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数学与哲学何晓川材料学院材料1005班 201065041摘要：本文首先介绍了数学与哲学的本源关系，然后讲述了数学与哲学在东西方发展进程中的表现，以及数学的三大危机，接下来介绍了数学与哲学研究所面临的六大问题，最后形象化总结数学与哲学的关系。
一：数学与哲学现代的数学家大都很少关心哲学文题，甚至对基础问题一般都不闻不问。
从二十世纪三十年代之后，数理逻辑成为一门极为专门的学科，象几何、拓扑、分析、代数、数论一样，成为专家研究的对象，外行简直难于理解。
任何一门学问，必然是反映着哲学的探索与诉求，数学作为一种同经验无关的人类思维的结晶，更需要哲学的支撑。
哲学是人类认识世界的先导，哲学关心的首先是科学的未知领域，哲学倾听着科学的发现，准备提出新的问题。
哲学，从某种意义上说，是自然学科的望远镜，数学就产生在哲学已探索的未知领域。
数学本身源于自然哲学，虽然在历史的进程中，数学学科逐渐从哲学中分离出来，但是数学基础仍带有浓厚的哲学味道。
柏拉图有句名言：“没有数学就没有真正的智慧。
”智慧是被运用于生活中的哲学，是哲学的生活化、实际化。
历史上，许多著名的学者，如英国的罗素、德国的数学家康托尔，正是踏着数学的阶梯步入哲学堂奥的。
二：数学与哲学在东西方的表现哲学与数学在东西方世界的表现有着不同。
西方哲学与数学有着密切的关系。
追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。
西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”……进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。
在古希腊罗马时期，哲学尚未与其他的学科明确分开，许多哲学家本身就是自然数学家，哲学与数学是一个学科，无疑他们是联系在一起的。
这个时期的哲学家探讨的主要是自然哲学和本体论的问题，为了搞清客观世界及其原因和规律究竟是什么，人们创造了数学方法、辩证法和逻辑，这是西方理性思维的萌芽时期。
数学中的哲学原理
数学中的哲学原理可以被视为数学的基本思想和指导原则。
这些原理不仅适用于数学领域，也可以在其他领域的研究中得到应用。
以下是一些数学中的哲学原理：
1. 公理：数学的基础是一组被认为是真实和不可证明的陈述，这些陈述被称为公理。
公理构成了数学推理的起点，其他的定理和推论都可以通过公理推导出来。
2. 独立性：数学中的某些命题是独立的，即它们不能通过已知的公理推导出来，同时也不能被证明为假。
这些独立的命题展示了数学中的无穷性和多样性。
3. 反证法：反证法是一种常用的证明方法，它通过假设命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明了原命题的正确性。
4. 归纳法：归纳法是一种证明方法，它通过证明基础情况的正确性，并证明如果某个命题在某个情况下成立，则它在下一个情况下也成立，从而推导出该命题对于所有情况都成立。
5. 递归：递归是指定义一个数学对象时使用该对象本身的特性。
递归在数学中经常用于定义数列、函数和集合等。
6. 等价关系：等价关系是一种二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。
等价关系在数学中用于定义等价类，将对象划分为具有相同性质的集合。
7. 全序关系：全序关系是一种二元关系，它满足反自反性、传递性和反对称性。
全序关系在数学中用于定义排序和比较。
这些哲学原理代表了数学领域中的一些基本思想和方法，它们帮助数学家们进行推理和证明，同时也为数学的发展提供了指导。
高等数学教学中的数学哲学思考论文在古希腊，哲学家都格外重视数学。
最早的唯物主义哲学家泰勒斯，提出了原子唯物论的德谟克利特，最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都曾到埃及学习几何。
毕达哥拉斯学派认为世界的根源是数：“万物皆数”，虽然这个看法现在看来可笑，但毕达哥拉斯学派是第一次抽象的处理数学概念的人，使得数学理论从大地测量、计算等活动中抽象出来，他们在研究中发现了毕达哥拉斯（九章算术称勾股定理）定理。
比毕达哥拉斯学派更广为人知的是柏拉图学院，该院学生以亚里士多德最为知名。
这些学生大多是那个时代最知名的数学家、哲学家和天文学家。
后来这许多学派和个人的工作，被欧几里得总结在《几何原本》中，在《几何原本》中，欧几里得从几条公理出发，演绎了500多条希腊大师的定理、结论。
唯理论的两位大家——笛卡尔和莱布尼茨正是两位数学大家。
勒奈·笛卡尔（1596～1650），伟大的哲学家、物理学家、数学家。
人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“为人类争取并保证理性权利的第一人——笛卡尔。
”1628年，他从巴黎移居荷兰，先后发表了许多在数学和哲学上有重大影响的论著：《论世界》（1634）、《行而上学的沉思》（1641）、《哲学原理》（1644）等。
1637年，笛卡尔的《几何学》，创立了直角坐标系，使几何曲线与代数方程相结合。
笛卡尔的变数是数学中的转折点。
变数使得运动走入数学，变数使得辨证法走数学，变数使得微分和积分也就立刻成为必要。
笛卡尔的成就，为后来一大批数学家的新发现开辟了道路。
作为微积分的创始人之一的德国著名数学家、科学家、哲学家——莱布尼茨创造了微积分符号，一直沿用到今。
著名的哲学家罗素、布劳威尔等也都研究数学，而著名的数学家希尔伯特也研究哲学，这样的例子无法一一列举。
这些著名的学者都同时精通数学和哲学，一方面原因是因为早期的学科分类没有像今天这样分得如此详细；另一方面也说明，数学和哲学有着不可分割的内在联系。
如何在高等数学中进行哲学思考哲学是对具体科学的概括、总结，并指导各门学科;数学如同哲学在整个科学体系中的作用类同——研究整个世界，得出普遍规律，数学是总结自然界普遍存在的空间形式和数量关系，从而指导自然科学的发展及自身的进步，我们要在高等数学里蕴含的有限与无限、量变与质变、微分与积分、离散与连续、直线与曲线、特殊与一般等内容不断进行哲学思考，必将使我们受益无穷。
标签：高等数学;哲学思考一、有限与无限高等数学中通过有限认识无限;反过来，也通过无限来确定有限。
高等数学运用极限理论实现了有限与无限的相互转化。
无限是有限的发展，无限个数目的和不是一般的代数和，把它定义为”部分和”的极限，我们只有借助极限，方能够认识无限。
无限可分概念仅存在于人类的思维之中，在现实世界却不可能存在，人们只能通过运用日常生活的有限来认识世界，任何超越有限而抽象地谈无限是没有任何意义的，正如爱因斯坦曾说过：”抽掉任何物理内容的空间概念是不存在的。
无限和有限并非绝对对立的，而是相互连结，并能相互转化的。
”高等数学中几乎所有的无限的量都可以通过有限的量得到;通过有限个矩形面积的和，去认识整个曲边梯形面积等有限蕴含无限的哲学思想都随处可见。
反之，一些有限的量也可以通过无限的量得到，有限与无限这对矛盾，在高等数学中贯穿始终，我们要善于进行哲学思考。
二、量变到质变在进行高数的相关运算中，实际上实现了事物从一个数量层次到另一个数量层次的质变，这种质变是经历了一个无限的变化过程才发生的;很多不可求的量，比如面积、体积、变力做的功、变速直线运动的位移、物体在变化压强作用下所受的压力，都可以转化为一些微元的无限累积和，这都体现了哲学中的量变引起质变的思想;在现实生活中，由于人的能力的局限，我们对事物的研究不可能穷其所有，亦不可能面面俱到，我们所看到、听到的仅仅是事物的一部分，我们可以通过对一个事物局部的个别的认识的积累上升为对整体的具有一般规律性的认识，由此相应地我们就可以“由点到线”、“由线到面”、“由面到体”……，从量变引起质变;哲学与数学相互促进相互照应，在高数的学习中我们要善于进行哲学思考。
大学生数学修养学院：机电工程学院学号: 11010341姓名：周梅杰数学中的哲学【摘要】：数学与哲学是密切联系、相辅相成的。
一方面，正确的世界观是人们从事数学研究的前提；另一方面，数学理论的进步和完善改变着人们对整个世界的认识。
早在古希腊，哲学家们的论著中就包含着大量的数学理论和方法。
而今随着系统科学、计算机科学等横向学科的兴起，数学与哲学的联系更为广泛。
【关键词】：数学；哲学；唯物辩证法；辩证唯物主义认识论哲学是关于自然知识、社会知识和思维知识的概括和总结，是研究整个世界的普遍本质及规律的科学；数学是研究现实世界空间形式和数量关系的具体科学。
哲学为数学提供方法论基础，数学影响着人们的哲学观点，并遵循哲学中所阐述的基本规律而产生、变化和发展。
一、数学与哲学是相互影响、相互促进或者相互抑制的每个数学家，都要受到他所处时代的哲学观点的影响，其研究成果也使人们对自然界的认识更加深入、透彻，影响着人们的哲学观点。
哲学思想可以影响数学家及其研究成果的获得。
数学的产生和发展,归根结底是由人类的实践活动决定的。
但是,哲学思想对数学的发展,也有着一定的促进或阻碍作用。
例如,柏拉图的理念论哲学、欧洲中世纪基督教哲学、马克思主义哲学都对数学有影响作用,只不过它们有的是促进作用,有的是阻碍作用。
难怪有人说:哲学与数学是孪生兄弟,密不可分。
1．数学研究总是在某种哲学思想的指导下进行的数学家从事数学研究的目的、方法及其深度、广度，深受其哲学思想的影响。
例如，古希腊数学家本着自然界是有秩序的、按照一定方案运行的、可以被人类认识的古代朴素唯物主义的哲学思想从事数学研究，他们认为数学理论不是人创造的，而是先于人而存在的，人只要肯定事实并记录下来就行了，所以他们只是考虑如何运用数学知识去解释自然，而不去考虑如何将其运用于改造自然，这导致他们无法接受无理数和无限量，研究范围受到很大的限制。
再如，法国数学家、哲学家、物理学家笛卡尔，是唯理论哲学的创始人，主张用“怀疑”代替“盲从”和“迷信”，倡导通过理性去获得真理，认为科学家应该是自然界的探索者和关心科学用处的人。
数学中的数学哲学数学作为一门精确的科学，其实质是研究数量、结构、变化以及空间的一种学科。
它不仅仅是一种工具，也是一种哲学思维方式。
数学中蕴含着许多哲学观念和思考方式，这些思考方式在现实生活和其他学科中都具有广泛的应用。
本文将从数学中的数学哲学的角度出发，探讨数学的本质、思维方式以及其在其他领域中的应用。
一、数学的本质数学被认为是一种纯粹的理性思维活动。
它不依赖于感官经验，而是通过逻辑推理和抽象概念来探索和揭示事物的本质。
数学家们通过构建数学模型、定义概念和推导定理等方法，来研究数学问题。
数学的本质可以被概括为四个方面：1.公理化思维：数学研究建立在一定的公理系统之上。
公理是数学推理的基础，它们是被认为是真实的且无需证明的命题。
数学家通过对公理系统的研究和应用，从而推导出数学中的定理和法则。
2.推理与证明：数学的推理过程是一种严密的逻辑推理，它要求从已知的真实命题出发，通过一定的规则和定理进行推导。
证明则是数学思维中的重要环节，通过严密的逻辑推理和推导，将问题的解答合理地论证和证明。
3.抽象与概念：数学是对事物的抽象和概念化的一种表达方式。
数学家通过将现实问题抽象为数学模型和符号，来进行问题的研究和解决。
抽象能力是数学家的核心素质，也是数学哲学的重要组成部分。
4.普遍性与必然性：数学的定律和法则具有普遍性和必然性，它们在任何时空条件下都成立。
数学的普遍性使得数学的应用具有广泛性，不仅仅局限于数学自身，而且可以应用于其他学科领域。
二、数学思维方式数学思维方式是指数学家在解决问题和推进数学发展过程中所采用的思考方式和方法。
数学思维方式具有独特性和普遍性，它不仅适用于数学本身，也可以应用于其他学科中。
数学思维方式主要表现在以下几个方面：1.逻辑思维：数学思维强调逻辑推理和思维的严密性。
数学家能够从已知条件出发，通过一系列的逻辑推理和演绎，得出准确、有效的结论。
逻辑思维是数学思维中最为基础和核心的部分。
2.抽象思维：数学是一种具有高度抽象性的学科。
浅谈数学教学中的哲学思想数学是整个自然科学发展的前提条件和存在的依据，又是自然科学和社会科学发展的基础。
数学也是一门工具性学科，在数学教学中含有丰富的哲学思想，如辩证法，物质和意识的第一性问题，量变到质变的问题，矛盾双方的依存问题，真理的相对性和绝对性问题等等。
因此，本文从五个方面谈数学教学中的哲学思想。
一、物质和意识谁是第一性的哲学思想马克思主义哲学认为，物质第一性，意识第二性，物质决定意识。
世界的本质是物质。
人的意识是客观存在的一种反映。
如无理数的产生就是人对客观世界的认识的一个飞跃。
古希腊时期，著名的毕达哥拉斯学派倡导“唯数论”，即任何量均可以由两个整数之比来表示。
但到公元前五世纪末，希腊数学家们却发现有些量例外。
在平面几何中寻找正方形的对角线与边的公共度量，其结果与“唯数论”产生了矛盾。
因此发生了第一次数学“危机”，其主要原因是认识上的局限性、片面性和绝对化。
人们对“唯数论”产生了怀疑。
数学家们后来又发现了更多的不能用两个整数之比表示的数，把它们统称为无理数。
能用两个整数之比表示的数叫作有理数。
这说明物质不依赖人的意识而客观存在。
物质决定一切，意识反映物质。
二、量变到质变的哲学思想在哲学中，把事物在数量和程度上的逐渐的、不显著的变化叫作量变。
把事物显著的、根本性的变化叫作质变。
在数学教学中也有这样的情况。
如极限的教学中，每个加数都存在极限且每个加数的极限值都等于0，但的确不等于0，它的正确解法是又如无理数的发现，它也是人的意识由量变到质变的产物，是人对客观事物的认识发生变化的产物。
三、真理的绝对性的哲学思想真理是绝对的，但人对真理的反映是片面或存在局限的。
意识是客观事物在人脑中的反映。
这种反映有正确的，也有歪曲的，还有片面性或存在局限的。
由此?a生了真理的相对性。
如数学悖论的产生和数学“危机”的发生都是人对客观事物的反映的局限性所造成的。
数学对客观事物的反映是真实可靠的。
但人的意识总达不到完美无缺的状态。
高等数学中的哲学思想研究作者：李瑾来源：《知音励志·社科版》2015年第11期摘 ;要高等数学是理工科专业的基础性学科，与哲学之间存在着密不可分的联系，其中蕴含着非常丰富的哲学思想，包括无限与有限、量变与质变等。
哲学思想对高等数学发展具有重要的指导作用，其在高等数学教育中的渗透，对提高高等数学教育实效具有积极的作用。
有关高等数学中哲学思想的研究受到了人们的广泛关注和重视。
本文在对数学与哲学内在关系作出简要论述的基础上，着重分析了高等数学中的哲学思想，并就哲学思想在高等数学中的应用进行了研究，以帮助我们更好地认识客观生存的世界，实现高等数学教育改革与完善，促进大学生的全面发展。
【关键词】高等数学;哲学思想;体现;应用严格意义上讲，高等数学属于一门自然科学，但是其中又蕴藏着许多哲学思想。
哲学思想作为一种方法论，具有很强的前瞻性，为数学科学发展提供了重要的理论指导和依据。
随着我国教育事业的发展，素质教育的重要性日渐凸显，促进大学生全面发展俨然成为了现代教育的基本任务和核心目标。
教师作为教育的主导者，应该在传授学生基础理论知识的同时，引导学生全面发展，必须要深刻理解高等数学中蕴含的哲学思想，并逐一渗透到数学教学实践中，才能实现素质教育目标。
1 数学与哲学的内在关系分析数学是一门内涵丰富的学科，它既反映了哲学思想，也践行了哲学思想，其与哲学之间存在着一种密不可分的联系。
数学在新领域的开拓与发现，无不渗透着丰富的哲学思想，其思想变革同样也引起了哲学思想变革。
数学科学的深度发展，强化了人们对客观哲学规律的认识和理解，有利于人们发现逻辑思维模式的构建，丰富了哲学思想内容，引起了科学思想方法的重大变革。
反之，哲学思想对数学发展也产生了重要影响作用。
在人类现有科学水平尚未达到真切认识客观世界及其相关事物的情况下，哲学思想往往具有很强的前瞻性，它指导人类对客观事物作出正确、准确的定位，帮助人们更好地把握数学科学的发展方向。
数学的哲学思考学习这个既熟悉又难以回答的问题，从字面上讲，学是指获得知识或行为经验，习是指温习、实习或练习。
2.数学是一种思维模式用数学知识去解决问题目的的意识就促使我们的分析一开始接触到问题的要害信息，围绕目标思考，观察目标的结构特征，诱发类比、联想，依目标的要求，凭借感知对问题解决作出猜想和设想，把问题设计在某种数学模型上，制定解题的途径，得到解决的方案。
现实生活中许许多多类型的问题的解决都运用到数学方法或数学模型。
即用数学知识或方法研究某类问题而构造的数学结构。
也就是解决问题所具有的共同数学规律性，它所用的定理、公式、法则、性质、数学方法程序基本相同。
要想获得解决模式，应以思维为主线，把握问题结构的整体性。
必须通过相关问题中或明或隐约的有用信息的刺激，以数学思维方法、一些常用数学方法(如：形数结合、换元法、反演法、放缩法、配方法、待定系数法、引入辅助量等)为依据，与固有知识相结合促使已有知识经验再现，采用广泛联想、执因索果或执果索因、凭借感知对问题解决作出猜想和设想等，先抽象概括出某些问题的共同本质特征，总结出一些行之有效的探索方法，然后抽象概括出这类问题的一般解法——解决模式。
数学思想是指现实世界的数量关系和空间形式反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与理论的本质认识。
包括：形数结合的思想；转化的思想，分类的思想；特殊与一般的思想；观察、实验的思想等。
逻辑思维是指人脑借助于概念、判断、推理及其它逻辑方法反映客观现实的认识过程。
逻辑思维能力是指正确的、合理的进行思考的能力。
而数学思维在客观上，是策略创造。
其中包括直觉归纳、类比联想、观念更新和顿悟技巧等；微观上是步步为营，言必有据地进行逻辑推理，这两方面的有机结合才能反映数学思维的本质。
发展学生的逻辑思维能力主要是逐步培养学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎类比进行推理；会准确地阐述自己的思想和观念；形成良好的思维品质。
哲学思想在高等数学中的表达及应用分析哲学思想在高等数学中的表达及应用分析1.前言自然、思维与社会等知识的概括和总结便是我们如今所说的哲学，世界的本质和规律是哲学所研究的内容，在科学领域中，数学是空间和数量，形式和关系的科学。
数学和哲学具有密不可分的关系，在数学教学中，本文由论文联盟.LL.搜集整理，高等数学最可以表达出哲学思想，要擅长发现数学与哲学的关系，抓住哲学思想表达在数学上的要点，用心去领悟，感受哲学思想。
2.高等数学中蕴含着哲学，两者关系亲密从古到今，数学一直受到哲学家和哲学思想的影响，在数字还没有进入几何时代，就有伟人在数学的理念上进展了思维理论的概述，一套严谨的数学定义理论与关系逻辑思维是柏拉图一直坚持的一个理念，这也为如今的高等数学奠定了科学根底，在革命历史上马克思对于数学的兴趣研究有为与常人，铸就了他精通数学这门学科的，著名的有无穷小量，数学和哲学思想有着密不可分的关系，它们互相依存，互相表现[1]。
哲学通过数学可以表现其自身的世界观和方法论；然而数学那么可以通过哲学思想来进一步开展自身，指引着前进的方向，使得数学变得更具有影响力。
哲学属于思想上的范畴，它的变化也影响这数学的变化。
哲学在不断的提醒这社会开展的规律，然而数学在这根底上也在开展，通过哲学可以为数学提供方法和理论，也可以发现数学的规律。
在世界历史上，有许许多多的数学家，他们作为数学家的同时也是哲学家，如笛卡、尔毕达哥拉斯等，因为哲学与数学不可别离，当数学获得新的成就的时候就是对哲学的丰富；反过来亦是如此，哲学得到了开展，那么数学也会得到相应的开展，这个足以证明哲学思想与高等数学有着亲密的联络，彼此不可别离。
3.高等数学中哲学思想的运用表现〔1〕在矛盾关系的进程中，具有否认规律的两方都是其规律的特点，在整个开展过程中都是由否认与肯定组合而成的概念，从某种角度上来说只是形成一个相反的否认规律，这也是事物本身所具备的规律，在矛盾的解决方式上，可以根据否认之间的关系来进展矛盾的处理，否认之间的差距其实也是矛盾产生的结果，换一种说法，否认与否认之间就构成了一个相对肯定的关系，但是在肯定的根底上又有所差异，在你肯定的前期阶段，问题还没有得到解决，但是在肯定的中期与后期，问题就是一个准确的答案，其目的明确带有一定的绝对性，在整个世界的构成上，每件事物都有其扮演的角色，在这个相知互相的锁链上，细微的变动都会构成整体的变动，一切事物都在不断的开展以及变化，谁都不能预知下一秒将会发生什么，这就是细微构物体的联络[2]。
高等数学里的人生哲理第一篇：高等数学里的人生哲理人生哲理它也可以泛指一切人生价值观。
它的功能是让人了解宇宙人生的根本原理和道理，对人们的生活起到指引作用。
下面是小编为您带来的是高等数学里的人生哲理相关内容，希望对您有所帮助。
每个人的人生都像一条曲线，时间是横坐标，个人价值是纵坐标。
一个人一生的成就就是曲线的积分。
有的人出生在优越的家庭，于是曲线的起点比其他人高。
但起点高的低的曲线毕竟是少数，多数人的起点差不多；而决定积分值的更多是曲线的斜率。
小的时候曲线斜率多是由一些外部因素决定，父母、家庭、幼儿园老师，也有少数小孩有些特别的遭遇，一个好的开头对曲线的走向影响重大，但这一段曲线我们自己无法控制，参变量只含外部环境和我们的基因、本性。
上学之后曲线的高低开始拉开，小学、中学、大学，有了成绩拔尖的学生，也有了成绩不好的学生；有早早进入社会的，也有读到博士博士后的；不管怎样，曲线都在改变，大多数人总的趋势是在增加，有快有慢。
努力投入上进的时候增加得快；堕落消沉玩游戏的时候增加得慢。
曲线族继续蜿蜒着各自的方向，不尽相同，时而消沉时而斗志昂扬。
长大了的我们开始有意识的让自己的曲线走得更快，走到更高的位置，我们学习如何学习，我们参加各种培训，学习各种技能，考证考博出国，我们乐此不疲。
也有人想走捷径，费尽心思，让曲线跳跃，殊不知跳跃之后的不过是条虚线，虚线下即使有更多的财富也不代表他的价值和成就。
也有人为了到达更高的高度，暂时放弃了一些东西，函数值跳到一个更低的位置，却以更大的斜率倔强地昂立着。
有的人开头很好，却在函数到达极值的时候错误的把函数改成了减函数，执迷不悟从而万劫不复。
也有人初始值很小，用了很长时间，才与一条又一条曲线相交，超越他们。
不同的专业行业在不同的时空中若有若无的展开着另一个维度，既有相信每一个维度都有最大值的人，也有不停在找那个更容易增值的方向的人。
坚守在自己维度可能成为那一维度的最大值，而寻找其他维度的人也可能创造新的维度，引领世界的方向。
高等数学中的哲学思想
高等数学是一门涉及抽象思维和演绎逻辑的学科，它的哲学思想是建立在科学方法和逻辑推理之上的。
高等数学哲学思想的核心是认识论，它支持和鼓励学生运用科学方法和逻辑推理来探究和解释世界的本质。
它强调的是对事物的观察和推理，而不是单纯的认知和想象。
它鼓励学生以科学的方法来研究世界，以推理的方法来探索世界的本质。
它还强调学生探索和用科学方法研究世界，而不是仅仅依赖传统的知识和观念。
数学中的哲学思想理想主义认为数学在被定义之前客观存在，并且一直存在于一个理想的纯数学的世界中。
一些基本的概念，如抽象的点，线，圆、数，在这个理想世界中都是客观存在的主体。
记得初中第一次上几何课，说老师讲点、线段的定义，说点是无限小的，线段的宽度是无限窄的，总之这些几何概念都是现实中都不存在的。
而在柏拉图主义的范畴，这些抽象的理想的概念都是在某个完美世界中客观存在的。
而现实世界只是这个理想世界的不完美的投影。
甚至，人，猫，狗，星星，沙子。
现实世界上的一切东西，在理想世界中都对应着其完美的化身。
逻辑主义数学是逻辑的自然衍生，并且和逻辑等价（数学和逻辑一样，有一定客观存在性）。
逻辑主义的代表人物是罗素，他想要由逻辑一步步出发，先推理出数，再推理出各种运算，直至重建整座数学大厦。
罗素先提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理，由此推出逻辑规则以及数学定性。
然而，罗素很快就发现了现有逻辑体系的重大缺陷——罗素悖论。
这便是著名的第三次数学危机。
形式主义形式主义的奠基人是希尔伯特。
他提出可以把命题和证明用符号逻辑方法加以形式化，而把这些形式化的公式及证明直接当做研究对象。
从而用完全的公理化体系来构建整个数学，这一认识是变革性的。
用通俗的话来说，希尔伯特做了个这样子的事情。
大家对数学的第一印象往往是形形色色的公式和符号。
的确如此，我们用阿拉伯数字（符号）1，2，3，4，5……来表示自然数，用+，-，×，/来表示加减乘除四则运算，用x y z来表示未知数，blablabla……但是，正所谓：“道可道，非常道；名可名，非常名。
无名，万物之始；有名，万物之祖。
”符号所代表的内容和符号本身无关，我们就算用1234来代表加减乘除，用范冰冰的的某一张照片来代表开根号，所构建的算术体系也不会和我们现在所用的有什么本质区别。
这一点很早之前的数学家就已经认识到了。
希尔伯特发现，我们已经用符号来表示数（如阿拉伯数字），变量（abcxyz），运算（+-×/），集合（A N），逻辑（）……那么，为什么不把证明的过程也这样符号化，形式化呢？于是，整个数学的严格形式化工作便轰轰烈烈的开始了。
