平行四边形的判定定理(1)

A
D
数学语言表O 示为；
∴ △AOB ≌ △COD ∴AB=CD
(SAS)
∵BAO=OC，BOC=OD ∴ 四边形ABCD是平行四
边形
同理 ： AD=CB
∴四 边形ABCD是平行四边形（两组对
边分别相等的四 边形是平行四边形。）
例1： 已知：如图 ，E、F是平行四边形ABCD对角线AC
延上长的两线点上,且的ED两.EF点⊥是，OA并.BO且FC⊥A的EO中=CC点. F.。
思考
如图, AB = CD, 且∠DCA=∠BAC, 四边形ABCD是平行四边形吗？
A
D
OBCຫໍສະໝຸດ 练习：如图在 ABCD中，E、F、G、H分别是
各边上的点，且AE=CF，BG=DH ，求证：EF与
GH互相平分。
D
FC
H
AE
O
G
B
1.如图:在
ABCD中，已知AC=3cm, ABC
的周长为8cm,求平行四边形的周长
13
42
判定定猜理想1：：两组对边分别相等的四 边形是平行四边形。
已知：如图，在四边形ABCD中，AD=CB，AB=CD
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：连结AC
数学语言表示为：
∵ AD=CB，AB=CD
∴
∴ABC ≌△ CDA (SSS) ∴∠1=∠2，∠3=∠4
四边形ABCD是平行 四 边形
∴ AB∥CD， AD∥CB
∴四边形ABCD是平行四 边形 (平行四边形定义)
平你行能根四据上边述形判定判定定理证定明理 2
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

3
对角互相平分
两组对边相等
对角线互相平分 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形
性质：平行四边形的对角相等
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形的两组对边分别平行
探究活动
发现：三角形一条边上的中 线的2倍小于另两条边的和。
任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较
5.5 平行四边形的判定（2）
序言
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这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你
发现了什么?再画几个三角形试一试，你发现的规律
仍然成立吗?试证明你的发现。见

OB=OD
A
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：在△AOD和△COB中
OA=OC（已知） ∠AOD=∠COB （对顶角相等） B
1
O
2
D C
OD=OB （已知） ∴△AOD≌△COB（SAS）
∴ AD=CB（全等三角形的对应边相等）
同理可得： AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的判定定理3:
同理可证AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形。
平行四边形的判定定理2:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
符号语言：
A
D
B
C
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
D
A
O
B
C
对角线互相平分的四边形是平行四边形？
已知：四边形ABCD, 对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，
∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的对应角相等）
∴ AB∥CD，AD∥BC （内错角相等，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理1:
ห้องสมุดไป่ตู้
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
符号语言：
A
D
∵AB=CD,AD=BC B
C
∴四边形ABCD是平行四边形
∴△AOD≌△COB（SAS）
Ｄ
理 形是平行四边形。
0
Ｃ ∵OA=OC,OB=OD ∴…是平行四边形
3
Ａ
Ｂ
A
D
(A)AB∥CD,AD∥BC
（两组对边分别平行）

平行四边形是指四条边都平行的四边形。

平行四边形的性质包括：
四条边都平行。

四个角都是直角。

对角线互相垂直，且长度互为相反数。

对角线的交点为四边形的中心。

对角线的中线均为平行四边形的中线。

对角线的中线的角度为45°。

判定定理：若一个四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形。

证明：由于对角线互相垂直，则对角线的交点为四边形的中心。

设四边形的边长分别为a、b、c、d，对角线长度分别为p、q。

由于对角线互为相反数，则有p=a+c，q=b+d。

所以四边形的周长为2(p+q)=2(a+b+c+d)。

因此，四边形的周长是定值。

由于四边形的四条边都平行，则四角都是直角。

所以，四边形是平行四边形。

因此，若一个四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形。

球小，明小各杰投比进张多明少多个投进2个，三人平均每人投进142个x球 1.问2 小 杰14和 设第一次射击的成绩为x个， 可列方程为____3_______
列出方程后，还必须找出符合方程的未知数的值．
能使方程左右两边的值相等 的未知数的值叫方程的解.
倍 速
例１: 判断下列t的值是不是
课
时
方程2t+1=7-t的解：
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴EB=DF
A
E
D
B
F
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2：画平行四边形ABCD，使∠B=45°,
AB=2CM,BC=3CM
小结：平行四边形的三个判定方法：
两组对边分别平行
从边看: 两组对边分别相等 一组对边平行且相等
的四 边形 是平 行四 边形
倍 速 课 时 学 练
方程小史
“方程”一词来源于我国古算书《九章算术》.在这 部著作中，已经会列一元一次方程.
解方程: 2 x + 1 2 = 1 4 3
尝试检验法
(1)确定x的取值范围__1_3_≤_x_≤1_8_且__x_取__正__整__数___
对于一些较简单的方 程，可以确定未知数
所以只能取__1_3_,_1_4_,1_5_,_1_6_,1_7_,_1_8_
(2)把所取的的值代入方程左边的代数式 2 x 12 14 ,求出代
100
水沸腾的温度
时 学
37
人体温度
练
68
20
室温
32
0
水结冰的温度
xk121 0 是一元一次方程,则k=___2____
变式1: x|k| 210是一元一次方程,则k=_1_或___-1_

平行四边形的判定定理平行四边形是一种特殊的四边形，具有以下特点：对边平行且对角线相等。

在数学中，判定一个四边形是否为平行四边形有多种方法。

方法一：利用对边平行的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以先利用对边平行的性质进行判断。

步骤：1.检查边AB和边CD是否平行。

2.检查边BC和边AD是否平行。

如果边AB和边CD以及边BC和边AD都是平行的，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

方法二：利用对角线相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以利用对角线相等的性质进行判断。

步骤：1.计算对角线AC的长度。

2.计算对角线BD的长度。

如果对角线AC的长度等于对角线BD的长度，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

方法三：利用对边比例相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，还可以利用对边比例相等的性质进行判断。

步骤：1.计算边AB与边CD的长度比（AB/CD）。

2.计算边BC与边AD的长度比（BC/AD）。

如果边AB与边CD的长度比等于边BC与边AD的长度比，即AB/CD = BC/AD，那么四边形ABCD是一个平行四边形。

方法四：利用四个角的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，也可以利用四个角的性质进行判断。

步骤：1.检查角A与角C是否相等。

2.检查角B与角D是否相等。

如果角A与角C相等，并且角B与角D相等，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

总结通过以上四种方法，我们可以判定一个四边形是否为平行四边形。

可以根据实际情况选择其中一种或多种方法来进行判定，以便快速准确地得出结论。

请注意，以上的判定定理仅适用于四边形，其他多边形无法用这些方法判定是否为平行四边形。

在实际应用中，合理选择合适的方法，结合几何定理，可以更好地解决相关问题。

希望本文能对你理解和应用平行四边形的判定定理有所帮助。

什么结论?
B
C
判定定理1:
A
D
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：∵AB＝CD,AD＝BC, ∴四边形ABCD是平行四边形.
大家齐动手
• 将两根细木条AC、BD的中心重叠,用小钉绞
合在一起,用橡皮筋连接木条的顶点,做成
一个四边形ABCD,转动两根木条,它一直是
一个平行四边形吗?为什么?
(2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决.
作业布置：
1.课本第91页第5题.
2.继续探一探：你还能想出其他的平行四 边行的判定方法吗？
板书设计
1、定义 2、性质 3、判定定理1 4、判定定理2
定理1的证明
例题
B
C
∴ AD∥BC .（同旁内角互补，两直线平行）
同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.(两组对边分别平行的
四边形是平行四边形)
请ห้องสมุดไป่ตู้谈一谈
学习了本节课你有哪 些收获？
1.知识：平行四边形的判定方法
从边来判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(定义) 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
从对角线来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
2.方法：
(1)解决一个数学问题,常要通过“动手实践”---“ 猜想”---“验证猜想(证明)”---“得出结论”.
(2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决.
2.方法：
(1)解决一个数学问题,常要通过“动手实践”---“ 猜想”---“验证猜想(证明)”---“得出结论”.
互相平行的线段？

平行四边形全等的判定定理平行四边形全等的判定定理是一个在几何学中非常重要且有指导意义的定理。

它不仅可以帮助我们判断两个平行四边形是否全等，还可以在解决实际问题时提供指导。

下面将详细介绍这个定理。

首先，让我们回顾一下平行四边形的定义。

平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

它的特点是两边两对角线相等，而且对角线相交的内角相互补。

平行四边形的全等性质意味着当两个平行四边形的对应边相等且对应角相等时，这两个平行四边形是全等的。

定理表述如下：如果两个平行四边形的对应边相等且对应角相等，则这两个平行四边形是全等的。

定理的证明可以通过使用平行四边形的定义以及其他几何性质来完成。

首先，我们可以使用平行四边形的定义来证明对应边相等。

根据定义，平行四边形的两对边是平行的，因此它们长度相等。

因此，如果两个平行四边形的对应边相等，那么它们具备了全等的第一条特征。

接下来，我们需要证明对应角相等。

根据平行四边形的定义，它的两对角线相等。

当两个平行四边形的两对角线相等时，它们对应的角也相等。

这可以通过使用角的补角性质来证明。

两个平行四边形具有相等的对角线，所以它们的内角必然相等。

因此，当两个平行四边形的对应角相等，它们符合全等的第二条特征。

综上所述，当两个平行四边形的对应边相等且对应角相等时，它们是全等的。

这个定理对我们解决几何问题非常有指导意义。

在解决问题时，我们可以根据这个定理来判断两个平行四边形是否全等，从而得出问题的答案。

例如，我们可以利用这个定理来求解实际问题。

假设我们需要寻找一个与已知平行四边形全等的平行四边形。

我们可以通过观察已知平行四边形的边长和内角来寻找合适的构造。

根据定理，我们可以在平面上绘制一个与已知平行四边形的对应边相等且对应角相等的平行四边形。

这个新绘制的平行四边形与已知平行四边形就是全等的。

总而言之，平行四边形全等的判定定理是一个非常有用的几何定理。

它帮助我们判断两个平行四边形是否全等，并在解决实际问题时提供指导。

理 四边形是平等四边形 １ Ａ 定 对角线互相平分的四 Ｄ 理 边形是平行四边形 ２ Ａ 推 两组对角分别相等的 论 四边形是平行四边形
O
Ｄ Ａ
Ｃ∵∠A=∠C,
∠B=∠D
(1)判断下列四边形是否是平行四边形?并说明理 由.
A
⑴ 110° 110° C
D 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B 70°
请你谈一谈
学习了本节课你有哪 些收获？
判 定
文字语言
图形语言 Ｄ
符号语言
定 两组对边分别平行的 义 四边形是平行四边形
Ｃ ∵AB∥CD,
AD∥BC Ｂ ∴…是平行四边形 Ｃ ∵AB=CD, AD= BC Ｂ ∴…是平行四边形 Ｃ ∵OA=OC, OB=OD Ｂ ∴…是平行四边形
Ａ 定 两组对边分别相等的 Ｄ
由上面的证明你得到了 什么结论？ 平行四边形判定定理： B 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
你也试一试
如图，将两根细木条AC、BD的中 心重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连 接木条的顶点，做成一个四边形ABCD， 转动两根木条，它一直是一个平行四边形 吗？你能证明吗？你又能得到什么结论？
大显身手
例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线 AC上的两点，并且AE=CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形
A
E O F
D
证明：连接BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO，BO=DO
B
14
C
∵AE=CF
∴AO-AE=CO-CF 即EO=FO
又∵ BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形

平行四边形的判定（1）学习单一、判定定理的探究探究1：如图，四边形ABCD中，AB=CD，试探究四边形ABCD是否为平行四边形？D归纳：平行四边形的判定定理（1）：符号语言：∵，∴探究2：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AO=CO,BO=DO，试探究四边形ABCD是否为平行四边形？D归纳：平行四边形的判定定理（1）：符号语言：∵，∴探究3：如图，四边形ABCD中，∠A=∠C, ∠B=∠D, 试探究四边形ABCD是否为平行四边形？D归纳：平行四边形的判定定理（1）：符号语言：∵，∴二、判定定理的使用1、已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF 求证：四边形BFDE是平行四边形D2、如图，AB=DC=EF ，AD=BC ，DE=CF ，则图中有哪些互相平行的线段？为什么？F EDB三、 课堂练习1、 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O若AD=8cm ，AB=4cm ，那么当BC= CD= 时，四边形ABCD 为平行四边形 若AC=10cm ，BD=8cm ，那么当AO= DO= 时，四边形ABCD 为平行四边形2、如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD 是否为平行四边形？A3、已知：如图，O 为□ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，于CD 交于F 求证：四边形AECF 是平行四边形C4、 如图，已知E 、F 、G 、H 分别是□ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE=CG ,BF=DH 求证：四边形EFGH 是平行四边形D5、 如图，四边形ABCD 中，AD=12，OD=OB=5，AC=26，∠ADB=90°求BC 的长和四边形ABCD 的面积C。

D
B
E
C
4.如图， ABCD中 分别是对边BC BC和 4.如图，在□ABCD中，E、F分别是对边BC和 如图 AD上的两点 上的两点， AF=CE，连结AE AE、 AD上的两点，且AF=CE，连结AE、CF 求证：AC、EF互相平分 求证：AC、EF互相平分 F A
D
B
E
C
5.如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC， 5.如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝∠D， 如图 试说明： 试说明：BF∥CE
∵AD∥CB, ∴∠3=∠4, ∵AD=CB， ∵AD=CB，AC=CA,
B
A 1 4
D
3 2 C
ADC≌△ ∴△ADC≌△CBA ∴∠1=∠2 ，∴AB∥CD, ∴ 四边形ABCD为平行四边形. ABCD为平行四边形 ∴四边形ABCD为平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 平行且相等的四边形是平行四边形
A H E G F B C D
5.已知：AD为 ABC的角平分线，DE∥AB， AB上 5.已知：AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，在AB上 已知 的角平分线 截取BF AE， BF＝ 截取BF＝AE， A 求证：EF＝ 求证：EF＝BD 12 F 3 B D C E
6.如图， 6.如图，D、E、G分别是△ABC三边上的点，DG与 如图 分别是△ABC三边上的点，DG与 三边上的点 AC平行 平行， =CE，延长EG EG至 使得EF=2EG EF=2EG， AC平行，且DG =CE，延长EG至F点，使得EF=2EG， 连接CF 试说明CF DG互相平分 CF， CF与 互相平分。 连接CF，试说明CF与DG互相平分。

平行四边形的判定方法• 1.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

4.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

• 5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

6.两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。

7.相邻两角分别互补的四边形是平行四边形。

•（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的面积：S=底×高。

平行四边形的面积•平行四边形面积：平行四边形面积=底×高，用字母表示：S=a×h。

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形称为平行四边形。

平行四边形一般用图形名称加依次四个顶点名称来表示，如图平行四边形记为平行四边形ABCD。

平行四边形的性质：1、两组对边平行且相等；2、两组对角大小相等；3、相邻的两个角互补；4、对角线互相平分；5、对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；6、四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

平行四边形的面积计算公式：1、（1）平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*s inα2、平行四边形周长可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b) 底×1X高平行四边形的主要类别：1、平行四边形属于平面图形。

平行四边形判定定理
初中数学平行四边形的判定定理主要有以下几种：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

以上判定方法可以帮助我们在解决几何问题时确定一个四边形是否为平行四边形。

同时，我们还需要注意平行四边形的性质，如对边相等、对角相等、对角线互相平分等，这些性质也可以作为判定定理的补充。

A
D
B
C
平行四边形判定定理2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
∵ AB=CD且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形 B
A
D
C
例2、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两 点，并且AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形 证明：
∴AD∥BC且AD =BC
A
D
A
D
B C C 画法三：分别以C、A为圆心，以AB、BC的长为半径 画弧，两弧相交于D，连接CD、AD
B
已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC
求证：四边形ABCD为平行四边形 证明：
添加辅助线
已知： 在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC A 求证： 四边形ABCD为平行四边形
19.2平行四边形的判定（1）
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的性质 对边平行、对边相等 边：
推论：
角： 对角相等、邻角互补、四角和360°
对角线： 互相平分
对称性： 中心对称图形，对称中心是
两条对角线的交点
A
O
D
边
平行四边形的对边平行且相等
∥ ∥ BC ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB﹦ CD，AD ﹦ C
A 例1 已知：如图，在□ABCD中，E、F 分别是AB、CD的中点。 E D F C
求证：EF∥AD∥BC。
B
证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB＝CD，且AB∥CD 又∵ E，F分别是AB，CD的中点 ∴ AE＝DF，且有AE ∥CD ∴ 四边形AEFD是平行四边形 （一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形） ∴ EF∥AD（平行四边形的定义） ∴EF∥AD∥BC

∴EF ∥AD
分享你的证明： 大声说出来
知识结构
平行四边形的判定:
两组对边 一组对边 两组对边 分别平行 平行且相等 分别相等
平行四边形
对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 平行四边形的性质
当堂检测： 夯实基础，稳扎稳打
A
D
一、填空（齐声朗读）
1、∵AB ∥ CD
＿A＿D ∥ ＿BC＿
∴四边形ABCD是平行四边形 B
前面所画的弧分别交于点A和点C;
4.顺次连结各点，即得两组对边分别相等的四边形ABCD.
猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
证明： 连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)
AC=CA (公共边)
解：AB与A'B'平行 理由如下： 连接AA'、BB' ∵AA' BB', ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）
∴AB∥A'B'（平行四边形对边平行）
平行
相等
一个图形沿某个方向移动，在移动过程中，原图形上所有的点都沿 同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移
∴AB∥CD(平行四边形的定义)
思路1：三线八角
思路2：平行四边形
分享你的证明： 大声说出来
4.已知：如图，E,F分别是 ABCD的边AD,BC的中点。
求证：BE=DF. 分享你的证明： 大声说出来 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD ∥BC (平行四边形的定义) AD=BC(平行四边形的对边分别相等)，