A 为线段BP 中点 则：PA AB =设圆心()0,0O 到直线AB 的距离为d 则221AB d =-，2222011422PA OP d AB x d AB =-=+-32AB == 22058x d ⇒=-AB Q 为圆的弦 [)20,1d ∴∈ []200,5x ∴∈ 0x ⎡⇒∈⎣本题正确结果：⎡⎣【点睛】本题考查直线与圆的相关知识的应用，涉及到直线被圆截得的弦长、勾股定理、两点间距离公式、直线与圆位置关系的应用，关键是能够利用向量相等得到三点共线和线段长度关系，从而构造方程来建立等量关系.16.如图，棱长为1（单位：cm）的正方体木块经过适当切割，得到几何体K，已知几何体K由两个地面相同的正四棱锥组成，底面ABCD平行于正方体的下底面，且各顶点均在正方体的面上，则几何体K体积的取值范围是__________．（单位：3cm）【答案】11, 63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据图形可知几何体体积由正方形ABCD面积来决定，根据截面正方形可知当,,,A B C D为四边中点时，面积最小；,,,A B C D为正方形四个顶点时，面积最大，从而得到面积的取值范围；利用棱锥的体积公式可求得几何体的体积的取值范围.【详解】由题意知，几何体中两个正四棱锥的高均为12，则几何体体积取值范围由正方形ABCD的面积来决定底面ABCD平行于正方体底面，则可作ABCD所在截面的平面图如下：21122ABCDSAC BD AC =⋅= 由正方形对称性可知，当,,,A B C D 为四边中点时，AC 取最小值；当,,,A B C D 为正方形四个顶点时，AC 取最大值；即min 1AC =；max 2AC =1,12ABCD S⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦∴几何体K 体积：111111,322363ABCD ABCD V S S ⎛⎫⎡⎤=⨯+=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦本题正确结果：11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查棱锥体积的有关计算，关键是将所求几何体变为两个正四棱锥体积之和，确定正四棱锥的高为定值，从而将问题转化为四边形ABCD 面积的求解问题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC =，平面11A BC ⊥平面11BCC B .证明：（1） //AC 平面11A BC ； （2） 平面1AB C ⊥平面11A BC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱特点可知11//AC A C ，根据线面平行判定定理证得结论；（2）由四边形11BCC B 为菱形可得11B C BC ⊥，根据面面垂直的性质可知1B C ⊥平面11A BC ，根据面面垂直的判定定理证得结论.【详解】（1）几何体为三棱柱 ⇒四边形11ACC A 为平行四边形 11//AC A C ⇒ 又11A C ⊂平面11A BC ，AC ⊄平面11A BC //AC ∴平面11A BC （2）1BC CC =且四边形11BCC B 为平行四边形∴四边形11BCC B 为菱形 11B C BC ⊥∴又平面11A BC ⊥平面11BCC B ，平面11A BC ⋂平面111BCC B BC =1B C ∴⊥平面11A BC又1B C ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面11A BC【点睛】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直关系的证明，涉及到空间几何体的结构、面面垂直性质定理的应用等知识，属于常考题型.18.在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点()1,2A -和(5,4)C ，AB 所在直线的方程为30x y -+=.（1） 求对角线BD 所在直线的方程； （2） 求AD 所在直线的方程.【答案】（1）390x y +-=；（2）7130x y +-=. 【解析】 【分析】（1）根据,A C 坐标求得AC k 和AC 中点()2,3M ；根据菱形特点可知对角线互相垂直且平分，可得直线BD 斜率和M 在直线BD 上，利用点斜式写出直线方程；（2）由直线AB 和BD 的方程解得B 点坐标，从而求得BC k ；由平行关系可知BC AD k k =，利用点斜式写出直线方程. 【详解】（1）由()1,2A -和(5,4)C 得：421513AC k -==+，AC 中点()2,3M 四边形ABCD 为菱形 BD AC ∴⊥，且()2,3M 为BD 中点，3BD k ∴=-∴对角线BD 所在直线方程为：()332y x -=--，即：390x y +-=（2）由39030x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得：39,22B ⎛⎫⎪⎝⎭ 94123752BCk -∴==--//AD BC 17AD k ∴=-∴直线AD 的方程为：()1217y x -=-+，即：7130x y +-= 【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够通过菱形的特点得到所求直线斜率与已知斜率之间的关系，从而运用直线点斜式方程求得结果.19.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,5,2.a b B A ===（1）求cos A ； （2）求c 的值. 【答案】（15（2）12.【解析】 【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式可构造方程求得cos A ；（2）由余弦定理构造方程可求得c 的两个解，其中2c =时，验证出与已知条件矛盾，从而得到结果. 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=得：255sin A ==5cos 4A ∴=（2）在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+- 由52,5,cos 4a b A ===整理可得：22520c c -+= 解得：2c =或12当2c =时，A C =，又2B A = 2B π∴=，4A C π==此时2b a =，与已知矛盾，不合题意，舍去当12c =时，符合要求 综上所述：12c =【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，易错点是求得边长后忽略了已知中的长度和角度关系，造成增根出现.20.某单位开展 “党员在线学习” 活动，统计党员某周周一至周日（共7天）学习得分情况，下表是党员甲和党员乙学习得分情况： 党员甲学习得分情况党员乙学习得分情况（1）求本周党员乙．．．周一至周日（共7天）学习得分的平均数和方差； （2）从本周周一至周日中任选一天，求这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于25分的概率； （3）根据本周某一天的数据，将全单位80名党员的学习得分按照[)10,15，[)15,20,[)20,25，[)25,30，[]30,35进行分组、绘制成频率分布直方图（如图）已知这一天甲和乙学习得分在80名党员中排名分别为第30和第68名，请确定这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图．（直接写结果，不需要过程） 【答案】（1）平均数：24；方差：44；（2）37；（3）周三符合要求. 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的公式直接求解即可；（2）等可能的基本事件共7个，满足题意的共3个，根据古典概型概率公式计算可得结果；（3）分别计算出每个得分区间的人数，根据甲乙的排名确定甲乙所在的区间，综合两人同一天的数据可得结果.【详解】（1）平均数：35261520251730247x ++++++==方差：2222222211294176447s ++++++==（2）共有7个等可能基本事件：“周一甲10乙35；周二甲25乙26；周三甲30乙15；周四甲13乙20；周五甲35乙25；周六甲31乙17；周日甲25乙30”记“从周一至周日中任选一天，这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于25”为事件A . 则事件A 中包含的基本事件有3个：“周二甲25乙26；周五甲35乙25；周日甲25乙30”()37P A ∴=（3）周三．由直方图知，学习得分落在[]30,35，[)25,30，[)20,25，[)15,20，[)10,15区间内的人数依次为：800.1512⨯=人，800.2520⨯=人，800.324⨯=人，800.216⨯=人，800.18⨯=人由甲学习得分排名第30，可知当天甲学习得分在[)25,30，只有周二、周三和周日； 由乙学习得分排名第68，可知当天乙学习得分在[)15,20，只有周三和周六 所以周三符合要求．【点睛】本题考查统计中的平均数和方差的计算、古典概型概率问题的求解、根据频率分布直方图计算频率和频数来解决实际问题，考查学生的运算求解能力.21.如图，已知圆22:4C x y +=与x 轴的左右交点分别为,A B ，与y 轴正半轴的交点为D .（1）若直线l 过点(2,4)并且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若点,M N 是圆C 上第一象限内的点，直线,AM AN 分别与y 轴交于点,P Q ，点P 是线段OQ 的中点，直线//MN BD ，求直线AM 的斜率.【答案】（1）2x =或34100x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）首先验证当直线斜率不存在时，可知满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程，利用d r =构造方程可求得切线斜率，从而得到结果；（2）假设直线AM 方程，与圆的方程联立可求得222224,11k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；求出直线AN 斜率后，可得222288,1414k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，利用//MN BD 可知MN BD k k =，从而构造方程可求得直线AM 的斜率.【详解】（1）当斜率不存在时，直线方程为：2x =，与圆相切，满足题意 当斜率存在时，设切线方程为：()42y k x -=-，即：420kx y k -+-= 由直线与圆相切得：d r =24221k k -=+，解得：34k =∴切线方程为：()3424y x -=-，即：34100x y -+= 综上所述，切线方程为：2x =或34100x y -+= （2）由题意易知直线AM 的斜率存在故设直线AM 的方程为：()2y k x =+，()0k >由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去y 得：()222214440kxk x k +++-=2A x =- 22221M k x k-∴=+，代入()2y k x =+得：241M k y k =+ 222224,11k k M k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭在()2y k x =+中，令0x =得：2P y k =点P 是线段OQ 的中点 4Q y k ∴= ()40202AN AQ k k k k -∴===--222224,11k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭中，用2k 代k 得：222288,1414k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()2222222284412141282212141MNk k k k k k k k k k k k --++∴==----++//MN BD 且1BD k =- ()22412112k k k-∴=--即：22310k k +-=，又0k >，解得：k =【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及圆的切线方程的求解、直线斜率的求解等问题.易错点是在求解切线方程时，忽略了斜率不存在的情况，造成求解错误.22.如图，在平面凸四边形ABCD 中（凸四边形指没有角度数大于180的四边形），2,4,5AB BC CD ===.（1）若120B ∠=，1cos 5D =，求AD ； （2）已知3AD =，记四边形ABCD 的面积为S . ① 求S 的最大值；② 若对于常数λ，不等式S λ≥恒成立，求实数λ的取值范围.（直接写结果，不需要过程） 【答案】（1）3；（2）①30214λ≤. 【解析】分析】（1）在ABC ∆中，利用余弦定理求得AC ；在A C D ∆中利用余弦定理构造关于AD 的方程，解方程求得结果；（2）①在ABC ∆和ACD ∆中利用余弦定理构造等量关系可得15cos 8cos 7D B -=，根据三角形面积公式可得215sin 8sin S D B =+，两式平方后作和可得()26060cos S B D =-+，当()cos 1B D +=-时，可求得S 的最大值；②由S λ≥可知min S λ≤，根据①可知，S 的范围由B D+的范围决定，求解出(),B D πβπα+∈-+且1cos 15α=-，2cos 5β=且α为钝角、β为锐角；根据2S 的单调性可求得最小值，从而求得min S 得到结果. 【详解】（1）在ABC ∆中，2AB =，4BC =，120C ∠=由余弦定理得：AC ==在ACD ∆中，AC =5CD =，1cos 5D =AC ==，解得：3AD =（2）①在ABC ∆和ACD ∆中，由余弦定理得：22016cos 3430cos AC B D =-=- 整理可得：15cos 8cos 7D B -= 面积：()115sin 8sin 2S D B =+，即：215sin 8sin S D B =+ ()()22244915sin 8sin 15cos 8cos S D B D B ∴+=++-()()22564240cos cos sin sin 289240cos B D B D B D =+--=-+即：()26060cos S B D =-+当B D π+=时，即7cos 23D =，7cos 23B =-时，()min cos 1B D +=-⎡⎤⎣⎦ 2120S ∴≤ max 230S ⇒=∴四边形ABCD 面积S 的最大值为：30②214λ≤由①知：()26060cos S B D =-+，则需研究B D +的范围.当D 增大时，AC 增大，从而B 随之增大所以，当,,A B C 趋于共线时，B D +趋于πα+，其中钝角α满足1cos 15α=- 当D 减小时，AC 减小，从而B 随之减小所以，当,,A B D 趋于共线时，B D +趋于πβ-，其中锐角β满足2cos 5β=(),B D πβπα∴+∈-+令()26060cos S f x x ==-，则()f x 在(),πβπ-上递增，在(),ππα+上递减并且()84fπβ-=，()56f πα+=，()120f π=()(]256,120S f x ∴=∈，即(S ∈λ∴≤【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到余弦定理解三角形、三角形面积公式、两角和差余弦公式的应用等知识，难点在于求解函数的最值时，角度的取值范围需要根据极限状态来求得，计算难度较大，属于难题.。

南通市 2018-2019学年高一下学期期末调研测试数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅 笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。

1．已知集合M ＝｛x ｜x ＜0｝，N ＝｛x ｜x ≤0｝，则A. M ∩N ＝∅ B ．MUN ＝R C ．M ⊆N D ．N ⊆M 2．函数()12x f x =-的定义域为A.（一∞，0］B. ［0，＋∞）C.（0，＋∞）D.（－∞，＋∞） 3.在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝ A 、12（a ＋b ） B 、12（a －b ） C 、12a ＋b D 、a ＋12b 4.在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l 的斜率为 A. －2 B 、－12 C 、12D 、2 5、·已知函数()f x ＝sin x 与()cos(2)()22g x x ππϕϕ=+-≤≤的图象的一个交点的横坐标为4π， 则ϕ＝ A ．－2π B 、－4π C 、4π D ．2π 6.下列说法正确的为①如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行； ②如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行； ③如果两条直线同时平行于一个平面，那么这两条直线平行； ④如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． A.①② B ．②③ C ．③④ D ．①④7.从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm)，甲班的数据为169，162，150，160，159， 乙班的数据为180，160，150，150，165．据此估计甲、乙两班学生的平均身高及方差的关系为8.函数的图象大致为9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝10，则结合a 的值解三角 形有两解的为A ．a ＝8B ．a ＝9C ．a ＝10D ．a ＝1110.己知函数()f x 定义在R 上的周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，2()2f x x x =-+， 函数8()log ||g x x =，则方程()()f x g x =的解的个数为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

江苏省镇江市2018—2019学年下学期期末测试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1.已知点(1,5),(1,3)A B -，则直线AB 的倾斜角是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120° 【答案】B【解析】【分析】利用斜率公式计算斜率，再计算倾斜角得到答案.【详解】点(1,5),(1,3)A B -531tan 11(1)k α-⇒==⇒=--45α=︒ ，答案为B【点睛】本题考查了倾斜角的计算，属于简单题.2.在边长为1的正方形ABCD 中，AB AC ∙等于（ ）A. 1B.C.D. 2 【答案】A【解析】【分析】利用向量內积的计算公式得到答案.【详解】cos 45112AB AC AB AC ∙=∙==答案为A【点睛】本题考查了向量乘积公式，属于简单题.3.“1m =”是“直线1:10l mx y +-=和直线2:60l x my ++=平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 计算直线1:10l mx y +-=和直线2:60l x my ++=平行的等价条件，再与1m =比较范围大小得到答案.【详解】直线1:10l mx y +-=和直线2:60l x my ++=平行，则211m m =⇒=±1m =是1m =±的充分不必要条件，答案选A【点睛】本题考查了直线平行，充要条件的知识点，关键是把直线平行的等价条件计算出来.4.已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ）A. 2πB.C. 3D. 3π 【答案】C【解析】【分析】首先根据侧面展开图弧长等于底面周长，求得底面积.再利用勾股定理算得圆锥高，求得体积. 【详解】底面周长12222ππ=⨯⨯= ，底面半径1,r s π==圆锥高为h ，222h r l += 即h =133V π=⨯= 答案为C【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，抓住展开图和圆锥的线段长度关系是解题的关键.5.圆221C :(2)(2)1x y ++-=与圆222C :2210x y x y +-++=公切线的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】 计算圆心距d ，根据圆心距与,R r R r +- 关系判断圆与圆的位置关系，得到公切线条数.【详解】22222C :2210(1)(1)1x y x y x y +-++=⇒-++=圆心距d ==1,1R r == ，d R r >+ 两圆外离，公切线有4条.答案为D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，公切线的条数这个知识点：外离时公切线4条；外切时公切线3条；相交时公切线2条；内切时公切线1条；内含时公切线0条.6.教师拿了一把直尺走进教室，则下列判断正确的个数是（ ）①教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行；②教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直；③教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行；④教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直．A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】【分析】每个选项逐一进行判断得到答案.【详解】①当直尺与地面平行时，有无数条直线与直尺平行，错误②当直线与地面垂直时，有无数条直线与直尺垂直，错误③当直线与地面相交时，没有直线与直尺平行，错误④不管直尺与地面是什么关系，有无数条直线与直尺所在直线垂直，正确答案选A【点睛】本题考查了直线与平面的关系，属于简单题目.7.点(1,2)到直线3410x y +-=的距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】1025d === ，答案为B 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题.8.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 【答案】B【解析】【分析】正四棱锥P ABCD - ，连接底面对角线AC ，在PAC ∆中，PAC ∠为侧棱与地面所成角，通过边的关系得到答案.【详解】正四棱锥P ABCD - ，连接底面对角线AC，AC =，易知PAC ∆为等腰直角三角形. AC 中点为O ，又正四棱锥知：PO ⊥底面ABCD即PAC ∠ 为所求角为4π ，答案为B 【点睛】本题考查了线面夹角的计算，意在考察学生的计算能力和空间想象力.9.在平面直角坐标系xOy 中，直线4y kx =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB 0⋅=，则k =（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据OA OB 0⋅=，在利用点到直线的距离公式得到k .【详解】OA OB 0⋅=，在Rt OAB ∆中，O 到ABd ===k =，答案为D【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，本题的关键是将直角三角形的边关系转换为点到直线的关系.10.在直角梯形ABCD 中，已知//AB DC ，AB AD ⊥，2AB =，1BC =，60ABC ∠=，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且1BE BC 2=，1DF DC 3=，则AE AF ⋅的值为( ) A. 52 B. 53C. 54D. 1 【答案】C【解析】【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，分别计算各个点坐标，再通过向量的数量积得到答案.【详解】以A 原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系则(0,0)A ，(2,0)B ，3(2C ，D ，1BE BC 2=，1DF DC 3=则7(,44E ，1(,22F 73105AE AF 8884⋅=+== 答案为C【点睛】本题考察了坐标系的建立，意在考查学生的计算能力.11.在平面直角坐标系xOy 内，经过点(2,3)P 的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于,A B 两点，则OAB ∆面积最小值为( )A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】C【解析】【分析】 设出直线方程，代入定点得到231a b+=,再利用均值不等式得到三角形面积的最小值. 【详解】解:由题意设直线方程为1(0,0)x y a b a b +=>> ,231a b ∴+= .由基本不等式知23a b +≥ 即24ab ≥ (当且仅当23a b = ,即4,6a b == 时等号成立). 又11241222S a b =⋅≥⨯= 答案为C【点睛】本题考查了直线截距式方程，利用均值不等式求最大最小值是常考题型.12.已知三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为( )A. πB.C. 2πD. 3π【答案】D【解析】【分析】将三棱锥扩展为正方体，体对角线为直径，根据表面积公式得到答案.【详解】三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，则2r =243r S r ππ=== 答案为D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，把三棱锥扩展为长方体是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 13.已知i 为虚数单位，复数1i 1i z +=-，则z =_______． 【答案】1【解析】【分析】首先化简z ，在根据复数模公式得到答案. 【详解】1i (1i)(1i)21i (1i)(1i)2i z i +++====--+ 1z =【点睛】本题考查了复数的化简和模，属于简单题.14.若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围为_______．【答案】1m >-【解析】方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，需要²²40D E F +-> 计算得到答案.【详解】方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆则22²²416416401D E F m m m m +-=+-+>⇒>-【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题.15.当1x >时，函数41y x x =+-的最小值为____________________ 【答案】5【解析】【分析】利用基本不等式即可求得答案．【详解】y=x+41x -=x+41x --，当且仅当x=3时取等号， 故函数y=x+41x -的最小值为5． 故答案为：5.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.如图，有三座城市,,A B C ．其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ；C 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ．一架飞机从城市C 出发，沿北偏东75°航向飞行．当飞机飞行到城市B 的北偏东45°的D 点处时，飞机出现故障，必须在城市A ，B ，C 中选择一个最近城市降落，则该飞机必须再飞行_______ km ，才能降落．【答案】【分析】连接BC ，在BCD ∆中，利用正余弦定理得到DB 和DC ，比较两个大小得到答案.【详解】连接BC ，在ABC ∆中：120,60,60AB AC CAB ︒==∠=余弦定理知：BC =在DBC ∆中，BC =45,30105ACB CAB ABC ︒︒︒∠=∠=∠=CD BD >sin 30sin 45BC BD ︒︒= BD =故答案为【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，考察了学生的计算能力，数学建模的能力.三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，E 为1DD 中点．（1）求证：1//BD 平面ACE ；（2）求证：1BD AC ⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)连接BD 与与AC 交于点，在1BDD ∆ 利用中位线证明平行.(2) 首先证明AC ⊥平面11BDD B ，由于1BD ⊂平面11BDD B ，证明得到结论.【详解】证明：（1）连接BD 与AC 交于点O ，连接OE因为底面ABCD 为菱形，所以O 为BD 中点因为E 为1DD 中点，所以1//OE BDOE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ，所以1//BD 平面ACE（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD所以1BB AC ⊥因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥所以1BB AC ⊥，BD AC ⊥，1BB BD B ⋂=，1BB ⊂平面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B所以AC ⊥平面11BDD B因为1BD ⊂平面11BDD B ，所以1AC BD ⊥【点睛】本题考查直棱柱得概念和性质，考查线面平行的判定定理，考查线面垂直的判定定理，考查了学生的逻辑能力和书写能力，属于简单题18.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(2,3),(,sin C)a a b c ==，且//a b ．（1）求角A ；（2）若2c =，且ABC ∆，求AC 边上的中线BM 的大小．【答案】（1）3A π=；（2）2BM = 【解析】【分析】 (1)有向量平行得到边长与角度关系式，再利用正弦定理得到角A.(2) ABC ∆的面积为2，计算得到3b =，在ABM ∆中利用余弦定理得到BM 长度.【详解】（1）因为//,(2,3),(,sin )a b a a b c C ==，所以2sin a C =由正弦定理sin sin a c A C=得：2sin sin A C C =因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C ≠，所以sin 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=（2）因为ABC ∆面积为2，所以1sin 22bc A = 因为2,3c A π==，所以3b =在ABM ∆中，由余弦定理得：2222331132cos 4222224BM AM AB AB AM A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭所以BM = 【点睛】本题考查了向量平行的内容,考查了正余弦定理和三角形面积公式.考查学生的运算能力19.如图，已知等腰直角三角形ABC 的斜边AB 所在直线方程为25y x =-，其中A 点在B 点上方，直角顶点C 的坐标为(1,2)．（1）求AB 边上的高线CH 所在直线的方程；（2）求等腰直角三角形ABC 的外接圆的标准方程；（3）分别求两直角边AC ，BC 所在直线的方程．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)利用垂直斜率相乘为-1得到CH 斜率，点斜式得到CH 方程.(2)首先计算圆心，再计算半径，得到圆的标准方程.(3)设直线AC 方程，通过H 到直线的距离计算得到AC ，BC 直线.【详解】（1）因为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 所在直线方程为25y x =-，设CH 的斜率为CH k则12CH k =- CH 经过点(1,2)C ，所以1:2(1),:2502CH CH l y x l x y -=--+-= （2）d r CH ====25250y x x y =-⎧⎨+-=⎩解得：31x y =⎧⎨=⎩，所以圆心(3,1)H 所以等腰直角三角形ABC 的外接圆的标准方程为22(3)(1)5x y -+-=（3）经判断，,AC AB 斜率均存在设1:2(1)AC l y k x -=-，即1120k x y k -+-=，因为H 到直线AC的距离为2r=解得：13k =或3k =- 因为A 点在B 点上方，所以15:,:3533AC BC l y x l y x =+=-+ 【点睛】考查了求直线方程,考查了两直线的位置关系,考查了圆的标准方程,考查了点到直线的位置关系.考查学生的分析能力、直观想象能力,运算能力.20.如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，ACB ACD 90︒∠=∠=，AC BC 2===，,,E F G 分别为,,AB AD AC 的中点．（1）证明：平面//EFG 平面BCD ；（2）求三棱锥E ACD -的体积；（3）求二面角D AB C --的大小．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析 【解析】【分析】 (1)分别证明//EF 平面BCD ，//EG 平面BCD 得到两平面平行.(2)将E ACD V -转化为12B ACD V -，通过体积公式得到答案.(3)首先判断CED ∠是二面角C AB D --的平面角，在CED ∆中，利用边角关系得到答案.【详解】（1）证明：因为,E F 分别为,AB AD 的中点，又有EF ⊂平面BCD ，BD ⊄平面BCD ，所以//EF 平面BCD同理：//EG 平面BCD ,EF EG E EF ⋂=⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，所以平面//EFG 平面BCD（2）解：因为90ACB ∠=，所以AC BC ⊥因为平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC平面ACD AC =，AC BC ⊥，BC ⊂平面ABC所以BC ⊥平面ACD2BC =，E 为AB 中点，所以1111122223623E ACD B ACD ACD V V S BC --∆==⨯=⨯⨯=所以三棱锥E ACD -的体积为3（3）因为AC BC =，E 为AB 中点，所以EC AB ⊥，同理，,ED AB DE ⊥⊂平面ABD ，CE ⊂平面ABC所以CED ∠是二面角C AB D --的平面角平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC平面ACD AC =，DC ⊂平面ACB ，DC AC ⊥，则DC ⊥平面ACB CE ⊂平面ACB ，所以DC EC ⊥在直角三角形DCE 中，CE CD =，则045CED ∠=，所以二面角C AB D --的大小为45【点睛】本题考查了面面平行的判定定理,考查了三棱锥体积的求法,考查了二面角平面角的求法.考查了学生数学抽象、数逻辑推理的能力21.如图，在道路边安装路灯，路面OD 宽，灯柱OB 高14m ，灯杆AB 与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC 与灯杆AB 垂直，轴线AC ，灯杆AB 都在灯柱OB 和路面宽线OD 确定的平面内．（1）当灯杆AB 长度为多少时，灯罩轴线AC 正好通过路面OD 的中线?（2）如果灯罩轴线AC 正好通过路面OD 的中线，此时有一高2.5 m 的警示牌直立在C 处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)分别以图中,OD OB 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，分别计算AB ，AC 的直线方程，解得A 坐标，求得AB 长度.(2) 设警示牌为CM ，CM OD ⊥，计算M ，A 的坐标，得到AM 直线方程，得到答案.【详解】解：分别以图中,OD OB 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，（1）【解法1】作AE OD ⊥垂足为E ，作BF AE ⊥垂足为F因为灯杆AB 与地面所成角为30，即=30ABF ∠在ABE ∆中，1cos30,sin 3022BF AB AB AF AB AB ︒︒==== 所以在AEN ∆中，14tan 60AB︒+= 解得：2AB =【解法2】灯杆AB 与地面所成角为30，(0,14)B ，AB方程为143y x =+① 因为灯罩轴线AC 与灯杆AB 垂直，设CH 的斜率为AN k，所以AN k =CAC的方程为：y x =-②联立：①②，解得：A所以2AB ==（2）设警示牌为CM ，CM OD ⊥，则 2.5),M A:15 2.5)AM l y x -=-令0N y =，所以N x =CN ==答：（1）当灯杆AB 长度为2m 时，灯罩轴线AC 正好通过路面OD 的中线（2【点睛】本题考查阅读理解能力、数学建模能力、运算能力、抽象能力.考查了直线方程，直线的位置关系.22.已知圆C 经过(2,0),A B -两点，且圆心C 在直线1:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）已知过点(1,2)P 的直线2l 与圆C 相交截得的弦长为2l 的方程；（3）已知点(1,1)M ，在平面内是否存在异于点M 的定点N ，对于圆C 上的任意动点Q ，都有QN QM为定值?若存在求出定点N 的坐标，若不存在说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）1x =或5430x y -+=；（3）见解析【解析】【分析】(1)设出圆的一般方程，代入三个条件解得答案.(2)将弦长转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式得到答案.(3)设出点,Q N 利用两点间距离公式得到比值关系，设为λ，最后利用方程与N 无关得到关系式计算得到答案.【详解】（1）因为圆C 经过(2,0),A B -两点，且圆心C 在直线1:l y x =上设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=所以2(2)20D F --+=，2210D E F ++++=，22D E -=- 所以0D E ==，4F =-所以圆22:4C x y +=（2）当斜率不存在的时候，1x =，弦长为当斜率存在的时候，设2:2(1)l y k x -=-，即20kx y k -+-=51,4k == 所以直线2l 的方程为：1x =或5430x y -+=（3）设()00,,(,)Q x y N m n ，且22004x y +=QN QM ==因为QN QM 为定值，设220000(2)(2)4(2)(2)6m x n y m n x y λ-+-+++=-+-+ 化简得：2200(22)(22)460m x n y m n λλλ-+-+++-=，与Q 点位置无关，所以22220220460m n m n λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪++-=⎩ 解得：1m n ==或2m n == 所以定点为(2,2) 【点睛】本题考查圆方程,考查直线与圆的位置关系,考查阿斯圆内容.考查了多项式恒成立问题.考查学生的分析能力、数据分析能力.。

连云港市 2018~2019学年第二学期期末考试高一数学试题（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上． 1．若直线过(1,2)A ，(3,6)B ，则该直线的斜率为A.2B.3C.4D.5 【解析】62231k -==-【答案】A2．不等式2230x x -->的解集为A.(3,1)-B.(,3)(1,)-∞-+∞UC.(1,3)-D.(,1)(3,)-∞-+∞U 【解析】2230(3)(1)031x x x x x x -->⇒-+>⇒><-或 【答案】D3．在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin b a B =，则A = A.30︒ B.60︒ C.60︒或120︒ D.30︒或150︒ 【解析】由2sin b a B =结合正弦定理得：1sin 2sin sin 2sin 1sin 301502B A B A A A =⇒=⇒=⇒=o o 或 【答案】D4．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】1x >Q10x ∴-> 444112(1)15111x x x x x x ∴+=-++≥-⋅+=---（当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号） 【答案】C5．若直线222x ay a +=+与直线20ax y +=平行，则实数a = A.0 B.1 C.1- D.1±【解析】当0a =时，显然两条直线不平行，所以0a ≠；由两条直线平行可得：122aa =，解得：1a =±，当1a =时，直线方程分别为：24x y +=，20x y +=，显然平行，符合题意；当1a =-时，直线方程分别为：20x y -=，20x y -+=，很显然两条直线重合，不符合题意，舍去；所以1a = 【答案】B6．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P 的坐标，则点P 落在圆2215x y +=内的概率为 A.19 B.29 C.59 D.79【解析】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P 的坐标，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是点P 落在圆2215x y +=内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，根据古典概型概率公式得到：82369P ==【答案】B7．点(1,2)P -到直线0kx y k --=（k ∈R ）的距离的最大值为 A.22 B.2 C.2 D.32 【解析】0(1)0kx y k k x y --=⇒-+=，令10100x x y y -==⇒⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，所以直线恒过定点（1，0），所以点P 到直线的距离的最大值就是点P 到定点（1，0）的距离，22max (11)(20)22d =--+-=【答案】A8．在空间中，有三条不重合的直线a ，b ，c ，两个不重合的平面α，β，下列判断正确的是 A.若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B.若b a ⊥，c a ⊥，则b ∥cC.若a α⊥，a ∥β，则αβ⊥D.若a α⊂，b β⊂，α∥β，则a ∥b【解析】若a ∥α，b ∥α，则a 与b 可能平行、相交或异面，故A 错误；若b a ⊥，c a ⊥，则b 与c 可能平行，也可能垂直，比如墙角，故B 错误；若a α⊥，a ∥β，则αβ⊥,正确；若a α⊂，b β⊂，α∥β，则a 与b 可能平行或异面，故D 错误；综上所述，本题选C【答案】C9．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】圆心距：22(22)(01)17d =--+-=，12235r r +=+=，12d r r <+，两圆相交，故选B 【答案】B10．已知圆1C ：22x y a +=关于直线l 对称的圆为圆2C ：222230x y x ay ++-+=，则直线l 的方程为A.2450x y -+=B.2450x y ++=C.2450x y --=D.2450x y +-=【解析】222222230(1)()2x y x ay x y a a ++-+=⇒++-=-，根据对称，可得：22a a =-，解得：2a =或1a =-（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），此时C 1(0，0)，C 2(－1，2)，直线C 1C 2的斜率为：1220210C C k -==---，由圆C 1和圆C 2关于直线l 对称可知：直线l 为线段C 1C 2的垂直平分线，所以12112C C l l k k k ⋅=-⇒=，直线l 又经过线段C 1C 2的中点(12-，1)，所以直线l 的方程为：111()22y x -=+，化简得：2450x y -+=，故选A 【答案】A11．已知0x >，0y >，182x y x y-=-，则2x y +的最小值为 A.2 B.22 C.32 D.4 【解析】181822x y x y x y x y-=-⇒+=+，要求2x y +的最小值可以先求2(2)x y +的最小值， 218161616(2)(2)(2)(2)()281021018x y x y x yx y x y x y x y x y y x y x y x+=++=++=+++=++≥⋅+=（当且仅当16x y yx=时，即4y x =时取等号），则21832x y +≥=【答案】C12．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为A.1B.2C.3D.4 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ，由MA MB⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r，即：1212121x x y y x x +=+-．由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，∴12MN AB =,2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211*********()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=- ．又由22142MN AB AB MN =⇒=得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得：220019()24x y -+=，∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3，∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离，即：min 31122MN r d =-=-= 【答案】A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应置上. 13．若方程22224230x y mx y m ++-++=表示圆，则实数m 的取值范围是 ▲ . 【解析】方程22224230x y mx y m ++-++=化为：222()(2)1x m y m ++-=-，方程表示圆，∴210m ->，解得：11m -<< 【答案】(1,1)-14．若正四棱锥的底面边长为23，侧棱长为7，则该正四棱锥的体积为 ▲ .【解析】解：如图，正四棱锥P-ABCD 中，AB=23，PA=7设正四棱锥的高为PO ，连结AO ， 则AO=12AC=122⨯AB=6 在直角三角形POA 中，22176PO PA AO =-=-=∴11121433P ABCD ABCD V S PO -=⋅⋅=⨯⨯= 【答案】415．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图 如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为 ▲ .【解析】根据频率分布直方图，得：样本中不小于40岁的人的频率是：0.015×10+0.005×10=0.2， ∴不小于40岁的人的频数是：100×0.2=20；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人， 在[50，60）年龄段抽取的人数为：0.0051010012320⨯⨯⨯=【答案】316．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，圆1O ：22(4)4x y ++=，动点P 在直线l ：220x y b -+=上（0b <），过P 分别作圆O ，1O 的切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有一个，则实数b 的值为 ▲ .【解析】由题意得：O （0，0），O 1（－4，0），设P （x ，y ），如下图所示 ∵PA 、PB 分别是圆O ，O 1的切线0.005 0.00150.00200.0025频率组距10 20 30 40 50 60年龄（第15题）xy–3–2–1123–6–5–4–3–2–112345P O 1O BA∴∠PBO 1=∠PAO=90° 又∵PB=2PA ，BO 1=2AO ∴△PBO 1∽△PAO ∴PO 1=2PO ∴PO 12=4PO 2∴2222(4)4()x y x y ++=+化简得：22464()39x y -+=∴点P （x ，y ）的轨迹是以4(,0)3为圆心、半径等于83的圆∵动点P 在直线l ：220x y b -+=上（0b <），满足PB=2PA 的点P 有且只有一个∴该直线l 与圆22464()39x y -+=相切∴圆心4(,0)3到直线l 的距离d 满足d r =即：483318b+=+ 解得：203b =或283-∵0b < ∴283b =-【答案】283-三、解答题：本大题共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知圆C 过两点(1,1)A ，(1,3)B --，且圆心在直线30x y ++=上． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过点B 且与圆C 相切的直线方程． 【解析】（1）设圆心坐标C 为)3,(--a a ，由CB CA =，即2222)33()1()13()1(+--++=---+-a a a a ，所以4-=a ，圆心)1,4(-，5=r ，圆的标准方程为25)1()4(22=-++y x ． ……………………………6分 (也可以求出AB 垂直平分线121--=x y ，与直线30x y ++=联立得圆心坐标)1,4(-) （2）设切线方程为l ，因为)3,1(--B 在圆上，所以BC l ⊥． 又34-=BC k ，1-=⋅l BC k k ．所以43=l k ，3)1(43-+=x y ， 所以过)3,1(--B 的切线方程0943=--y x ．………………………10分 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EDC ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，ED EC ⊥，点F ，G 分别是EC ，AB 的中点．求证： （1）直线FG ∥平面ADE ； （2）平面ADE ⊥平面EBC ．（第18题）AB CDEGF【解析】（1）取DE 中点H ，连接FH ，AH ．在EDC ∆中，H ，F 分别为DE ，EC 中点，则FH //DC 且DC FH 21=， 又四边形ABCD 为矩形，G 为AB 中点，AG //DC 且DC AG 21=， 所以AG FH AG FH =且//，故四边形AGFH 为平行四边形． 从而AH FG //，又ADE FG 面⊄，ADE AH 面⊂， 所以直线ADE FG 面//． ………………………6分（2）因为矩形ABCD ，所以DC BC ⊥，又平面ABCD EDC 面⊥， 面EDC ABCD DC =I 面，ABCD BC 面⊂，所以DEC BC 面⊥． 又DEC ED 面⊂，则BC ED ⊥．又ED EC ⊥，BC EC C =I ，所以EBC ED 面⊥．又ADE ED 面⊂，所以平面ADE ⊥平面EBC ．………12分19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a b c B c A -=-． （1）判断ABC ∆的形状； （2）若120C =︒，2a =，求c ． 【解析】（1）由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==可知，代入cos cos a b c B c A -=-， A C B C B A cos sin cos sin sin sin -=-，A CBC C A C B cos sin cos sin )sin()sin(-=+-+，A CBC C A C A C B C B cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin -=--+，0cos sin cos sin =-C A C B ，则0)sin (sin cos =-A B C ，则0cos =C 或0sin sin =-A B ，所以090=C 或B A =，所以ABC ∆为直角三角形或等腰三角形． …………………………8分 （2）因为120C =︒，则ABC ∆为等腰三角形，从而2==b a ，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=，得02120cos 22244⨯⨯-+=c ， 所以32=c ． …………………………12分（第18题）AGBC ADDF D E DH D20．（本小题满分12分）设2()(1)2f x ax a x a =+-+-．（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()1f x a <-（a ∈R ）．【解析】（1）()2f x -≥对于一切实数x 恒成立等价于2(1)0ax a x a +-+≥对于一切实数x 恒成立．当0=a 时，不等式可化为0x ≥，不满足题意；当0≠a 时，0,0,a >⎧⎨∆⎩≤即220,(1)40,a a a >⎧⎨--⎩≤解得13a ≥． ……………………4分 （2）不等式()1f x a <-等价于01)1(2<--+x a ax ．当0=a 时，不等式可化为1<x ，所以不等式的解集为{|1}x x <； 当0>a 时，不等式可化为0)1)(1(<-+x ax ，此时11<-a， 所以不等式的解集为1{|1}x x a-<<； 当0<a 时，不等式可化为0)1)(1(<-+x ax ，①当1-=a 时，11=-a，不等式的解集为{|1}x x ≠； ②当01<<-a 时，11>-a ，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->11x a x x 或；③当1-<a 时，11<-a ，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>a x x x 11或．.………12分 21．（本小题满分12分）如图，三条直线型公路1l ，2l ，3l 在点O 处交汇，其中1l 与2l 、1l 与3l 的夹角都为3π，在公路1l 上取一点A ，且2OA =km ，过A 铺设一直线型的管道BC ，其中点B 在2l 上，点C 在3l 上（2l ，3l 足够长），设OB a =km ，OC b =km ． （1）求出a ，b 的关系式；（2）试确定B ，C 的位置，使得公路OB 段与OC 段的长度之和最小．【解析】（1）（法一）由图形可知AOB AOCCOB S S S ∆∆∆+=．COB OC OB AOC OA OC AOB OA OB ∠⋅⋅=∠⋅⋅+∠⋅⋅sin 21sin 21sin 21， 23212322123221⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯b a b a ， 所以ab b a =+)(2，即122=+ba ． …………………………6分（法二）以O 为坐标原点，OC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则)0,0(O ，)0,(b C ，)23,21(a a B -，)3,1(A ，由A ，B ，C 三点共线得122=+ba ． (注：以O 为坐标原点，OA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系同样得分.)（2）222222()1()()22428b a b aa b a b a b a b a b a b+=+⨯=++=++++⋅=≥（km ），当且仅当4a b ==（km ）时取等号．答：当4km OB OC ==时，公路OB 段与OC 段的总长度最小为8km ．……12分OCBAl 1 l 3l 2（第21题）OAC B （第21题） l 1 l 2l 322．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为2216x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若37AB =，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =u u u r u u u r ，NB mMB =u u u r u u u r ，m ，n ∈R ，求m n +的值．【解析】（1）当直线l 的斜率不存在时，8AB =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，所以圆心O 到直线l 的距离211d k =+， 因为37AB =，所以22137216()1AB k ==-+，解得3k =±，所以直线l 的方程为31y x =±+． …………………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，不妨设(0,4)A ，(0,4)B -，(0,0)N ，因为NA mMA =u u u r u u u r ，NB nMB =u u u r u u u r ，所以(0,4)(0,3)m =，(0,4)(0,5)n -=-， 所以43m =，45n =，所以3215m n +=． …………………………6分 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为：1y kx =+， 因为直线l 与x 轴交于点N ，所以1(,0)N k -．直线l 与圆O 交于点A ，B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2216,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得，22(1)2150k x kx ++-=，所以12221k x x k +=-+，122151x x k =-+； 因为NA mMA =u u u r u u u r ，NB nMB =u u u r u u u r ，所以11111(,)(,1)x y m x y k +=-，22221(,)(,1)x y n x y k+=-， 所以111111x k m x kx +==+，222111x k n x kx +==+， 所以2121212221111123212()2221515151kx x k m n k x x k x x k k -+++=++=+=+=+=-+．综上，3215m n +=． ………………………12分。

连云港市2018~2019学年第二学期期末考试高一数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上． 1．若直线过(1,2)A ，(3,6)B ，则该直线的斜率为A.2B.3C.4D.5 2．不等式2230x x -->的解集为 A.(3,1)- B.(,3)(1,)-∞-+∞ C.(1,3)- D.(,1)(3,)-∞-+∞3．在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin b a B =，则A = A.30︒ B.60︒ C.60︒或120︒ D.30︒或150︒ 4．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 5．若直线222x ay a +=+与直线20ax y +=平行，则实数a = A.0 B.1 C.1- D.1±6．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P 的坐标，则点P 落在圆2215x y +=内的概率为 A.19 B.29 C.59 D.797．点(1,2)P -到直线0kx y k --=（k ∈R ）的距离的最大值为A. C.2 D.8．在空间中，有三条不重合的直线a ，b ，c ，两个不重合的平面α，β，下列判断正确的是 A.若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B.若b a ⊥，c a ⊥，则b ∥cC.若a α⊥，a ∥β，则αβ⊥D.若a α⊂，b β⊂，α∥β，则a ∥b 9．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为A.内切B.相交C.外切D.相离10．已知圆1C ：22x y a +=关于直线l 对称的圆为圆2C ：222230x y x ay ++-+=，则直线l 的方程为A.2450x y -+=B.2450x y ++=C.2450x y --=D.2450x y +-=11．已知0x >，0y >，182x y x y-=-，则2x y +的最小值为B.C. D.412．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应置上. 13．若方程22224230x y mx y m ++-++=表示圆，则实数m 的取值范围是 ▲ . 14．若正四棱锥的底面边长为，则该正四棱锥的体积为 ▲ . 15．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率颁布直方图 如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为 ▲ .16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，圆1O ：22(4)4x y ++=，动点P 在直线l：0x b -+=上（0b <），过P 分别作圆O ，1O 的切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有一个，则实数b 的值为 ▲ .三、解答题：本大题共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知圆C 过两点(1,1)A ，(1,3)B --，且圆心在直线30x y ++=上． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过点B 且与圆C 相切的直线方程．（第15题）18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EDC ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，ED EC ⊥，点F ，G 分别是EC ，AB 的中点．求证： （1）直线FG ∥平面ADE ； （2）平面ADE ⊥平面EBC ．19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a b c B c A -=-． （1）判断ABC ∆的形状； （2）若120C =︒，2a =，求c ．20．（本小题满分12分）设2()(1)2f x ax a x a =+-+-．（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()1f x a <-（a ∈R ）．（第18题）AB CDEGF21．（本小题满分12分）如图，三条直线型公路1l ，2l ，3l 在点O 处交汇，其中1l 与2l 、1l 与3l 的夹角都为3π，在公路1l 上取一点A ，且2OA =km ，过A 铺设一直线型的管道BC ，其中点B 在2l 上，点C 在3l 上（2l ，3l 足够长），设OB a =km ，OC b =km ． （1）求出a ，b 的关系式；（2）试确定B ，C 的位置，使得公路OB 段与OC 段的长度之和最小．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为2216x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若AB =l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =，NB mMB =，m ，n ∈R ，求m n +的值．高一数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．C 9．B 10．A 11．C 12．AO CBAl 1 l 3l 2（第21题）10：配方得22a a -=且0a >，2a = 11：182x y x y +=+，18(2)()18x y x y++≥，2x y +≥=12：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ，由0MA MB ⋅=得1212121x x y y x x +=+-．2120102(1)124AB x x x =-+-=-．又由224AB MN =得220001244[(1)]x x y -=-+，220019()24x y -+=，0313222x -≤-≤，02x =时2AB 取最小值4，故MN 最小值是2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．)1,1(- 14．4 15．3 16．328- 16：224PB PA =：22248()()33x y -+=，与直线l 相切，d r = 三、解答题：共70分．17．（1）设圆心坐标C 为)3,(--a a ，由CB CA =，即2222)33()1()13()1(+--++=---+-a a a a ，所以4-=a ，圆心)1,4(-，5=r ，圆的标准方程为25)1()4(22=-++y x ． ……………………………6分 (也可以求出AB 垂直平分线121--=x y ，与直线30x y ++=联立得圆心坐标)1,4(-) （2）设切线方程为l ，因为)3,1(--B 在圆上，所以BC l ⊥． 又34-=BC k ，1-=⋅l BC k k ．所以43=l k ，3)1(43-+=x y ， 所以过)3,1(--B 的切线方程0943=--y x ．………………………10分 18．（1）取DE 中点H ，连接FH ，AH ．在EDC ∆中，H ，F 分别为DE ，EC 中点，则FH //DC 且DC FH1=， 又四边形ABCD 为矩形，G 为AB 中点，AG //DC 且AG 21=所以AG FH AG FH =且//，故四边形AGFH 为平行四边形． （第18题）从而AH FG //，又ADE FG 面⊄，ADE AH 面⊂， 所以直线ADE FG 面//． ………………………6分 （2）因为矩形ABCD ，所以DC BC ⊥，又平面ABCD EDC 面⊥， 面EDCABCD DC =面，ABCD BC 面⊂，所以DEC BC 面⊥．又DEC ED 面⊂，则BC ED ⊥．又ED EC ⊥，BCEC C =，所以EBC ED 面⊥．又ADE ED 面⊂，所以平面ADE ⊥平面EBC ．………12分 19．（1）由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==可知，代入cos cos a b c B c A -=-， A C B C B A cos sin cos sin sin sin -=-，A CBC C A C B cos sin cos sin )sin()sin(-=+-+，A CBC C A C A C B C B cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin -=--+，0cos sin cos sin =-C A C B ，则0)sin (sin cos =-A B C ，则0cos =C 或0sin sin =-A B ，所以090=C 或B A =，所以ABC ∆为直角三角形或等腰三角形． …………………………8分 （2）因为120C =︒，则ABC ∆为等腰三角形，从而2==b a ，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=，得02120cos 22244⨯⨯-+=c ， 所以32=c ． …………………………12分20．（1）()2f x -≥对于一切实数x 恒成立等价于2(1)0ax a x a +-+≥对于一切实数x 恒成立．当0=a 时，不等式可化为0x ≥，不满足题意；当0≠a 时，0,0,a >⎧⎨∆⎩≤即220,(1)40,a a a >⎧⎨--⎩≤解得13a ≥． ……………………4分 （2）不等式()1f x a <-等价于01)1(2<--+x a ax ．当0=a 时，不等式可化为1<x ，所以不等式的解集为{|1}x x <； 当0>a 时，不等式可化为0)1)(1(<-+x ax ，此时11<-a， 所以不等式的解集为1{|1}x x a-<<；当0<a 时，不等式可化为0)1)(1(<-+x ax ，①当1-=a 时，11=-a，不等式的解集为{|1}x x ≠； ②当01<<-a 时，11>-a ，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->11x a x x 或；③当1-<a 时，11<-a ，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>a x x x 11或．.………12分 21．（1）（法一）由图形可知AOB AOC COB S S S ∆∆∆+=．COB OC OB AOC OA OC AOB OA OB ∠⋅⋅=∠⋅⋅+∠⋅⋅sin 21sin 21sin 21， 23212322123221⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯b a b a ， 所以ab b a =+)(2，即122=+ba ． …………………………6分（法二）以O 为坐标原点，OC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则)0,0(O ，)0,(b C ，)23,21(a a B -，)3,1(A ，由A ，B ，C 三点共线得122=+ba ． (注：以O 为坐标原点，OA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系同样得分.)（2）2222()1()()2248b a a b a b a b a b a b +=+⨯=++=++++≥（km ），当且仅当4a b ==（km ）时取等号．答：当4km OB OC ==时，公路OB 段与OC 段的总长度最小为8km ．……12分 22．（1）当直线l 的斜率不存在时，8AB =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，OAC B （第21题） l 1 l 2l 3所以圆心O 到直线l的距离d =，因为AB =AB ==k =所以直线l的方程为1y =+． …………………………4分 （2）当直线l 的斜率不存在时，不妨设(0,4)A ，(0,4)B -，(0,0)N ，因为NA mMA =，NB nMB =，所以(0,4)(0,3)m =，(0,4)(0,5)n -=-， 所以43m =，45n =，所以3215m n +=． …………………………6分 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为：1y kx =+， 因为直线l 与x 轴交于点N ，所以1(,0)N k-． 直线l 与圆O 交于点A ，B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2216,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得，22(1)2150k x kx ++-=，所以12221k x x k +=-+，122151x x k =-+；因为NA mMA =，NB nMB =，所以11111(,)(,1)x y m x y k +=-，22221(,)(,1)x y n x y k+=-，所以111111x k m x kx +==+，222111x k n x kx +==+， 所以2121212221111123212()2221515151kx x k m n k x x k x x k k -+++=++=+=+=+=-+． 综上，3215m n +=． ………………………12分。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修三高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．1．（5分）若点P（m，n）（n≠0）为角600°终边上一点，则等于．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：直接利用三角函数的定义，表示出=tan600°，然后利用诱导公式化简，求解即可．解答：解：由三角函数的定义知=tan600°=tan（360°+240°）=tan240°=tan60°=，∴==．故答案为：点评：本题是基础题，考查三角函数的定义，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．2．（5分）根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2）．x ﹣1 0 1 2 30.37 1 2.72 7.39 20.08e xx+2 1 2 3 4 5考点：函数零点的判定定理．专题：常规题型；压轴题．分析：本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题．在解答时，应先将方程的问题转化为函数零点大致区间的判断问题，结合零点存在性定理即可获得解答．解答：解：令f（x）=e x﹣x﹣2，由表知f（1）=2.72﹣3＜0，f（2）=7.39﹣4＞0，∴方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2）．答案为：（1，2）．点评：本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．3．（5分）如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为{2，8} ．考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：图表型．分析：分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、C的交集中的元素去掉B中元素得到的集合，由集合A、B、C计算即可得答案．解答：解：根据题意，分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、C的交集中的元素去掉B中元素得到的集合，得到的集合，又由A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，则A∩C={2，5，8}，∴阴影部分表示集合为{2，8}故答案为：{2，8}．点评：本题考查Venn图表示集合，关键是分析阴影部分表示的集合，注意答案必须为集合（加大括号）．4．（5分）P，Q分别为直线3x+4y﹣12=0与6x+8y+6=0上任意一点，则PQ的最小值为 3 ．考点：两点间的距离公式；两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：可得PQ的最小值即两平行线3x+4y﹣12=0与3x+4y+3=0间的距离，由距离公式可得．解答：解：直线6x+8y+6=0可变形为3x+4y+3=0，则PQ的最小值即两平行线3x+4y﹣12=0与3x+4y+3=0间的距离d，代入公式可得d==3，所以PQ的最小值为3，故答案为：3点评：本题考查点到直线的距离公式，得出要求的即两平行线间的距离是解决问题的关键，属中档题．5．（5分）（2012•虹口区二模）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为 4 ．考点：循环结构．专题：图表型．分析：由已知中的程序框图及已知中输入2，可得：进入循环的条件为S≤2，即P=1，2，3，4，模拟程序的运行结果，即可得到输出的P值．解答：解：当P=1时，S=1+；当P=2时，S=1++；当P=3时，S=1+++；当P=4时，S=1++++=；不满足S≤2，退出循环．则输出P的值为 4故答案为：4．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，由分步计数原理可得共有63=216种情况，进而分两种情况讨论骰子落地时向上的点数能组成等差数列的情况，可得符合条件的情况数目，由等可能事件的概率计算公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，则共有63=216种情况，它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：①若落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，6；共有6种可能，每种可能的点数顺序可以颠倒，即有2种情况；即有6×2=12种情况，②若落地时向上的点数全相同，有6种情况，∴共有12+6=18种情况，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为=；故答案为．点评：本题考查等可能事件的概率计算，注意题干中“向上的点数能组成等差数列”，向上的点数不要求顺序，如“2，1，3”也符合条件．7．（5分）（2010•卢湾区一模）已知函数的图象过点A（3，7），则此函的最小值是 6 ．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的图象．专题：计算题．分析：把点A代入函数式求得a，求得函数的解析式，然后把解析式整理成x﹣2++2利用基本不等式求得函数的最小值．解答：解：依题意可知3+a=7∴a=4∴f（x）=x+=x﹣2++2≥2+2=6（当且仅当x﹣2=即x=4时等号成立）故答案为：6点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对基本不等式基础知识的灵活应用．8．（5分）（2010•嘉定区一模）若关于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（，），则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x2﹣4x•cosθ+2＜0与不等式2x2﹣4x•sinθ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（，π），则θ= ．考点：一元二次不等式的解法；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意若不等式x2﹣4 xcos2θ+2＜0的解集为（a，b）则不等式2x2﹣4xsin2θ+1＜0的解集（）；由一元二次方程与不等式的关系可知，，整理，结合三角函数的辅助角公式可求θ解答：解：设不等式x2﹣4 xcos2θ+2＜0的解集为（a，b），由题意可得不等式2x2﹣4xsin2θ+1＜0的解集（）由一元二次方程与不等式的关系可知，整理可得，∴，且θ∈（，π），∴故答案为：点评：本题以新定义为载体，考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化关系，方程的根与系数的关系，考查了辅助角公式的应用．是一道综合性比较好的试题．9．（5分）（2010•如皋市模拟）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n= 2n+1﹣2 ．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：先根据a n+1﹣a n=2n，对数列进行叠加，最后求得a n=2n．进而根据等比数列的求和公式答案可得．解答：解：∵a n+1﹣a n=2n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）++（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2++22+2+2=+2=2n﹣2+2=2n．∴S n==2n+1﹣2．故答案为2n+1﹣2点评：本题主要考查了数列的求和．对于a n+1﹣a n=p的形式常可用叠加法求得数列通项公式．10．（5分）（2010•福建）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；压轴题．分析：先根据函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案．解答：解：由题意知，ω=2，因为，所以，由三角函数图象知：f（x）的最小值为，最大值为，所以f（x）的取值范围是．点评：本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想．11．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜截式方程．分析：先由不等式组画出可行域，再根据直线把△ABC面积等分可知该直线过线段AB的中点，然后求出AB中点的坐标，最后通过两点确定斜率公式求得k值．解答：解：画出可行域△ABC，如图所示解得A（1，1）、B（0，4）、C（0，），又直线过点C且把△ABC面积平分，所以点D为AB的中点，则D（，），所以k==．故答案为．点评：本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域及直线的斜截式方程．12．（5分）设y=f（x）函数在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：，取函数f（x）=a﹣|x|（a＞1），当时，函数f K（x）值域是．考点：函数的值域．分析：由于f（x）=a﹣|x|∈（0，1]，由于当时，若f（x）≤K，则；若f（x）＞K，则，由此可得函数f K（x）的值域解答：解：当a＞1时，f（x）=a﹣|x|∈（0，1]，由于当时，若f（x）≤K，则；若f（x）＞K，则，故答案为．点评：本题主要考查求函数的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．13．（5分）已知△ABC所在平面上的动点M满足2•=﹣，则M点的轨迹过△ABC的外心．考点：平面向量数量积的运算；三角形五心．专题：计算题．分析：由数量积的运算结合题意可得，即M在BC的垂直平分线上，过△ABC的外心．解答：解：2•=﹣=，∴，∴，∴，∴，∴M在BC的垂直平分线上，∴M点的轨迹过△ABC的外心，故答案为：外点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的外心的性质，属中档题．14．（5分）（2012•黄州区模拟）若不等式a+≥在x∈（，2）上恒成立，则实数a 的取值范围为a≥1 ．考点：函数恒成立问题．专题：计算题．分析：先分离常数，然后构造函数，因为构造的函数中含有绝对值，所以要对给定的区间分段去掉绝对值变成分段函数，根据图象可求出最大值，这样就可以求出参数的取值范围．解答：解：不等式即为a≥+，在x∈（，2）上恒成立．而函数f（x）=+=的图象如图所示，所以f（x）在（，2）上的最大值为1，所以a≥1．故答案为：a≥1点评：本题主要考查了函数恒成立问题，方法是分离常数之后构造函数，转化为函数求最值问题，本题中含绝对值，所以考虑先取绝对值．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；（2）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）（3）从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．考点：频率分布直方图．专题：应用题．分析：（1）先根据矩形的面积表示频率，以及各组的频率和等于1，建立等式关系，求出第一组的频率，然后利用第一组的频率乘以样本容量求出第一组的频数；（2）根据矩形的面积表示频率，求出成绩60及以上的频率和，利用样本估计总体，对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，从而得到这次考试物理学科及格率；（3）先求出“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数，然后用1减去低于50分的概率，即可求出所求．解答：解：（1）因为各组的频率和等于1，故低于5（0分）的频率为：f1=1﹣（0.015×2+0.03+0.025+0.005）×10=0.1（3分）所以低于5（0分）的人数为60×0.1=6（人）（5分）（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分）的为第一组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%（（8分）．）于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%（9分）．（3）“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数分别是6，9．（14分）点评：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，小长方形的面积等于频率，各个矩形面积之和等于1，以及概率等问题，属于中档题．16．（14分）已知向量，，x ∈R ，设函数（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值及相应的自变量x 的取值集合； （II ）当且时，求的值考点：三角函数的最值；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数． 专题：计算题；转化思想． 分析：（Ⅰ）通过向量关系求出数量积，然后利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为：，即可求函数f （x ）的最大值，借助正弦函数的最大值求出相应的自变量x 的取值集合； （II ）当且时，直接得到，求出，化简的表达式，利用两角和的正弦函数，整体代入，，求得的值． 解答： （Ⅰ）∵，，∴=（sinx ，cosx+sinx ）•（2cosx ，cosx ﹣sinx ）=2sinxcosx+cos 2x ﹣sin 2x （1分）=sin2x+cos2x （3分） =（4分）∴函数f （x ）取得最大值为．（5分）相应的自变量x 的取值集合为{x|（k ∈Z ）}（7分）（II ）由得，即因为，所以，从而（9分）于是===（14分）点评：本题是中档题，考查了向量的数量积的计算，二倍角和两角和的正弦函数，三角函数的最值，考查转化思想，整体代入思想，合理应用角的变形，二倍角公式的转化，是本题的难点，注意总结应用．17．（14分）已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），直线l2：﹣4x+2y+1=0和直线l 3：x+y﹣1=0，且l1与l2的距离是．（1）求a的值；（2）求l3到l1的角θ；（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P 点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是：？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．考点：两条平行直线间的距离；点到直线的距离公式．分析：本题考查的知识点是两条平行直线间的距离、线线夹角及点到直线的距离公式，（1）由l1与l2的距离是，我们代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于a的方程，解方程即可求a的值；（2）由已知中l1：2x﹣y+a=0（a＞0），直线l3：x+y﹣1=0，我们易得到直线l3及l1的斜率，代入tanθ=||，即可得到l3到l1的角θ；（3）设P（x0，y0），由点到直线距离公式，我们可得到一个关于x0，y0的方程组，解方程组即可得到满足条件的点的坐标．解答：解：（1）l2即2x﹣y﹣=0，∴l1与l2的距离d==．∴=．∴|a+|=．∵a＞0，∴a=3．（2）由（1），l1即2x﹣y+3=0，∴k1=2．而l3的斜率k3=﹣1，∴tanθ===﹣3．∵0≤θ＜π，∴θ=π﹣arctan3．（3）设点P（x0，y0），若P点满足条件②，则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x﹣y+C=0上，且=，即C=或C=，∴2x0﹣y0+=0或2x0﹣y0+=0；若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有=，即|2x0﹣y0+3|=|x0+y0﹣1|，∴x0﹣2y0+4=0或3x0+2=0．由P在第一象限，∴3x0+2=0不可能．联立方程2x0﹣y0+=0和x0﹣2y0+4=0，应舍去．解得x0=﹣3，y0=，由2x0﹣y0+=0，x0﹣2y0+4=0，解得x0=，y0=．∴P（，）即为同时满足三个条件的点．点评：（1）线线间距离公式只适用两条平行直线，且要将直线方程均化为A、B值相等的一般方程．（2）线线夹角只能为不大于90°的解，故tanθ=||．18．（16分）已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域、值域；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于任意x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数的性质求函数的定义域和值域．（2）要使函数在x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0，则实质是求函数f（x）在[﹣1，+∞）上的最大值是否满足条件．解答：解：（1）由4﹣a x≥0，得a x≤4．当a＞1时，x≤log a4；当0＜a＜1时，x≥log a4．即当a＞1时，f（x）的定义域为（﹣∞，log a4]；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[log a4，+∞）．令t=，则0≤t＜2，且a x=4﹣t2，∴f（x）=g（t）=4﹣t2﹣2t﹣1=﹣（t+1）2+4，当t≥0时，g（x）是t的单调减函数，∴g（2）＜g（t）≤g（0），即﹣5＜f（x）≤3，∴函数f （x）的值域是（﹣5，3]．（2）若存在实数a，使得对于任意x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0，则区间[﹣1，+∞）是定义域的子集．由（1）知，a＞1不满足条件；所以0＜a＜1，且log a4≤﹣1，即．令t=，由（1）知，f（x）=4﹣t2﹣2t﹣1=﹣（t+1）2+4，由f（x）≤0，解得t≤﹣3（舍）或t≥1，即有≥1解得a x≤3，由题意知对任意x∈[﹣1，+∞），有a x≤3恒成立，因为0＜a＜1，所以对任意x∈[﹣1，+∞），都有a x≤a﹣1．所以有a﹣1≤3，解得，即．∴存在，对任意x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0．点评：本题的考点是与指数函数有关的复合函数的定义域和值域问题，解决此类问题的关键是利用换元，将函数进行转换判断．19．（16分）如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路至B点；在市中心正南方解放路上选取A 点，在A、B间修建徐新路．（1）如果在A点看市中心O和点B视角的正弦值为，求在点B处看市中心O和点A视角的余弦值；（2）如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为，A点距市中心的距离为3km，求南徐新路的长度；南徐新城南徐新路健康路BB西北东A南O解放城解放城正东路（3）如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4km，且南徐新路AB最短，请你确定两点A、B的位置．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：应用题．分析：（1）由题意∠A0B=，∠BAO为税角，sin∠BAO=，由于；∠OBA=﹣∠BAO，故由差角公式求值即可；（2）如图在三角形AOB中用余弦定理求解即可．（3）根据题设条件用余弦定理将南徐新路AB的长度表示出来，再结合基本不等式求最值即可．解答：解：（1）由题可得∠A0B=，∠BAO为税角，sin∠BAO=，故cos∠BAO=，cos∠OBA=cos（﹣∠BAO）==（2）OA=3，S=OA×OB×sin∠BOA=OB×3×sin=，∴OB=5，由余弦定理可得=9+25+15=49，∴AB=7（3）∵BA×4=×OA×OB×sin∠BOA，∴OA×OB=AB=OA2+OB2+OA×OB≥3OA×OB=3×AB，∴AB≥8，等号成立条件是OA=OB=8答：当AB最短时，A，B距离市中心O为8公里．点评：本题考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数模型解决实际问题，三角函数模型是一个非常重要的模型，在实际生活中有着很广泛的运用．20．（16分）定义数列{a n}：a1=1，当n≥2时，其中r≥0常数．（Ⅰ）若当r=0时，S n=a1+a2+…+a n；（1）求：S n；（2）求证：数列{S2n}中任意三项均不能构成等差数列；（Ⅱ）求证：对一切n∈N*及r≥0，不等式恒成立．考点：反证法与放缩法；数列的求和；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）先计算数列的前8项猜想数列的特点，数列{a2k﹣1}、{a2k}（k∈N*）均为等比数列，从而利用等比数列的求和公式求解即可；对于否定性的结论的证明，往往利用反证法证明；（1）欲证此不等式恒成立，先对左边式子利用拆项法求和，后再进行放缩即得．解答：解：（1）当r=0时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8．从而猜出数列{a2k﹣1}、{a2k}（k∈N*）均为等比数列．（2分）∵a2k=a2k﹣1=2a2k﹣2，a2k+1=2a2k=2a2k﹣1，∴数列{a2k﹣1}、{a2k}（k∈N*）均为等比数列，∴a2k﹣1=a2k=2k﹣1．（4分）①∴S2k=2（a1+a3+a5++a2k﹣1）=2（2k﹣1）=2k+1﹣2，S2k﹣1=S2k﹣2+a2k﹣1=2k﹣2+2k﹣1=3×2k﹣1﹣2，∴．（6分）②证明（反证法）：假设存在三项S m，S n，S p（m，n，p∈N*，m＜n＜p）是等差数列，即2S n=S m+S p成立．因m，n，p均为偶数，设m=2m1，n=2n1，p=2p1，（m1，n1，p1∈N*），∴，即，∴，而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾；（10分）（2）∵a2k=a2k﹣1+r=2a2k﹣2+r，∴a2k+r=2（a2k﹣2+r），∴{a2k+r}是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴a2k+r=（1+2r）•2k﹣1．又∵a2k+1=2a2k=2（a2k﹣1+r），∴a2k+1+2r=2（a2k﹣1+2r），∴{a2k﹣1+2r}是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴a2k﹣1+2r=（1+2r）•2k﹣1．（12分）∴==，∴=．∵r≥0，∴．∴．（16分）点评：本题主要考查了等差数列、等比数列、不等式证明中的反证法与放缩法以及数列的求和，是一道综合性很强的题目，属于难题．。

江苏省淮安市2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1.l ：20x y -=的斜率为 A. ﹣2 B. 2C.12D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率. 【详解】由题得直线的方程为y=2x, 所以直线的斜率为2. 故选：B【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.△ABC 中，若A ＋C ＝3B ，则cosB 的值为A.2B.12C. 12-D.2【答案】D 【解析】 【分析】先求出B ，再求cosB.【详解】由题得3,4B B B ππ-=∴=,所以cos B =. 故选：D【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.l ：2360x y +-=与两坐标轴所围成的三角形的面积为A. 6B. 1C.52D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解. 【详解】当x=0时，y=2, 当y=0时，x=3, 所以三角形的面积为123=32⋅⋅. 故选：D【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.区间[0，5]上任意取一个实数x ，则满足x ∈[0，1]的概率为 A.15B.45C.56D.14【答案】A 【解析】 【分析】利用几何概型求解即可.【详解】由几何概型的概率公式得满足x ∈[0，1]的概率为10155-=. 故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.组数据1x ，2x ，…，n x 的平均值为3，则12x ，22x ，…，2n x 的平均值为 A. 3 B. 6C. 5D. 2【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平均数的公式求解.【详解】由题得12+++3n x x x n =L ，所以12x ，22x ，…，2n x 的平均值为12122222()236n n x x x x x x nn n n++++++⋅===L L .故选：B 【点睛】本题主要考查平均数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形【答案】C 【解析】 【分析】先求最大角的余弦，再得到三角形是钝角三角形.【详解】设最大角为α， 所以25+366431cos ==02566020α--=-<⋅⋅，所以三角形是钝角三角形. 故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.一个正四棱锥的底面边长为2A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B 【解析】 【分析】先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积.，所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选：B【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A. 2430x y -+= B. 430x y -+= C. 2430x y ++= D. 2410x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB 最短时直线l 的方程.【详解】由题得1210(21)(1)0,,2101x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，所以直线l 过定点P 112（，）.当CP ⊥l 时，弦AB 最短. 由题得2112,1202CP l k k -==-∴=-, 所以112,24m m -=∴=-.所以直线l 的方程为2430x y -+=. 故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1中点为M ，BC 中点为N ，∠ABC＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为 A. 1 B. 45-C. 34-D. 0【答案】D 【解析】 【分析】先找到直线异面直线AB 1与MN 所成角为∠1AB C ,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】由题得1||MN B C ,所以∠1AB C 就是异面直线AB 1与MN 所成角或补角.由题得AC ==11AB BC =12AB C π∴∠=，,所以异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为0. 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.直角坐标系xOy 中，已知点P(2﹣t ，2t ﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l ：0ax by +=．若对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值，则点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为 A. (0，2)B. (2，3)C. (25，115) D. (25，3)【答案】C 【解析】 【分析】先求出点P 的轨迹和直线l 的方程，再求点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标.【详解】设点P(x,y),所以2,22022x tx y y t =-⎧∴+-=⎨=-⎩所以点P 的轨迹方程为2x+y-2=0.对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值， 所以直线l 的方程为2x+y=0.设点点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为00,)x y （， 所以00000012(2)125,112120522y x x x y y -⎧⎧⋅-=-=⎪⎪+⎪⎪∴⎨⎨-+⎪⎪=⋅+=⎪⎪⎩⎩.故选：C【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查点线点对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共计36分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 11.1:0l x y +=， 2:10l ax y ++=，若12l l //，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题得1110a ⨯-⨯=，解方程即得a 的值. 【详解】由题得1110a ⨯-⨯=，解之得a =1. 当a =1时两直线平行. 故答案为：112.高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】由题得高一学生数为600301500⨯，计算即得解. 【详解】由题得高一学生数为60030=121500⨯. 故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C++++= ．【答案】2 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin sin a b cA B C++++=32=考点：本题考查了正弦定理的运用点评：熟练运用正弦定理及变形是解决此类问题的关键，属基础题14.236，则这个长方体的体积为______. 6. 【解析】 【分析】利用三个面的面积构造出方程组，三式相乘即可求得三条棱的乘积，从而求得体积. 【详解】设长方体中同顶点的三条棱的长分别为,,a b c则可设：236ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，三式相乘可知()26abc =∴长方体的体积：6V abc ==本题正确结果：6【点睛】本题考查长方体体积的求解问题，属于基础题.15.圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两点到坐标原点的距离为1，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】【解析】因为圆（x-a ）2+（y-a ）2=8和圆x 2+y 2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，可知结论为16.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由acosB ＝5bcosA 得22223a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解.【详解】由acosB ＝5bcosA 得22222222225,223a cb bc a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=， 所以222,33c c c =∴=. 故答案：3【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共5小题，共计74分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知三点A(5，0)，B(﹣3，﹣2)，C(0，2)．（1）求直线AB的方程；（2）求BC的中点到直线AB的距离．【答案】(1)x-4y-5=0；（2）1317 34.【解析】【分析】(1)利用直线的点斜式方程求直线AB的方程；（2）利用点到直线的距离求BC的中点到直线AB的距离．【详解】（1）由题得201354ABk--==--,所以直线AB的方程为10(5),4504y x x y-=-∴--=.(2)由题得BC的中点为3,0)2（-，所以BC中点到直线AB223|5|13217341+4--=.【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在△ABC中，B＝30°，D是BC边上一点，AD＝42，CD＝7，AC＝5．（1）求∠ADC 的大小； （2）求AB 的长． 【答案】（1）04528；（） 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理求∠ADC 的大小；（2）利用正弦定理求AB 的长． 【详解】（1）由余弦定理得02cos ,4522427ADC ADC ∠==∴∠=⋅⋅. （2）由题得∠ADB=0135,由正弦定理得0042,8sin 30sin135ABAB =∴=.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.甲乙两名篮球运动员分别在各自不同的5场比赛所得篮板球数的茎叶图如图所示，已知两名运动员在各自5场比赛所得平均篮板球数均为10．（1）求x ，y 的值；（2）求甲乙所得篮板球数的方差2S 甲和2S 乙，并指出哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）教练员要对甲乙两名运动员篮板球的整体水平进行评估．现在甲乙各自的5场比赛中各选一场进行评估，则两名运动员所得篮板球之和小于18的概率． 【答案】（1）x=2,y=9;(2)2226==25S S 甲乙，，乙更稳定；（3）15. 【解析】 【分析】(1)利用平均数求出x,y 的值；（2）求出甲乙所得篮板球数的方差2S 甲和2S 乙，判断哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）利用古典概型的概率求两名运动员所得篮板球之和小于18的概率．【详解】（1）由题得8+7+30+3050,2x x ++=∴=，83001250,9y y +++++=∴=.(2)由题得222222126=[(810)(710)(1310)(1210)(1010)]55S -+-+-+-+-=甲， 222222110=[(810)(910)(1110)(1210)(1010)]=255S -+-+-+-+-=乙. 因为2625<，所以乙运动员的水平更稳定. (3)由题得所有的基本事件有（8,8），（8,9），（8,10），（8,11），（8,12），（7,8），（7,9），（7,10），（7,11），（7,12），（10,8），（10,9），（10,10），（10,11），（10,12），（12，8），（12,9），（12,10），（12,11），（12,12），（13,8），（13,9），（13,10），（13,11），（13,12）.共25个.两名运动员所得篮板球之和小于18的基本事件有（8,8），（8,9），（7,8），（7,9），（7,10），共5个,由古典概型的概率公式得两名运动员所得篮板球之和小于18的概率为51=255. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和方差的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在三棱锥P —ABC 中，△PBC 为等边三角形，点O 为BC 的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC ．（1）求直线PB 和平面ABC 所成的角的大小；（2）求证：平面PAC⊥平面PBC ；（3）已知E 为PO 的中点，F 是AB 上的点，AF ＝λAB ．若EF∥平面PAC ，求λ的值．【答案】（1）060；（2）证明见解析；（3）13λ=【解析】【分析】（1）先找到直线PB 与平面ABC 所成的角为PBO ∠,再求其大小；（2）先证明PO AC ⊥, 再证明平面PAC⊥平面PBC ；（3）取CO 的中点G,连接EG,过点G 作FG||AC,再求出λ的值.【详解】（1）因平面PBC⊥平面ABC ，PO⊥BC, 平面PBC∩平面ABC=BC,PO PBC ⊂平面, 所以PO ⊥平面ABC,所以直线PB 与平面ABC 所成的角为PBO ∠,因为0=60PBO ∠，所以直线PB 与平面ABC 所成的角为060.(2)因为PO ⊥平面ABC,所以PO AC ⊥, 因为AC ⊥PB ，,,PO PB PBC PO PB P ⊂=I 平面,所以AC ⊥平面PBC,因为AC ⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC.(3)取CO 的中点G,连接EG,过点G 作FG||AC,由题得EG||PC,所以EG||平面APC,因为FG||AC ，所以FG||平面PAC,EG,FG ⊂平面EFO,EG ∩FG=G,所以平面EFO||平面PAC,因为EF ⊂平面EFO,所以EF||平面PAC.此时AF=11,33AB λ∴=. 【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查线面角的求法，考查空间几何中的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.如图，圆C 与x 轴相切于点T(2，0)，与y 轴的正半轴相交于A ，B 两点（A 在B 的上方），且AB ＝3．（1）求圆C 的方程；（2）直线BT 上是否存在点P 满足PA 2＋PB 2＋PT 2＝12，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果圆C 上存在E ，F 两点，使得射线AB 平分∠EAF，求证：直线EF 的斜率为定值． 【答案】（1）225252)()24x y -+-=（；（2）点P 坐标为1151236（，）或（，）.（3）见解析. 【解析】【分析】（1）求出圆C 的半径为52，即得圆C 的方程；（2）先求出直线BT 的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),根据PA 2＋PB 2＋PT 2＝12 求出点P 的坐标；（3）由题得ECB BCF ∠=∠,即EF ⊥BC,再求EF 的斜率.【详解】（1）由题得223252+=24（），所以圆C 的半径为52. 所以圆C 的方程为225252)()24x y -+-=（. (2)在225252)()24x y -+-=（中，令x=0,则y=1或y=4. 所以A(0,4),B(0,1).所以直线BT 的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),因为PA 2＋PB 2＋PT 2＝12， 所以22222222)(4)22)(1)222)(0)12y y y y y y -+-+-+-+--+-=（（（, 由题得21526130y y -+=因为2=26415136767800∆-⋅⋅=-<,所以方程无解.所以不存在这样的点P.(3)由题得,EAB BAF ECB BCF ∠=∠∴∠=∠, 所以512,1,120EF BC EF BC EF k k k -⊥∴⋅=-∴⋅=--， 所以43EF k =-. 所以直线EF 的斜率为定值．【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

参考公式：圆锥的侧面积公式： S =1高一年级期末测试数 学1cl ，其中 c 为底面圆的周长，l 是母线长； 2锥体体积公式：V = Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高；3 球的体积公式：V =4 πR 3，其中 R 为球的半径.3一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 直线 3x - y +1 = 0 倾斜角的大小是（ ） π π A.B ．632π 5π C ．D ．362. 计算sin 95︒cos50︒ - cos95︒sin 50︒ 的结果为（）A. - 22 B. 1 2C.2D.23. 已知圆锥的底面直径与高都是 4，则该圆锥的侧面积为（）A ．4π B ． 4 3π C ．4 5π D ．8 4. 已知α 满足tan(α + π) 4 1= 3，则tan α = （ ） A ． - 125. 已知 1 B ． 2均为锐角，满足sinC .2D ． -2，则 =（）ππ A. B ． 6 4 π 3π C ． D ．34 6. 已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，AB =2,则点 C 到平面 BDD 1B 1 的距离为（）A.1B ． C. 2 D. 2 7. 在△ABC 中，角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 acos B ，则△ABC 形状是（ ）b cos A A DA. 直角三角形B. 等腰三角形, 5 , c os53 101022 3C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形8.如图，正方形ABCD 的边长为2，E , F 分别为BC , CD 的中点，F沿AE，EF，FA 将正方形折起，使B,C,D 重合于点O ，构成四面体A -OEF ，则四面体A -OEF 的体积为（）B E C（第8 题）23 3A. 1 3B.3 C.12D. 69. 已知点 A (2, 2)，B (-1,3) ，若直线 kx - y -1 = 0 与线段 AB 有交点，则实数 k 的取值范围是（）A ． (-∞, -4)B ． (-4， )2C ． (-∞, -4]D ．[-4， ]210. 已知 m ，n 表示两条不同直线，α , β 表示两个不同平面，下列说法正确的是（）A ．若 m ⊥ n ， n ⊂ α ，则 m ⊥ α C ．若α∥ β ， m ∥ β ，则 m ∥αB ．若m ∥ α ， m ∥ β ，则α∥ β D ．若m ∥α, n ⊥ α, 则m ⊥ n11. 如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为 h . 若在容器内放入一个半径为 1 的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心 O （水没有溢出），则 h 的值为（ ） 2π A.B ． 9C ．D ．312. 已知圆 O : x 2 + y 2 = 1，直线l : 3x - 4 y + m = 0 与圆 O 交于 A ,B 两点，若圆 O 外一点 C满足OC = OA + OB ,则实数 m 的值可以为（）A ．5B ． - 52C.12D. -3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知直线l 1 方程为 x + 2 y - 2 = 0 ，直线l 2 的方程为(m - 1)x + (m + 1) y + 1 = 0 ，若l 1 // l 2 ，则实数m 的值为 ▲ ．14. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M ， N 分别为棱 AD ， D 1D 的中点，则异面直线MN 与 AC 所成的角大小为 ▲ ．15. 已知△ABC 中，角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,且满足 ，a c 3b ， 则a ▲ .c16. 已知圆O ： x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) ，直线l ：mx + n y = r 2与圆O 相切，点 P 坐标为(m , n ) ，( 3, +∞) 2[ 3 , +∞) 23 232Bπ3OBCA（第 11 题）点A 坐标为(3, 4) ，若满足条件PA=2 的点P 有两个，则r 的取值范围为▲．yBCMEO（第 17 题）（第 19 题）三.解答题：本大题共 6 题，第 17~18 每题题 10 分，第 19~21 题每题 12 分，第 22 题 14 分，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分 10 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形， M 为 PC 的中点，N 为 AB 的中点.（1） 求证：AB ⊥PD ； （2） 求证：MN ∥ 平面 PAD .18．（本题满分 10 分）3 π已知sin α = ,α ∈(0, ) .5 2 π（1）求sin(α + 的值；4 （2）若tan β = 1,求tan(2α - β ) 的值.319. （本题满分 12 分）在△ABC 中，A (-1, 2) ，边 AC 上的高 BE 所在的直线方程为7x + 4 y - 46 = 0 ，边 AB 上中线 CM 所在的直线方程为2x -11y + 54 = 0 .（1） 求点 C 坐标； （2） 求直线 BC 的方程.PMＤ2 （第 20 题）20.（本题满分 12 分）如图，在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，AC =13，CD =5， AD = 9 .（1） 求 cos C 的值； （2） 若cos B =4，求△ABC 的面积. 521. （本题满分 12 分）如图所示，四边形 OAPB 中，OA ⊥OB ，PA +PB=10，∠PAO =∠PBO ，∠APB = 5π.6 设∠POA = α ，△AOB 的面积为 S .（1） 用α 表示 OA 和 OB ； （2） 求△AOB 面积 S 的最大值．22．（本题满分 14 分）如图，已知圆O : x 2 + y 2 = 4 与 y 轴交于 A , B 两点（A 在 B 的上方），直线l : y = kx - 4 ． （1） 当 k = 2 时，求直线l 被圆O 截得的弦长；（2） 若k = 0 ，点C 为直线l 上一动点（不在 y 轴上），直线CA ,CB 的斜率分别为k 1 , k 2 ， 直线CA ,CB 与圆的另一交点分别 P , Q ． ①问是否存在实数 m ，使得k = mk 成立？若存在， 12求出 m 的值；若不存在，说明理由；②证明：直线 PQ 经过定点，并求出定点坐标．ABDCyAO QxPB（第 22 题）APα OB（第 21 题）数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2018/2019学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题(总分150分，考试时间120分钟)本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题卷包含1至4页；答题卷1至2页. 参考公式：扇形的面积公式：21122S lr r α==，其中l 、r 、α分别表示扇形的弧长、半径和圆心角.圆锥的体积公式：13V Sh =,其中S 表示圆锥的底面积，h 表示圆锥的高.方差公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）1．直线:30l x y +-=的倾斜角为 A ．6πB ．4πC ．34π D ．56π 2．已知集合{}1,0,1,2,3A =-,{}1B x x =≤，则AB =A ．{1,0,1}-B ．{1,1}-C ．[]1,1-D ．{2,3}3．某学校高一、高二、高三教师人数分别为100、120、80，为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法抽取容量为45的样本，则抽取高一教师的人数为 A ．12 B ．15C ．18D ．304．某同学5天上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为12,8,10,9,11，则这组数据的方差为 A ． 4B ．2C ．9D ．35．已知平面α//平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，则直线,m nA ．平行或相交B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行、相交或异面6．袋中共有完全相同的4只小球，编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是偶数的概率为A ．25 B ．35C ．13 D ．237．已知30.3121log 3,2,2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A ． a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8．若函数()()0f x x m mx m =-->有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是A ． ()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ． 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9．若函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>的最大值与最小正周期相同，则下列说法正确的是A ．在59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．图象关于直线12x =对称 C ．图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．当1(0,)2x ∈时，函数()f x的值域为)10．以(1,)m 为圆心，且与两条直线240x y -+=，260x y --=都相切的圆的标准方程为A ．22(1)(9)5x y -++=B ．22(1)(11)25x y -+-=C ．22(1)(1)5x y -+-=D ．22(1)(9)25x y -++= 11．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32AC AB BA BC CA CB ⋅-⋅=⋅uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu r，2cos cos b b C c B =+，则cos C 的值为 A ．13B ．13-C ．18D ．18-12．已知平面四边形ABCD 满足225AB AD -=，3BC =，1AC BD ⋅=-uuu r uu u r ，则CD 的长为A ．2BCD．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）13．过点()2,3A -且与直线:230l x y --=垂直的直线方程为 ▲ ．（请用一般式表示）14．若一个圆锥的高和底面直径相等且它的体积为23π，则此圆锥的侧面积为 ▲ ．15．若点()11,A x y ，()22,B x y 是圆22:1C x y +=上不同的两点，且121212x x y y +=，则+OA OB 的值为 ▲ ．16．如图，AD ，BE 分别为ABC ∆的中线和角平分线，点P 是第16题PEDCBAAD 与BE 的交点，若=22BC BA =,23AP CP ⋅=-,则ABC ∆的面积为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 17．(本小题满分10分)为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t （单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：（1）从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率；（2）求频率分布直方图中,a b 的值.18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD =,BD CD ⊥，点E 、F 分别是棱BC 、BD 的中点. （1）求证：EF //平面ACD ； （2）求证:AE BD ⊥.19．(本小题满分12分)设向量()1=22sin ,1,,2cos 2a b αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）若a b ⊥，求sin 2cos 2sin cos αααα+-的值；/t hBCAEF第18题（2）若222a b -=，求sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.20． (本小题满分12分)已知函数()121()2x x f x a R a+-=∈+为奇函数.（1）求实数a 的值并证明函数()f x 的单调性；（2）解关于m 不等式：()22()22f m f m m m +-≤--.21． (本小题满分12分)在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得=2CB BD ，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值；（2）求角D 的最大值.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系下，已知圆22:16O x y +=，直线():00l x t t +=>与圆O 相交于,A B 两点，且AB =（1）求直线l 的方程；（2）若点,E F 分别是圆O 与x 轴的左、右两个交点,点D 满足3ED DF =，点M 是圆O 上任意一点，点N 在线段MF 上，且存在常数R λ∈使得23DN DE DM λ=+，求点N 到直线l 距离的最小值.2018/2019学年度第二学期高一年级期终考试高一数学参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分):1. 2. 3. 4. 5. 6.7. 8. 9. 10. 11. 12.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）：13. 14. 15.16.三、解答题（本大题共6小题，计70分）：17. 解：（1）记“从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件，……………2分则；……………6分（2），……………8分…………… 10分18．证明：(1) 因为点、分别是棱、的中点，所以是的中位线，所以//,又因为平面,平面,//平面…………6分（2）由（1）得，//，又因为，所以,因为，点是棱的中点，所以,又因为，所以平面,又因为平面,所以.……………12分19.解：(1) 若，则，得，所以…………… 4分(2)因为，，因为，，即，化简得即，所以，…………… 8分因为，所以，,所以，所以…………… 12分20. 解：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，即，化简得，所以.…………… 4分(说明直接由用求解不给分)由得，任取，则因为，所以，，，所以所以，所以在上单调递增. …………… 8分（2）可化为，设函数，由（1）可知，在上也是单调递增，所以，即，解得……………12分21.解：（1）设,在中，由正弦定理得，,而在直角中，,所以,因为，所以,又因为，所以，所以，所以……………6分（2）设,在中，由正弦定理得，,而在直角中，,所以,因为，所以所以，即，根据三角函数有界性得，及，解得，所以角的最大值为……………12分22.解:(1) 圆，圆心，半径直线与圆相交于两点,且，圆心到直线的距离，又，解得，直线的方程为. ……………4分（2）点分别是圆与轴的左、右两个交点，，……………6分设，则，，即.又点在线段上，即共线，，，点是圆上任意一点，，将代入上式，可得即. ……………10分点在以为圆心，半径为的圆上.圆心到直线的距离，点到直线距离的最小值为. ……………12分（说明：利用点三点共线，求出，进而可得点坐标之间的关系，同样对应给分）。

南通市 2018-2019学年高一下学期期末调研测试数 学2019.06.27本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅 笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。

1．已知集合M ＝｛x ｜x ＜0｝，N ＝｛x ｜x ≤0｝，则A. M ∩N ＝∅ B ．MUN ＝R C ．M ⊆N D ．N ⊆M 2．函数()12x f x =-的定义域为A.（一∞，0］B. ［0，＋∞）C.（0，＋∞）D.（－∞，＋∞） 3．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝ A 、12（a ＋b ） B 、12（a －b ） C 、12a ＋b D 、a ＋12b 4．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l 的斜率为 A. －2 B 、－12 C 、12D 、2 5．已知函数()f x ＝sin x 与()cos(2)()22g x x ππϕϕ=+-≤≤的图象的一个交点的横坐标为4π， 则ϕ＝ A ．－2π B 、－4π C 、4π D ．2π 6．下列说法正确的为①如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行； ②如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行； ③如果两条直线同时平行于一个平面，那么这两条直线平行； ④如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． A.①② B ．②③ C ．③④ D ．①④7．从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm)，甲班的数据为169，162，150，160，159， 乙班的数据为180，160，150，150，165．据此估计甲、乙两班学生的平均身高及方差的关系为8．函数的图象大致为9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝10，则结合a 的值解三角 形有两解的为A ．a ＝8B ．a ＝9C ．a ＝10D ．a ＝1110．己知函数()f x 定义在R 上的周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，2()2f x x x =-+， 函数8()log ||g x x =，则方程()()f x g x =的解的个数为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

连云港市2018~2019学年第二学期期末考试高一数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上． 1．若直线过(1,2)A ，(3,6)B ，则该直线的斜率为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．不等式2230x x -->的解集为（ ）A ．(3,1)-B ．(,3)(1,)-∞-+∞C ．(1,3)-D ．(,1)(3,)-∞-+∞3．在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin b a B =，则A =（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．60︒或120︒ D ．30︒或150︒4．已知1x >，则41x x +-的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．若直线222x ay a +=+与直线20ax y +=平行，则实数a =（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1±6．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P 的坐标，则点P 落在圆2215x y +=内的概率为（ ） A ．19 B ．29 C ．59 D ．797．点(1,2)P -到直线0kx y k --=（k ∈R ）的距离的最大值为（ ）A ．22B ．2C ．2D ．328．在空间中，有三条不重合的直线a ，b ，c ，两个不重合的平面α，β，下列判断正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若b a ⊥，c a ⊥，则b ∥cC ．若a α⊥，a ∥β，则αβ⊥D ．若a α⊂，b β⊂，α∥β，则a ∥b9．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离10．已知圆1C ：22x y a +=关于直线l 对称的圆为圆2C ：222230x y x ay ++-+=，则直线l 的方程为（ ） A ．2450x y -+= B ．2450x y ++= C ．2450x y --= D ．2450x y +-=11．已知0x >，0y >，182x y x y-=-，则2x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．22 C ．32 D ．412．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应置上． 13．若方程22224230x y mx y m ++-++=表示圆，则实数m 的取值范围是 ．14．若正四棱锥的底面边长为23，侧棱长为7，则该正四棱锥的体积为 ．15．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率颁布直方图如图所示．从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，圆1O ：22(4)4x y ++=，动点P 在直线l ：220x y b -+=上（0b <），过P 分别作圆O ，1O 的切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有一个，则实数b 的值为 ．三、解答题：本大题共70分．请在答案卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知圆C 过两点(1,1)A ，(1,3)B --，且圆心在直线30x y ++=上． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过点B 且与圆C 相切的直线方程．0.0050.0015 0.0020 0.0025 频率 组距10 20 30 40 50 60年龄（第15题）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EDC ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，ED EC ⊥，点F ，G 分别是EC ，AB 的中点．求证： （1）直线FG ∥平面ADE ； （2）平面ADE ⊥平面EBC ．19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a b c B c A -=-． （1）判断ABC ∆的形状；（2）若120C =︒，2a =，求c ．20．（本小题满分12分）设2()(1)2f x ax a x a =+-+-．（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()1f x a <-（a ∈R ）．（第18题） A B C D E G F如图，三条直线型公路1l ，2l ，3l 在点O 处交汇，其中1l 与2l 、1l 与3l 的夹角都为3π，在公路1l 上取一点A ，且2OA =km ，过A 铺设一直线型的管道BC ，其中点B 在2l 上，点C 在3l 上（2l ，3l 足够长），设OB a =km ，OC b =km ． （1）求出a ，b 的关系式；（2）试确定B ，C 的位置，使得公路OB 段与OC 段的长度之和最小．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为2216x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若37AB =，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =，NB mMB =，m ，n ∈R ，求m n +的值．OC B A l 1 l 3 l 2（第21题）高一数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．C 9．B 10．A 11．C 12．A 10：配方得22a a -=且0a >，2a =11：182x y x y +=+，18(2)()18x y x y++≥，21832x y +≥=12：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ，由0MA MB ⋅=得1212121x x y y x x +=+-．2120102(1)124AB x x x =-+-=-．又由224AB MN =得220001244[(1)]x x y -=-+，220019()24x y -+=，0313222x -≤-≤，02x =时2AB 取最小值4，故MN 最小值是2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．)1,1(- 14．4 15．3 16．328- 16：224PB PA =：22248()()33x y -+=，与直线l 相切，d r = 三、解答题：共70分． 17．（1）设圆心坐标C 为)3,(--a a ，由CB CA =，即2222)33()1()13()1(+--++=---+-a a a a ，所以4-=a ，圆心)1,4(-，5=r ，圆的标准方程为25)1()4(22=-++y x ． ……………………………6分(也可以求出AB 垂直平分线121--=x y ，与直线30x y ++=联立得圆心坐标)1,4(-) （2）设切线方程为l ，因为)3,1(--B 在圆上，所以BC l ⊥．又34-=BC k ，1-=⋅l BC k k ．所以43=l k ，3)1(43-+=x y ，所以过)3,1(--B 的切线方程0943=--y x ．………………………10分 18．（1）取DE 中点H ，连接FH ，AH ．在EDC ∆中，H ，F 分别为DE ，EC 中点，则FH //DC 且DC FH 21=，又四边形ABCD 为矩形，G 为AB 中点，AG //DC 且DC AG 21=， 所以AG FH AG FH =且//，故四边形AGFH 为平行四边形．从而AH FG //，又ADE FG 面⊄，ADE AH 面⊂，所以直线ADE FG 面//． ………………………6分（2）因为矩形ABCD ，所以DC BC ⊥，又平面ABCD EDC 面⊥，面EDC ABCD DC =面，ABCD BC 面⊂，所以DECBC 面⊥． 又DEC ED 面⊂，则BC ED ⊥．又ED EC ⊥，BC EC C =， 所以EBC ED 面⊥．又ADE ED 面⊂，所以平面ADE ⊥平面EBC ．………12分19．（1）由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==可知，代入cos cos a b c B c A -=-， A C B C B A cos sin cos sin sin sin -=-， A C B C C A C B c o s s i n c o s s i n )s i n ()s i n (-=+-+，A CBC C A C A C B C B cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin -=--+， 0cos sin cos sin =-C A C B ，则0)sin (sin cos =-A B C ，（第18题） A G B CAD D FD E DH D则0cos =C 或0sin sin =-A B ，所以090=C 或B A =，所以ABC ∆为直角三角形或等腰三角形． …………………………8分 （2）因为120C =︒，则ABC ∆为等腰三角形，从而2==b a ，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=，得02120cos 22244⨯⨯-+=c ， 所以32=c ． …………………………12分20．（1）()2f x -≥对于一切实数x 恒成立等价于2(1)0ax a x a +-+≥对于一切实数x 恒成立．当0=a 时，不等式可化为0x ≥，不满足题意；当0≠a 时，0,0,a >⎧⎨∆⎩≤即220,(1)40,a a a >⎧⎨--⎩≤解得13a ≥． ……………………4分 （2）不等式()1f x a <-等价于01)1(2<--+x a ax ．当0=a 时，不等式可化为1<x ，所以不等式的解集为{|1}x x <；当0>a 时，不等式可化为0)1)(1(<-+x ax ，此时11<-a， 所以不等式的解集为1{|1}x x a-<<； 当0<a 时，不等式可化为0)1)(1(<-+x ax ，①当1-=a 时，11=-a，不等式的解集为{|1}x x ≠； ②当01<<-a 时，11>-a ，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->11x a x x 或；③当1-<a 时，11<-a ，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>a x x x 11或．．………12分 21．（1）（法一）由图形可知AOB AOC COB S S S ∆∆∆+=．COB OC OB AOC OA OC AOB OA OB ∠⋅⋅=∠⋅⋅+∠⋅⋅sin 21sin 21sin 21， 23212322123221⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯b a b a ， 所以ab b a =+)(2，即122=+ba ． …………………………6分（法二）以O 为坐标原点，OC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则)0,0(O ，)0,(b C ，)23,21(a a B -，)3,1(A ，由A ，B ，C 三点共线得122=+ba ． (注：以O 为坐标原点，OA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系同样得分．)（2）222222()1()()22428b a b aa b a b a b a b a b a b+=+⨯=++=++++⋅=≥（km ），当且仅当4a b ==（km ）时取等号．答：当4km OB OC ==时，公路OB 段与OC 段的总长度最小为8km ．……12分 22．（1）当直线l 的斜率不存在时，8AB =，不符合题意；O A CB （第21题） l 1l 2 l 3当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+， 所以圆心O 到直线l 的距离211d k =+，因为37AB =，所以22137216()1AB k ==-+，解得3k =±，所以直线l 的方程为31y x =±+． …………………………4分 （2）当直线l 的斜率不存在时，不妨设(0,4)A ，(0,4)B -，(0,0)N ，因为NA mMA =，NB nMB =，所以(0,4)(0,3)m =，(0,4)(0,5)n -=-，所以43m =，45n =，所以3215m n +=． …………………………6分 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为：1y kx =+，因为直线l 与x 轴交于点N ，所以1(,0)N k-．直线l 与圆O 交于点A ，B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2216,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得，22(1)2150k x kx ++-=，所以12221k x x k +=-+，122151x x k =-+；因为NA mMA =，NB nMB =，所以11111(,)(,1)x y m x y k +=-，22221(,)(,1)x y n x y k+=-，所以111111x k m x kx +==+，222111x k n x kx +==+， 所以2121212221111123212()2221515151k x x k m n k x x k x x k k -+++=++=+=+=+=-+． 综上，3215m n +=． ………………………12分。