第六讲 特殊值法的运用技巧

思想方法6特殊值法与极限法[方法概述]在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定，这时我们可以尝试采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。

对于某些具有复杂运算的题目，还可以通过特殊值验证的方法排除错误选项，提高效率。

[典型例题]典例1图示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为σ。

取环面中心O为原点，以垂直于环面的轴线为x轴。

设轴上任意点P到O点的距离为x，P点电场强度的大小为E。

下面给出E的四个表达式(式中k为静电力常量)，其中只有一个是合理的。

你可能不会求解此处的场强E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。

根据你的判断，E的合理表达式应为()A．E＝2πkσ(R1x2＋R21－R2x2＋R22)xB．E＝2πkσ(1x2＋R21－1x2＋R22)xC．E＝2πkσ(R1x2＋R21＋R2x2＋R22)xD．E＝2πkσ(1x2＋R21＋1x2＋R22)x解析当R1＝0时，带电圆环演变为带电圆面，则中心轴线上任意一点的电场强度的大小E不可能小于0，而A项中，E<0，故A错误；当x→∞时E→0，而C 项中E＝2πkσ· (R21x2x2＋R21＋R22x2x2＋R22)＝2πkσ·(11x2＋1R21＋11x2＋1R22)，x→∞时，E→2πkσ(R1＋R2)，同理可知D项中x→∞时，E→4πkσ，故C、D错误；所以正确选项只能为B。

答案 B名师点评若题目提示不能用常规方法做，需要另辟蹊径：特殊值法验证，单位制检验，根据表达式的形式判断，定性分析。

(1)P点电场强度应该是完整的圆产生的电场强度与中间圆产生的电场强度之差，表达式在形式上应该是两式相减，排除C、D。

解题宝典特殊值法是指借助满足题目条件的特殊值来解答问题的方法.特殊值法是解答高中数学问题的常用方法，尤其是在解答选择题、填空题时运用特殊值法，能巧妙优化解题的方案，简化解题的过程.那么如何运用特殊值法来解题呢？一、巧取特殊的数值有些代数问题较为复杂，且计算量较大，此时我们可以根据题意寻找一些特殊的数值，将其代入到题目当中，从中寻找到一定的规律，然后采用先猜想后验证的方法、归纳法、递归法等来解题.运用特殊值法解题，有助于快速找到解题的突破口，达到化难为易的目的.例1.定义在区间()-∞,+∞的奇函数f ()x 为增函数，偶函数g ()x 在区间[)0，+∞上的图象与函数f ()x 的图象重合.设a >b >0，则下列不等式中正确的是（）.A.f ()b -f ()-a >g ()a -g ()bB.f ()b -f ()-a <g ()a -g ()-bC.f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-aD.f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-a 解：令f ()x =x ，g ()x =||x ，取a =2,b =1,所以f ()a =f ()2=2，f ()-a =f ()-2=-2，f ()b =f (1)=1,f ()-b =f ()-1=-1,g ()a =g ()2=2,g ()-a =g ()-2=2；g ()b =g ()1=1，g ()-b =g ()-1=1.所以f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-a ，故选C .我们首先结合题意找到了两个满足题目条件的两个函数f ()x =x 、g ()x =||x ，然后取特殊值a =2、b =1,将其代入函数解析式中计算，便能快速解题.例2.（Ⅰ）已知在数列{}C n 中，C n =2n +3n ，且数列{}C n -pC n -1是等比数列，求常数p .（Ⅱ）设{}a n ，{}b n 是公比不相等的两个等比数列，且C n =a n +b n，证明数列{}C n 不是等比数列.解：（Ⅰ）由C n =2n +3n得C 1=5、C 2=13、C 3=35、C 4=97，又因为C 2-pC 1、C 3-pC 2、C 4-pC 3为等比数列，所以()35-13p 2=()13-5p ()97-35p ，解得p =2或3.（Ⅱ）设{}a n 、{}b n 的公比分别为p 、q 且p ≠q ，则它们的前三项为a 1、a 1p 、a 1p 2和b 1、b 1p 、b 1p 2,其中a 1b 1≠0，所以C 1=a 1+b 1、C 2=a 1p +b 1q 、C 3=a 1p 2+b 12q 2，从而C 1C 3=a 12p 12+a 1b 1()p 2+q 2+b 12q 2，C 22=a 12p 12+2a 1b 1pq +b 12q 2.又因为p ≠q ，p 2+q 2>2pq ,所以C 22≠C 1C 3从而{}C n 不是等比数列.对于问题（Ⅰ），主要抓住了{}C n -pC n -1为等比数列的信息，然后取特殊值n =1,2,3,4，得到数列的前三项C 2-pC 1、C 3-pC 2、C 4-pC 3，利用等比数列的性质建立关系式，求得p 的值，最后验证结果即可.解答问题（Ⅱ），需首先结合题意设出两个数列的公比，取数列的前三项，利用等比数列的性质证明结论.二、巧造特殊的图形有些几何问题中的图形为不规则的图形，难以直接运用所学的公式、定理、法则来解题.我们可以将图形特殊化，巧妙构造满足题意的、规则的、特殊的图形，或者直接将已知图形视为某种规则的、特殊的图形.这样会给我们解题带来很大的方便.例3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF //AB ,EF =32,EF 与AC的距离为2，则该多面体的体积为（）.A.92B.5C.6D.152解：假设EF ⊥面FBC ,所以V E -FBC =13S ΔFBC ∙EF =13×12×3×2×32=32，而四棱锥E -ABCD 的体积为V E -ABCD =13×3×3×2=6,所以V ABCDEF =V E -ABCD +V E -FBC =152,故选D .题目中的图形呈现不规则状态，需对多面体作特殊化处理，于是假设EF ⊥面FBC ，这样三棱锥E -FBC 就成为直三棱锥，运用直三棱锥的体积公式便能快速得到结果.综上所述，运用特殊值法解题的关键是寻找满足题意的特殊数值、图形，将其代入题中进行求解.运用特殊值法解题，能让问题变得更加简单、直观，有助于培养同学们运用“从特殊到一般”“从一般到特殊”思想解答问题的能力.（作者单位：江苏省射阳县高级中学）巧用特殊值法提升解题的效率石建春40。

有理数解题技巧（2）—特殊值法，解题速度快速提高（值得
收藏）
特殊值法：即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。

用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。

此类问题通常具有一个共性：题干中给出一些一般性的条件而要求得出某些特定的结论或数值。

在解决时可将问题提供的条件特殊化，特殊化使问题由抽象到具体，由复杂到简单，从而有利于问题的解决。

解：因为a在－1和0之间，所以取a=-0.7,因为b 在0和1之间，所以可在范围内取b=0.3那么代入代数式，就可得到答案为D利用特殊值法解答问题，不仅可以选用特别的数值代入原题，使原题得以解决而且可以作出符合条件的特殊图形来进行计算或推理。

那下面我们来介绍一下中考试题中，特殊值法的应用。

初中物理特殊值法
特殊值法在初中物理中是一种常用的解题方法，它主要是通过选取符合题目条件的特殊值进行计算和推理，从而得出结论。

这种方法可以简化计算过程，提高解题效率。

在使用特殊值法时，需要注意以下几点：
选取的特殊值必须符合题目条件，不能随意选取。

选取的特殊值应该易于计算，以便快速得出结果。

通过特殊值法得出的结论应该具有普遍性，即不能仅适用于特殊情况，而应该适用于一般情况。

下面举几个初中物理中特殊值法的应用例子：
在求解电阻、电流、电压等问题时，可以选取一些特殊的电阻值、电流值或电压值进行计算，从而得出一般规律。

在求解密度、质量、体积等问题时，可以选取一些特殊的物质或物体进行计算，从而得出一般规律。

在求解浮力问题时，可以选取一些特殊的物体或液体进行计算，从而得出一般规律。

需要注意的是，特殊值法虽然可以简化计算过程，但并不能完全代替其他解题方法。

在解题时，应该根据具体情况选择合适的解题方法，以便更好
地解决问题。

特殊值法解题技巧广东省和平县下车中学 刘玉燕特殊值法解题,可以绕开复杂的推理、运算,准确、快捷地得出答案。

在讲究解题速度的考试时使用能收到事半功倍的效果。

特殊值法解题的要点是: 1.在取值范围内取特殊值； 2.为使运算简便,一般所取的值应是绝对值较小的整数；3.将所取的值代入题中,通过运算、比较,得出答案。

下面常见的考试题用特殊值法来解，真是妙不可言。

一、填空题例 1. 已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数234yx x的图象上，若21330,22x x 则1y ，2y 具有的大小关系为______________分析：因为抛物线234yx x的对称轴是32x，由21330,22x x 易知A ，B 两点在抛物线对称轴的两侧，要确定1y ，2y 大小关系，通常要先把A ，B 点转移到对称轴的同一侧,再根据12,x x 的大小关系确定1y ，2y 大小关系.而若在取值范围内取12,x x 的特殊值，代入234yx x求出1y ，2y ，再比较，就很容易。

解: 21330,22x x 取213,1,x x 此时133310,22y213146, 2233344,64,y 故12y y例2．（1）若1a ，则21,,,a a a a从小到大排列为______________。

（2） 若01a ，则21,,,a a a a从小到大排列为______________。

分析：上题若用不等式的性质来解，容易造成混乱。

取特殊值后就很清晰。

解：（1）1,a 取2,a 则2112,,42aa a211224,2aaa a（2）01,a 取12a，则2111,2,.24a a a211112,.242aa aa二、选择题例 3已知一次函数(2)1y a x 的图象不经过第三象限，则化简296a a 的结果是（ ）（A ） 1 （B ） 1 （ C ）25a( D) 52a 分析：||a ，再由0,0,0a a a 确定结果。

【数学思想系列】妙用特殊值法
特殊与一般思想
人们对一类新事物的认识往往是通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程．但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程．于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一．数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的思想，就是数学研究中的特殊与一般思想．
【典型例题】
例7．（12无锡）如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF 的长（）．
【解析】
【方法一】
解：连接NE，
设∠PAB＝30°，则∠ACO＝∠PBA＝60°，
∵⊙M的半径为4，圆心为M（﹣5，0），∴AB＝8，A（－9，0），B（－1，0），
由垂径定理得：OE＝OF，OE2＝EN2﹣ON2＝r2﹣x2＝9，即OE ＝OF＝3，
∴EF＝2OE＝6，
故答案为：C．
【总结】使用特殊角度代入求出，或者直接设未知数都可以获得正确答案．
【举一反三】
【解析】
【总结】本题方法多样，根据a、b、c、d都是正实数，可以采用特值法，方便快捷得到正确答案．。

数量关系解题技巧：特值法在几何问题中的运用【导读】几何问题一般分为两种，一种是平面几何，一种是立体几何，而平面几何中求阴影面积的问题更是几何问题里较为典型和常考的一种题型，今天我们就平面几何中求解阴影图形面积给大家介绍一种常用方法叫做特值法。

特值法就是将题中的未知量设为特殊值的方法，在几何题型中往往一些点的位置是任意的，或者一些图形的形状是任意的，没有做特殊规定，因而我们可以将点的位置设成端点或等分点或其他特殊点，将不规则图形设成规则图形进而求解。

下面我们通过几个例题来为大家讲解特值法在解决阴影图形面积的题型中如何巧妙运用。

例1. 如图所示，矩形ABCD的面积为1，E、F、G、H 分别为四条边的中点，I是FE上任一动点，问阴影部分的面积为多少?A.1/3B.1/4C.1/5D.1/6【答案】B【答案解析】：题目中告知I是FE上任一动点，那我们为了让题目更容易就将I点设在E点上，那么三角形IGH就转换成了EGH。

四边形EGCD为矩形ABCD的一半，而此时的阴影面积又是四边形EGCD的一半，故四边形EGCD的面积为1/4。

例2.如图，把四边形ABCD的各边延长，使AB=BA’，BC=CB’，CD=DC’，DA=AD’，得到一个大的四边形A’B’C’D’A’B’C’D’，若四边形ABCD的面积是10，则四边形A’B’C’D’的面积为多少?A.30B.40C.50D.60【答案】C【答案解析】：这道题的原题干没有规律可循，那么我们不妨在不改变原题的情况下根据题中元素的任意性，赋予特值，快捷解题。

我们可以直接设ABCD为正方形，且正方形的边长为1，面积为1.根据题意我们可得到下面这幅图，那么DD’=2，DC’=1，则SC’DD’=1×2×1/2=1，同理可得ΔD’AA’，ΔA’BB’，ΔB’CC’的面积均为1，因此四边形A’B’C’D’的面积为5，因此，当四边形ABCD的面积为10时，四边形A’B’C’D’的面积为50。

数学考试技巧附案例习题解题技巧-特殊值法在数学研究中，“从特殊到一般”是重要的思想方法。

数学竞赛题，由于其难度，多少有些研究的性质。

于是对许多竞赛题目，“特殊值法”显得至关重要。

3.1 什么是“特殊值法”特殊值法，又称“和谐法”，就是对题目中所给的表达式，代入特殊值，寻找其规律。

特殊值，就是易于计算、求解的值。

对代数问题，往往是中值（平均值）、边值（最大最小）。

当自变量取特殊值时，函数值往往位于极值点（区间上的最大、最小值）。

对其它问题，就是规模较小，简单的，或具有特殊性质的代入值。

3.2 特殊值法的理论依据若函数f(x)为凸函数，由琴生不等式（导数法证明），有f(a1x1+a2x2+...+a n x n)≤a1 f(x1)+a2 f(x2)+...+a n f(x n). 即：对n个不同变量，他们和的函数与函数的和具有不等关系。

同样，对其他运算，也有类似的不等式存在。

特殊值法的证明，通用方法是导数法。

以3个变量的函数f(x,y,z)为例，设x+y+z=k为常数，x≥y≥z.其中x≥k/3, z≤k/3.先固定x，调整y,z, 即函数f(y,z).又y+z=k-x为常数，则有z=k-x-y,三元函数变为一元函数f(z). 求f(z)含z单项的导数f’(z),可得当z=(k-x)/2时，f’(z)=0; z<(k-x)/2时，f’(z)<0; z>(k-x)/2时，f’(z)>0. 即应用单调性可得，对0<z<k/3, y=z 时f(z)最大。

此时y=z=(k-x)/2. 这次调整使y,z相等。

同理，固定z, 可得x=y. 由此，x=y=z. 这是一种逐步调整的策略。

对于多元函数的情形，可类似的证明。

（详细推导步骤见单墫《利用导数证明不等式》，《中等数学》2006年第2期）由此，我们知道特殊值法的适用范围：当不等式的“一项”为单峰函数（中间值最大或最小）时，可使用特殊值法，此时最值取在均值处，而边值处为另一个最值。