第九章 连续时间：微分方程

第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。

由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。

偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。

差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。

本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。

9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。

当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。

椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。

满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。

用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。

差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。

设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。

连续时间代数riccati方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续时间代数Riccati方程是一类重要的微分代数方程，广泛应用于控制理论、动力系统、信号处理等领域。

它可以描述系统状态随时间演化的动态过程，并在实际应用中发挥着重要作用。

本文将介绍连续时间代数Riccati方程的基本概念、求解方法和应用领域。

一、基本概念连续时间代数Riccati方程是一种特殊的矩阵微分方程，定义如下：\dot{P}(t) = -A^T P(t) - P(t)A - P(t)B R^{-1} B^T P(t) + QP(t)是一个对称矩阵，称为Riccati方程的解；A、B、R、Q分别是给定的矩阵，分别代表系统的状态矩阵、输入矩阵、状态-输入权重矩阵和状态-状态权重矩阵。

连续时间代数Riccati方程的特点在于，它不仅包含了状态矩阵的演化动态，还考虑了系统输入和权重矩阵对系统状态的影响。

Riccati 方程可以描述系统在连续时间下的状态演化规律，是控制理论中的重要工具。

二、求解方法对于一般的连续时间代数Riccati方程，其解并不容易求解。

针对特定情况下的Riccati方程，可以采用不同的方法进行求解。

常用的求解方法包括：1. Lyapunov方程法：将Riccati方程转化为Lyapunov方程进行求解；2. 反应敏感性法：通过求解线性化的Riccati方程，然后利用反应敏感性理论进行逼近求解；3. 近似法：将Riccati方程展开成级数，通过截断级数求解近似解。

这些方法在实际应用中都有其适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

三、应用领域连续时间代数Riccati方程在控制理论、动力系统、信号处理等领域有着广泛的应用。

一些典型的应用包括：1. 线性二次型控制：Riccati方程是线性二次型控制理论的核心工具，用于设计最优控制器，实现控制系统的性能优化；2. 动态系统稳定性分析：通过求解Riccati方程，可以分析系统的稳定性和受控性，评估系统的运动特性；3. 鲁棒控制设计：Riccati方程在鲁棒控制设计中起着重要作用，可以设计具有鲁棒性能的控制器。

连续时间模型的范式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述连续时间模型是指在统计学和经济学中常用的一种模型，它考虑了事件或变量在连续的时间范围内的变化。

与离散时间模型相对，连续时间模型能够更准确地描述现实世界中事件和变量的发展趋势，因为它能够捕捉到时间的流动和连续性的特点。

在连续时间模型中，时间被视为一个连续的变量，可以被划分为无限数量的连续点。

这样的建模方式有助于我们更好地理解和预测一系列事件或变量在未来的发展。

例如，在经济学中，我们可以使用连续时间模型来研究股市的波动、利率的变化，甚至是宏观经济指标的趋势。

连续时间模型的应用非常广泛。

它在统计学中被广泛运用于时间序列分析、回归分析以及事件历史分析等领域。

在经济学中，连续时间模型可以用于研究经济周期、价格变动、金融风险等问题。

此外，连续时间模型在自然科学、社会科学以及工程学等学科领域也有着广泛的应用。

本文将在接下来的章节中对连续时间模型进行详细的讨论。

首先，我们将给出连续时间模型的定义，并介绍其基本概念。

随后，我们将探讨连续时间模型在实际问题中的应用，并举例说明。

最后，我们将总结连续时间模型的特点，并展望其在未来的发展趋势。

通过对连续时间模型的深入研究和理解，我们可以更好地掌握时间序列数据的特点和规律，为决策提供更准确的依据。

同时，对连续时间模型的掌握也能够促进学科的发展，为更广泛的领域带来更多的应用和创新。

1.2 文章结构本文将分为引言、正文和结论三个部分来探讨连续时间模型的范式。

下面将对每个部分的内容进行简要介绍。

引言部分将首先给出对连续时间模型的一个概述，介绍其基本概念和研究意义。

接着，会详细描述本文的结构安排，使读者能够清晰地了解整篇文章的组织架构。

最后，我们将明确本文的目的，即通过对连续时间模型的探讨，希望能够提供一种有价值的参考和指导，以促进连续时间模型的应用和未来发展。

在正文部分，首先会给出连续时间模型的定义，包括其基本原理和特点。

信号与系统中的连续时间系统分析信号与系统是电子工程、自动控制等领域重要的基础学科，与我们日常生活息息相关。

在信号与系统中，连续时间系统分析是其中的重要内容之一。

本文将着重介绍连续时间系统分析的基本概念、方法和应用。

一、连续时间系统的概念连续时间系统是指信号的取样频率大于或等于连续时间信号的变化频率，信号在任意时间均有定义并连续可取值。

连续时间系统包括线性系统和非线性系统两种，其中线性系统是一类常见且具有重要意义的系统。

二、连续时间系统的表示连续时间系统可以通过微分方程或差分方程来表示，其中微分方程常用于描述线性时不变系统，而差分方程常用于描述线性时变系统。

在实际应用中，可以通过拉普拉斯变换或傅里叶变换对连续时间系统进行分析和求解。

三、连续时间系统的性质连续时间系统具有多种性质，包括线性性、时不变性、因果性、稳定性等。

其中线性性是指系统对输入信号的响应是可叠加的，时不变性是指系统的输出与输入之间的关系不随时间的推移而改变。

四、连续时间系统的频域分析连续时间系统的频域分析是通过傅里叶变换来实现的，可以将时域中的信号转换为频域中的频谱。

通过频域分析，我们可以获得系统的幅频特性和相频特性，进一步了解系统对不同频率信号的响应。

五、连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析是通过微分方程或差分方程来实现的，可以确定系统的时域特性。

通过时域分析，我们可以获得系统的阶数、单位阶跃响应、单位冲激响应等关键信息。

六、连续时间系统的应用连续时间系统的分析在实际应用中具有广泛的应用价值。

例如，在通信系统中，我们需要对信号进行调制、解调、编码、解码等处理，这些过程都需要借助连续时间系统的分析方法。

此外，连续时间系统的分析也在信号处理、图像处理、音频处理等领域有着重要的应用。

结语：连续时间系统分析是信号与系统学科中的重要内容，具有广泛的理论基础和实际应用。

通过深入学习连续时间系统的概念、表示、性质、频域分析、时域分析和应用，我们可以更好地理解和掌握信号与系统的基本原理和方法，为相关领域的研究和应用提供理论指导和技术支持。

《生物建模仿真》学习指南一、学习目的《生物建模仿真》是生物医学工程本科的专业基础课程，也是现代生物科学、医学、医学等相关专业教育教学的重要内容之一。

建模与仿真是分析、研究和设计各类系统，特别是诸如生命系统这类复杂系统的重要知识结构。

本课程的学习目的：1. 学习系统建模与计算机仿真的基本理论和方法。

2. 通过学习生物建模仿真的典型实例，学习和培养解决生物建模仿真实际问题的创新能力和实践能力。

二、课程理论部分学习指南课程理论学习分两个部分：第一部分包括第1章到第6章，内容是数学模型建模的基本理论和方法，计算机仿真的基本理论和方法，以及建模与仿真的校核、验证和确认（VV A）技术。

第二部分从第7章到第10章，通过学习生物系统建模仿真的4个典型范例，以点带面，培养应用建模仿真的基本理论与方法，解决生物系统实际问题的能力。

以下是理论课每个知识结构的主要内容、知识点、重点难点和学习质量的自我监测指标。

第1章生物建模仿真概论1. 学习目的了解建模仿真基本概念及生物建模仿真的研究与应用进展动态。

2. 学习内容(1)系统模型的定义、分类。

(2)系统仿真的基本概念、基本步骤、分类和计算机仿真。

(3)生物建模与仿真的研究与应用进展动态。

3. 知识点系统模型，计算机仿真4. 重点与难点系统建模的基本原理：模型与系统的相似性，根据建模要求定义相似性。

第2章系统的数学模型和建模方法2.1 数学模型的分类1. 学习目的学习数学模型的状态集合分类和时间集合分类。

2. 学习内容(1)数学模型的状态集合分类和时间集合分类。

(2)连续状态模型：连续时间模型，离散时间模型。

3. 知识点连续状态模型与离散事件模型，连续时间与离散时间模型4. 重点与难点连续状态模型中的连续时间模型，及其对应的时间离散计算机仿真模型。

5. 学习质量的自我监测标准：本章节自测与评估。

2.2 连续状态系统模型1. 学习目的学习连续状态系统中连续时间数学模型基本概念及其4类模型的数学表达式，了解对应的离散时间模型基本概念。

第九章微分方程第一节基本概念一.解释下列名词术语1．微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程.注意：（1）微分方程的一般形式：，在这个方程中是自变量，是的未知函数，是对的一阶、二阶、n阶导数；（2）方程中未知函数及自变量的记号可以不出现，如：；但未知函数的导数则必须出现.2.微分方程的阶：微分方程中所含的未知函数的最高阶导数的阶数.如：是一阶是二阶是n阶3.微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.例如：是的解.4.微分方程的通解：n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解.例如：是的通解；但是的解，而非通解.注意：这里要说明一下“两个常数独立”的含义----即对于任意给定的不同的的取值，则应得到不同的解，则称两个常数是互相独立的.之所以不是的通解，就是因为不是互相独立的.比如：取或者都可得到解.5.微分方程的初始条件：用来确定通解中的任意常数的一种定解的条件.一阶微分方程的初始条件通常为二阶微分方程的初始条件通常为例如：已知是的通解，可由初始条件通常为。

初始条件的个数与微分方程的阶数相同。

6.微分方程的特解：通解中所含的所有任意常数都确定后的解。

比如：是的满足初始条件的特解。

7.积分曲线：微分方程的解的图形（特解是一条积分曲线；通解是一组积分曲线）二。

用微分方程求解实际问题中的未知函数的步骤：1.建立微分方程和初始条件（难点）；------这通常使一部分同学感到为难，因为它除了需要数学知识之外，还往往要用到力学、物理学、化学、电学、工程技术等方面的知识，甚至还要用到语文的知识。

2.求通解；3.求特解。

我们这一章的重点是：给定一个微分方程，如何求其通解或特解.第二节一阶微分方程一.可分离变量的微分方程求解微分方程有一个特点：就是“对号入座”,什么样的微分方程，就用什么方法去解决,这几乎成了一个固定的格式.因此，判定所给的方程是什么类型就是首要问题。

这是本章的特点.今天，就给大家介绍一种最简单的一阶微分方程：可分离变量的微分方程.1.引例求解解：因为，所以是是的一个原函数。

连续时间信号与系统是信号处理和通信系统领域的重要基础知识。

以下是关于连续时间信号与系统的一些核心知识点总结：
1. 信号的基本概念：包括信号的定义、分类（连续、离散、确定、随机）、信号的表示方法（波形图、时域表达式、频域表示等）。

2. 连续时间信号的运算：包括信号的加、减、乘、卷积等基本运算，以及信号的平移、反转、尺度变换等变换。

3. 系统的基本概念：包括系统的定义、分类（线性时不变、线性时变、非线性等）、系统的描述方法（微分方程、差分方程、传递函数等）。

4. 线性时不变系统的分析：包括系统的响应（零状态响应和零输入响应）、系统的稳定性、系统的频率响应等。

5. 连续时间傅里叶分析：包括傅里叶级数、傅里叶变换及其性质、频率域的信号分析等。

6. 系统函数的性质和表示方法：包括系统函数的极点、零点，以及它们对系统特性的影响。

7. 信号通过线性时不变系统的分析：包括冲激响应和阶跃响应的分析，以及信号的频谱分析和系统对不同类型信号的响应。

8. 滤波器设计：包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器的设计，以及滤波器的频率响应和群时延特性。

9. 采样定理与信号重建：包括采样定理的理解，以及由采样信号重建原始信号的方法。

10. 连续时间系统的模拟与实现：包括模拟电路和数字电路实
现连续时间系统的方法，以及模拟与数字系统之间的转换。

以上知识点为连续时间信号与系统的基础内容，掌握这些知识点有助于理解实际通信系统和信号处理应用的原理。

如需更深入的学习，建议参考相关的教材或专业课程。

连续时间系统的时域分析连续时间系统是一种基础性的数学模型，用于描述物理系统、电路和控制系统等的行为。

在实际应用中，我们经常需要对连续时间系统进行时域分析，以更好地理解它们的行为特性和设计控制系统。

时域分析是指在时间域上通过观察时域响应，分析系统的动态特性和稳态特性，进而对系统行为进行描述和分析的一种方法。

对于连续时间系统，一般采用微分方程或者传递函数的形式来描述系统，从而进行时域分析系统的微分方程形式为：$$\frac{d^n y(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_m\frac{d^mx(t)}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$其中，$y(t)$代表系统的输出，$x(t)$代表系统的输入，$a_i$和$b_j$是系数。

时域分析的主要目的是求解系统在单位施加输入的情况下的输出响应$y(t)$。

为了简单起见，我们这里主要关注一阶和二阶连续时间系统。

$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：其中，$G(s)$代表系统的传递函数，$s$代表变换域变量。

通过求解系统的传递函数，我们可以得到系统的单位施加输入下的响应，进而进行时域分析，研究系统的动态和稳态特性。

$$\frac{d^2y(t)}{dt^2}+2\xi \omega_n\frac{dy(t)}{dt}+\omega_n^2 y(t)=x(t)$$其中，$\omega_n$代表系统的固有频率，$\xi$代表系统的阻尼比。

应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：。

第九章 微分方程一、教学目标与根本要求（1） 了解微分方程与其解、通解、初始条件和特解的概念。

（2） 掌握变量可别离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。

（3） 会用降阶法解以下方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。

（4） 理解二阶线性微分方程解的性质以与解的结构定理。

（5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

（6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以与它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

（7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。

二、本章教学容的重点和难点1、理解和熟悉微分方程的一些根本概念；2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟悉线性方程的根底理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；4、会列微分方程与其始值问题去解决实际问题。

三、本章教学容的深化和拓宽：1、别离变量法的理论根据；2、常用的变量代换；3、怎样列微分方程解应用题；4、黎卡提方程；5、全微分方程的推广；6、二阶齐次方程；7、高阶微分方程的补充；8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；9、求线性非齐次方程的一个特解；10、常数变易法。

本章的思考题和习题解以下方程〔第1-6题〕1、2)0(,)1(==+'+y x y y x2、()[]f dx x f e e x f xx x ,)(02⎰+=可微 3、21222sin 22sin 1X e y x y y x ++='•+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y5、21)0(,1)0(,022-='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'=7、可微函数)(x f 满足⎰-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、)(,,1)(21)(10x f f x f da ax f 求可微+=⎰； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成 45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器，多余的水便沉着器流出，问经过多少时间，两容器的含盐量相等？§9.1微分方程的根本概念一、容要点：先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义；二、教学要求和注意点了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以与积分曲线说明1：一个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实际问题两种等价的描述形式。

第9章微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念§9.2 一阶微分方程§9.3 二阶常系数线性微分方程§9.4 微分方程在经济学中的应用§9.1 微分方程的基本概念一、问题的提出例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为x 2,求这曲线的方程.解)(x y y =设所求曲线为x dxdy 2=∫=xdx y 2(1)2y =且,2C x y +=,1=C 求得.12+=x y 所求曲线方程为(1)2y =由条件⇒⇒⇒#例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0−米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,t s s s t =米秒钟行驶设制动后4.022−=dtsd ,20,0,0====dt ds v s t 时14.0C t dtdsv +−==2122.0C t C t s ++−=代入条件v(0)=20120C ⇒=,202.02t t s +−=,204.0+−==t dtdsv ),(504.020秒==t 列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米=×+×−=s 开始制动到列车完全停住共需代入条件s(0)=020C ⇒=#含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。

例,xy y =′,0)(2=++xdx dt x t ,32x e y y y =−′+′′,y x xz+=∂∂二、微分方程的定义联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)的关系式：()(,,,,)0n F x y y y ′= 微分方程的实质：微分方程的阶:分类1: 常微分方程& 偏微分方程。

,0),,(=′y y x F );,(y x f y =′,0),,,,()(=′n y y y x F ).,,,,()1()(−′=n n y y y x f y 分类2: 一阶微分方程& 高阶(n阶)微分方程。

时序微分方程
时序微分方程是描述时间序列数据变化的微分方程。

在金融领域，时序微分方程通常用于描述股票价格、利率等金融变量的动态变化。

时序微分方程的一般形式为：
dYdt=f(t,Y)dYdt = f(t, Y)dYdt=f(t,Y)
其中，Y(t)Y(t)Y(t) 表示时间序列数据，f(t,Y)f(t, Y)f(t,Y) 是关于时间ttt 和状态YYY 的函数，描述了时间序列数据的动态变化规律。

求解时序微分方程的方法有多种，包括欧拉法、龙格-库塔法等数值方法，以及解析解法。

具体求解方法需要根据具体问题选择。

在金融领域，时序微分方程的应用非常广泛。

例如，股票价格的动态变化可以用时序微分方程来描述，通过求解方程可以预测股票价格的走势。

此外，利率的变动、外汇汇率的变化等也可以用时序微分方程来描述和预测。