人教新课标版数学高二-选修4-4检测 第一讲坐标系复习课

第一讲 坐标系 二、极坐标A 级 基础巩固 一、选择题1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则它的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，－4π3解析：ρ＝2，tan θ＝－3，因为点P(1，－3)在第四象限，故取θ＝－π3，所以点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 答案：C2．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，34πB.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，54πC.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，54πD.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3，34π解析：点P 的直角坐标是(－3，3)，极坐标是⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，3π4.答案：A3．已知极坐标系中，极点为O ，若等边三角形ABC(顶点A ，B ，C 按顺时针方向排列)的顶点A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，7π6，则顶点C 的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫23，2π3D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，2π3解析：依题意可知△ABC 如图所示，显然OC ⊥AB ，|OC|＝23，∠COx＝π2＋π6＝2π3，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，2π3.答案：C4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M(ρ1，θ1)与点N(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点与极轴垂直的直线对称D ．重合解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M ，N 位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．答案：B5．极坐标系中，O 为极点，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6，则|AB|等于( ) A ．43 B ．4 C ．23 D ．2解析：由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6知∠AOB ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π3， 又|OA|＝|OB|＝4，故△AOB 为等边三角形，故|AB|＝4. 答案：B 二、填空题6．已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为________．解析：因为A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8，4π3，所以A ，B 两点的直角坐标是(3，33)，(－4，－43)，所以线段AB 中点的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－32 7．在极坐标系中，O 为极点，若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4，7π6，则△AOB 的面积等于________．解析：点B 的极坐标可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，。

一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（ ） A ．1B ．2CD．24．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称5．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14BCD ．136．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1BC ．2D．7．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4D ．68．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=9．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．1311．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．12．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（ ）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=二、填空题13．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．14．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______.15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________． 17．两条直线sin 20164πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 20174πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的位置关系是_______ 18．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。

整合提升知识网络⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧球坐标系柱坐标系简单曲线的极坐标方程化极坐标与直角坐标的互极坐标系伸缩变换坐标法平面直角坐标系坐标系知识回顾一、极坐标变换公式极坐标与直角坐标的互化公式:二、几种特殊的直线的极坐标方程1.过点(a,0)(a>0)且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=a.2.过点(a,π)(a>0)且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=-a,如图(1).3.过点(a,2π)(a>0)且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=a,如图(2).4.过点(a,23π)(a>0)且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=-a,如图(3).5.过极点倾角为α的直线方程是θ=α(ρ∈R).三、几种特殊的圆的极坐标方程1.以极点为圆心且半径为r的圆的极坐标方程ρ=r.2.过极点且圆心坐标为(a,0)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ.3.过极点且圆心坐标为(a,π)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=-2acosθ.4.过极点且圆心坐标为(a,2π)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ.四、柱坐标系与球坐标系1.定义:如图,建立空间直角坐标系O—xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z ∈R )表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z)叫做点P 的柱坐标，记作P(ρ,θ,z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞.2.定义:如图,建立空间直角坐标系O —xyz ，设P 是空间任意一点，连结OP ，记|OP|=r,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样，空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标，记作P(r,φ,θ)，其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.典例精讲【例1】 极坐标方程4ρsin 22θ=5表示的曲线是…( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:直接由所给方程判断较难,可把它化为直角坐标方程去判断.4ρsin 22θ=4ρ2cos1θ-=5,2ρ-2ρcosθ=5,∴222y x +=5+2x.∴y 2=5x+425表示抛物线.答案:D各个击破类题演练 1已知点M 的极坐标为(-5,3π)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是（）A.(5,-3π)B.(5,34π)C.(5,-32π)D.(-5,-35π)解析:在极坐标系中描点验证,得A.答案:A变式提升 1在极坐标系中点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置是( )A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于直线θ=2π(ρ∈R )对称解析:点(-ρ,π-θ)与点(ρ,-θ)是同一个点,它与点(ρ,θ)关于极轴对称.答案:A【例2】 极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解析:ρ=22cosθ+22sinθ,由于ρ不恒等于0,方程两边同乘以ρ,得ρ2=22ρcosθ+22ρsinθ. ∴2(x 2+y 2)=x+y,表示圆.答案:D温馨提示注意对称点的求法,掌握特殊的对称情况.类题演练 2点P 0(ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于直线θ=2π(ρ∈R )的对称点的极坐标为( ) A.(-ρ0,θ0) B.(ρ0,-θ0) C.(-ρ0,-θ0) D.(ρ0,2π+θ0) 解析:P 0(ρ0,θ0)(ρ0,-θ0)(-ρ0,-θ0).答案:C变式提升 2 点P(-2,67π)关于直线θ=3π(P ∈R )的对称点P′的坐标为_____________. 解析:点P(-2,67π)即为点P(2,6π),点P 、P′、O 组成等边三角形,故为(2,2π). 答案:(2,2π) 【例3】 在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线方程为( )A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2C.ρcosθ=4D.ρcosθ=-4解析:如图,⊙C 的极坐标方程为ρ=4sinθ,CO ⊥Ox,OA 为直径,|OA|=4,l 和圆相切,l 交极轴于B(2,0),点P(ρ,θ)为l 上任意一点,则有cosθ=|ρ2||||=OP OB ,得ρcosθ=2. 答案:B温馨提示求切线,求距离,求面积等问题要做到极坐标方程与普通方程的结合及灵活运用. 类题演练 3已知直线的极坐标方程ρsin(θ+4π)=2,则极点到该直线的距离是____________. 解析:由ρsin(θ+4π)=2,可得ρsinθ+ρcosθ=2, 即得x+y-2=0.∴点O(0,0)到直线x+y-2=0的距离为d=2.答案:2变式提升 3已知点A(3,2π)、B(-4,67π)、O(0,θ),则△ABO 的面积为_________. 解析:点B(-4,67π)B(4,6π). ∴|OA|=3,|OB|=4,∠AOB=2π-6π=3π. ∴S=21×3×4sin 3π=33. 答案:33【例4】 如图,长方体OABC —D′A′B′C′中，|OA|=3,|OC|=5,|OD′|=3,A′C′与B′D′相交于点P ，分别写出点C,B′,P 的柱坐标.解:求点的柱坐标,需要找到空间任意一点P 在Oxy 平面上的射影及在平面Oxy 上的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π).C 点的ρ,θ为|OC|及∠COA ；B 点的ρ、θ分别为|OB|=3453||||2222=+=+AB OA , θ=∠BOA,tan ∠BOA=35||||=OA AB , ∴∠BOA=arctan 35. P 点的ρ,θ为OE,∠AOE,|OE|=21|OB|,∠AOE=∠AOB.∴C 点的柱坐标为(5,2π,0)；B′点的柱坐标为(34,arctan 35,3)；P 点的柱坐标为(234,arctan 35,3). 类题演练 4已知P(5,32π),O 为极点,则使△POP′为正三角形的P′点的坐标为__________. 解析:设P′(ρ,θ),∵△POP′为正三角形,如图,∴∠POP′=3π. ∴θ=32π-3π=3π或θ=32π+3π=π. 又ρ=5,∴P′(5,3π)或P′(5,π). 答案:(5,3π)或(5,π) 变式提升 4圆心为C(3,6π),半径为3的圆的极坐标方程是___________.解析:如图,设圆上任一点为P(ρ,θ),OA 为圆的直径,可得ρ=6cos(θ-6π),当P 是极点时,也适合方程.答案:ρ=6cos(θ-6π)。

坐标系与参数方程第1讲选修4・4坐标系与参数方程坐标系1.坐标系⑴坐标变换设点p （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换°：[L =2・兀（2>0）, （“>o）点P （x, y ）对应到点（加，心，称。

为坐标系中的伸缩变换• 课本温故追根求源——的作用下,（2）极坐标系在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox,叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离IOMI叫做点M的极径，记为0以极轴&为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为仇有序数对S，0)叫做点M的极坐标，记为0).2.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，兀轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点,〃），则它的直角坐标、极坐标分别为（兀，刃和S，3.直线的极坐标方程若直线过点Wo, %),且极轴到此直线的角为«,贝！I它的方程为：psin(^—a)=p()sin(^o—«)• 几个特殊位置的直线的极坐标方程:(1)直线过极点：〃=仇和0= TI +弘；(2)直线过点0)且垂直于极轴：“os曰psin 0=b平行于极轴:4.圆的极坐标方程若圆心为MS。

，％),半径为厂，则该圆的方程为: P 2—2po p cos (〃一如+斥一/ = 0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：⑴当圆心位于极点，半径为厂：p=r；⑵当圆心位于M(a, 0),半径为a："一加cos"(3)当圆心位于p=2asm & 111典例剖物考点突破」考点一平面直角坐标系中的伸缩变换x f = 3x,—=y64 9 64lj=2y r,L=1，即+一基=1为曲线C的方程，可见仍是双曲线, 16 9 16则焦点F x(-5, 0), F2(5, 0)为所求.名师导悟以例说法MK求双曲线c： x2-^= 164经过（p: “后所得曲线c的焦点坐标. 解：设曲线C上任意一点P f(x f f(1X=-x\ y2X f 2 ]3 代入兀2_±=i,得 -y f ),由上述可知，将4/ 2=1,化简得于{x f =2X 9 y f=少 XX =—,,代入 y=f(x)f ^-= y “J=-整理之后得到/=h(x^即为所求变换之后的方程.求经伸缩变换后曲线方程的方法A >0,的作用下平面上的曲线丿=沧)在变换0的变换方程的求法是将9跟團IH 综1.在同一平面直角坐标系中，将直线x- 2y= 2 变成直线2x f -y f=4f 求满足图象变换的伸缩变换.解：设变换为代入第二个方程，得加—juy=49与兀一2y=2比较系数得i=l, 〃 = 4,即 x f因此,经过变换L 后，直线x —2y=2变成直线2x f=)JC ( 2>0 )=liy (“>0)=x,考点二极坐标与直角坐标的互化典例2 (1)(2015•高考广东卷改编)已知直线I的极坐标方程为2〃sii@—壬)=边，点A的极坐标为A(2\/2f晋) 求点A到直线Z 的距离.(2)化圆的直角坐标方程x2+j2=r2(r>0)^J极坐标方程.111的距离为晋(2)将 x=pcos 0 , y=psin 0 代入 x 2+j 2=r 2 中，得 p 2cos 2 0 +/>2sin 20 =r ,即 p 2(cos 20 +sin 20)=/, p =r.所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为p =r(0W 〃v2 3i )•0 - -^~COS 0 2 7ji4角坐标为(2, -2),所以〃」2+甞=華即点A 到直线i\]2 2解：⑴由2psin (0-于心，所以y —x= 1.由点4的极坐标为,得22 . —sm 2A 的直极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.2.（2016-郑州质量预测）在极坐标系下，己知圆 =¥・QO ,0W 0 v2 兀)（2）当（0,兀）时，求直线2与圆O 的公共点的极坐标.［跟踪训练］Oz p=cos0 + sin 0和直线/： Qsin (0—寸 ⑴求I O 和直线Z 的直角坐标方程;Ji—,即psin 0 —pcos 0 = 1, 2则直线Z的直角坐标方程为：X—j+l=0.⑵由⑴知圆O与直线Z的直角坐标方程,将两方程联立得x2 +j2_X—j= 0,x—j+l=0,解得即圆O 与直线Z在直角坐标系下的公共点为(0, 1111),将(0, 1)转化为极坐标为I, JT,即为所求.〃+sin 0,即p2=pcos 0+〃sin 0, 111故圆O的直角坐标方程为:直线Z： psi(0_T=解:2考点三曲线极坐标方程的应用(2015•高考全国卷I)在直角坐标系xOy中，直线G： x= —2,圆C2： (x— l)2+(y—2)2= 1,以坐标原点为极点，兀轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程;(2)若直线G的极坐标方程为〃=于9丘旳，设C2与q的交点为M, N,求△C Q MN的面积.解：(1)因为x=pcos〃，j=psin ",所以Cl的极坐标方程为“cos 0 = — 2, G的极坐标方程为p— 2pcos 0 — 4psin 0 + 4=0・兀(2)将砂=7代入〃一2/JCOS 0 — 4psin +4=0,得P2—3\/2p +4=0,解得p\=2\{i, P2=\fi・故即\MN\=\[2.由于G的半径为1,所以△C2MN的面积为」问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］ 以练促学强技提能国劉II 练】3.在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别AAOB 的面积 S MOB =*M ・ OB ・ sinZAOB=^X3X4X JIsin —=3.6,求（其中O 为极点）的面积.解：由题意知4 B 9点击链接闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能本部分内容讲解结束。