论高等数学极限思想中所蕴涵的哲学思想

论述主题：高等数学中的极限思想
学院：计算机与通信工程学院
班级：计算机科学与技术1301
论述者：杨凌锋
参考文献：《百度文库》，《高等数学第三版》，《同济大学数学系论极限》
高等数学中的极限思想
在没接触高等数学之前，我所认知的数学解题方法大致可以分为三类：1.代数计算（对数据进行分析进行代数运算）；2.几何作图（通过对图像的分析研究问题）；3.从特殊到一般的特殊化方法（如数学归纳法）。

但是进入大学，学了高数之后，我有知道了一种数学中极为常用的思想方法——极限思想。

在我看来，极限思想贯穿了整个高等数学，它不仅是数学分析的重要概念之一，有是微积分理论的基础，因而想要学好高等数学，首要的是掌握极限思想。

对此，我对极限思想的作用和极限的一些基本解法做了一些了解和总结。

（一）极限思想的作用
()
lim ()
,lim ()1,lim ()v x x x u x u x v x →
→
→
→→∞其中（1()()1()()
lim ()
lim u x v x v x x u x e -→
→
=，证明过程要用到In e 七·利用洛比达法则求极限 如果函数式的极限出现了0,0∞
∞
等未定式时，可采用洛必达法则。

方法便是分子分母分别。

极限思想极限的思想极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

1.极限思想的产生与发展（1）极限思想的由来.与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。

极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。

如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

?（2）极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。

16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

?起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。

牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。

33海外文摘OVERSEAS DIGEST 海外文摘2020年第15期总第814期No.15,2020Total of 8140引言数学在高校的学习生涯中占有重要地位，其内在的哲学思想凝结了人类智慧的结晶，不同观点间具对立又统一关系，为人类实际问题解决提供了正确的方向。

从某个角度而言，数学与哲学的关系源远流长，十分密切，从哲学的角度探讨数学中的辩证思维，在数学教学中自觉地渗透哲学思想，有助于提高教学的效果，有益于培养学生的哲学素养。

1哲学与数学相互对立与统一对于高等数学的定义，我们通常将其看做是初等数学的提升。

高等数学的对象，和它所采用的解题方法，较初等数学更为复杂。

有部分中学为了提升学生的逻辑思维能力，将较为高深的哲学思想，融入到中学数学当中，并将其作为中学和大学的过渡阶段。

这就要求我们以发展的眼光看问题，初等数学向高等数学的转换，也是学生自身素养螺旋式上升的过程。

微积分是高等数学的重要内容，要想学好这一部分，重在理解——对于概念的理解、定理的理解，都决定了对高数的理解深度和广度。

对于微积分的学习方法，可以从极限衍生出来的几个定理开始，要求达到合上书自己能推导的程度，然后认真研习证明题和计算题。

等到全部掌握极限理论之后，再去学后面的知识就非常简单了。

如莱布尼次对微积分基本定量证明时，同时也表明微分与积分之间互为拟运算，具矛盾概念性质，即呈对立状，又较为统一。

大区间不可求的量，可分割成多个小房间，对量的微元求出，再对微元的累积和求出，即积分，对量的宏观值获取，充分对同一问题中微分与积分的思想综合作用予以了体现。

微积分基本定理对微积分所研究内容的定点予以了构成，在微分与积分属开展高等数学课程重要矛盾点的观点下，对其进行求取，并非看作小问题来解决，而是需用相对统一的方案，来自微分中的定量，经分析，在积分中也可有相应定量推导出，反之相同。

二者表现为虽相互对应，同时又统一的关系，属相同事物呈现出的两个方面[1]。

高等数学中的极限理论在高等数学中，极限理论是一门重要的数学概念和工具。

它在数学的各个领域中都有广泛的应用，包括微积分、数值分析、概率论等。

通过研究极限，我们可以更深入地理解数学中的各种概念和定理，也可以解决一些实际问题。

1. 极限的定义与性质极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数或数列在某一点或无穷远处的趋势。

在数学中，我们通常用极限来刻画一些无法直接计算的量或情况。

极限的定义可以用数列的极限来说明。

对于数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，那么我们就说数列{an}的极限是a，记作lim(an)=a。

极限具有一些重要的性质。

首先，极限是唯一的。

也就是说，如果一个数列的极限存在，那么它只能有一个极限值。

其次，如果一个数列的极限存在，那么它一定是有界的。

这意味着，无论数列的前面有多少项，我们总能找到一个上界和下界，使得数列的所有项都在这个上下界之间。

2. 极限的计算方法在实际计算中，我们常常需要用到一些方法来计算极限。

这些方法包括代数运算法则、夹逼定理、洛必达法则等。

代数运算法则是最基本的计算极限的方法之一。

根据代数运算法则，我们可以对极限进行四则运算、乘法法则、除法法则等。

通过这些法则，我们可以将复杂的极限计算化简为简单的运算。

夹逼定理是一种常用的计算极限的方法。

夹逼定理的基本思想是，如果一个函数在某一点附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个共同的极限值。

洛必达法则是一种重要的计算极限的方法。

它适用于求解一些特殊的极限，例如0/0型和∞/∞型。

洛必达法则的核心思想是，如果一个函数的极限是一个不定型，那么我们可以对这个函数进行导数运算，然后再计算导函数的极限。

3. 极限的应用极限理论在数学的各个领域中都有广泛的应用。

在微积分中，极限是微积分的基础，它可以用来定义导数和积分。

关于高等数学中极限思想的研究作者：程梓洁来源：《理科爱好者(教育教学版)》2019年第05期【摘要】极限是高等数学中一种基础且比较重要的知识，本文主要针对高等数学中极限思想的研究。

由于对极限思想概念难以把握和理解，特提出从了解内涵，熟悉方法，掌握其描述三个层次来理解极限思想并解决有关高等数学中的极限思想问题。

【关键词】极限思想;辩证思维;高等数学【中图分类号】G642; 【文献标识码】A; 【文章编号】1671-8437（2019）28-0010-021; ;引言高等数学中的极限思想是一种基本概念，在整个高等数学的学习过程中占有极其重要的地位。

极限思想为高等数学理论方面的学习和研究以及应用实践创造的拓宽作出了进一步的深化，加强了学生对高等数学的理论方面的掌握，便于学生解决复杂的数学问题。

极限思想有着不同于初等数学中的知识特征，同时其也是对高等数学实践应用方面研究的主要方法。

在整个高等数学的学习过程中有许多的重要概念都是通过极限思想定义而成的。

从高等数学中连续的思想到导数的概念，从积分论中一元函数的积分到重积分以及曲面积分全部都是由极限思想定义而成的[1]。

高等数学中的极限思想不仅是一个简单且易掌握的数学概念，它同时也是一种对客观世界数量变化处理的新思维、新方法。

作为学生，在小学到初高中学习的数学内容被称为初等数学，又称为常量数学。

在初等数学时期，从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年，初等数学的结束是由于高等数学逐渐产生。

在初高中数学的学习中，学生接触的都是常量计算，所以学生容易产生一种定式思维，而高等数学则是以一种运动的、变化的思想来解决和处理问题，极限思想就是处理这种问题最为有效且便捷的方法。

因此，高等数学中极限思想的掌握直接影响着数学的深入学习与发展。

2; ;正确了解无限的内涵极限思想是由于人类在社会实践中大脑因思考活动而抽象思维出的一种特殊的产物。

极限的思想可以追溯到古代。

如中国古代刘徽的割圆术就是建立在直观的图形研究基础上的一种原始的“不断靠近”的极限思想的应用;古希腊人发现的穷竭法同样也是蕴含了这种极限思想[2]。

毕业论文浅析极限思想的产生与发展题目：数学与信息科学学院学院：数学与应用数学专业：2011级1班班级：季满姓名：20110501005学号：曹志军指导教师：2015年5月20日浅析极限思想的产生和发展【摘要】极限思想是一种重要的数学思想，这个理论的完善历经几个世纪。

由远古的萌芽时期，到中世纪后随着微积分的创立和应用得到进一步发展，再到18世纪后随着微积分的严密化极限思想达到成熟，形成完善系统的极限理论，这期间布满了众多数学家和哲学家辛勤的汗水和孜孜追求的奋斗足迹。

极限思想的发展历程，充分体现了人类探索真理、追求创新的宝贵精神，充分体现了人类认识世界和改造世界的强烈愿望。

极限思想是一种重要的数学思想，是辩证法在数学中的完美体现。

本文阐述了对极限思想的辩证理解，阐述了通过极限这一工具，如何从有限认识了无限，从对事物的近似认识到精确认识，从事物的多样性变化中认识了统一性的变化，在直与曲的对立中认识了统一。

【关键词】极限思想；发展；辩证法；辩证统一The emergence and development of the limit idea【Abstract】limit thought is an important mathematical idea. It is formed through a long historical process. It is from ancient infancy to the further development with the creation and application of calculus in the middle ages. It forms a complete system limit theory with the further close of calculus which is after the eighteenth century. The process is filled with many sweats and the struggle footprints of mathematicians and philosophers. The development process of limit thought fully reflects the human search for truth and the precious spirit which is in pursuit of innovation. The development process of limit thought also fully reflects strong desire to understand the word and transform the world.Limit thought is an important mathematical idea. Dialectics is displayed perfectly in the mathematics. The paper describes the dialectical understanding about limit thought. We recognize the infinite from limited thought and the accurate understanding from approximate understanding through the limit thought. We recognize the unity changes from diversity changes and recognize straight and curved unity from the opposition.【Key Words】limit thought ；development ；dialectics ；dialectical unity目录1 引言 (1)2极限思想的发展分期 (1)2.1极限思想的萌芽时期 (1)2.2极限思想的发展时期 (2)2.3极限思想的完善时期 (2)3极限思想的本质探索 (3)3.1有限运算的规律不能用于无限运算 (3)3.2极限概念的代数化 (3)3.3极限概念的本质 (4)4极限思想的辩证理解 (4)4.1有限与无限的辩证统一 (4)4.2量变与质变的辩证统一 (5)4.3多样性与统一性的辩证统一 (5)4.4直与曲的辩证统一 (5)结论 (6)参考文献 (6)致谢 (7)1引言极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前，其中著名的古希腊哲学家芝诺，提出了一个悖论，那就是运动不存在，从经验上来看，这个悖论的结论是荒谬的，但是由于当时人们的认识有限，特别是对极限缺乏认识，使得这个悖论当时没有人能够给出正确的解释，这也是人们第一次闯进极限这个领域。

浅谈极限思想摘要：对极限思想的起源与发展进行探究，将极限的发展历程分为三个阶段，具体介绍了每个阶段的代表人物以及阶段特点，重点放在极限概念的演变及其文化价值上。

最后结合探究极限发展历程的经历，提出自己对极限教学的建议。

关键词：极限思想；数学史实；文化价值：教学建议如果把数学比作一个浩瀚无边而又奇异神秘的宇宙，那么极限思想就是这个宇宙中最闪亮最神秘最牵动人心的恒星之一。

极限，单从字面上来讲，就足以让人浮想联翩，发散思维，引发出无限的想象。

“挑战极限，超越自我”曾是我们激励自己努力学习的铮铮誓言，然而这只是生活中我们对极限的理解，还很幼稚很肤浅，与数学上所讲的“极限”还有很大的区别。

结合自己近期来搜集整理的资料，我想对极限思想的起源与发展以及一些极限的简单应用做一个小小的探究。

我觉得，我们可以把极限思想的发展历程大致分为三个阶段——萌芽阶段、发展阶段、进一步发展完善阶段。

一、极限思想的产生数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。

”极限思想的历史可谓源远流长，一直可以上溯到2000多年前。

这一时期可以称作是极限思想的萌芽阶段。

其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够对极限思想得出一个抽象的概念。

也就是说，这时的极限思想建立在一种直观的原始基础上，没有上升到理论层面，人们还不能够系统而清晰地利用极限思想解释现实问题。

极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。

提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。

阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下：“阿基里斯1不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。

然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。

浅谈高等数学中极限理论的教学【摘要】本文通过阐述极限思想的起源和发展，分析极限思想的思维本质和哲学意义;又通过阐述极限思想和微积分学产生和发展的联系，以及极限思想在微积分学及其他学科分支中的应用，得出极限理论是高等数学的重要内容之一，是构成微积分学的基础。

所以极限理论的教学在微积分学中是至关重要的，我们系统地向学生介绍极限思想的产生，发展，以及和微积分学的紧密联系是十分必要的。

【关键词】极限思想；微积分；微元法极限思想是微积分学解决问题的主要思想，极限的方法又是微积分研究函数的主要方法，因此学好微积分学的关键是建立极限的思想和会使用极限的方法。

本文就自己对极限的认识阐述一下如何进行极限的教学。

1向学生介绍极限思想的产生和发展极限的思想是由某些实际问题的精确解而产生的，极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念都是建立在极限的基础上的，因此没有极限的思想和研究问题的方法就没有微积分学，也没有现在的高科技理论，更谈不上人类社会的进步，因此极限在人类文明史上起着举足轻重的作用。

最初微积分由牛顿和莱布尼兹发现时并没有严格的定义，后来法国数学家柯西严格定义极限概念之后才使微积分学有了严格的数学定义。

极限思想反映的是一个变量随另一个变量变化的无限逼近的思想，数学史上微积分学产生的过程是人类对极限思想认识的逐步加深、逐步明确的过程，因此极限思想是微积分学中的基本的数学思想。

我国古代数学家刘徽（公园3世纪）利用圆内接多边形求圆的面积——割圆术，就是极限思想在几何上的应用。

又如春秋战国时期的哲学家庄子（公园前4世纪）有一句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，公元5世纪祖冲之计算圆周率等问题中，都蕴含了最原始的朴素的极限思想。

无穷分割下的极限思想是微积分学起源的关键，最能引起关于对无穷思索的是求曲边图形的面积。

1615年开普勒发表《测量酒桶体积的科学》，大胆巧妙地将无穷小求和思想用于求圆面积公式的推导.由此得到：若已知圆周长为2πr，现将圆面无限分割，则圆面积可被看作是由无限多个顶点在圆心，高等于半径、底边是圆周一部分的小三角形组成，所以，所以1/2r(A1A2+A2A3+……+An+A1)1/2r.2∏r=∏r2。

哲学与高等数学在教学上的相互渗透摘要：文章分析了高等数学中所蕴涵的哲学思想，并指出在教学中两者应相互渗透，此举能培养学生辩证的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，从而不断提高学生的科学素质。

abstract： this paper analyzes the implication of the philosophic thinking in advanced mathematics， and the two should be infiltrated in teaching. in doing so， it will be able to train students dialectical logical thinking ability to analyze problems and problem-solving skills， so as to continuously improve the students’ scientific quality.关键词：哲学；高等数学；教学方法key words： philosophy；advanced mathematics；teaching method中图分类号：g642.4 文献标识码：a 文章编号：1006-4311（2013）19-0250-020 引言哲学是自然知识、社会知识、思维知识的概括和总结，是世界观和方法论的统一[1]。

爱因斯坦说：“如果把哲学理解为在最普遍和最广泛的形式中对知识的追求，那么，哲学显然就可以被认为是全部科学之母。

”数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，是各门科学的基础和工具。

“没有哲学，难以得知数学的深度，没有数学，也难以探知哲学的深度。

”数学家波尔达斯的话说明了数学与哲学是相互依存的。

数学一直以来都是哲学家们的重要案例，而哲学也是数学家们热衷研究的对象。

在古希腊和17世纪的欧洲，兼具数学家和哲学家头衔的人比比皆是，如毕达哥拉斯、亚里士多德、伽利略、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等[2]。

高等数学漫谈之二——极限同学们，军训结束啦，放假了，终于可以放飞自我啦。

但是闲暇之余，也可以与老师聊聊天，谈谈人生理想啥的哈。

今天老师先跟同学们聊聊奠定高等数学基础的——极限（大咖终于登场了）。

一、极限成长史（学习方法之——依照数学史的轨迹去学习、再创造）我们先快速看看“他”的来历，极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期（比如公元前770——前221年，在《庄子》“天下篇”中记录：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

这句话充分体现出了古人对极限的一种思考，也形象的描述出了“无穷小量”的实际范例。

），但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。

但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西（1789-1857）最先给出了极限的描述性定义：假如一个变量依次取得的值无限趋近于一个定值，到后来这个变量与定值之间的差值要多小就多小，那么这个定值就是这所有取得的无限接近定值的变量的极限值。

可是，柯西的极限定义还是存在着一些问题，比如他所谓的“无限接近”、“要多小有多小”这些概念都只能在头脑中想象，不能摆脱在头脑中的几何直观想象来建立数学概念的方法。

为摆脱极限定义的几何直观思维方法，19世纪后半期，卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯（德国数学家，被誉为“现代分析之父”）给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N定义）。

二、历史背景（学习方法之——倒着学）微积分一诞生，就在力学、天文学中大显身手，能够轻而易举地解决许多本来认为束手无策的难题。

后来，微积分又在更多的领域取得了丰硕的成果。

人们公认微积分是17、18世纪数学所达到的最高成就，然而它的创始人牛顿和莱布尼茨对之所作的论证却并不清楚、很不严谨。

无论是牛顿的瞬（无穷小）和流数（正流数术——微分和反流数术——积分），还是莱布尼茨的dy和dx，都涉及到“无穷小量”，而在他们各自的论述中都没有给出确定的、一贯的定义。

高等数学课中的思政元素综述高等数学作为重要的公共基础课，覆盖了所有的理工科、经管类专业，对于训练和培养学生的思想政治素养、数学素养、理性思维、逻辑推理能力等都有着无可替代的作用。

思想政治工作从根本上说是做人的工作，只有围绕学生、关照学生、服务学生，在解疑释惑、凝聚共识中不断给学生以思想启迪和文化滋养，才能培育德才兼备、全面发展的人才。

因此，将思想政治教育贯穿于教育教学全过程，是一件刻不容缓的大事。

一、唯物辩证法在高等数学中的应用高等数学中很多概念、定理都是对唯物辩证法思想的有力论证。

唯物辩证法主张用联系、发展、辩证、全面的观点看问题。

在极限问题中，从《庄子·天下篇》中的“一尺之锤,日取其半，万世不竭”,到魏晋数学家刘徽创始的“割圆术”思想一割之又割,以致不可割,则与圆周合体而无所失矣”,再到有名的芝诺悖论“阿基里斯永远追不上乌龟”都是唯物辩证法的充分体现。

随着圆内接正多边形边数的不断增加,正多边形周长越接近于圆的周长,但不管边数怎样增加,和圆的周长都有一定误差，当正多边形边数无限增大,它的周长与圆的周长相差无几。

让学生在图形的演变过程中体会从有限到无限的转化。

有限可以拓展到无限,无限需要借助于有限。

极限思想既是有限与无限的对立统一，又是近似与精确的对立统一。

再通过放棋子的小游戏让辩证法思想在学生的心中扎根。

一张方形对称棋盘,两人轮流放一枚棋子,谁放下最后一枚,谁就胜利。

问是先放者胜还是后放者胜?通过这些问题来培养学生辩证地看待问题，进而在人生观、价值观上有所感悟,对于设定的目标,尝试的次数越多,成功的几率就越大。

人生也是如此，量变会引起质变,不以恶小而为之,不以善小而不为,看问题不钻牛角尖,任何事情都有两面性。

二.高等数学中的爱国主义情怀爱国主义情怀是每个人对祖国发自肺腑的热爱之情，通过爱国主义教育的渗透,可以激发学生的爱国情怀，激发民族自豪感,在大是大非面前,能自觉抵御不良意识形态的渗透，自觉地发挥个人力量去维护国家形象,引导他们在学习和生活中发愤图强。