2017-2018学年高中数学北师大版必修5课时作业第3章 不等式 23

§21 一元二次不等式的应用时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]2．若关于x 的不等式x ＋a x 2＋4x ＋3＞0的解集是{x |－3＜x ＜－1，或x ＞2}，则a 的值为( )A ．2B ．－2C.12 D ．－123．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x ＜0.则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2－5ax ＋4a 2≤0}，A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，则a 的值的集合为( )A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D. {2}5．已知方程x 2＋2x ＋2a ＝0和x 2＋2(2－a )x ＋4＝0有且只有一个方程有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜12或a ＞4 B ．0≤a ＜12或a ＞4 C ．0＜a ≤12或a ≥4D.12＜a ≤4 6．根据调查，某厂生产的一种产品n 月份的利润为f (n )万元(n ＝1,2，…，12)，其近似地满足f (n )＝e n 2(13n －22－n 2)(e ＝2.718…)．为了获得一年的最大利润，那么该产品每年只要生产( )A ．11个月B ．10个月C ．9个月D ．8个月二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知集合A ＝{x |x 2－5x －6≤0}，集合B ＝{x |x ＞a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．8．不等式ax x －1＜1的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，则a ＝________. 9．已知不等式①x 2－4x ＋3＜0；②x 2－6x ＋8＜0；③2x 2－9x ＋m ＜0，要使得同时满足①②的x 也满足③，则m 的取值范围是________．三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分)10．解下列不等式：(1)2x＜x ＋1 (2)x 2－2|x |－15≥0(3)x 3－3x 2＋x ＋1＜011.已知三个不等式：①|2x－4|＜5－x；②x＋2x2－3x＋2≥1；③2x2＋mx－1＜0.(1)若同时满足①、②的x值也满足③，求m的取值范围；(2)若满足③的x值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围．12．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？一、选择题1．A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x ＋2≥x 2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.2．B 原不等式等价于(x ＋a )(x ＋1)(x ＋3)＞0，由原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1，或x ＞2}，知(x －2)(x ＋1)(x ＋3)＞0，所以x ＋a ＝x －2，即a ＝－2.故选B.3．A ∵f (1)＝3，∴当x ≥0时，由f (x )＞f (1)得x 2－4x ＋6＞3，∴x ＞3或x ＜1.又x ≥0，∴x ∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x ＜0时，由f (x )＞f (1)得x ＋6＞3，∴x ＞－3，∴x ∈(－3,0)．综上可得x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.4．A A ＝{x |x <－1或x >3}，∵A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，∴x ＝4是方程x 2－5ax ＋4a 2＝0的根，∴a 2－5a ＋4＝0，∴a ＝1或4，当a ＝1时，B ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}＝{x |1≤x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |3<x ≤4}成立；当a ＝4时，B ＝{x |x 2－20x ＋64≤0}＝{x |4≤x ≤16}，∴A ∩B ＝{x |4≤x ≤16}与条件矛盾，∴a ＝1.所以选A.5．B Δ1＝4－8a ，Δ2＝4(a －2)2－16，由题设⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＞0Δ2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1≤0Δ2＞0，∴0≤a ＜12或a ＞4. 6．D 因为f (n )＝e n 2(13n －22－n 2)，若要获得一年的最大利润，应使生产产品的月份都能盈利，则f (n )＞0，所以n 2－13n ＋22＜0，所以2＜n ＜11.故只要从3月份开始生产到10月份，共生产8个月即可获得最大利润．解本题关键是由题意构造不等式．有人认为f (n )≥0也可保证得到利润的最大值．所以误选B.出现错误的原因在于未考虑2月份和11月份的利润均为0.二、填空题7．(－∞，6)解析：A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |x ＞a }，且A ∩B ≠Ø，∴a ＜6.8.12解析：ax x －1＜1⇔a －x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0.故1,2是方程[(a －1)x ＋1](x －1)＝0的两根且a －1＜0.9．(－∞，9]解析：依题意可知不等式①即为1＜x ＜3，②即为2＜x ＜4，同时满足①②的即为2＜x ＜3，可知2x 2－9x ＋m ＜0在2＜x ＜3恒成立．设f (x )＝2x 2－9x ＋m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f f ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤10m ≤9⇒m ≤9，所以m 的取值范围是(－∞，9]．三、解答题10．(1)2x ＜x ＋1⇔x ＋1－2x ＞0⇔x 2＋x －2x＞0⇔x (x ＋2)(x －1)＞0⇔－2＜x ＜0或x ＞1.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞1}(2)x 2－2|x |－15≥0⇔|x |2－2|x |－15≥0⇔(|x |－5)(|x |＋3)≥0⇔|x |≥5⇔x ≥5或x ≤－5.∴原不等式的解集为{x |x ≥5或x ≤－5}．(3)x 3－3x 2＋x ＋1＜0化为(x －1)(x 2－2x －1)＜0化为(x －1)(x －1－2)(x －1＋2)＜0，∴x ＜1－2或1＜x ＜1＋2.∴原不等式的解集为{x |x ＜1－2}或1＜x ＜1＋2}11．记①的解集为A ，②的解集为B ，③的解集为C .解①得A ＝(－1,3)；解②得B ＝[0,1)∪(2,4]，∴A ∩B ＝[0,1)∪(2,3)，A ∪B ＝(－1,4]．(1)∵同时满足①、②的x 值也满足③，∴(A ∩B )⊆C .设f (x )＝2x 2＋mx －1，由f (x )的图像可知：当方程2x 2＋mx －1＝0的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足(A ∩B )⊆C .∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ＜0，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜0，3m ＋17≤0，∴m ≤－173. (2)∵满足③的x 值至少满足①和②中的一个，∴C ⊆(A ∪B )，而A ∪B ＝(－1,4]，因而⎩⎪⎨⎪⎧ f －＝1－m ≥0，f ＝4m ＋31≥0，－1＜－m 4＜4，解得－314≤m ≤1. 12．(1)由题意得：y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1000×(1＋0.6x )(0＜x ＜1)， 整理得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0＜x ＜1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －－＞0，0＜x ＜1.即⎩⎪⎨⎪⎧ －60x 2＋20x ＞0，0＜x ＜1，解不等式得0＜x ＜13. 即投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13的范围内． 答：为保证本年度的利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0＜x ＜13.。

§22 基本不等式时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．对于不等式a 2＋b 2≥2ab ，下列说法正确的是( ) A ．只有a >0，b >0时，不等式才成立 B ．只有a ＝b ＝0时等号才能成立 C ．当且仅当a ＝b 时等号成立D ．当且仅当a 与b 同号时，不等式成立 2．关于不等式ab ≤a ＋b2，给出下列命题，其中正确命题是( ) ①若a >0，b >0，则ab ≤a ＋b2；②若ab ≤a ＋b2，则a >0，b >0；③若a ≠b ，则ab <a ＋b2；④若ab <a ＋b2，则a ≠b .A ．①② B．①③ C ．①④ D．①②③④3．a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( ) A.2ab a ＋b ＜a ＋b2＜ab B.a ＋b2≥2aba ＋b≥ab C.a ＋b2＞ab ＞2aba ＋bD.ab ＜2ab a ＋b ＜a ＋b24．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋ab≥25．下列命题中正确的是( )A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2 B ．当a >1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg b C ．当a >4时，a ＋9a≥2a ·9a＝6 D ．∵x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时，等号成立，∴(x 2＋1)min ＝26．设a ，b 是正实数，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A >B D ．A <B二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) 7．设数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋8，则{a n }中的最大项为第________项．8．△ABC 三边a ，b ，c 满足a 4＋b 4＋c 4＝a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2，则△ABC 的形状是________． 9．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数， 求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3.11.已知a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac ≤13.北师大版2017-2018学年高中数学必修5课时作业含答案已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1， 求证：(a ＋1a )(b ＋1b )≥254.一、选择题 1．C 2．C 3．C2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ＜a ＋b2. 4．D5．B A 项中，可能b a<0，所以A 不正确；C 项中，a ＋9a≥2a ·9a＝6中的等号不成立，所以C 项不正确；D 项中，右边不是定值，所以D 项不正确；很明显，B 项中，当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 项正确．6．C ∵a >0，b >0，∴A >0，B >0，A 2－B 2＝(a ＋b ＋2ab )－(a ＋b )＝2ab >0，∴A 2>B 2，∴A >B .二、填空题 7．3解析：将a n 变形为a n ＝1n ＋8n，由于n ＋8n ≥28＝42，所以a n ≤142＝28，当且仅当n＝8n，即n 2＝8时，等号成立，因为n 为正整数，所以当n ＝3时，a n 最大．8．等边三角形解析：由a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 2＋c 2≥2b 2c 2，c 2＋a 2≥2a 2c 2，∴a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2取等号当且仅当a ＝b ＝c 时成立． 9．①③⑤解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤ a ＋b24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥a ＋b 24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab )＝2(a 2＋b 2－ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1，又a 2＋b 2≥2，∴a 2＋b 2－ab ≥1，∴a 3＋b 3≥2，故④错误；1a ＋1b ＝(1a ＋1b )a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b 2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故⑤正确．三、解答题 10．证明：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3.∵a ，b ，c 都是正数， ∴b a ＋ab ≥2b a ·ab ＝2， 同理c a ＋a b≥2，c b ＋b c≥2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥6. ∵a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c >6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 11．证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1.∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .∴1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac＋2bc ≥3(ab ＋ac ＋bc )．∴ab ＋ac ＋bc ≤13.12．证明：∵a ＋b ＝1≥2ab ，∴ab ≤14，∴(a ＋1a )(b ＋1b )＝a 2＋1a ·b 2＋1b ＝1－ab 2＋ a ＋b 2ab ≥ 1－14 2＋114＝254.。

§23　基本不等式与最大(小)值时间：45分钟　满分：80分班级________　姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知x ＞1，y ＞1，且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( )A ．4 B ．2C ．1 D.142．如果直角形的周长为2，则它的最大面积是( )A ．3＋2 B ．3－222C ．3＋ D ．3－223．已知实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．18 B ．6C ．2D ．23434．已知x ＞0，y ＞0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则＋的最小值是( )1x 13y A ．2 B ．22C ．4 D ．235．下列求最值过程中正确的是( )A ．若0＜x ＜π，则y ＝sin x ＋≥2＝2.所以y 的最小值是22sin x sin x ·2sin x 22B ．若0＜x ＜π，则y ＝sin x ＋＝(－)2＋2≥2.所以y 的最小值是2sin x sin x 2sin x 2222C ．若x ＞0，则y ＝2＋x ＋≥2＋2＝6.所以y 的最小值是64x x ·4x D ．若0＜x ＜1，则y ＝x (4－x )≤[]2＝4.所以y 的最大值为4x ＋ 4－x26．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费x8用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．设x ∈R ＋，则y ＝log 2(x ＋＋6)的最小值为________．1x 8．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．9．若对任意x ＞0，≤a 恒成立 ，则a 的取值范围是________．xx 2＋3x ＋1三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分)10．已知0＜x ＜，试求函数f (x )＝x (1－3x )的最大值．1312x11.求f(x)＝＋3x的值域．已知x ＞0，y ＞0，且＋＝1，试求x ＋y 的最小值．1x 9y一、选择题1．A ∵x ＞1，y ＞1，lg x ＞0，lg y ＞0，∴lg x lg y ≤()2，当且仅当lg x ＋lg y2x ＝y ＝100时，等号成立．2．B 2＝a ＋b ＋≥2＋，∴≤＝2－.a 2＋b 2ab 2ab ab 22＋22∴ab ≤(2－)2＝6－4.22S ＝ab ≤3－2.1223．B ∵a ＋b ＝2，∴3a ＋3b ≥2＝2＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．3a ·3b 3a ＋b 4．C 由lg2x ＋lg8y ＝lg2，得lg2x ＋3y ＝lg2.∴x ＋3y ＝1，＋＝(x ＋3y )＝2＋＋≥4.1x 13y (1x ＋13y )x 3y 3yx 5．C A 、B 、D 中等号都取不到．A 中需满足sin x ＝，即sin x ＝∉(0,1]；B 中2sin x 2由＝得sin x ＝∉(0,1]；D 中由x ＝4－x 得x ＝2∉(0,1)．sin x 2sin x 26．B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的800x x8费用是＋≥2＝20，当且仅当＝时取等号，即x ＝80.800x x8800x·x8800x x8二、填空题7．3　因为x ＞0，所以x ＋≥2(当且仅当x ＝1时，等号成立)，所以1x y ＝log 2(x ＋＋6)≥log 2(2＋6)＝3，所以当x ＝1时，y 取得最小值3.1x 8.233解析：∵xy ≤(x ＋y )2，∴1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－(x ＋y )2＝(x ＋y )1414342，∴(x ＋y )2≤，∴－≤x ＋y ≤，当x ＝y ＝时，x ＋y 取得最大值.43233233332339．[，＋∞)15解析：若对任意x ＞0，≤a 恒成立，只需求得y ＝的最大值即xx 2＋3x ＋1xx 2＋3x ＋1可．因为x ＞0，所以y ＝＝≤＝，当且仅当x ＝1时取等号，xx 2＋3x ＋11x ＋1x ＋312x ·1x ＋315所以a 的取值范围是[，＋∞)．15三、解答题10．∵0＜x ＜，∴1－3x ＞0.13∴y ＝x (1－3x )＝·3x ·(1－3x )≤[]2＝.13133x ＋ 1－3x 2112当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝时，等号成立．16∴当x ＝时，函数f (x )取得最大值.1611211．当x ＞0时，由基本不等式，得f (x )＝＋3x ≥2＝2＝12，12x 12x·3x36当且仅当3x ＝，即x ＝2时，等号成立．当x ＜0时，－x ＞0，12x 所以－f (x )＝＋(－3x )≥2＝12，即f (x )≤－12，12－x 12－x · －3x 当且仅当－3x ＝，即x ＝－2时，等号成立．所以函数f (x )的值域为(－∞，－12]12－x ∪[12，＋∞)．12．解法一：∵＋＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·(＋)＝10＋＋.1x 9y 1x 9y y x 9xy ∵x ＞0，y ＞0，∴＋≥2＝6.y x 9xy y x ·9x y 当且仅当＝，即y ＝3x 时等号成立．y x 9xy 又＋＝1，∴x ＝4，y ＝12.1x 9y 即x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.解法二：由＋＝1得y ＋9x ＝xy ，1x 9y ∴(x －1)(y －9)＝9.由已知得x ＞1，y ＞9，∴x ＋y ＝10＋(x －1)＋(y －9)≥10＋2＝16当且仅当x －1＝y －9 x －1 y －9 时等号成立．又∵＋＝1，∴x ＝4，y ＝12.1x 9y ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.解法三：由＋＝1得x ＝.1x 9y yy －9∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9.∴x ＋y ＝＋y ＝y ＋＋1＝(y －9)＋＋10.yy －99y －99y －9∵y ＞9，∴y －9＞0.∴y －9＋≥2＝6.9y －9 y －9 ·9y －9当且仅当y －9＝，即y ＝12时等号成立．此时x ＝4，9y －9∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.。

课时作业17一元二次不等式的应用＝a－2＋a－，2<a<2.⎩⎪⎨⎪⎧x －x －x －2≠0，(2)因为x 2＋x ＋1>0，所以原不等式可化为600 m 的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，．不等式x －x ＋x －2<0原不等式可化为(3x －4)(2x利用数轴标根法可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪－12<x <43且x ≠1生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －x13.5x假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解析：依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )， 则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －x10.5－x x(1)要使工厂有盈利，则有f (x )>0， 因为f (x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7－0.5x 2＋6x －13.5>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >710.5－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7x 2－12x ＋27<0或⎩⎪⎨⎪⎧x >710.5－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤73<x <9或7<x <10.5，则3<x ≤7或7<x <10.5， 即3<x <10.5.所以要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在大于300台小于1050台的范围内． (2)当3<x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x >7时，f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．。

§3基本不等式3．1基本不等式1．了解基本不等式的证明过程及其几何解释．(难点)2．了解算术平均数，几何平均数的定义．(重点)3．会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式．(重点)[基础·初探]教材整理基本不等式阅读教材P88～P89阅读材料以上部分，完成下列问题．1．基本不等式如果a，b a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中a＋b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式．2．基本不等式的文字叙述两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．意义(1)几何意义：半径不小于半弦．(2)数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．()(2)不等式a2＋b2≥2ab中等号成立的条件是a＝b.()(3)a ＋b2≥ab 与a 2＋b 2≥2ab 这两个不等式成立的条件是相同的．( ) 【解析】 (1)应为任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)a 2＋b 2＝2ab ，即(a －b )2＝0，∴a ＝b .(3)a ＋b2＝ab 中a 、b ∈R ＋，a 2＋b 2≥2ab 中a 、b ∈R . 【答案】 (1)× (2)√ (3)×[小组合作型]已知M ＝3x ＋3y2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy(其中，0＜x ＜y )，试比较M 、N 、P 之间的大小．【精彩点拨】 根据基本不等式的条件和指数函数的单调性判断大小． 【尝试解答】 3x ＋3y 2≥23x ·3y 2＝3x ＋y ＝(3)x ＋y，又0＜x ＜y ，上式“＝”不成立，∴3x ＋3y2＞(3)x ＋y ，即M ＞N .即N ＞P ，∴M ＞N ＞P .利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小，达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向．[再练一题]1．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，试比较P ，Q ，M 之间的大小．【解】 因为P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ，M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，所以只需比较a ＋b2，ab ，a ＋b 的大小． 显然a ＋b 2＞ab，又因为a ＋b 2＜a ＋b，⎝ ⎛⎭⎪⎫由a ＋b ＞(a ＋b )24也就是a ＋b 4＜1可得所以a ＋b ＞a ＋b 2＞ab .而y ＝log 12x 为(0，＋∞)上的减函数，故Q ＞P ＞M .已知，a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 【精彩点拨】 巧妙利用a ＋b ＋c ＝1，用a ＋b ＋c 去乘式子⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 后展开，便可构造出基本不等式的模型进而可证明不等式．【尝试解答】 因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋b ＋c )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立，故1a ＋1b ＋1c ≥9.不等式证明问题可考虑使用基本不等式，运用时注意对要证的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后进行证明，同时要注意基本不等式成立的条件．[再练一题]2．已知a、b、c为不等正数，且abc＝1，求证：a＋b＋c＜1a＋1b＋1c.【导学号：47172038】【证明】1a＋1b＋1c＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＋1c·abc＝bc＋ac＋ab＝bc＋ac2＋ab＋ac2＋bc＋ab2＞abc2＋a2bc＋ab2c＝a＋b＋c.[探究共研型]图3-3-1如图3-3-1，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.你能利用这个图形得出基本不等式a＋b 2≥ab的几何解释吗？探究1如何用a、b表示PQ、OP的长度？【提示】由射影定理可知PQ＝ab，而OP＝12AB＝a＋b2.探究2通过线段OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？【提示】半径OP＝a＋b2，显然，它大于或等于PQ，即a＋b2≥ab，其中当且仅当点Q与圆心O重合，即a＝b时等号成立．已知a、b、c＞0，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.【精彩点拨】利用基本不等式证明．【尝试解答】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，a＋c≥2ac，∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ac)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ac，当且仅当a＝b＝c时等号成立．在利用基本不等式证明的过程中，常需把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．[再练一题]3．已知a、b、c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.【证明】因为a、b、c都是正数，所以a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc，∴(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2ab·2bc·2ac＝8abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是()A.12B．1C．2 D．4 【解析】x2＋y2＝4≥2xy，∴xy≤2. 【答案】 C2．已知等比数列{a n}各项均为正数，公比q≠1，设P＝a2＋a92，Q＝a4·a7，则P与Q的大小关系是()A．P＜Q B．P＞QC ．P ＝QD ．无法确定【解析】 由等比数列，得Q ＝a 4a 7＝a 2a 9，而P ＝a 2＋a 92，且a 2＞0，a 9＞0，q ≠1，a 2≠a 9，∴a 2＋a 92＞a 2a 9，即P ＞Q .选B.【答案】 B3．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是________．【解析】 当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0时“＝”成立，此时a ＝1. 【答案】 a ＝14．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .【解析】 根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．【答案】 ③5．设a 、b 、c 均为任意实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .【导学号：47172039】【证明】 ∵a 、b 、c 均为任意实数， ∴a 2＋b 2≥2ab ， b 2＋c 2≥2bc ， a 2＋c 2≥2ac ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ac )， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .。

§25 二元一次不等式组与平面区域时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( )A. (0,0)B. (1,1)C. (0,2)D. (2,0)2．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是()3．平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤32y ≥1x －y ≥－1的面积是( ) A.98 B.94C.54D.52 4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.345．某校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6，则该校招聘教师最多是( )名A ．8B ．9C ．10D ．11 6．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －11≥03x －y ＋3≥05x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．8．第一象限的整数点(x ，y )满足x ＋y >8，且x ≤y ≤8，这样的整数点(x ，y )有________个．9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________． 三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分)10．如图所示，求△PQR 内(不含三角形的边界)任一点(x ，y )满足的关系式．11.求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域的面积．。

0 数丫里［七网SHSiSima华iCSRSlifi力作V/w w. s h u I i H U H r U £ t22一元二次不等式的应用第1课时分式不等式与一元高次不等式I ____ ________ 课时过关能力提升1•不等式一W 2的解集是()A. { x|x>- 3 或x<-8}B.{ x|x>- 3 或x< -8}C.{ x|-3 w x w 2}D.{ x|-3<x < 2}2. 不等式x+——>2的解集是()A.(-1,0) U (1,+ 旳B.(-s,-1)U (0,1)C.(-1,0) U (0,1)D.(-s,-1) U (1,+ 旳个不等式时所画的图，则该不等式可能是(A.(x+ 2)(x+ 1)x(x-1)> 0C. ---------- > 0D. ---------- > 0解析］由于图形中有空心点，又有实心点，故只可能是分式不等式，且空心处是分母的根，实心处是分子4. 不等式——> 2的解集是A. - -B.--C. - U (1,3］D.-- U (1,3］解析］原不等式可化为——> 0,即------------- - - >0,等价于(2x+1)(-x+3) > 0,且(x-1)2电解得--w x w 3,且XMI. 答案：|D5. 若不等式f(x)>0的解集为{x|x> 2},则不等式f — >0的解集为()A. 或-B. -C. 或-D. -数理代网康网培這聽精华兀筈叔咎师71作6•若不等式<1的解集为R,则实数m的取值范围是( --------------------- )A.(1,3)B.(-s,3)C.(-s,1)U (2, + 勺D. R解析因为4x +6x+3=4 - ->0,所以原不等式等价于2x +2mx+m<4x +6x+3,即卩2x + (6-2m)x+3-m>0,由题意，可知△= (6-2m)2-8(3-m)=4m2-16m+12< 0,解得1<m< 3.答案：|A7. 已知关于x的不等式——<0的解集是(-壬-1) U -- ，则a= ____ .答案:-28. 不等式Iog2 —> 1的解集为—.解析因为log? — > 1,所以一> 2,整理得——< 0,解得-2W x<0.答案:{x|-2w x<0}9. -------------------------- 函数f(x)= 的定义域为_.解析:］由1-Ig——> 0,得0<——< 10,由——>0,解得x>1或x<-1;由——W 10,得一> 0,解得X》一或x<1,故原函数的定义域为-或一.答案］-或—10. 解不等式:一> 1.解］原不等式可化为 ------- <0,即一一即■■画出数轴如图所示由图可知，原不等式的解集为- 或★11.若关于x的不等式——<2对任意的x恒成立，求实数m的取值范围.解法一|T x -2x+3=(x-1) +2>0,二----- <2 等价于2x-8x+6-m>0.要使2x2-8x+6-m> 0对任意的x恒成立，则只需要A<0,即64-8(6-m)<0,/• m<-2.••• m的取值范围是(-8,-2).解法二|由解法一,知原不等式对任意的x恒成立等价于不等式2x2-8x+ 6-m> 0对任意的x恒成立，则只需m<2x2-8x+6对任意的x恒成立.T 2x2-8x+6=2(x-2)2-2 > -2,• 2x2-8x+ 6在x€ R上的最小值为-2. •••m<-2,即m的取值范围是(-8,-2).★12.已知a> 0,解关于x的不等式一>0.当a>0时，原不等式可化为 --（x+1） （X -2）>0. 当- =2,即a=-时,原不等式的解集为{X |X >- 1且X ^2};当>2,即0<a<时，原不等式的解集为 - 或 当0< <2,即a>时，原不等式的解集为--或 综上所述，当 a=0时，原不等式的解集为 {X |-1<X < 2};当0<a w -时，原不等式的解集为 - 或 _ 当a>-时，原不等式的解集为- -或.康R9塔资漏i 情华iESRSlili 力作解解］当a= 0时，原不等式可化为X 2-X -2< 0,解得-1 <x< 2.。