高二数学极坐标系

高二文科数学极坐标知识点高二文科数学中的极坐标是一种描述平面点位置的坐标系统。

它将点的位置与极径和极角两个数值相关联。

在学习极坐标的知识点时，我们需要了解极坐标的表示方法、坐标系转换、极坐标方程以及极坐标下的图形表示等内容。

1. 极坐标的表示方法在极坐标中，平面上的点通过极径和极角两个数值来表示。

极径表示点到原点的距离，记作r，而极角表示点与极轴的夹角，记作θ。

通常，我们将极径r写在极角θ的右上方，形成一个有序对(r,θ)来表示点的位置。

2. 极坐标系转换在直角坐标系和极坐标系之间进行转换是极坐标的重要应用之一。

将直角坐标系中的点(x,y)转换为极坐标系中的点(r,θ)需要使用以下公式：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)反之，将极坐标系中的点(r,θ)转换为直角坐标系中的点(x,y)需要使用以下公式：x = r * cosθy = r * sinθ3. 极坐标方程极坐标方程是在极坐标系中表示曲线方程的一种形式。

一般来说，极坐标方程由极径r和极角θ的关系式来确定。

比如，常见的圆的极坐标方程为r = a，表示以极径a为半径的圆。

除了圆之外，其他曲线的极坐标方程可以通过关系式r = f(θ)来表示，其中f(θ)是极坐标函数。

例如，当f(θ) = a + bcosθ时，表示一个叫做“卡西尼曲线”的图形。

4. 极坐标下的图形表示在极坐标系中，我们可以通过调整极径和极角来画出各种各样的图形。

常见的图形包括圆、椭圆、双纽线以及心形线等。

画图时，可以先确定关键点的坐标，再通过连线或者曲线来表示整个图形。

对于一些复杂的曲线，我们可以利用计算机软件来绘制。

在实际应用中，极坐标常常用于描述与极轴的夹角和距离有关的物理问题，如雷达、天文学、电子工程等领域。

5. 总结高二文科数学中的极坐标是一种重要的坐标系统，用于描述平面点的位置。

通过了解极坐标的表示方法、坐标系转换、极坐标方程以及极坐标下的图形表示等知识点，我们可以更好地理解和应用极坐标。

高二数学极坐标系试题答案及解析1.已知点P的极坐标为，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为【答案】.【解析】如图是直线上任一点，极坐标为，，又，∴.也可用直角坐标方程来求极坐标方程，所作直线的直角坐标方程是，化为极坐标方程就是．【考点】极坐标方程．2.极坐标方程化为直角坐标方程是【答案】【解析】先将原极坐标方程ρ=4cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．解：将原极坐标方程ρ=4cosθ，化为：ρ2=4ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2-4x=0，即y2+（x-2）2=4．故答案为【考点】极坐标和直角坐标的互化点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．3.点的极坐标为【答案】【解析】因为结合极坐标与直角坐标互化可知极坐标为4.已知，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由点M的极坐标可得ρ=-5，θ=，故点M的直角坐标为（-，-）．而点的直角坐标为（，-）．故不满足条件．经检验，的直角坐标都为（-，-），满足条件，故选A．5.在极坐标系中，以点为圆心，半径为3的圆与直线交于两点.（1）求圆及直线的普通方程.（2）求弦长.【答案】（1）∴直线(2)【解析】(1)圆C在直角坐标系中的圆心坐标为(0,2),半径为3,所以其普通方程为.直线l由于过原点，并且倾斜角为,所以其方程为.(2)因为圆心C到直线的距离为1,然后利用弦长公式可求出|AB|的值（1）∵…….4分∵∴直线……….8分(2) 因为所以6.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为A．B．C．D．【答案】C【解析】解：点M的直角坐标是，利用极坐标与直角坐标的转换公式可知7. .（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，即，其圆心为（2，0），所以圆心的极坐标为。

故选A。

8. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=2，则极点在直线l 上的射影的极坐标是__________．【答案】填. 极点在直线上的射影是直线上取得最小值的点, 把变形为,可知,当时, 取得最小值2.【解析】略9.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度，已知直线经过点P(1,1),倾斜角（1）写出直线的参数方程；（2）设与圆相交与A,B，求点P到A,B两点的距离积。

高二数学极坐标系试题答案及解析1.已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为。

求：（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆M上的点到直线的距离的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将用两角和的正弦公式展开，再利用直角坐标与极坐标互化公式即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设圆上任意一点M的坐标为（，），利用点到直线的距离公式将点M到已知直线的距离表示为的函数，再利用三角函数求最值的方法，求出点M到直线距离的最小值,本题也可先求出圆心到直线的距离，此距离减去半径就是圆上一点到直线的距离的最小值.试题解析：（1）方程可化为=1，令，，即得到该直线的直角坐标方程；（2）设圆上任意一点M的坐标为（，），则点M到该直线的距离===，当时，=，故圆M上的点到直线的距离的最小值.【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化;参数方程与普通方程的互化;点线距离公式2.已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数），以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为则直线被圆C所截得的弦长为．【答案】【解析】圆C的普通方程为，直线的普通方程为，圆心C到直线的距离，则直线被圆C所截得的弦长为。

【考点】（1）圆的参数方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与普通方程的互化；（2）点线距离公式的应用。

3.把极坐标系中的方程化为直角坐标形式下的方程为【答案】【解析】根据题意，由于极坐标系中的方程，结合ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，可知结论为，故答案为。

【考点】极坐标和直角坐标的互化点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．4.若点的极坐标为，则点的直角坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则点的直角坐标是。

故选A。

【考点】极坐标与直角坐标的转换点评：极坐标转换为直角坐标的公式是，而直角坐标转换为极坐标的公式是。

⾼⼆数学必修三极坐标系知识点 极坐标系是⾼⼆数学必修三中的⼀⼤教学难点，有哪些知识点需要我们学习的呢?下⾯是店铺给⼤家带来的⾼⼆数学必修三极坐标系知识点，希望对你有帮助。

⾼⼆数学必修三极坐标系知识点 极坐标系的定义： 在平⾯上取定⼀点O，称为极点。

从O出发引⼀条射线Ox，称为极轴。

再取定⼀个长度单位，通常规定⾓度取逆时针⽅向为正。

这样就建⽴了⼀个极坐标系。

这样，平⾯上任⼀点P的位置就可以⽤线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的⾓度θ来确定，有序数对(ρ，θ)就称为P点的极坐标，记为P(ρ，θ);ρ称为P点的极径，θ称为P点的极⾓。

点的极坐标： 设M点是平⾯内任意⼀点，⽤ρ表⽰线段OM的长度，θ表⽰射线Ox到OM的⾓度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极⾓，有序数对(ρ，θ)叫做M点的极坐标，如图， 极坐标系的四要素： 极点，极轴，长度单位，⾓度单位和它的正⽅向.极坐标系的四要素，缺⼀不可. 极坐标系的特别注意： ①关于θ和ρ的正负：极⾓θ的始边是极轴，取逆时针⽅向为正，顺时针⽅向为负，θ的值⼀般以弧度为单位。

极坐标和直⾓坐标的互化: (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合; ②极轴与x轴的正半轴重合; ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 特别提醒:①直⾓坐标化为极坐标⽤第⼆组公式.通常取 所在的象限取最⼩正⾓; ②当 ③直⾓坐标⽅程及极坐标⽅程互化时，要切实注意互化前后⽅程的等价性. ④若极点与坐标原点不是同⼀个点.如图，设M点在以O为原点的直⾓坐标系中的坐标为(x，y)，在以 为原点也是极点的时候的直⾓坐标为(x′,y′)，极坐标为(ρ,θ)，则有 第⼀组公式⽤于极坐标化直⾓坐标;第⼆组公式⽤于直⾓坐标化极坐标. ⾼⼆数学必修三平⾯直⾓坐标系知识点 数轴(直线坐标系): 在直线上取定⼀点O，取定⼀个⽅向，再取⼀个长度单位，点O，长度单位和选定的⽅向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴.如图， 平⾯直⾓坐标系： 在平⾯上取两条互相垂直并选定了⽅向的直线，⼀条称为x轴，⼀条称为y轴，交点O为原点。

4-4第一章坐标系【知识点梳理】一、极坐标系与极坐标1.极坐标系的概念如图1-2-1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系.建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.图1-2-12.极坐标的概念对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值.3.点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的.根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z).二、极坐标与直角坐标的互化1.互化的前提条件把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1-2-3所示.图1-2-32.互化公式设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M 直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ) 互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝yx(x ≠0)在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M 所在的象限取最小正角.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同.化极坐标为直角坐标【典例】把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限. (1)⎝⎛⎭⎫2，π6 (2)⎝⎛⎭⎫3，π2 (3)⎝⎛⎭⎫4，2π3 (4)⎝⎛⎭⎫2，4π3 (5)⎝⎛⎭⎫2，23π (6)⎝⎛⎭⎫2，－π3 (7)(2，－2). 【解】 (1)x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，∴直角坐标为(3，1).是第一象限内的点(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3.∴点的极坐标⎝⎛⎭⎫3，π2化为直角坐标为(0,3).是y 轴上的点 (3)∵x ＝ρcos θ＝4cos 2π3＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin 2π3＝2 3.∴点的极坐标⎝⎛⎭⎫4，2π3化为直角坐标为(－2,23).是第二象限内的点 (4)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－ 3. ∴点⎝⎛⎭⎫2，4π3的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点. (5)x ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝3，∴点⎝⎛⎭⎫2，23π的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点. (6)x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝1，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3， ∴点⎝⎛⎭⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点. (7)x ＝2cos (－2)＝2cos 2，y ＝2sin(－2)＝－2sin 2.∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限内的点.直角坐标化为极坐标将点的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)即可.在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π，k ∈Z 即可.当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.【典例】1.分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π). (1)(0,0)； (2)(－1，－1)； (3)(－1，－3)； (4)⎝⎛⎭⎫3π2，3π2.【解答】 (1)由于直角坐标原点(0,0)与极点重合，所以限定ρ≥0,0≤θ<2π时，其极坐标为(0，θ). (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－1)2＋(－1)2＝2，tan θ＝yx＝1，θ∈[0,2π).由于点(－1，－1)在第三象限，所以θ＝5π4.∴点的直角坐标(－1，－1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4. (3)∵ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，tan θ＝－3－1＝3，由于点P (－1，－3)在第三象限，所以θ＝4π3，∴直角坐标P (－1，－3)化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3. (4)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫3π22＋⎝⎛⎭⎫3π22＝32π2，tan θ＝y x＝1，θ∈[0,2π).由于点⎝⎛⎭⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4. ∴点的直角坐标⎝⎛⎭⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝⎛⎭⎫32π2，π4.2.把直角坐标写成极坐标(ρ＞0，θ∈R ).(1)(－2,23) (2)(6，－2) (3)(0，－3)【解答】(1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4，tan θ＝yx ＝－3，θ∈R ，由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝23π＋2k π，k ∈Z .∴点(－2,23)化为极坐标为⎝⎛⎭⎫4，23π＋2k π，k ∈Z .(2)∵ρ＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝y x ＝－33，θ∈R .由于点(6，－2)在第四象限，所以θ＝116π＋2k π，k ∈Z .∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝⎛⎭⎫22，116π＋2k π，k ∈Z . (3)极坐标为(3，ππk 223+)，k ∈Z . 3.填空：(1)曲线ρ＝2的直角坐标方程为_______________________________. (2)方程y ＝-3x 的极坐标方程为_________________________________. (3)圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程为_______________________________.(4)ρ曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为______________________________ 【答案】 (1)x 2＋y 2＝4 (2)tan θ＝-3 (3)(x －1)2＋y 2＝1 【解析】 (1)ρ＝2，即ρ2＝4，∴x 2＋y 2＝4. (2)把y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入y ＝-3x ， 得ρsin θ＝-3ρcos θ，即tan θ＝-3.(3)ρ＝4cos θ即ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4. (4)∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，∴x 2＋y 2＝4y ，∴x 2＋(y －2)2＝4. 【高考体验】1．(2016·北京高三模拟)在极坐标下，圆C ：ρ2＋4ρsin θ＋3＝0的圆心坐标为( D ) A ．(2,0) B ．⎝⎛⎭⎫2，π2 C ．(2，π)D ．⎝⎛⎭⎫2，－π2 解析：圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＋3＝0，圆心坐标为(0，－2)，圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π2. 2．(2016·安徽高三质检)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( D ) A ．2B ．4＋π29C ．1＋π29D ． 3解析：点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故圆心为(1,0)，点(1，3)到圆心(1,0)的距离为3，故选D ．3．(2016·北京东城一模)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π4到直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0的距离等于( A ) A ．22B ．2C ．322D ．2解析：点⎝⎛⎭⎫2，π4的直角坐标为(1,1)，直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0的直角坐标方程为x －y －1＝0，所以点⎝⎛⎭⎫2，π4到直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0的距离为12＝22. 4．(2016·安徽安庆二模)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2sin θ上的两点A ，B 对应的极角分别为2π3，π3，则弦长|AB |＝( C )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，2π3，⎝⎛⎭⎫3，π3，化为直角坐标为⎝⎛⎭⎫－32，32，⎝⎛⎭⎫32，32.故|AB |＝⎝⎛⎭⎫－32－322＋⎝⎛⎭⎫32－322＝ 3.故选C ．5.在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则点A ⎝⎛⎭⎫2，3π4到直线l 的距离为( ) A. 2 B.22C.2－22D.2＋22【答案】 B 【解析】 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，得ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直线方程为x ＋y ＝1.点A ⎝⎛⎭⎫2，3π4对应的直角坐标为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos 3π4＝－2，y ＝ρsin θ＝2sin 3π4＝ 2.即直角坐标为(－2，2).所以点到直线的距离为|－2＋2－1|2＝22，选B. 6.（2016·江苏高三模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解析：由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.由ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，整理得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.7.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C 1为ρ=2cos θ-4sin θ,C 2为 ρsin θ-2ρcos θ+1=0.(1)将C 1的方程化为直角坐标方程; (2)求曲线C 1和C 2两交点之间的距离.由ρ=2cos θ-4sin θ,得ρ2=2ρcos θ-4ρsin θ, 即x 2+y 2=2x-4y.故C 1的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=5. (2)ρsin θ-2ρcos θ+1=0可化为y-2x+1=0,∵圆心(1,-2)到直线的距离d=.∴|AB|=2.。