高中数学第三章概率3.2古典概型学案2无答案苏教版必修(1)

古典概型（2）【学习目标】1.进一步掌握古典概型的计算公式.2.能运用古典概型的知识解决一些实际问题.【问题情境】基本事件与等可能基本事件：【合作探究】古典概型：（1）（有限性）（2）（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概型.古典概型的概率计算公式为：.求古典概型的步骤：【展示点拨】例1．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的可能结果?（2）点数之和是3的倍数的可能结果有多少种?（3）点数之和是3的倍数的概率是多少?变式训练:(1) 点数之和是5的倍数的概率是多少？(2) 点数之和不小于9的概率是多少？例2. 用3种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：（1）3个矩形颜色都相同的概率；（2）3个矩形颜色都不同的概率．例3. 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，……，9十个数字中的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他在自动提款机上随机试一次密码就能取到钱的概率试多少?变式训练：假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，……，9十个数字中的任意一个。

某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少?例4．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽取2听，检测出不合格产品的概率有多大?思考：不放回抽样与放回抽样有何区别?【学以致用】1．从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中任取2 件，求取出的两件中恰好有一件次品的概率．2．从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数，求两数都是偶数的概率．3．一次发行10000张社会福利奖券，其中有1张特等奖，2张一等奖，10张二等奖，100张三等奖，其余的不得奖，求购买1张奖券能中奖的概率．4．从字母a，b，c，d、e五个字母中随机取出3个字母．（1）取到a字母的概率；（2）取到a和b的概率；（3）取到a或b的概率．5．口袋中装有5个红球，3个黄球，不放回随机的从袋中摸两次球．（1）两个都是红球的概率；（2）两个都是黄球的概率；（3）一红一黄的概率．古典概型（2）【基础训练】1．据调查，10000名驾驶员在开车时约有9000人系安全带．如果从中随意抽查一名驾驶员有无系安全带的情况，系安全带的概率是．2．在20瓶饮料中，有两瓶已过了保质期，从中任取1瓶，恰为过期饮料的概率是．3．掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是．4．先后投掷一颗骰子两次, 掷出的点数之和大于9的概率是．5．任选一个两位数，恰好是10的倍数的概率是．6．一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1，2,3,4四个数字，抛掷这颗骰子一次，看到的三个面上数字之和大于6的概率是．【思考应用】7．一副去掉大、小王的扑克牌，从中任意抽取一张．(1)抽到方块牌的概率是多少?(2)抽到黑色牌的概率是多少?(3)抽到6的概率是多少?8．某市的电话号码由原来的7位数上升到8位数,如果从8位电话号码(8位数字电话号码中没有以0,1,9开头的电话号码)中随机选出一个电话号码，求：(1)前两位数都是8的概率；(2)前两位数都不超过8的概率．9．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲在心中任想一个数字记为a ，再由乙在心中任想一个数字记为b ，且,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，若||1a b -≤，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，求他们“心有灵犀”的概率．10．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型?(2)若以球的颜色为基本事件，有多少个基本事件?以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型?【拓展提升】11．将一颗骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为,b c ，求方程20x bx c ++=有实数根的概率．12．连续抛掷同一颗骰子3次，求3次掷得的点数之和为16的概率．。

3．2 古典概型庖丁巧解牛知识·巧学一、基本事件的概念和概率在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个，那么每一个等可能基本事件的概率为 1 n.一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，任何两个基本事件是互斥的（不 可能同时发生的），如掷骰子试验中，一次试验只能出现一个点数，任何两个点数不可能在一 次试验中同时发生.且任何随机事件都可以表示成基本事件的和(至少有一个发生)，在掷骰子 试验中，随机事件“出现偶数点”由基本事件出现“2点”“4点”“6点”共同组成.误区警示 在计算基本事件的概率时要明确基本事件与基本事件的总数之间的关系，如掷 1骰子的试验中，P(“1点”)=P(“2点”)=…=P(“6点”)= .而如果将事件看成是偶数点或61奇数点，则事件的总数就不再是 6而是 2，P(偶数点)=P(奇数点)= .2二、古典概型的特点我们将满足下述条件的随机试验的概率模型称为古典概型. （1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的；一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等 可能性.误区警示 并不是所有的试验都符合古典概型.例如，在适宜的条件下“种下一粒种子观察 它是否发芽”，这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽.而“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如，从规格直径为 300 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任 意抽一根，测量其直径 d ，测量值可能是从 299.4 mm 到 300.6 mm 之间的任何一个值，所有可 能的结果有无限多个，这两个试验都不属于古典概型.只具有有限性的不是古典概型，只具有 等可能性的也不是古典概型，生活中还有许多这样的例子. 三、古典概型的概率公式如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个，某个事件 A 包含了其中为 m 个等可能基本事件， 那么事件 A 发生的概率为m n,即在古典概型中，P(A)= A 包含的基本事件个数 总的基本事件个数.这个公式只适应于计算古典概率，而古典概型中的“等可能性”的判断是很重要的，如先后抛掷两枚硬币，求“一枚出现正面，另一枚出现反面”的概率.因为先后抛掷两枚质地均匀 的硬币，可出现“正，正”“正，反”“反，正”“反，反”这 4种等可能的结果，而“一枚 出现正面，另一枚出现反面”这一事件包括“正，反”“反，正”两种结果，因此“一枚出现正面，另一枚出现反面”的概率是 P= m n2 4 = 1 2，但答本题时，有时错误地认为先后抛掷 2枚质地均匀的硬币，只会出现“2个正面”、“2个反面”、“1正 1反”这 3种情况，从而得到 P= 1 3的结论，实际上上述 3种情况不是等可能的.深化升华 在一次试验中，等可能出现的 n 个结果组成一个集合 I ，这 n 个结果就是集合 I1的n个元素，各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数〔记作：card(A)〕与集合I元素个数〔记作：card(I)〕的比值即P（A）=c ard( )Acard(I) m n.方法归纳用这个式子计算概率时，关键是求出m、n，其中n为一次试验中等可能出现的结果数，m为某个事件所包含的结果数.求n时应注意这n种结果必须是等可能的，且要注意这m个结果一定是这n个结果的一部分.四、求等可能性事件的概率的步骤首先反复阅读题目，收集整理题目中各种信息；其次判断本试验是否是等可能的，利用列举法等知识计算本试验的基本事件有多少个；然后指出事件A是什么，它包含多少个基本事件；最后利用古典概型的计算公式计算事件A的概率.典题·热题知识点古典概型的概率计算例1两个完全相同的均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.两个玩具的数字之和共有多少种不同的结果？其中数字之和为12的有多少种情况？数字之和为6的共有多少种情况？分别计算这两种情况的概率.思路分析：掷骰子有36个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型.可利用图表法求解基本事件总数和事件A包含的基本事件数.解：两个玩具同时掷的结果可能出现的情况如下表：第一枚数字和1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12第二枚 1 2 3 4 5 6其中共有36种不同情况，但数字之和却只有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种不同结果，从中可以看出，出现2的只有1种情况，而出现12的也只有1种情况，它们的概率均为因为只有甲、乙均为1或均为6时才有结果. 1 36，出现数字之和为6的共有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)5种情况，所以其概率为5 36.误区警示数字之和实际上只有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种不同结果，但它们出现的可能性却不相等，会出现“两端小，中间大”的情况，所以并不能简单地认为n=11，直接利用古典概型的计算公式.例2 在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x,然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y,试求x+y是10的倍数概率.思路分析：可用逐一列举的方法求古典概型基本事件个数.解：先后两次抽取卡片时，每次都有10种结果，故有序实数对（x，y）共有10×10=100个. x+y是10的倍数，它包含下列数对：2(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,10)共10个.101 . 故x+y是10的倍数概率P（A）=100 10误区警示利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏.问题·探究思想方法探究问题运用古典概型来求解概率问题，可以构建不同的古典概型吗？探究过程：可以从不同的角度来构建古典概型，求解古典概型概率问题，关键是把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)，一般说来，在建概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，我们只要求：每次试验有一个且只有一个基本事件出现，例如：掷一粒均匀的骰子时，根据问题的需要，可以认为有6个结果(向上的点数是1，向上的点数是2，…，向上的点数是6)，也可以认为只有2个结果(向上的点数是奇数，向上的点数是偶数)，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型.探究结论：从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型，而所得到的古典概型的所有可能结果数越少，问题的解决就变得越简单.3。

高二年级数学学科学案古典概型（1）学习目标1.了解基本事件的特点。

2.了解古典概型的定义。

3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题。

一复习旧知：1概率必须满足的两个基本条件是什么发生的概率二．课堂导航（一）认识事件的特征材料一：有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌,将其牌点向下置于于桌上,现从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率有多大问题1：试验的基本事件是什么？问题2：抽到红心“为事件B，那么事件B发生是什么意思？问题3：这5种情况是等可能的吗？问题4：抽到红心的概率是多大？材料二：投掷一个骰子，观察它落地时向上的点数，则出现的点数是3的倍数的概率是多大？问题1：试验的基本事件是什么？问题2：“出现的点数是3的倍数”为事件A，则事件A的发生是什么意思？问题3：这几种情况的发生是等可能的吗？问题4：点数为3的倍数的概率为多大？问题5：以上两段材料的基本事件有什么共同特征？（1）（2）（二）认识古典概型的计算公式（三）理解古典概型及其计算公式例1:一只口袋内装有大小相同的五只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球。

1 共有多少个基本事件2 摸出两只球都是白球的概率是多少问题1：共有哪些基本事件？问题2：是古典概型吗？为什么？问题3“抽出两只求都是白球”为事件A，事件A的发生是什么意思？问题4：事件A的概率是多大？问题5：你能否总结一下运用古典概型解决实际问题的步骤？例2: 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因d,则杂交所得第一代的一对基因为Dd。

若第二子代的D, d基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率。

请你按照上题的解题思路解决本题。

思考:你能求出上述第二代的种子经自花传粉得到的第三子代为高茎的概率吗例3：将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,问:1 共有多少种不同的结果2 两数之和是3的倍数的结果有多少种3 两数之和是3的倍数的概率是多少（四）巩固练习:1 某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷。

古典概型
一、自学准备与知识导学
1．有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？
若进行大量重复试验，用“出现红心”这一事件的频率估计概率，工作量较大且不够准确，有更好的解决方法吗？
2．基本事件和等可能基本事件：
3．古典概型与古典概型的概率计算公式：
二、学习交流与问题探讨
例1 A、B、C共3人排成一排．
（1）写出所有的基本事件；（2）求A不排在中间这个事件的概率．
例2 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，
从中一次摸出两只球．
（1）共有多少基本事件？
（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？
例3 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的D、d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显现矮茎）．
三、练习检测与拓展延伸
1．抛掷两枚硬币，试回答下列问题：
（1）事件“一正面，一反面”是基本事件吗？
（2）事件A ：“两正”，事件B ：“一正一反”它们是等可能事件吗？
2．某班准备到郊外野营，为此向商店订购了帐篷．如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，那么下列说法中，正确的是（ ）
A ．一定不会淋雨
B ．淋雨机会是
43 C ．淋雨机会是
21 D ．淋雨机会是41
四、小结与提高。

3.2 古典概型（一） 学习目标 1.理解基本事件的概念并会罗列某一事件包含的所有基本事件；2.理解古典概型的概念及特点；3.会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．知识点一 基本事件思考 一枚硬币抛一次，可能出现的基本结果都有哪些？它们发生的可能性相同吗？梳理 (1)在1次试验中可能出现的____________________称为基本事件．(2)若在1次试验中，每个基本事件发生的________________，则称这些基本事件为等可能基本事件．知识点二 古典概型思考 一枚矿泉水瓶盖抛一次，出现正面向上与反面向上的概率相同吗？梳理 古典概型的定义：如果某概率模型具有以下两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件______________；(2)每个基本事件的发生都是__________的；那么我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概型．一般地，对于任何事件A ，P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. 如果1次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n.如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为__________．类型一 基本事件的罗列方法例1 从字母a 、b 、c 、d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 事件“取到字母a ”是哪些基本事件的和？反思与感悟 罗列基本事件时首先要考虑元素间排列有无顺序，其次罗列时不能毫无规律，而要按照某种规律罗列，比如树状图．跟踪训练1 做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于7”．类型二古典概型的判定例2 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？反思与感悟判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．跟踪训练2 下列说法不是古典概型的是________．①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的概率；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④6个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．类型三古典概型概率的计算例3 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？反思与感悟解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．跟踪训练3 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．1．某高二年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只能选报其中的2个，则基本事件共有______个．2．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为________．3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是____________．4．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是________．5．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求：(1)甲被选中的概率；(2)丙丁被选中的概率．1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，试验中的事件A可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的．2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P(A)＝事件A所包含的等可能基本事件的个数÷等可能基本事件的总数，只对古典概型适用．3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是枚举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．答案精析问题导学知识点一思考 正面向上，反面向上，它们发生的可能性相同．梳理 (1)每一个基本结果 (2)可能性都相同知识点二思考 因为瓶盖重心的原因，正面向上和反面向上的可能性是不一样的．由此可以看出基本事件不一定等可能．梳理 (1)只有有限个 (2)等可能 P (A )＝m n题型探究例1 解 所求的基本事件有6个， A ＝{a ，b }，B ＝{a ，c }，C ＝{a ，d }， D ＝{b ，c }，E ＝{b ，d }，F ＝{c ，d };“取到字母a ”是基本事件A 、B 、C 的和，即A ＋B ＋C .跟踪训练1 解 (1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)．例2 解 不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.跟踪训练2 ③解析 ①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性．而③不适合等可能性，故不是古典概型．例3 解 由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A ，B ，C ，D 哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A ，由于正确答案是唯一的，所以事件A 只包含一个基本事件，所以P (A )＝14. 跟踪训练3 解 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)和(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A 表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A ＝[(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)]，事件A 由4个基本事件组成，因而P (A )＝46＝23. 当堂训练1．3解析 基本事件有：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个． 2.38解析 所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为38. 3.13解析 基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为P ＝26＝13. 4.13解析 用1，2，3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123，132，213，231，312，321，其中能被2整除的有132，312这2个数，故能被2整除的概率为13. 5．解 (1)记甲被选中为事件A ，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6个，事件A 包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁，共3个，则P (A )＝36＝12. (2)记丙丁被选中为事件B ，由(1)知，基本事件共6个，又因丙丁被选中只有1种情况，所以P (B )＝16.。

甲、乙两人玩掷骰子游戏，他们约定：两颗骰子掷出去，如果朝上的两个数的和是5，那么甲获胜，如果朝上的两个数的和是7，那么乙获胜．问题1：若甲获胜，那么两颗骰子出现的点数有几种？ 提示：会出现(1，4)，(4，1)(2，3)，(3，2)四种可能． 问题2：若乙获胜，两颗骰子出现的点数又如何？提示：会出现(1，6)，(6，1)，(2，5，)，(5，2)，(3，4)，(4，3)六种可能． 问题3：这样的游戏公平吗？提示：由问题1、2知甲获胜的机会比乙获胜的机会少，不公平． 问题4：能否求出甲、乙两人获胜的概率？ 提示：可以．1．基本事件与等可能事件(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2．古典概型 (1)古典概型的特点：①有限性：所有的基本事件只有有限个； ②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．(2)古典概型的定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型． (3)古典概型概率的计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A ) ＝m n．即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型，例如在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件有两个：“发芽”、“不发芽”，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，故此试验不符合古典概型的等可能性．2．古典概型的概率公式P (A )＝m n 与事件A 发生的频率m n 有本质的区别，其中P (A )＝m n是一个定值，且对同一试验的同一事件m 、n 均为定值，而频率中的m 、n 均随试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加频率总接近于P (A )．[例1] 将一颗骰子先后抛掷两次，求： (1)一共有几个基本事件？(2)“出现点数之和大于8”包含几个基本事件？[思路点拨] 求基本事件的个数可用列举法、列表法、树形图法． [精解详析] 法一：(列举法)：(1)用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数，则试验的所有结果为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共36个基本事件．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二：(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．(1)由图知，基本事件总数为36.(2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．法三：(树形图法)：一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图直接表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用对勾标出)．[一点通]基本事件个数的计算方法有：(1)列举法：列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所含的基本事件．注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．(2)列表法：对于试验结果不是太多的情况，可以采用列表法．通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地找出基本事件个数．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法．(3)树形图法：树形图法是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的求解．1．本例中条件变为“一枚硬币连续掷三次”，会有多少种不同结果？ 解：画树形图共8种．2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球． (1)共有多少种不同的结果(基本事件)? (2)摸出2个黑球有多少种不同结果？解：(1)共有6种不同结果，分别为{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，{白，黑1}，{白，黑2}，{白，黑3}．(2)从上面所有结果中可看出摸出2个黑球的结果有3种.[例2] (12分)同时投掷两个骰子，计算下列事件的概率：(1)事件A ：两个骰子点数相同；(2)事件B ：两个骰子点数之和为8；(3)事件C ：两个骰子点数之和为奇数．[思路点拨] 先判断这个试验是否为古典概型，然后用列举法求出所有基本事件总数及所求事件包含的基本事件的个数，最后用公式P (A )＝m n求结果．[精解详析] (1)将两个骰子标上记号A ，B ，将A ，B 骰子的点数记为(x ，y )，则共有36种等可能的结果．如下(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．⇨(3分)出现点数相同的结果有(1，1)(2，2)(3，3)(4，4)(5，5)(6，6)共6种． ∴P (A )＝636＝16.⇨(6分)(2)出现点数之和为8的结果有(2，6)(3，5)(4，4)(5，3)(6，2)共5种， ∴P (B )＝536.⇨(9分)(3)出现点数之和为奇数包括“x 是奇数、y 是偶数”和“x 是偶数、y 是奇数”，共有18种， ∴P (C )＝1836＝12.⇨(12分)[一点通]求古典概型概率的步骤：(1)用列举法求出基本事件总个数n .(2)用列举法求出事件A 包含的基本事件的个数m .(3)利用公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数＝mn求出事件A 的概率．3．先后从分别标有数字1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率为________．解析：基本事件共有4×4＝16(个)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共10种，所以所求概率为1016＝58.★答案★：584．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问： (1)两数之积是奇数的概率是多少？ (2)两数之积是3的倍数的概率是多少？解：每次抛出的点数都可能有1，2，3，4，5，6这6种结果，两次点数之积的不同结果如下表所示共有36种.1 2 3 4 5 6112345 6 224681012 3369121518 44812162024 551015202530 661218243036(1)设事件A表示“两数之积是奇数”，则事件A包含的不同结果的个数为9，所以P(A)＝936＝14.(2)设事件B表示“两数之积是3的倍数”，则事件B包含的不同结果的个数为20，所以P(B)＝2036＝59.1．解决古典概型问题的关键是：分清基本事件总数n与事件A所包含基本事件的个数m，注意问题：(1)试验基本结果是否有等可能性．(2)本试验的基本事件有多少个．(3)事件A包含哪些基本事件．只有弄清这三个方面的问题解题才不致于出错．2．求基本事件的个数有列举法、列表法和树形图法，一是注意按一定顺序，防止重复和遗漏；二是可先数一部分，找出规律，推测全部．课下能力提升(十六)一、填空题1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．解析：本题中基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三个，其中甲被选中包含两个基本事件，故甲被选中的概率为23.★答案★：232．在平面直角坐标系内，从横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2}内取值的点中任取一个，此点正好在直线y ＝x 上的概率为________．解析：由x ，y ∈{0，1，2}，这样的点共有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)9个，其中满足在直线y ＝x 上的点(x ，y )有(0，0)，(1，1)，(2，2)3个，所以所求概率为P ＝39＝13.★答案★：133．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是________．解析：随机选取的a ，b 组成实数对(a ，b )，有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15种．其中b >a 的有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，所以b >a 的概率为315＝15.★答案★：154．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)．其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求概率为34.★答案★：345．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．解析：从3只白球、1只黑球中随机摸出两只小球，基本事件有(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，(白1，黑)，(白2，黑)，(白3，黑)，其中颜色不同的有三种，故所求概率为P ＝12.★答案★：12二、解答题6．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，求两种品牌都齐全的概率．解：3台甲型电脑为1，2，3，2台乙型电脑为A ，B ，则所有基本事件为：(1，2)，(1，3)，(1，A )，(1，B )，(2，3)，(2，A )，(2，B )，(3，A )，(3，B )，(A ，B )，共10个. 记事件C 为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的事件为6个，所以P (C )＝610＝35.7．设集合P ＝{b ，1}，Q ＝{c ，1，2}，P ⊆Q ，若b ，c ∈{2，3，4，5，6，7，8，9}． (1)求b ＝c 的概率；(2)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解：(1)因为P ⊆Q ，当b ＝2时，c ＝3，4，5，6，7，8，9；当b ＞2时，b ＝c ＝3，4，5，6，7，8，9，基本事件总数为14.其中b ＝c 的事件数为7种，所以b ＝c 的概率为：714＝12.(2)记“方程有实根”为事件A ，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ＝c ＝4，5，6，7，8，9共6种. 所以P (A )＝614＝37.8．对某项工程进行竞标，现共有6家企业参与竞标，其中A 企业来自辽宁省，B ，C 两家企业来自江苏省，D ，E ，F 三家企业来自山东省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的概率是多少？解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的选法有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．所以，“在中标的企业中，至少有一家来自江苏省”的概率为915＝35.。

江苏省响水中学高中数学第3章?概率?古典概型 (2 )导学案苏教版
必修3
【学习目标】
1、进一步掌握古典概型的计算公式；
2、能运用古典概型的知识解决一些实际问题 .
【重点、难点】
重点：对各种古典概型的结算
难点：根本领件数的计数
【课前预习】
1．根本领件的特点
(1)任何两个根本领件是．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 ,简称古典概型．
(1)所有的根本领件
(2)每个根本领件的发生都是
探究二
用不同的颜色给下列图中的3个矩形随机的涂色 ,每个矩形只涂一种颜色 ,求
(1) 3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
探究三
有A,B,C,D四位贵宾 ,应分别坐在a,b,c,d四个席位上 ,现在这四人均未留意 ,在四个席位上随便就坐
(1 )求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率
(2 )求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率
(3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率。

3.2 古典概型（2）教学目标：1．进一步理解古典概型的两大特点：有限性、等可能性；2．了解实际问题中基本事件的含义；3．能运用古典概型的知识解决一些实际问题．教学重点：能用古典概型计算比较复杂的背景问题．教学难点：能用古典概型计算比较复杂的背景问题．教学方法：问题教学；合作学习；讲解法；多媒体辅助教学．教学过程：一、问题情境如何判断一个试验是否为古典概型？古典概型的解题步骤是什么？二、学生活动一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性；古典概型的解题步骤是：（1）判断概率模型是否为古典概型；（2）找出随机事件A中包含的基本事件的个数m和试验中基本事件的总数n；（3）计算P(A)．三、数学运用1．例题．例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投郑这两颗正四面体玩具的试验，试写出：（1）试验的基本事件的总数；（2）事件“出现点数之和大于3”的概率；（3）事件出现点数相同的概率．探究：（1）该实验为古典概型吗？（2）怎样才能把实验的所有可能结果的个数准确写出？学生活动：（1）要满足古典概型的条件：有有限个基本事件，基本事件发生的可能性相同；（2）学生们用枚举法、图表法写出实验的所有基本事件．建构数学：介绍树形图探究：（1）点数之和为质数的概率为多少？（2）点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？例2用3种不同颜色给图3-2-3中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求（1）三个矩形颜色都相同的概率；（2）三个矩形颜色都不同的概率．图3-2-3问题：本题中基本事件的含义是什么？如何快速、准确的确定实验的基本事件的个数?口袋中有形状、大小都相同的两只白球和一只黑球，先摸出一只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出一只球，求“出现一只白球、一只黑球”的概率是多少？学生活动：记白球为1，2号，黑球为3号，画出树形图，分析该实验有27 个基本事件．变式：一次摸一只球，摸两次，求“出现一只白球、一只黑球”的概率是多少？问题：例3与例3的变式有何区别？学生活动：例3中先摸出一只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出一只球，属于有序可重复类型，而变式中一次摸一只球，再摸一只球，属于有序不重复类型的问题．2．练习．（1）已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率是________．（2）已知集合{0,1,2,3,4}A=，,a Ab A∈∈；①求21y ax bx=++为一次函数的概率；②求21y ax bx=++为二次函数的概率．（3）从标有1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张纸片中任取2张，那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为_________．（4）口袋中有形状、大小都相同的一只白球和一只黑球，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果．四、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．进一步理解古典概型的概念和特点；2．进一步掌握古典概型的计算公式；3．能运用古典概型的知识解决一些实际问题．。

3.2 古典概型1．理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能的基本事件．(重点、难点)2．理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法．(重点)[基础·初探]教材整理1 基本事件与等可能事件阅读教材P100前四段的内容，并完成下面的问题．1．基本事件在1次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．2．等可能事件若在1次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．填空：(1)在a，b，c，d四个数中选取2个字母，其中基本事件的个数为________．【解析】从a，b，c，d中选取两个字母，基本事件有：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种．【答案】 6(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”________基本事件．(填“是”或“不是”)【解析】抛掷两枚硬币的基本事件有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”，共4种，其中“至少一枚正面向上”包括“正正”、“正反”、“反正”三种情况，故不是基本事件．【答案】不是教材整理2 古典概型阅读教材P100第五段至“例1”上边的内容，并完成下面的问题．1．古典概型的概念(1)特点：①有限性：所有的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的． (2)定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型． 2．古典概型概率的计算公式如果1次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n.即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.填空：(1)从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字中含有3为事件A ，则P (A )＝________. 【解析】 从1,2,3中任取两个数字，共有1和2,1和3,2和3,3种基本事件，其中包含3的有1和3,2和3两种，所以P (A )＝23.【答案】 23(2)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 【解析】 甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为46＝23.【答案】 23[小组合作型]2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，(1)两个都是黑球的基本事件共有多少种； (2)求两球颜色为一红一白的基本事件共有多少种； (3)求一白一黑的基本事件共有多少种.【精彩点拨】 用列举法(或列表法)把每一种情况都列举出来．【自主解答】 法一：列举法．记红球为A,2个白球为B 1，B 2,3个黑球为C 1，C 2，C 3，则从中任取2个球，基本事件共有(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共计15种，(1)两个都是黑球的有如下3种(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)．(2)两球颜色为一红一白的有如下2种(A，B1)，(A，B2)．(3)两球颜色为一白一黑的有如下6种：(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)．法二：列表法．记红球为A,2个白球为B1，B2,3个黑球为C1，C2，C3，则从中任取2球的所有情况如下：(注意取的2球与顺序无关).121323(2)两球颜色一红一白的基本事件有2个，即(A，B1)，(A，B2)．(3)两球一黑一白的基本事件有6个，即(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)．求基本事件个数的常用方法．(1)列举法此法适用于情境比较简单，基本事件个数不是很多的概率问题，计算时只需将随机事件所含的基本事件一一列出即可．注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．(2)列表法此法适用于试验结果不是太多的情况，求解时通常把基本事件问题转化为“实数对”的问题，以便更直接地找出基本事件个数．列表法的优点是准确、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法．(3)树形图法：树形图法是进行列举的一种常用方法，适用于较复杂问题中基本事件数的求解．[再练一题]1．将一枚硬币连续掷三次，试写出所有的基本事件．【解】法一：列举法．(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8种情况．法二：画树形图．共8种情况.①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．【精彩点拨】根据古典概型的两个特点进行判断．【自主解答】(2)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x ，第二次朝下面的数字为y .用(x ，y )表示一个基本事件．①请写出所有的基本事件；②求满足条件“x y为整数”的事件的概率； ③求满足条件“x －y ＜2”的事件的概率．【精彩点拨】 先列举出所有基本事件，判断事件包含的基本事件个数，然后利用公式求解．【自主解答】 ①先后抛掷两次正四面体的所有基本事件为： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， 共16个基本事件．②用A 表示满足条件“x y为整数”的事件，则A 包含的基本事件有：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共8个基本事件． 所以P (A )＝816＝12.故满足条件“x y 为整数”的事件的概率为12.③用B 表示满足条件“x －y ＜2”的事件， 则B 包含的基本事件有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)， (4,4)．共13个基本事件． 则P (B )＝1316，故满足条件“x －y <2”的事件的概率为1316.1．判断一个概率类型是否为古典概型的关键是看试验的结果是否满足有限性和等可能性．2．求古典概型概率的步骤： (1)求出基本事件总数n .(2)求出事件A 包含的基本事件的个数m . (3)利用公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数＝mn求出事件A 的概率．[再练一题]2．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪子、布)，则平局的概率是________；甲赢的概率是________；乙赢的概率是________．【解析】 设平局为事件A ，甲赢为事件B ，乙赢为事件C . 列出如下表格由上图容易得到，基本事件总数为9. (1)平局含3个基本事件(图中的△)； (2)甲赢含3个基本事件(图中的)；(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)； 用古典概率的计算公式，可得P (A )＝39＝13；P (B )＝39＝13；P (C )＝39＝13.【答案】 13 13 13[探究共研型](1)从中任取1球，每次取出后不放回，连续取2次，基本事件共有多少个？ (2)从中任取1球，每次取后放回，连续取2次，基本事件共有多少个？【提示】 (1)不放回抽取中，基本事件共有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共6个．(2)有放回的抽取，基本事件共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9个．探究2 “有放回”与“无放回”的区别是什么？探究1中的两种试验是否是古典概型？【提示】 “有放回”与“无放回”取法的区别在于基本事件总数不同．“有放回”地取元素时，被取元素个数不变；“无放回”地取元素时，被取元素的个数取一次少一次．但两种取法都满足古典概型的两个特点，故都是古典概型．从含有两件正品a 1，a 2和两件次品b 1，b 2的4件产品中每次任取1件，连续取2次．(1)若取后不放回，求取出的2件产品中恰有一件次品的概率； (2)若取后放回，求取出的2件产品中恰有一件次品的概率．【精彩点拨】 列出所有基本事件→设出事件A →确定A 包含的基本事件→求概率 【自主解答】 (1)取后不放回地取两次，所有基本事件为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)共有12个．设“取出的2件产品中恰有一件次品”为事件A ，则A 包含的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，共8个．故P (A )＝812＝23，即取出的2件产品中恰有一件次品的概率是23.(2)取后放回地取两次，所有基本事件为：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)共16个．设“取出的2件产品中恰有一件次品”为事件B ，则B 包含的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，共8个．故P (B )＝816＝12，即取出的2件产品中恰有一件次品的概率为12.1．在古典概型的条件下，用列举法把试验的所有结果一一列举出来，然后求出其中的事件A 包含的基本事件的个数和基本事件总数，再利用古典概型概率公式求概率，这是一个形象、简单的好方法．2．在列举试验的所有结果时，一定要区分试验的具体情况，并按某一顺序把所有试验结果列举出来，同时要做到不重不漏．[再练一题]3．先后从分别标有数字1,2,3,4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率为________.【解析】 基本事件共有4×4＝16(个)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共10种，所以所求概率为1016＝58.【答案】 581．从1,2,3,4中任意取两个不同的数字组成两位数，则基本事件共有________个． 【解析】 基本事件为12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共12个． 【答案】 122．随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人1天，则甲安排在乙之前的概率为________．【解析】 甲乙丙3人在3天值班的所有情况有：(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)共6种，其中甲安排在乙之前有3种，故所求概率为36＝12.【答案】 123．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母的顺序相邻的概率为________．【解析】 从A ，B ，C ，D ，E 中任取2张共有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 10种情况，而字母的顺序相邻的情况有AB ，BC ，CD ，DE 4种情况．∴P ＝410＝25.【答案】 254．口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，则第二个人摸到白球的概率为________．【解析】 法一：用A 表示事件“第二个人摸到白球”．记2个白球编号分别为1,2；2个黑球编号分别为3,4.于是4个人按顺序依次摸球，从袋中摸出一球的所有可能结果用树状图直观地表示出来(如图所示)．从树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.在这24种结果中，第二个人摸到白球的结果有12种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝1224＝12.法二：只考虑球的颜色，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图表示如图所示．由树状图可知试验的所有可能结果数为6.在这6种结果中，第二个人摸到白球的结果有3种，因此“第二个人摸到白球”的概率为36＝12.【答案】 125．现从A 、B 、C 、D 、E 五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会相等．求： (1)A 被选中的概率； (2)A 和B 同时被选中的概率．【解】 从A 、B 、C 、D 、E 五人中任选三人参加会议共有以下10种方式：(A 、B 、C )、(A 、B 、D )、(A 、B 、E )、(A 、C 、D )、(A 、C 、E )、(A 、D 、E )、(B 、C 、D )、(B 、C 、E )、(B 、D 、E )、(C 、D 、E )，且每种结果出现是等可能的．(1)事件“A 被选中”只有6种方式．故所求事件的概率P ＝610＝35＝0.6.(2)A 、B 同时被选中共有3种方式，故所求事件的概率为310＝0.3.。

3.2古典概型互动课堂疏导引导1.基本事件基本事件是指在一次试验中可能出现的每一个基本结果.若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性相同,则称这些基本事件为等可能基本事件.例如：在掷硬币试验中,必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在掷骰子试验中,随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”“4点”和“6点”共同组成.案例1 从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.（1）写出这个试验的基本所有事件；（2）下列随机事件由哪些基本事件构成：事件A：取出的两件产品都是正品；事件B：取出的两件产品恰有1件次品.【探究】(1)基本事件（a1,a2）,(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)共有6个基本事件.（2）事件A包含2个基本事件（a1,a2）,(a2,a1).事件B包含4个基本事件（a1,b1）,(b1,a1),(a2,b1)(b1,a2).规律总结(1)在求基本事件时,一定要注意结果的机会是均等的,这样不会漏写.其次要按规律去写.（2）在这个试验中（a1,a2）和（a2,a1）,(a1,b1)和（b1,a1）,(a2,b1)和（b1,a2）是不同的基本事件,在取第1件产品时,a1,a2,b1被取到的机会一样,假设第一次取出a1,那么第2次取时,a2,b1的机会也是一样的.2.古典概型的定义古典概型是指具有以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的.疑难疏引（1）一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.②并不是所有的试验都是古典概型,例如在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”,这个试验的基本事件为“发芽”,“不发芽”,而种子“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般不是均等的,这个试验就不属于古典概型.(2)古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.3.古典概型概率的计算1如果一次试验的等可能基本事件共有n个,则每一个等可能事件发生的概率为.若某个nm事件A包含了其中m个等可能事件,则事件A发生的概率为P（A）= =nA中所含的基本事件数.基本事件总数疑难疏引（1）古典概型概率的取值范围在古典概型中,若基本事件的总数为n,某个事件A包含了其中m个基本等可能事件,则必1有 0≤m≤n,所以事件 A 发生的概率的取值范围是 0≤P(A)≤1.其中,当 m=0时,事件 A 是不可能 事件,它发生的概率为 0,当 m=n 时,事件 A 是必然事件,它发生的概率是 1,当 0＜m ＜n 时,事件 A 是随机事件,此时它发生的概率的取值范围是 0＜P(A)＜1.（2）解决古典概型的问题的关键是分清基本事件个数 n 与事件 A 中所包含的结果数,因此要注 意以下三个方面：①本试验是否具有等可能性；②本试验的基本事件有多少个；③事件 A 是什 么.只有清楚了这三个方面的问题,解题才不至于出错. （3）求古典概率应按下面四个步骤进行：第一,仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深理解题意. 第二,判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A.第三,分别求出基本事件的个数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m.第四,利用公式 P （A ）= m n求出事件 A 的概率.可见在运用公式计算时,关键在于求出 m 、n.在求 n 时,应注意这 n 种结果必须是等可能的, 在这一点上比较容易出错.例如,先后抛掷两枚均匀的硬币,共出现“正,正”“正,反”“反, 正”“反,反”这四种等可能的结果.如果认为只有“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果,那么显然这三种结果不是等可能的.在乘 m 时,可利用列举法或者结合图形采取了列 举的方法,数出事件 A 发生的结果数. （4）用集合的观点去审视概率在一次试验中,等可能出现的 n （例如 n=5）个结果可组成一个集合 I,这 n 个结果就是集 合 I 的 n 个元素.各个基本事件都对应于集合 I 的含有 1个元素的子集,包含 m （例如 m=3）个 结果的事件 A 对应于 I 的含有 m 个元素的子集 A.从集合的角度看,事件 A 的概率是 I 的子集 A 的元素个数 card （A ）与集合 I 的元素个数card(I)的比值,即 P （A ）=card (A )c ard (I )m n (例如 3 5).案例 2 抛掷两颗骰子,求（1）点数之和是 4的倍数的概率； （2）点数之和大于 5小于 10的概率.【探究】抛掷两颗骰子,基本事件总数为 36.但所求事件的基本事件个数不易把握,很容易出现 遗漏或重复,故可借助直观图形,以便更准确地把握基本事件个数.作图,从下图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共 36种.(1)记“点数之和是 4的倍数”的事件为 A,从图中可以看出,事件 A 包含的基本事件共有 9个： （1,3）,（2,2）,（3,1）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,（6,6）.所以,P （A ） = 1 4.（2）记“点数之和大于 5小于 10”为事件 B,从图中可以看出,事件 B 包含的基本事件共有 20 个,即（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,2（6,1）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,（3,6）,（4,5）,（5,4）,（6,3）.所以P（B）= 20 5. 369规律总结（1）计算这种概率一般要遵循这样的步骤：①算出基本事件的总个数n；②算出事件A中包含的基本事件的个数m；③算出事件A的概率,即P （A）=等可能的. mn.应注意这种结果必须是（2）在求概率时,常常可以把全体基本事件用直角坐标系中的点表示,以便准确地找出某事件所含的基本事件个数.案例3 一个口袋内有大小相等的一个白球和已编有不同号码的3个黑球.(1)若从中摸出一球后放回,再摸一球,求两次摸出的球都是黑球的概率.(2)若从中一次摸出2球,求2球都是黑球的概率.【探究】(1)第一次摸球有4种不同的结果,每一种结果是等可能的,第二次摸球也有4种不同的结果,每一种结果也是等可能的,所以共有4×4=16种不同的结果.这16种结果是等可能的,所以一次试验是古典概型,它的基本事件总数为16.第一次摸出黑球有3种不同的结果,第二次摸出黑球也有3种不同的结果,故摸出的球都是9黑球的基本事件数为3×3=9,设A=“有放回摸2球的黑球”,则P（A）=（2）一次摸出2球,可以看作不放回抽样2次.16.第一次抽取有4种不同的结果,第二次抽取有3种不同的结果,且它们都是等可能的,所以一次试验共有4×3=12种不同的结果,并且是等可能的,是古典概型.共有12个基本事件.第一次摸出黑球有3种结果,第二次摸出黑球有2种不同的结果,故摸出的2球,都是黑球的基本事件数为3×2=6.61.设B=“一次摸出2时为黑球”,则P（B）=12 2规律总结(1)为有放回抽取问题,此类问题每次抽取的球可以重复,每次抽取的结果个数相同,可以无限地进行下去.（2）是不放回抽取问题,此类问题每次摸出的球不出现重复,每次抽取的结果个数不同,只能抽取有限次.案例4 甲、乙两人做掷骰子游戏,两人各掷一次,谁掷得的点数多谁就取胜,求甲取胜的概率. 【探究】首先列举出所有可能的基本事件,列出所求事件包含的基本事件,再根据古典概型的概率公式进行计算.解法一:甲将骰子抛掷一次,出现的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果,对甲掷得的每个结果, 乙又掷得点数分别为1、2、3、4、5、6这6种结果,于是共有6×6=36种不同的结果.把甲掷得i点,乙掷得j点（1≤i,j≤6）记为（i,j）.事件“甲取胜”包含下列15种结果：（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）.155故甲取胜的概率为= .3612解法二：两人掷出相同的点数有（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）六种结36-6果,“甲掷得的点数比乙多”与“乙掷得的点数比甲多”是等可能性事件,都有=15种结231536果.故甲取胜的概率为5 =12.规律总结掷骰子是典型的题型,本题与解析几何知识相联系,在如下图所示的直角坐标系中,若x表示甲掷得的点数,y表示乙掷得的点数,本题实质就是求点（x,y）落在直线y=x下方的概率.活学巧用1.写出下列试验的基本事件：（1）甲、乙两队进行一场足球赛,观察甲队比赛结果（包括平局）________________；（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件,观察其中次品数__________________.答案：（1）胜、平、负（2）0,1,2,3,42.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现的正面还是反面.（1）写出这个试验的所有基本事件；（2）求这个试验的基本事件的总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？解析：（1）这个试验的基本事件（正,正,正）,（正,正,反）,（正,反,正）,（正,反,反）,（反,正,正）,（反,正,反）,（反,反,正）（反,反,反）.（2）基本事件的总数是8.（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正,正,反）,（正,反,正）,（反,正, 正）.3.作投掷2颗骰子试验,用（x,y）表示结果,其中x表示第1颗骰子出现的点数,y表示第2颗骰子出现的点数,写出：（1）事件“出现点数之和大于8”；（2）事件“出现点数相等”；（3）事件“出现点数之和大于10”.解析：（1）（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,3）,（6,4）,（6,6）. （2）（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）.（3）（5,6）,（6,5）,（6,6）.4.下列试验中,是古典概型的有（）A.种下一粒种子观察它是否发芽B.从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径dC.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶解析：C项中试验满足古典概型的两个特征——有限性和等可能性.答案：C5.向一圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗？为什么？解析：不是古典概型.因为该试验虽具有古典概型的特征——等可能性,但不具有有限性,而具4有无限性.6.同时掷相同的两枚硬币, 观察正、反面出现的情况,这个试验的基本事件为（正,正）,（正,反）,（反,反）,它共有 3个基本事件,故出现（正,正）的概率是 1 3.这个题目解法是否正确.解 析：基本事件为（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）,它有 4个基本事件,故出现（正,正）的概率为 1 4.答案：不正确7.将 1枚硬币抛 2次,恰好出现 1次正面的概率是（ ）A.1 2B.1 4C.3 4D.0解析：抛 2次恰好出现 1次正面包含 2个基本事件,这个试验的基本事件总数为 4, ∴恰好出现 1次正面的概率是 答案：A2 1 . 4 28.据人口普查统计,育龄妇女生男生女是等可能的,如果允许生育二胎,则某一育龄妇女两胎均 是女孩的概率是（ ） A.1 2B.1 3C.1 4D.1 5解 析：事件“该育龄妇女连生两胎”包含 4个基本事件,即（男,男）、（男,女）、（女,男）、（女,女）,故两胎均为女孩的概率是 答案：C1 4.9.在一次问题抢答的游戏中,要求找出对每个问题所列出的 4个答案中唯一正确的答案.其抢 答者随意说出了其中一个问题的答案,这个答案恰好是正确答案的概率为（ ） 1 A.2解析：P= 答案：Bm n14B.1.4C.1 81D.1610.一只口袋内装有大小相同的 5只球,其中 3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球.问： （1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？解析：（1）分别记白球为 1,2,3号,黑球为 4,5号,从中摸出 2只球,有如下基本事件（摸到 1,2号球用（1,2）表示）：（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,3） （2,4）,（2,5）,（3,4）,（3,5）,（4,5）因此,共有 10个基本事件.（2）如下图,上述 10个基本事件发生的可能性相同,且只有 3个基本事件是摸到两只白球（记3 为事件 A ）,即（1,2）,（1,3）,（2,3）,故 P （A ）=10.53 答：（1）共有 10个基本事件；（2）摸出的两只球都是白球的概率为10.11.将骰子先后抛掷 2次,计算： （1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是 5的结果有多少种？ （3）向上的数之和是 5的概率是多少？ 分 析：将骰子先后抛掷 2次,实际上是分两个步骤完成,第一次抛掷骰子出现的点数有 6种结果, 第二次抛掷骰子出现的点数也有 6种结果.只有将这两个步骤依次全部完成才算是将骰子先后 抛掷两次这件事完成.因此将骰子先后抛掷两次试验的基本事件数为 6×6=36.解：（1）将骰子抛掷 1次,它落地时向上的数有 1,2,3,4,5,6这 6种结果,根据题意,先后将骰 子抛掷 2次,一共有 6×6=36种不同的结果.（2）在上面所有结果中,向上的数之和为 5的结果有（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）4种, 其中括弧内的前、后两个数分别为第 1、2次抛掷后向上的数.上面的结果可用下图表示,其中 不在虚线框内的各数为相应的 2次抛掷后向上的数之和.（3）由于骰子是均匀的,将它抛掷 2次的所有 36种结果是等可能出现的,其中向上的数之和是 5的结果（记为事件 A ）有 4种,因此,所求的概率P （A ）=4 1 . 36 9答：先后抛掷骰子 2次,一共有 36种不同的结果；向上的数之和为 5的结果有 4种,概率 是1 9.12.有红、黄两种颜色的小旗各 2面,从中任取 2面挂在一根旗杆上, 求：（1）2面旗子同色的概率； （2）2面旗子颜色各不相同的概率. 解 析：设两面红旗和两面黄旗分别记为红 1、红 2和黄 1、黄 2,则基本事件共有（红 1,红 2）,（红 1,黄 1）,（红 2,黄 1）,（红 1,黄 2）,（红 2,黄 2）,（黄 1,黄 2）计 6个.（1）设 2面旗子同色这一事件为 A,则 A 为（红 1,红 2）,（黄 1,黄 2）共 2个,所以 2面旗子同色的概率为 P=2 .1 6 3（2）设 2面旗子不同色这一事件为 B,则 B 为（红 2,黄 1）,（红 2,黄 1）,（红 1,黄 2）,（红61,黄2）,B包含4个基本事件,所以2面旗子颜色不相同的概率为13.从1,2,3,…,50中任取一个数,求下列事件的概率.（1）它是奇数；（2）它能被5整除；（3）它是奇数且能被5整除. 4.2 63解析：（1）设从50个数中任取一数,取得奇数为事件A,则A包含25个基本事件,故P（A）= 251.502（2）设取得一数,该数被5整除为事件B,B包含10个基本事件,故P（B）= 10 1. 505（3）设取得一数,该数是奇数且被5整除为事件C,则C包含5个基本事件,故P（C）= 51.50107。