单边拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。

左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。

作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。

拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。

FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。

拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。

但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。

Fourier 变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。

时
域
s域注释
线性叠加可以用积分的基本规则证明。

s
域一阶微分F′是F 的一阶导数。

s 域一般微分更一般的形式是F(s)的n阶导数。

时域一阶微分f是一个可微函数，并且其导数为指数类型。

这条性质可以通过分部积分得
时域二阶微分f为二阶可微且二阶导数是指数型的。

通过对f′(t)应用微分性质可得。

时域一般微分f为n阶可微，其n阶导数是指数型的。

通过数学归纳法证明。

s 域积分这是由s域微分和条件收敛推导出来的。

时域积分u(t)是阶跃函数，注意到(uf)(t) 是u(t)
的卷
积。

时
间
标
度
s
域
平
移
时域平移u(t)表示阶跃函数
乘法积分沿完全处在F收敛域内的竖直线
Re(σ) =c。

[3]
卷积
复共轭
互相关
周期函数f(t)是
一个周期为T 的周期函数，于是对所有t≥ 0，有'f(t)
=f(t+T)。

这条性质是时域平移和几何级数的结果。

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用;能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应;能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性;理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系;会判定系统的稳定性;知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义单边拉普拉斯变换：正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰ 逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域 若0σσ>时,lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛,积分0()stf t dte +∞--⎰存在,即()f t 的拉普拉斯变换存在;0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域;0σ与函数()f t 的性质有关;2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时,则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值;（3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=,则(1)(0)()[()]tf F s f t dt s sζ---∞=+⎰式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=⎰（4） 延时性若[()]()f t F s ζ=,则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---=（5） s 域平移若[()]()f t F s ζ=,则[()]()at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换若[()]()f t F s ζ=,则1[()]()s f at F a aζ=a >0 （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s ++→→∞==（8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞→∞=（9） 卷积定理若11[()]()f t F s ζ=,22[()]()f t F s ζ=,则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*=12121[()()][()()]2f t f t F s F s jζπ=*=121()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞-∞-⎰3. 拉普拉斯逆变换（1） 部分分式展开法首先应用海维赛展开定理将()F s 展开成部分分式,然后将各部分分式逐项进行逆变换,最后叠加起来即得到原函数()f t ; 2留数法留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数()st F s e 在围线中所有极点的留数运算,即(1)11[()]()()[()]22j st st st j cF s F s e ds F s e ds F s e j jσσζππ+∞--∞===∑⎰⎰极点的留数若i p 为一阶级点,则在极点i s p =处的留数21[()()]insti i i s p i r s p F s e X ===-∑若i p 为k 阶级点,则111[()()](1)!ik k st i i s p k d r s p F s e k ds-=-=--4. 系统函数网络函数Hs （1） 定义系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数,即()()()zs R s H s E s =冲激响应()h t 与系统函数()H s 构成变换对,即()[()]H s h t ζ=系统的频率响应特性()()()()j w s jwH jw H s H jw e ϕ===式中,()H jw 是幅频响应特性,()w ϕ是相频响应特性; （2） 零极点分布图1212()()()()()()()()()m n K s z s z s z N s H s D s s p s p s p ---==--- 式中,K 是系数；1z ,2z ,m z 为()H s 的零点；1p ,2p ,,n p 为()H s 的极点;在s 平面上,用“”表示零点,“X ”表示极点;将()H s 的全部零点和极点画在s 平面上得到的图称为系统的零极点分布图;对于实系统函数而言,其零极点要么位于实轴上,要么关于实轴成镜像对称分布; （3） 全通函数如果一个系统函数的极点位于左半平面,零点位于右半平面,而且零点与极点对于jw 轴互为镜像,那么这种系统函数称为全通函数,此系统则为全通系统或全通网络;全通网络函数的幅频特性是常数; （4） 最小相移函数如果系统函数的全部极点和零点均位于s 平面的左半平面或jw 轴,则称这种函数为最小相移函数;具有这种网络函数的系统为最小相移网络; （5） 系统函数()H s 的求解方法 ①由冲激响应()h t 求得,即()[()]H s h t ζ=;②对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换,然后由()()()zs R s H s E s =获得;③根据s 域电路模型,求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比,即为()H s ; 5. 系统的稳定性若系统对任意的有界输入,其零状态响应也是有界的,则此系统为稳定系统; 1稳定系统的时域判决条件()h t dt M +∞-∞≤⎰充要条件 ① 若系统是因果的,则①式可改写为0()h t dt M +∞≤⎰ （2） 对于因果系统,其稳定性的s 域判决条件①若系统函数()H s 的全部极点落于s 左半平面,则该系统稳定；②若系统函数()H s 有极点落于s 右半平面,或在虚轴上具有二阶以上的极点,则该系统不稳定；③若系统函数()H s 没有极点落于s 右半平面,但在虚轴上有一阶极点,则该系统临界稳定;内容摘要例题·求拉氏变换·求拉氏变换,拉氏变换的性质 ·拉氏变换的微分性质 ·系统函数,求解系统的响应 ·用拉氏变换法分析电路·例4-1求下列函数的拉氏变换 ()()1-=t tu t f 分析拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以()s F 表示()t f 单边拉氏变换,以 ()s F B 表示()t f 双边拉氏变换;若文字中未作说明,则指单边拉氏变换;单边拉氏变换只研究0≥t 的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在拉氏变换的和典型信号的拉氏变换二．单边拉氏变换逆变换的求法围线积分法 三．拉氏变换的 四．五．系统函数一.拉普拉斯时移定理,微分定理和初值定理等方面;本例只讨论时移定理;请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用; 解答例4-2求三角脉冲函数)(f t 如图4-2a 所示的象函数 分析和傅里叶变换类似,求拉氏变换的时,的性质,; 解答方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解 方法三：利用微分性质求解 方法四：利用卷积性质求解 方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解 由于于是 方法三：利用微分性质求解 分析信号的波形仅由直线组成,信号导数的象函数容易求得,或者信号经过几次微分后出现原信号,这时利用微分性质比较简单; 将()t f 微分两次,所得波形如图4-2b 所示;()()()2222e 11e e 211s s s sss F ----=+-=根据微分性质 由图4-2b 可以看出 于是方法四：利用卷积性质求解()t f 可看作是图4-2c 所示的矩形脉冲()t f 1自身的卷积于是,根据卷积性质 而所以例4-3应用微分性质求图4-3a 中 的象函数下面说明应用微分性质应注f()1t f 因而这是应用微分性质应特别注意的问题;由图4-3b 知例4-4某线性时不变系统,在非零状条件不变的情况下,三种不同的激励信号作用于系()()s s s F --=e 111()()22e 11sss F --=图4-2c()()t f t f t f 321),(,(),1t f ()()()t f t f t f 321,,'''图4-4（b)为图中所示的矩形脉冲时,求此时系统的输出阶跃响应则 例4-5电路如图4-5a 所示 1求系统的冲激响应; 2求系统的起始状态使系统的零输入响应等于冲激响应; 3求系统的起始状态, 解答1求系统的冲激响应;系统冲激响应()t h 与系统函数()s H 是一对拉氏变换的关系;对()s H 求逆变换可求得()t h ,这种方法比在时域求解微分方程简便;利用s 域模型图4-5b 可直写出图4-5a 电路的系统函数 冲激响应2求系统的起始状态为求得系统的零输入响应,应写出系统的微分方程或给出带有初值的s 域模型;下面我们用s 域模型求解;图4-5a 电路的s 域模型如图4-5b; 由图4-5b 可以写出上式中第二项只和系统起始状态有关,因此该项是零输入响应的拉氏变换;依题意的要求,该项应和()s H 相等,从而得()t x 3当输入()。

§ 4.3 拉普拉斯变换的基本性质主要内容线性；原函数微分；原函数积分；延时（时域平移）；s 域平移；尺度变换；初值；终值 卷积；对s 域微分；对s 域积分一．线性例题： 已知则同理二．原函数微分证明：推广：电感元件的s 域模型 [][][])()()()( ,),()( ),()( 22112211212211s F K s F K t f K t f K L K K s F t f L s F t f L +=+==则为常数，若()tj t j e e t t f ωωω-+==21)cos()([]αα+=-s e L t 1()[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ωωωj s j s t L 1121cos 22ω+=s s ()[]22sin ωωω+=s t L [])0()(d )(d ),()(--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=f s sF t t f L s F t f L 则若()()()())(0 d d 000s sF f t e t sf e t f t e t f st st st +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='-∞∞--∞⎰⎰()()[])0()0()( )0(0d )(d 22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡f sf s F s f f s F s t t f L ∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10)(1)0()(d )(d n r r r n n n f ss F s t t f L设应用原函数微分性质三．原函数的积分证明：① ② ()s s F =电容元件的s 域模型)(t i+-)(t v L L t t i L t v LL d )(d )(=[][])()(),()(s V t v L s I t i L L L L L ==[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s I sL i s sI L s V()s V L +-[]，则若)()(s F t f L =()s f s s F f L t )0()(d )(1--∞-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ττ()()()ττττττd d d 00⎰⎰⎰+=∞-∞-t t f f f ① ② ()()01-f ()()s f 01-→()⎰⎰∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡00d d t e f st t ττ()()⎰⎰-∞-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t st t st t e t f s f s e 000d 1d ττ()⎰-=t st te tf s 0d 1+-)t v C C ⎰∞-=t c C i C t v ττd )(1)([][])()( ),()(s V t v L s I t i L C C C C ==设四．延时（时域平移）证明：0)(st e s F -=五．s 域平移证明：六．尺度变换证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--s i s s I C s V C C C )0()(1)()1()0(1)(1-+=C C v s s I sCsC 1()-01C v s +-()s V C[][]0)()()( )()(00st e s F t t u t t f L s F t f L -=--=，则若[]⎰∞----=--00000d )()()()(t e t t u t t f t t u t t f L st ⎰∞--=0d )(0t st t e t t f ，令0t t -=τ代入上式则有,d d ,0ττ=+=t t t []⎰∞---=--000d )()()(0τττs st e e f t t u t t f L [][])()( )()(αα+==-s F e t f L s F t f L t ，则若[])(d )()(0ααα+==⎰∞----s F t e e t f e t f L st t t [][]()0 1)( ),()(>⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a s F a at f L s F t f L 则若[]⎰∞--=0d )()(t e at f at f L st时移和标度变换都有时:七．初值八．终值终值存在的条件:证明：根据初值定理证明时得到的公式九．卷积，则令at =τ[]⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=0d )()(a e f at f L a s τττ⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0d )(1τττa s e f a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=a s F a 1[]()0,0 1)()(>>⎪⎭⎫ ⎝⎛=---b a e a s F a b at u b at f L a b s 若)(lim )0()(lim ),()(d )(d )(0s sF f t f s F t f t t f t f s t ∞→+→==−→←+则可以进行拉氏变换，且及若()应化为真分式：不是真分式若,s F k s F s F -=)()(1[][])(lim )(lim )(lim )0(0t f ks s sF k s F s f t s s +→∞→∞→+=-=-=()()()项。

时
域
s域注释
线性叠加可以用积分的基本规则证明。

s 域
一阶微分F′是F的一阶导数。

s
域一般微分更一般的形式是F(s)的n 阶导数。

时域一阶微分f是一个可微函数，并且其导数为指数类型。

这条性质可以通过分部积分得到。

时域二阶微分f为二阶可微且二阶导数是指数型的。

通过对
f′(t)应用微分性质可得。

时域一般微分f为n阶可微，其n阶导数是指数型的。

通过数学归纳
法证明。

s 域积分这是由s域微分和条件收敛推导出来的。

时域积分u(t)是阶跃函数，注意到(u∗f)( t) 是u(t)和f(t)的卷积。

时间标度
s 域平移
时
域平移u(t)表示阶跃函数
乘法积分沿完全
处在F收敛域内的竖直线Re(σ) =c。

[3]
卷积
复共轭
互相关
周期函数f(t)是一个
周期为T的周期函数，于是对所有t≥ 0，有'f(t) =f(t + T)。

这条性质是时域平移
和几何级数
的结果。