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一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB 于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．〔1〕当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；〔2〕当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．〔1〕①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数解析式；〔2〕在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM ⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．〔1〕当AD＝CD时，求证：DE∥AC；〔2〕探究：AD为何值时，△BME与△E相似？4.如下列图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C 〔1〕当x为何值时，PQ∥BC？〔2〕△APQ与△CQB能否相似？假如能，求出AP的长；假如不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔s〕表示移动的时间〔0＜t ＜6〕。
〔1〕当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？〔2〕当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为〔1，3〕，将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为〔〕A. B.C. D.10..，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。
（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。
2分之3倍根号3 随练： 一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）CADCBEF G F E DCBA。
完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。
证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。
点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。
证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。
证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。
4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。
5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。
证明DE=BE·CE。
6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。
证明AE∶ED=2AF∶FB。
7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。
证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。
8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。
证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。
9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。
过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。
证明：AG∶GB=CP∶PD。
1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。
可编辑修改精选全文完整版《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质E BD DB C(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
相似三角形的知识点总结相似三角形是几何学中的重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，对应边的比例相等。
相似三角形的知识点包括相似比例、相似条件、相似性质以及相似定理等。
下面将逐一介绍这些知识点。
1. 相似比例：相似三角形的对应边的比例相等。
即若两个三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE = AC/DF = BC/EF。
2. 相似条件：两个三角形相似的条件有三种情况：a) 两个三角形的对应角度相等；b) 两个三角形的两个对应角度相等，且两个对应边的比例相等；c) 两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等。
3. 相似性质：相似三角形具有以下性质：a) 相似三角形的对应角度相等；b) 相似三角形的对应边的比例相等；c) 相似三角形的对应角的平分线相交于一点；d) 相似三角形的内角平分线相交于一点。
4. 相似定理：相似三角形的定理有多个，其中一些重要的定理包括：a) AA相似定理：若两个三角形的两个对应角度相等，则两个三角形相似；b) SSS相似定理：若两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似；c) SAS相似定理：若两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等，则两个三角形相似；d) 勾股定理的相似定理：若两个直角三角形的两条直角边分别成比例，则两个三角形相似。
相似三角形的知识点对于解决实际问题非常重要。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量阴影的长度和角度，计算出高楼的高度。
又如，在地图上测量两地的距离时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量地图上两地的距离和角度，计算出实际距离。
相似三角形是几何学中的重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
通过掌握相似三角形的知识点，我们可以更好地理解几何学中的相似性质，从而应用于实际生活中的测量和计算中。
相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。
判断这两个三角形是否相似。
解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。
所以△ABC∽△A'B'C'。
2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。
解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。
又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。
但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。
因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。
三角形相似题型大全
三角形相似是数学几何中的一个重要概念，涉及到的题型非常多样。
以下是几种常见的三角形相似题型：
1. 平行线型：当两条平行线被第三条线段所截，所形成的三角形是相似的。
这是三角形相似的一个基本题型。
2. 角相等型：当两个三角形中有两个对应的角相等时，这两个三角形是相似的。
这也是一个比较常见的题型。
3. 边长比例型：当两个三角形的对应边长之间存在一定的比例关系时，这两个三角形是相似的。
这种题型在解决实际问题时经常出现。
4. 综合型：结合以上几种情况，可能需要在多个条件下判断三角形是否相似。
这种题型较为复杂，需要综合考虑各种因素。
在解决三角形相似问题时，需要灵活运用三角形相似的判定定理和性质定理，同时结合题目给出的条件进行推理和计算。
此外，对于一些比较复杂的题型，可能需要采用一些特殊的解题方法，如代数法、几何法等。
希望这些题型能够帮助你更好地理解和掌握三角形相似的知识，提高解决实际问题的能力。
相似三角形题型归纳一、比例的性质:二、成比例线段的概念：1.比例的项：在比例式cr.b = c：d（即纟=上）中，a, d称为比例外项，b, c称为比例内项.特别地，h d在比例式a\b = b.c（即上=?）中，b称为a, c的比例中项，满足b2=ac・b c2.成比例线段：四条线段6 b, G d中，如果Q和b的比等于C和d的比，即- = 那么这四条线b d段a, b, c, d叫做成比例线段，简称比例线段.3.黄金分割：如图，若线段M上一点C,把线段朋分成两条线段AC和BC （AC >BC）,且使AC是和BC的比例中项（即AC2 =AB BC）,则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段&8 的黄金分割点，其中AC = ^1AB^Q.61SAB , = Q0.382AB, AC AB2 2的比叫做黄金比.（注意：对于线段A3而言，黄金分割点有两个.）•••A C B4三.平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截.所得的对应线段成比例.简称为平行线分线段成比例立【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如&B ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为二=二，空=刍 r r 全全2.平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如AE AF AE EF --- = ---- ----△ABCsMBC ZB = ZB', ZC = ZC rZA = ZA\AB _ BC _ AC A^ = WC = A^CAB DEBC EF如AF BEAC ABAE _AF AE _AF EB^FC AB^AC—=SL EFT/BC & FAA'EB FC ABAABC △A'B'C' AM、AH AD AABC BC A!M f A!H rA!D9AA0C B f C AB _ BC _ AC AM _ AH _ AD 7^ = ^C = A^C= =A^r = A7T=WD;AABC /\A!B f C AB BC AC AB + BC + AC ;而一而一而一A® + B'C' + AC 一△ △>△ = Z4‘ ZZ? = ZZT AABC s MBC砂B'C' A'C'SC S MBCAB ACA® AC ZA_ZA△ABCs/WBC4DE // BC oHADE sAABC o A° - AE - DE AB AC BCA BA AB 〃CD o'AOB s HCOD O 竺=竺=竺CD OC ODDG _ AN△ABC AADG S^ABC BC ZBAC = 90° /\ADGsHEBDs&GCsMBCE MF CAE4A A A A3/AABD ^ACADZB = ZCADZC = ZBADAB 2 =AD 2+BD 2 AC 2 = AD 2 + CD 2 BC 2 ==AB 2 + AC 2C CE//AD BAE CE//AD Z1 = Z£ Z2 = Z3 AD ZBAC Z1 =Z2AE = ACCE 〃AD^ =竺竺=竺AE CD AC CDAB1.BDAABC S MDEAB DE = BC CDED 丄 BD AC 丄 ECBDAABC s*DE s AACEZABC = ZCDE = ZACE Z^ABC sMDE AB DE = BC CDAB BC AC CD^^DE^CE CBDAABC s*DE s AACEAD ACMBCMCDE & =忑 C BD BJCDAB ACZABC = ZACEAABC ZA4CAB BD AC = CDEAB BCAD C3/A F；VEAw/nBMCBMCEN BM .EN BM EF // BCEF // BC 一NF MC NF MCAABC ABACAB BD AC = CD条件变为比例形式: 走気，由于妙心180。
相似三角形题型归纳一、比例的性质：二、成比例线段的概念：…1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d =）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=．2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=⋅），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB =≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）^A三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=．AD BE CF1l 2l 3lA D BE CF 1l 2l 3l【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为=上上下下，=上上全全，=下下全全．2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EFAE AF EB FC =AE AF AB AC =BE CFAB AC=A B C EF FECBAAE AF EB FC =AE AFAB AC=BE CFAB AC='//EF BC 'F 'F …△ABC '''△A B C '''△∽△ABC A B C ∽∽B A'A C'B 'C∽△△ABC A B C '''A A '∠=∠，B BC C ''∠=∠∠=∠，∽△△ABC A B C '''AB BC ACk A B B C A C ===''''''k △ABC △A B C '''AM AH 、AD △ABCBC A M ''A H ''A D ''△A B C '''B C ''AB BC AC AM AHADk A B B C A C A M A H A D ======''''''''''''【△ABC △A B C '''AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++△ABC△A B C'''△△ABCA B CBC AHS BC AHkS B C A HB C A H2'''1⋅⋅2==⋅=1''''''''⋅⋅2>'A A∠=∠'B B∠=∠△∽△ABC A B C'''AB BC ACA B B C A C==''''''△∽△ABC A B C'''AB ACA B A C='''''A A∠=∠△∽△ABC A B C'''\BAD EC∥△∽△AD AE DEDE BC ADE ABCAB AC BC⇔⇔==AD CBO∥△∽△AB OA OBAB CD AOB CODCD OC OD⇔⇔== .△ABC△∽△ADG ABCDG ANBC AM=BAC∠=90︒△∽△∽△∽△ADG EBD FGC ABC NMGFEDCBAGFEDCBAG EDCBAGFEDC BA G FEDCB ADEFCBA GAH DFBECAGDF BEC]::::x y z =135x y z x y z +3--3+x y z 234==x y z x y-+3=3-a b c2=3=4abc ≠0a bc b+-2x k =y k =3z k=5x y z k k k x y z k k k +3-+9-55==--3+-9-53113-2:2:3x y =53x y y +=13y x y -=123x y =1314x y +=+23a c e b d f ===a c b d ++2323a c e b d f -+-+b c a c a b a b c a b c +-+-+-==()()()a b b c a c abc+++11x y ≠23a cb d +=+232233a c e b d f -+=-+0a b c ++≠()()()b c a c a b a b c b c a c a b a b c a b c a b c+-+-+-+-++-++-====1++2,2,2b c a a c b a b c +=+=+=()()()a b b c a c abc +++=80a b c ++=()()()()()()a b b c a c c a b abc abc +++-⋅-⋅-==-11-∥∥l l l 123AB DE BC EF=∥∥AD BE CF AB =4AC =10DE =5DF =∥∥l l l 123AB =3BC =5DF =12_______DE =______EF = AD BE CF l 12l 3l A D B E C FAD BE CF l 12l l 3△△ABE CBES AB BC S =∴∥AD BE∵∥BE CF △△ABE DEB S S =∴△△CBE FEB S S =△△△△ABE EDB CBE EFB S S AB DE BC S S EF ===∴25292152∥∥l l l 123.cm AG =06.cm BG =12.cm CD =15CH =△ABCAD BD 2=3AE =3AC =AC =3BD =3CD =2CE =A CH GDBl 1l 2l 3B ADEA B C152∠ADC =90︒∥AD BC ∠∠DFC AEB =△∽△ADF CAE AD =8DC =6∥AD BC∠∠DAF ACE =∠∠DFC AEB =DFA AEC ∠=∠△∽△ADF CAE AD =8DC =6AC =10AF =5△∽△ADF CAEAD AF CA CE =CE 85=10CE 25=4BC 25=2125123⎛⎫=⨯+8⨯6= ⎪222⎝⎭△ABC △DEF 90A ∠=︒90F ∠=︒5AC =13BC =10DF =26EF =85C ∠=︒85E ∠=︒AC DEBC DF=1AB = 1.5AC =2BC =8EF =10DE =16FD =46A ∠=︒80B ∠=︒45E ∠=︒80F ∠=︒△ABC AD AC =DE BC ⊥△∽△ABC FCD △ABC BD CE BC 21⋅=2△∽△ACE DBAAEF DAD B CE AD AC =∵FDC ACB ∠=∠∴DE ∵EB EC =∴ABC FCD ∠=∠△∽△ABC FCD ∴（3）由等腰直角三角形得到BC =条件变为BD CE AB AB AC 2221⋅=⋅2==2，条件变为比例形式：BD BAAC CE=，由于DBA ACE ∠=180︒-45︒=∠，∴△∽△ACE DBA ． A D BECF l 12l 3l F EDCB A题型一 &题型二“A ”字和“8”字模型例题1 （1）如图4-1，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE =5，EF =2，则FG 的长为____________．（2）如图4-2，已知在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP:PQ:QC =____________．G BAF DC EC AD M N PQ图4-1 图4-2解析：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ∴△∽△AEF CEB ，△∽△GFD GBC ，∴AF EF CB EB 2==5，∴DF AD AF CB CB -3==5∴FG DF BG CB 3==5，即FG FG 3=+75．得.FG =105． （2）！（3）由DC ∥AB ，得AP AM PC AB 1==3，AP AC 1=4，同理AQ AC 2=5，PQ AC 2=51-4AC =AC 320，QC =AC 35，故1::::::4AP PQ QC 33==5312205．巩固1： （1）如图4-1，在ABC △中，M 、E 把AC 边三等分，MN//EF//BC ，MN 、EF 把ABC △分成三部分，则自上而下部分的面积比为 ． （2）如图4-2，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB =，3CD =，则:EF CD 的值为__________．（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，DM ，DB 分别交AC 于P ，Q 两点，则::AP PQ QC =___________．NM FE C BAACEF DA CBQPD图4-1 图4-2 图4-3~解析：（1）1:3:5；（2）14；（3）AQ CQ AC 1==2∵，又AP AM PC CD 1==2，AP AC 1=3∴ PQ AC AC 111⎛⎫=1--= ⎪236⎝⎭∴，::::AP PQ QC =213∴．题型三 与内接矩形有关的相似问题例题2 （1）如图5-1，△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH S ．（2）如图5-2，已知△ABC 中，四边形DEGF 为正方形，D ，E 在线段AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，如果ADF CDE S S ∆∆==1，BEG S ∆=3，求△ABC 的面积．HAB C D E FGACDEGB图5-1 图5-2;解析：（1）设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ， 则有AM HG AD BC =，即x x10-=1015，解得，x =6，故EFGH S 2=6=36正方形（2）设正方形边长为x ，则AF x 2=，CI x 2=，BG x6=． 由△∽△CDE CAB ，得CI DE CH AB =，∴xxx x x x2=28++，解得x =2， ?∴AB =6，CH =3，∴ABC S AB CH ∆1=⋅=92巩固2： 如图，已知ABC △中，AC =3，BC =4，C ∠=90︒，四边形DEGF 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形的边长．GF EDC B A H IDC EGF AB解析：法一：由勾股定理可求得AB =5，由AB CH AC BC ⋅=⋅可得.CH =24． 由CDE CAB △∽△可得DE CI AB CH =，设正方形的边长为x ，则..x x 24-=524，解得x 60=37． 法二：设CE k =4，则DE k =5，∴GE k =5，BE k 25=3． ∴CE BE +=4，即k k 254+=43，解得k 12=37，∴DE k 60=5=37．题型四 {题型五“A 字和“8”字模型的构造例题3 如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若AD DE =2，求证：3AP AB =．解析：如图，过点D 作PC 的平行线，交AB 于点H ． ∵HD PC ∥，GFED CBA H MACDEG BIHABDECHP ED CBAAH ADAD DE AH PH PH DE=2⇒==2⇒=2， HD PC ∥，BH BDBD CD BH PH PH CD=⇒==1⇒=， ∴AP AH PH PH =+=3，AH BH AB PH BH =+=2=2， -∴AB BH PH ==，∴AP PH AB =3=3． 还可用如下辅助线来证此题：A BCD EKPABCDEK P PKED CBA巩固3： 如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点． （1）若BK KC 5=2，求CDAB的值； （2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE AD 1=2时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样等量关系请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE AD n1=()n >2，而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系请直接写出你的结论，不必证明．解析：（1）∵BK KC 5=2，∴CK BK 2=5，又∵CD ∥AB ， ：∴KCD KBA △∽△，∴CD CK AB BK 2==5（2）当BE 平分ABC ∠，AE AD 1=2时，AB BC CD =+；证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 于G 点，由中位线定理，得EF//AB//CD ， ∴G 为BC 的中点，GEB EBA ∠=∠，又∵EBA GBE ∠=∠，∴GEB GBE ∠=∠，∴EG BG BC 1==2， 而GF CD 1=2，EF AB 1=2，EF EG GF =+，即：AB BC CD 111=+222；AB BC CD ∴=+；当AE AD n1=(n >2)时，(1)BC CD n AB +=-． 题型六 斜“A ”和斜“8”模型例题4 ?例题5 如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC △的面积是BDE △面积的4倍，6AC =，求DE 的长．解析：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠， ∴ABD CBE △∽△， ∴BE BCBD AB=，∵EBD CBA ∠=∠，∴BED BCA △∽△，C DEKBA ED CAB∴11322DEDE AC AC===⇒==．巩固4： （1）如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE =，AD 与BE 相交于点F ．求证：①BD AD DF 2=⋅；②AF AD AE AC ⋅=⋅；③BF BE BD BC ⋅=⋅． （2）如图，四边形ABCD 是菱形，AF AD ⊥交BD 于E ，交BC 于F ．求证：AD DE DB 21=⋅2．%FECDBAA BDEF C解析：（1）∵等边ABC △，∴AB BC =，ABC ACB BAC ∠=∠=∠=60︒ ∵BD CE = ∴ABD BCE △≌△．∴BAD CBE ∠=∠，∴BFD BAD ABE CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ABD BFD △∽△ ∴BD DFAD BD=，∴BD AD DF 2=⋅． ②证明AFE ACD △∽△即可． ③证明BFD BCE △∽△即可．（2）方法一：取DE 中点M ，连接AM ， 】∵AF AD ⊥，M 为DE 中点 ∴MA MD DE 1==2，∴∠1=∠2，又∵AB AC =，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DAM DBA △∽△，∴DA DM DB 2=⋅，∴AD DE DB 21=⋅2． 方法二：取BD 中点N ，连接AN ．由等腰三角形的性质可知：AN BD ⊥， 又∵EAD ∠=90︒，∴AND EAD △∽△，∴AD DN DE 2=⋅， 又∵DN BD 1=2，∴AD DE BD 21=⋅2． 总结：考查斜“A ”和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A ”和斜“8”，也要会找-巩固5： 在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB ，BD ，BC 分别相交于点E 、P 、F ，且BPF ∠=60︒．（1）如图8-1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明． （2）若直线l 向右平移到图8-2、图8-3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由．（3）探究：如图8-1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），PF PE 1=2请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）ADEF CM123图3图2图1lP FEDC B AFP EDCB AlFPEDCBA 图3图2l P F E D CB A l FPEDC B A 图3lPFEDC B A图8-1 图8-2 图8-3解析：（1）BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△，以BPF EBF △∽△为例，证明如下：？∵BPF EBF ∠=∠=60，BFP BFE ∠=∠，∴BPF EBF △∽△． （2）均成立，均为BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△．（3）BD 平分ABC ∠时，PF PE 1=2．证明：∵BD 平分ABC ∠，∴ABP PBF ∠=∠=30∵BPF ∠=60，∴BFP ∠=90，∴PF PB 1=2，又BEF ABP ∠=60-30=30=∠，∴BP EP =，∴PF PE 1=2．题型七 射影定理例题6 如图，已知AD 、CF 是ABC △的两条高，EF AC ⊥与E ，交CB 延长线于G ，交AD 于H ，求证：EF EH EG 2=⋅． ~解析：∵CF AB ⊥，EF AC ⊥，∴EF AE CE 2=⋅， 又由AD BC ⊥可知，AEH CEG ∠=∠=90︒，EAH EGC ∠=∠，∴AEH GEC △∽△，∴EH EAEC EG=， ∴EH EG EA EC ⋅=⋅，∴EF EH EG 2=⋅．巩固6： （1）如图9-1，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：CEF CBA △∽△．/（2）如图9-2，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，求证：AB FB FD AC EC ED44⋅=⋅．C AEFDBBAEDC F图9-1 图9-2解析：（1）分别在ADC △与CDB △中由射影定理得到：2CD CE CA =⋅，2CD CF CB =⋅， CE CA CF CB ⋅=⋅∴，即CE CFCB CA=，ECF BCA ∠=∠∵，ECF BCA ∴△∽△． GHFED CB A（2）由射影定理可以依次得到422422AB BD BC BF ABAC DC BC EC AC⋅⋅==⋅⋅， 于是仅需证明AB FDAC ED=， 由于BDA ADC △∽△，DF DE 、分别是AB 与AC 上的高，所以有AB DFAC DE=，得证． 题型八 ?题型九三垂直模型例题7 如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ． （1）求证：AMF BGM △∽△．（2）连接FG ，如果45α=︒，42AB =，3AF =，求FG 的长．解析：（1）由题意得，DME A B α∠=∠=∠=， ∴180AMF BMG α∠+∠=︒-，180AMF AFM α∠+∠=︒-，∴BMG AFM ∠=∠， 又E A B α∠=∠=∠=，∴△AMF ∽△BGM ．￥（2）∵AMF BGM △∽△，∴AM AF BG BM =∴，∵M 为AB 的中点，∴12AM BM AB ==∴， ∵42AB =，3AF =，∴83BG =∴， ∵45α=︒∵，∴90ACB ∠=︒∴，4AC BC ==，∴1CF AC AF =-=∴，43CG BC BG =-=， ∴2253FG CF CG =+=．巩固7： （1）如图10-1，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为____________．（2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC 翻折，使得B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，则D 点坐标为___________．GFE DCB ABy D E OAxC图10-1 图10-2%解析：（1）ABE ECF FDG △∽△∽△，2AB AEFD FG==，∴2AB DF =，∴2AB CF =，1AB AE BEEC EF CF===， ∴AB CE =，BE CF =，∴2CE CF =， 又∵4EF =，∴855CE =，455CF =1255BC ，855AB ， ∴矩形ABCD 的周长为5EDCG FBM A（2）过D 点做DF x ⊥轴于F 点，BC 与FD 的延长线交于G 点 则CGD DFA △∽△，∴13CG GD CD DF AF AD ===， 设CG x =，则3DF x =，1AF x =+，33GD x =-，:由于3AF GD =，列得方程：()1333x x +=-， 解得45x =，故45CG =，125DF =， 求得D 点坐标为41255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．巩固8： 如图11-1，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转到如图11-2，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与线段CA 的延长线相交于点Q ． （1）求证：BPE CEQ △∽△．（2）已知BP a =，92CQ a =，求P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．B DFA PQECBDFAP Q图11-1 图11-2，解析：（1）∵ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，∴45B C DEF ∠=∠=∠=︒， ∴135BEP CEQ ∠+∠=︒，135CQE CEQ ∠+∠=︒，∴BEP CQE ∠=∠， 又∵45B C ∠=∠=︒，∴BPE CEQ △∽△． （2）连接PQ ，∵BPE CEQ △∽△，∴BP BECE CQ=， ∵BP a =，92CQ a =，BE CE =，∴BE CE ==，∴BC =，∴3AB AC a ==，∴32AQ a =，2PA a =，在Rt APQ △中，52PQ a =．题型十 三平行模型例题8 (例题9 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ． （1）求证：EF//CD ；（2）若AB a =，CD b =，求EF 的长．解析：（1）∵AB CD ∥，∴ME AM ED CD =，MF BMFC CD=， ∵AM BM =，∴AM BM CD CD =（中间过渡量），∴ME MF EF CD ED FC=⇒∥． （2）∵AM EF CD ∥∥，∴111EF AM CD =+，∴2abEF a b=+．DFAPQFEMDCBA巩固9： 如图所示，在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：111AD AB AC=+．ABDABCEF.解析：分别过B 、C 两点做AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线于E 、F 两点． 由于EB//AD//FC ，有111AD BE FC=+；由于60EBA BAD ∠=∠=︒，18060EAB BAC ∠=︒-∠=︒所以EAB △为正三角形，同理FAC △亦为正三角形．BE AB =∴，FC AC =．故111AD AB AC=+． 题型十一角平分线定理例题10 在ABC △中，B ∠的平分线交AC 于D ，C ∠的平分线交AB 于E ，且BE CD =．求证：AB AC =．解析：由角平分线定理得到AB AD BC DC =，AC AEBC BE=， ∵BE CD =∵，∴AD DC BE AE AB BC BC AC===∴ 即AD AEAB AC=，∴AD AC CD =-∴，AE AB BE =- &∴()()AC AC CD AB AB CD -=-，整理得到()()0AC AB AC AB CD -+-= 明显0AC AB CD +-≠，故AC AB =．巩固10：（1）如图13-1，在ABC △中，C ∠=90︒，CA =3，CB =4，且CD 是C ∠的平分线．则AD 的长为__________．（2）如图13-2，I 是ABC △内角平分线的交点，AI 交对应边于D 点，求证：AI AB ACID BC+=．CADBIAD B C图13-1 图13-2解析：（1）由角平分线定理34AD AC DBBC ==，由于5AB =，31577AD AB ==∴ 》（2）由角平分线定理得到AI AB AC ID BD CD ==，由等比性质得到：AI AB AC AB AC ID BD CD BC++==+． 巩固11：若AP PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 相交于点D ，且4PB =，3PD =．求AD DC ⋅的值．B CAEDP DCBAEA BCDP解析：过P 点做APB ∠的角平分线PE ，交AD 于E 点．∵EPD APE C ∠=∠=∠∵，且PDE CDB ∠=∠，∴PDE CDB ∴△∽△，∴3ED DC PD DB ⋅=⋅=∴， 又由于PE 是角平分线，∴PA AE PD ED =∴，∵4PA PB ==∵，∴43AE ED =∴，∴73AD ED =∴， 773AD DC ED DC ⋅=⋅=∴． 题型十二 线束模型例题11 、例题12 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ．求证：3EF DE =． 法一：如下左图，过D 作DG BC ∥交AC 于G ，交AM 、AN 于P 、Q ， 由线束定理可知DP PQ QG ==，∵DF AC ∥，∴DE DP AG PG 1==2，DF DQ AG QG ==2， ∴DE DF 1=4，∴EF DE =3．过E 点或F 点作BC 的平行线也可得到类似的证法． 法二：如下右图，过M 作PQ DF ∥，交AB 于P ， 交AF 延长线于Q ，则有AC DF PQ ∥∥， ∴PM BM AC BC 1==3，QM MNAC NC==1， ∴PM QM 1=3，由线束定理可知DE PM EF QM 1==3， （即EF DE =3．过B 点或N 点作DF 的平行线也可得到类似的证法．QPABCMN D EFQP GABCMN DEF巩固12： （1）如图15-1，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，过P 点的直线与AB 、CD 分别交于E ，F ．求证：AE DFBE CF=． （2）如图15-2，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，连接CA 、DB 并延长相交于O ，连接OP 并延长交CD 于M ，求证：点M 为CD 的中点．FED NMCBA（3）如图15-3，在图15-2中，若点G 从D 点向左移动（不与C 点重合），AG 与BC 交于点P ，连OP 并延长交CD 于M ，直接写出MC 、MG 、MD 之间的关系式．AC FDE B POABCM D POAB CM D P G图15-1 图15-2 图15-3"解析：（1）证明：如图1，∵AB //CD ，AD 与BC 交于点P ， ∴AEP DFP △∽△，BFP CFP △∽△， ∴AE EP DF FP =,BE EP CF FP =，∴AE BE DF CF =，∴AE DFBE CF=； （2）证明：如图2，设OM 交AB 于点N ．∵AB //CD ，∴AON COM △∽△，BON DOM △∽△，AOB COD △∽△， ∴OA AN OC CM =，OB BN OD DM =，OA OB OC OD =，∴AN BNCM DM=①， ∵ANP DMP △∽△，BNP CMP △∽△，APB DPC △∽△， ∴AN AP DM DP =，DN BP CM CP =，AP BP DP CP =，∴AN BNDM CM=②， ①÷②，DM CMCM DM=，∴CM =DM ，即点M 为CD 的中点； （3）解：MC 2=MG •MD ，理由如下：如图3，设OM 交AB 于点N ． ∵AB //CD ，∴MCP NBP △∽△，NAP MGP △∽△，∴MC MP NB NP =①，NA NPMG MP=②， ①×②，得MC NA MP NP NB MG NP MP ⨯=⨯=1，∴MC NB MG NA=． ∵AON COM △∽△，BON DOM △∽△，∴NA ON MC OM =，NB ONMD OM=， ∴NA NB MC MD =，∴MD NB MC NA =，∴MC MDMG MC=，∴MC MG MD 2=⋅． 题型十三相似综合例题13 如图，点A 的坐标为(2,2)，点C 是线段OA 上的一个动点（不与O 、A 两点重合），过点C 作CDx 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF ．连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF ．若以B 、E 、F 为顶点的三角形与OFE △相似，则点B 的坐标是 ．解析：要使BEF △与OFE △相似， ∵FEO FEB ∠=∠=90︒ ∴只要OE EF EB EF =或OE EF EF EB =，即BE t =2或EB t 1=2． ② 当BE t =2时，BO t =4， ∴t t t2=42-，∴t =0（舍去）或t 3=2，∴(,)B 60．②当EB t 1=2时，（i ）当B 在E 的左侧时，OB OE EB t 3=-=2，∴ttt23=2-2，∴t=0（舍去）或t2=3，∴(,)B10．（ii）当B在E的右侧时，OB OE EB t5=+=2，∴ttt25=2-2，∴t=0（舍去）或t6=5，∴(,)B30．巩固13：如图，Rt ABC△中，ACB∠=90︒，CD AB⊥于D，过点D作DE BC⊥，BDE△边DE上的中线BF延长线交AC于点G．（1）求证：AD BD CE CB⋅=⋅；（2）若AG FG=，求:BF GF；（3）在（2）的条件下，若BC=62BD的长度．AFECDGAFECDG P解析：（1）证明：∵CD AB⊥，∴BCD△是直角三角形．∵DE BC⊥，∴CD CE CB2=⋅．∵ABC△是直角三角形，CD AB⊥，∴CD AD BD2=⋅，∴AD BD CE CB⋅=⋅；（2）解：过G作GP DF⊥交DF于P，连结DG，∵AC BC⊥，DE BC⊥，GF DE⊥，∴四边形CEPG是矩形，∴CG EP=在Rt ADC△中，∵G是边AC中点，∴AG DG CG==．又∵AG FG=，∴DG FG=，∴GFD△是等腰三角形．∴GP是FD的中线，DP FP=，即FP DF EF1=1=22．∵CG EP=，FP EF=12，∴::PF CG=13，∴::PF FG=13．∵PFG EFB CGB△△△∽∽，∴::::CG BG EF BF PF GF===13，∴::FG BG=13，::BF GF=21；（3）解：∵BC=62:::CE BE GF BF==12，∴CE=22，BE=42．∵::EF BF=13，设EF x=，则BF x=3，∴()x x222+2=9，解得x=2，∴BF=6，GF=3，AC=6，∴()AB AC BC2222+6+6263BD=43。
