单位脉冲函数及傅里叶变换的性质-33页精选文档

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傅里叶变换及其性质

αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示双边指数函数的频谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号f(t)，无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频谱函数。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:

单位脉冲函数的傅里叶变换是多少

单位脉冲函数的傅里叶变换是多少单位脉冲函数是信号处理中经常用到的一个特殊函数，用于描述一个瞬时产生的、幅度为1的脉冲信号。

该函数在时域上只在时间原点上有非零值，而在频域上则具有平坦的频率响应。

为了理解单位脉冲函数的傅里叶变换，我们首先要了解什么是傅里叶变换。

傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，通过将一个时域信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加来表示。

傅里叶变换的结果是一个复数函数，它描述了信号在不同频率上的振幅和相位信息。

对于单位脉冲函数，其数学表示可以用δ(t)表示。

根据傅里叶变换的定义，我们可以通过计算脉冲函数的傅里叶变换来得到该函数在频域上的表示。

脉冲函数的傅里叶变换可以表示为：F(ω) = ∫[δ(t) * e^(-jωt)]dt这里的F(ω)表示单位脉冲函数在频域上的傅里叶变换，ω是频率变量，j是虚数单位。

对于单位脉冲函数的傅里叶变换，结果是一个常数函数。

傅里叶变换使我们能够将一个信号从时域转换到频域，从而可以在频域上进行分析和处理。

对于单位脉冲函数来说，其傅里叶变换结果为常数函数，这意味着单位脉冲函数在频域上具有相等的振幅和相位信息。

这个结果在很多实际应用中都非常有用。

一个重要的应用例子是系统的频率响应分析。

我们可以将单位脉冲函数通过一个系统，然后对系统的输出进行傅里叶变换得到系统在频域上的响应。

由于单位脉冲函数在频域上具有平坦的响应，这使得我们可以很方便地得到系统在不同频率上的响应特性。

此外，单位脉冲函数的傅里叶变换还用于信号的采样与重构、卷积等信号处理操作中。

通过将信号转换到频域进行处理，我们可以更好地理解信号的频谱特性，从而进行更精确的信号分析和处理。

综上所述，单位脉冲函数的傅里叶变换结果为常数函数，该结果在信号处理和系统分析中具有重要的应用。

傅里叶变换使我们能够将信号从时域转换到频域，从而可以更好地理解信号的振幅和相位信息。

通过对单位脉冲函数的傅里叶变换，我们可以得到信号在不同频率上的特性，这对于信号处理和系统分析具有指导意义。

傅里叶变换

1.2 傅立叶变换
1.2.1 傅立叶变换的概念
F () f (t)e jt dt
f (t) 1 F ()e j t d
2
F() 叫做 f (t) 的傅氏变换,象函数,可记做 F() =ℱ [ f (t) ]
f (t) 叫做 F() 的傅氏逆变换,象原函数, f (t) =ℱ 1 F()
t
(t t0 ) 定义为满足下列条件的函数
(1)
(t
t0
)
0，t t0 ，t t0
(2)
(t t0 )dt 1
如下图
1
(t t0 )
o
t0
t
1.3.2 函数的性质
（1）对任意的连续函数 f (t) ,都有筛选性质如下
(t) f (t)dt=f 0
(t) f (t) (t) f 0
第1章傅里叶变换
1.1 傅里叶变换的概念 1.2 单位脉冲函数（函数）
1.3 傅里叶变换的性质
注：与工程上统一，本章虚数单位记为 j
§1.1 傅里叶变换的概念
§1.1.1傅里叶级数
定义1 设函数 f (t) 在实轴的任何有限区间上都
R
可积.若极限
lim
R
f (t)dt
R
存在,则称在主值
例5 证明 f (t) 1 的傅氏变换为 F() 2 ()
证明 f (t) =ℱ 1 F()
1 F ()e jtd 1 2 ()e jtd
2
2
e j t
1
0
所以 2 () 1
例6
可以证明单位阶跃函数
1 u(t) 0
t 0 t0
的傅氏变换为 F () 1 ()
j

傅里叶变换性质及定理

2
(1-15)
(1-16)
• 将变量t与ω
互换 2f ( ) F (t)e jtdt
所以
2πf(-ω) ←→ F(t)
特别地，当f(t)是t的偶函数，那么
F(t) ←→ 2πf(-ω)=2πf(ω)
即有
f () 1 F(t) 2
(1-17)
•
例1-6 已知F1(ω)如图1-10所示，利
仍以例1-3的f1(t)、 f(t)为例， f0(t)
的频谱F0(ω)如图1-7(b)所示。利用一个
低通滤波器（在后面介绍），滤除2ω0附
近的频率分量，即可提取f1(t)，实现解
调。
(a)
f (t)
f0(t)
低通滤波器
f1(t)
cos0t
F() A 2
A 4
(b) － 20
－0
0
0
A F0() 2
信号与系统
傅里叶变换性质及定理
•
1. 线性
•
若f1(t)←→F1(ω), f2(t)←→F2(ω)，则
•
af1(t)+bf2(t) ←→ aF1(ω)+bF2(ω)
• 式中, a、 b为任意常数。
(3.3-1)
•证
af1(te jtdt
b
f(-t) ←→ F(-ω)
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号的脉宽与频宽成反比。
•
一般时宽有限的信号，其频宽无限，
反之亦然。由于信号在时域压缩（扩展）
时，其能量成比例的减少（增加），因
此其频谱幅度要相应乘以系数1/|a|。也

7.3单位脉冲函数(广义傅里叶积分)

F t I (t -t0 )
eg2：在t=t 时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为： 0
i t q (t -t0 )
3、-函数的筛选性：

(t ) f (t )d t f (0)
或 (t t0 ) f (t )d t f (t0 ) . （f t 为连续函数）
有了δ-函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如质点的线密度、瞬时作用力及脉冲技术中的非常窄的脉冲电流等都可以借助于δ-函数来表示.
eg1：在坐标x=x 处有一质量为m的质点,则该质点 0 的线密度分布函数为： x m ( x x0 )
eg2：在t=t0时刻作用一冲量为I的瞬时力可表示为：

5、广义傅氏变换
——利用与-函数相关的广义积分来求傅氏变换在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏
积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件

| f (t ) | d t
例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而可利用与单位脉冲函数相关的广义积分就可以求出它们的傅氏
变换，它们的广义傅氏变换也是存在的. 所谓广义是相对
于古典意义的积分而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原像函数f(t) 和像函数F() 构成一个傅氏变换对.
例1 证明：1和2 ()构成一个傅氏变换对. 证法1：利用广义积分
F 1 1 e
it
dt s t eis ds 2 .

4、-函数的傅氏变换:
于是 (t)与常数1构成了一个傅氏变换对.
1 (t ) F [1] 2
1

单位脉冲函数及傅里叶变换的性质

2
1
2
2d
0
1
2
jd
1
2
2d
0
1
2
jd
d
1
2
jd
0
1
0 2
jd
0 .
像函数的微分性：
F() jF[tf (t)] 或F[tf (t)] jF()
F (n) () ( j)nF[tn f (t)] 或F[tn f (t)] jnF (n) ()
由上面两个函数的变换可得
eitd t 2d ()
e d t i(0 )t
2d
(
0 )
注在 d 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 d 函数的
性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
0
d
(t)d t
lim
0
1 dt 1
0
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
(1) (筛选性质)
d (t) f
(t)d t
f
(0) 及
d (t
t0 )
f
(t)d t
f
(t0 ) .
（f
t 为连续函数）
(2) d函数为偶函数，即d (t) d (t) .
点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常
窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的

傅立叶变换的性质证明

R( ) jX ( ) H ( ) e j ( )
则
H ( ) R 2 ( ) X 2 ( ) X ( ) ( ) arctan R( )
H ( ) H ( ) R( ) R( )
( ) ( )

对其求一阶、二阶导数得
df (t ) 1 1 u (t ) u (t ) u (t ) u (t ) dt
d 2 f (t ) 1 [ (t ) (t ) 2 (t )] 2 dt
信号与系统
十、时域积分性质
f ( t ) F ( )
f (t )
是
f (t ) 的复共轭。
信号与系统
六、正反变换的对称性
若
f (t ) F ( ) ，则 F (t ) 2f ( )
j t F ( ) e d
1 根据傅立叶反变换 f (t ) 2
得
证明:
2f (t )
c
信号与系统
七、时域卷积性质
f1 (t ) F1 (),

若则证明：
f 2 (t ) F2 ()
f 1 (t ) f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( )
f1 (t ) f 2 (t )
-jt [ f ( ) f ( t ) d ] e dt 1 2
- j
f (t ) f (t t0 ) f (at t0 )
即
F ( ) F ( )e-j t0
延时t0
t0 1 -j a F ( )e a a
f (t )
或
尺度变换a

傅里叶变换的性质.

y(t) x(t) cos 0t
z(t)
cos 0t
z(t) y(t) cos 0t x(t) cos2 0t
x(t) 2
(1 cos20t)
20
x(t)
Y ( j)
1 2
0
0
Z( j)
1 2
0 c
c 0
20
利用频移特性，可以求得正、余弦信号的傅里叶变换。
已知直流信号的傅里叶变换是强度为2π的冲激，
三、展缩（尺度变换）特性
设则
x(t) FT X ( j) x(at) FT 1 X ( j )
aa
（a为非零实常数）
因为，当a>0
x(at)e jt dt
1
j
x()e a d
1
X( j )
a
a
a
同样，当a<0
x(at)e jt dt
1
j
x()e a d
1
X( j )
a
a
a
x(t) FT X ( j) X ( j) Sa( )
2
x(t) 1
2
2
t
x(2t) FT Sa( ) 24
x(2t) 1
4
4
t
x( t )
2
x( t ) FT2Sa()
1
2
t
X ( j)
2
1 X( j ) 22
2
4
2X ( j2)
2
从上例可清楚地看出，信号的时间波形宽度变窄，频率波形的宽度就变宽；反之，频率波形的宽度就变窄。
§3-5 傅里叶变换的基本性质
信号的时间函数式与其傅里叶变换，分别从时域和频域对同一信号进行了描述。傅里叶变换的性质就建立起信号时间特性和频率特性之间的对应关系。理解和掌握这些性质，对以后的学习至关重要。

3.7傅里叶变换的基本性质

FT [ f (t )] F ( )
12
1 f ( t) 2
2 F (2 )
1 a 2
1 FT [ f (at )] F ( ) a a
F ( )
f (t )
a 1
f (2t )
a2
1 F( ) 2 2
13
等效脉冲宽度与等效频带宽度
等效脉宽
等效带宽
F (0) B 2f (0)
FT [ (t )] 1
2
sin t 例试求抽样函数Sa(t ) 的频谱函数 t
f (t ) Sa(t )
E
1
FT [ EG (t )] E Sa (

2
E

)
1
1
t FT [ E Sa ( )] 2EG ( ) 2 1 1 令 2, E FT [ Sa (t )] 2 G2 ( ) G2 () 2 2 1 FT [Sa(t )] [u( 1) u( 1)] FT [ Sa(t )] 0 1
R( ) R( ) F ( ) F ( ) X ( ) X ( ) X ( ) ( ) arctan ( ) R( )
11
四、尺度变换特性
scaling property
1 设FT [ f (t )] F ( ), 则FT [ f (at )] F ( ) a a a为非零实常数
e
dt f (t )e j ( 0 )t dt F ( 0 )

e j0t e j0t sin 0t j2
e j0t e j0t cos0t 2

单位脉冲函数及傅里叶变换的性质34页PPT

23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
ห้องสมุดไป่ตู้
单位脉冲函数及傅里叶变换的性质
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君何能尔？心远地自偏。 25、人生归有道，衣食固其端。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈

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在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
0, t 0; q(t) 1, t 0.
i(t)dd q ( tt) lt i0q m (t tt) q (t)
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
f
(t
t0)ejtdt
s t t0
f (s)ej(st0)ds
ejt0 f (s)ejsdsejt0F()
推论：
若 F[f(t)]F ()，
则F[f(t)cos0t]12[F(0)F(0)]， F[f(t)sin0t]2i[F(0)F(0)]，
( 2 )函数为偶函数，即 ( t ) ( t ) .
二、d-函数的傅氏变换为:
d d F [( t ) ] F () ( t ) e i t d t e i t 1
t 0
于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对.
d(t)F1[1]21 eitd eitd2d(t)
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如
点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常
窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的
方式加以解决.
0 t0
给
函数
序列
d
(t)
1
0t，
d(t)
1/
0 t
定
义
d
(t)
lim
0
d
(t)
0
t0。 t0
O
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f(t)|dt
例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.
F 1 [A(F ) B(G ) ]A F 1 [F () ]B F 1 [G ()]
2. 位移性质:
若 F[f(t)]F()， t0,0为实常数，
F[ f (t t0)] ejt0 F()， F1[F( 0)] ej0t f (t)
或F[ej0t f (t)] F(0)
证明：F[f (t t0)]
例1 证明：1和2d ()构成傅氏变换对.
d 证法1：F 1 1 e i t d ts t e i s d s 2.
证法2：若F()=2d (), 由傅氏逆变换可得
d f(t) 2 1 2()e i td e i t 0 1
d 例 2 证明 e i 0 t 和 2 ( 0 ) 构成一个傅氏变换对。
例4 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。
F() F[f (t)] sin0teitdt
e i 0 t e j 0 te i td t 1 ( e i( 0 ) t e i( 0 t) d t
2 i
2 i
d d d d 2 1 i 2 ( 0 ) 2 ( 0 ) i( 0 ) ( 0 ) .
单位脉冲函数及其傅氏变换 Fourier变换与逆变换的性质
7.1.3单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
sin 0t

t
|F()|
0 O
0
例 5 单位阶跃函数 u(t) 1 0,,tt 00, 证明：
F[u(t)] 1 d(). j
证： F 1 j1 d( ) 2 1 j1 d( ) ej td
2 1 d()ejtd 2 1 j1 ej td
d d ( t) d t l i m 0 ( t) d t l i m 00 1 d t 1
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
(1) (筛选性质 ) d(t)f(t)dtf(0)及
d dd d(tt0)f(t)dtf(t0).（ ft为连续函数）
1 2
,
t 0 u(t)
1 2
1
2
1,
t
0
7.2 Fourier变换与逆变换的性质这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了
叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件. 1.线性性质:
F [a(t) f b(tg ) ]a F [f(t) ]b F [g (t)]
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0 ) lt i0q m (0 tt) q (0 ) lt i0 m 1 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进
一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
证： f(t)2 1 F ()eitd
d d 1
2
2
(
0)eitd eit
0
ei0t .
即 e i 0 t 和 2 ( 0 ) 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
eitdt 2d()
ei(0)tdt
2d(0)
注在 d函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 d 函数的
1 221 cost jjsintd
1 2 2 1 sin t d 1 2 10 sin td
1 2 2 1 sin t d 1 2 10 sin td
0s i ntd 2,2,
t0
t0
1 2
1
2
0,
t
0
F
1
1
j
d
()