第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》复习提纲学生

高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点高中数学必修的《点直线平面之间的位置关系》是一个重要的几何知识点，主要涉及直线与平面、点与直线、点与平面之间的位置关系。

这个知识点对于理解几何图形的形状和性质具有重要作用，也为后续的三角函数、向量等知识打下基础。

下面将详细介绍该知识点的内容。

一、直线与平面的位置关系1.平面方程：平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为不能同时为0的实数，A、B、C为平面的法向量，D为常数项。

2.直线与平面的位置关系：(1)直线与平面相交：直线与平面相交可以有一个交点，也可以有无穷多个交点。

(2)直线含于平面：如果直线的所有点都在平面上，则直线被称为含于平面。

(3)直线与平面平行：如果直线与平面的交点集为空集，则直线与平面平行。

(4)直线与平面垂直：如果直线与平面的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。

二、点与直线的位置关系1.点与直线的距离：点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。

2.点到线段的距离：点P到线段AB的距离：(1)如果P在AB的延长线上，则距离为AP或BP的长度。

(2)如果P在线段AB的两边，则距离为点P到线段AB所在直线的距离。

(3)如果P在线段AB上，则距离为0。

三、点与平面的位置关系1.点在平面上：点P(x0,y0,z0)在平面Ax+By+Cz+D=0上的充要条件是Ax0+By0+Cz0+D=0。

2.点到平面的距离：点P到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)。

3.点关于平面的对称点：点P(x0,y0,z0)关于平面Ax+By+Cz+D=0的对称点的坐标为：(x',y',z')=(x0-2*Ax0/（A^2+B^2+C^2）,y0-2*By0/（A^2+B^2+C^2）,z0-2*Cz0/（A^2+B^2+C^2）)。

点、直线、平面之间的位置关系【考纲要求】1、了解平面的基本性质即三条公理，能正确使用集合符号表示空间图形中的点线面的关系，2、掌握直线平面之间的位置关系，理解并掌握直线、平面之间垂直的判定定理与性质定理以及它们之间的转化，会求线面角及二面角.一、空间点、直线、平面之间的位置关系【思维导图】一、平面的基本性质(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 二、空间两直线的位置关系 1.位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 三、异面直线所成的角 1.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：.2.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 四、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内---有无数个公共点；相交---有且只有一个公共点；平行---没有公共点．后两种情况直线不在平面内，也称直线在平面外.(2)平面与平面的位置关系有两种情况：平行---没有公共点；相交---有一条公共直线． 二、直线、平面平行的判定及性质 【思维导图】]2,0(π【考点总结】一、空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 a ∩α＝∅ a ⊂α，b ⊄α，a ∥b a ∥α a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b 结论a ∥αb ∥αa ∩α＝∅a ∥b2. 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 α∩β＝∅ a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ， a ∥α，b ∥α α∥β，α∩γ＝a ， β∩γ＝b α∥β，a ⊂β 结论α∥βα∥βa ∥ba ∥α3.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． 二、平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 三、直线、平面垂直的判定及性质 【思维导图】【考点总结】一、直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言 符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)范围：[0,]2π.三、二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)范围：[0，π]． 四、平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊂β⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．【题型汇编】题型一：空间点、直线、平面之间的位置关系 题型二：直线、平面平行的判定和性质 题型三：直线、平面垂直的判定和性质 【题型讲解】题型一：空间点、直线、平面之间的位置关系 一、单选题1．（2022·上海长宁·二模）如图，已知A B C D E F 、、、、、分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）．A ．直线AB B ．直线BC C ．直线CD D ．直线DA ．【答案】A 【解析】 【分析】通过空间想象直接可得. 【详解】 如图，易知,AFHG HG BE ，所以AF BE ∥，且12AF BE =， 所以ABEF 为梯形，故AB 与EF 相交，A 正确； 因为,,BCMH MH NL NL EF ，所以BC EF ∥，故B 错误；因为平面CDH 平面EFNL ，CD ⊂平面CDH ，EF ⊂平面EFNL ， 所以直线CD 与直线EF 无公共点，故C 错误； 因为AD ⊂平面ADF ，EF 平面ADF F =，故AD 与EF 异面，D 错误.故选：A2．（2022·江西萍乡·三模（理））如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若11AA AC BC ===，则异面直线1,A C AB 所成角的大小是（ ）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2【答案】C 【解析】 【分析】连接1B C ，则11B AC ∠即为异面直线1,A C AB 所成角，再分别求出11B A C 的边长即可求出11B AC ∠，得到答案 【详解】如图所示，连接1B C11A B AB // ,11B A C ∴∠即为异面直线1,A C AB 所成角11AA AC BC ===，112,2AC BC ∴又AC BC ⊥，112AB A B ∴==在11B A C 中，11112A B AC BC === 11B A C ∴是正三角形11π3B AC ∴∠= 故选：C3．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1DD 上，过点C 作平面1BMC 的平行平面α，记平面α与平面11BCC B 的交线为l ，则1A C 与l 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】D【解析】【分析】根据题意可知平面α与平面11BCC B 的交线为l ，与平面1BMC 与平面11BCC B 的交线平行，即求解平面1BMC 与平面11BCC B 的交线与1A C 所成角的大小即可.【详解】因为平面1//BMC 平面α，平面1BMC ⋂平面111BCC B BC =，平面α平面11BCC B l =，则1BC l ∥； 在正方体中，易证1BC ⊥平面11A B CD ，故11BC A C ，所以1A C l ⊥，即1A C 与l 所成角的大小为2π. 故选:D .4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，22AB AA AD '==，M 、N 分别是A B ''、D C ''的中点.则直线CN 与DM 是（ ）A ．相互垂直的相交直线B ．相互垂直的异面直线C ．相互不垂直的异面直线D ．夹角为60°的异面直线【答案】B【解析】【分析】连接,,,BM MN BD MD '，可证直线CN 与DM 为异面直线，并可求其所成的角.【详解】设222AB AA AD a '===，连接,,,BM MN BD MD '，因为NC ⊂平面CC D D ''，MD ⋂平面CC D D D ''=，D NC ∉，故直线CN 与DM 异面直线.在矩形A B C D ''''中，因为,M N 为所在棱的中点，故//,=MN B C MN B C ''''，而//,BC B C BC B C ''''=，故//,BC MN MN BC =，故四边形BCNM 为平行四边形，故//CN BM ，所以BMD ∠或其补角为异面直线CN 与DM 所成的角，在BMD 中，222,5,23BM a BD a MD a a a =+=，故222BD BM MD =+，故90BMD ∠=︒，故选：B5．（2022·上海黄浦·二模）如图，已知P 、Q 、R 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 、BC 和11C D 的中点，由点P 、Q 、R 确定的平面β截该正方体所得截面为（ ）．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】D【解析】【分析】分别取1111、、A D A A CC 的中点F 、E 、M ，连接、、、、、RF FE EP PQ QM MR ，由正方体性质可得答案.【详解】如图，分别取1111、、A D A A CC 的中点F 、E 、M ，连接、、、、、RF FE EP PQ QM MR ，由正方体性质//RF PQ ，所以、、、∈R F P Q 平面α，且////RF PQ MN ，又、、QF RP EM 交于同一点O ，所以、∈E M 平面α，所以点P 、Q 、R 确定的平面β即为六边形RFEPQM 故选：D ．6．（2022·北京东城·三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为CC 1，D 1C 1的中点，则下列直线中与直线BE 相交的是（ ）A ．直线1A FB ．直线1ADC ．直线11CD D ．直线1AA【答案】A【解析】【分析】 利用正方体的性质可得111//,2EF A B EF A B =，进而可判断A ，根据经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线可判断BCD.【详解】连接11,,EF CD A B ，则111//,2EF CD EF CD =，由1111//,A D BC A D BC =，可得四边形11A D CB 为平行四边形，∴11//A B CD ，11A B CD =，所以111//,2EF A B EF A B =，即四边形1EFBA 为梯形， 故直线1A F 与直线BE 相交，直线1AD 与直线BE 为异面直线，直线11C D 与直线BE 为异面直线，直线1AA 与直线BE 为异面直线. 故选：A.二、多选题1．（2022·重庆·三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心，当点P 在线段1BC 上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线OP 异面的是（ ）A ．1ABB ．1AC C ．1A AD ．1AD【答案】BCD【解析】【分析】 对于A ，当P 为1BC 的中点时，1//OP AB ，故A 不正确；对于BCD ，根据异面直线的判定定理可知都正确.【详解】对于A ，当P 为1BC 的中点时，11////OP DC AB ，故A 不正确；对于B ，因为1AC ⊂平面11AAC C ，O ∈平面11AAC C ，O ∉1A C ，P ∉平面11AAC C ，所以直线1A C 与直线OP 一定 是异面直线，故B 正确；对于C ，因为1A A ⊂平面11AAC C ，O ∈平面11AAC C ，O ∉1A A ，P ∉平面11AAC C ，所以直线1A A 与直线OP 一定 是异面直线，故C 正确；对于D ，因为1AD ⊂平面1AD C ，O ∈平面1AD C ，O ∉1AD ，P ∉平面1AD C ，所以直线1AD 与直线OP 一定 是异面直线，故C 正确；故选：BCD题型二：直线、平面平行的判定和性质一、单选题1．（2022·山西·一模（文））如图，正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F ，G 分别是棱AD ，1C C ，11B C 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．BE ⊥平面DFGB ．1//A E 平面DFGC ．//CE 平面DFGD ．平面1//A EB 平面DFG【答案】C【解析】【分析】根据线面位置关系分别判断.【详解】 由1111ABCD A B C D -为正方体，且F ，G 分别是棱1C C ，11B C 的中点，则1//FG A D ，则平面DFG 即为平面1A DFG ，A 选项，如图连接1D G ，由正方体可知1//D G BE ，又11D G AG ⊥不成立，所以1BE A G ⊥不成立，即A 选项错误；B 选项，由1A E 平面11A DFG A =，故1A E 与平面1A DFG 不平行，B 选项错误；C 选项，连接CE ，则1//CE A G ，又1AG ⊂平面1A DFG ，CE ⊄1A DFG ，所以//CE 平面1A DFG ，C 选项正确；D 选项，平面1A EB 与平面1A DFG 有公共点1A ，故D 选项错误；故选：C.2．（2022·浙江杭州·二模）设,αβ为两个不同的平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行B ．,αβ垂直于同一平面C ．,αβ平行于同一条直线D ．α内的任何直线都与β平行【答案】D【解析】【分析】根据面面平行、相交的知识确定正确选项.【详解】A 选项，α内有无数条直线与β平行，α与β可能相交，A 选项错误.B 选项，,αβ垂直于同一平面，α与β可能相交，B 选项错误.C 选项，,αβ平行于同一条直线，α与β可能相交，C 选项错误.D 选项，α内的任何直线都与β平行，则//αβ，D 选项正确.故选：D3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下面四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥；②若m α⊥，m β⊥，则αβ∥；③若m α∥，n α⊥，则m n ∥；④若αβ⊥，a m β⋂=，n m ⊥，则n β⊥．其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②C ．④D ．②③【答案】B【解析】【分析】对①，α与β需考虑平行与相交两种情况；对②，线面垂直证面面平行；对③，线面平行得线线平行，线面垂直得线线垂直；对④，不符合面面垂直证线面垂直的条件【详解】对①，若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥或α与β相交，故①错；对②，若m α⊥，m β⊥，则αβ∥，②对；对③，若m α∥，n α⊥，则m n ⊥，③错；对④，若αβ⊥，a m β⋂=，n m ⊥，则n 不一定垂直β，④错故选：B4．（2022·上海奉贤·二模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，则下列结论中不正确的是（ ）A ．1CC ∥平面11A ABBB ．AF ∥平面111A BC C ．EF ∥平面11A ABBD ．AE ∥平面11B BCC【答案】D【解析】【分析】 由线面平行的判定定理，面面平行的性质定理依次判断各选项即可得出结果.【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ∥1AA ,1CC ⊄平面11A ABB ,1AA ⊂平面11A ABB ,所以1CC ∥平面11A ABB ，A 正确； 因为平面ABC //平面111A B C ，AF ⊂平面ABC ，所以AF ∥平面111A B C ，B 正确； 取AB 中点G ,连接1,A G GF ,因为点G ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，所以12//GF AC ,且11//2A E AC ,所以1//GF A E ，四边形1GFEA 为平行四边形，所以EF ∥1A G ,EF ⊄平面11A ABB ，1AG ⊂平面11A ABB ,所以EF ∥平面11A ABB ,C 正确；取AC 中点H ,连接1C H ,可证得四边形1AHC E 为平行四边形，所以EA ∥1C H ,1C H 与平面11C CBB 相交,所以AE 与平面11C CBB 相交,D 不正确；故选:D.5．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形且//PQ AC ，则在下列说法中，错误的为（ ）A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMN C ．AC BD =D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°【答案】C【解析】【分析】 A 由题设易得//QM BD ，根据平行线的性质可证AC BD ⊥；B 由线面平行的判定可证//AC 截面PQMN ；C ：,P Q 为特殊位置的点时成立；D 将异面直线平移到截面上即可知夹角大小.【详解】A ：由题设，易知//QM BD ，又PQ QM ⊥，//PQ AC ，即有AC BD ⊥，正确；B ：由//PQ AC ，PQ ⊂截面PQMN ，AC ⊄截面PQMN ，则//AC 截面PQMN ，正确； C ：仅当,P Q 为中点时AC BD =，故错误；D ：由A 知：异面直线PM 与BD 所成的角为4PMQ π∠=，正确.故选：C二、多选题1．（2022·河北邯郸·一模）如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==，则（ ）A ．BD ∥平面EGHFB ．FH ∥平面ABC C ．AC ∥平面EGHFD ．直线GE ，HF ，AC 交于一点【答案】AD【解析】【分析】 由条件可得GH BD ∥，FH 与AC 为相交直线，即可判断ABC ，EG 与FH 必相交，设交点为M ，然后可证明M AC ∈，即可判断D 正确.【详解】因为::BG GC DH HC =，所以GH BD ∥.又E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF BD ∥，且12EF BD =，则EF GH ∥. 易知BD ∥平面EGHF ，FH 与AC 为相交直线，即A 正确，B ，C 错误.因为EFHG 为梯形，所以EG 与FH 必相交，设交点为M ，所以EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ，则M 是平面ABC 与平面ACD 的一个交点，所以M AC ∈，即直线GE ，HF ，AC 交于一点，即D 正确.故选：AD2．（2022·辽宁葫芦岛·一模）如图所示，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足//MN 平面ABC 的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】【分析】根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解．【详解】解：对于A ，如图所示，点E ，F 为正方体的两个顶点，则////MN EF AC ，所以N 、M 、C 、A 四点共面，同理可证//AM BC ，即B 、C 、M 、A 四点共面，MN ∴⊂平面ABC ，故A 错误；对于B ，如图所示，D 为正方体的一个顶点，则//AC MD ，//BC ND ，AC ⊂平面ABC ，DM ⊄平面ABC ，所以//DM 平面ABC ，同理可证//DN 平面ABC又MD ND D =，MD 、ND ⊂平面DMN ，∴平面//ABC 平面DMN ，又MN ⊂平面DMN ，//MN ∴平面ABC ，故B 正确；选项C ，如图所示，G 为正方体的一个顶点，则平面//ABC 平面GMN ，MN ⊂平面GMN ，//MN ∴平面ABC ，故C 正确；对于D ，连接CN ，则//AB CN ，A ∴，B ，C ，N 四点共面，MN ∴平面ABC N =，与//MN 平面ABC 相矛盾，故D 错误．故选：BC ． 题型三：直线、平面垂直的判定和性质 一、单选题1．（2022·四川·石室中学三模（文））已知直线l 和平面α，β满足l α⊄，l β⊄.在l β，l a ⊥，αβ⊥这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】将l β，l a ⊥，αβ⊥三个关系分别以其中两个作为条件，余下一个作为结论判断命题的正误即可.【详解】当l β且l α⊥时，αβ⊥成立；当l β且αβ⊥时，l α⊥不一定成立；当l α⊥且αβ⊥时，结合l β⊄，得l β成立.故选：C.2．（2022·山西晋中·一模（文））如图所示，圆柱的轴截面是正方形ABCD ，母线4BC =，若点E 是母线BC 的中点，F 是AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．EF AC ∥B ．点F 到平面ABCD 的距离为2C ．BF ⊥ACD ．BF 与平面ABCD 所成的角的大小为3π 【答案】B【解析】【分析】 证得OE AC ∥，即可判断A 选项；证得OF ⊥平面ABCD ，即可判断B 选项；证得∠ABF 是BF 与平面ABCD 所成的角，并求出角度，即可判断D 选项；由BF 与AB 不垂直，即可判断D 选项．【详解】如图所示，设O 是AB 的中点，连接OE ，OF ，在正方形ABCD 中，4BC =，可得2OB =，在△ABC 中，可得OE AC ∥，则EF 与AC 不平行，选项A 错误；因为F 是AB 的中点，所以OF ⊥平面ABCD ，所以点F 到平面ABCD 的距离为2，选项B 正确；∠ABF 是BF 与平面ABCD 所成的角，因为OF ⊥OB ，且OF =OB ，∠ABF =4π，选项D 错误； BF 与AB 不垂直，因此也推不出BF ⊥AC ，选项C 错误．故选：B.3．（2022·山东潍坊·三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球O 的球面上，且该“鳖臑”的高为2，底面是腰长为2的等腰直角三角形．则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．43πC ．6πD ．26π【答案】A【解析】【分析】作出图形，设在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且2BC CD ==，2AB =，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果.【详解】如下图所示：在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且2BC CD ==，2AB =，因为AB ⊥平面BCD ，BC 、BD 、CD ⊂平面BCD ，则AB BC ⊥，AB BD ⊥，CD AB ⊥，CD BC ⊥，AB BC B ⋂=，CD 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC CD ∴⊥，所以，三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形，且2222BD BC CD +2223AD AB BD =+=设线段AD 的中点为O ，则12OB OC AD OA OD ====， 所以，点O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，设球O 的半径为R ，则132R AD ==O 的表面积为2412R ππ=. 故选：A.4．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，若BD AP ⊥，则线段AP 长度的取值不可能为（ ）A 5B 23C 6D 35 【答案】A【解析】【分析】根据点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点且BD AP ⊥，确定点P 的轨迹，然后求出线段AP 长度的取值范围即可.【详解】如图，连接11A C 交11B D 于点O ，连接OC由正方体1111ABCD A B C D -知BD ⊥平面11AAC C又因为点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，所以点P 的轨迹为线段OC （不含端点）， 又因为6OA =2AC =A 到OC 23， 所以线段AP 长度的取值范围是332⎡⎢⎣. 所以线段AP 5. 故选：A.5．（2022·北京·北师大二附中三模）如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的个数是（ ）①平面11D A P ⊥平面1A AP②1APD ∠的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦③三棱锥11B D PC -的体积为定值④11DC D P ⊥A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据线面位置关系进行判断．判断①，举反例判断②，利用体积公式，判断③，利用垂直关系的转化判断④.【详解】∵11D A ⊥平面1AA P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，①正确；若P 是1A B 上靠近1A 的一个四等分点，22129148D P ⎛=+= ⎝⎭，此时222111152cos 458AP AA A P AA A P =+-⨯⨯=，22211D P AP AD +<，此时1D PA ∠为钝角，②错；由于1//BP CD ，则//BP 平面11B D C ，因此11P B D C -的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，③正确；而11⊥D C DC ，11//D C A B ，所以11DC A B ⊥，且111DC A D ⊥,1111A B A D A =，所以1DC ⊥平面11A PD ,1D P ⊂平面11A PD ，因此11DC D P ⊥，④正确．故选：C ．二、多选题1．（2022·广东惠州·二模）已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面边长分别为4，62，E 是11A B 的中点，则（ ）A ．正四棱台1111ABCD ABCD -522 B ．平面1BC D ⊥平面11AAC CC ．AE ∥平面1BC DD ．正四棱台1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为104π【答案】BCD 【解析】【分析】A.由题意，利用棱台体积公式求解；B.利用线面垂直和面面垂直的判定定理判断；C.取11D A 的中点F ，连接,AF EF ，且11EF AC G ⋂=，连接AG ，易知四边形12C GAO 是平行四边形，得到12//AG C O ，再由11//EF B D ，利用面面平行的判定定理判断； D. 由球心O 在12O O 上，分外接球的球心O 在正四棱台的内部和外部判断.【详解】如图所示：连接,AC BD 交于点2O ，连接1111,AC B D 交于点1O ，A.正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为()()11221176216163636233==+⨯=V S S S S h B.易知12,BD AC BD O O ⊥⊥，又122AC O O O ⋂=，则BD ⊥平面11AAC C ，又BD ⊂平面1BC D ，所以平面1BC D ⊥平面11AAC C ，故正确；C.如图所示：取11D A 的中点F ，连接,AF EF ，且11EF AC G ⋂=，连接AG ，易知2//CG AO ，232CG AO == 所以四边形12C GAO 是平行四边形，则12//AG C O ，又AG ⊄平面1BC D ，12⊂C O 平面1BC D ，则//AG 平面1BC D ，又11//EF B D ，EF ⊄平面1BC D ，11B D ⊂平面1BC D ，则//EF 平面1BC D ，又EF AG G ⋂=，所以平面//AEF 平面1BC D ，则AE ∥平面1BC D ，故正确；D. 如图所示：若外接球的球心O 在正四棱台的内部，则O 在12O O 上， 因为122OO 4，6， 则111121122,3222D O B D DO BD ==== 222221112D O D O DO DO O O -+-=， 228182--R R则若外接球的球心O 在正四棱台的外部，如图所示：228182--=R R 226=R ，所以外接球的表面积为24104ππ=R ，故正确；故选：BCD2．（2022·广东佛山·三模）如图，若正方体的棱长为2，点M 是正方体1111ABCD A B C D -在侧面11BCC B 上的一个动点（含边界），点P 是1AA 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥1P DD M -的体积为定值B ．若5PM =，则点M 在侧面11BCC B 运动路径的长度为2πC ．若1D M DP ⊥，则1A M 的最大值为2D ．若1D M DP ⊥，则1A M 65 【答案】AD【解析】【分析】对于A ，三棱锥1P DD M -的体积11P DD M M PDD V V --=，由已知得三角形PDD 1的面积是定值，且点M 到面PDD 1的距离是正方体的棱长，由此可判断；对于B ，过点P 作1PQ BB ⊥，由已知有点M 的轨迹是以Q 为圆心，1为半径的半圆弧，根据圆的周长公式计算可判断；对于C 、D ，过点P 作1PQ BB ⊥，则点Q 是1BB 的中点，连接QC ，取BC 的中点N ，连接NC 1，A 1N ，A 1C 1，由线面垂直的判定和性质得点M 的轨迹是线段1C N ，解11A C M ，可求得1A M 的最大值和最小值，由此可判断C 、D 选项.【详解】解：对于A ，三棱锥1P DD M -的体积11P DD M M PDD V V --=，而因为点P 为1AA 的中点，所以三角形PDD 1的面积是定值，且点M 到面PDD 1的距离是正方体的棱长， 所以三棱锥的体积是定值，故A 正确；对于B ，过点P 作1PQ BB ⊥，则由正方体的性质得PQ ⊥平面11BB C C ，所以PQ MQ ⊥， 又5PM 2，所以()2222521MQ PM PQ =--，所以点M 的轨迹是以Q 为圆心，1为半径的半圆弧， 所以点M 在侧面11BCC B 运动路径的长度为22ππ=，故B 不正确；对于C 、D ，过点P 作1PQ BB ⊥，则点Q 是1BB 的中点，连接QC ，取BC 的中点N ，连接NC 1，A 1N ，A 1C 1， 则//QC PD ，1C N QC ⊥，因为1D M DP ⊥，所以1D M QC ⊥，11D C ⊥平面11BB C C ，所以11D C QC ⊥， 又1111D C D M D =，所以QC ⊥平面11D C M ，所以1QC C M ⊥，所以点M 的轨迹是线段1C N ， 在11A C M 中，221111225AC C N NC CC ==+，22211+3A N AA AB BN =+， 所以1A M 的最大值为3，故C 不正确；在11A C M 中，22235225cos 235N +-∠=⨯⨯25sin N ∠= 所以点A1到C1N 有距离为12565sin 3d A N N =⋅∠==， 所以1A M 65D 正确， 故选：AD.。

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义:平面是无限延展的2 平面的画法及表示(1平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图(2平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理:(1公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用:判断直线是否在平面内(2公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用:确定一个平面的依据。

(3公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L公理3作用:判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。

2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 注意点:① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ②两条异面直线所成的角θ∈(0, ; ③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点第二章点、直线、平面之间的位置关系一、平面及其表示平面是指在三维空间中的一个无限大的平面，可以用点和直线来表示。

平面的基本性质可以通过三条公理来描述：①公理1：如果一个点A在直线l上，另一个点B也在直线l上，且A在平面α上，那么B也在平面α上。

②公理2：如果三个不共线的点A、B、C确定一个平面α，那么这三个点必在平面α上。

③公理3：如果一个点P在平面α上，又在平面β上，那么P一定在它们的交线l上。

二、点与面、直线位置关系1、点与平面有两种位置关系：①点A在平面α上；②点B不在平面α上。

2、点与直线有两种位置关系：①点A在直线l上；②点B不在直线l上。

三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线是指不在同一平面内的两条直线。

2、直线与直线的位置关系包括相交、共面和平行三种情况。

3、公理4和定理：如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四、空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系可以分为三种情况：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

五、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面的位置关系可以分为平行和相交两种情况。

其中，平行的两个平面没有公共点，而相交的两个平面有一条公共直线。

直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定方法有三种：利用定义、利用判定定理、利用面面平行的性质。

其中，面面平行的性质可以推导出直线与平面平行的性质。

证明面面平行的常用方法有以下几种：①利用面面平行的定义，一般与反证法结合使用；②利用判定定理；③证明两个平面垂直于同一个平面；④证明两个平面同时平行于第三个平面。

直线与平面垂直的判定方法如下：若直线l与平面α所成角α∈(0,90)，则PO⊥α，AO为___在平面α上的投影，故∠α为直线l与平面α所成角。

二面角α-l-β的平面角为∠___，其中BO⊥l，___。

线面垂直的判定方法如下：___⊥α，___α，且a∩b=A，则___⊥α。

第二章点、直线、平面之间的地址关系空间点、直线、平面之间的地址关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基本性质①公义 1：A lB llAB②公义 2：不共线的三点确定一个平面③公义 3：Pl 则P lP二、点与面、直线地址关系1、A1、点与平面有 2 种地址关系2、B1、A l2、点与直线有 2 种地址关系2、 B l三、空间中直线与直线之间的地址关系1、异面直线2、直线与直线的地址关系订交共面平行异面3、公义 4 和定理公义 4：l1 Pl3l1 Pl 2l 2 Pl3定理：空间中若是两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4、求异面直线所成角的步骤：① 作：作平行线获取订交直线；② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；③ 构造三角形求出该角。

提示： 1、作平行线常有方法有：直接平移，中位线，平行四边形。

2、异面直线所的角的范围是00 ,900。

四、空间中直线与平面之间的地址关系地址关系直线 a在平面内直线 a与平面订交直线 a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a a I Aa P图形表示五、空间中平面与平面之间的地址关系地址关系两个平面平行两个平面订交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示P I a图形表示直线、平面平行的判断及其性质一、线面平行1、判断：ba b Pb Pa（线线平行，则线面平行）2、性质：a PaPa b b（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判断：aba b P Pa Pb P（线面平行，则面面平行）2、性质 1：PI a a PbI b（面面平行，则线面平行）性质 2：Pm Pm（面面平行，则线面平行）说明（ 1）判断直线与平面平行的方法：① 利用定义：证明直线与平面无公共点。

② 利用判判定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。

③ 利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（2）证明面面平行的常用方法①利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。

点、直线、平面之间的位置关系复习（一）课型：复习课一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。

3情态与价值学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。

二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

三、教学设计（一）知识回顾，整体认识1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。

2、本章知识结构框图（二）整合知识，发展思维1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。

公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。

2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系：4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。

（三）应用举例，深化巩固1、P.73 A 组第1题2、P.74 A 组第6、8题（四）、课堂练习：1．选择题 （1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是（ ） （A ）4个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）没有 （B ）有一条 （C ）有无数条 （D ）α内所有直线 答案：（1）D (2) C2．填空题（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，PA ⊥α，PA =a ，则P 到CD 的距离为 ，P 到BC 的距离为 .（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45º，则A 到直线OC 的距离是 ， ∠AOC 的余弦值是 . 答案：（1）a a27,2; （2）42,414a 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD, A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .A A ′ CαOC1课后作业1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；2、P.76 B组第2题。

高一第一学期期末复习资料之《点、直线、平面之间的位置关系》知识点梳理： 1．四个公理3、空间中直线与直线之间的位置关系：⎧⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎧⎪⎪⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎪⎨⎨⎪⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎩⎪⎪⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎩4．空间中直线与平面之间的位置关系：⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎧⎪⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎧⎪⎨⎪⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎨⎪⎪⎪⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎩⎩5．平面与平面之间的位置关系：⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎩6．直线与平面平行7．平面与平面平行8．直线与平面垂直典型练习：1.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A. α内所有的直线都与a异面；B. α内不存在与a平行的直线；C. α内所有的直线都与a相交；D.直线a与平面α有公共点.2.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.03.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为A 、030B 、045C 、060D 、090 4. 给出下列命题：（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面其中错误命题的个数为（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ）2 （D ）35．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 86. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心7.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（ ）（A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）900 8.直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ）A 、若a ⊂α，b ⊂α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥αB 、若b ⊂α, a//b 则 a//αC 、若a//α,α∩β=b 则a//bD 、若a ⊥α, b ⊥α 则a//b 9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行 10、 a, b 是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ； ③至多有一条直线与a ，b 都垂直；④至少有一个平面与a ，b 都平行。