16.2(2)最简二次根式和同类二次根式

2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）计算()()154154-+，结果为（ ）A ．1-B ．1C ．11-D ．113．（2022春·八年级课时练习）计算：(1)818⨯(2)0.10.4⨯(3)322411⨯(4)243题型二：二次根式的除法4．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计()4233+÷的值应在（ ）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间5．（2023春·八年级课时练习）下列各式计算正确的是（ ）A ．2739÷=B ．48163÷=C ．2044÷=D ．413239÷=6．（2023春·全国·八年级专题练习）某直角三角形的面积为55，其中一条直角边长为10，则其中另一直角边长为（ ）A ．25B ．52C ．55D ．210题型三：二次根式的乘除混算7．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）计算：(1)()622-÷(2)()16215362-⨯-(3)2421656++(4)()()()2233232-++⨯-8．（2023春·八年级）计算：(1)21437⨯(2)25136÷(3)954312612÷⨯(4)333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9．（2023春·八年级）计算：(1)()12712453-+⨯；(2)()()6565-⨯+；(3)148312242÷-⨯+；(4)()()20222723321π---⨯-+-．题型四：最简二次根式的判断10．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A ．9aB ．23a C ．12a +D ．22a b -11．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．3ab B ．3a b +C ．222a b ab+-D ．8a12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在二次根式45、32x 、11、52、4x中，最简二次根式的个数是（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5题型五：化为最简二次根式问题13．（2023春·全国·八年级专题练习）将632化为最简二次根式，其结果是（ ）A ．632B ．1262C ．9142D ．314214．（2022春·山东泰安·八年级统考期末）下列二次根式：①50；②12；③32；④40．将它们都化为最简二次根式后，同类二次根式是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④15．（2022春·贵州黔南·八年级校考期末）二次根式2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型六：已知最简二次根式求参数三、解答题+ 40．（2022·全国·八年级专题练习）若实数m、n满足2m n 41．（2023春·八年级课时练习）计算：V的面积；(1)如图1，利用秦九韶公式求ABCV的两条角平分线AD，BE交于点O，求点O (2)如图2，ABC（2）解：0.10.4⨯0.10.4=⨯0.04=0.2=；（3）解：322411⨯111241=⨯12=22=；（4）解：243243=8=22=．【点睛】本题考查二次根式的乘法和除法．掌握二次根式的乘法和除法的运算法则是解题关键．4．C【分析】先根据二次根式的除法进行计算()4233+÷，然后估算14的大小即可求解．【详解】解：∵()4233+÷141=+，∵3144<<∴41415<+<故选C【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．5．B【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．【详解】解：A ．27393÷==，选项不正确，不符合题意；B ．48163÷=，选项正确，符合题意；C ．2045¸=，选项不正确，不符合题意；D ．41491223393¸=´==，选项不正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．B【分析】利用三角形的面积公式列式计算即可．【详解】解：由题意得，其中另一直角边长为：105102551052102⨯÷===，故选：B ．【点睛】此题考查二次根式的除法，掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．7．(1)31-(2)65-(3)13(4)426-【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则，分母有理化计算即可；（2）利用乘法分配律计算()62153-⨯，利用分数的性质和二次根式的性质化简162；（3）根据二次根式除法和运算法则和分母有理化化简242166+，再计算与5的和即可；（4）先利用完全平方公式、平方差公式分别进行计算，再求和即可．【详解】（1）()622-÷6222=÷-÷31=-（2）()16215362-⨯-263215362=⨯-⨯-⨯1842325=--326532=--65=-（3）2421656++(2462166)5=÷+÷+4365=++265=++13=（4）()()()2233232-++⨯-2222(2)223(3)(3)2=-⨯⨯++-226334=-++-426=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．8．(1)422(2)2(3)36(4)292a b ab -【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解；（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；（3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解；（4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．【详解】（1）2143⨯7=2672⨯42=2；（2）25136÷5536=÷5635=⨯2=（3）954312612÷⨯954312126=÷⨯112=36=；（4）333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3392a ab a b b=-⋅⋅=292a b ab -．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．9．(1)115+(2)1(3)46+(4)1【分析】（1）先用乘法分配律，再利用二次根式的乘法法则，最后合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）先算二次根式的乘除法，再算加减法即可；（4）先算乘方和绝对值，再化简各个二次根式最后算加减法即可．【详解】（1）解：()12712453-+⨯111271245333=⨯-⨯+⨯9415=-+3215=-+115=+；（2）解：()()6565-⨯+65=-1=；（3）解：148312242÷-⨯+16626=-+4626=-+46=+；（4）解：()()020222723321π---⨯-+-3323311=--⨯+332331=--+1=．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握二次根式混合运算法则是关键．10．D【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】A 、93a a =，故不符合题意；B 、233a a =，故不符合题意；C 、12222a a ++=，故不符合题意；D 、22ab -是最简二次根式；故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，同时满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．熟记最简二次根式的定义是解题的关键．11．B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、3ab b ab =，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B 、3a b +是最简二次根式，故本选项符合题意；C 、()2222a b ab a b a b +-=-=-，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、822a a =，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．12．A【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解答即可．【详解】解： 4535=，32x 2x x =，4x 2x =，∴最简二次根式有：11、52共两个．故选：A ．【点睛】本题考查二次根，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键．13．D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式6327922242312⨯⨯⨯===⨯，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．14．A【分析】先将各式化为最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解答．【详解】解：①50=52；②12=22；③36=22；④40=21052 与22是同类二次根式，故选：A ．【点睛】本题考查最简二次根式、同类二次根式等知识，最简二次根式满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．15．B【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，被开方数不含有分母），判断即可．【详解】解：∵1233=，1223=､255||x x =，∴在2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有2x +，22x y +，共2个，故选：B ．【点睛】本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．16．D【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可．【详解】根据题意可知3102a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，∴314a b +=+=．故选D ．【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键．17．B【分析】把a 的值依次代入即可判断求解．【详解】当a=6时，42a -=22，不能与2可以合并，当a=5时，42a -=1832=，能与2可以合并，当a=4时，42a -=14，不能与2可以合并，当a=2时，42a -=6，不能与2可以合并，故选B ．【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．18．D【分析】先将8化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．【详解】解：822=，22 与最简二次根式1m +能合并，12m ∴+=，解得1m =，故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．19．D【分析】根据二次根式性质化简关判定A 、B ；根据二次根式乘法法则计算并判定C ；根据二次根式除法法则计算并判定D ．【详解】解：A 、()222-=，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、1374=93，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、322366⨯=，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、4312=2÷，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查二次根式化简及乘除运算，熟练掌握二次根的性质与乘除运算法则是解题的关键．20．A【分析】已知226a b ab +=，变形可得28a b ab +=（），24a b ab -=（），可以得出a b +（）和a b -（）的值，即可得出答案．【详解】解：∵226a b ab +=，∴28a b ab +=（），24a b ab -=（），∵0a b >>，∴8a b ab +=，4a b ab -=，∴824a b ab a b ab+==-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．21．C【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项．【详解】解：①497648=，原计算错误，②()3322-=-，原计算正确；③1823÷=，原计算错误；④52535+-=，原计算正确；⑤()()5352510156+-=-+-，原计算错误；∴正确的有2个；故选C ．【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式的运算是解题的关键．22．A【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．【详解】解：由题意得：()60060x x x x ⎧-≥⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得：6x ≥，故选A ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．23．A【分析】根据立方根的性质化简、平方根的完全平方公式和性质，即可解答．【详解】解：A 、335050>-<，，故3355≠-，故选项错误．B 、3273=644--，故选项正确．C 、(32)(32)1+-=，故选项正确．D 、(4)(3)43-⨯-=⨯，故选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，注意：负数开立方还是负数．24．A【分析】根据二次根式的乘法法则ab a b =⋅成立的条件为0a ≥且0b ≥，即可确定答案．【详解】解：根据题意，可得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解不等式组，得 1x ≥，所以，等式2111x x x -=+⋅-成立的条件是1x ≥．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．25．(1)46(2)32-(3)3a【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式2723=÷224=46=；（2）解：原式55354=-÷55435=-⨯18=-32=-；（3）解：原式33b ab a=÷ 33a ab b=⨯29a =3=a ．【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．26．623-【分析】直接将31a =+，31b =-代入2ab b +进行计算即可．【详解】解： 31a =+，31b =-，2ab b ∴+()()()2313131=+-+-()313231=-+-+2423=+-623=-，故答案为：623-．【点睛】本题考查了求代数的值、二次根式的乘法，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．27．B【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：2243⨯-2263=⨯-433=-，33=∵252736<<，∴5276<<，即5336<<，∴2243⨯-的值应在5和6之间，故选：B【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出27的范围是解此题的关键．28．A【分析】先确定出m ，n 的值，再通过计算求解此题．【详解】解：∵2的整数部分是1，∴2的小数部分是21-，即21m -＝，∵8的整数部分是2，即2n ＝，∴()2222211==-+（），故选：A ．【点睛】此题考查了实数的估算与计算能力以及乘方，关键是能准确理解并运用相关知识．29．D【分析】通过观察，得出第n 项为：41n -，再根据31199=，得出方程4199n -=，解出即可得出答案．【详解】解：∵数列371115，，，，…，∴通过观察，可得：第n 项为：41n -，∵31191191199=⨯=⨯=，∴4199n -=，解得：25n =，∴311是它的第25项．故选：D【点睛】本题考查了数字规律问题、二次根式的乘法，解本题的关键在正确找出已知数列的规律．30．D【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．【详解】解：∵711a b ==，，∴111170.1171001010ab a ⨯=⨯=⨯=，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．31．D【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可．【详解】解：A 、原式22=，不符合题意．B 、原式14x x =，不符合题意．C 、原式32y =，不符合题意．D 、22x xy y ++是最简二次根式，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．32．C【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解．【详解】A. 1223x x =不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；B.()2222x xy y x y x y ++=+=+，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；C.22x y +，是最简二次根式，故该选项正确，符合题意； D. 1=x x x，含有分母，故不是最简二次根式．故选：C ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．33．5x >##5x<【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x 的一元一次不等式组求解即可．【详解】要使4455x x x x --=--有意义，则4050x x -≥⎧⎨->⎩，解得：5x >，故答案为：5x >．【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键．34．2ab b【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：∵0a >，0b >，∴2342a b ab b =．故答案为：2ab b ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键．35． 2 625- 4 5【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可；（2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可；（3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可；（4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可．【详解】解：（1）()()3131312-+=-=故答案为：2；（2）()2515251625-=-+=-，故答案为：625-；（3）483164÷==，故答案为：4；（4）1502552⨯==故答案为：5．【点睛】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．36．2y-【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：22212124233y y x x y y x x⋅=⋅==，∵0y <，∴212223y x y y x⋅==-，故答案为：2y -．【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．37．63【分析】设ABC V 底边上的高为h ，根据三角形的面积公式12S ah =列方程求解即可．【详解】解：设ABC V 底边上的高为h ，根据题意，得123182h ⨯=，解得：63h =，故答案为：63．【点睛】本题考查解一元一次方程、二次根式的除法运算、三角形的面积公式，正确计算是解答的关键．38．15【分析】根据二次根式的运算法则即可进行解答．【详解】解：2y y x x xy x x=⋅=，∵35x y ==，，∴原式3515=⨯=．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，性质和运算法则．39．3【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到()82，与()100100，表示的两个数，进而()82，与()100100，表示的两个数的积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()82，在数列中是第()1772230+⨯÷+=个，30310÷=，()82，表示的数正好是第10轮的最后一个，即()82，表示的数是3，由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()100100，在数列中是第()1999921005050+⨯÷+=个，5050316831÷=⋯，()100100，表示的数正好是第1684轮的第一个，即()100100，表示的数是1，故（()82，与()100100，表示的两个数的积是：313⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．40．1113±【分析】先根据2710m n m n +-+--=求出8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，然后求出4m n +的值，即可得出答案．【详解】解：∵2710m n m n +-+--=，∴27010m n m n +-=⎧⎨--=⎩，解得：8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴853744333m n +=⨯+=，373的平方根为3711133±=±，即4m n +的平方根是1113±．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，求代数式的值，求平方根，解题的关键是根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出m 、n 的值．41．(1)46+(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可【详解】（1）解：148318243÷-⨯+148318263=÷-⨯+16626=-+46=+（2）03(51)(51)(2)27+-+--()25113=-+-53=-2=【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．42．(1)22(2)63(3)62(4)269(5)3(6)0.092(7)32(8)255【详解】（1）()211|11|-+-1111=+，22=；（2）108363=⨯，63=；（3）2382+648=+，72=，362=⨯，62=；（4）82783273⨯=⨯，4681⨯=，269=；（5）333333⨯=⨯，3=；（6）0.060.27⨯0.010.812=⨯⨯，0.10.92=⨯，0.092=；（7）114-34=，32=；（8）41154点O 为ABC V 的角平分线交点，∴点O 到AB ，AC ，BC 的距离相等，长度为设,OF h =，则ABC ACO S S =+V V 111。

最简二次根式与同类二次根式
《最简二次根式与同类二次根式》
在数学中，二次根式是一种特殊的代数表达式，通常在形式上为一个数和一个根号的乘积。

在二次根式中，有两种特别重要的概念，分别是最简二次根式和同类二次根式。

首先来看最简二次根式。

最简二次根式指的是不能再约分根号内部的数的二次根式，也就是说，根号内的数不能再被开方，且在根号外的系数最小化。

例如，√2和√3就是最简二次根式，因
为它们的根号内部的数不能再被开方，且在根号外的系数也是最小的。

接下来是同类二次根式。

同类二次根式指的是二次根式中根号内部的数相同，根号外的系数也相同的二次根式。

例如，√2和2√2就是同类二次根式，因为它们的根号内部的数都是2，根号
外的系数也都是1。

最简二次根式和同类二次根式在化简和运算中都有其特殊的用途。

化简最简二次根式可以使得计算更加简便，而同类二次根式在加减乘除的运算中也有特定的规则。

总之，最简二次根式和同类二次根式是二次根式中的两个重要概念，它们在数学中有着广泛的应用和重要的意义。

通过对这两个概念的深入理解，我们可以更好地应用二次根式进行化简和运算。

16.2 二次根式的乘除第 2 课时 二次根式的除法参考答案与试题解析夯基训练知识点1二次根式的除法法则1. 计算√5×√15√3的结果是_____________.1.【答案】52.√a−3√a−1=√a−3a−1成的条件是( )A.a ≠1B.a ≥1且a ≠3C.a>1D.a ≥32.【答案】D解:由√a √a =√a b (a ≥0,b>0),得{a −3≥0a −1≥0所以a ≥3.故选D. 3.计算√34÷√16的结果是( )A.√22B.√24C.3√22D.√32 3.【答案】C解：掌握二次根式的除法，直接计算即可.4.下列计算结果正确的是( )A.2+√3=2√3B.√8÷√2=2C.(-2a 2)3=-6a 6D.(a+1)2=a 2+14.【答案】B 知识点2商的算术平方根的性质 5若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥05解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：√b a =√b √a a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．6化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．6解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式7.下列各式计算正确的是( ) A.√32=√32 B.√82=√3 C.√34=√32 D.√a 9b =√a 3b 7.【答案】C 8.若√1−a a 2=√1−a a ,则a 的取值范围是( )A.a ≤0B.a<0C.a>0D.0<a ≤18.【答案】D解:由题意得1-a ≥0且a>0,解得0<a ≤1.此题容易忽略1-a ≥0这个条件.9.下列等式不一定成立的是( )A.√a b =√a√b (b ≠0) B.a 3·a −5=1a 2(a ≠0) C.a 2−4b 2=(a+2b)(a-2b)D.(-2a 3)2=4a 69.【答案】A10.下列计算正确的是( )A.√12=2√3B.√32=√32 C.√−x 3=x D.√x 2=x10.【答案】A知识点3 最简二次根式11在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由． (1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145. 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可． 解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； (3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式； (5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．题型总结题型1 利用二次根式的乘除法法则计算 12计算：(1)9√45÷3√212×32√223; (2)a 2∙√ab ∙b √b a ÷√9b 2a解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183； (2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b 3a . 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 题型2利用商的算术平方根的性质求代数式的值13.已知√x−69−x =√x−6√9−x ,且x 为奇数,求(1+x)·√x 2−5x+4x 2−1的值. 13.解:∵√x−69−x =√x−6√9−x , ∴{x −6≥09−x ≥0∴6≤x<9. 又∵x 是奇数,∴x=7.∴(1+x)√x 2-5x+4x 2-1=(1+x)√(x -1)(x -4)(x+1)(x -1)=(1+x)√(x -4)(x+1)=√(x +1)(x −4).当x=7时,原式=√(7+1)(7−4)=2√6.题型3 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围14若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝b a(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．题型4 利用商的算术平方根的性质化简二次根式15化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式拓展培优拓展角度1利用二次根式的性质活用代数式表示数16.老师在讲解“二次根式及其性质”时,在黑板上写下了下面的一题作为练习:已知√7=a,√70=b,用含有a,b 的代数式表示√4.9.甲的解法:√4.9=√4910=√49×1010×10=√7×√7010=ab 10; 乙的解法:√4.9=√49×0.1=7√0.1, 因为√0.1=√110=√770=√7√70=a b , 所以√4.9=7√0.1=7·a b =7a b .请你解答下面的问题:(1)甲、乙两人的解法都正确吗?(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法.16.解:(1)都正确.(2)∵√10=√707=√70√7=b a , ∴√4.9=√4910=√49×1010×10=710√10=710·b a =7b 10a .拓展角度2 利用二次根式的乘除法法则进行分母有理化(类比思想)19.化简√3+√2,甲、乙两位同学的解法如下:甲:√3+√2=√3-√2(√3+√2)(√3-√2)=√3−√2; 乙:√3+√2=√3+√2=√3+√2)(√3-√2)√3+√2=√3−√2.以上两种化简的步骤叫做分母有理化.仿照上述两种方法化简:√7−√5.19.解:方法1:√7−√5=√7+√5)(√7−√5)(√7+√5)=2(√7+√5)2=√7+√5. 方法2:√7−√5=√7−√5=√7+√5)(√7−√5)√7−√5=√7+√5.拓展角度3二次根式除法的综合运用20座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T ＝2π√l g ，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T ＝2π√0.59.8≈1.42，60T ＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．。

两点间距离公式沪科版是八年级上册1． 如果直角坐标平面内有两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，那么A 、B 两点的距离AB =2． 八年级知识点总结第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。

2． 二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. （1）被开方数中因式的指数都为1；（2）被开方数不含有分母。

被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式。

2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．2.二次根式的乘法:两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。

即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的除法:两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。

4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：≥0)).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=a ≥0,b>0）n =≥0)5.混合运算：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。

第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2．一般形式y=ax ²+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 2叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式x =：12x x ==； △=24b ac -≥017.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值。