附录A拉普拉斯变换及反变换
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3.用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(S)是S的有理真分式
Ff
) _ B(S) b m S m?b m」S m-…?bιS ?b o
A(S) a n s n+a n∕S n'+ …+a1s + a0
式中系数a o,a i,...,a n」，a n，b°,b1,…b m」，b m都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可
将F(S)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
①A(S)=G无重根
这时，F(S)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
C l C2
S-S S-S n n
C
C
i 4 S -' S i
(F-1)
式中，S1,S2,…，S n是特征方程A(S) = G的根。C i为待定常数，称为按下式计算：F(S)在S i处的留数，可
式中, 式中,
C i= Iim (s _ S i)F(S)
S T i
C _ B(S)
C i
A(S)
A(S)为A(S)对S的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式(
-n C l
L*(S)1=L?J∣Σ旦
S — $ 一
f(t)二
C
i
n
-S i
t
= C i e i
i吕
(F-2)
(F-3)
F-1)可求得原函数
(F-4)
A(S)= G有重根
设A(S)=G有r重根S1 , F(S)可写为
B(S)
F S-(S-S
1)
r(S-S r J (S-S n)
C i
C r + C r4 + …+C1 + C r 出十…
(S-S1)r(S-S1)r4 (S-Sj S-S r?1
-- C i ?.? . C n
S — S S-S n S i为F(S)的r重根，S r十,…,S n为F(S)的n-r个单根;
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其中，C r 1 ,…,C n仍按式(F-2)或(F-3)计算，C r , C rJ ,…,&则按下式计算:
C r 1 r
C r = Iim (S-S I) F (S)
S-S S I
= Iim 2[(s —s1)r F(S)]
ds
s_S i
I d(j)
^S-^(-S I)r F(S)
(r 1)
d(
C IF1)!S i m I ds」S F r F(S)
原函数f(t)为
f(t^ L1∣F(s) 1
=L l C I r
[(s-s1)r ψC rA
(s-s1)r'
C
1
丄
Cr 1..
(S-Sl) S-S r1 S-S i
C n
S —
S n
(F-5)
l| C r , r J.
t
_(r -1)!
C
r 1 ”』
(r -2)!
n
+…+c2t +c1 e s1t+ ΣC i e
i Z fi 1
S i t (F-6)
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