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弹性力学双语课件第四章平面问题极坐标解答

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弹性力学有限元第四章 平面问题的的极坐标解答

弹性力学有限元第四章 平面问题的的极坐标解答

2 2 整理后得： r x cos j y sin j 2 xy sin j cosj
Fj 0
பைடு நூலகம்
r j ( y x ) sin j cosj xy (cos2 j sin 2 j)
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
根据上式，得到拉普拉斯算子：
2Φ 2Φ 2Φ 1 Φ 1 2Φ 2 2 2 2 x y r r r r j 2
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
坐标变换式
O
(5) 应力的变换
1已知x,y,xy,求r,j,rj。
切应变： g rj
y
B C B'
b
1 u r b r j
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-2 极坐标中的几何方程和物理方程
极坐标中的几何方程
O
(1) 只有环向位移ur的情况 径向PAP”A” 环向PBP”B”
j r P dr A dj
P" B uj
x
径向PA的正应变 er 0
坐标变换式
O x
(5) 应力的变换
采用与前面类似的方法：
j
yx
y x
Fj 0
y
j
单位厚度
jr
xy
j x sin 2 j y cos2 j 2 xy sin j cosj
2已知r,j,rj,求x,y,xy。 采用相似的方法，直接给出结果：
x r cos2 j j sin 2 j 2 rj sin j cosj y r sin 2 j j cos2 j 2 rj sin j cosj xy ( r j ) sin j cosj rj (cos2 j sin 2 j )
弹性力学第四章：平面问题的极坐标解答2

弹性力学第四章：平面问题的极坐标解答2

π 2
r
σr +P θ 3σr −σθ 2σcos θ
x3 σx =− π (x2 + y2)2 2P xy2 σy =− π (x2 + y2)2 2P x2 y τxy =− π (x2 + y2)2 2P
2. 位移分量
假定为平面应力情形。 假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为
P
O y
由楔形体受集中力的情形， 由楔形体受集中力的情形，可以得到 P
O y
(令 β =0 ,α =π) : 2P cosθ σr = − ( ) π r （4-26） ） σθ =0 —— 极坐标表示的应力分量 极坐标表示的应力分量 τrθ =τθr =0
利用极坐标与直角坐标的应力转换式（ ）， ），可求得 利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得
∂r ϕ = f (r)sinθ
θ
ϕ = f (r) (M =常 ) 数
ϕ = f (r)sinθ ϕ = f (r)cosθ (M = P⋅rsinθ) (M =M+P⋅rcosθ)
附1：曲梁应力函数确定的基本方法 ：
思路： 思路： 与直梁确定应力函数的方法类似， 与直梁确定应力函数的方法类似，借且于 梁截面上应力与内力 弯矩、剪力） 应力与内力（ 梁截面上应力与内力（弯矩、剪力）的关 应力与应力函数间微分关系， 系、应力与应力函数间微分关系，来推断 应力函数的分离变量形式。 应力函数的分离变量形式。 梁截面上的应力内力的关系： 梁截面上的应力内力的关系：
θ
M = Py = P⋅rsinθ
由材料力学初等理论，可知截面上正应力 由材料力学初等理论， 由此假定： 由此假定：
σθ ∝M(= P⋅rsinθ)
弹性力学双语课件第四章平面问题极坐标解答

弹性力学双语课件第四章平面问题极坐标解答


徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第四章
7
Only the radial displacement takes place只有径向位移
• PP=ur AA=ur+ur/ rdr BB= ur+ur/ d
• r=(PA -PA)/PA=(AA-PP)/PA=[(ur+ur/rdr)ur]/dr=ur/r
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第四章
13
rxy=u/y+v/x中的一般规律
• 由rxy=u/y+v/x，总结出一般规律，即设有 两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如 u）对另一个坐标方向（y）求导为该坐标方向 （y）线段的转角。
1. u/y--x方向的位移 u 对y坐标求导为y方向线 段的转角。
Equations yields the axisymmetrical strain
components.
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第四章
23
[/(rr)+2/r2 ]2 =0
• [/(rr)+2/r2 ] [ /(rr)+2 /r2 ] =0 • /(rr) /(rr)=r-2 ’’-r-3 ’ /(rr) [2 /r2 ]=r-1’’’
r4’’’’+2r3 ’’’ -r2 ’’ +r’=0
• Assume r=et
• =Alnr+Br2lnr+Cr2+D
(4.5.2)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第四章
25
the corresponding strains and displacements 相应的应变及位移
• Substitution of Eqs. (4.5.3)-(4.5.5) into physical Equations yields the axisymmetrical strain components. 将式 (4.5.3)-(4.5.5) 的应力代入物 理方程得应变分量，为轴对称。
弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答

弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答


s = sσ
(3) 多连体中的位移单值条件
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·问题的提出
工程中有些问题, 用极坐标计算方便, 但应力分量用直角坐 标表述更直观. 反之也存在.
由此需要对应力分量进行坐标变换.
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
y
fρ τ + ∂τρυdρ ρυ ∂ρ ∂συ dυ συ+ ∂σρ ∂υ σρ+ dρ ∂τυρ C ∂ρ dυ τυρ+ ∂υ
B
fυ
§ 4-1 极坐标中的平衡微分方程
·平衡微分方程
x
υ dυ ρ
Σ Fρ = 0 :
συ
A
σρ τρυ P τυρ
∂σρ σρ+ dρ (ρ+dρ)dυ - σρ ρdυ ∂ρ ∂συ dυ - συ+ dυ dρ sin ∂υ 2 + τυρ+ - συ dρ sin
Σ Fυ = 0 :
συ = ?
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
συ = ?
将两坐标系下微元体组合
τyx σy σx συ
τυρ τxy
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
O x
υ
τyx
σy σx
συ y
τυρ τxy
Σ Fυ = 0 :
O h/2 h/2 lqx源自(v)x=0, l = 0
应力边界条件： ( σy ) y=-h/2 = - q (τyx ) y=-h/2 = 0 ( σy ) y= h/2 = 0 (τyx ) y= h/2 = 0
弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答

弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答

两 面面积不等，分别为 ρd φ ， ρ d ρ d φ 。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。
微分体上的作用力有：
体力-- f ρ , fφ ， 以坐标正向为正。 应力-- ρ面， φ面分别表示应力及其 增量。
应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反 之为负 。
平衡条件：
(b)
u u sin v cos。
导数的变换：
将对 x, y 的导数，变换为对 , 的导数：
F (x, y) 可看成是 F (, )，而 , 又是 x, y
的函数，即 F 是通过中间变量 , 为 x, y
的复合函数。
有: F
Φ Φ ρ Φ φ , x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
d
2
f ρ ρddρ
0
上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得
1
f
0。
(a)
式( a )中 1、2、4 项与直角坐标的方向相似; 而
σρ
ρ -- 是由于 面ρ面积大于 面的ρ面
积而引起的，
σφ ρ
-- 是由于 面上的
在C点的
向有 投影。
Fφ 0 --通过形心C的 φ向合力为0，
故物理方程形式相似。
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，
只须作如下同样变换，
E
1
E
2
,
。 1
泰勒展开
Exercise : Chap 4
Today: 4-1， 4-2 End of Lecture 9
边界条件
弹性力学第4章-平面问题的极坐标解答

弹性力学第4章-平面问题的极坐标解答


两面不平行, d 夹角为 φ; 两
ρ 面面积不等,分别为 ρdφ, ( ρ + d ρ) dφ. ρ从原点出发为正, 从 x 轴向 y 轴方向转动为正.
微分体上的作用力有: 微分体上的作用力有
体力-- f ρ , f φ , 以坐标正向为正. -应力---
作用力
±ρ
面, φ 面分别表示应力及其增量. ±
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移
第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 例题
圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力
基本方程的区别. 对于圆形,弧形,扇形及由径向线和环向围成的物 体,宜用极坐标求解.用极坐标表示边界简单,使边界条 件简化.
在A内任一点(ρ, )取出一个微分体,考虑其平 衡条件. 微分体:由夹 角为d φ的两 径向线和距离 为d ρ的两环 向线围成.
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
注意: 注意:
即 Φ是通过中间变量 ρ,φ ,为 x, y 的复合函数. 有: Φ = Φ ρ + Φ φ, Φ=Φρ +Φφ. 而
ρ x φ x y ρ y φ y sin cos ρ ρ = , = sin; = cos, . = ρ x y ρ y x x
代入,即得一阶导数的变换公式,
Φ sin Φ sinφ Φ=cosφ =(cosφ )Φ x ρ ρ φ ρ ρ φ
u = uρ cos u sin, v = uρ sin + u cos.
(c) (d)
弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答(1)

弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答(1)


1. 极坐标中的微元体
径向体力： kr 环向体力： k
应力：PA面 ,r
O
r
d r r
rd B
Pr x
(r dr)d
dr
kr k
A
r
r
r
dr
PB面 r , r
d
BC面
r
r
d
AC面
r
r
r
dr
r
r
r
dr
y
d
C
r
r
r
d
r
r
dr
应力正向规定：
正应力 —— 拉为正，压为负；
2 x 2
2 y 2
( x
y)
0
4
4x 42源自4x 2 y2
4
y 4
0
（2-25） 常体力简化 (2-27)
应力的应力函数表示：
x
2
y 2
Xx
y
2
x 2
Yy
xy
2
xy
(2-26)
(x, y)
极坐标下的应力函数与相容方程
（1）极坐标与直角坐标间的关系：
O
r2 x2 y2
arctan y
x
r
x
0
2
y 2
0
r
y
x y
P
y 0
2
x 2
0
当
0时,
x y
r
r
xy 0
2
xy
0
1 r2
1 r
2 2
1 r r
r
x 0
2
y 2
sin 2
0
2
弹性力学平面问题的极坐标解答课件

弹性力学平面问题的极坐标解答课件


b
a
2
ln
a
b2
a
2
0
位移的确定
H, I, K待定
u
1 E
(1 )
A
(1 3 )B
2(1 )B(ln
1)
2(1
)C
I
sin
K
cos
u
4B
E
H
I
cos
K
sin
左端固定：(u )0 0
0,
(u ) 0 0
0,
u
0
0
0
常数的确定：
H
I
0,
K
1 E
极坐标下的双调和方程
代入协调方程，得到应力函数U需满足
的双调和方程
2
2
1
1
2
2
2
2U
2
1
U
1
2
2U
2
0
§7-2 轴对称应力及其位移
应力函数与无关，双调和方程为
d2
d 2
1
d
d
d2 U
d 2
1
dU
d
0
4
d4 U
d 4
23
d3 U
d 3
2
d2 U
d 2
dU
问题描述 任一截面上的弯矩：
M () F cos R tan F R sin
应力函数：
U f () sin
O
m
ba
F
x
n
y
f()的求解及应力表达式
微分方程及其通解
d2
d 2
1
d
d
1
2
d2 f
弹性力学 第4章 1-5 极坐标解答

弹性力学 第4章 1-5 极坐标解答


(4 12)
u H
若适当给定约束条件，无刚体位移
u | 0 , u | / 2 0 F K I 0
A 1 C u (1 ) (1 ) E E u 0
R2
•五. 特例
1.只受内压
R ( )2 1

2
1 qr
A ln B 2 ln C 2 D (4 10)
2.应力分量的通解

A

2
B(1 2 ln ) 2C B(3 2 ln ) 2C (4 11)
0
A

2
3.位移分量的通解
I cos K sin
§4.5 轴对称应力和对应的位移
构件的几何形状，受力都关于通过Z轴对称。则为 轴对称应力问题，应力分量和应力函数均与无关。
( )
( )
( )
1.应力分量（不计体力，与无关）
1 d d d 2 2 d
0
2.相容方程：（采用应力函数，不计体力）
d2 d 2 ( 2 ) d d d2 d 2 ( 2 ) 0 d d
3.这是一个常微分方程，可以求得通解为：
A ln B 2 ln C 2 D
(4 10)
轴对称应力问题的求解
1.应力函数的通解：
(4)针孔问题（应力集中） 受外压qb内径a0时：
| r
2 q 2q2 r 2 2 1 ( ) R
孔虽然很小，但孔边应力却提高了近2倍， 这就是应力集中现象。如果外力为拉力， 则此处为2倍的拉力实际问题中,孔边发 生开裂，就是这个原因。
英汉双语弹性力学4

英汉双语弹性力学4


7
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
在处理弹性力学问题时，选择什么形式的坐标系统，虽 不会影响对问题本质的描绘，但将直接关系到解决问题的难 易程度。如坐标选得合适，可使问题大为简化。例如对于圆 形、楔形、扇形等物体，采用极坐标求解比用直角坐标方便 的多。 考虑平面上的一个微分体 PACB
8
normal stress in the r direction is called radial normal stress denoted by r ;normal stress in the direction is called tangential normal stress denoted by ;shear stress is denoted by r ,stipulation of sign of each stress component are similar to ones in rectangular coordinates.Body force components of radial and hoop are denoted by K rand K ,respectively. Fig.4-1.
整理以上两式，得：
2
2
2
12
r 1 r r Kr 0 r r r 1 r 2 r K 0 r r r
These are differential formulas of equilibrium in polar coordinates. Two differential formulas of equilibrium contain three unknown functions r and , r r , so it is a statically determinate question.thus must consider deformation condition and physical relationship. Above formulas differ from equilibrium equations in planar coordinates where stress components are expressed by partial derivative.In polar coordinates, areas of which unit element is perpendicular to two side faces are not equal,and difference is increasing with radius reducing ,which can be seen from underline 13 items in the formulas.
弹性力学-04平面问题的极坐标解答 (2)PPT

弹性力学-04平面问题的极坐标解答 (2)PPT


ur , u 为边界上已知的位移分量。
应力边界条件：
lrsm rsfr m slrsf
f r , f 为边界上已知的面力分量。lcos(N,r) mcos(N,)
特别地，对r =常数的边界，应力边界条件简化为：
r r常数＝pn
r r常数＝pt
对 =常数的边界，应力边界条件简化为：
常数＝pn
y
x r2
cos
r
x y
x r xr xcos r sinr cosrsinr
y r yr ysin r cors sinrcors
2 x 2 c o s r sin r c o s r sin r
x x
cos2 2 r 2 sin21 r rr12 2 2
r 常数＝pt
0
r l
q0
r 0 0
0 r 0
r ra 0 r ra 0
r rb 0 r rb 0
b
a 0 dr0
b
a r 0 dr 0
b
a
0
rd
rM
ur /2 0 u /2 0
lr
r
r
0 0 r0
0 180 r0
r 0 0 r0
r 180 0 r0
r r
1 r r
r
r
fr
0
y
F 0,
d r
r
P r
x
(rdr)d
r
rd B
dr
fr
f
A
r
r
r
d
C
r
r
r
d
r
r
dr dr
dd
r
dr

04 平面问题的极坐标解答

河南理工大学力学系
弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
直角坐标下的相容方程为
4 4 4 4 4 2 2 2 4 0 x x y y
（平面应力）
应力的应力函数表示：
2 x 2 fx x y
Theory of Elasticity and Finite Element Method
弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
2016年11月13日
弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
主
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6
要
内
容
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力
河南理工大学力学系
弹性力学与有限元 极坐标下的相容方程为：
第四章 平面问题的极坐标解答
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2
2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 x y
极坐标下的 Laplace 微分算子：
2 2 1 1 2 2 2 2
河南理工大学力学系
弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
三、边界条件
极坐标下，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：
C，或 C,
所以边界条件形式比较简单。
思考题
1、试考虑在导出几何方程时，考虑到哪一阶微量，略去了 哪些更高阶的微量？ 2、试比较极坐标中和直角坐标中的基本方程和边界条件， 有哪些相似之处和不同之处，为什么会有这些差别？

弹性力学1 第四章


Coordinates
O
θ dθ
r
x
P
ur
dr
P
A
B
B
A
y
Firstly, we assume that only the radial displacement takes place.仅考虑径向位移
弹性力学 第四章 9
§4.2.1 Geometrical Equations in Polar
§4.1 Differential equations of equilibrium
in polar coordinates
Replacing τ θr by τ rθ ,simplifying the equation, dividing it by rdθdθ and then neglecting the infinitesimal terms, we obtain
Coordinates
In considering the displacement in polar coordinates, let us denote by u r and uθ the components of the displacement in the radial and circumferential directions,respectively.
P P
uθ
dr
A A
B
B
y
and that of PB will be
u PP β POP θ OP r
弹性力学 第四章
4. 2. 9
17
§4.2.1 Geometrical Equations in Polar
Coordinates

弹性力学第四章 用极坐标解平面问题

第四章 用极坐标解平面问题4.1.极坐标中的平衡微分方程工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的结构物。

在这些情况下，用直角坐标描述边界条件会变得相当复杂，由于极坐标使得结构的边界与坐标线一致，因而使边界条件的描述更加简单，使问题更易于求解。

首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。

用夹角为ϕd 的两条极径和两条半径相差为ρd 的同心圆弧截取一个微元体（图4.1）。

圆弧截面称为ρ面。

面的法向沿径向而且指向ρ增加方向，这一圆弧面称为正ρ面，反之称为负ρ面。

极径截面称为ϕ面。

面的法向沿环向而且指向ϕ增加方向，这一极径截面称为正ϕ面。

反之称为负ϕ面。

ρ面上的正应力用ρσ表示，剪应力用ρϕτ表示。

ϕ面上的正应力用ϕσ表示，剪应力用ϕρτ表示。

用ρf 表示体积力在径向的分量,用ϕf 表示体积力在环向的分量。

应力的符号规定与直角坐标下的规定完全相同：正面上指向正向（坐标增加的方向）的应力为正值应力，负面上指向负向（坐标减小的方向）的应力亦为正值应力，反之，为负值的应力。

体积力符号规定也与直角坐标下的规定相同，指向坐标轴正向（坐标增加的方向）的体积力为正值，反之，为负值。

直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。

从理论上说，我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的基本方程导出极坐标下的相应方程。

但是，为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解，我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平衡导出极坐标下的平衡微分方程。

我们取一个微分单元体研究，各个面上的应力分量和体积力如图4.2所示。

负ρ面上的正应力为ρσ，剪应力为ρϕτ；正ρ面的坐标比负ρ面增加了ρd ，所以正ρ面的应力和负ρ面相比，应力产生了一个增量，分别为ρρσσρρd ∂∂+和ρρττρϕρϕd ∂∂+。

负ϕ面上的正应力为ϕσ，剪应力为ϕρτ；正ϕ面的坐标比负ϕ面增加了ϕd ，所以正ϕ面的应力和负ϕ面相比，应力产生了一个增量，分别为ϕϕσσϕϕd ∂∂+和ϕϕττϕρϕρd ∂∂+。

弹性力学双语讲义(Chapter4)

10
Only the circumferential displacement takes place只有环向位移
• the angle of rotation of PA will be =(AA-PP)/ PA =[(u+u/rdr)-u ]/dr= u/r • the angle of rotation of PB will be =<pop =- PP/OP=-u/r • rr =+=u/r-u/r
• the angle of rotation of PA will be =0 • the angle of rotation of PB will be =(BBPP)/PB=[(ur+ur/d)-ur]/rd=ur/(r) • rr =+=ur/(r)
9
13
rxy=u/y+v/x中的一般规律
• 由rxy=u/y+v/x，总结出一般规律，即设有 两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如 u）对另一个坐标方向（y）求导为该坐标方向 （y）线段的转角。 1. u/y--x方向的位移 u 对y坐标求导为y方向线 段的转角。 2. v/x--y方向的位移 v 对x坐标求导为x方向线 段的转角。 • 应用这一规律于极坐标，就能方便地解释 ur/(r) +u/r为rr中的项。

4.2 geometrical and physical equations in polar coordinates极坐标中的几何物理方程
• P57(E) Fig. 4.2.1;P60(中)图4-2
7
Only the radial displacement takes place只有径向位移
12
x=u/x y=v/y中的规律
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• Egs. (4.4.1)---(4.4.12)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第四章
19
4.5 Axisymmetrial stresses and corresponding displacements轴对称应力和相应的位移
• Axisymmetrial stresses：轴对称应力： 1.the normal stress components are independent of 2.the shearing stress components vanish 3.hence the stress distribution is symmetrical with respect to any plane passing through the z axis.
• (r-)/r---正r面面积大于负r面面积, 与通过 形心的r轴有一角度
• 2r/r---- r 作用的正r面面积大于负r面面积， r与通过形心的 轴有一角度
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第四章
6
4.2 geometrical and physical equations in polar coordinates极坐标中的几何物理方程
• =(PB-PB)/PB=[(r+ur)d-rd]/(rd)=ur/r
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第四章
8
Only the radial displacement takes place只有径向位移
• the angle of rotation of PA will be =0
• the angle of rotation of PB will be =(BBPP)/PB=[(ur+ur/d)-ur]/rd=ur/(r)
defined by the radial coordinate r and the
angular coordinate .
一点Pisplacements:位移： ur u
• strains:应变:
r rr
• stresses: 应力：
r r
• body force:体力: Kr K
• Substituting the strains into geometrical
equations and then doing some integration, we obtain the displacements. 将应变分量代入几何 方程并积分等可得位移分量，一般不为轴对称 。
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(4.5.17)
• they are usually not symmetrical about the z
axis. 位移分量一般不为轴对称.
• u=4Br/E may be multi-valued displacements.可能为位移多值项。
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弹性力学 第四章
27
The symmetrical displacements in plane
• P57(E) Fig. 4.2.1;P60(中)图4-2
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弹性力学 第四章
7
Only the radial displacement takes place只有径向位移
• PP=ur AA=ur+ur/ rdr BB= ur+ur/ d
• r=(PA -PA)/PA=(AA-PP)/PA=[(ur+ur/rdr)ur]/dr=ur/r
2. v/x--y方向的位移 v 对x坐标求导为x方向线 段的转角。
• 应用这一规律于极坐标，就能方便地解释 ur/(r) +u/r为rr中的项。
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弹性力学 第四章
14
=ur/r +u/(r)
• =[2(r+a)- 2r])/ 2r=a/r
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弹性力学 第四章
r4’’’’+2r3 ’’’ -r2 ’’ +r’=0
• Assume r=et
• =Alnr+Br2lnr+Cr2+D
(4.5.2)
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弹性力学 第四章
25
the corresponding strains and displacements 相应的应变及位移
• Substitution of Eqs. (4.5.3)-(4.5.5) into physical Equations yields the axisymmetrical strain components. 将式 (4.5.3)-(4.5.5) 的应力代入物 理方程得应变分量，为轴对称。
Chapter 4 solution of plane problems in polar coordinates
第四章 平面问题极坐标解答
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弹性力学 第四章
1
Polar coordinates 极坐标
• The position of a point P in polar coordinates is
r= r(r) = (r) r=0
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弹性力学 第四章
20
r= r(r) = (r) r=0
r(r)
(r)
(r)
r(r)
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Axisymmetrial stresses 轴对称应力
• r=/(rr)+2/(r22) = 2/r2 r=- (/r)[/(r)]= -1/r 2/(r)+1/r2 /
and in place of x and y respectively.
• x=[x- y]/E y=[y- x]/E
x--r
rxy=xy/G y--
(2.6.4)
• r=[r- ]/E =[ - r]/E rr=r/G
(4.2.14-16)
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弹性力学 第四章
17
4.3 stress function and compatibility equation in polar coordinates
• 由x=u/x y=v/y，得出规律：某一坐标方 向的位移对该坐标求导为该坐标方向的正应变 中的项。
1. x=u/x ---x方向的位移u对x坐标求导u/x 为 x方向线段的正应变 x 。
2. y=v/y ---y方向的位移 v 对y坐标求导 v/y 为y方向线段的正应变 y 。
• 将此规律应用到极坐标。则有r方向的位移ur 对r求导为r方向的正应变中的项r=ur/r。 方向的位移u对求导（再除以r以保持因次一 致），为方向的正应变中的项=u/(r)。
• =Alnr+Br2lnr+Cr2+D
(4.5.2)
• r=/(rr)=A/r2+B(1+2lnr)+2C = 2/r2 =-A/r2+B(3+2lnr)+2C
r=0
(4.5.3) (4.5.4) (4.5.5)
• Substitution of Eqs. (4.5.3)-(4.5.5) into physical
x=u/x y=v/y
rxy=u/y+v/x
• geometrical equations in polar coordinates 极坐标中的几何方程
• r=ur/r
=ur/r +u/(r)
rr =ur/(r) +u/r-u/r
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x=u/x y=v/y中的规律
极坐标中的应力函数及相容方程
• r=/(rr)+2/(r22) = 2/r2 r=- (/r)[/(r)]= -1/r 2/(r)+1/r2 /
• r+=/(rr)+2/(r22)+2/r2
• x+y= 2/y2+2/x2 r+= x+y
• /(rr)+2/(r22)+2/r2= 2/y2+2/x2
弹性力学 第四章
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The corresponding displacements in plane stress problems 平面应力问题的相应位移
• ur=1/E[-(1+)A/r+2(1-)Br(lnr-1)+(1-3)Br
+2(1- )Cr]+Icos+Ksin
(4.5.16)
u=4Br/E+Hr-Isin+Kcos
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弹性力学 第四章
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rxy=u/y+v/x中的一般规律
• 由rxy=u/y+v/x，总结出一般规律，即设有 两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如 u）对另一个坐标方向（y）求导为该坐标方向 （y）线段的转角。
1. u/y--x方向的位移 u 对y坐标求导为y方向线 段的转角。
=(r)
r=/(rr) = 2/r2 r=0
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the compatibility equation and its solution 相容方程及其解
• 4 =[/(rr)+2/(r22)+2/r2 ]2 =0 (4.3.9)
=(r)
4 =[/(rr)+2/r2 ]2 =0
Equations yields the axisymmetrical strain
components.