高中数学 第七课时 定积分的简单应用(二)教案 北师大版选修2-2

4.3 定积分的简单应用教学过程：（一）练习1．求定分3-⎰x ．2．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？ 31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S 3．你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负二、新课（一）例题选讲：例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。

练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ．[()()]b a f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]c b a c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]b b a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b a g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0（二）变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即⎰=ba dt t v s )(． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 325 ． （三）变力作功1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）．2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =⎰b a dx x F )(． 练习：1．教材练习2．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J3．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径． 证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ =11()()Mnh GMm k G k h k k h -+=⋅++． 三、课堂小结：1．了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积3．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。

第七课时 定积分的简单应用（二）3.1平面图形的面积一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。

二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）练习1．若11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ）A ．6B ．4C ．3D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ）A ．34B ．45C ．56D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵12231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1． 4．求定分322166x x -+-⎰d x ． 5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负。

（二）、新课探析 例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。

练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ） A ．[()()]ba f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]cba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]bba c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]ba g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2+ 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线所围成的面积．32（三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。

新高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修2_2 定积分的简单应用[对应学生用书P42]如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )围成． 问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝f (x )围成的曲边梯形面积S 1＝∫b af (x )d x ，再求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝g (x )围成的曲边梯形面积S 2＝∫b a g (x )d x ，则所求阴影部分面积为S 1－S 2.平面图形的面积一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则S ＝∫b a f (x )d x －∫ba g (x )d x ，f (x )≥g (x )．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．[对应学生用书P42][例1] 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．[精解详析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛-32(－x ＋2)d x －⎠⎛-32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 |2－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x |2－3 ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝1256. [一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分x d x ＝sin x ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 答案：D2．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2B ．4 2C ．2D.4解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02x －x 3dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4.答案：D3．计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图形面积为S ＝∫10xdx －∫10x 3dx ＝23x10－14x 4 |10＝23－14＝512.[例2] 求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．[思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析]作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝1⎭⎪⎫3－1x dx ＋∫31(3－x)d x ＝(3x －ln x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2 |31＝4－ln 3.[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是( )A ．1 B.π4C .322D.22－2解析：S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋x －cos x )dx ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4－(cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝(2－1)－(1－2)＝22－2.答案：D5．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，得B (2,4)，如图所示所求面积为S ＝⎠⎛012x d x －⎠⎛01x d x ＋⎠⎛122x d x －⎠⎛12x 2d x＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x＝12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|21＝76.[例3] 求抛物线y ＝2x 2与直线x ＝a(a>0)及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积．[精解详析] 由a>0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V ＝∫a 0π(2x 2)2d x ＝4π∫a 0x 4d x＝4π·15x5 |a 0＝45πa 5. [一点通] 求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f (x )．③确定积分上、下限a ，b .④计算体积V ＝∫b a πf 2(x )d x .6．y ＝sin x(0≤x≤π)和x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为( )A ．π2B ．4π2C.13π2D.π22 解析：V ＝π∫π0sin 2x d x ＝π∫π1－cos 2x2d x＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin 2x 2| π0＝π22.答案：D7．给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC 的方程：y ＝a .则该旋转体即圆柱的体积为：∫a0π×a 2d x ＝πa 2x |a0＝πa 3.答案：πa 31．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限．2．由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a <b )以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为V ＝π⎠⎛a bf 2(x )d x .[对应课时跟踪训练十六1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是( ) A ．4π B.5π2C ．3πD ．2π解析：如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D.答案：D2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100.W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 (J)．答案：A3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( ) A ．2 B.83 C.43D.23解析：S ＝－∫0－1(x 2＋2x )d x ＋∫10(x 2＋2x )d x ＝－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 20－1＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 210＝23＋43＝2. 答案：A4.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14 B.15C.16D.17解析：阴影部分的面积为∫10(x －x )d x1＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案：C5.如图是一个质点做直线运动的v ­t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________．解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为∫4034x d x ＋∫64⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋9d x ＝38x 2⎪⎪⎪40＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x 2＋9x ⎪⎪⎪64＝6＋3＝9(m)．答案：9 m6.(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e27．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －∫31(－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 8．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解：作出y ＝x 2－2x 的图像，如图所示．①当a <0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时，若0<a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝a 2－13a 3＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2. 若a >2，不合题意，综上a ＝－1或2.。

§3 定积分的简单应用3．1平面图形的面积3．2简单几何体的体积(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现并归纳曲边图形面积的求法以及发现并归纳简单旋转几何体体积的求法；(2)简单运用定积分解决某些与面积、体积有关的问题．2．过程与方法通过举例引导学生解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积、旋转体体积的过程中，体会积分思想在生活中的应用．3．情感、态度与价值观(1)通过对定积分的应用的探究学习，经历数学的探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节的运用实践，体会“分割——近似代替——求和——求极限”这一积分思想在实际生活中的应用，体会化归转化思想的运用以及用数学的思维方式解决问题，认识世界，进而领会数学的价值．●重点难点重点：应用定积分解决平面图形的面积、简单旋转几何体的体积等问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值．难点：将实际问题化归为定积分问题以及这一过程体现的思想方法．教学时从学生最近发展区切入，让学生思考不规则图形的面积、体积可通过分割的方法化为规则或近似规则图形来求解．结合具体问题深入剖析，并详细写出过程，让学生深刻体验积分过程，从而化解难点．引导学生在具体问题的求解过程中，发现方法，形成规律，尤其平面图形面积的求法及步骤，让学生在应用定积分的过程中更深入地理解定积分及其作用，以强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求简单旋转几何体的体积．解决这些问题的关键是将它们化归为定积分问题，前者主要是分割，而后者则要经历一个积分过程，需要学生通过思考、分析、归纳后结合定积分的定义求解．故本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在具体问题的导引下，学生通过独立探究、合作交流，揭示规律，形成方法．●教学流程创设情境，提出问题：如何求平面图形的面积？如何求旋转体的体积？⇒引导学生通过分割，将问题转化为定积分来解决.⇒通过引导学生回答问题，弄清平面图形面积、旋转体体积求解的一般思路.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握平面图形面积求解的方法和步骤.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握旋转体体积的求法和步骤.⇒通过例3及其变式训练，提高学生综合运用知识解决问题的能力.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.会用定积分求平面图形的面积．(重点)2.会用定积分求简单几何体的体积．(重点)3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法．(难点)平面图形的面积S ，则S ＝⎠⎛abf (x )d x －⎠⎛a bg (x )d x .简单旋转几何体的体积 x 轴旋转而成，设在区间[a，b ]上点x 处垂直x 轴的截面面积为A (x )＝πf 2(x )，则体积为V ＝⎠⎛ab πf 2(x )d x .求平面图形的面积求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．【思路探究】 解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．【自主解答】 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S ＝⎠⎛01[x －(－13x )]d x ＋⎠⎛13[(2－x )－(－13x )]d x＝⎠⎛01(x ＋13x )d x ＋⎠⎛13(2－x ＋13x )d x＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136.1．正确画出图形，合理分割图形是解决本题的关键．2．求所围成的图形的面积时，先画出草图，确定所求面积是哪部分；其次是求解方程组得到交点的横坐标，从而确定积分上、下限．其中，有些所求面积可以分成两部分面积的差(和)的形式，要视情况而定．将本例条件中的“y ＝－13x ”换成“x 轴”，其他不变．【解】 画出草图如图解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点为(1,1)，∴S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝23x 32|10＋(2x －12x 2)|21 ＝23＋(2×2－12×22－2×1＋12×1) ＝76.求由曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．【思路探究】 所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可．【自主解答】 曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示．设所求旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x ，直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2，直线x ＝2与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．V 1＝⎠⎛02π(2x )2d x ＝2π⎠⎛02x d x ＝2π·12x 2|20＝4π，V 2＝⎠⎛02π(12x 2)2d x ＝π4⎠⎛02x 4d x ＝π4×15x 5|20＝8π5，所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.1．两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即：V ＝π⎠⎛abf 2(x )d x －π⎠⎛a b g 2(x )d x，而不能写成V ＝π⎠⎛ab [f (x )－g (x )]2d x .2．求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )d x求解．设平面图形由[0，π2]上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12，x ＝π2围成，求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．【解】 先画草图．设f (x )＝sin x ，x ∈[0，π2]，g (x )＝12.则f (x )与g (x )的交点为(π6，12)．V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π[sin 2x －(12)2]d x ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π(1－cos 2x 2－14)d x＝⎠⎜⎜⎛π6π2π(14－12cos 2x )d x ＝π(14x －14sin 2x )⎪⎪⎪π2π6＝π212＋3π.积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．【思路探究】 设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程．【自主解答】 设切点A (x 0，x 20)，切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0，得x＝x 02，如图，∴S ＝⎠⎜⎛0x02x 2d x ＋⎠⎜⎛x 02x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]d x ＝112x 30. ∴112x 30＝112，x 0＝1.∴切点A 的坐标为(1,1)，切线方程为y ＝2x －1.1．本题中求面积S 时，易错误地写成S ＝∫x 00⎠⎛0x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]d x .错误原因是没能分割好图形．2．关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题．已知抛物线y ＝－x 2a＋2x (a >0)，过原点的直线l 平分由抛物线与x 轴所围成的封闭图形的面积，求l 的方程．【解】 如图所示，设l 的方程为y ＝kx ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝－x 2a ＋2x ， 得交点O ，P 的坐标分别为(0,0)，(2a －ak,2ak －ak 2)．由题意得⎰2a －ak0(－x 2a ＋2x －kx )d x ＝12⎰2a 0(－x 2a＋2x )d x ，解得k ＝2－34，故所求l 的方程为y ＝(2－34)x .不能合理分割致误由y 轴，直线x ＝2和曲线y ＝2－x 2及y ＝x 围成的图形的面积为( ) A.23 B ．－23C ．3D ．－3。

定积分一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。

二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。

三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。

四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 （一）、知识闪烁1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ；误差趋于 。

2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1limniin i f x ξ→∞=∆∑= ；其中⎰叫做a 叫做b 叫做 ()f x 叫 ;4、()baf x dx ⎰的几何意义 ；在x 轴上方的面积取 ，在x 轴下方的面积取()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰的关系 ；计算()baf x d x ⎰时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()baf x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰=5、定积分的性质：1b adx ⎰= ()bakf x dx ⎰= ()()ba f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰=（定积分对积分区间的可加性）()baf x dx ⎰=6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有()baf x dx ⎰=它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分()baf x dx ⎰= =()()F b F a -8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()aaf x dx -=⎰若()f x 在[],a a -上连续，且是奇函数，()aaf x dx -=⎰（二）、方法点拨：1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。