(完整版)全等三角形题型总结材料

专题03全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

如图1，ABC 中，若86AB AC ==，，求BC 边上的中线小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA（2）如图2，AD 长的取值范围是．（2）根据全等三角形的性质得到6AC BE ==，由三角形三边关系得到AB BE AE AB BE -<<+，即可求出17AD <<；（3）延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，证明ADC MDB △△≌，得到BM AC CAD M =∠=∠，，由AE EF =得到CAD AFE ∠=∠，进而推出BF BM =，即可证明AC BF =．【详解】解：（1）如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．∵AD 为BC 的中线，∴BD CD =，又∵AD DE ADC BDE =∠=∠，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，故答案为：B ；（2）解：∵ADC EDB ≌△△，∴6AC BE ==，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，∴86286AD -<<+，∴17AD <<，故答案为：C ；（3）证明：延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，∵AD 是ABC 中线，∴CD BD =，∵在ADC △和MDB △中，DC DB ADC MDB AD HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC MDB ≌△△，∴BM AC CAD M =∠=∠，，∵AE EF =，(1)如图1，求证：12BF AD =；(2)将DCE △绕C 点旋转到如图2所示的位置，连接,AE BD ，过C 点作CM ⊥①探究AE 和BD 的关系，并说明理由；②连接FC ，求证：F ，C ，M 三点共线．【答案】(1)见解析(2)①,AE BD AE BD =⊥，理由见解析②见解析【分析】（1）证明≌ACD BCE V V ，得到AD BE =，再根据点F 为BE 中点，即可得证；则：AGB CBD BHG ∠=∠+∠=∠∵CBD EAC ∠=∠，∴90BHG ACB ∠=∠=︒，∴AE BD ⊥，综上：,AE BD AE BD =⊥；②延长CF 至点P ，使PF CF =∵F 为BE 中点，∴BF FE =，∴()SAS BFP EFC ≌，∴,BP CE BPF ECF =∠=∠，∴CE BP ，∴180CBP BCE ∠+∠=︒，∵360180BCE ACD ACB DCE ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∴CBP ACD ∠=∠，又,CE CD BP AC BC ===，∴()SAS PBC DCA ≌，∴BCP CAD ∠=∠，延长FC 交AD 于点N ，则：18090BCP ACN ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴90CAD ACN ∠+∠=︒，∴90ANC ∠=︒，∴CN AD ⊥，∵CM AD ⊥，∴点,M N 重合，即：F ，C ，M 三点共线．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练1】如图，ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：2AB AE =．【答案】见解析【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，∵E 是DC 中点，∴DE CE =，∴在DEF 和CEA 中，DE CE DEF CEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEF CEA △≌△（SAS ），∴DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，∵DC AC =，∴ADC CAD ∠=∠，又∵ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，∴ADF ADB ∠=∠，在ADB 和ADF △中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB ADF △≌△（SAS ），∴2AB AF AE ==．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH ，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．【答案】（1）1.5 6.5AE <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +＝，理由见解析【分析】（1）如图①：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △可得BDE ≅ 得出5BE AC ==，然后根据三角形的三边关系求出AE 的取值范围，进而求得AD 范围；（2）如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB 可得BND CFD ≅ ，得出BN∴1.5 6.5AD ＜＜；故答案为1.5 6.5AD ＜＜；（2）证明：如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB∴BND CFD ≅ （SAS ），∴BN CF =，DN DF=∵DE DF⊥∴EN EF =，在BNE 中，由三角形的三边关系得：BE BN EN +＞，∴BE CF EF +＞；（3）BE DF EF +＝，理由如下：如图③，将DCF 绕着点C 按逆时针方向旋转100︒∴△DCF ≌△BCH ，∴100CH CF DCB FCH ∠∠=︒＝，＝∴HBC D DF BH∠∠=＝，∵180ABC D ∠+∠︒＝∴180HBC ABC ∠+∠︒＝，∴点A 、B 、H 三点共线∵100FCH ∠=︒，50FCE ∠=︒，∴50ECH ∠=︒∴FCE ECH ∠∠＝，在HCE 和FCE △中，===CF CH ECF ECH CE CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴HCE FCE ≌ （SAS ）∴EH EF ＝，∵BE BH EH DF BH+=＝，∴BE DF EF +＝．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）(1)求证：CD BC DE=+；(2)若75B∠=︒，求E∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒【分析】（1）在CD上截取CF∵CA平分BCD∠，∴BCA FCA∠=∠．在BCAV和FCA△中，⎧⎪∠⎨⎪⎩，∠=︒BAC60【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

第十二章全等三角形第一讲全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．≅表示，读作“全等于”．．．．．．．．．．全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如∆和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF ABC∆DEF∆。

ABC∆≅把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例1.已知：如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠EAC=300，则∠DAB的大小为例2.如图，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A’BC’的位置时，AA’∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC’为________度.例3.如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4课堂练习：∆的是( )1.根据下列条件，能画出唯一ABCA. AB=3,BC=4,CA=8B.AB=4,BC=3,∠A=300C. ∠C=600,∠B=450,AB=4D.∠C=900,AB=62.如图∠1＝∠2=200，AD=AB，∠D=∠B，E在线段BC上，则∠AEC=（）A.200B.700C.500D.8003.已知:如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,BC∥EF.则不正确的等式是（）A.AC=DFB.AD=BEC.DF=EFD.BC=EF4.如图，△BCD≌△CBE，BC＝6，CE＝5，BE＝4，则CD的长是（）A．4 B．5 C．6 D．无法确定5.已知图中的两个三角形全等，则∠ 度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°6.如图，将Rt△ABC(其中∠B＝340，∠C＝900）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A.560B.680C.1240D.18007.如图，△ABE≌△ACD，∠B＝50°，∠AEB＝60°，则∠DAC的度数等于（）A．120° B．70° C．60° D．50°8.若两个三角形的面积相等 , 则这两个三角形________全等．9.如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_______．10.如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边:______,对应角:_________．11.如图，△ABO≌△CDO，OA=2，AB=4，BO=3，则DC= ，OC= ，OD= .12.如图，△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B=320，∠A=680，AB=13cm，则∠F=______度，DE=______cm．13.已知△ABC≌△DEF,∠A=52°,∠B=67°BC=15cm则∠F=_____,FE=_____cm.14.如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P/AC，则∠PAP/的度数为________．15.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则∠CBD的大小为_________16.如图所示，，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，，，，则的度数为17.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n 个大三角形中白色三角形有 个 ．18.如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转350，得到△A /B /C, A /B /交AC 乎点D ，已知∠A /DC=90°，求∠A 的度数.19.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设AED ∠的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．20.如图所示，已知△ABC ≌△FED ，且BC ＝ED ，那么AB 与EF 平行吗？为什么？ABC ADE △≌△105ACB AED ∠=∠=15CAD ∠=30B D ∠=∠=1∠课后练习：1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ）A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．②③④2.下列说法错误的有（ ）①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；③两个正方形一定是全等图形；④边数相同的图形一定能互相重合．A.4个B.3个C.2个D.1个3.已知△ABC 与△DEF 全等，∠A=∠D=90°，∠B=37°，则∠E 的度数是（ ）A.37°B.53°C.37°或63°D.37°或53°4.如果D 是中BC 边上一点，并且，则是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形5.对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个图形全等的结论共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转800到△OCD 的位置，已知∠AOB=450，则∠AOD （ ）A.550B.450C.400D.3507.如图，△ABE ≌△ACD,AB=AC,BE=CD, ∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC 的度数等于（ ）A.120°B.70°C.60°D.50°8.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°9.如图所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在点C ´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ） A. △ADC B. △BDC ´ C. △ADC ´ D. 不存在6.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=25°，则∠CAE=ABC △ADB ADC △≌△ABC△7.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______．8.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______．9.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________．10.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是____．11.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.12.如图所示，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=8，BD=7，AD=6，则BE的长是___13.如图，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，则∠2=______度．14.如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB为15.如图，D,E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=480，则∠APD等于16.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=____17.如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形．能力提高：1.长为L 的一根绳,恰好可围成两个全等三角形,则其中一个三角形的最长边x 的取值范围为( ) A.64l l x ≤< B.84l l x ≤< C.64l l x << D.84l l x << 2.已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，△ABC 的三边为3、m 、n ，△A ′B ′C ′的三边为5、p 、q ，若△ABC 的各边都是整数，则m+n+p+q 的最大值为__________3.如图，△ABC ≌△ADE ，∠DAC=60°，∠BAE=100°，BC 、DE 相交于点F ，则∠DFB 的度数是4.下图是由全等的图形组成的，其中AB ＝3cm ，CD ＝2AB ，则AF ＝__________.AB C D E F5.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a 的度数为6.如图,矩形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,如果AD=7cm,DM=5cm, ∠DAM=39°,则AN= cm, NM= cm, ∠NAB= .7.如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°.（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上？（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C'在同一直线上？8.如图, 在ABCD中, 将△ABE沿BE翻折, 点A落在CD边上, 成为点F, 如果△DEF和△BCF的周长分别是8cm和22cm, 求FC的长度。

特别鸣谢资源原创者，本人仅仅便于自己的备课整理排版了一下。

第十一章全等三角形复习一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形.2、全等三角形有哪些性质(1)：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。

（3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS")边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)）2、(判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3）“有三个角对应相等"或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; （4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边"、“对顶角”第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4。

轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线1。

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线.2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数。

(完整版)全等三角形的判定常考典型例题及练习-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN全等三角形的判定一、知识点复习 ①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS ）图形分析：书写格式： 在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EFBC E B DEAB∴△ABC ≌△DEF （SAS ）②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA)图形分析：书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FC EF BC EB∴△ABC ≌△DEF(ASA)③“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS ）图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EFBC F C EB∴△ABC ≌△DEF(AAS)④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS ）图形分析：书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB∴△ABC ≌△DEF(AAS)⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL ）图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中 ⎩⎨⎧==DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （HL ）一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全等识别法吗比如说“SSA ”、“AAA ”能成为判定两个三角形全等的条件吗两个三角形中对应相等的元素 两个三角形是否全等反例 SSA⨯AAA⨯二、常考典型例题分析第一部分：基础巩固1.下列条件，不能使两个三角形全等的是（ ）A．两边一角对应相等 B．两角一边对应相等 C．直角边和一个锐角对应相等 D．三边对应相等2.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A.∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD3.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙4.如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE5.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD6.如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用得的三角形全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL第二部分：考点讲解考点1：利用“SAS ”判定两个三角形全等1.如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ，AE=BC ，且AE ∥BC ．求证：△AEF ≌△BCD ．2.如图，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ．求证：△ABD ≌△ACE ．考点2：利用“SAS ”的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题3.已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB ∥DE ，且AB=DE ，求证：FEC CBF ∠=∠考点3:利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题 4.有一座小山，现要在小山A 、B 的两端开一条隧道，施工队要知道A 、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，使CE=CB ，连接DE ，那么量出DE 的长，就是A 、B 的距离，你能说说其中的道理吗?考点4：利用“ASA”判定两个三角形全等5.如图，已知AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△AEC≌△ADE．6.如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；考点6：利用“ASA”与全等三角形的性质解决问题:7.如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC考点7：利用“SSS”证明两个三角形全等8.如图，A、D、B、E四点顺次在同一条直线上，AC=DF，BC=EF，AD=BE，求证：△ABC≌△EDF．考点8：利用全等三角形证明线段（或角）相等9.如图，AE=DF，AC=DB，CE=BF．求证：∠A=∠D．考点9：利用“AAS”证明两个三角形全等10.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，求证：△ABD≌△ACE.考点10：利用“AAS”与全等三角形的性质求证边相等11.（2017秋?娄星区期末）已知：如图所示，△ABC中，∠ABC=45°，高AE与高BD交于点M，BE=4，EM=3．（1）求证：BM=AC；（2）求△ABC的面积．考点11：利用“HL”证明两三角形全等12.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF。

全等三角形相关模型总结一、角均分线模型(一）角均分线的性质模型辅助线：过点G 作 GE⊥射线 ACA、例题1、如图，在△ ABC中，∠ C=90°， AD 均分∠ CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，求证： AP 均分∠ BAC.B、模型牢固1、如图，在四边形ABCD中， BC＞ AB，AD＝ CD，BD 均分∠ ABC，求证：∠ A＋∠ C＝ 180° .（二）角均分线＋垂线，等腰三角形必表现A、例题辅助线：延长ED 交射线 OB 于 F辅助线：过点 E 作 EF∥射线 OB例 1、如图，在△ABC中，∠ ABC＝ 3∠ C， AD 是∠ BAC的均分线， BE⊥ AD 于 F .1求证： BE( AC AB) .例 2、如图，在△ ABC中，∠ BAC的角均分线 AD 交 BC 于点 D，且 AB＝ AD，作 CM⊥ AD 交1AD 的延长线于M. 求证：AM( AB AC) .2（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON 上取点 B，使 OB＝ OA，从而使△ OAC≌△ OBC .A、例题1、如图，在△ ABC 中，∠ BAC=60°，∠ C=40°， AP 均分∠ BAC交 BC 于 P， BQ 均分∠ ABC 交AC 于 Q，求证： AB＋ BP＝ BQ＋ AQ .2、如图，在△ ABC 中， AD 是∠ BAC的外角均分线， P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较PB＋ PC与 AB＋ AC的大小，并说明原由 .B、模型牢固1、在△ ABC中， AB＞ AC， AD 是∠ BAC的均分线， P 是线段 AD 上任意一点（不与 A 重合） . 求证： AB－AC＞ PB－ PC .2、如图，△ ABC中， AB＝ AC，∠ A＝ 100°，∠ B 的均分线交 AC 于 D，求证： AD＋BD＝BC .3、如图，△ ABC中， BC＝AC，∠ C＝ 90°，∠ A 的均分线交 BC 于 D，求证： AC＋ CD＝ AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角极点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ ABD 逆时针旋转 90°，得△ ACM ≌ △ ABD，从而推出△ ADM 为等腰直角三角形 .（2）辅助线作法：过点 C 作 MC⊥ BC，使 CM＝ BD，连接 AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上转动的旋转全等：操作过程：连接AD.（1）使 BF＝AE（或 AF＝ CE），导出△ BDF ≌ △ADE.（2）使∠ EDF＋∠ BAC＝ 180°，导出△ BDF ≌ △ ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ ABC中，∠BAC＝ 90°，点 M 、N 在斜边 BC上滑动，且∠ MAN ＝45°，试试究 BM、 MN 、 CN 之间的数量关系 .2、两个全等的含有 30°， 60°角的直角三角板 ADE 和 ABC，按以以下图放置， E、A、 C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M ，连接 ME、 MC.试判断△ EMC 的形状，并证明你的结论.B、模型牢固1、已知，以以下图，Rt△ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝90°， O 为 BC中点，若 M 、N 分别在线段 AC、 AB 上搬动，且在搬动中保持AN＝ CM.（1）试判断△ OMN 的形状，并证明你的结论.（2）当 M、 N 分别在线段AC、 AB 上搬动时，四边形AMON 的面积如何变化？2、在正方形ABCD中， BE＝ 3，EF＝ 5， DF＝4，求∠ BAE＋∠ DCF为多少度 .（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，以以下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC 中， AC＝ BC，∠ ACB＝ 90°， P 为三角形ABC内部一点，满足 PB＝ PC， AP＝ AC，求证：∠ BCP＝ 15° .三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：以以下图，在△ ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 90°， D 为 AC 中点， AF⊥ BD 于点 E，交 BC 于 F，连接 DF .求证：∠ ADB＝∠ CDF .变式 1、已知：以以下图，在△ABC中， AB＝ AC，AM ＝ CN， AF⊥ BM 于 E，交 BC 于 F，连接NF .求证：（ 1）∠ AMB＝∠ CNF；（2） BM＝ AF＋ FN .变式 2、在变式 1 的基础上，其他条件不变，可是将BM 和 FN 分别延长交于点P，求证：（ 1） PM＝ PN；（ 2） PB＝ PF＋ AF .四、手拉手模型1、△ ABE和△ ACF均为等边三角形结论：（ 1）△ ABF≌△ AEC .（2）∠ BOE＝∠ BAE＝60° .（3） OA 均分∠ EOF .（四点共圆证）拓展：△ ABC和△ CDE均为等边三角形结论：（ 1） AD＝ BE；（2）∠ ACB＝∠ AOB；（3）△ PCQ为等边三角形；（4） PQ∥ AE；（5） AP＝BQ；（6） CO均分∠ AOE；（四点共圆证）（7） OA＝ OB＋OC；（8） OE＝OC＋ OD .（（7），（ 8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点 M为锐角三角形 ABC内任意一点，连接 AM、BM、 CM．以 AB为一边向外作等边三角形△ ABE，将 BM绕点 B 逆时针旋转 60°获取 BN，连接 EN．（1）求证：△ AMB≌△ ENB；（2）若 AM+BM+CM的值最小，则称点 M为△ ABC的费尔马点．若点 M为△ ABC的费尔马点，试求此时∠ AMB、∠ BMC、∠ CMA的度数；（3）小翔受以上启示，获取一个作锐角三角形费尔马点的简略方法：如图②，分别以△ABC 的 AB、 AC 为一边向外作等边△ABE和等边△ ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ ABD 和△ ACE均为等腰直角三角形结论：（ 1） BE＝ CD；（2） BE⊥ CD .3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形结论：（ 1） BD＝ CF；（ 2）BD⊥ CF .变式 1、四边形 ABEF和四边形 ACHD均为正方形， AS⊥ BC 交 FD 于 T，求证：（ 1） T 为 FD 中点；（ 2）SV ABC SV ADF .变式 2、四边形 ABEF和四边形 ACHD均为正方形， T 为 FD 中点， TA 交 BC于 S，求证： AS⊥ BC .360 4、如图，以△ ABC的边 AB、 AC为边构造正多边形时，总有：1 2 180n五、半角模型条件： 1 , 且 + =180 ，两边相等.2思路： 1、旋转辅助线：①延长CD到 E，使 ED=BM，连 AE 或延长 CB到 F，使 FB=DN，连 AF②将△ ADN绕点 A 顺时针旋转 90°得△ ABF，注意：旋转需证F、 B、 M三点共线结论：（ 1） MN ＝ BM＋ DN；（2）CV CMN=2 AB；（3） AM、 AN 分别均分∠ BMN 、∠ MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP⊥ MN 交 MN 于点 P②将△ ADN、△ ABM分别沿 AN、 AM翻折，但必然要证明M、P、 N 三点共线 .A、例题例1、在正方形 ABCD中，若 M、 N 分别在边 BC、 CD 上搬动，且满足 MN ＝ BM＋DN，求证：（ 1）∠ MAN ＝ 45°；（2）CV CMN=2 AB；（3） AM、 AN 分别均分∠ BMN 和∠ DNM .变式：在正方形 ABCD中，已知∠ MAN ＝45°，若 M 、N 分别在边 CB、DC 的延长线上搬动，AH⊥MN ，垂足为 H，（1）试试究线段 MN 、BM、 DN 之间的数量关系；（2）求证： AB＝ AH例 2、在四边形 ABCD 中，∠ B ＋∠ D ＝ 180°， AB ＝ AD ，若 E 、 F 分别为边 BC 、 CD 上的点，且满足 EF ＝BE ＋ DF ，求证： EAF 1BAD .2变式：在四边形 ABCD 中，∠ B ＝ 90°，∠ D ＝ 90°， AB ＝ AD ，若 E 、 F 分别为边 BC 、CD 上的点，且 EAF1 BAD ，求证： EF ＝ BE ＋DF .2。

三角形全等的判定（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“边边边”全等三角形判定——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“边角边”1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、垂直平分线：1.定义：垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等四、全等三角形判定——“角边角”全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .五、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.六、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.【考点剖析】题型一、全等三角形的判定——“边边边”例1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 用全等三角形的性质和判定.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）【变式2】、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.题型二、全等三角形的判定——“边角边”例2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD例3、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝．∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．例4、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【思路点拨】在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ，则△ABD ≌△AED ，所以AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可．【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，BD DE ADB=ADE AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠∠＝∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ．∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB ＝CD －BD ，把CD －BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿AD 翻折，使线段BD 运动到DC 上，从而构造出CD －BD ，并且也把∠B 转化为∠AEB ，从而拉近了与∠C 的关系.【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ）， 求证：∠B ＋∠D ＝180°. AE D CB【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型三、全等三角形的判定——“角边角”例5、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】（2022•长安区一模）已知：点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE ＝CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF BC=EF∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）．5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．例6、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN题型四、全等三角形的判定——“角角边”例7.（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠ACD ，∠CED +∠B ＝180°．求证：△ADE ≌△CAB ．【分析】由等角对等边可得AC＝AD，再由平行线的性质可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．例8、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 题型五：线段的垂直平分线 例9．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，在ABC 中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BCE 的周长为（ ）A ．13B ．18C ．10.5D ．21【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，再将BCE 的周长转化为AC BC +的长，即可求解.【详解】解：DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∴BCE 的周长为BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+，8AC =，5BC =，∴BCE 的周长为8513AC BC +=+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式1】（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，点D 是ABC 边AC 的中点，过点D 作AC 的垂线交BC 于点E ，已知6AC =，ABC 的周长为14，则ABE 的周长是（ ）A ．6B ．14C ．8D ．20【答案】C 【分析】由题意可知：ED 垂直平分AC ,故EA EC =，结合6AC =，ABC 的周长为14，即可得出答案．【详解】解：∵点D 是ABC 边AC 的中点， ED AC ⊥,∴ED 垂直平分AC ,∴EA EC =，∵6AC =，ABC 的周长为14，∴1468AB BC +=−=,∴8AB BC AB BE EC AB BE AE +=++=++=,∴ABE 的周长是8．故选：C ．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA，OB，OC，∵MN，PQ是AC，BC两边垂直平分线，==，∴OA OB OC∴点O是到三个小区的距离相等的点，即点O是AC，BC两边垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．八年级专题练习）如图，在ABC中，是ABC外的一点，且【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明A、D都在BC的垂直平分线上，由此即可证明结论．AB AC，【详解】证明：∵=∴点A在BC的垂直平分线上，BD CD，∵=∴点D在BC的垂直平分线上，∴A、D都在BC的垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知线段垂直平分线的判定条件是解题的关键．【变式】．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．【详解】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．题型六：角平分线【答案】A【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．故本题选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键． 的中点，ABC ，则BED 的面积为（ 【答案】C【分析】作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点M ，根据角平分线的性质求出DM ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点MAD 是ABC 的角平分线DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥，112122AC DF AB DM ∴⋅+⋅=，112122AC DM AB DM ⋅+⋅=∴即：3421DM DM +=得3DM =8AB =， E 是AB 的中点，142BE AB ∴== 1143622BEDS BE DM ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 例12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．(1)若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论；(2)线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】(1)AM 平分BAD ∠，证明见解析(2)DM AM ⊥，理由见解析【分析】（1）过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，证明ME MC MB ==即可得证．（2）利用两直线平行，同旁内角互补，证明1390∠+∠=．【详解】（1）AM 平分BAD ∠，理由为：证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，∵DM 平分ADC ∠，∴12∠=∠，∵ME AD ⊥，MC CD ⊥∴MC ME =（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵MC MB =，∴ME MB =，∵MB AB ⊥，ME AD ⊥，∴AM 平分BAD ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）DM AM ⊥，理由如下：∵90B C ∠=∠=，∴,DC CB AB CB ⊥⊥，∴DC AB ∥（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴180DAB CDA ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）又∵111,322CDA DAB ∠=∠∠=∠（角平分线定义） ∴2123180∠+∠=，∴1390∠+∠=，∴90AMD ∠=．即DM AM ⊥．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，平行线的性质，熟练掌握以上的知识是解题的关键． 【变式1】（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图 90B C ∠=∠=︒，E 为BC 上一点，AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠．(1)求AED ∠的度数；(2)求证：E 是BC 的中点．【答案】(1)90︒(2)见解析．【分析】（1）利用已知条件可以得到180BAD CDA ∠+∠=︒，想要求AED ∠的度数，只需要根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可得到结论．（2）过点E 做EF AD ⊥，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得结论．【详解】（1）解：∵90B C ∠=∠=︒，∴DC AB ∥，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∵AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠， ∴12EAD BAD ∠=∠，12EDA CDA ∠=∠， ∴1()902EAD EDA BAD CDA ∠+∠=∠+∠=︒，∴180()90AED EAD EDA ∠=︒−∠+∠=︒；（2）证明：过点E 作EF AD ⊥于点F ，∵AE 平分BAD ∠，90B Ð=°，EF AD ⊥，∴EF EB =．∵DE 平分CDA ∠，90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴EF EC =．∴EB EC =，即E 是BC 的中点．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线上的点到角两边距离相等的性质，熟记性质和定理并做出辅助线是解题的关键．【变式2】．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在ABC 外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中90DAB CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =．连接DC 、BE 交于F 点．(1)求证：DAC BAE ≌△△； (2)直线DC 、BE 是否互相垂直，试说明理由；(3)求证：AF 平分DFE ∠．【答案】(1)见解析(2)DC BE ⊥，理由见解析(3)见解析【分析】（1）由题意可得AD AB =，AC AE =，由90DAB CAE ∠=∠=︒，可得到DAC BAE ∠=∠，从而可证DAC BAE ≌△△；（2）由（1）可得ACD AEB ∠=∠，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；（3）作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．【详解】（1）证明：∵90DAB CAE ∠=∠=︒，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，又∵AD AB =，AC AE =，∴()SAS DAC BAE ≌△△；（2）解：DC BE ⊥，理由如下；∵DAC BAE ≌△△， ∴ACD AEB ∠=∠，∵90AEB AOE ∠+∠= ，AOE FOC ∠=∠，∴90FOC ACD ∠+∠=，∴90EFC ∠=，∴DC BE ⊥；（3）证明：作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，∵DAC BAE ≌△△， ∴DAC BAE S S ∆∆=，DC BE =， ∴1122DC AM BE AN ⋅=⋅，∴AM AN =，∴AF 平分DFE ∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键．【变式3】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）已知：OP 平分MON ∠，点A ，B 分别在边OM ，ON 上，且180OAP OBP ∠∠+=︒．(1)如图1，当90OAP ∠=︒时，求证：OA OB =；(2)如图2，当90OAP ∠<︒时，作PC OM ⊥于点C ．求证：①PA PB =；②请直接写出OA ，OB ，AC 之间的数量关系 ．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②2OA OB AC −=【分析】（1）证明()AAS OPA OPB ≌，即可得证；（2）①作PD ON ⊥于点D ，证明()AAS PAC PBD ≌，即可得证； ②证明()AAS OCP ODP ≌，得出OD =，根据AC BD =，即可得证．【详解】（1）证明：180OAP OBP ∠∠+=︒，且90OAP ∠=︒，90OAP OBP ∠∠∴==︒，OP 平分MON ∠，POA POB ∠∠∴=，OP OP =，()AAS OPA OPB ∴≌，OA OB ∴=；（2）证明：①如图2，作PD ON ⊥于点D ，PC OM ⊥于点C ，PC PD ∴=，90PCA PDB OCP ∠∠∠===︒，180OAP OBP ∠∠+=︒，180DBP OBP ∠∠+=︒，OAP DBP ∠∠∴=，在PAC 和PBD 中，CAP DBP PCA PDBPC PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS PAC PBD ∴≌， PA PB ∴=；②结论：2OA OB AC −=．理由：在OCP 和ODP 中，OCP ODP COP DOP OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OCP ODP ∴≌，OC OD ∴=，OA AC OB BD ∴−=+，AC BD =，2OA OB AC BD AC ∴−=+=．故答案为：2OA OB AC −=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，点D 是边AC 上一点，3DA =，若点D 到BC 的距离为3，则下列关于点D 的位置描述正确的是（ ）A ．点D 是AC 的中点B ．点D 是B ∠平分线与AC 的交点 C ．点D 是BC 垂直平分线与AC 的交点D ．点D 与点B 的距离为5【答案】B 【分析】作DE BC ⊥于E ，连接BD ，利用角平分线的判定定理可证明BD 是ABC ∠的角平分线，即可作答．【详解】解：如图所示：作DE BC ⊥于E ，连接BD ，∵3DA =，点D 到BC 的距离为3，∴=AD DE ，∵90A ∠=︒，∴DA BA ⊥，∵DE BC ⊥，∴BD 是ABC ∠的角平分线，即点D 是ABC ∠的角平分线与AC 的交点，故B 项正确；其余选项，利用现有条件均无法得出，故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明BD 是ABC ∠的角平分线，是解答本题的关键． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知BF DE =，AB ∥DC ，要使ABF CDE ≅△△，添加的条件可以是（ ）A．BE DF =B ．AF CE =C ．AB CD = D ．B D ∠=∠【答案】C 【分析】根据AB ∥DC ，可得B D ∠=∠，又BF DE =，所以添加AB CD =，根据SAS 可证ABF CDE ≅△△．【详解】解：应添加AB DC =，理由如下：AB ∥DC ，B D ∴∠=∠．在ABF △和CDE 中，AB CD B DBF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CDE ∴≅，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．（2023·浙江金华·统考二模）如图，ABC 和DEF 中，AB DE ∥，A D ∠=∠，点B ，E ，C ，F 共线，添加一个条件，不能判断ABC DEF ≌△△的是（ ）A ．AB DE =B ．ACB F ∠=∠C ．BE CF =D ．AC DF =【答案】B 【分析】根据AB DE ∥可得B DEF ∠=∠，加上A D ∠=∠，可知ABC 和DEF 中两组对角相等，因此一组对边相等时，即可判断ABC DEF ≌△△． 【详解】解：AB DE ∥，∴B DEF ∠=∠， 又A D ∠=∠，∴ABC 和DEF 中两组对角相等，当AB DE =时，根据ASA 可证ABC DEF ≌△△，故A 选项不合题意； 当ACB F ∠=∠时，ABC 和DEF 中，三组对角相等，不能判断ABC DEF ≌△△，故B 选项符合题意； 当BE CF =时，BC EF =，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故C 选项不合题意； 当AC DF =时，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故D 选项不合题意； 故选B ．【点睛】本题考查添加条件使三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的各种判定方法．．ABC 的三条中线的交点．ABC 三边的垂直平分线的交点．ABC 三条角平分线的交点．ABC 三条高所在直线的交点【答案】C【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应在ABC 三条角平分线的交点处．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别． 5．（2020秋·浙江·八年级期末）如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，2DE =，4AB =，则AC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】先根据角平分线的性质得到2DF DE ==，再利用三角形面积公式得到11242722AC ⨯⨯+⨯⨯=，然后解关于AC 的方程即可．【详解】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，2DE =，∴2DF DE ==，∵7ABC S =△，4AB =，又∵ABD ACD ABC S S S +=△△△，∴111124272222AB DE DF AC AC ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=，∴3AC =．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．理解和掌握角平分线的性质是解题的关键．本题也考查了三角形的面积及等积变换．6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，用B C ∠=∠，12∠=∠，直接判定ABD ACD ≌△△的理由是（ ）A ．AASB ．SSSC ．ASAD ．SAS【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法判定即可．【详解】解：在ABD △和ACD 中，12B CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABD ACD ≌，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握证明全等三角形的几种证明方法：AAS 、ASA 、SSS 、SAS 、HL ．A ．2B ．【答案】C 【分析】由FC AB ∥，得F ADE ∠=∠,FCE A ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明CFE ADE ≅，则4CF AD AB BD ==−=．【详解】解：FC AB ∥，F ADE ∴∠=∠，FCE A ∠=∠，在CFE 和ADE V 中，F ADE FCE AFE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS CFE ADE ∴≅， CF AD ∴=，5AB =，1BD =，514AD AB BD ∴=−=−=，4CF ∴=，CF ∴的长度为4．故选：C ．【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明CFE ADE ≅是解题的关键．A ．SSS【答案】B 【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．【详解】解：在AOB 和COD △中，OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB COD SAS ∴≌． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键． 9．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在ABC 的（ ）A ．三边垂直平分线的交点B ．三杂中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴木凳应放的最适当的位置是在ABC 的三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． ）可说明ABC 与△ 【答案】A 【分析】先根据垂直的定义可得90ACB ADB ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义可得CAB DAB ∠=∠，然后根据AAS 定理即可得．【详解】解：,BC AC BD AD ⊥⊥，90ACB ADB ∴∠=∠=︒，AB 平分CAD ∠，CAB DAB ∴∠=∠，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB CAB DABAB AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC ABD ∴≌，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．二、填空题【答案】CA FD =，B E ∠=∠，A D ∠=∠，AB DE ∥等【分析】可选择CA FD =添加条件后，能用SAS 进行全等的判；也可选择B E ∠=∠添加条件后，能用ASA 进行全等的判定；也可选择A D ∠=∠添加条件后，能用AAS 进行全等的判定；也可选择AB DE ∥添加条件后，能用ASA 进行全等的判定即可；【详解】解：添加CA FD =，∵12∠=∠，BC EF =，∴()SAS ABC DEF ≌△△，故答案为：CA FD =；或者添加B E ∠=∠，∵BC EF =，12∠=∠，∴()ASA ABC DEF ≌△△，故答案为：B E ∠=∠；或者添加A D ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：A D ∠=∠；或者添加AB DE ∥，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：AB DE ∥．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．【答案】AB DC =【分析】添加条件AB DC =，利用SAS 证明ABC DCB △≌△即可．【详解】解：添加条件AB DC =，理由如下：在ABC 和DCB △中，AB DC ABC DCBBC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DCB △≌△， 故答案为：AB DC =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS SAS AAS ASA HL ，，，，． 13．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB ≅，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】ABDC =【分析】要使ABC DCB ≅，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()ABC DCB SSS ≅△△， 故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．14．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在ABC 中，CD 是边AB 上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，若BCE 的面积为9，则DE 的长为______．【答案】3【分析】过E 作EF BC ⊥于F ，根据角平分线性质求出EF DE =，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过E 作EF BC ⊥于F ，CD 是AB 边上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，DE EF ∴=，192BCE S BC EF =⋅=，1692EF ∴⨯⨯=，3EF DE ∴==，故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出3EF DE ==是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 八年级期末）如图，在ABC 中， 【答案】4【分析】根据线段垂直平分线的性质得到2AD BD ==，则4CD AC AD =−=．【详解】解：∵AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，∴2AD BD ==，∵6AC =，∴4CD AC AD =−=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 16．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在ABC 中，DE 是AC 的中垂线，分别交AC ，AB 于点D ，E ．已知BCE 的周长为9，4BC =，则AB 的长为______．【答案】5【分析】先利用三角形周长得到5CE BE +=，再根据线段垂直平分线的性质得到EC EA =，然后利用等线段代换得到AB 的长．【详解】解：∵BCE 的周长为9，9CE BE BC ∴++=，又4BC =，5CE BE ∴+=，又DE 是AC 的中垂线，EC EA ∴=，5AB AE BE CE BE ∴=+=+=；故答案为：5．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，已知12∠=∠，要说明ABC BAD ≌，（1）若以“SAS ”为依据，则需添加一个条件是__________；（2）若以“ASA ”为依据，则需添加一个条件是__________．【答案】 BC AD = BAC ABD ∠=∠【分析】（1）根据SAS 可添加一组角相等，故可判定全等；（2）根据ASA 可添加一组角相等，故可判定全等；【详解】解：（1）已知一组角相等和一个公共边，以“SAS ”为依据，则需添加一组角，即BC AD =故答案为：BC AD =；（2）已知一组角相等，和一个公共边，以“ASA ”为依据，则需添加一组角，即BAC ABD ∠=∠． 故答案为：BAC ABD ∠=∠．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．添加时注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等． 18．（2019秋·浙江嘉兴·八年级校考阶段练习）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF=________【答案】6.【分析】根据题中条件由SAS 可得△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．【详解】∵AB ∥DE ，∴∠B=∠DEF∵BE=CF ，∴BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B DEFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴AC=DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．。

全等三角形知识点总结(精选18篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

BPAa专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA%③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .，【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形 已知：如图，线段a ，b ，c.'求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：【例4】已知两边及夹角作三角形 已知：如图，线段m ，n, ∠ .求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.…【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.@随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角#C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半%C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

一，證明邊或角相等方法：證明兩條線段相等或角相等，如果這兩條線段或角在兩個三角形內，就證明這兩個三角形全等；如果這兩條線段或角在同一個三角形內，就證明這個三角形是等腰三角形；如果看圖時兩條線段既不在同一個三角形內，也不在兩個全等三角形內，那麼就利用輔助線進行等量代換，同樣如果角不在同一個三角形內，也不在兩個全等三角形內，也是用等量代換（方法是：（1）同角（等角）の餘角相等（2）同角（等角）の補角相等，此類型問題一般不單獨作一大題，往往是通過得出角相等後用來證明三角形全等，而且一般是在雙垂直の圖形中）1.已知，如圖，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。

求證：BE ＝CD 。

2．如圖，在四邊形ABCD 中，E 是AC 上の一點，∠1=∠2，∠3=∠4，求證: ∠5=∠6．3．已知：如圖△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交於H 。

求證：HB=HC 。

2、如圖, 已知：AB ⊥BC 於B , EF ⊥AC 於G , DF ⊥BC 於D , BC=DF ．求證：AC=EF ．A ED C B654321E DCBAFGE D CBAFBC AMNE 1234EDC BA 二.證明線段和差問題 （形如：AB+BC=CD,AB=AD - CD)證明兩條線段和等於另一條線段，常常使用截長補短法。

①截長法即為在這三條最長の線段截取一段使它等於較短線段中の一條，然後證明剩下の一段等於另一條較短の線段。

②補短法即為在較短の一條線段上延長一段，使它們等於最長の線段，然後證明延長の這一線段等於另一條較短の線段。

證明兩條線段差等於另一條線段，只需把差化成和來解決即可。

1.如圖，已知AD ∥BC ，∠PAB の平分線與∠CBA の平分線相交於E ，CE の連線交AP 於D ．求證：AD +BC =AB ．2、如圖,已知：△ABC 中,∠BAC ＝90, AB ＝AC ,AE 是過A 一直線,且點B 、C 在AE の異側,BD ⊥AE 於D ,CE ⊥AE 於E . 求證：BD ＝DE ＋CE ；3、如圖，AB ∥CD ，DE 平分∠ADC ，AE 平分∠BAD ，求證：AB=AD - CDP E D CB A三．證明線段の2倍或21關系 ( AB CE =2， MN BN =12） 1. 利用含30角の直角三角形の性質證明例1. 已知，如圖1，∆ABC 是等邊三角形，在AC 、BC 上分別取點D 、E ，且AD ＝CE ，連結AE 、BD 交於點N ，過B 作BM AE ⊥，垂足為M ，求證：MN BN =12（提示：先證∠=BNE 60）2. 利用等線段代換（充分利用中點）例1．如圖，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC の平分線，BD の延長線垂直於過C 點の直線於E ，直線CE 交BA の延長線於F ． 求證：BD =2CE ．3.轉化為線段和問題，利用截長補短法例5. 已知：如圖5，四邊形ABCD 中，∠=D 90，對角線AC 平分∠BAD ，AC BC =，FE DCB A求證：AD AB12四．證明二倍角關系利用三角形外角和定理和等量代換如圖，△ABC 中，AD 是∠CAB の平分線，且AB =AC +CD ，求證：∠C =2∠BD C BA。

初二全等三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.常考题：一．选择题（共14小题）1．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点5．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°6．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．58．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D9．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（ ）A ．10B ．7C ．5D ．410．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．边边角11．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：512．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP 由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS13．下列判断正确的是（ ）A ．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等14．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题（共11小题）15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D 到线段AB的距离是cm．16．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是．17．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=°．18．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=．19．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．20．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=cm．21．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度．22．如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=度．23．如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是．24．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．25．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG ⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．三．解答题（共15小题）26．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．27．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．28．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．29．如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．30．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．31．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．32．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE 上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．33．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 为AB边上一点．求证：BD=AE．34．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．35．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．36．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．37．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证：（1）DF∥BC；（2）FG=FE．39．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．（1）求证：AD=AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．40．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．2．（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．3．（2014秋•江津区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．4．（2007•中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：D．【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项5．（2011•呼伦贝尔）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，∴∠ACA′=∠B′CB，又∠B′CB=30°∴∠ACA′=30°．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．6．（2000•安徽）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．7．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．5【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S=S△ABD+S△ACD，△ABC∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．8．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，=BC•EF=×5×2=5，∴S△BCE故选C．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．10．（1998•南京）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．边边角【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE ，又CD=BC ，∠ACB=∠DCE ，由此根据角边角即可判定△EDC ≌△ABC ．【解答】解：∵BF ⊥AB ，DE ⊥BD∴∠ABC=∠BDE又∵CD=BC ，∠ACB=∠DCE∴△EDC ≌△ABC （ASA ）故选B ．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．11．（2017•石家庄模拟）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C ．故选C ．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．12．（2009•鸡西）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP 由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．【解答】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；∴在△OCP和△ODP中，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．（2002•河南）下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，对比选项进行分析．【解答】解：A、只有两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才能成立；B、30°角没有对应关系，不能成立；C、如果这个角是直角，此时就不成立了；D、符合全等三角形的判断方法：AAS或者ASA．故选D．【点评】本题要求对全等三角形的几种判断方法熟练运用，会对特殊三角形全等进行分析判断．14．（2006•十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．二．填空题（共11小题）15．（2006•芜湖）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到线段AB的距离是3cm．【分析】求D点到线段AB的距离，由于D在∠BAC的平分线上，只要求出D到AC的距离CD即可，由已知可用BC减去BD可得答案．【解答】解：CD=BC﹣BD，=8cm﹣5cm=3cm，∵∠C=90°，∴D到AC的距离为CD=3cm，∵AD平分∠CAB，∴D点到线段AB的距离为3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质；知道并利用CD是D点到线段AB的距离是正确解答本题的关键．16．（2013•邵东县模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是5．【分析】要求△ABD的面积，有AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离=CD=2，∴△ABD的面积是5×2÷2=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意分析思路，培养自己的分析能力．17．（2016秋•宁城县期末）如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=135°．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1=∠DBE，又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．故填135．【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．18．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=20．【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=20，即x=20．故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．19．（2009•杨浦区二模）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去玻璃店．【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故答案为：③．【点评】这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．20．（2015秋•西区期末）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=4cm．【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．【解答】解：∵AB∥CF，∴∠ADE=∠EFC，∵∠AED=∠FEC，E为DF的中点，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5cm，∵AB=9cm，∴BD=9﹣5=4cm．故填4．【点评】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单．21．（2009秋•南通期末）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是35度．【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠EAB的度数．【解答】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°﹣35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（2012秋•合肥期末）如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=50度．【分析】先运用三角形内角和定理求出∠C，再运用全等三角形的对应角相等来求∠AED．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=180﹣∠B﹣∠BAC=50°，又∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠C=50°，∴∠AED=50度．故填50【点评】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要识记的内容．23．（2015秋•蒙城县期末）如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．【分析】已知二边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．【解答】解：∵OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．【点评】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法，题目不难．24．（2011•河南）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为4．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=4，∴DP=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键在于确定好DP垂直于BC．25．（2015•鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= 4cm．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．三．解答题（共15小题）26．（2008•北京）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．【分析】根据AB∥ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC=CD．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠B=∠E．在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED．∴AC=CD．【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．27．（2007•北京）已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．【分析】根据角平分线的性质得出∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB=∠COD，再利用SAS判定其全等从而得到AB=CD．【解答】证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．∴∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，．∴△AOB≌△COD．∴AB=CD．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等．28．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，求证：DE=DF．【分析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．【解答】证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．29．（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．【分析】根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．30．（2008•重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC ≌△DFC．（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．。

BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

《全等三角形》知识点总结及练习【概念梳理】一、全三等角形的性质1.全等三角形对应边相等；2.全等三角形对应角相等。

二、全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）3.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）4.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）三、灵活选择适当的方法判定两个三角形全等1.已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)2.已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)3.已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)【典型例题】1.如图（1），已知△ABC≌△CDA，∠B＝75°，∠BAC＝62°，BC＝18。

（1）写出△ABC和△CDA的对应边和对应角。

（2）求∠DAC的度数和边DA的长度。

解：（1）和为对应边∠和∠为对应角和为对应边∠和∠为对应角和为对应边∠和∠为对应角AB CD １（2）在△ABC中，∠BCA＝180°－∠1－∠B＝180°－－＝°∵∠DAC和∠BCA为全等三角形的对应角∴∠＝∠＝°（全等三角形的相等）∵DA和BC为全等三角形的对应边∴＝＝（全等三角形的相等）2.如图（2）△ABC≌△DCB，请说明∠ACD和∠DBA相等的理由。

解：∵△ABC≌△DCB∴∠ACB＝，∠ABC＝（全等三角形的相等）∴∠ACD＝∠ACB－∠∠ABD＝∠CBD－∠∴∠＝∠。

【小试牛刀】一、选择1．一个图形经过平移后，发生变化的是（）A．形状B．大小C．位置D．以上都变化了2.下列说法正确的是（）A．有三个角对应相等的两个三角形全等B．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等C．有两个角和它们夹边对应相等的两个三角形全等D．面积相等的两个三角形全等3.使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D。

1一，证明边或角相等方法：证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换，同样如果角不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，也是用等量代换（方法是：（1）同角（等角）的余角相等（2）同角（等角）的补角相等，此类型问题一般不单独作一大题，往往是通过得出角相等后用来证明三角形全等，而且一般是在双垂直的图形中）1.已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。

求证：BE ＝CD 。

2．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．3．已知：如图△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于H 。

求证：HB=HC 。

2、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ．A ED C B654321E DCBAFGE D CBAFMNE 1234134****70432EDC BA 二.证明线段和差问题 （形如：AB+BC=CD,AB=AD - CD)证明两条线段和等于另一条线段，常常使用截长补短法。

①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。

②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。

证明两条线段差等于另一条线段，只需把差化成和来解决即可。

1.如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．2、如图,已知：△ABC 中,∠BAC ＝90, AB ＝AC ,AE 是过A 一直线,且点B 、C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E . 求证：BD ＝DE ＋CE ；3、如图，AB ∥CD ，DE 平分∠ADC ，AE 平分∠BAD ，求证：AB=AD - CD三．证明线段的2倍或21关系 ( AB CE =2， MN BN =12） P E D CB A134****704331. 利用含30角的直角三角形的性质证明例1. 已知，如图1，∆ABC 是等边三角形，在AC 、BC 上分别取点D 、E ，且AD ＝CE ，连结AE 、BD 交于点N ，过B 作BM AE ⊥，垂足为M ，求证：MN BN =12（提示：先证∠=BNE 60）2. 利用等线段代换（充分利用中点）例1．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ．3.转化为线段和问题，利用截长补短法例5. 已知：如图5，四边形ABCD 中，∠=D 90，对角线AC 平分∠BAD ，AC BC =，求证：AD AB =12四．证明二倍角关系利用三角形外角和定理和等量代换如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B FE DCB ADCBA134****7043 4。

初二数学上册：全等三角形常考题型+解题思路整理全等三角形的性质对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等。

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

（3）有公共边的，公共边常是对应边。

（4）有公共角的，公共角常是对应角。

（5）有对顶角的，对顶角常是对应角。

（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。

【解题关键】要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键。

全等三角形的判定方法（1）边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（2）角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

（4）角角边定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边、直角边定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

全等三形的应用运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。

【拓展】通过判定两个三角形全等，可证明两条线段间的位置关系和大小关系。

而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础。

找全等三角形的方法（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例题、已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.(答案）证明：连接DC ， 在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD ≌△BDC （SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°.(答案）证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形的判定3——“角边角”例题、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN类型四、全等三角形的判定4——“角角边”例题、已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.解：图2成立； 证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中，AMD=DNB=90A B AD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD ≌△DNB （AAS ）∴DM ＝DN∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠NDF ＋∠EDN ＝90°，∴∠ MDE ＝∠NDF在△DME 与△DNF 中，90EMD FDN DM DN MDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME ≌△DNF （ASA ）∴DME DNF S S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形，∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△类型五、直角三角形全等的判定——“HL ”下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ） （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ） （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）(答案）（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，如下图：1、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.(答案与解析）证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ） ∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BFDEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF ∴AB ∥DC. (点评）从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt△CDE ≌Rt △ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.2、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线， 过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D. （1）求证：AE ＝CD ；（2）若AC ＝12cm ，求BD 的长.(答案与解析）（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°．∴∠D ＝∠AEC ．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ． （2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ） ∴BD ＝EC ＝12BC ＝12AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．(点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.角的平分线的性质及判定1、如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC.求证：BE ＝CF.(答案）证明：∵DE ⊥AE ，DF ⊥AC ，AD 是∠BAC 的平分线， ∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠DFC ＝90°在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，DB DCDE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ） ∴BE ＝CF2、如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等．求证：OP 平分∠AOB ．(答案与解析）证明：作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N12PAC S AC PM =△∵，12PBD S BD PN =△，且PAC S =△PBD S △ ∴ 12AC PM 12BD PN =又∵AC ＝BD ∴PM ＝PN又∵PM⊥OA，PN⊥OB ∴OP平分∠AOB(点评）观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.3、如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：AD＝AB＋DC.(答案）证明：在线段AD上取AF＝AB，连接EF，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠1＝∠2，∵AF＝AB AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠DFE，∵DE是∠ADC的平分线，∴∠3＝∠4，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE，∴DF＝DC，∵AD＝DF＋AF，∴AD＝AB＋DC．类型一、全等三角形的性质和判定如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.(答案)证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，DAB EACAB ACB C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB≌△EAC （SAS）∴BD＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：1、在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C(答案)证明：过点A作AD⊥BC在Rt△ABD与Rt△ACD中AB AC AD AD=⎧⎨=⎩∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.(2)．倍长中线法：1、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(答案）证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵EC为中线，∴AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEFCE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC为△ADC的中线，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．2、若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( )A.1 ＜x＜6B.5 ＜x＜7C.2 ＜x＜12D.无法确定(答案)A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x＜7＋5，所以选A选项.(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且HD ＝BD. (1)求证：∠B 与∠AHD 互补；(2)若∠B ＋2∠DGA ＝180°，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.(答案）证明：（1）在AB 上取一点M, 使得AM ＝AH, 连接DM.∵ ∠CAD ＝∠BAD, AD ＝AD, ∴ △AHD ≌△AMD. ∴ HD ＝MD, ∠AHD ＝∠AMD. ∵ HD ＝DB, ∴ DB ＝ MD. ∴ ∠DMB ＝∠B.∵ ∠AMD ＋∠DMB ＝180︒,∴ ∠AHD ＋∠B ＝180︒. 即 ∠B 与∠AHD 互补. （2）由（1）∠AHD ＝∠AMD, HD ＝MD, ∠AHD ＋∠B ＝180︒.∵ ∠B ＋2∠DGA ＝180︒,∴ ∠AHD ＝2∠DGA. ∴ ∠AMD ＝2∠DGM.∵ ∠AMD ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ 2∠DGM ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ ∠DGM ＝∠GDM. ∴ MD ＝MG.∴ HD ＝ MG.∵ AG ＝ AM ＋MG, ∴ AG ＝ AH ＋HD. （3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ＞AC,求证：AB －AC ＞BD －DC (答案）证明：在AB 上截取AE ＝AC,连结DE∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD在△AED 与△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD CAD BAD ACAE∴△AED ≌△ADC （SAS ）∴DE ＝DC 在△BED 中，BE ＞BD －DC即AB －AE ＞BD －DC ∴AB －AC ＞BD －DCM G HDCBAEDC BA2、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．(答案与解析)证明：∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，()()()AC AECAM EAMAM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．(点评)因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．(答案与解析）证明：作ME⊥AF于M，连接EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，∴AE为∠FAD的平分线，∴ME＝DE．在Rt△AME与Rt△ADE中，()()AE AEDE ME=⎧⎨=⎩公用边，已证，∴Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴AD＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵E为CD中点，∴DE＝EC．∴ME＝EC．在Rt△EMF与Rt△ECF中，()(ME CEEF EF=⎧⎨=⎩已证，公用边)，∴Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴MF＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF＝AM＋MF，∴AF＝AD＋FC(等量代换)．(点评）与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD为正方形，则∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．根据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．2、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD=，求证：BD是∠ABC的平分线．(答案与解析）证明：延长AE和BC，交于点F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．则AF=BD（全等三角形对应边相等）．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中，则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化1、已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD 为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CF＝BD（2）当点D 运动到线段BC 的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.(答案）证明：（1）∵正方形ADEF ∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°∴∠DAF －∠DAC ＝∠BAC －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF在△ABD 和△ACF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACF （SAS ） ∴BD ＝CF（2）当点D 运动到线段BC 的延长线上时，仍有BD ＝CF此时∠DAF ＋∠DAC ＝∠BAC ＋∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF在△ABD 和△ACF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACF （SAS ） ∴BD ＝CF2、如图(1)，△ABC 中，BC ＝AC ，△CDE 中，CE ＝CD ，现把两个三角形的C 点重合，且使∠BCA ＝∠ECD ，连接BE ，AD ．求证：BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗?为什么?(答案)证明：∵∠BCA ＝∠ECD ， ∴∠BCA －∠ECA ＝∠ECD －∠ECA ，即∠BCE ＝∠ACD在△ADC 与△BEC 中ACD=BCE AC BC CD CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△BEC(SAS) ∴BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等，因为还是可以通过SAS 证明△ADC ≌△BEC.。

全等三角形题型归类及解析全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线具有轴对称性，因此我们可以充分利用这一特点，常用的辅助线有两种：一是利用截取的线段构造全等三角形，二是通过平分线上的一点作两边的垂线。

此外，还要掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

例如，在三角形ABC中，点D在边BC上，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长度。

又如，在图中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，要判断PM与PN的关系。

还有，在△ABC中，E在边AC上，且∠AEB=∠ABC，要证明∠ABE=∠C；如果∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，且AB=5，AC=8，要求DC的长度。

2、中点型由中点可产生以下XXX：1、中线、倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线例如，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥XXX于D，BE平分∠ABC，且∠ABC=45°，与CD相交于点F，H是BC边的中点，DH与BE相交于点G，要证明BF=AC和CE=BF/2.还有，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，要判断BE+CF与EF的大小关系，并证明结论。

又如，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，要证明AF=EF。

3、多个直角型除了以上两种常见的题型，还有一些涉及多个直角的题目，需要运用勾股定理和全等三角形的性质来解决。

例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，要证明XXX。

要证明BE=CF，根据题目已知，AD是BC的中线，所以AD=DC，又因为DF=DE，所以三角形ADF和CED相等，所以∠A=∠C，即AB∥CF，同理可得BE∥AC，所以BE=CF，证毕。

全等三角形经典题型汇总全等三角形知识网络题型一已知两边，找夹角SAS1.如图，△ABC中，AB = AC，点E，F 在边BC 上，BE = CF，点D 在AF 的延长线上，AD = AC，（1）求证：△ABE ≌△ACF；（2）若∠BAE = 30°，则∠ADC = °．【解析】（1）∵AB = AC，∴∠B = ∠ACF，在△ABE 和△ACF 中，AB = AC , ∠B = ∠ACF，BE = CF，∴△ABE ≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE ≌△ACF，∠BAE = 30°，∴∠CAF = ∠BAE = 30°，∵AD = AC，∴∠ADC = ∠ACD，∴∠ADC = 1/2（180°- 30°）= 75°.2.如图，点E、F 在BC 上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠C，AF 与DE 交于点G，求证：GE = GF．【解析】∵BE = CF，∴BE + EF = CF + EF，∴BF = CE，在△ABF 和△DCE 中，AB = DC , ∠B = ∠C，BF = CE ,∴△ABF ≌△DCE（SAS），∴∠GEF = ∠GFE，∴EG = FG．3.已知，点P 是等边三角形△ABC 中一点，线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．（1）求证：PB＝QC；（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC 的长度．【解析】（1）证明：∵线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ，∴AP = AQ，∠PAQ = 60°，∴△APQ 是等边三角形，∠PAC + ∠CAQ = 60°，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAP + ∠PAC = 60°，AB = AC，∴∠BAP = ∠CAQ，在△BAP 和△CAQ 中，BA = CA , ∠BAP = ∠CAQ，AP = AQ ,∴△BAP ≌△CAQ（SAS），∴PB = QC；（2）解：∵由（1）得△APQ 是等边三角形，∴AP = PQ = 3，∠AQP = 60°，∵∠APB = 150°，∴∠PQC = 150°﹣60°= 90°，∵PB = QC，∴QC = 4，∴△PQC 是直角三角形，题型二已知两边，找直角HL1.如图，BD = CF，FD⊥BC 于点D，DE⊥AB 于点E，BE = CD，若∠AFD = 145°，则∠EDF 的度数为（）A．45°B．55°C．35°D．65°【解析】∵∠DFC + ∠AFD = 180°，∠AFD = 145°，∴∠DFC = 35°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED = ∠CDF = 90°.∵在Rt△BDE 与Rt△CFD 中BE = CD，BD = CF，∴Rt△BDE ≌△Rt△CFD，∴∠BDE = ∠CFD = 35°.∵∠EDF + ∠BDE = 90°，∴∠EDF = 55°.故选B.2.如图，∠B = ∠D = 90°，BC = CD，∠1 = 40°，则∠2 = （）.A．40°B．50°C．60°D．75°【解析】∵∠B = ∠D = 90°，在Rt△ABC 和Rt△ADC 中，BC = CD , AC = AC ,∴Rt△ABC ≌Rt△ADC（HL）∴∠2 = ∠ACB = 90°- ∠1 = 50°．故选：B．3.如图，直线l 上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为5 和11，则b 的面积为（）.【解析】∵∠ACB＋∠ECD＝90°，∠DEC＋∠ECD＝90°，∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，∴△ABC ≌△CDE，∴BC＝DE.∴(如上图)，根据勾股定理的几何意义，b 的面积＝a 的面积＋c 的面积，∴b 的面积＝a 的面积＋c 的面积＝5＋11＝16.故选C.题型三已知两边，找第三边SSS1.如图，五边形ABCDE 中有一正三角形ACD，若AB = DE，BC = AE，∠E = 115°，则∠BAE 的度数为何？（）A.115B.120C.125D.130【解析】∵三角形ACD 为正三角形，∴AC = AD，∠ACD = ∠ADC = ∠CAD = 60°，∵AB = DE，BC = AE，∴△ABC ≌△DEA，∴∠B = ∠E = 115°，∠ACB = ∠EAD，∠BAC = ∠ADE，∴∠ACB + ∠BAC = ∠BAC + ∠DAE = 180°﹣115°= 65°，∴∠BAE = ∠BAC + ∠DAE + ∠CAD = 65°+ 60°= 125°，故选：C．2.在边长为1 的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F 六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC 全等的是（）A.△ACFB.△ACEC.△ABDD.△CEF【解析】在△ABC 中，A、在△ACF 中，则△ACF 与△ABC 不全等，故不符合题意；B、在△ACE 中，则△ACE 与△ABC 不全等，故不符合题意；C、在△ABD 中，则由SSS 可证明△ACE 与△ABC 全等，故符合题意；D、在△CEF 中，则△CEF 与△ABC 不全等，故不符合题意，故选C.3.如图，OA＝OB，OC＝OD，AD＝BC，则图中全等三角形的对数有( ).A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对【解析】∵OA = OB，OC = OD，AD＝BC，∴△DOA ≌△COB（SSS）；∵OA = OB，OC = OD，∴AC = BD，∵AB = AB，AD＝BC，∴△ABD ≌△BAC（SSS）；∵AD = BC，AC = BD，DC = CD，∴△ADC ≌△BCD（SSS）．故选：C．4.如图，点B、C、E 三点在同一直线上，且AB = AD , AC = AE , BC = DE ；若∠1 + ∠2 + ∠3 = 94°，则∠3 的度数为（）.A.49°B.47°C.45°D.43°【解析】在△ABC 和△ADE 中，AB = AD , AC = AE , BC = DE ,∴△ABC ≌△ADE (SSS)，∴∠ABC = ∠1，∠BAC = ∠2，在△ABC 中，由三角形的外角性质得，∠3 = ∠ABC + ∠BAC = ∠1 + ∠2，∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 94°，∴2∠3 = 94°，∴∠3 = 47°.故选B.题型四已知一边一角（若边为角的对边，找任意角AAS ）1.如图，正方形ABCD 中，AB = 1，点P 是BC 边上的任意一点（异于端点B、C ），连接AP，过B、D 两点作BE⊥AP 于点E，DF⊥AP 于点F.（1）求证：EF = DF﹣BE；（2）若△ADF 的周长为7/3 ，求EF 的长.【解析】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA = ∠AEB = 90°，∠ABE + ∠BAE = 90°，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD = AB，∠DAB = 90°= ∠DAF + ∠BAE，∴∠DAF = ∠ABE，在△ADF 和△BAE 中，∠DAF = ∠ABE，∠DFA = ∠AEB，AD = AB，∴△ADF ≌△BAE（AAS），∴AF = BE，DF = AE，∴EF = AE﹣AF = DF﹣BE；（2）解：设DF = a，AF = b，EF = DF﹣AF = a﹣b ＞0，∵△ADF 的周长为7/3，AD = 1，∴DF + AF = 4/3，即a + b = 4/3，由勾股定理得：DF2 + AF2 = AD2，即a2 + b2 = 1，∴（a - b）2 = 2（a2 + b2）- （a + b）2 = 2 - 16/9 = 2/9 ,∴a - b = √2/3 , 即EF = √2/3 .题型五已知一边一角（边为角的邻边（找已知角的另一边SAS ））1.如图，线段AD、BE 相交与点C , 且△ABC ≌△DEC，点M、N 分别为线段AC、CD 的中点．求证：（1）ME = BN；（2）ME∥BN．【解析】（1）∵△ABC ≌△DEC，∴AC = DC , BC = CE.∵点M、N 分别为线段AC、CD 的中点,∴CM = CN.在△BCN 和△ECM 中，AC = DC, ∠BCN = ∠ECM , BC = CE，∴△BCN ≌△ECM（SAS），∴ME = BN.（2）∵△BCN ≌△ECM，∴∠CBN = ∠CEM,∴ME∥BN.2.已知：△ABC 是等边三角形，点D、E 分别是边BC、CA 上的点且BD = CE，AD、BE相交于点O．（1）求证：△ACD ≌△BAE；（2）求∠AOB 的度数．【解析】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC = ∠C = 60°，BC = AC，∵BD = CE，∴BC - BD = AC - CE，∴AE = CD，在△ACD 和△BAE 中，AE = CD , ∠BAE = ∠C = 60°，AB = AC ,∴△ACD ≌△BAE（SAS）；（2）∵△ACD ≌△BAE，∴∠CAD = ∠ABE，∴∠AOE = ∠BAD + ∠ABE = ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC = 60°，∴∠AOB = 180°- 60°= 120°．题型六已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的对角AAS））1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F．（1）求证：AB = CF；（2）连接DE，若AD = 2AB，求证：DE⊥AF．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE = ∠F，∵E 是BC 的中点，∴BE = CE，在△AEB 和△FEC 中，∠BAE = ∠F，∠AEB = ∠FEC，BE = EC，∴△AEB ≌△FEC（AAS），∴AB = CF；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB = CD，∵AB = CF，DF = DC + CF ，∴DF = 2CF，∴DF = 2AB，∵AD = 2AB，∴AD = DF，∵△AEB ≌△FEC，∴AE = EF，∴ED⊥AF .题型七已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的另一角ASA ））1.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O．求证：△AEC ≌△BED；【解析】∵AE 和BD 相交于点O，∴∠AOD = ∠BOE．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B，∴∠BEO = ∠2．又∵∠1 = ∠2，∴∠1 = ∠BEO，∴∠AEC = ∠BED．在△AEC 和△BED 中，∠A = ∠B，AE = BE , ∠AEC = ∠BED，∴△AEC ≌△BED（ASA）．题型八已知两角，找两角的夹边ASA1.如图，在△DAE 和△ABC 中，D 是AC 上一点，AD = AB，DE∥AB，∠E = ∠C．求证：AE = BC．【解析】证明：∵DE∥AB，∴∠ADE = ∠BAC．在△ADE 和△BAC 中，∠E = ∠C ，∠ADE = BAC，AD = AB，∴△ADE ≌△BAC（AAS），∴AE = BC．题型九已知两角，找任意一边AAS1.如图AF//DE，点B、C 在线段AD 上，连接FC、EB，且∠E = ∠F，延长EB 交AF 于点G.（1）求证：BE//CF（2）若CF = BE，求证：AB = CD .【解析】（1）∵AF//DE，∴∠AGB = ∠E，又∵∠E = ∠F，∴∠AGB = ∠F，∴BE//CF（2）∵BE//CF，∴∠DBE = ∠ACF，∵∠E = ∠F , CF = BE，∴ΔACF ≌ΔDBE，∴AC = BD，∴AB = CD.。

全等三角形的总复习题型：角角边证明三角形全等1、如图，若∠1=∠2，∠C=∠D，则证明△ADB≌△ACB。

2、如图，已知：AD=AE，ABEACD∠=∠，求证：BD=CE.3、如图，已知：ABDBACDC∠=∠∠=∠.，求证：OC=OD.4、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE交CD于F，且AD=DF，求证：AC= BF。

BAE FCDD EBAOD C5、如图，已知：BE=CD，∠B=∠C，求证：∠1=∠2。

题型:边角边证明三角形全等1、如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，证明：△ABD≌△ACD。

2、如图，已知AB=BE，BC=BD，∠1=∠2，证明：∠D=∠C。

3、如右图，AB=AD ，∠BAD=∠CAE，AC=AE，求证:CB=ED。

4、已知：如图，AB=CD，AB//DC．求证:AD//BC，AD=BC。

ABCDE5、如图，D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠ADE=∠AED，求证:AB=AC。

题型：角边角证明三角形全等1、如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DCB，试说明△ABC≌△DCB。

A DB C2、已知：如图, AB=AC , ∠B=∠C，BE、DC交于O点。

求证:BD=CE.3、如图：在△ABC和△DBC中,∠ABD=∠DCA,∠DBC=∠ACB,求证：AC=DB.4、如图，已知：AE=CE，∠A=∠C，∠BED=∠AEC，求证：AB=CD.AEC B D5、已知：如图，AB//DE，AC//DF，BE=CF，求证：∠A=∠B.6、如图, AB//CD, AD、BC交于O点, EF过点O分别交AB、CD于E、F，且AE=DF, 求证：O是EF的中点．7、已知：如图,AE=BF,AD//BC,AB、CD交于O点。

求证：CE=DF.题型：边边边证明三角形全等1、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．2、已知：如图，AC=AD，BC=BD，求证：∠C=∠D3、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．4、已知：如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE.求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）△ABE≌△ACD．5、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE//CF．6、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB,求证:(1)∠A=∠C；(2)AB//CD ,AD//BC.题型：HL定理证明三角形全等1、如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD平分∠BAC.2、如图，B、E、F、C在同一直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF，试判断AB与CD的位置关系，并证明3、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线DN经过点C，且AD⊥DN于D，BE⊥DN于E，求证：DE=AD+BE.5、如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE，求证：AF=CE.6、如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、AE=BF、AC=BD，求证：△ACF≌△BDE.7、已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.求证：BE=DF.8、如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC题型：角平分线的应用1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为___________。

全等三角形专题讲解（一）知识储备1、全等三角形的概念：（1）能够重合的两个图形叫做全等形。

（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。

两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示：如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”表示全等，读作“全等于”。

注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。

【例1】如图，△ABC≌△DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

3、全等三角形的判定定理：S.A.S “边角边”公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

【例2】A.S.A “角边角”公理：两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。

【例3】A.A.S “角角边”公理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

【例4】S.S.S “边边边”公理：三边对应相等的两个三角形全等。

【例5】H.L “斜边直角边“公理斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。

【例6】（二）双基回眸1、下列说法中，正确的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4 B．3 C．2 D．12、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5 C．4 D．无法确定4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°5、能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙（三）例题经典例1：如图，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____；（2）对应边AC＝，AB= ；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，则AO= _，BO= _，∠A=_ ，∠ABC= ．例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠D＝∠B．例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．例4：如图，AC BD．求证：OA＝OB，OC＝OD．例5：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．例6：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ． 求证：（1）AB ＝DC ： （2）AD ∥BC ．例7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C 。