三角形的三线及面积(讲义(有答案))

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2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．证明：由AD =12(AB +AC )，⇒AD 2=14(AB +AC )2=14AB 2+14AC 2+12AB ACcos A ，∴4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．(二)角平分线角平分线定理：如图，在ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，则AB AC =BDCD．证法1在ΔABD 中，AB sin ∠ADB =BDsin ∠BAD ，在ΔACD 中，AC sin ∠ADC =CD sin ∠CAD，∴AB AC =BDCD ．证法2该结论可以由两三角形面积之比得证，即S ΔABD S ΔACD =AB AC =BDCD ．(三)高高的性质：h 1，h 2，h 3分别为ΔABC 边a ，b ，c 上的高，则h 1:h 2:h 3=1a :1b :1c =1sin A :1sin B :1sin C求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．(四)外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．外接圆半径的计算：R =a 2sin A =b 2sin B =c2sin C．外接圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =abc4R=(R 为△ABC 外接圆半径)． (五)内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．内切圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =12(a +b +c )·r (r 为△ABC 内切圆半径)，并可由此计算r ．二、【题型突破】(一)三线1.△ABC 中，AC =7，BC =2，B =60°，则BC 边上的高等于()A ．32B ．332C ．3+62D ．3+3942.在△ABC 中，若AB =4，AC =7，BC 边的中线AD =72，则BC =．μθημαz ︱e iπ+1=0微信公众号：数学史话3.在△ABC 中，B =120°，AB =2，A 的角平分线AD =3，则AC =．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C =125，a =b =13，BC 边上的中点为D ，则sin ∠BAC =，AD =．5.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，BC 边上的中线长为22，高线长为3，且b tan A =(2c -b )tan B ，则bc 的值为．6.已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为．7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为S ，且a =1，4S =b 2+c 2-1，则△ABC 外接圆的面积为()A ．4πB ．2πC ．πD ．π28.设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为r 与R ，且sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4，则cos C =；当BC=1时，△ABC 的面积为．9.在△ABC 中，D 为边AC 上一点，AB =AC =6，AD =4，若△ABC 的外心恰在线段BD 上，则BC =．10.已知△ABC 的外接圆半径为R ，且满足2R (sin 2A -sin 2C )=(2a -b )·sin B ，则△ABC 面积的最大值为．(二)计算三角形的面积三角形面积问题的题型及解题策略三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．1.在△ABC 中，A =60°，AC =4，BC =23，则△ABC 的面积等于．2.△ABC 的内角内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若b =6，a =2c ，B =π3，则△BDC 的面积是．3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b sin C +c sin B =4a sin B sin C ，b 2+c 2-a 2=8，则△ABC 的面积为．4.(4)(2017·浙江)已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连接CD ，则△BDC 的面积是，cos ∠BDC =．5.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则△ABC 的面积S =．6.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C =3a cos B -c cos B ，BA ·BC=2，则△ABC 的面积为．7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin (B +A )+sin (B -A )=2sin2A ，且c =6，C =π3，则△ABC 的面积是()A ．3B ．33C ．3或1D ．3或338.已知四边形ABCD 中，AB =2，BC =CD =4，DA =6，且D =60°，试求四边形ABCD 的面积．μθημαz ︱e iπ+1=0微信公众号：数学史话ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZZZZZZZZZZZ ZZ ZZ 三角形的三线两圆及面积问题一、必备知识总结(一)中线中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．即：如图，在ΔABC 中，D 为BC 中点，则AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．证明：在ΔABD 中，cos B =AB 2+BD 2-AD 22AB ⋅BD，在ΔABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC ．∴AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．另外：已知两边及其夹角也可表述为：4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．证明：由AD =12(AB +AC )，⇒AD 2=14(AB +AC )2=14AB 2+14AC 2+12AB ACcos A ，∴4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．(二)角平分线角平分线定理：如图，在ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，则AB AC =BDCD．证法1在ΔABD 中，AB sin ∠ADB =BDsin ∠BAD ，在ΔACD 中，AC sin ∠ADC =CD sin ∠CAD，∴AB AC =BDCD ．证法2该结论可以由两三角形面积之比得证，即S ΔABD S ΔACD =AB AC =BDCD ．(三)高高的性质：h 1，h 2，h 3分别为ΔABC 边a ，b ，c 上的高，则h 1:h 2:h 3=1a :1b :1c =1sin A :1sin B :1sin C求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．(四)外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．外接圆半径的计算：R =a 2sin A =b 2sin B =c2sin C．外接圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =abc4R=(R 为△ABC 外接圆半径)． (五)内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．内切圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =12(a +b +c )·r (r 为△ABC 内切圆半径)，并可由此计算r ．二、【题型突破】1.已知在△ABC 中，c =2b cos B ，C =2π3．(1)求B 的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长度．①c =2b ；②周长为4+23；③面积为S △ABC =334．2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b 2=(b 2+c 2-a 2)(1-tan A )．数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯(1)求角C ；(2)若c =210，D 为BC 的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度．条件①：△ABC 的面积S =4且B >A ，条件②：cos B =255．3.已知函数f (x )=sin 2x -cos 2x +23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )=2，c =5，cos B =17，求△ABC 中线AD 的长．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2-a 2=bc ．(1)求角A 的大小；(2)若a =3，求BC 边上的中线AM 的最大值．5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2-a 2=bc ．(1)求角A 的大小；(2)若a =3，求BC 边上的中线AM 的最大值．6.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C +3a sin C -b -c =0．(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B =17，AD =1292，求△ABC 的面积．7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2-(b -c )2=(2-3)bc ，sin A sin B =cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7．(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C +a sin A =b sin B +c sin C ．(1)求A ；(2)设D 是线段BC 的中点，若c =2，AD =13，求a ．9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m =(a +b ，sin A -sin C )，向量n =(c ，sin A -sin B )，且m ∥n ．(1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD =3，求a +2c 的最大值及此时△ABC 的面积．10.(2015·全国Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C；(2)若AD =1，DC =22，求BD 和AC 的长．11.如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知BC =1，且cos ∠BCD =-35．(1)若AC 平分∠BCD ，且AB =2，求AC 的长；μθημαz ︱e iπ+1=0(2)若∠CBD =45°，求CD 的长．12.已知f (x )=12sin x +π6 cos x -3，x ∈0，π4．(1)求f (x )的最大值、最小值；(2)CD 为△ABC 的内角平分线，已知AC =f (x )max ，BC =f (x )min ，CD =22，求C ．13.已知函数f (x )=3sin (2018π-x )sin 3π2+x -cos 2x +1．(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )=32，AD =2BD =2，求cos C ．14.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =-17．(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．15.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2=λab ．(1)若λ=6，B =5π6，求sin A ；(2)若λ=4，AB 边上的高为3c6，求C ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a +b )cos C +c cos B =0．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积S =83，其外接圆的半径R =4213，求△ABC 的周长．17.已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B -sin 2A )=(b -c )sin C ，c =3．(1)求A ；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD =192，求△ABC 的面积．18.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足：sin A -sin B +sin C sin C =sin Bsin A +sin B -sin C．(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．19.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列．(1)若1tan A +1tan C =233，求角B 的值；(2)若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．20.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m =(2a -c ，cos C )，n =(b ，cos B )，m ∥n ．(1)求角B 的大小；(2)若b =1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径．数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯。

三角形的三线（一）引言概述：三线是指三角形内的三条特殊线段，包括中线、角平分线和高线。

这三条线段在三角形的性质和关系研究中具有重要的地位和作用。

本文将就三角形的三线进行详细的阐述，包括各个线段的定义、性质和关系，以及它们在解题和证明中的应用。

正文内容：一、中线（Median）1. 中线的定义：中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

2. 中线的性质：a. 中线的长度：中线的长度等于对边的一半。

b. 中线的交点：三条中线相交于三角形的质心，质心是三条中线的交点。

c. 中线的划分：质心将每条中线分成两段，其中一段是另外两条中线的中线。

d. 中线的平行性：三角形的中线平行于对边。

二、角平分线（Angle Bisector）1. 角平分线的定义：角平分线是从一个三角形内角的顶点出发，将该角平分为两个相等的角的线段。

2. 角平分线的性质：a. 角平分线的交点：三个角平分线的交点称为三角形的内心，内心是内切圆的圆心。

b. 角平分线的相交性：三个角平分线相交于内心，且相交角度相等。

c. 角平分线的垂直性：内心到三边的距离相等，即内心到三边的垂直距离相等。

三、高线（Altitude）1. 高线的定义：高线是从一个三角形的顶点垂直于对边的线段。

2. 高线的性质：a. 高线的交点：三条高线的交点称为三角形的垂心。

b. 垂心与三边的关系：垂心到三边的距离相等，且垂心与对边之间的连线垂直。

四、三线的关系1. 三线的交点关系：三角形的三线的交点在一条直线上，这条直线称为欧拉线。

2. 三线的划分关系：三线将三角形划分成七个小三角形，这些小三角形的面积之比有一定规律。

五、三线在解题和证明中的应用1. 利用三线的性质：在解题中，可以利用三线的性质推导、证明与解答相关的问题。

2. 利用三线的关系：在证明中，可以利用三线的关系简化证明过程或推导出新的结论。

总结：三角形的三线，即中线、角平分线和高线，在三角形的研究中起着重要的作用。

三角形的三线及面积（综合测试二）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( )A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC，BE=ECD.DE是△ABC的中线答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的中线2.如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D，BE⊥AC交AC的延长线于E，过点C作CF⊥BC交AB于F，下列说法错误的是( )A.FC是△ABC中BC边上的高B.FC是△BCF中BC边上的高C.BE是△ABC中AC边上的高D.BE是△ABE中AE边上的高答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的高3.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，若△AOD和△DOC的面积分别为12和18，则下列说法错误的是( )A. B.AO：CO=2:3C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积4.如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为( )A.4B.3C.4.5D.3.5答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积5.如图，ABCD是一个直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为20cm2．连接BE交AD于点P，连接PC．则图中阴影部分的面积为( )A.5cm2B.10cm2C.15cm2D.20cm2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行线转移面积6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，BF=2CF，连接EF，若△BEF的面积是3cm2，则平行四边形ABCD的面积为( )A.24cm2B.15cm2C.20cm2D.18cm2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积7.如图，长方形的实验田ABCD，现将这块试验田分成了甲、乙、丙、丁四部分，若甲的面积是40，乙的面积是60，则丁的面积为( )A.60B.90C.110D.120答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积8.如图所示，一块钉板上水平方向和垂直方向相邻两钉的距离都是一个单位，用橡皮筋构成如图的一个四边形ABCD，那么这个四边形ABCD的面积为( )A. B.5C. D.9答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：割补法求面积9.如图，是一个5×5的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上，则△ABC的面积为( )A.3B.2C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：割补法求面积10.如图，是一个5×5的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上，则△ABC的面积为( )A. B.5C.4D.3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：割补法求面积。

三角形的三线及面积（二）引言:三角形是高中数学中的基本概念之一，它具有许多特性和性质。

在前一篇文档中，我们已经介绍了三角形的基本知识和一些重要概念。

在本文中，我们将继续探讨三角形的三线及其与面积的关系。

正文:一、三角形的三线1. 欧拉线：欧拉线是连接三角形的重心、外心和垂心的线段。

它具有许多重要的性质，如重心将欧拉线分成两等分部分，垂心到三角形三条边的距离之和等于三角形的周长等。

2. 高线：高线是从三角形的顶点到相对边上的垂线。

每个三角形都有三条高线，它们的交点称为三角形的垂心。

高线具有许多特性，如垂线互相垂直，垂心到三角形三个顶点的距离相等等。

3. 中线：中线是连接三角形两个顶点和中点的线段。

每个三角形都有三条中线，它们的交点称为三角形的重心。

中线具有许多特性，如重心将中线分成两等分部分，重心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形三个顶点到重心距离的三倍等。

4. 垂径：垂径是从三角形的顶点到相对边上的垂线的长度。

一般情况下，三角形的三个顶点到相对边上的垂径长度是不相等的。

5. 辅助线：辅助线是在三角形内部或外部引入的额外线段，用于研究三角形的性质。

常见的辅助线有角平分线、中垂线等。

二、三角形面积与三线的关系1. 欧拉线与面积关系：三角形的面积等于欧拉线长度乘以外接圆半径的两倍。

2. 高线与面积关系：三角形的面积等于高线长度乘以对应底边的长度的一半。

3. 中线与面积关系：三角形的面积等于中线长度乘以对应底边的长度的四分之一。

4. 垂径与面积关系：三角形的面积等于垂径长度乘以对应底边的长度的一半。

5. 辅助线与面积关系：通过引入合适的辅助线，可以简化计算三角形面积的过程。

常见的方法包括利用角平分线将三角形分成两个形状相同的小三角形，或者利用中垂线将三角形分成两个底边相等的梯形。

总结:在本文中，我们介绍了三角形的三线及其与三角形面积的关系。

这些性质和关系对于解决与三角形相关的问题非常有用。

通过深入理解三角形的性质，我们可以更好地应用它们来解决实际问题，从而提高数学问题解决的能力。

引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。

其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。

通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。

本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。

正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。

1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。

1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。

首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。

连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。

2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。

2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。

2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。

首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。

通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。

3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。

3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。

3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。

首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。

然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。

4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。

4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。

三角形的三线定义（二）引言概述：在三角形的几何学中，三线定义是指通过三角形的三顶点所引出的三条特殊线段或直线，它们分别是三角形的高线、中线和垂径。

这三条线在三角形的性质研究和应用中具有重要的地位，本文将对三角形的三线定义进行进一步阐述。

正文：一、高线1. 高线的基本概念：高线是指从三角形的顶点向所对边引出的垂直线段。

2. 高线与三角形的性质关系：高线相互垂直，且与所对边相交于垂足。

3. 高线的特点：高线可以相互延长交于一个点，称为垂心。

4. 高线的应用：高线在求三角形面积、解三角形问题中具有重要作用。

二、中线1. 中线的基本概念：中线是指连接三角形的任意两个顶点的线段的中点所构成的线段。

2. 中线的性质特点：中线相等，且与所对边平行。

3. 中线的特殊情况：三角形的三条中线交于一点，称为重心。

4. 中线的应用：中线的比例关系可用于解各种几何问题，如确定三角形的位置关系等。

三、垂径1. 垂径的基本概念：垂径是指从三角形的顶点向所对边引出的垂直线段或垂直于所对边的直线。

2. 垂径的性质特点：垂径与所对边垂直相交于垂足或延长到其外。

3. 垂径的特殊情况：当三角形的三条垂径相交于一点时，该点被称为垂心。

4. 垂径的应用：垂径的性质可用于解决与垂直关系有关的几何问题。

四、三线的关系1. 三线的交点：前文提到的垂心、重心实际上都是高线、中线和垂线的交点。

2. 三线的重要性：三线的交点是三角形的重要几何中心之一，其性质和位置关系对于三角形的证明和研究具有重要意义。

3. 三线与其他线段的关系：三线与三角形的边、角、对称轴等有密切的关系，通过研究这些关系能够深入理解三角形的构造和特性。

4. 三线的应用：三线的性质和关系可以应用于各种几何问题的解决，例如确定三角形的位置关系、寻找最优解等。

总结：三角形的三线定义包括高线、中线和垂径，它们分别由三角形的顶点所引出，具有重要的几何性质和应用。

高线与三角形的垂直关系密切，中线的比例关系可用于解决几何问题，垂径的性质与垂直关系有关。

三角形的三线及面积（平行转移面积）（北师版）（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，已知直线m∥n，A，B为直线n上的两点，C，P为直线m上的两点，那么图中与△ABC面积相等的三角形是( )A.△ACPB.△COPC.△ABPD.△CPB答案：C解题思路：因为m∥n，平行线间的距离处处相等，△ABC与△ABP是同底等高的两个三角形，面积相等，所以与△ABC面积相等的三角形是△ABP．故选C.试题难度：三颗星知识点：平行线转移面积2.如图，直线m∥n，A，B为直线n上两点，C，D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有( )A.4对B.3对C.2对D.1对答案：B解题思路：因为m∥n，平行线间的距离处处相等，所以△ABC与△ABD是同底等高的两个三角形，面积相等；△ACD与△BCD也是同底等高的两个三角形，面积也相等；这两个三角形的面积减去公共的△OCD的面积，可得△AOC与△BOD的面积也相等；因此，图中面积相等的三角形有3对．故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线转移面积3.如图，在正方形ABCD中，BC=3，∠ABE是正方形ABCD的外角，P是∠ABE的平分线BF 上任意一点，则下列说法错误的是( )A.BF∥ACB.C. D.答案：D解题思路：由∠ABE是正方形ABCD的外角，BF平分∠ABE，可得∠EBF=45°，因为AC是正方形ABCD的对角线，所以∠ACE=45°，则∠EBF=∠ACE，所以BF∥AC，A选项正确；因为BF∥AC，所以△ABC与△APC是同底等高的两个三角形，因此，B选项正确；因为，所以，C选项正确；由于和的面积大小关系不能确定，D选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：平行线转移面积4.如图，正方形ABCD与正方形CEFG并排放在一起，B，C，E在一条直线上，若BC=3，CE=6，则△AEG的面积为( )A.18B.9C.15D.21答案：A解题思路：观察图形，发现用公式法和割补法求面积都不太好求，因此考虑转化法，此处考虑利用平行转移面积，因此构造平行线．如图，连接AC，易证AC∥EG，则△AEG与△CEG是同底等高的两个三角形，因此．故选A．试题难度：三颗星知识点：平行线转移面积5.四边形ABCD与AEFG均为正方形，G，A，B在一条直线上，连接BF交AD于点H，若△DFH 的面积为8cm2，则△ABH的面积为( )A.4cm2B.6cm2C.8cm2D.10cm2答案：C解题思路：如图，连接AF和BD，易证AF∥BD，则△FBD与△ABD是同底等高的两个三角形，所以，因此，即，因为8cm2，所以8cm2．故选C．试题难度：三颗星知识点：平行线转移面积6.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为3和5，则△ACF的面积为( )A. B.8C. D.答案：A解题思路：如图，连接BF，易证AC∥BF，则△ACB与△ACF是同底等高的两个三角形，因此．故选A．试题难度：三颗星知识点：平行线转移面积7.如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的面积为4，则△ABE的面积为( )A.6B.8C.2D.4答案：D解题思路：由△ABC和△DCE都是等边三角形，可得∠BAC=∠DCE=60°，所以AB∥CE，则△ABE与△ABC是同底等高的两个三角形，因此．故选D．试题难度：三颗星知识点：平行线转移面积8.如图，是一个3×3的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上，可知△ABC的面积为1，请在小方格的顶点上确定一点P（点P不与点C重合），使得△ABP的面积与△ABC的面积相等，则满足条件的点P的个数为( )A.3个B.4个C.6个D.8个答案：A解题思路：要使△ABP的面积与△ABC的面积相等，可以把AB当作共同的底，则需要两个三角形的高相等，因此可以通过构造平行线找到满足题意的点P．如图，过点C作AB的平行线，满足题意的点有2个，记为，；在AB上方找一个满足题意的点P，过点P作AB的平行线，发现只有这1个满足题意的点，记为；则满足题意的点共有3个．故选A．试题难度：三颗星知识点：平行线转移面积9.如图，是一个5×5的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上，请在小方格的顶点上确定一点C，使得△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的点C的个数有( )A.3个B.4个C.5个D.6个答案：C解题思路：如图，在AB下方找一个满足题意的点C，过点C作AB的平行线，发现满足题意的点有2个，记为，；在AB上方找一个满足题意的点C，过点C作AB的平行线，发现满足题意的点有3个，记为，，；则满足题意的点共有5个．故选C．试题难度：三颗星知识点：平行线转移面积10.如图，是一个5×5的正方形网格，网格中每个小正方形的面积是1平方厘米，点A和点B在小正方形的顶点上，请在小方格的顶点上确定一点C，使得△ABC的面积为2平方厘米，则满足条件的点C的个数有( )A.6个B.5个C.4个D.3个答案：B解题思路：如图，在AB上方找一个满足题意的点C，过点C作AB的平行线，发现满足题意的点有2个，记为，；在AB下方找一个满足题意的点C，过点C作AB的平行线，发现满足题意的点有3个，记为，，；则满足题意的点共有5个．故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线转移面积。

三角形的三线在数学的世界里，三角形是一个基础且重要的图形。

而三角形的三线，即三角形的高线、中线和角平分线，更是深入理解三角形性质和解决相关问题的关键。

让我们先来聊聊三角形的高线。

高线，简单来说，就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高线。

每个三角形都有三条高线，并且这三条高线所在的直线会相交于一点。

锐角三角形的三条高线都在三角形的内部；直角三角形有两条高线就是它的两条直角边，另一条高线在三角形的内部；钝角三角形有两条高线在三角形的外部，一条在内部。

高线在计算三角形的面积时非常有用。

我们都知道三角形的面积等于底乘以高除以二，如果知道了三角形的底和对应的高，就能轻松算出它的面积。

接下来是中线。

中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。

一个三角形有三条中线，这三条中线也相交于一点，并且这个交点位于三角形的内部。

中线的一个重要性质是，它把三角形分成了两个面积相等的部分。

为什么呢？因为中线平分了对边，所以以中线为底边的两个小三角形，高是相同的，底边也相等，面积自然就相等了。

在解决一些与三角形面积相关的问题或者证明一些线段关系时，中线的这个性质常常能发挥很大的作用。

最后要说的是角平分线。

角平分线就是三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

每个三角形同样有三条角平分线，它们也相交于一点，这个点也在三角形的内部。

角平分线的一个重要性质是，角平分线上的点到角两边的距离相等。

这个性质在很多几何证明和计算中都是很关键的依据。

为了更好地理解三角形的三线，我们不妨通过一些具体的例子来看看。

假设我们有一个等边三角形，它的边长是 6 厘米。

由于等边三角形的三条边相等，三个角也相等，都是 60 度。

那么它的三条高线、中线和角平分线是重合的。

我们先求它的面积。

根据等边三角形的面积公式，面积等于根号 3 乘以边长的平方除以 4，计算可得面积约为 9 倍根号3 平方厘米。

三角形讲义（一）知识讲解三角形：由不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫三角形。

三角形的三要素：⎪⎩⎪⎨⎧在三角形内部的角内角：相邻两边组成的端点顶点：相邻两边的公共线段边：组成三角形的三条三角形的表示方法：如果三角形的三个顶点为A 、B 、C ，三角形可表示为ABC ∆三角形三边的表示法：三角形的三边都是线段，可用表示线段的办法表示边。

用表示端点的两个大写字母或一个小写字母表示。

三角形的周长：用代数式表示为c b a C ++=。

三角形的面积：用代数式表示为Cab ah S ∠==sin 2121 三角形的稳定性：如果三角形的三边固定，那么三角形的形状和大小就固定了。

三角形的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜角三角形直角三角形按角分类等边三角形腰、底不相等等腰三角形不等边三角形按边分类三角形 三角形的三线和五心三线⎪⎩⎪⎨⎧高线中线角平分线角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段。

定理：三角形的三条角平分线交于一点。

已知：AD,BD 分别平分ABC ∆的内角B A ∠∠,，求证：CD 平分C ∠证明：过点D 作AC DF BC DE ⊥⊥,,AB DG ⊥CCD DFDE DEDG BCDE AB DG B DFDG ACDF AB DG A ∠∴=∴=∴⊥⊥∠=∴⊥⊥∠平分平分平分,,BD ,,AD注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段。

定理：三角形的三条中线交于一点。

已知：AF,BD 分别是ABC ∆的中线，CE 过AF,BD 的交点，求证：CE 是ABC ∆的中线。

证明：连接DF,与CE 交于点G 。

,,11//,,221212D E AC BC DF DH DF AB DG AE AB DB DG DH EB DB DG EB AE EB CE ABC ∴===∴==∴=∴=∴∆分别是的中点是的中线三角形的高线：从三角形的顶点向对边做垂涎，顶点与垂足之间的线段。

三角形的三线（中线、角平分线、高线）（北师版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( )A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC，BE=ECD.DE是△ABC的中线答案：D解题思路：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．D选项中，DE不是连接△ABC的顶点与它对边中点的线段，因此D选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的中线2.如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为( )A.4B.3C.4.5D.3.5答案：A解题思路：如图，∵△ABO和△BOM的面积分别为4和2∴S△ABM =6∵AM，BN是△ABC的两条中线∴S△ABM=S△BCN=S△ABC∴S△BCN=6∴S四边形MCNO=S△BCN-S△BOM =4故选A．试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠BDC=75°，则∠A的度数为( )A.25°B.30°C.40°D.20°答案：C解题思路：如图，题中有角平分线，因此可以考虑设元，设∠ABD=α，则∠C=∠ABC=2α．在△BCD中，由三角形内角和定理可知α+2α+75°=180°，解得α=35°，因此∠C=∠ABC=70°，所以∠A=180°-70°-70°=40°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，设∠DCB=α，∠DBC=β，若∠A=40°，则下列说法错误的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，在△BCD中，∠DCB=α，∠DBC=β，则∠D=180°-α-β，因此A选项正确；因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，则∠ABC=2β，∠ACB=2α，则∠A=180°-2α-2β，因此B选项正确；由∠D=180°-α-β可得α+β=180°-∠D，由∠A=180°-2α-2β，可得α+β=90°-∠A，因此180°-∠D=90°-∠A，整理得∠D=90°+∠A，因此C选项正确；把∠A=40°代入∠D=90°+∠A，得∠D=110°，因此D选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理5.如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC 的度数为( )A.30°B.35°C.37.5°D.40°答案：A解题思路：如图，由AD与CE交于点M，得∠ADC+α=∠AEC+β，变形得2∠ADC+2α=2∠AEC+2β，由AD与BC交于点G，得∠ADC+2α=∠ABC+2β，将上述两式消去α和β，可得∠ABC=2∠AEC-∠ADC因为∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理6.下列说法正确的是( )A.三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外B.三角形三条高都在三角形内C.三角形的三条高交于一点D.三角形三条中线相交于一点答案：D解题思路：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，A选项错误；锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形两条高在直角边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部，B选项错误；三角形的三条高所在的直线交于一点，C选项错误；D选项正确，故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的中线7.如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D，BE⊥AC交AC的延长线于E，过点C作CF⊥BC交AB于F，下列说法错误的是( )A.FC是△ABC中BC边上的高B.FC是△BCF中BC边上的高C.BE是△ABC中AC边上的高D.BE是△ABE中AE边上的高答案：A解题思路：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．在△ABC中，过点A向它的对边BC所在直线作垂线，得到高为AD，A选项错误；在△BCF中，过点F向它的对边BC所在直线作垂线，得到高为CF，B选项正确；在△ABC中，过点B向它的对边AC所在直线作垂线，得到高为BE，C选项正确；在△ABE中，过点B向它的对边AE所在直线作垂线，得到高为BE，D选项正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形的高8.如图，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C，AC与BD交于点E，若AE=5，DE=3，CD=，则AB=( )A.6B.C.3D.答案：C解题思路：如图，因为AB⊥BD，AC⊥CD，所以AB是△ADE的边DE上的高，CD是△ADE的边AE上的高，，把AE=5，DE=3，CD=代入，得到AB=3．故选C．试题难度：三颗星知识点：等积公式9.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点D在BC边上，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若DE=5cm，△ABC的面积为122cm2，则DF的长为( )A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm答案：D解题思路：如图，连接AD，则△ABC被分成△ABD和△ACD两部分，cm故选D．试题难度：三颗星知识点：等积公式10.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=6，BC=10，则AC：AD=( )A.5：4B.4：5C.5：3D.3：5答案：C解题思路：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，所以AB可以看作是AC边上的高，因为AD⊥BC，所以AD可以看作是BC边上的高，所以，把AB=6，BC=10代入，得到AC:AD=5:3．故选C．试题难度：三颗星知识点：等积公式。