定积分的概念(教案)
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1.5.3.定积分的概念
一、复习回顾:
1. 回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤:
2.上述两个问题的共性是什么?
二、新知探究
1.定积分的概念
注:
说明:(1)定积分()b
a f x dx ⎰是一个 ,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时)记为
()b
a f x dx ⎰,而不是n S .
(2)用定义求定积分的一般方法是:
(3)曲边图形面积:
变速运动路程:
变力做功:
例1:利用定积分的定义,计算
dx x ⎰102 、 dx x ⎰1
03 的值.
2.定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
⎰b a dx x kf )(= ; 性质2 dx x g x f b a
⎰±)]()([= 性质3 ⎰⎰=c
a b a dx x f dx x f )()(
+ 3.定积分的几何意义
从几何上看,如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥,
那么定积分()b
a f x dx ⎰表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分
()b a f x dx ⎰的 几何意义。
思考:
(1)在[,]a b 上0)(≥x f ,()b a f x dx ⎰= (2)在[,]a b 上0)(≤x f ,()b
a f x dx ⎰=
(3)在[,]a b 上)(x f 变号,()b
a f x dx ⎰=
⑤
练习:
1、利用定积分的几何意义,判断下列定积分值的正、负号。
(1)
dx x ⎰20sin π
(2)dx x ⎰-212 (3)dx x ⎰-1
23
2、利用定积分的几何意义,说明下列各式成立
(1)
0sin 22=⎰-dx x π
π , 0sin 20=⎰dx x π (2)dx x dx x ⎰⎰=200sin 2sin π
π
3、计算下列定积分
(1)dx b a ⎰1 (2)11x dx -⎰. (3) 5
0(24)x dx -⎰
(4)
dx x ⎰-1021 (5)120(2)x x dx -⎰
三、课堂小结:
①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义