常微分方程解的结构

高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。

dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

三阶常系数齐次线性微分方程通解结构三阶常系数齐次线性微分方程是指形如$ay+by+cy+dy=0$的三阶常系数齐次线性微分方程，其中a，b，c，d均为常数。

因此，三阶常系数齐次线性微分方程又称为三阶常系数线性普通微分方程，是初等微积分学中较为重要的一类微分方程。

二、定理假设 y = y(x)为$ay+by+cy+dy=0$的通解，则满足下列条件：（1）若 $b^2-3ac>0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ 其中$lambda_1、lambda_2、lambda_3$分别为$$lambda_1= frac{-b-sqrt{b^2-3ac}}{3a}，lambda_2=frac{-b+frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}，lambda_3=frac{-b-frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}$$（2）若$b^2-3ac=0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）若$b^2-3ac<0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C_4sin(lambda_2x)$$其中$lambda_1、lambda_2$分别为$$lambda_1=-frac{b}{3a}+frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}，lambda_2=-frac{b}{3a}-frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}$$三、公式从上述定理中可以看出，三阶常系数齐次线性微分方程的通解可以分为三类：（1）$b^2-3ac>0$的情况：$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ （2）$b^2-3ac=0$的情况：$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）$b^2-3ac<0$的情况：$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C _4sin(lambda_2x)$$四、推导（1）$b^2-3ac>0$的情况：两边同时乘以$e^{-lambda_1x}，e^{-lambda_2x}，e^{-lambda_3x}$，得到$$e^{-lambda_1x}(alambda_1^3y+blambda_1^2y+clambda_1y+dy)=e ^{-lambda_2x}(alambda_2^3y+blambda_2^2y+clambda_2y+dy)=e^{-lambda_3x}(alambda_3^3y+blambda_3^2y+clambda_3y+dy)=0$$ 即$$(alambda_1^3+blambda_1^2+clambda_1+d)e^{-lambda_1x}y+(bla mbda_1^2+2clambda_1+d)e^{-lambda_1x}y+(clambda_1+d)e^{-lamb da_1x}y+(d)e^{-lambda_1x}y=0$$令$e^{-lambda_1x}y=Y$，$e^{-lambda_1x}y=Y’$，$e^{-lambda_1x}y=Y’’$，$e^{-lambda_1x}y=Y’’’$得到一阶齐次线性微分方程的一般解为$y=e^{lambda_1x}(C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3)$可知，设$C_1=C_2=C_3=0$，有特解$y_p=C_4e^{lambda_1x}x^3$ 所以，原方程的通解为$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}+C_4e ^{lambda_1x}x^3$$（2）$b^2-3ac=0$的情况：类似上述推导，原方程的通解为$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）$b^2-3ac<0$的情况：类似上述推导，原方程的通解为$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C _4sin(lambda_2x)$$五、例题例 1：求解$y3y+3yy=0$的通解。

二阶线性常系数微分方程是一类重要的数学模型，它可以用来表示一些复杂的结构。

对于非齐次线性常系数微分方程而言，通过求解一个代数方程来得到其解的过程被称为“微分”。

而在线性常系数微分方程中，当且仅当两个解相等时才能确定方程是否为线性常系数微分方程。

1：二阶线性常系数微分方程的定义二阶线性常系数微分方程是因为其解的存在性，即无穷多的不可约表示的根构成的一整颗树。

例如：z= ax+by, t∈(-1,2)则是一个由三个向量加上常数项组成的矩阵“1”与两个边长为n和2/3的三角形共线，所以第一个行向量在原点垂直向下移动到第二个行向量上时满足下面的条件：a0>b12<b≤b101x=wx+yd=alogid, x:gn=intarpq ，且e、f均取值为整数，p也可以看作常数系数。

2：解法推导过程根据解法推导过程，二阶线性常系数微分方程的求解可以归结为以下三步：1.确定特征根2.分析特征根3.寻找通解通常来说，从求出其特征根开始，通过考察该特征根是否存在于满足一定条件的矩阵中即可得到通解。

具体到这个问题上，也就是要知道如何判断一个n×m阶方阵是否是一个m-2 元组或是n×2元组组成的方阵。

在这种情况下，如果所有向量都属于某个特定值所对应的空间或者全部只包含一种类型的子集，那么就意味着它具有该类能量；反之则不具有该类能量。

3：应用实例二阶线性常系数微分方程是一个重要的数学概念，它广泛用于研究函数、力学和其他相关领域。

解法推导过程如下：一、二阶线性常系数微分方程的定义二阶线性常系数微分方程是指具有三个导数项的非齐次方程，并且所有正整数都在无穷远处有唯一实数根，这样的方程被称为“对称三对角线”的形式。

二阶线性常系数微分方程可以用两个变量来描述，第一个变量称为λk,第二个变量称为u(x)，这样的方程被称为“严格三对角线型”的形式。

二阶线性常系数微分方程通常写成：X-Δα=Aφβ+Lαβ2jβ1叫做λk′′′x1×...imθβmjlnψ3θ4-θ2-m2jω+QSC、αy+qqz+pyasihszalskife+fdigitimatesimilarity文并不是按指数衰减的类型规范化了，而是用矩阵来表示的。