常微分方程12解的存在唯一性

第二章 基本定理我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville ）证明了里卡蒂（Riccati ）方程)0)(()()()(2≠++=x p x r y x q y x p dydx 除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程22y x dxdy +=就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题. 本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.2.1 解的存在唯一性定理对于一般的常微分方程),(y x f dxdy = （2.1） 如果给出了初始条件00)(y x y =，我们就得到了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy （2.2） 这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.2.1.1 存在唯一性定理的叙述定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数),(y x f 在闭矩形区域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-00002,:上满足如下条件：（1）在2R 上连续；（2）在2R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数N ，使对于2R 上的任何一对点),(y x 和),(x 有不等式：y y N y x f y x f -≤-),(),(则初值问题（2.2）在区间],[0000h x h x +-上存在唯一解00)(),(y x x y ==ϕϕ 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==. 在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明：1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数N 难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数),(y x f 在闭矩形区域2R 关于y 的偏导数),(y x f y '存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为),(y x f y '有界，故设N y x f y ≤'),(，对2),(),,(R x y x ∈∀，由拉格朗日中值定理得：y y N y y x f y x f y x f y -≤-'=-),(),(),(ξ我们验证),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上连续.由闭区域上连续函数的性质知：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：),(y x f y '在2R 上连续⇒),(y x f y '在2R 上存在且有界⇒李普希兹条件2、在定理2.1的结论中，解)(x y ϕ=的存在区间为],[0000h x h x +-，其中 ),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.为什么解的存在区间不是],[00a x a x +-呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域2R ，方程的解)(x y ϕ=不能超出2R 的范围，又因为),(max ),(y x f M Ry x ∈=，所以M y x f M ≤≤-),( 即 M dxdy M ≤≤- 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)(y x y M dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==00)(y x y M dx dy 得：001)()(y x x M x y +--=，002)()(y x x M x y +-= 因此)()()(21x y x y x y ≤=≤ϕ，即)(x y ϕ=夹在)(1x y 与)(2x y 之间.又，)(1x y 与)(2x y 在2R 上的存在区间为],[0000h x h x +-，故)(x y ϕ=的存在区间也是],[0000h x h x +-.2.1.2 存在性的证明首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解)(x y ϕ=，等价于求解积分方程⎰+=xx d y f y y 0))(,(0ξξξ （2.3） 事实上，如果)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解，即有))(,()(x x f x ϕϕ='且00)(y x =ϕ从0x 到x 积分得：⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 即)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解.反过来，如果)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解，即有⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 则00)(y x =ϕ且))(,()(x x f x ϕϕ='即)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解.经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.下面用皮卡（Picard ）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：1、构造近似函数列{})(x n ϕ任取一个满足初值条件00)(y x y =的函数)(0x y ϕ=作为首项（初始项），并要求在2R 上的存在区间为：],[0000h x h x +-，简单起见，取00)(y x =ϕ，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用)(1x ϕ表示，并称为一次近似，即⎰+=xx d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ 再将)(1x ϕ代入方程（2.3）的右端就得到二次近似⎰+=xx d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ 序行此法，可以得到n 次近似⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有2))(,(R x x n ∈ϕ，即当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ 下面用数学归纳法证明b y x n ≤-0)(ϕ.显然，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y y y x ≤=-=-0)(0000ϕ假设，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y x n ≤--01)(ϕ，那么，对于)(x n ϕ有⎰-=-xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 从而有b Mb M Mh x x M d f y x xx n n =≤≤-≤≤-⎰-00100))(,()(ξξϕξϕ 由数学归纳法知，当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ这样，我们就可以得到一个近似函数列{})(x n ϕ.2、证明近似函数列{})(x n ϕ在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.由于无法得到{})(x n ϕ的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列{})(x n ϕ的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数+-++-+-)]()([)]()([)(1010x x x x x n n ϕϕϕϕϕ （2.4） 它的部分和是)()]()([)]()([)()(10101x x x x x x x S n n n n ϕϕϕϕϕϕ=-++-+=-+因此，证明{})(x n ϕ的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.首先研究级数（2.4）的通项)(x n μ⎰=-xx d f x x 0))(,()()(001ξξϕξϕϕ 即⎰=-xx d y f y x 0),()(001ξξϕ 所以00010),()(x x M d y f y x x x -≤≤-⎰ξξϕ 因为⎰+=x x d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ，⎰+=x x d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ，所以 ⎰-≤-x x d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ由李普希兹条件，得 !2)()()()(200011200x x MN d x MN d N x x x x x x -=-≤-≤-⎰⎰ξξξξϕξϕϕϕ 下面用数学归纳法证明!)()(011n x x MN x x nn n n -≤---ϕϕ 显然，2,1=n 的时候，不等式成立（上面已经给出）， 假设!)()(011n x x MN x x n n n n -≤---ϕϕ成立，那么对于1+n 的情形有 )!1(!)()())(,())(,()()(100111000+-=-≤-≤-≤-+--+⎰⎰⎰n x x MN d n x MN d N d f f x x n n x x n n xx n n x x n n n n ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ由数学归纳法知，对一切自然数n ，均有!)()(011n x x MNx x nn n n -≤---ϕϕ 又00h x x ≤-，所以级数（2.4）的通项满足： !)(011n h MN v x n n n n -+=≤μ （ ,2,1=n ） 利用比式判别法，可知以n v 为通项的级数收敛，从而以)(x n μ为通项的级数(2.4)绝对收敛且一致收敛.又，每一个)(x n μ是连续的，所以级数（2.4）的和函数也是连续的，记为)(x ϕ，其存在区间也是],[0000h x h x +-.因此函数列{})(x n ϕ就收敛于)(x ϕ.3、证明)(lim )(x x n n ϕϕ∞→=是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.在⎰-+=x x n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ两端取极限，得到 ⎰-∞→∞→+=xx n n n n d f y x 0))(,(lim )(lim 10ξξϕξϕ 即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 所以)(x ϕ是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.2.1.3 唯一性的证明下面我们证明解的唯一性.在证明唯一性之前，先介绍一个重要的不等式，即贝尔曼（Bellman ）不等式.贝尔曼引理 设)(x y 为区间],[b a 上的非负连续函数，b x a ≤≤0.若存在,0≥δ 0≥k ，使得)(x y 满足不等式],[,)()(0b a x d y k x y xx ∈+≤⎰ττδ （2.5） 则有],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ证明 仅证明0x x ≥的情形，0x x ≤的情形类似.令)(x y 的原函数为⎰=xx d y x R 0)()(ττ，代入（2.5）得 δ≤-')()(x kR x R两边同时乘以积分因子)(0x x k e --，得)()(00)]()([x x k x x k e x kR x R e ----≤-'δ从0x 到x 积分得)()(00)(x x k x x k e e x kR -----≤δδ即)(0)(x x k e x kR -≤+δδ 由（2.5）知，)()(x kR x y +≤δ，所以],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ下面证明积分问题（2.3）的解的唯一性.假设积分问题(2.3)有两个解)(1x y 和)(2x y ，我们只需要证明：)(1x y )(2x y ≡，],[0000h x h x x +-∈事实上，因为⎰+=x x d y f y x y 0))(,()(101ξξξ，⎰+=xx d y f y x y 0))(,()(202ξξξ 所以有⎰-≤-xx d y f y f x y x y 0))(,())(,()()(2121ξξξξξ由李普希兹条件知⎰-≤-xx d y y N x y x y 0)()()()(2121ξξξ 令N k x y x y x y ==-=,0,)()()(21δ，由贝尔曼引理可知，0)(=x y ，即)(1x y )(2x y ≡. 这样，我们就完成了解的存在性与唯一性的证明.2.1.4 三点说明为了更好的理解和掌握解的存在唯一性定理，我们对该定理再做三点说明.1、在存在性的证明过程中，我们利用逐次逼近法构造了近似函数列{})(x n ϕ，其中首项为：00)(y x =ϕ，递推关系式为：⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ.该方法实际上给出了我们一种求初值问题（2.2）的近似解的方法，当用n 次近似解逼近精确解时，需要给出它的误差估计.事实上，有∑∑∞+=∞=+-≤-≤-101!)()()()(n k k k nk k k n k x x N N M x x x x ϕϕϕϕ 0)!1()(!)!1()(!10001010Nh n k k k n n k k k e n Nh N M k h N n Nh N M k h N N M +=+<≤+∞=+∞+=∑∑ 2、如果方程（2.1）是线性方程，即)()(x q y x p dxdy +-= 其中)(x p 和)(x q 在区间],[b a 上连续，这时，初值问题（2.2）在带型区域+∞<<-∞≤≤y b x a R ,:2满足定理2.1的条件.事实上，)()(),(x q y x p y x f +-=在2R 上连续，而且)(),(x p y x f y -='在2R 上也连续，所以),(y x f 关于变量y 满足李普希兹条件.这时，初值问题（2.2）的解存在且唯一，存在区间为],[b a .3、定理2.1中的李普希兹条件是保证解唯一的充分条件，那么这个条件是不是必要条件呢？回答是否定的，即李普希兹条件是解唯一的充分非必要条件.下面我们给出一个例子来说明李普希兹条件是解唯一的非必要条件，也就是说，即使李普希兹条件不成立，初值问题（2.2）的解也可能是唯一的.例1 试证方程0,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 经过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 由00,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 可得：0=y 或x Ce e y ±=. 任给xOy 平面上的一个点),(00y x ，只会对应0=y 或xCe e y ±=中的一个解，也就是说，过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.但是，我们有0ln ln )0,(),(-==-y y y y x f y x f 因为+∞=→y y ln lim 0，所以找不到0>N ，使得 0)0,(),(-≤-y N x f y x f从而方程右端函数在0=y 的任何邻域上不满足李普希兹条件，但是初值问题（2.2）的解却是唯一的，这说明李普希兹条件是非必要条件.习 题 2.11.试判断方程y x dx dy tan =在区域 （1）π≤≤≤≤-y x R 0,11:1；（2）44,11:2ππ≤≤-≤≤-y x R上是否满足定理2.1的条件？2.讨论方程3123y dx dy =在怎样的区域中满足定理2.1的条件.并求通过)0,0(的一切解.3.试用逐次逼近法求方程2y x dxdy -=满足初值条件0)0(=y 的近似解： )(),(),(),(3210x x x x ϕϕϕϕ并在闭矩形区域11,11:2≤≤-≤≤-y x R 给出三次近似的误差估计.4.利用逐次逼近法求方程22x y dxdy -=适合初值条件1)0(=y 的近似解： )(),(),(210x x x ϕϕϕ并在闭矩形区域111,11:2≤-≤-≤≤-y x R 给出二次近似的误差估计.5.试证明定理2.1中的n 次近似解)(x n ϕ与精确解)(x ϕ有如下的误差估计式：10)!1()()(+-+≤-n n n x x n MN x x ϕϕ 6.在条形区域+∞<≤≤y b x a ,内，假设方程（2.1）的所有解都唯一，对其中任意两个解)(),(21x y x y ，如果有)()(0201x y x y <，则必有b x x x y x y ≤≤<021),()(.7.讨论方程323y dx dy = 解的唯一性.2.2 延展定理和比较定理由解的存在唯一性定理，我们知道，初值问题（2.2）的解在满足一定条件的情况下存在且唯一，但是解的存在区间不是],[00a x a x +-，而是],[0000h x h x +- 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.如果M 比较大的话，则解的存在区间就非常小，这对我们研究解的性质产生了很大的局限性，只能在很小的范围内有解，当x 超出这个范围时，解的情况就不清楚了.为了解决这个问题，我们有下面的延展定理.2.2.1 延展定理定理2.2（延展定理）如果方程（2.1）的右端函数在区域R R D ⨯⊂上连续，且关于变量y 满足局部的李普希兹条件，即对于D 内的任一闭矩形区域都满足李普希兹条件，则对任何一点D y x ∈),(00，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=可以向左右无限延展，直到))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界.在给出定理的证明之前，先对“))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界”进行说明.当区域D 有界时，积分曲线向左右延展可以任意接近；当区域D 无界时，积分曲线向左、右延展，或者任意接近区域D 的边界（边界存在的话），或者无限远离坐标原点.证明 首先证明区域D 有界的情形.设区域D 的边界为D D L -=（D 为D 的闭包）.对于任意给定的正数ε，记L 的ε邻域为εU ，记L 的2ε邻域为2εU ，记L 的4ε邻域为4εU .则集合22εεU D D -=为闭集，且D D ⊂2ε，所以2εD 有界. 只要证明积分曲线可以到达2εD 的边界2εL ，由ε的任意性知，积分曲线就可以任意接近区域D 的边界L .事实上，以2εD 中的任意一点为中心，以4ε为半径的闭圆区域均包含在区域D 的内部.且在闭区域44εεU D D -=之内.从而，以2εD 中的任意一点为中心，以4221ε=a 为边长的正方形也在闭区域4εD 之内.记 ),(max 4),(1y x f M D y x ε∈= 则过2εD 的任意一点),(**y x 的积分曲线，必至少可在区间],[**h x h x +-上存在，其中)82,82min(),min(1111M M a a h εε==. 于是，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=每向左或向右延展一次，其存在区间就伸长一个确定的正数h ，由于2εD 有界，)(x y ϕ=经过有限次延展后一定可以达到2εD的边界2εL .于是也就可以任意接近区域D 的边界L .其次考虑区域D 为无界的情形.这时，我们可以用闭圆区域,2,1},),{(222=≤+=n n y x y x S n与区域D 取交集，令n n S D D =，则 ∞==1n n D D .由于n D 为有界的区域，根据前面的证明，我们可知，过n D 内任一点的积分曲线能够任意接近n D 的边界.因此，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=可以无限接近区域D 的边界.延展定理的证明，关键是第一步证明，也就是区域D 有界的时候，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=向左向右延展的时候，一定要做等速延展，即延展步幅h 是不变的. 例1 试讨论方程2y dxdy=通过点)1,1(的解和通过点)1,3(-的解的存在区间. 解 该题目中研究问题的区域D 为整个坐标平面xOy .方程右端函数满足延展定理的条件.由2y dxdy=可以解得方程的通解为 xC y -=1代入1)1(=y 得：2=C .故通过点)1,1(的解为xy -=21 它可以向左无限延展，而当-→2x 时，+∞→y ，所以通过点)1,1(的解xy -=21的存在区间为)2,(-∞.代入1)3(-=y 得：2=C .故通过点)1,3(-的解为xy -=21它可以向右无限延展，而当+→2x 时，-∞→y ，所以通过点)1,3(-的解xy -=21的存在区间为),2(+∞.这个例子说明，尽管),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，解上的点))(,(x x ϕ也能无限接近区域D 的边界，但是延展的方向却不一定是无限向右和向左，可能是向上或向下，从而导致解的存在区间不是),(+∞-∞. 例2 试证明：对任意的0x 及满足条件100<<y 的0y ，方程221)1(y x y y dx dy ++-=的满足条件00)(y x y =的解)(x y y =在),(+∞-∞上存在.证明：令221)1(),(y x y y y x f ++-=，则222222)1(122),(y x x y y x y y x f y ++--++=' 显然),(),,(y x f y x f y '在xOy 平面上连续，满足解的存在唯一性条件及延展定理的条件，而1,0==y y 是),(y x f dxdy=的解， 因此，满足00)(y x y =，100<<y 的解存在，而且可以无限延展到xOy 平面的边界，且不能穿过1,0==y y ，故只能向左右无限延展，所以，)(x y y =在),(+∞-∞上存在.该例题说明，),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，当方程的解不能穿过1,0==y y 时，它就不能向上向下无限延展了，只能向左、向右延展，所以解的存在区间就是),(+∞-∞.在这里，1,0==y y 控制了解的延展方向，使它按照我们的要求进行延展，因此就有了下面的比较定理. 2.2.2 比较定理我们在使用延展定理的时候，通常会和比较定理配合使用，从而起到控制延展方向的作用.下面介绍一下比较定理.我们在考察方程（2.1）),(y x f dxdy=时，通常将右端函数),(y x f 进行放缩的处理，比如),(),(),(21y x F y x f y x F <<这时，我们可以同时考察),(1y x F dx dy =和),(2y x F dxdy = 我们有如下的比较定理：定理2.3 （第一比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F <<设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ<<Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ>>Φϕ证明 仅证当0x x >时，)()(2x x Φ<ϕ，其它的情形相类似. 由比较定理的条件（1），初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解在0x 的某一邻域内存在且唯一，分别记为)(x y ϕ=和)(2x y Φ=，它们满足0020)()(y x x =Φ=ϕ令)()()(2x x x h ϕ-Φ=，则0)()()(0020=-Φ=x x x h ϕ且0))(,())(,()()()(0002020020>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ所以函数)(x h 在0x 的某一右邻域内是严格单调增加的.如果在0x x >时，0)(>x h 不是总成立，则至少存在一点01x x >，使得0)(1=x h ，且当10x x x <<时，0)(>x h ，因此在点1x 的左导数0)0(1≤-'x h ，这与0))(,())(,()()()(1112121121>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ矛盾.因此当0x x >时，0)(>x h 总成立，即)()(2x x Φ<ϕ.比较定理的应用，关键是),(1y x F 和),(2y x F 的选取，因为初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解)(x y ϕ=的存在区间的延展，受到)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的控制，即)(x y ϕ=夹在)(1x y Φ=和)(2x y Φ=之间.因此，我们必须能确定出)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的存在区间，这就是我们选取),(1y x F 和),(2y x F 的标准，即⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解)(1x y Φ=和)(2x y Φ=必须能够求得. 下面我们给出第二比较定理.定理2.4 （第二比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F ≤≤设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ≤≤Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ≥≥Φϕ习 题 2.21．设方程为),()(22y x f a y dxdy-= 假设),(y x f 及),(y x f y '在xOy 平面上连续，试证明：对于任意的0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.2.指出方程2)1(2xy e y dxdy -=的每一个解的最大存在区间，以及当x 趋于这个区间的右端点时解的极限.3.讨论方程xx dx dy 1cos 12-= 解的存在区间.4.设),(y x f 在整个平面上连续有界，对y 有连续偏导数，试证明方程),(y x f dxdy=的任一解)(x y ϕ=在区间+∞<<∞-x 上有定义. 5.讨论方程212-=y dx dy 的通过点)0,0(的解，以及通过点)3,2(ln -的解的存在区间.6.在方程)(y f dxdy=中，如果)(y f 在),(+∞-∞上连续可微，且 )0(0)(≠<y y yf ，求证方程满足00)(y x y =的解)(x y 在区间),[0+∞x 上存在，且有0)(lim =+∞→x y x .2.3 解对初值的连续依赖性定理和解对初值的可微性定理通过前两节的存在唯一性定理和延展定理，加上比较定理，我们知道了初值问题（2.2）在什么样的条件下，解是存在的，是唯一的，而且存在区间比较小的时候，通过延展定理和比较定理可以将解的存在区间变大，从而在实际问题中可以达到我们的要求.但是，在实际问题中，还有一个问题需要解决，那就是误差问题.我们的初始条件00)(y x y =如果产生了微小的偏差，这个偏差对我们的初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=会有什么影响呢？下面我们来解决这个问题. 我们在研究初值问题（2.2）的时候，习惯上把0x 和0y 当作常数来看待，这样初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=被看作x 的函数.实际上，如果0x ，0y 变化，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=也会发生变化.例如方程xydx dy = 经过点),(00y x 的解为x x y y 0=，可以看作00,,y x x 的函数.对于一般的情形，初值问题（2.2）的解也可以看作00,,y x x 的函数，记为),,(00y x x y ϕ=，代入00)(y x y = 得：0000),,(y y x x =ϕ.如果我们的初始条件00)(y x y =发生了微小的误差，变为了**0)(y x y =，初值问题（2.2）的解也变化不大的话，称解连续依赖于初值.下面我们给出连续依赖性的严格定义.定义2.1 设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==**0)(),(y x y y x f dxdy的解),,(*0*0y x x y ϕ=在区间],[b a 上存在，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ (δ的选取与,ε**0,y x 有关)，使得对于满足δδ<-<-*00*00,y y x x （2.2）的解),,(00y x x y ϕ=都在],[b a 上存在，且有],,[,),,(),,(*0*000b a x y x x y x x ∈<-εϕϕ则称初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在点),(*0*0y x 连续依赖于初值,0x 0y .定理2.4 （解对初值的连续依赖性定理）设),(y x f 在区域D 内连续，且关于变量y 满足李普希兹条件.如果D y x ∈),(*0*0，初值问题（2.2）有解),,(*0*0y x x y ϕ=,且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，则对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x证明 对于任意给定的正数ε，取εδ<<10，使得闭区域}),,(,),{(1*0*0δϕ≤-≤≤=y x x y b x a y x U整个含在区域D 内，这是可以做到的，因为区域D 是开区域，且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，所以，只要1δ的选取足够小，以曲线),,(*0*0y x x y ϕ=为中线，宽度为12δ的带形开区域U 就整个包含在区域D 内， 选取δ满足)(110a b N e M--+<<δδ其中N 为李普希兹常数，),(max ),(y x f M Uy x ∈=，同时还要求δ的选取，必须保证闭正方形δδ≤-≤-*0*02,:y y x x R含于带形开区域U 内.由存在唯一性定理知，对于任一200),(R y x ∈，初值问题（2.2）在0x 的某邻域上存在唯一解),,(00y x x y ϕ=，而且),,(00y x x y ϕ=在0x 的该邻域上可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(000000⎰+=而),,(*0*0y x x y ϕ=可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(*0*0*0*0*0*⎰+=对上述两式做差得：ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx x x )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*⎰⎰-+-=-ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx xx )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*0⎰⎰-+-≤-ττϕτττϕττϕτd y x f d y x f y x f y y x x xx |)),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000*0*0*00**0⎰⎰+-+-≤δττϕττϕτδM d y x f y x f xx +-+≤⎰|)),,(,()),,(,(|00*0*0*0ττϕτϕδd y x y x N M xx |),,(),,(|)1(00*0*0*0-++≤⎰由贝尔曼引理，得εδδδϕϕ<<+≤+≤---1)(*0*000)1()1(),,(),,(*a b N x x N e M e M y x x y x x因此，只要在),,(00y x x y ϕ=有定义的区间上，就有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .下面我们证明：),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.事实上，因为εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x即解),,(00y x x y ϕ=夹在εϕ+=),,(*0*0y x x y 和εϕ-=),,(*0*0y x x y 之间，而且，初值问题（2.2）满足延展定理的条件，所以，解),,(00y x x y ϕ=可以向左向右无限延展，直到无限接近区域D 的边界，于是，它在延展的时候，必须由直线a x =和直线b x =穿出区域U ，从而),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.解对初值的连续依赖性说明，初值),(00y x 无法准确得到，但是我们能得到测量数据),(*0*0y x ，只要误差比较小，即δδ<-<-*00*00,y y x x .我们就可以用),(*0*0y x 代替),(00y x 去计算，得到初值问题的解),,(*0*0y x x y ϕ=，这个解可以非常接近真实解),,(00y x x y ϕ=，即εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .同理，如果方程的右端函数),(y x f 不能准确得到，只能得到),(y x f 的近似函数),(~y x f ，即)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ我们就可以用),(~y x f 代替),(y x f 去计算，得到初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=，那么),,(00~y x x y ϕ=能否代替),,(00y x x y ϕ=呢？我们有下面的解的连续依赖性定理.定理2.5 （解对被积函数的连续依赖性定理）在区域D 上，),(y x f 和),(~y x f 都连续，而且关于变量y 满足李普希兹条件， 若初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 在b x a ≤≤上有解),,(00~y x x y ϕ=，则对任意给定的正数ε，存在0>δ，只要),(y x f 满足)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ则初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(00~00y x x y x x .证明 由解的存在唯一性定理知，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=存在，设其存在区间为],[b a ，且有⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00~~000~ξξϕξϕ而初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也存在，且可以表示为⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00000ξξϕξϕ则⎰⎰-=-xx xx d y x f d y x f y x x y x x 0))],,(,([))],,(,([),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξξϕξϕϕ从而有⎰-≤-xx d y x f y x f y x x y x x 0|)),,(,()),,(,(|),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξϕξϕϕ⎰-+-=xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,()),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ ⎰-+-≤xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ⎰+-≤xx d y x y x N 0)|),,(),,((|0000~ξδξϕξϕ ⎰-+-≤xx d y x y x N a b 0|),,(),,(|)(0000~ξξϕξϕδ由贝尔曼引理，得)(0000~)(),,(),,(a b N e a b y x x y x x --≤-δϕϕ取)(a b N e ab ---<εδ，则εϕϕ<-),,(),,(0000~y x x y x x .且解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在. 例1 考虑方程,ln ,0≠=⎩⎨⎧-=y y y y dx dy 解的情况.解 显然1,1,0-===y y y 是方程的解，当1,1,0-≠≠≠y y y 时，有y y dxdyln -= 这时解得上半平面的通解为x Ce e y -=，下半平面的通解为xCe e y --=.可以看到，对于Ox 轴上的初值)0,(0x ，在任意有限闭区间上解对初值连续依赖，但是，在),0[+∞上，无论),(00y x ，00≠y 如何接近)0,(0x ，只要x 充分大，过),(00y x 的积分曲线就不能与过)0,(0x 的积分曲线（即0=y ）任意接近了.这个例子说明，解在有限闭区间上对初值连续依赖，不能推广到无限区间，即，在无限区间上解对初值的连续依赖定理就不成立了.我们有时不仅要求解对初值连续依赖，而且还要知道解),,(00y x x y ϕ=对初值00,y x 的偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ是否存在.下面给出解对初值的可微性定理. 定理2.6 （解对初值的可微性定理）如果函数),(y x f 以及),(y x f y '在区域D 内连续，则初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=在它有定义的区间上有连续偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ.并且有 ⎰-=∂∂'x x y d y x f e y x f x y x x 000)),,(,(00000),(),,(ττϕτϕ 及⎰=∂∂'xx y d y x f e y y x x 000)),,(,(000),,(ττϕτϕ 习 题 2.31.若函数),(y x f ，),(y x R 在区域D 内连续且满足李普希兹条件，设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=*0*0)(),(),(y x y y x R y x f dx dy 的解为),,(*0*0~y x x y ϕ=，存在区间为],[b a .对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满足)),((,),(D y x y x R ∈<δ的),(y x R ，以及满足δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*0~00y x x y x x 2.已知方程)sin(xy dxdy = 试求0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x x y x x y 和0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x y y x x y 3.设),,(00y x x ϕ是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解，试证明0),(),,(),,(00000000=∂∂+∂∂y x f y y x x x y x x ϕϕ 2.4 欧拉折线法在第一章，我们介绍了方程的初等解法，即用微积分的知识求得常微分方程的函数解.但是绝大多数的方程不能用初等方法求解，在第二章的前三节中，我们给出了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在什么样的条件下，解存在且唯一；在什么条件下，解的存在区间可以延展；在什么条件下连续依赖于初值；在什么条件下，解对初值是可微的.有了这些准备，我们就可以研究柯西初值问题的近似解.下面我们介绍求近似解的方法，欧拉折线法.假定函数),(y x f 在区域：+∞<<-∞≤≤y b x a ,上连续，且关于变量y 满足李普希兹条件，求柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在区间],[0b x 上的近似解，我们采用的方法是：（1）等分区间],[0b x ，分点为n k kh x x k ,,1,0,0 =+=；小区间长度nx b h 0-=， （2）第一个小区间上用切线段逼近曲线：))(,(0000x x y x f y y -+=，（3）求出1x 所对应的纵坐标))(,(010001x x y x f y y -+=，（4）依次重复（2），（3）得到每个小区间上的线段，从而得到欧拉折线. 这样，我们就用欧拉折线作为柯西初值问题在区间],[0b x 近似解.欧拉折线法的前提是：柯西初值问题的解存在且唯一，而且解的存在区间是],[0b x .例1试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)1(22y y x dx dy 的解在4.1=x 时的近似值.解 令22),(y x y x f +=，2)1,1(=f ，这时12-=x y ，代入1.11=x 得：2.11=y ，65.2)2.1,1.1(=f ，这时2.1)1.1(65.2+-=x y ， 代入2.12=x 得：465.12=y ，586225.3)465.1,2.1(=f ，这时465.1)2.1(586225.3+-=x y ， 代入3.13=x 得：8236225.13=y ，0155990225.5)8236225.1,3.1(=f ，这时8236225.1)3.1(0155990225.5+-=x y ，代入4.14=x 得：53251824022.24=y 习 题 2.41. 试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(22y y x dx dy 的解在5.1=x 时的近似值.2．试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=2)1(22y y x dx dy 在区间]4.1,1[上的近似解.。

Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理總婷婷(XX帅X学院数学与鋭计学院,XX,XX,741000)描要:在Banach空同中，常械分方程解的存在唯一性定理中力=｝，初值冋題的解y(f)的变量『在t o-h<t<t o+ht变化，把f的变化X围扩大为心％「5+%, 为此给出f变化X围后的Banach 空间中常做分方程解的存在唯一性定理，并对定理给予明确的证明.关维词:存在唯一;常撤分方程;数学IJ3细袪;皮卡逐步II近法\ Banach空间引言常撤分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件下方程的解的存在性和唯一性，它是常ta分方程理论中最基本且实用的定理，有其重大的理论怠义，另一方面，它也是近做求解法的前提和理论基硝.对于人们裁知的Banach空同中常撤分方程解的存在唯一性定理,解的存在区同较小,只限制在一个小的球形邻裁内,(球形邻域的半径若为5, U需满足Ld<\,且辭只在以儿为中心以5为半径的冈球B t5(y0) = (yeX|||y-y0||<J)存在唯一，其中X是Banach空间)因此在应用过程中受到了一定的眼制.如今我们尝试扩大了解的存在XIJ.U而使此重要的定理今后有更加广泛的应用.1预备定理我们给岀Banach空同中常做分方程解的存在唯一性定理如下设X是Banach空同，UuX是一f开集.f :U i X上关干 >，满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数厶>0,使得不等式］/(/, ”)- /(/, y2)|| <厶卜】一儿||，对于所有y^y2eu部成立.® y.eU ,在u内，以儿为中心作一个半径为“的冈球3心())=© eX|||y-儿||詡’对所有的y e B b(y0)都成立，且有,取h = min{%,%^},则存在唯一的C、曲线y(t)，使得在r0-h<t< t0+h上满足y w B h(y0), 并有y' = /(/,y),y(G)=)b・2结果与证明笔者通il改进对力的限歟即仅取〃 = %/，硕备定理仍然成立,从而使定理的应用进一步广泛.2.1改进条件后的定理定理假设条件同上预备定理，设初值为仇,儿)，则存在唯一的C、曲线y(『),对任恿的G 一%/ ° "u + %r满足y €场(儿),且使得V = /(/, y) , Wo)=儿.显然可有% —〃，心 + 幻 U〔5 - ，心 + % ］，目"min{%,%} •2.2定理舸证明证明证明过程中我们利用皮卡(Picard)逐步逼近法•为了简单起见，只就区同对干区间t.<t<t.+y M的讨论完全一样.2.2.1定理证明的思想现在先简单叙述一下运用皮卡逐步逼近法证明的壬要思想.首先证明条件 H), xu=y0等价于求枳分方程y(Q = %+j\/a，y)〃•⑴再证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个儿⑴为连续函数，将它代人方程⑴的右常，可得到函数卩⑴=y(> +J；./■(/,%)〃/,显然，儿⑴也为连续函数•若x⑴=y o(0,1可知y()⑴就是方程⑴的解•若不然，我ill a把川)代人枳分方程⑴的右竭m,y)，可得到函数儿⑴=儿+J；“/(/')〉)/•若y2(0 = >'i(0 JO可知莎⑴就是方程(1)的解•若不然，我们如此下去,可作连续函红儿(/) = + j* ：＞/(/，y”-i M ・(2)这算就得到连续函数列儿(0，”(/)，儿⑴,…，儿⑴，…若畑⑴=儿⑴,那么儿⑴就是枳分方程的解，如果始终不发生眩种悄猊，我们可以证明上面的函数序列有一个极眼函数y(t), fill liin y…(t) = y(f)存在，因而对(2)式两jfi取枚限时,就得到巴y n(0 = y0 + lim J :/(f,y…_,)dt = y0+J ；o lim/(r,儿“)/ =儿 + J ；o/(r,y)dt, 即y(0 = y0 + J；/(心)力謔就是说M)是枳分方程的解•在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的.2.2.2定理iil明的步骤下面我门分五个命题来证明定理.金題1设y = y(r)是y'5，y)的定义于区同心％““上,满足初值条件〉仇)=儿(3)的解厲y = y(r)是枳分方程W)=儿+ 定义于心一夕缶上的连续解，反之亦衆证明因为y = y(0是方程y' = /(/, y)的解，故有竽5,刃.at对上式两fflU/o到「取定枳分得到W) - W())= J ；＞ /(/，y W ‘ 5 - ％ o()‘把(3)式代入上式,即有y(f) = ＞o+J 财(人曲5-%；"")•⑷因此,y = XO是(4)的定义于上的连续解.反之，如果y = y（f）是⑷的连续解,）心）=儿+J: <t<t0.fit分之，得到弊局）•ata把心心代人⑷式，得到y（G =儿，S此,y = y（r）是方程 H）的定义于区间且満足初值条件（3）的解.金题1込毕.现在取y。

第三章一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。

2.了解解的延拓定理及延拓条件。

3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。

[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。

[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。

[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。

2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。

3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。

在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。

而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。

因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。

他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩ 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。

解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。

Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理魏婷婷(天水师范学院 数学与统计学院,甘肃,天水,741000)摘要: 在Banach 空间中, 常微分方程解的存在唯一性定理中},1min{M b L h =,初值问题的解)(t y 的变量t 在h t t h t +≤≤-00上变化,把t 的变化范围扩大为Mbt t Mbt +≤≤-00,为此给出t 变化范围后的Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理,并对定理给予明确的证明.关键词: 存在唯一;常微分方程;数学归纳法;皮卡逐步逼近法;Banach 空间引言常微分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件下方程的解的存在性和唯一性,它是常微分方程理论中最基本且实用的定理,有其重大的理论意义,另一方面,它也是近似求解法的前提和理论基础.对于人们熟知的Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理,解的存在区间较小, 只限制在一个小的球形邻域内,(球形邻域的半径若为δ,还需满足1<δL ,且解只在以0y 为中心以δ为半径的闭球δδ≤-∈=00)(y y X y y B 存在唯一,其中X 是Banach 空间)因此在应用过程中受到了一定的限制.如今我们尝试扩大了解的存在范围,从而使此重要的定理今后有更加广泛的应用.1 预备定理我们给出Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理如下设X 是Banach 空间, X U ⊂是一个开集. X U f →:上关于y 满足利普希茨)(Lipschitz 条件,即存在常数0>L ,使得不等式2121),(),(y y L y t f y t f -≤-,对于所有U y y ∈21,都成立.取U y ∈0,在U 内,以0y 为中心作一个半径为b 的闭球b y y X y y B b ≤-∈=00)(,对所有的)(0y B y b ∈都成立,且有M y f ≤)(,取},1min{Mb L h =,则存在唯一的1C 曲线)(t y ,使得在h t t h t +≤≤-00上满足)(0y B y b ∈,并有),(y t f y =',00)(y t y =.2 结果与证明笔者通过改进对h 的限制,即仅取Mb h =,预备定理仍然成立,从而使定理的应用进一步广泛.2.1改进条件后的定理定理 假设条件同上预备定理,设初值为),(00y t ,则存在唯一的1C 曲线)(t y ,对任意的Mbt t Mbt +≤≤-00,满足)(0y B y b ∈,且使得),(y t f y =',00)(y t y =.显然可有],[],[0000Mbt M bt h t h t +-⊂+-,且},1min{MbL h =.2.2定理的证明证明 证明过程中我们利用皮卡)(Picard 逐步逼近法.为了简单起见,只就区间00t t Mbt ≤≤-进行讨论,对于区间Mbt t t +≤≤00的讨论完全一样.2.2.1定理证明的思想现在先简单叙述一下运用皮卡逐步逼近法证明的主要思想. 首先证明条件),(y t f y =',00)(y t y =等价于求积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=.(1)再证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个)(0t y 为连续函数,将它代入方程(1)的右端),(y t f ,可得到函数dt y t f y t y t t ),()(0010⎰+=,显然,)(1t y 也为连续函数.若)()(01t y t y =,则可知)(0t y 就是方程(1)的解.若不然,我们又把)(1t y 代入积分方程(1)的右端),(y t f ,可得到函数dt y t f y t y t t ),()(1020⎰+=.若)()(12t y t y =,则可知)(1t y 就是方程(1)的解.若不然,我们如此下去,可作连续函数,dt y t f y t y n t t n ),()(100-⎰+=. (2)这样就得到连续函数列),(,),(),(),(210t y t y t y t y n若)()(1t y t y n n =+,那么)(t y n 就是积分方程的解,如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数)(t y ,即)()(lim t y t y n n =∞→存在,因而对(2)式两边取极限时,就得到dt y t f y dt y t f y dt y t f y t y t t n n t t n t t n n n ⎰⎰⎰+=+=+=-∞→-∞→∞→),(),(lim ),(lim )(lim 00001010,即dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=,这就是说,)(t y 是积分方程的解.在定理的假设条件下,以上的步骤是可以实现的. 2.2.2定理证明的步骤下面我们分五个命题来证明定理.命题1 设)(t y y =是),(y t f y ='的定义于区间00t t Mbt ≤≤-上,满足初值条件00)(y t y = (3) 的解,则)(t y y =是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=定义于00t t M b t ≤≤-上的连续解,反之亦然.证明 因为)(t y y =是方程),(y t f y ='的解,故有),()(y t f dtt dy =. 对上式两边从0t 到t 取定积分得到dt y t f t y t y t t ⎰=-),()()(00,00t t M b t ≤≤-,把(3)式代入上式,即有dt y t f y t y t t ⎰+=),()(00,00t t M b t ≤≤-. (4)因此, )(t y y =是(4)的定义于00t t Mbt ≤≤-上的连续解.反之,如果)(t y y =是(4)的连续解, dt y t f y t y t t ⎰+=),()(00,00t t M b t ≤≤-.微分之,得到),()(y t f dtt dy =. 又把0t t =代入(4)式,得到00)(y t y =,因此, )(t y y =是方程),(y t f y ='的定义于区间00t t Mbt ≤≤-,且满足初值条件(3)的解.命题1证毕.现在取00)(y t y =,构造皮卡逐步逼近函数序列如下⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-+==⎰-),2,1(,),()()(0010000 n t t M b t dt y t f y t y y t y n t t n(5) 命题2 对于所有的n ,(5)中函数)(t y n 在00t t Mb t ≤≤-上有定义,连续且满足不等式b y t y n ≤-0)(.证明 用数学归纳法可以证明,如下)()(0y B t y b n ∈,对于任意N n ∈,00t t Mbt ≤≤-,当1=n 时, ξξd y f y t y t t ),()(0010⎰+=,显然)(1t y 在00t t Mb t ≤≤-上有定义,连续且有b t t M d y f d y f y t y t t t t ≤-≤≤=-⎰⎰)(),(),()(0000100ξξξξ.设当k n =时有)()(0y B t y b k ∈,也即)(t y k 在00t t Mbt ≤≤-上有定义,连续且满足不等式b y t y k ≤-0)(,这时ξξd y f y t y k t t k ),()(001⎰+=+.由假设,命题2当k n =时成立,则可知)(1t y k +在00t t Mb t ≤≤-上有定义,连续且有当1+=k n 时b t t M d y f d y f y t y k t t k t t k ≤-≤≤=-⎰⎰+)(),(),()(00100ξξξξ,即命题2当1+=k n 时也成立,从而得知命题2对于所有的n 均成立.命题2证毕.命题3 函数序列)}({t y n 在00t t Mb t ≤≤-上是一致收敛的.证明 我们考虑级数∑∞=--+110)]()([)(k k k t y t y t y ,00t t Mbt ≤≤-,(6)(6)式级数的部分和为)()]()([)(110t y t y t y t y n nk k k =-+∑=-,因此,要证明函数序列)}({t y n 在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛,我们仅证明级数(6)在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛.因此,我们可进行如下计算,由)(),(),()(0000100t t M d y f d y f y t y t t t t -≤≤=-⎰⎰ξξξξ, (7)及ξξξd y f y f t y t y t t ⎰-≤-),(),()()(01120,利用利普希茨)(Lipschitz 条件及(7)式可知对于任意的n 为正整数,不等式n n n n t t n ML t y t y )(!)()(011-≤---成立. 则由利普希茨条件,当00t t Mbt ≤≤-时,有为此,由数学归纳法可知,对于所有的正整数k ,可有如下的式子成立,k k k k t t k ML t y t y )(!)()(011-≤---,00t t M b t ≤≤-.因此可有,当k k kk k k M b k ML t t k ML t y t y )(!)(!)()(1011---≤-≤-, (8) (8)式右端为收敛的正项级数∑∞=-11)(!k k k M bk ML 的一般项. 由魏尔斯特拉斯)(s Weierstras 判别法,级数(6)在00t t Mb t ≤≤-上是一致收敛的,因此序列)}({t y n 也在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛,命题3证毕.现设)()(lim t y t y n n =∞→,为此)(t y 也在00t t Mbt ≤≤-上连续,且由命题2又可知b y t y ≤-0)(,命题4 )(t y 是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=的定义在区间00t t M b t ≤≤-上的连续解.证明 由利普希茨条件)()(),(),(t y t y L y t f y t f n n -≤-以及)}({t y n 在2000112)(!2)()()()()(0t t ML d t M L d y y L t y t y t t t t -=-≤-≤-⎰⎰ξξξξξ100111)()!1()(!)()(),(),()()(000+--+-+=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰n nnt t n n n t t n n t t n n t t n ML d t n ML d y y L d y f y f t y t y ξξξξξξξξ00t t Mbt ≤≤-上一致收敛于)(t y ,且函数列)}({t y n 逐项连续,即知序列))}(({t y f n 在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛于))((t y f .因而对(5)式两边取极限,得到ξξξξd y f y d y f y t y n n t t n t t n n n ),(lim ),(lim )(lim 101000-∞→-∞→∞→⎰⎰+=+=即ξξd y f y t y t t ),()(00⎰+=,这就是说, )(t y 是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=的定义于00t t Mbt ≤≤-上的连续解.命题4证毕.命题5 (证明解的唯一性)设)(t x 是积分方程dt y t f y t y t t ),()(00⎰+=定义于00t t Mbt ≤≤-上的另一个连续解,则)()(t x t y =,00t t Mbt ≤≤-.证明 现在我们证明)(t x 也是序列)}({t y n 的一致收敛极限函数.为此,从00)(y t y =,.),()(100ξξd y f y t y n t t n ⎰-+= )1(≥n ,ξξd x f y t x t t ),()(00⎰+=,可以进行如下的估计,)(),(),()()(0000t t M d x f d x f t x t y t t t t -≤≤=-⎰⎰ξξξξ200001)(!2)()()(),(),()()(000t t MLd t ML d x y L d x f y f t x t y t t t t t t -=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰ξξξξξξξξ现在我们可以假设n n n t t n ML t x t y )(!)()(011-≤---,则有 .)()!1()(!)()(),(),()()(10011000+---+=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰n nnt t n n t t n t t n t t n ML d t n ML d x y L d x f y f t x t y ξξξξξξξξ故由数学归纳法得知,对于所有的正整数n ,有下面的估计式10)()!1()()(+-+≤-n nn t t n ML t x t y ,于是我们可知在00t t Mbt ≤≤-上有110)()!1()()!1()()(+++≤-+≤-n n n n n Mb n ML t t n ML t x t y , (9)1)()!1(++n n M b n ML 是收敛级数的公项,且当∞→n 时, 0)()!1(1→++n n Mb n ML . 因而)}({t y n 在00t t Mbt ≤≤-上一致收敛于)(t x .根据极限的唯一性,即可知)()(t x t y =,00t t Mbt ≤≤-.命题5证毕.综合命题1～5,即得到Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理的证明. 例题 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y yt dtdy 其中R :[]0,2-∈t ,[]1,1-∈y 的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计.解 ()4),(max ,==∈y t f M Ry t则利用本文的结果41==Mbh , 在R 上函数22),(y t y t f -=的利普希茨常数可取2=L ,因为L y yf=≤-=∂∂22. 0)(0=t y ,313))(()(220211+=-=⎰-t d y t y t ξξξ,4211631893))(()(74321212+---=-=⎰-t t t t d y t y t ξξξ.在本文的估计式(9)中令)()(t y t x =,则有误差估计式110)()!1()()!1()()(+++≤-+≤-n n n n n Mb n ML t t n ML t y t y ,从而可得241)41(!324)()(322=⨯⨯≤-t y t y .利用本文结果,初值问题解的存在区间为Mbt t Mbt +≤≤-00为此将10-=t ,41=Mb代入上式,可得解的存在区间为4345-≤≤-t ; 第二次近似解为42116318937432+---=t t t t y ;在解的存在区间的误差估计为2412≤-y y . 结束语在Banach 空间中,通过运用皮卡的逐步逼近法,从证明解的存在性,到解的唯一性,采用严密的逻辑推理和理论证明,得到扩大解的存在区间后Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理,从而使定理更加实用.当然,展望未来,我们还可以利用所得到的结果进一步作为探究其他问题的可靠性依据.参考文献[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松,编.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2006.[2] 郭大均,孙经先.抽象空间常微分方程[M].济南:山东科学技术出版社,2003.[3] 王兴涛,编.常微分方程[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2004.[4] 邓海荣,马兆丰.Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理的注[J].扬州大学学报:自然科学版,2007,10（1）: 1～3.[5] 房琦贵.关于常微分方程解的存在唯一问题的讨论[J].高校讲坛,2010.[6] 王声望,郑伟行,编.实变函数与泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社,2005.如不慎侵犯了你的权益，请联系告知！致谢在完成终稿的今天,在敲完最后一个句号的时刻,我的思想同周围凝固的热气一样停驻了,不知道是慰藉还是悲伤,大学四年的生活就这样结束了,而眼前的路还很长,虽然似乎有些迷茫,但我必须整理心情,背上行囊,坚定的踏上新的征程……我要感谢,非常感谢我的指导老师何老师.在忙碌的教学工作中挤出时间来审查修改我的论文,循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.他为人随和热情﹑治学严谨细心﹑广博的学识﹑深厚的学术素养,在论文的写作和措辞等方面他也总会以专业标准严格要求,从选题﹑定题﹑开始,一直到论文的反复修改,何老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导,帮助我开拓研究思路,精心点拨﹑热忱鼓励.正是何老师的无私帮助与热忱鼓励,我的毕业论文才能够得以顺利完成,谢谢何老师.再次,我还要认真地谢谢我身边所有的朋友和同学,你们对我的关心﹑帮助和支持是我不断前进的动力之一,我的大学生活因为有你们而更加精彩.最后,向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢!（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

cauchy问题解的存在唯一性定理的几种
证明
Cauchy问题解的存在唯一性定理是一个重要的定理，它指出了一个给定的常微分方程的Cauchy问题的解的存在唯一性。

由于它具有重要的应用价值，因此在数学界有很多关于它的证明。

本文将简要介绍几种关于Cauchy问题解的存在唯一性定理的证明。

首先，我们介绍最经典的古典证明：古典证明是由C.F. Gauss于1809年发表的，他通过比较两个解的差分来证明Cauchy问题的解的唯一性。

其次，根据微分方程的函数可微性定理，可以证明Cauchy问题解的唯一性。

函数可微性定理说明了一个多元函数在它的可微点处可以对每个变量做函数导数，因此可以证明Cauchy问题的解的唯一性。

再次，最近的一个证明是由Otto Toeplitz于1903年发表的，他采用“变量变换”的方法。

他证明，Cauchy问题的解的唯一性可以经由一个简单的变量变换，将其转化为一个解析函数，这个函数具有唯一性。

最后，我们介绍最近发现的一种证明：由L.C. Evans于1966年发表的，他使用了“流形理论”的概念来证明Cauchy问题的解的唯一性。

他说，Cauchy问题的解可以看作是一个流
形上的函数，而这个函数的唯一性可以从它的定义域的形状来判断。

以上就是Cauchy问题解的存在唯一性定理的几种证明介绍。

由于它具有重要的应用价值，因此在数学界有很多关于它的证明。

古典证明、函数可微性定理、变量变换、流形理论等等，都是关于Cauchy问题解的存在唯一性定理的有效证明方法。

常微分方程解的存在唯一性定理一阶微分方程⑴其中. 是在矩形域丄」’叭」上的连续函数。

定义1如果存在常数二11，使得不等式”（础）-/（砒）冏肝川对于所有--■■-1--- 都成立，贝U函数/、•称为在二上关于：'满足Lipschitz 条件。

定理1如果「二，在二上连续且关于「满足Lipschitz 条件，则方程（1）存在唯一的解y=叭心，定义于区间M ■阳卜月上，连续且满足初始条件W八-卄 A = r—）M = max' ■-.，这里」f，•心「。

Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程的连续解。

然后去证明积分方程的解的存在唯一性。

任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数俅沪）Vp（Z（）⑴）必，显然J 也是连续函数，如果,那末l:-'就是积分方程的解。

否则，我们又把J二代入积分方程右端的「，得到汀0恥）皿，如果氛沪仍⑴，那末仇⑴就是积分方程的解。

否则我们继续这个步骤。

一般地作函数惦（3.1.1.4）这样就得到连续函数序列，...，〔「」，…如果二, 那末就是积分方程的解。

如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数厂：;；1，即'厂…I存在，因而对©Ji/）取极限时，就得到f「打「X FJr=y0+l=y0+祕幼必Jf祕x）=y n+/（X 矶兀））必/ 、即•血，这就是说机x）是积分方程的解。

这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。

函数''■■■■■'称为初值问题的第：次近似解。

命题1设—是方程（1）的定义于区间V —'■'‘上，满足初始条件Jf瞅）=刃的解，则厂曲）是积分方程y=y°+y （2曲碳心砒的定义于V ——'■上的连续解。

反之亦然。

现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 京（X）=丹；保（方=丹+ f于（乙矶_1©）時从“英肿hJ*D（聊=12…）1命题2对于所有的卜，函数在J■:上有定义、连续且满足不等式命题3 函数序列"I「在J ------------ '."上是一致收敛的。