试论常微分方程的奇解

常微分方程的解的解析法一、引言在数学领域中，常微分方程是一个重要的分支。

因为它可以被用来描述一系列的物理过程，如自然增长、衰变、震荡等等。

而为了理解这些现象，需要研究常微分方程的解法。

在这篇文章中，我们将会探讨常微分方程的解的解析法。

二、常微分方程常微分方程是指只含有一个自变量的函数和它的一阶或高阶导数的方程。

例如以下的方程：y' = f(x, y)y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)其中y是自变量x的函数，f, p, q, g都是已知的函数。

在数学上，我们关注的是如何求出y的解析解。

三、解析解解析解指通过代数式或者特殊函数表示的y的解。

求解解析解有许多的方法，下面将介绍二阶线性方程的解法：四、二阶线性方程解析解对于下列形式的二阶线性常微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0其中p(x)和q(x)都是函数。

我们假设存在y1(x)和y2(x)为它的两个线性无关解。

那么我们有以下几个定理：定理1：齐次线性方程的通解是其任意两个解的线性组合。

定理2：如果y1(x)和y2(x)是二阶线性方程的两个解，并且它们不成比例，那么它们的Wronskian不为零，则任何一个二阶线性方程的解都可以表示成它们的线性组合。

现在，我们通过一个例子来理解上述定理：例1：y'' + y = 0此时，p(x) = 0，q(x) = 1。

我们通过试解法得到两个解：y1(x) = sin(x), y2(x) = cos(x)由于Wronskian为：W[y1, y2](x) = | sin(x) cos(x) || cos(x) -sin(x) |因此非零。

我们可以通过上述定理得到该方程通解为：y(x) = c1 sin(x) + c2 cos(x)其中c1, c2为任意常数。

因此，我们求得了上述二阶线性方程的析解解。

五、总结到目前为止，我们已经介绍了如何求解二阶线性常微分方程的解析解。

总结一阶微分方程奇解的求法摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples.关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式方法一：利用c-判别式求奇解设一阶微分方程0,,=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y x F ①可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ②如果()()⎩⎨⎧==0,,0,,'c y x c y x c φφ③是微分方程①的解，且对③式满足：()()02'2'≠+yx φφ ④则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。

例1：方程()222x xy dydx dydx +-=的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为222c cx y x ++=与42x y =其中c 为任意常数 当时222c cx y x ++=， ()y c cx x c y x -++=222,,φ 其相应的c -判别式为⎩⎨⎧=+=-++02022x 2c x y c cx易得到： ⎩⎨⎧=-=22cy c x代入原微分方程，可知⎩⎨⎧=-=22c y cx 不是原微分方程的解； 当42x y =时，易求出2,1''xy x ==φφ，则有()()02'2'≠+yx φφ故42x y =为原微分方程的奇解例2：试求微分方程()()y y dydx 94221=-的奇解解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式：()()()⎩⎨⎧=--=---020322c x y y c x易求出：⎩⎨⎧==0y c x 或 ⎩⎨⎧==3y c x当⎩⎨⎧==0y c x 时，代入原微分方程成立；所以⎩⎨⎧==0y c x 为原微分方程的解且有()02'=--=c x x φ；()()93232'-=---=y y y y φ满足(Φ‘x )2+(Φ‘y )2≠0易验证⎩⎨⎧==3y c x 不是原微分方程的解故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。

试论常微分方程的奇解摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.Discussing Singular Solution about First OrderDifferential EquationZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-minAbstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has specialsolution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method(Whilewhether the two judgments can be applied to get every singularsolution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples(Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-Pelimination method, The supplement method, Natural method.1(引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P,判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C,判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.2(奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.,包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线,.在曲线族q,,**,KCKCq中都有一条曲线通过点并在该点与相切,而且在VxyC,,0,，，，，，，,,q点的某一邻域内不同与,则称曲线为曲线族的一支包VxyC,,0,，，络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络(如果它存在的话)一定是奇解;反之,微分方程的奇解(若存在的话)也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P,判别式和C,判别式.1,,1定理:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G,是连续的,而且对y和p有连续的偏微'''Fxyy(,,)0,商和,若函数y= (x) (xJ),,是微分方程的一个奇解,并且FFyp 'x. (x). (x)G (xJ),,,,,则奇解y=(x)满足一个称之为P-判别式的联立方程，，'Fxyp(,,)0,py, , 其中. Fxyp,,0,，，p1,,'2Fxyy(,,)0,定理:设微分方程有通积分Vxyc(,,)0,又设积分曲线Vxyc(,,)0,y= (x),有包络为则奇解满足C,判别式的联y= (x) xJ,,，，'立方程 ,. Vxyc(,,)0,Vxyc(,,)0,c以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C,判别式和P,判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由中奇解部分的定理2和定理51,, 知,只要求解是微分方程的解,用P,判别式求出的解满足:',Fxyp(,,)0,y, , ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，, , ,''VV,0,0,，，，，,xy,则此解就是奇解,既然C,判别式和P,判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式(C,判别式和P,判别式)对所有一阶微分方程求奇解都有效? 3(几个例子利用P,判别式和C,判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?2'yyx，,,0【例1】: 求的奇解，，'yp, 解: 令,利用P,判别式:2,pyx，,,0; ,20p,,yx,yx,消去P得,但不是微分方程的解, 所以原方程无奇解.我们可以发现利用P,判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C,判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我们接着看下一个例子.2,3'3,yy【例2】: 求的奇解. 535解:原方程的通解为:yxc,，，，C,判别式为:3,5yxc,，,0，，, ; ,23,3,xc，,0，，5,消去C得y=0,但不是方程的解,所以原方程无奇解. y=0以上两个例子充分说明了C,判别式和P,判别式是求奇解的必要条件.2xy'，，yyye,,1【例3】: 求微分方程的奇解. ，，，，解: 原方程的P,判别式为:2xy2,ypye,,,10，，, ; ,2210py,,，，,,消去P得 y=0易知是微分方程的解. y=0而且:',Fxyp(,,)10,,,y, ,''Fxyp(,,)20,,,pp,所以y=0是微分方程的奇解.1,,24'，，【例4】: 求. yyy,,1，，，，9解: 首先我们不难求出微分方程的通积分:22xcyy,,,,30 (),，，，，由C,判别式:22,xcyy,,,,30，，，，,(其中C为任意常数) ,,,,20xc，，,,确定二支连续可微的曲线y,0和y,3,对他们分别作如下形式的参数表示式:,y,0 :xc, ,,,,,c，，1,y,3 : xc, ,,,,,c，，2,容易验证满足相应的非蜕化条件: 1'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,, ,''VV,0,0,，，，，,xy,,因此是积分曲线族的一支包络,从而它是微分方程的奇解. (),1,,而不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言是否为包络,不过我们22(),,可以利用简单的作图得知不是曲线族的包络,因此它不是奇解,虽然它是2 微分方程的解.从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P,判别式来求奇解可以直接从方程出发,而如果要用C,判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解为奇解,则此解一定满足:用P,判别式时满足:',Fxyp(,,)0,y,; ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C,判别式时满足:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,. ,''VV,0,0,，，，，,xy,对于一些微分方程既能用P,判别式又能用C,判别式求奇解,我们接着看一道例题.5,,2dydy,,，,,xy0【例5】: 求的奇解( ,,dxdx,,dy解: 法一:令,则P-判别式: ,pdx2,pxpy，,,0 ; ,20px，,,2xy,,消去P得. 42ycxc,，法二:方程的通解为C,判别式:2,ycxc,,,0 ; ,xc，,20,2x消去C得y,,,满足非蜕化条件: 4'',,,CC,2,20,0,,,，，，，，，，，，，, ,''VVc,,10,0,,,，，，，，，,x y,2xy,,所以是奇解. 4由例5知:既然某些一阶微分方程既可用P,判别式来求奇解又可用C,判别式求奇解.那么能否将P,判别式和C,判别式联合起来求奇解呢? 4(新判别法在我们的教材和资料中我们通常采用P,判别式和C,判别式来求一阶微分方程的奇解,然而对于某些问题,P,判别式和C,判别式这两种方法求奇解比较困难.因此还有其他方法来求奇解,这些新方法用起来比较方便,通过查阅资料和文献,人们对新解法研究的比较少,在此介绍三种新的解法,方便对一阶微分方程求奇解.4.1. C,P消去法9,,2348''【例6】: 求的奇解. xyyy,,,，，，，927'yp,解: 令P,判别式:48,23xypp,,,,,927; ,82,pp,,0，，,9,消去P得:4yx,及 yx,,27方程的通解为:23ycxc,,, ，，，，C,判别式:23,ycxc,,,,0，，，，,; ,2230ycxc,,,,，，，，,,44消去C得.则为奇解. yx,,yx,,2727例6中介绍了一种新方法, C,P消去法::联合P-判别式和C-判别式,从P,判别式得到解和从P,判定义,xy,0,，，中寻得公共单因式,令其为零,一般就是奇解. 别式得到解,xy,0,，，4,,yxyx,,，,0在例6中,由P,判别式得到,由C,判别式得到，，,,27,,444,它们的公共单因式为,令其为零,即. yx,,yx,，,0yx,，,02727272xpxpy，,,20【例7】: 求的奇解.2xpxpy，,,20解: 从和中消去P得:y=-x 220xpx，,2yxpxp,，2再求通解,将方程写成112dxdypdypxdppdxxdp,,，，，(222) ppdxdp,,即 2xp2()4ycxc,,通积分为:从2()4ycxc,,,,,2()4ycc和中消去C得:yx,, 及 x,0yx,,按C,P消去法知是奇解.就特殊方程:dy ,fxy,，，dx假设连续.给出以下两种特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遗法. fxy,，，6,,4.2. 自然法,,,f定义:当点集L,不是孤立点集,而是有分支时,则 yx,,(,)|xy,,，，,,,y,, 可能是奇解. yx,,，，,fdydy对于当连续,则只要有界,就能保证的,fxy,fxy,,fxy,，，，，，，,ydxdx,f解存在唯一,所以当时,他就可能破坏了解的唯一性. ,，,,y'2,yy,,1【例8】: 求 (|y|1)的奇解.,,fy2fxyy,1,,, 解: ，，2,y1,y,f当y,,1时, ,，,,y所以可能破坏解的唯一性,它可能是奇解. y,,1验证: (1) 显然是方程的解. y,,1,, (2) 由分离变量法求得通解是:yxc,，sin() (),,，,xc22,在y,1上任取一点通解表达式中有解 x,1yxxxx,，,,,sin()cos()，，0002 'y,0通过点且其上导数 ,即此解与y,1相切,故y,1是奇解. x,1，，0同理:y,,1也是方程的奇解.7,,4.3. 拾遗法dy定义:当方程在求通积分的过程中,经常遇到分离变量,方程两边,fxy,，，dx 需要同时除以不含导数的因式,则令这个因式等于零,可能得到奇解.因为方程两边同时除以含有x、y的因式时,原方程可能遗失了解,当然有可能遗失了方程的奇解.2x,1【例9】: 求的奇解. xxdydx10,,,，，2解: 除以因式得: xx1,dx dy,2xx1,积分后得通解:xyc,，ln|| 211，,x2但令消去因子为零,即得; xx10,,x,0x,,1验证: (1) 它们都是方程的解;xlimln||,,,(2) 有 2x,011，,xxxlimln||limln||0,, 22xx,,11,，1111，,，,xx前者说明通解表达式中没有解与相交; x,0后者说明通解表达式中有解与.相交,且从方程本身看出交点上的斜率x,,1'y,,,都是因此得结论:是正常解,是奇解. x,0x,,15(结论以上五种是判定奇解的方法,都需验证所得曲线是否真是奇解,这个验证步骤有时比较麻烦,若C,判别式和P,判别式容易求得时,,xy,0,,xy,0,，，，，方法C,P 削去法常是可取的.从以上的几个例子中,在利用两个判别式求一阶微分方程的奇解时,会出现以下几种情况:(1) P,判别式和C,判别式均可用来求奇解;(2) P,判别式与C,判别式联合可求方程的奇解;(3) 当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次时,P,判别式不可求奇解,但C,判别式未必失效;(4) 当一阶微分方程的通解中常数C的次数为一次时,C,判别式不可求奇解,并且导致P,判别式也不可求奇解,此时只能另找他法.参考文献丁同仁、李承志.常微分方程教程.高等教育出版社,1991年. 1M,,,,钱祥征.常微分方程解题方法.湖南科学技术出版社,1984年. 2M,,,,王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松.常微分方程.高等教育出版,1978年 .3M,,,,何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记.内江师范高等专科学校学4J,,,,报,2000年第15卷第2期:1,3.路畅、智婕.一阶微分方程奇解的两个判别式.科学教育论坛,2005年第5J,,,,24期:207,211.张维琪.浅谈奇解的求法.吉安师专学报,1989年第6期:5,10. 6J,,,,谷丽彦.微分方程奇解的求法及存在性的条件.河北师范学院学,1993年7J,,,,第3期:27,31.曾庆健.一类常微分方程奇解的求法.安徽电子信息职业技术学院学报 8J,,,, 2004第5、6期第225页.张少霞.常微分方程奇解的讨论J.工科数,第13卷第4期,1997年8月:1339,,,,,136.。

常微分方程奇异解
常微分方程的奇异解是一种非通解的特殊解，通常在有限奇点附近定义。

奇异解不满足一般积分形式的解法，且具有特殊的性质。

奇异解的性质：
1.奇异解的存在性不是由初始条件唯一确定的，需要额外的信息。

2.奇异解通过常微分方程的解析解法无法得到。

3.奇异解的存在使得常微分方程的解不唯一，解的数量可以大于初始条件的数量。

4.奇异解的存在使得直接数值求解常微分方程变得更加困难。

5.奇异解的存在与常微分方程的物理意义和几何结构有密切关系。

奇异解的例子包括：对于y'' + y/x = 0，解为y = c_1 x ln(x) + c_2 x，且c_2可以取为任意实数，因此解的数量可以大于初始条件的数量。

对于y'' + 4y/x^2 = 0，解为y = c_1 x^2 + c_2 x^(-2)，且c_2可以取为任意实数，因此也存在奇异解。

常微分方程教程第四章奇解第四章的主题是奇解。

奇解是指常微分方程的特解，它们具有非常特殊的性质。

在这一章中，我们将讨论奇解的定义、性质和求解方法。

首先，我们来看奇解的定义。

对于一个常微分方程，如果一些函数既是它的解，又满足该方程的初值条件，那么这个解就是初值问题的特解。

如果一个特解在一些区间上唯一地存在，且不能由其他解表示，那么它就是奇解。

奇解是一种与常解不同的特殊解，它在数学研究和应用中具有重要的意义。

接下来，我们将讨论奇解的性质。

首先，奇解的存在性和唯一性是奇解研究的基本问题。

对于一些常微分方程，它们可能具有奇解，而对于其他方程，则可能不存在奇解。

为了证明奇解的存在性和唯一性，我们需要运用一些相关的定理和方法，如皮卡逐步逼近法和柯西定理等。

这些定理和方法提供了解决奇解问题的有力工具。

其次，奇解的求解方法也是本章的重点内容。

对于一些特定的常微分方程，我们可以采用一些特殊的技巧和方法来求解它们的奇解。

例如，对于线性常微分方程，我们可以利用常系数线性微分方程的特征根和特征向量来求解奇解。

而对于一些非线性常微分方程，我们可以运用变量分离、积分因子和分离变量等方法来求解奇解。

这些求解方法的研究可以帮助我们更好地理解奇解的性质和特点。

最后，我们将讨论奇解的应用。

奇解不仅仅在数学研究中具有重要意义，它们还广泛应用于物理、化学、生物学等领域。

例如，在物理学中，奇解可以描述一些具有特殊性质或特殊行为的物理系统。

在化学反应动力学中，奇解也被广泛应用于描述化学反应过程中的特殊现象。

奇解的应用研究有助于我们更好地理解和掌握自然界中的现象和规律。

综上所述，第四章主要讨论了奇解的定义、性质和求解方法。

奇解是常微分方程中的特殊解，具有非常特殊的性质。

我们可以通过研究奇解的存在性、唯一性和求解方法，来更好地理解和应用常微分方程。

奇解的研究不仅在数学领域有重要意义，而且在物理、化学、生物学等领域也有广泛的应用。

通过学习和掌握奇解的知识，我们可以拓宽自己的数学视野，提高问题解决能力，并在实际应用中发挥奇解的作用。

2011届本科毕业论文常微分方程的奇解的求法学院：数学科学学院专业班级：数学07-4（实验）班学生姓名：哈丽古丽.穆塔力菩指导教师：伊里夏提答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务目录1 引言 (1)2 奇解的定义 (1)3 不存在奇解的判别法 (1)4 自然法 (2)5 拾遗法 (2)6 包络线及奇解的求法 (2)6.2 C-判别曲线 (3)6.3 P-判别曲线 (5)6.4 C-P判别法 (7)总结 (8)参考文献 (1)致谢 (2)常微分方程的奇解的求法摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。

一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。

在这里我们讨论不存在奇解的判别法。

如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法），C-P判别法。

我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。

关键词：奇解，判别式，包络线。

1 引言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。

但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。

在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。

在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。

若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。

2 奇解的定义定义 如果方程存在某一节，在它所对应的积分曲线上每一点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。

奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。

3 不存在奇解的判别法每一个微分方程都有它的奇解吗？答案是：不一定。

那我们怎么知道，微分方程有没有它的奇解呢？下面我们介绍不存在奇解的两种判别法。

方法1 假设方程(,)dyf x y dx= （1） 的右端函数2),(R D y x f ⊆在区域上有定义，如果),(y x f 在D 上连续且),(y x f y '在D 上有界（或连续），那么由解的存在唯一性定理，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。

浅谈常微分方程奇解与包络对常微分方程教科书中采用的不同方式来定义奇解，进行了讨论，指出了用包络定义奇解的不相容性，和用唯一性破坏定义奇解的合理性。

给出了求常微分方程以已知函数求奇解的多种方法，方法和实例表明，这对有奇解的常微分方程以及同一奇解的常微分方程都是非常多的.标签：常微分方程；定义；奇解；包络0 前言常微分方程，是一个有悠久历史发展迅速的学科，是一个理论和实际应用都很有价值的学科，它不但自身应用十分广泛，而且对其他学科都有非常大的帮助。

许多科学家都对微分方程有了不同程度的研究。

比如牛顿，莱布尼茨等。

常微分方程是17世纪和微积分同时诞生的一门理论性非常强，研究应用非常广泛的学科之一，常微分方程的发展分了四个发展阶段，这四个发展阶段对常微分方程非常关键。

牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的，18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径，一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进，大大地扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，当时几乎所有的数学家也是力学家.牛顿和莱布尼茨都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地，认识规律很难完全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的，物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系，而这种联系，用数学语言表述出来，即抽象为某种数学结构，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，运动规律就一目了然了。

为了便于讨论，现将第一种定义写出：1 奇解的定义在通常教科书中对奇解的定义采用两种方法：一种是用积分曲线族的包络（以下简称包络）定义奇解；另一种是用奇解的唯一性被破坏定义奇解.由下面的讨论可知，用第一种方法定义奇解将会产生混乱，甚至会出现不相容的情况.第二种定义则来源于微分方程本身内容，准确而不会产生歧义.为了便于讨论，现将第一种定义写出：1.1 定义1微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上还有方程的另外一些解存在，在它上面的每一点唯一性都不成立，奇解對应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过[1]。

微分⽅程——包络和奇解
对某些微分⽅程，存在⼀条(也可能多条)特殊的积分曲线，它并不属于⽅程的积分曲线族。

但是，在这条特殊的积分曲线上的每⼀点处，都有积分曲线族中的⼀条曲线和它在此点相切。

在⼏何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。

在微分⽅程⾥，这条特殊的积分曲线所对应的解称为⽅程的奇解。

设单参数曲线族
Φ(x,y,c)=0 (3.23)
其中c是参数，Φ(x,y,c)是x,y,c的连续可微函数。

曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线，它本⾝并不包含在曲线族(3.23)中，但过这曲线的每⼀点，有曲线族(3.23)中的⼀条曲线和它在这点相切。

值得注意，⼀般的曲线族并不⼀定有包络，例如同⼼圆族，平⾏直线族都是没有包络的。

微分⽅程的某⼀个解称为奇解，如果在这个解的每⼀点上⾄少还有⽅程的另外⼀个解存在，也就是说奇解是这样的⼀个解，在它上⾯的每⼀点唯⼀性都不成⽴。

或者说，奇解对应的曲线上每⼀点⾄少有⽅程的两条积分曲线通过。

总之，奇解——⾸先它本⾝是解，特别之处在于该解对应的积分曲线的每⼀点都不满⾜唯⼀性。

从奇解的定义容易知道⼀阶微分⽅程的通解的包络(如果它存在的话)⼀定是奇解；反之，微分⽅程的奇解(若存在的话)也是微分⽅程的通解的包络。

因⽽，为了求微分⽅程的奇解，可以先求出它的通解，然后求通解的包络。

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国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2022年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。

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课程总成绩=形成性考核某50%+终结性考试某50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项： A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项： A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项： A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项： A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项： A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项： A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。

数学与应用数学专业2002级函授本科毕业论文参考题目1．数学分析中的构造法证题术，参考文献：《数学分析选讲》 刘广云编著《数学分析教材》《数学分析方法论一题》刘广云编著2．用微积分理论证明不等式的方法参考文献：同1.3．数学分析中的化归法参考文献：同1 .4．微积分与辩证法参考文献：《自然辩证法》 恩格斯著《反杜林论》 恩格斯著《关于无限与有限、运动与静止、曲与直的辨证关系的探索》刘广云《数学方法论选讲》5．数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用参考文献：《数学方法论选讲》 徐利治著《科学争论集》《科学悖论集》《数学思想和思想哲学》6．中国古代数学中的无理数理论参考文献：《九章算术导读》《数书九章导读》《吴文俊论数学机械化》7．二阶常微分方程的解法参考文献：《常微分方程》8．中国古代数学中的极限思想参考文献：《中国数学史大系》《九章算术导读》9．负数理论在中国参考文献：同8.10． 试谈创新性教育参考文献：《数学方法论导读（徐利治著）》《数学方法论（郑敏信著）》《学科方法论模式教育》刘广云11、试论梯度、散度与旋度要求：1.讲清物理背景2．阐明内在联系3．论证主要性质参考书目：1、2、1012、试论导函数、原函数的有关性质要求：1. 论述导函数没有第一类间断点2．原函数存在与可积性3．原函数存在定理及应用参考书目：1、2、8、913、积分学中一类公式的证明要求：1。

以引理：设f(x)和g(x)在[a,b]上可积，则=∆∑=→xi g f i n i i )()(lim 10θξλ⎰b a dx x g x f )()(其中ξi, θi ∈［x i-1,x i ］,(i=1,2,…,n),x 0=a,x n =b,Δx i =x i -x i-1,λ={}xi ni ∆≤≤1max 为基础证明：1）曲线绕x 轴旋转一周所得曲面面积dx x f x f s ba 2))((1)(2⎰'+=π 2）第二型曲线积分化为定积分的计算公式2.将引理推广到二重积分的情形,得出类似的引理,进而证明:1)曲面面积计算公式2)第一型曲面积分的计算公式参考书目: 1.2.8.914、在上有界闭域的D 中连续函数的性质要求：:叙述并证明：有界性、最值、介值及一致连续性定理.参考书目：1、2、915、试论数e[or π]要求：1。