浅析高等数学学习中的辩证法思想

数学教学中的辩证法摘要：辩证法的基本规律是对立统一规律、质量互变规律、否定之否定规律。

对立统一规律揭示了事物内部对立双方的统一和斗争是事物普遍联系的根本内容，是事物变化发展的源泉和动力。

而数学这门科学是门古老的学科，是对客观的物理世界的一种抽象的描述，是根据自然辨证法所揭示的客观规律发展起来的。

关键词：辨证法对立统一规律数学质量互变规律揭示了一切事物运动、变化、发展的两种基本状态，即量变和质变以及它们之间的内在联系和规律性。

否定之否定规律揭示了事物由矛盾引起的发展，即由肯定─否定─否定之否定的螺旋式的前进运动。

数学中的辨证法要点是：1.同中有异-分法 2.异中有同-合法 3.相互转化-化法一、曲与直直与曲除了有“非直即曲”的一面，也存在“亦直亦曲”的一面。

存在直与曲之间的中介状态，通过这个中介状态，实现直与曲的转化，即在局部范围内（等价无穷小）“以直代曲”、“以曲代直”。

如阿基米德的穷竭法。

二、常量与变量1.常量在一定条件下具有任意性。

如极限定义中的ε，不定积分中的常数c。

2.常量与变量的相对性。

常量与变量即有着严格的区分，又相互依存，相互渗透，在一定条件下相互转化。

如偏导数。

3.通过常量来刻画变量。

如微分方程中的常数变易法。

4.通过变量来研究常量。

如利用导数求极值和拐点。

三、.连续与间断1.连续与间断是事物两种不同的性态。

有时二者性质截然不同。

2.连续与间断在一定条件下可相互转化。

如数列、级数与函数之间的转化，各种数值计算方法（差分、有限元、离散等）四、有限与无限1.潜无限。

把无限看成永远在延伸着的变程或进程的观点。

2.实无限。

把无限看成可以自我完成的过程的观点。

3.有限与无限存在质的差异。

如许多运算法则不通用。

4.通过有限认识无限。

如数学归纳法。

5.通过无限来表示有限。

如函数的无穷级数展开。

五、抽象与具体1.高度抽象是数学的主要特征。

⑴数学抽象就是把对象理想化。

⑵数学的抽象有一系列的发展阶段。

辩证思维在高中数学教学中的体现与运用辩证思维是人类思维活动的一种重要形式，通过对矛盾、对立、转化等方面的认识和处理，促进思维的发展和深入。

在高中数学教学中，辩证思维应该是一个重要的教学方法，通过教育学生具有辩证思维，培养学生分析问题、解决问题的能力，进而提高数学知识和技能的水平。

本篇论文将探讨运用辩证思维的方式和方法，并且具体阐述辩证思维在高中数学教学中的体现与运用。

一、辩证思维在高中数学教学中的体现1、知识的矛盾性在高中数学教学中，教师应该注重课程中知识的矛盾性，即数字层次、概念层次、理论层次等都需要突出对立面，强调知识之间的相互关系和联系。

例如，在数学教学中，阐述“直线”和“曲线”的定义的同时，应该突出它们之间的矛盾性，找到它们的区别和联系，认识以及掌握它们各自的特点。

这样教学，既可以从宏观上把握知识，又可以使学生深入学习和掌握知识。

2、认识过程的辩证性数学是一种基于逻辑思维的计算和推理，逻辑思维虽然合乎逻辑，但不能满足一切需要。

辩证思维则可以对逻辑思维进行扩展与补充。

在高中数学教学中，辩证思维应该站在学生的角度，注重认识过程的辩证性。

例如，在学习函数的过程中，教师应该让学生在掌握函数概念的同时，让学生意识到函数作为数学中一个重要的概念，与其它概念有着千丝万缕的联系，从而理解函数的本质。

这种细节中的体现，可以培养学生的解决问题和思考问题的能力，有利于学生习得较深刻、扎实的数学知识。

3、问题解决的转化性在高中数学教学中，教师应该注重数学问题的转化性，通过改变问题的形式、偏一些新方法，使问题更简洁、更易于解决。

例如，在解平面图形问题时，可能会遇到若干角度之和的计算问题。

如果直接计算，复杂性较高。

但如果利用相似三角形的性质，可以将问题转化为基本的相似三角形边比的问题，避免了复杂计算，提高了解决问题的效率。

二、辩证思维在高中数学教学中的运用1、通过讨论引发思考在讲解数学知识时，教师可以引入多种思路和方法，让学生思考、讨论。

数学中的唯物辩证法
数学作为一门学科，具有特殊的精神性。

伴随着现代文明的发展，数学作为西方学术思想体系中重要的组成部分，在近代学术理论中扮演着非常重要的角色。

那么，什么是数学中的唯物辩证法？
唯物辩证法是一种基于矛盾的认识论的普遍原理，它的基本思想是：矛盾是物质和精神事物存在发展的根本动力。

所有的物质和精神事物不断发展，这是客观规律。

同时，发展过程中，物质和精神事物之间发展形成矛盾。

矛盾的形成是物质世界变化的过程，也是整个发展过程中客观规律的必然结果。

矛盾推进着物质世界的进一步发展，矛盾在进行一种利害关系，一成三变，构成进一步变化的新概念。

在数学中，唯物辩证法的运用始于哥白尼的时期，他的判定原理仍被研究并在数学实践中广泛使用。

哥白尼提出的“数学可以被用来形式化辩证法”一论，具有指导数学发展的重要意义。

自哥白尼以来，唯物辩证法在数学中的应用以渐进的态势发展。

20世纪以来，随着数学抽象的发展，唯物辩证法在数学中的应用也有了新的发展。

今天，唯物辩证法在数学中以一种全新的方式大展身手，为数学理论的发展贡献了新的知识。

唯物辩证法的运用，可以精准定位数学发展和探寻的方向，让数学发展更趋于合理，探索更深入。

数学发展的历程，必将继续书写更加精彩的传奇。

“以直代曲”的辩证思想在高等数学中的应用研究关键词：微积分；辩证思想；以直代曲摘要：微积分是大学高等数学的重要内容，其中蕴涵了丰富的辩证思想，常见的有：微分与积分，有限与无限，近似与精确，连续与离散，直与曲（以直代曲），特殊与一般、运动与静止，等等。

本文通过对“以直代曲”思想在高等数学中的应用探究，希望大学生能充分认识“以直代曲”的辩证思想，更好地促进其高等数学的学习，培养其运用高等数学分析问题和解决问题的能力，促进其辩证思维的发展。

基金项目：陕西师范大学第三批“教学名师”项目资助；2022 年度台州市（高校系统）教育科学规划研究课题:中学数学与大学数学衔接问题的研究与实践（GG22005）；浙江省高等教育学会2022年度高等教育研究课题：课程思政视域下概率论与数理统计翻转课堂教学模式的研究与实践（KT2022110）。

1、引言大家都知道，数学是人们认识世界和改造世界的重要工具。

数学，尤其微积分中蕴涵着丰富的哲学、辩证法思想。

它的创立是数学历史上一次重大的飞跃，是继欧几里得几何之后，数学中的又一个伟大创造。

微积分的创立，一方面是由于天文学、力学等学科的发展需要，另一方面也是为了适应数学自身的发展需要。

在微积分创立之前，人们利用初等数学方法解决了诸如：平均速度、平均变化率、圆锥曲线上某点的切线的求法，以及多边形和圆形的面积等许多问题，但有两大类问题让当时的数学家们束手无策。

第一类问题最具代表性的例子是，求非匀速运动在某一瞬时的速度，以及任意一条曲线上某点处求作切线的问题；第二类问题最具代表性的例子是，求封闭曲线围成的图形的面积、非匀速运动的路程，以及变力所做的功等问题。

这使得数学家必须在已有的基础上作进一步的探索，以寻求这两类问题的解决方法。

经过众多数学家们的多年探索，终于在17世纪的后半叶，由牛顿、莱布尼兹各自几乎同时独立地建立了微积分的方法和理论。

纵观微积分的创立过程可以发现，微积分蕴涵了丰富的辩证思想。

在高等数学教学中提高学生的辩证思维能力【摘要】以定积分概念的教学为例，从三个方面入手，探讨如何在高等数学教学中提高学生的辩证思维能力。

【关键词】高等数学辩证思想能力定积分概念应用型人才培养遵循“实基础、适口径、重应用、强素能”的教学理念，也就是“理论基础较扎实、专业知识面较宽、实践能力强、综合素质高”。

其中强调的是一种以能力为本的教育，是为学生进入现实和未来市场就业或创业做准备的教育。

作为要求较高的能力之一的辩证思维能力，是一种用变化、发展的观点来分析问题、处理问题的能力，是解决问题所需能力之一，是应用型人才应具备的一种能力。

而高等数学的内容，以微积分为主，微积分的基础是极限，而辩证法的规律，揭示的是极限本质的联系，高等数学中蕴涵着丰富的辩证思维，如何在高等数学教学中提高学生的辩证思维能力，是值得研究的课题。

本文以定积分概念的教学为例，探讨如何在高等数学教学中提高学生的辩证思维能力。

一、在概念引入过程中涵盖辩证思想，使学生了解辩证思想微积分的萌芽、发展、创立的过程无不体现着数学家的智慧，当时的数学家在解决相应的问题时，由于问题跟极限有关，因此对问题的认知、思考、解决问题的方法中都蕴涵丰富的辩证思想，在引入的时候，通过这些背景知识的介绍，强调概念的实际背景，以介绍数学思想方法为主，强调数学思想方法的形成过程，让学生在理解知识点的同时，也理解其中的辩证思想。

比如，定积分概念的产生过程是包含着否定之否定思想的一个螺旋式上升的过程，在学习定积分概念时，可以设计一个蕴涵否定之否定思想的概念引入，让学生了解定积分产生的过程，从而了解其中的否定之否定思想。

定积分概念的产生过程可分为四个阶段。

第一阶段是积分思想萌芽的阶段。

主要指公元前后几世纪，数学家虽然还没有认识到极限等基础概念，但用到了无限小观点来计算一些几何图形的面积等工作。

其中，公元前5世纪古希腊数学家德漠克利特认为面积、体积等都是可以由一些不可再分的原子构成的，所以将这些“原子”累加起来就可计算面积、体积。

知识文库 第20期156辩证思维方法在数学分析解题中的应用张智康著名哲学家恩格斯认为，数学这一学科是辩思维的辅助工具与重要的表现形式。

同时数学和唯物辩证法的联系,是解决数学问题和发现解题思路的主要线索。

在数学学习过程中,学生需重视对辨证唯物主义的运用,实现简繁转化、生熟转化、数形转化和动静转化等方式，提高在数学分析中的解题效率。

1 辩证思维方法概述辩证思维，指的是一种可以反映客观事物，且符合客观事物辩证发展过程的具有一定规律性的思维。

而辩证思维在使用的过程中，具有从对象内在矛盾变化和各方面相互联系进行考察，以实现从整体、本质完整性认识对象的特征。

同时辩证思维方法，不同于形而上学思维和具有既成性、确定性法逻辑思维。

而是使用辩证的方式研究逻辑对象，是辩证思维从自发逐渐到自觉的一个过程。

2 辩证思维方法的作用在哲学中，辩证思维属于一种高级的思维活动。

这种思维方式可以通过唯物辩证法的方式来认识客观事物，并且在认识的过程中可以反映出事物的本源，深刻的揭露事物的内在矛盾。

同时还从哲学的角度，为使用者提供方法论，形成对思维方式的统帅作用，具有一定的指导意义。

因此，将辩证思维方式应用到数学分析中，首先，可以提高学生对数学知识的深刻认识，有助于其发现数学解题会中的本源问题，在此基础上为学生提供一定的解题方法，如简繁转化思维和数形转化思维等，突破了原有的思维困境和解题僵局。

这种方式的使用不仅加速了解题的速度，还提高了解题的准确性。

另外，在解题的过程中，还使学生形成了一个对数学分析由浅入深的认识。

3 辩证思维方法在数学分析解题中的应用 3.1 简繁转化思维应用在数学分析解题中，简化解答解题方式属于一种对所学数学知识进行灵活运用的表现，同时也是一种对数学知识灵活运用基础上的创新解题方式。

这种方式的使用，既可以迅速有效的解决问题,又可以打开学生解题思路。

在数学学习中，“由简生繁,遇繁思简”是一条有效的解题思维,对提高学生的数学解题速度和解题效率有着重要的帮助。

浅析数学思维培养中的辩证法作者：王少红来源：《校本教研》2012年第05期数学是关于人类思维的科学，这门学科的主要任务是培养个体思维的灵活性、精确性（或称清晰度）、深度、广度，而思维能力的培养是一项长期而艰巨的任务，因此，必须从孩提时代日常的学习生活中认真培养才会取得良好的效果。

一、对立统一的辩证思想在数学思维灵活性的培养中的应用例如，整式乘法与分解因式的对立统一。

比如a（b+c）=ab+ac，等号左边的算式整体来看是a与（b+c）的乘积，而等号右边的算式是个多项式即两个单项式的和，这属于整式乘法，又叫做乘法的分配律。

而倒过来ab+ac =a（b+c），像这样把一个多项式化成几个整式的乘积这种形式叫做分解因式也叫做因式分解。

两个算式左右两边的结果都是相等的，那么他们是不是无意义的变形过程以及完全实质相同的转换？首先它们变形的目的性与方向性是不同的，整式乘法是从几个整式相乘出发,得到的结果是一个多项式；因式分解是从一个多项式出发,得到的结果是若干个整式的连乘积。

二、关于世界联系的普遍性和规律性的思想在数学思维深度和广度的培养中运用人们最初对数学的认识仅限于几个数字的认识，如1，2，3……随着时间的推移，为了满足人类实践的需要，渐渐地从正有理数扩充到了负有理数，而后又发现数不够用了，认识了无理数，从而扩充到了实数，再往后又有了虚数。

后来笛卡尔通过平面直角坐标系把几何与代数联系了起来，变化从此进入了数学的领域。

比如我们来判断两条直线平行，可以用定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线；也可以用平行公理，若a//b,b//c,则c//a.还可以用定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，这些定理是从角的判断上得出线与线的关系。

但是有了坐标系，我们便可以用直线关系式中的k值来判断两条直线的位置关系，如果k值相等，而b值不等，我们便可以得出两直线平行。

比如直线y=2x+1和直线y=2x-3的位置关系就可以从关系式上一眼看出平行。

高等数学中蕴含的辩证思想作者：齐莲敏来源：《现代职业教育·职业培训》2018年第11期[摘要] 高等数学涵盖分析学、代数学、几何学，其中蕴含了丰富的辩证思想。

结合实例论证辩证思想在高等数学中的渗透与体现。

[关键词] 对偶；有限与无限；元素与逆元；对立统一[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）33-0140-02公元十八世纪，德国哲学家黑格尔第一个系统地自觉地阐述了辩证法的一般形式，即对立统一规律。

100年前，恩格斯指出：“辩证法对今天的自然科学来说是最重要的思维形式。

”目前，现代科技的迅猛发展，迫切要求人们重视理论思维，学会辩证思考。

笔者在十几年的高等数学教学与研究中，越来越深地体会到高等数学的概念、推理以及计算过程中蕴含着深厚的辩证思想。

下面主要谈谈自己在这方面的认识。

一、点与线五、离散与连续数学分析中，一维空间里求曲边梯形的面积（连续求和），是通过黎曼和（离散求和）取极限而得到的；二维空间里，求曲顶柱体的体积（连续求和），是通过分割后求小平顶柱体的体积和（离散求和）再取极限而得到的。

可见连续函数在区域上的积分是通过离散法来解决的。

再者，求级数和用逐项积分或逐项微分的方法，即是通过连续去解决离散化的问题。

总而言之，离散与连续是对立统一的。

高等数学中的收敛与发散、局部与整体、有界与无界等也都蕴含着辩证法的思想。

这里限于篇幅，不再枚举。

《道德经》说：“天下万物生于有，有生于无。

”黑格尔认为：统一不是脱离矛盾，而是包含矛盾在内的统一。

数学家莱布尼兹发明的二进制与《周易》中的阳爻与阴爻暗相契合。

爱因斯坦曾经高度评价休谟和马赫的哲学思想对他建立的相对论所起的巨大作用。

高等数学中蕴含着丰富的辩证思想。

可见，数学与哲学有着密不可分的关系。

参考文献：[1]梅向明.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1993.[2]曾志.哲学引论[M].北京：中央广播电视大学出版社，2003.[3]钱吉林.近世代数教程[M].武汉：华中师范大学出版社，1988.[4]复旦大学.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2003.[5]姬春秋，潘伟，王振东.微积分中的辩证思想[J].牡丹江师范学院学报，2008（1）.。

论数学分析中的辩证法思想【摘要】数学中蕴涵着丰富的思想内涵，辨证思想是这些思想内涵中的重要组成部分。

本文从基本概念出发，深入研究数学中的辨证思想。

具体来说就是通过实例来讨论直与曲、连续与间断、有限与无限、数与形等辨证法思想在数学中的应用。

【关键词】数学；辨证思想；直与曲辨证思想是指以变化发展的视角认识事物的思维方式，通常被认为是与逻辑思维相对立的一种思维方式。

在逻辑思想中，事物一般是“非此即彼”或“非真即假”等等，而在辨证思想中，事物可以在同一时间里“亦此亦彼”、“亦真亦假”而无碍思维活动的正常进行。

辨证思想是一种世界观。

世界万物之间是互相联系，互相影响的，而辨证思想正是以世间万物之间的客观联系为基础而进行的对世界进一步的认识和感知，并在思考的过程中感受人与自然的关系，进而得到某种结论的一种思维。

辩证思想的本质是反应客观事物矛盾着的两方面的相对统一和相互转化，因此，辨证思想的要害是抓住对立面的联系、渗透和转化。

反映在数学中，就是应该重视事物的数量、形式和结构间的内在矛盾，自觉地有意识地运用辨证规律来解决问题。

数学中充满着矛盾、充满着辩证法。

古今数学家都把自然辨证法的思想作为研究数学的指导思想。

如果说古代数学中的辨证法是零乱、杂散的，那么近代数学就比较集中大量涉及及运动变化和辨证统一的哲学思想。

到19世纪70年代，数学与辨证法已成为一对不可分割的孪生姐妹，辨证法更是数学中不可缺少的必要因素。

1 直与曲的辨证关系直与曲是两个完全不同的数学概念。

从直观形象看，前者平直后者弯曲；从几何特性来看，前者曲率为0，后者曲率不恒为0；从代数表达式来看，前者是线性方程，后者是非线性方程。

因此，直与曲的差别是明显的，那么这两个差别如此显著的对立概念是否存在内在联系，能否在一定条件下互相转化呢？从数学的思想方法中可以看出，直与曲除了有非直即曲的一面，也存在亦直亦曲的一面。

存在直与曲之间的中介状态，通过这个中介状态实现直与曲的转化。

在《高等数学》教学中培养学生的辩证思维能力陈丫丫(太原大学教育学院,山西太原,030001)〔摘要〕在《高等数学》教学中,教师不仅要向学生传授最有价值的知识而且要重视培养学生的数学思维能力和数学素养。

《高等数学》有着丰富、典型、深刻的辩证法思想,文章探讨了在高等数学教学实践中如何培养学生的辩证思维能力。

〔关键词〕培养;辩证关系;辩证思维能力《高等数学》有着丰富、典型、深刻的辩证法思想.恩格斯对19世纪70年代以前的数学和各门自然科学都有深入的研究,他特别指出:数学是辩证法的辅助工具和表达方式,所以从数学的学习中能学到生动而又具体的辩证法.培养学生辩证唯物主义观点和辩证思维能力是《高等数学》教学目的之一.数学内部处处蕴涵着哲学思想,数学家在哲学的沧桑巨变中不断成熟,哲学观点在数学成果的推动下不断进步.而今,随着科学技术的飞速发展以及信息时代的到来,数学的应用空前广泛,同时也对数学教学提出了更高的要求.为培养出符合时代要求、具有创新精神、创新能力的新型人才,数学教师应将哲学观点融入教学;用唯物辩证法的观点,全面、联系地看待所讲内容,注意知识之间的前后衔接,使学生掌握完整、系统的知识;用辩证唯物主义认识论的观点将教学过程看成理论与实践相结合的过程,注意从实践的角度介绍所讲知识,并引导学生将所学知识应用于实践,使抽象枯燥的数学教学变得具体生动,使学生在学习数学知识的同时,掌握辩证的、科学的思维方法,树立起正确的世界观、人生观,成为适合社会需要的新型人才.下面就这方面谈谈笔者在教学中的几点做法和体会.一、揭示极限概念中的辩证关系高等数学中概念的引进和建立充分体现了辩证的思维过程在进行极限概念这一内容教学时,我们采用了“由具体到抽象”、“由粗糙到精确”两个阶段,逐步培养学生的辩证思维能力,使学生理解极限概念中的辩证关系.以推导半径为R的圆面积公式为例.我们先做出它的内接正n边形,并把正n边形面积结为三角形面积来计算,容易得到n边形面积:S n=12PnRn(Pn为正n边形的周长,R n为边心距).但是,由直线段围成的正多边形面积,它不能代替由曲线(圆)围成的面积,而且无论n增大到怎样大的数值,Sn仍然是一个定性的正多边形面积,不能机械地转化为圆面积.怎样解决这一问题呢?我们看到Sn=12PnRn与12CR(C为周长R 为半径)在n的数值愈来愈大时,其差愈来愈小,并能小于任意预先给定的小正数,这表明正n边形面积随着n数值的增大逐步趋向于一个稳定的状态,并且不断逼近12CR,但又始终保持着误差.进一步研究n趋向于无限增大的情形,我们发现,内接正n边形产生了一个质变.这个质变的结果将直线变成了曲线形———圆.同时,直线形面积转化为新质下的圆面积12CR,其误差也随着n无限增大而消失了.由此可见人们认识圆的面积,必须研究该圆的无限多个内接正多边形的面积数列,才能认识圆的面积.圆的无限多个内接正多边形的面积数列S n!"的变化是没完没了的,永无终结的.如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去,人们永远也不能认识圆的面积但是辩证逻辑的飞跃式思维方法,不仅使人们看到了S!"的变化是没完没了的,永无终结的,同时它又使人们看到了无限变化过程第26卷增刊2008年6月太原大学教育学院学报JOURNAL OF E DUCATIO N INSTITUTE OF T AIYUAN UNIVE RSITYVo l.26SupplementJun.2008——..n100太原大学教育学院学报2008年增刊飞跃的“终结”,从而人们也认识了圆的面积.极限的!-N 形式的定义是比较抽象的.在引进这一定义过程中,我们也进行了“分割”,使之逐步精确、严密,让学生在逐步精确、严密的过程中体会极限概念中的辩证的思维形式.首先用比较朴素的定义描述数列的极限:“数列a n !"当n 无限增大时a n !"无限趋近于常数A ,则A 为数列a n !"的极限.记作lim n →∞a n =A ”,其中无限趋近就是越来越接近的意思,这一定义学生很容易接受的.而学生用上述定义讨论lim n →∞(-1)n=-1是否成立时,感到无法否定这一结论,从实例中,学生认识到定义a n -A 缺乏数量上精确的描述.于是将定义中条件改为:“当n 无限增大时a n -A 要多小有多小”.但新定义仍然说不清12n 在n 为何值时小于任意的正数;不能解释是否14,12,116,18,164,132,…的极限为零.通过对数列极限定义的第三次修改,得到这样的定义:“对于数列a n !",若n 无限增大时,a n -A 能小于任意预先给定的正数ε,a n -A <ε则称A 为a n !"的极限”再进一步对“n 无限增大”加以定量描述:即设有数列a n !"与常数A ,若对于任一给定的正数ε,都可以在数列a n !"中找到一项a N ,使得这一项以后的各项与A 之差的绝对值小于ε.!-N 形式的定义就得到了.由于采取上述讲解过程,学生较快地理解了极限!-N 形式的定义,并体会到极限中蕴涵着量变向质变转化的辩证关系.二、级数概念中的辩证法思想数项级数是借助数列极限,将有限和推广到无限和,因此与数列极限有密切联系,学习本章时应时时加以比较.柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家.他以部分和有限定义级数收敛并以此极限定义收敛级数之和.18世纪中许多数学家都隐约地使用过这种定义,柯西则明确地陈述这一定义,并以此为基础比较严格地建立了完整的级数论他给出所谓“柯西准则”,证明了必要性,并以理所当然的口气断定充分性无穷级数也是一个重要的数学思想,这就是把一个有限形式的量表示为一列无限的无穷小量的和的形式.牛顿等人认识到,一般的函数可以表示成无穷幂级数:这就有可能用从有限多项式发展出来的古老演算技巧来研究许多更一般的数学关系.在无穷级数的研究中,一方面,人们找出研究不同函数,例如各种初等函数的一般的方法,发现许多函数的共同的性质,从而促进了数学的理论发展;另一方面,又为数学的应用提供了有效的工具.天文学、地学或航海技术中都需要进行精确的计算,这首先要求有较高精确度的各种函数表,采用无穷级数方法能造出具有任意精度的表来(现在有时仍用这种方法),这自然扩大了数学的应用领域.由天文现象的周期性,人们也研究了周期函数,特别是三角级数,它对天文学、声学、热学等的研究都产生了极其深远的影响.这就是运用无穷级数的思想方法促进了微积分理论上的发展,同时也拓广了微积分的应用范围,它本身则成为分析数学中的一项重要内容.运用辩证法思想,可以帮助我们很好地理解无穷级数与微积分以及自然科学之间的关系.利用无限与有限的对立统一关系,人们可以从有限认识无限,从不变认识万变,从直线形认识曲线,从量变认识质变,从近似认识准确.变化与恒常、有序与无序、离散与连续、对称与守恒、有限与无限、线性与非线性、确定性与不确定性、决定论与非决定论、精确性与非精确性、可知与不可知等等,这些普遍的抽象辩证哲学观念,都可以从科学概念中进行提升,并且可用科学概念具体解释理解以达到树立哲学观念,更深刻的洞察事物本质.其中数学理解是现代科学或现代哲学认知事物及其世界的一个基本方法.三、运用辩证关系研究其他概念极限概念是微积分的基础,极限概念中体现出辩证思维形式为研究其他概念提供了一把锋利的解剖刀.然而,这把“刀”怎样交给学生去自觉地使用呢?我们的做法是:引导思路,让学生自己去探讨.以建立导数概念为例,教学中,我们设计了这样的问题让学生自己去研究讨论.一是把非匀速直线运动中速度转化为简单的“常量”加以研究.学生通过探索,发现用分割成若干个小区间来研究并不能使变量人为地“僵化”起来但又必须用“常量”的运动形式来代替,这一运动形式显然只能是匀速直线运动二是怎样把小区间的平均速度转化为某—— (101)一时刻的瞬时速度呢?学生们探索的结果只能是缩小区间,但每一次缩小后仍是平均速度.要想使平均速度转化为某一时刻的瞬时速度,必须令△t→0,这就必须使用极限的手段才能由此及彼.当△t→0,△s△t趋于一个定值,从而得到非匀速直线运动某一时刻的瞬时速度.三是师生们共同讨论小结,得出解决这类问题的思想,研究变量在某一点的变化率问题,必须使用分割的方法,在小区间内用常量代替变量;再使用极限的手段,使小区间无限变小,得到新的常量,最后得到变量在某一点的定量描述,在几何意义就是直与曲的转化,在数量关系上,就是近似与精确的转化.为了提高学生的探索能力,再引进非均匀棒的密度问题,学生就能自觉地运用上述辩证思维过程.求得问题解答,有了两个具体实例的研究,导数概念的建立就水到渠成了.微积分的基本概念有这样的特点:它既揭示了概念的本质特性,又反映出事物内在和转化的过程.也就是说,既给出了内容又指出了方法,但是怎样用概念中给出的内容和指出的方法解决实际问题呢?这里有一个从理解到实践的飞跃过程,在这一过程中,注意事物的特殊性,往往是解决问题的关键.数学与哲学辩证法之间始终存在着千丝万缕的联系,在高等数学教学中充分运用和体现这一哲学思想,使之成为一种培养学生科学素质的根本和有效的方法.教师本身对此的认识要达到一定的高度,这也正是“从一桶水提炼出一杯水”教法的精髓所现.教师应认真钻研教材,挖掘对有限到无限的思想内涵的理解,掌握学生的学习规律,发挥教师的主导作用,重视多种教学信息、教学手段等的整合,才能保证数学这一高度抽象学科的课堂教学效果.同时,要注意数学教育不仅是知识教育,更是一种素质教育,要充分运用辩证法思想,通过各个教学环节,逐步培养学生具有一定的抽象思维能力、创造思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,使学生从这种学习中获得对高等数学的综合印象与系统了解,熟悉数学学习的基本方法,在一定程度上了解高等数学的基本精神,对重要数学思想能切中要害的剖析,洞悉数学各部分之间的有机联系.在具有比较熟练的运算能力的同时,还具有一定的综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力,从而不断提高他们自身的科学素质.参考文献:[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996.[2]刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003.[3]袁小明.数学思想史导论[M].南宁:广西人民出版社,1991.2008年陈丫丫:在《高等数学》教学中培养学生的辩证思维能力增刊——102。

浅谈自然辩证法和数学摘要：数学也和自然界一样充满了矛盾，所以数学本身就是一部辩证法。

宇宙间充满着矛盾和变化,矛盾表现在一切事物的各个方面．数学中也充满着矛盾和矛盾的互相转化。

这种从一种形式到另一种相反形式的转变就是现实世界矛盾在数学中的反映。

在初等数学中,加和减、乘和除、乘方和开方都是一对矛盾，是简单的矛盾，最初它们是绝对分离不能统一的，后来加减之间、乘除之间、乘方开方之间一切固有差别都消失了,它们都可以相互转化,用相反的形式来表示.关键词：辩证法；数学；常数;变数一、数学与辩证法辩证唯物主义认为,物质世界无处不存在着对立统一,即任何事物都包含着矛盾,矛盾的双方既对立又统一，从而推动事物的变化和发展.对立统一法则是唯物辩证法最根本的法则。

辩证唯物主义的哲学要求人们全面地看问题,因为一切客观事物是相互联系的，并且具有其独特的内部规律，不认识事物的相互联系，不认识事物的内部规律,得出的观点必然是主观主义的。

要真正地认识事物就必须把握和研究它的一切方面、一切联系和媒介。

数学所反映的数目关系和空间形式同样也充满着矛盾，充满着“对立统一＂的内容。

如:正数与负数,实数与虚数，乘法与除法,微分与积分,这些数量之间的关系都是对立统一的，是数学整体性的具体体现。

事实上,数学整体性是一系列繁简不一、层次不同的具体数目和形体关系的内容,按一定逻辑和顺序组成的严密知识体系。

强调数学的整体性,就是要使人们的头脑反映这种数学的整体性，使客观的东西逐步地变成主观的东西，用辩证唯物主义的观点、方法全面地看问题，对外界事物能够有正确的判断和清醒的认识,用丰富的想像力，高度的概括力,发挥智力的独创性,形成思维的完整结构和辩证唯物主义的科学世界观。

二、常数中的辩证法数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的学科。

数和形的概念都是从现实世界中来的。

人类认识数是从认识一、二、三……，这些自然数开始的，随着人类认识的发展、深化,对数的研究范围也就不断扩大,从自然数到整数,又到分数，后来又发现有些量不仅有大小的区别,还具有相反的意义,因而产生了正数与负数,它们是同时被定义的,是先认识清楚相反意义的量的基础上定义的。

浅谈高中数学课堂教学中辩证思维的运用
摘要：数学教材中有着丰富的辩证法思想。

恩格斯说：“数学, 辩证的辅助工具和表现形式。

”数学中的正与负、直与曲、常量与变量、微分与积分都是对立统一的概念。

无论是在概念的形式过程中、猜想的获得过程中，还是在规律的发现过程中，无一不包含着辩证的成分，充分利用数学中的辩证思想因素。

关键词：数学课堂；教学；辩证思维；
对学生进行辩证唯物主义思想教育，培养和训练学生的辩证思维能力，不仅是数学教学的一个重要目的，而且是当今社会对人的智力发展的要求。

一、辩证思维和特性及其分类
所谓辩证思维，就是运用唯物辩证法的基本观点和方法，去观察、分析、认识、思考问题，寻找解决问题的途径，揭示事物的本质。

其基本特征是以形式思维为基础，在对立统一规律指导下，溶解形式思维固定分明的界限，使认识与客观世界相吻合。

由于思维操作的对象不同，认识问题的角度不同，由此产生的辩证思维形式也不同。

（一）从实践认识论的观点出发，去探索问题间的联系而产生的辩证思维有：从个别认识一般，从相对认识绝对，从有限认识无限。

高等数学中的科学辩证法一一马克思《数学笔记》原著研读《数学笔记》是马克思在1839年至1841年期间在柏林大学攻读哲学博士期间写的一本数学学习笔记。

这本笔记展示了马克思年轻时对于数学的学习和思考。

尽管《数学笔记》并不是马克思最著名或最重要的著作，但它反映了马克思在数学领域的智力发展以及他对科学和哲学的辩证观点的应用。

在高等数学中，"科学辩证法"指的是将辩证法的思维方法应用于科学研究中。

辩证法强调对事物的全面分析和研究，不仅从表面现象中寻找规律，还要深入思考它们的内在矛盾和发展趋势。

在马克思的《数学笔记》中，他尝试应用辩证法的思维方式来解决数学问题，例如对数列和微积分的研究。

如果你有兴趣研读马克思的《数学笔记》，可以按照以下步骤进行：1. 阅读原文：找到马克思的《数学笔记》的原文，并逐章仔细阅读。

确保你对数学概念和符号的理解足够扎实，以便更好地理解他的思考和推理过程。

2. 理解背景：了解当时的数学研究和哲学思潮，尤其是德国哲学界的一些主要观点，如黑格尔的辩证法和康德的哲学思想。

这将有助于你更好地把握马克思在数学领域中所运用的辩证法观点。

3. 分析和讨论：与其他研读者一起讨论和分析《数学笔记》中的数学问题和马克思的思考过程。

思考他如何运用辩证法来解释数学问题的内在矛盾和发展。

4. 深入研究：如果你对某些数学概念或问题感兴趣，可以进一步研究相关的数学理论和方法。

这将有助于你更深入地理解《数学笔记》中的内容，并将之与现代数学的发展联系起来。

5. 获取指导：如果可能的话，寻求数学教师或领域专家的指导和建议。

他们可以帮助你解答问题，提供更深入的数学背景知识，并引导你在研读过程中的思考。

请注意，《数学笔记》是马克思年轻时的作品，其数学内容可能相对较基础，而且与现代数学的发展可能存在一定的差异。

因此，在研读过程中要保持批判性思维，并将之与现代数学理论相互对照和补充。

唯物辩证法在高等数学中的应用
唯物辩证法是马克思主义哲学思维中重要的理论，它有力地指导了社会科学、自然科
学和技术等各个领域的研究和发展过程。

许多学科领域，特别是高等数学，都表现出了唯
物辩证法的强大影响。

首先，唯物辩证法的强大影响在于它培养人们把具体问题置于普遍性问题当中，以唯
物辩证的方式全面分析问题，揭开问题背后的普遍关系。

在高等数学中，可以运用唯物辩
证法研究几何定理、函数解析形态等，反复检验它们的发展过程，以找出其背后的普遍规律，不断深化对它们的理解与应用。

其次，唯物辩证法能够将抽象问题联系到实际应用，从而不断拓展和更新理论认识。

在高等数学的学习和实践过程中，可以运用唯物辩证法开展综合性思维，以解决实际问题，学习不断地把抽象理论因素自动联系到实际应用，把抽象问题和知识结合起来，丰富实践
活动，使高等数学理论更加实用性。

再次，唯物辩证法能够指导人们思考问题，形成完整的概念系统，进一步拓展数学认识。

在运用唯物辩证法研究高等数学时，可以以理论导向的方法，联系抽象数学概念之间
的关系，不断拓展数学应用的范围，并为基础数学研究创造新的认识和表达形式。

最后，唯物辩证法能够揭示数学认识的前进方向，为深化数学的学习和实践提供合理
的指导。

通过唯物辩证法，可以把学习和实践过程紧密结合起来，对问题从客观和普遍性
角度进行深入探讨，以找出数学理论发展和实践应用的趋势，为高等数学的发展提供可靠
的依据。

总之，唯物辩证法紧密联系了抽象数学的理论研究与实践应用，使得数学认识的获取、前进及优化等方方面面得到有效指导，对提高数学学习与应用水平都有着重要意义。

浅谈高中数学中的辩证思维作者：邢凯慧冯开艾来源：《教育·教学科研》2021年第04期数学家波尔达斯曾经深刻地表明数学与哲学的关系：“没有哲学，难以得知数学的深度，当然没有数学，也难以探知哲学的深度，二者之间相互依存。

”可见，在教学中培养学生的辩证思维是非常有必要的。

一、培养学生辩证思维的必要性（一）有利于形成科学的世界观中学阶段是培养学生人生观、世界观的重要阶段，辩证思维是比逻辑思维更高阶的思维方式，只有形成了辩证思维，学生才能用发展的、变化的、联系的观点去分析事物，观察事物，从而形成正确的人生观、世界观。

（二）有利于培养创新思维的能力辩证思维是思维发展达到成熟的重要标志，是创新思维的重要组成部分，学生只有形成了辩证思维，才能对自然界的各种现象与现实社会充满好奇心，才能用整体的、动态的、多维的观点独立思考，探索与研究，从而形成动态思维与灵感思维，进而求得新知，获得创新思维能力。

（三）有利于更好地把握数学的本质恩格斯曾经在《自然辩证法》中指出：“数学是哲学的形式和工具”。

可见，数学中处处存在辩证思想，只有拥有了辩证思维，才能使数学的学习更加的深入，才能更好地认识与把握数学的本质。

二、培养高中生数学辩证思维的方法培养高中生的辩证思维可以从高中教材中辩证思维素材的挖掘和教学过程的精心设计两方面入手。

（一）充分挖掘高中教材中的辩证关系恩格斯曾道：“现实世界的辩证法在数学的概念和公式中能得到自己的反映，学生到处都能遇到辩证法这些规律的表现”，说明数学是培养学生辩证思维的最佳素材。

在教学中教师应该充分挖掘教材中的辩证素材，用辩证的思维阐述教学内容，揭示数学内容中的辩证关系，从而培养学生的辩证思维能力。

如中学数学中数列与函数都是两个数集之间的对应，但是数列研究离散型变量，函数主要研究连续型变量，它们既相互区别，但又相互联系，当数列表示成通项公式时，又体现了数列的函数特征，那就可以利用函数知识研究更多的数列的性质，体现离散与连续的对立统一，在数学教学内容上充满着运动与静止、有限与无限、整体与局部、特殊与一般、常量与变量、抽象与具体、相等与不等、拆分与组合、直线与曲线，已知与未知、方程与不等式、数与形、离散与连续等等对立统一规律，在教学中必须充分挖掘并有效利用这些素材，培养学生的辩证思维。